Логарифм функцийн 1-р суурийн график 3. Логарифмын тодорхойлолт, түүний шинж чанар: онол ба бодлого. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоонууд бдээр суурилсан а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, Мөн б= а в, өөрөөр хэлбэл α-г бүртгэнэ б=вТэгээд b=aвтэнцүү байна. Хэрэв a > 0, a ≠ 1, b > 0 байвал логарифм утга учиртай болно.

Өөрөөр хэлбэл логарифмтоо бдээр суурилсан Атоог өсгөх ёстой илтгэгч болгон томъёолсон адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).

Энэ томьёоллоос харахад x= log α гэсэн тооцоо гарч байна б, a x =b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.

Жишээ нь:

log 2 8 = 3 учир нь 8 = 2 3 .

Логарифмын тодорхойлсон томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг онцлон тэмдэглэе логарифмын утга, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой чадлын үүргийг гүйцэтгэх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бдээр суурилсан атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны хүч.

Логарифмыг тооцоолох гэж нэрлэдэг логарифм. Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.

Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.

Бодит логарифмыг ихэвчлэн 2 (хоёртын тоо), Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 (натурал логарифм) ба 10 (аравтын тоо) суурьтай ашигладаг.

Энэ үе шатанд үүнийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна логарифмын дээжбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Мөн lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёрдугаарт сөрөг тоо байна. сууринд, гуравдугаарт логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурь дээр нэгж байна.

Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.

Бид олж авах a > 0, a ≠ 1, b > 0 нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авсан бэ гэдгийг харцгаая. Үүнд x = log α хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд тусална б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлийг авч үзье a≠1. Аль ч зэрэгт нэг нь нэгтэй тэнцүү тул x=log α тэнцүү байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b=1, гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a≠1.

Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг баталцгаая a>0. At a=0логарифмын томъёоллын дагуу зөвхөн үед оршин тогтнох боломжтой b=0. Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг учраас тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлыг нөхцөлөөр арилгаж болно a≠0. Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррациональ илтгэгчтэй зэрэг нь зөвхөн сөрөг бус суурийн хувьд тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгын шинжилгээг үгүйсгэх хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөлийг тогтоожээ a>0.

Мөн сүүлчийн нөхцөл b>0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a>0, учир нь x=log α б, эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.

Логарифмын онцлог.

Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь нарийн тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжих үед үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, экспонентаци болон үндсийг задлах нь тус бүр нь экспонентээр үржүүлэх, хуваах болгон хувиргадаг.

Логарифмын томъёолол, тэдгээрийн утгын хүснэгт (нь тригонометрийн функцууд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Напиер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглах хүртэл хамааралтай хэвээр байв.

Логарифмын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ (APV).

Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ).

Жишээлбэл, бид үүнийг санаж байна. квадрат язгуурсөрөг тооноос гаргаж авах боломжгүй; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Логарифмууд ижил төстэй хязгаарлалттай байдаг:

Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой, гэхдээ суурь нь тэнцүү байж чадахгүй.

Яагаад ийм байна вэ?

Энгийн зүйлээс эхэлье: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч хүчийг өсгөсөн бай үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн ямар ч зүйлтэй тэнцүү байж болно (ижил шалтгаанаар - ямар ч зэрэгтэй тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.

Бидэнд ийм асуудал тулгардаг: энэ нь ямар ч эерэг хүчинд байдаг, гэхдээ үүнийг сөрөг хүчин болгон нэмэгдүүлэх боломжгүй, учир нь тэгээр хуваагдах болно (үүнийг танд сануулъя).

Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь язгуураар илэрхийлэгддэг: . Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ энэ нь байхгүй.

Тиймээс сөрөг шалтгааныг хаях нь тэдэнтэй харьцахаас илүү хялбар байдаг.

Манай а суурь зөвхөн эерэг байж болох тул бид үүнийг ямар ч хүчинд өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоо авах болно. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, байхгүй, учир нь ямар ч байдлаар байхгүй сөрөг тоо(тэр ч байтугай тэг, тиймээс бас байхгүй).

Логарифмын асуудалд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол ODZ-г бичих явдал юм. Би танд жишээ хэлье:

Тэгшитгэлээ шийдье.

Тодорхойлолтыг санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүч юм. Мөн нөхцөлийн дагуу энэ зэрэг нь: .

Бид ердийнхөө авдаг квадрат тэгшитгэл: . Үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдье: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Авахад хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.

Харин хариуд нь энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл бодлогод 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.

Суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гуравдагч этгээд" учраас энэ нь илт буруу юм.

Ийм таагүй бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODZ-ийг бичих хэрэгтэй.

Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв ​​хариултыг бичнэ.

Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол тэдгээрийн хамгийн жижигийг нь хариултдаа зааж өгнө үү.

Шийдэл:

Юуны өмнө ODZ-г бичье:

Одоо логарифм гэж юу болохыг санацгаая: аргументыг олж авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Хоёр дахь руу. Энэ нь:

Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гуравдагч этгээд, өөрөөр хэлбэл энэ нь огт үндэс биш юм. өгөгдсөн тэгшитгэл. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна: .

Хариулт: .

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхий хэлбэрээр эргэн санацгаая.

Логарифмыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:

Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл. Хэдийгээр энэ нь үндсэндээ тэгш байдал юм - зүгээр л өөрөөр бичсэн логарифмын тодорхойлолт:

Энэ бол таны авахын тулд өсгөх ёстой хүч юм.

Жишээ нь:

Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.

Жишээ 2.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хэсэг дэх дүрмийг санацгаая: өөрөөр хэлбэл хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ. Үүнийг хэрэгжүүлье:

Жишээ 3.

Үүнийг нотол.

Шийдэл:

Логарифмын шинж чанарууд

Харамсалтай нь даалгаврууд нь үргэлж тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Хэрэв та мэддэг бол үүнийг хийх нь хамгийн хялбар юм логарифмын шинж чанарууд. Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.

Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой, тэдэнгүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдэх боломжгүй юм.

Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.

Өмч 1:

Нотолгоо:

Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр

Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .

Нотолгоо:

Тэгвэл байг. Тэгвэл байг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол: .

Шийдэл: .

Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй юм. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлал байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юутай тэнцэх вэ?

Одоо энэ нь тодорхой боллоо.

Одоо өөрөө хялбарчлах:

Даалгаварууд:

Хариултууд:

3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:

Нотолгоо:

Бүх зүйл 2-р зүйлтэй яг ижил байна:

Тэгвэл байг.

Тэгвэл байг. Бидэнд:

Өмнөх догол мөрний жишээ одоо бүр хялбар болсон:

Илүү төвөгтэй жишээ: . Та өөрөө яаж шийдэхээ бодож чадах уу?

Энд бид логарифмын квадратын талаархи ганц томьёо байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.

Тиймээс логарифмын талаархи томьёосоо түр завсарлаж, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодож үзье. 7-р ангиасаа хойш!

Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Эдгээр нь экспоненциал, тригонометрийн болон иррациональ бодлогод тохиолддог. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.

Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог сайтар ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:

Шалгах хариулт:

Үүнийг өөрөө хялбарчлаарай.

Жишээ

Хариултууд.

4-р шинж чанар: Логарифмын аргументаас илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд:, гэх мэт.

Энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.

Өөрөөр хэлбэл, аргументийн зэрэг нь логарифмын өмнө коэффициент болгон шилждэг.

Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл: .

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Жишээ нь:

Хариултууд:

5-р шинж чанар: Логарифмын суурийн илтгэгчийг авах:

Нотолгоо:Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ эсрэгээрээөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!

6-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументаас илтгэгчийг хасах:

Эсвэл зэрэг нь ижил байвал: .

Өмч 7: Шинэ суурь руу шилжих:

Нотолгоо:Тэгвэл байг.

Бидэнд:, гэх мэт.

8-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументыг соль.

Нотолгоо:Энэ бол 7-р томъёоны онцгой тохиолдол юм: хэрэв бид орлуулбал: гэх мэтийг авна.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 4.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид 2-р логарифмын өмчийг ашигладаг - логарифмын нийлбэр ижил суурьбүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү:

Жишээ 5.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.

Жишээ 6.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

7-р өмчийг ашиглацгаая - 2-р суурь руу шилжинэ:

Жишээ 7.

Илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл:

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?

Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.

Энэ бол дажгүй!

Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?

Та логарифмыг хэрхэн шийдэж сурсан уу? Хэрэв тийм биш бол ямар асуудал байна вэ?

Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.

Тийм ээ, шалгалтанд тань амжилт хүсье.

Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалт, ерөнхийдөө амьдрал дээр

\(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)

Үүнийг илүү энгийнээр тайлбарлая. Жишээ нь, \(\log_(2)(8)\) нь \(8\) авахын тулд \(2\)-г өсгөх ёстой чадалтай тэнцүү байна. Эндээс \(\log_(2)(8)=3\) болох нь тодорхой байна.

Жишээ нь:		\(\log_(5)(25)=2\)		учир нь \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		учир нь \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		учир нь \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Логарифмын аргумент ба суурь

Аливаа логарифм нь дараахь "анатоми" -тай байдаг.

Логарифмын аргументыг ихэвчлэн өөрийн түвшинд бичдэг ба суурь нь логарифмын тэмдэгт ойртсон доод бичвэрт бичигддэг. Мөн энэ оруулга дараах байдлаар бичигдсэн байна: "Хорин таваас тав хүртэлх логарифм."

Логарифмыг хэрхэн тооцоолох вэ?

Логарифмыг тооцоолохын тулд та асуултанд хариулах хэрэгтэй: аргументыг авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх ёстой вэ?

Жишээ нь, логарифмыг тооцоол: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) авахын тулд \(4\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Хоёр дахь нь ойлгомжтой. Тийм учраас:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

в) \(1\) авахын тулд \(\sqrt(5)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Ямар хүч нь аливаа дугаарыг нэг болгодог вэ? Тэг, мэдээжийн хэрэг!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)-г авахын тулд \(\sqrt(7)\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Нэгдүгээрт, эхний түвшний аль ч тоо нь өөртэйгөө тэнцүү байна.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)-г авахын тулд \(3\) ямар хүчийг нэмэгдүүлэх ёстой вэ? Бидний мэдэж байгаагаар энэ нь бутархайн зэрэглэл бөгөөд энэ нь квадрат язгуур нь \(\frac(1)(2)\) -ийн хүч гэсэн үг юм.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Жишээ : Логарифмыг тооцоолох \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Шийдэл :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Логарифмын утгыг олох хэрэгтэй, үүнийг x гэж тэмдэглэе. Одоо логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Зүүн баруун сум\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) болон \(8\)-г юу холбодог вэ? Хоёр, учир нь хоёуланг нь хоёроор илэрхийлж болно: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Зүүн талд бид зэрэглэлийн шинж чанаруудыг ашигладаг: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ба \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Суурь нь тэнцүү, бид шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдал руу шилждэг
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Тэгшитгэлийн хоёр талыг \(\frac(2)(5)\)-аар үржүүл.
		Үүссэн үндэс нь логарифмын утга юм

Хариулт : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Логарифмыг яагаад зохион бүтээсэн бэ?

Үүнийг ойлгохын тулд тэгшитгэлийг шийдье: \(3^(x)=9\). Тэгшитгэл ажиллахын тулд \(x\)-г тааруулахад л хангалттай. Мэдээжийн хэрэг, \(x=2\).

Одоо тэгшитгэлийг шийд: \(3^(x)=8\).Х нь хэдтэй тэнцүү вэ? Гол нь энэ.

Хамгийн ухаантай нь: "Х нь хоёроос арай бага" гэж хэлэх болно. Энэ тоог яг яаж бичих вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд логарифмыг зохион бүтээсэн. Түүний ачаар энд хариултыг \(x=\log_(3)(8)\) гэж бичиж болно.

\(\log_(3)(8)\), like гэдгийг онцлон хэлмээр байна аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энэ нь богино байна. Учир нь бид үүнийг маягтаар бичихийг хүссэн бол аравтын, дараа нь иймэрхүү харагдах болно: \(1.892789260714.....\)

Жишээ : \(4^(5x-4)=10\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) болон \(10\)-г нэг суурь руу авчрах боломжгүй. Энэ нь логарифмгүйгээр хийх боломжгүй гэсэн үг юм. Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглая: \(a^(b)=c\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		X зүүн талд байхаар тэгшитгэлийг эргүүлье
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Бидний өмнө. \(4\) баруун тийш хөдөлцгөөе. Мөн логарифмаас бүү ай, үүнийг энгийн тоо мэт хар.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Тэгшитгэлийг 5-д хуваа
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Энэ бол бидний үндэс. Тийм ээ, энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ тэд хариултаа сонгодоггүй.

Хариулт : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Аравтын болон натурал логарифм

Логарифмын тодорхойлолтод дурдсанчлан түүний суурь нь нэг \((a>0, a\neq1)\)-аас бусад эерэг тоо байж болно. Боломжит бүх суурийн дотроос хоёр нь маш олон удаа тохиолддог тул логарифмын хувьд тусгай богино тэмдэглэгээг зохион бүтээжээ.

Натурал логарифм: суурь нь Эйлерийн тоо \(e\) (ойролцоогоор \(2.7182818…\)-тай тэнцүү), логарифмыг \(\ln(a)\) гэж бичсэн логарифм.

Энэ нь, \(\ln(a)\) нь \(\log_(e)(a)\)-тай ижил байна

Аравтын логарифм: Суурь нь 10 байх логарифмыг \(\lg(a)\) гэж бичнэ.

Энэ нь, \(\lg(a)\) нь \(\log_(10)(a)\)-тай ижил байна, энд \(a\) нь зарим тоо юм.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Логарифм нь олон шинж чанартай байдаг. Тэдний нэг нь "Үндсэн логарифмын ижилсэл"болон иймэрхүү харагдаж байна:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ томъёо яг яаж үүссэнийг харцгаая.

Логарифмын тодорхойлолтын товч тайлбарыг эргэн санацгаая.

хэрэв \(a^(b)=c\), дараа нь \(\log_(a)(c)=b\)

Өөрөөр хэлбэл, \(b\) нь \(\log_(a)(c)\)-тэй ижил байна. Дараа нь \(a^(b)=c\) томъёонд \(b\)-ын оронд \(\log_(a)(c)\) гэж бичиж болно. Энэ нь \(a^(\log_(a)(c))=c\) болсон - гол логарифмын таних тэмдэг.

Та логарифмын бусад шинж чанарыг олж болно. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та шууд тооцоолоход хэцүү логарифм бүхий илэрхийллийн утгыг хялбарчилж, тооцоолж болно.

Жишээ : \(36^(\log_(6)(5))\) илэрхийллийн утгыг ол.

Шийдэл :

Хариулт : \(25\)

Тоог логарифм хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дээр дурдсанчлан аливаа логарифм бол зүгээр л тоо юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: дурын тоог логарифм хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, \(\log_(2)(4)\) нь хоёртой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Дараа нь хоёрын оронд \(\log_(2)(4)\) гэж бичиж болно.

Гэхдээ \(\log_(3)(9)\) нь \(2\)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь бид \(2=\log_(3)(9)\) гэж бичиж болно гэсэн үг. Үүний нэгэн адил \(\log_(5)(25)\), \(\log_(9)(81)\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь болж байна

\(2=\лог_(2)(4)=\лог_(3)(9)=\лог_(4)(16)=\лог_(5)(25)=\лог_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Тиймээс, хэрэв шаардлагатай бол бид хоёрыг дурын суурьтай логарифм хэлбэрээр бичиж болно (тэгшитгэл, илэрхийлэл эсвэл тэгш бус байдлын аль нь ч бай) - бид үндсэн квадратыг аргумент болгон бичнэ.

Гурвалсантай адилхан – үүнийг \(\log_(2)(8)\), эсвэл \(\log_(3)(27)\), эсвэл \(\log_(4)( гэж бичиж болно. 64) \)... Энд бид куб дахь суурийг аргумент болгон бичнэ.

\(3=\лог_(2)(8)=\лог_(3)(27)=\лог_(4)(64)=\лог_(5)(125)=\лог_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Мөн дөрөвтэй:

\(4=\лог_(2)(16)=\лог_(3)(81)=\лог_(4)(256)=\лог_(5)(625)=\лог_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Мөн хасах нэгээр:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Мөн гуравны нэг нь:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Дурын тоог \(a\) нь \(b\) суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Жишээ : Илэрхийллийн утгыг олоорой \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\лог_(2)(7))\)

Шийдэл :

Хариулт : \(1\)

Нийгэм хөгжиж, үйлдвэрлэл ээдрээтэй болохын хэрээр математик ч хөгжсөн. Энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжих хөдөлгөөн. Нэмэх, хасах аргыг ашигладаг энгийн нягтлан бодох бүртгэлээс бид тэдгээрийг олон удаа давтах замаар үржүүлэх, хуваах тухай ойлголттой болсон. Үржүүлэхийн давтагдах үйлдлийг багасгах нь экспонентацийн ойлголт болсон. Тоонуудын суурь ба экспонентацийн тооноос хамаарах анхны хүснэгтүүдийг Энэтхэгийн математикч Варасена 8-р зуунд эмхэтгэсэн. Тэдгээрээс та логарифм үүсэх цагийг тоолж болно.

Түүхэн тойм зураг

16-р зуунд Европ дахин сэргэсэн нь механикийн хөгжилд түлхэц өгсөн. Т их хэмжээний тооцоолол шаарддаголон оронтой тоог үржүүлэх, хуваахтай холбоотой. Эртний ширээ нь маш сайн үйлчилгээтэй байсан. Тэд нарийн төвөгтэй үйлдлүүдийг илүү энгийн зүйлээр солих боломжтой болсон - нэмэх, хасах. Математикч Майкл Стифелийн 1544 онд хэвлэгдсэн олон математикчдын санааг хэрэгжүүлсэн ажил нь урагшлах том алхам байв. Энэ нь хүснэгтийг зөвхөн градусын хэлбэрээр ашиглах боломжийг олгосон анхны тоо, гэхдээ бас дур зоргоороо оновчтой хүмүүсийн хувьд.

1614 онд шотланд хүн Жон Непьер эдгээр санааг хөгжүүлж байхдаа "тооны логарифм" гэсэн шинэ нэр томъёог анх нэвтрүүлсэн. Синус ба косинусын логарифм, шүргэгчийг тооцоолох шинэ цогц хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Энэ нь одон орон судлаачдын ажлыг ихээхэн бууруулсан.

Эрдэмтэд амжилттай ашигласан шинэ хүснэгтүүд гарч ирэв гурван зуун. Алгебрийн шинэ үйл ажиллагаа дууссан хэлбэрээ олж авахаас өмнө маш их цаг хугацаа өнгөрчээ. Логарифмын тодорхойлолтыг өгч, шинж чанарыг нь судалсан.

Зөвхөн 20-р зуунд тооны машин, компьютер бий болсноор хүн төрөлхтөн 13-р зууны турш амжилттай ажиллаж байсан эртний хүснэгтүүдийг орхисон.

Өнөөдөр бид a-ийн суурь болох b-ийн логарифмыг x тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь b-ийн хүчин чадал юм. Үүнийг томъёогоор бичнэ: x = log a(b).

Жишээлбэл, log 3(9) нь 2-той тэнцүү байх болно. Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл энэ нь ойлгомжтой. Хэрэв бид 3-ыг 2-ын зэрэглэлд өсгөвөл бид 9-ийг авна.

Тиймээс томъёолсон тодорхойлолт нь зөвхөн нэг хязгаарлалтыг тогтоодог: a ба b тоонууд бодит байх ёстой.

Логарифмын төрлүүд

Сонгодог тодорхойлолтыг бодит логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд үнэндээ a x = b тэгшитгэлийн шийдэл юм. Сонголт a = 1 нь хил хязгаар бөгөөд сонирхолгүй. Анхаар: Аливаа хүчинд 1 нь 1-тэй тэнцүү байна.

Логарифмын бодит утгасуурь болон аргумент нь 0-ээс их байх үед л тодорхойлогддог бөгөөд суурь нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй.

Математикийн салбарт онцгой байр суурь эзэлдэглогарифмуудыг тоглуулж, тэдгээрийн суурийн хэмжээнээс хамааран нэрлэнэ:

Дүрэм ба хязгаарлалт

Логарифмын үндсэн шинж чанар нь дүрэм юм: бүтээгдэхүүний логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү байна. log abp = log a(b) + log a(p).

Энэ мэдэгдлийн хувилбар болох нь: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient функц нь функцүүдийн зөрүүтэй тэнцүү байна.

Өмнөх хоёр дүрмээс харахад амархан: log a(b p) = p * log a(b).

Бусад шинж чанарууд нь:

Сэтгэгдэл. Нийтлэг алдаа бүү хий - нийлбэрийн логарифм нь логарифмын нийлбэртэй тэнцүү биш юм.

Олон зууны турш логарифм олох ажиллагаа нь нэлээд цаг хугацаа шаардсан ажил байв. Математикчид олон гишүүнт тэлэлтийн логарифмын онолын сайн мэддэг томьёог ашигласан.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), энд n - натурал тоо 1-ээс их байх нь тооцооны үнэн зөвийг тодорхойлдог.

Бусад сууриудтай логарифмыг нэг баазаас нөгөөд шилжих тухай теорем болон үржвэрийн логарифмын шинж чанарыг ашиглан тооцоолсон.

Энэ арга нь маш их хөдөлмөр шаарддаг тул практик асуудлыг шийдвэрлэх үедхэрэгжүүлэхэд хэцүү байсан тул бид урьдчилан эмхэтгэсэн логарифмын хүснэгтүүдийг ашигласан бөгөөд энэ нь бүх ажлыг ихээхэн хурдасгасан.

Зарим тохиолдолд тусгайлан боловсруулсан логарифм график ашигласан бөгөөд энэ нь нарийвчлал багатай боловч хайлтыг ихээхэн хурдасгасан. хүссэн үнэ цэнэ. Хэд хэдэн цэг дээр баригдсан y = log a(x) функцийн муруй нь ердийн захирагч ашиглан өөр аль ч цэг дээрх функцийн утгыг олох боломжийг олгодог. Инженерүүд урт хугацааЭдгээр зорилгоор график цаас гэж нэрлэгддэг цаасыг ашигласан.

17-р зуунд анхны туслах аналог тооцоолох нөхцөлүүд гарч ирэв 19-р зуундууссан дүр төрхийг олж авсан. Хамгийн амжилттай төхөөрөмжийг слайд дүрэм гэж нэрлэдэг. Төхөөрөмжийн энгийн байдлыг үл харгалзан түүний гадаад төрх нь бүх инженерийн тооцооллын үйл явцыг ихээхэн хурдасгасан бөгөөд үүнийг хэт үнэлэхэд хэцүү байдаг. Одоогийн байдлаар цөөхөн хүн энэ төхөөрөмжийг мэддэг.

Тооны машин, компьютер гарч ирснээр бусад төхөөрөмжүүдийн хэрэглээг утгагүй болгосон.

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Логарифм ашиглан янз бүрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь томъёог ашиглана.

• Нэг баазаас нөгөөд шилжих: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Өмнөх сонголтын үр дүнд: log a(b) = 1 / log b(a).

Тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг мэдэх нь зүйтэй.

• Суурь болон аргумент хоёулаа нэгээс их эсвэл бага байвал л логарифмын утга эерэг байх болно; хэрэв дор хаяж нэг нөхцөл зөрчсөн бол логарифмын утга сөрөг байна.
• Хэрэв логарифмын функцийг тэгш бус байдлын баруун ба зүүн талд хэрэглэж, логарифмын суурь нь нэгээс их байвал тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдана; тэгэхгүй бол өөрчлөгдөнө.

Жишээ асуудлууд

Логарифм болон тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэл шийдвэрлэх жишээ:

Логарифмыг зэрэгт байрлуулах сонголтыг авч үзье.

• Бодлого 3. 25^log 5(3)-ыг тооцоол. Шийдэл: асуудлын нөхцөлд оруулга нь дараах (5^2)^log5(3) эсвэл 5^(2 * log 5(3))-тай төстэй байна. Үүнийг өөрөөр бичье: 5^log 5(3*2), эсвэл функцын аргумент болох тооны квадратыг функцийн өөрийнх нь квадрат (5^log 5(3))^2 гэж бичиж болно. Логарифмын шинж чанарыг ашиглан энэ илэрхийлэл нь 3^2-тэй тэнцүү байна. Хариулт: Тооцооллын үр дүнд бид 9-ийг авна.

Практик хэрэглээ

Энэ нь цэвэр математикийн хэрэгсэл учраас тийм ч хол юм шиг санагддаг бодит амьдраллогарифм гэнэт олж авсан их үнэ цэнэобъектуудыг дүрслэх бодит ертөнц. Ашиглагдаагүй шинжлэх ухааныг олоход хэцүү байдаг. Энэ нь зөвхөн байгалийн төдийгүй хүмүүнлэгийн мэдлэгийн салбарт бүрэн хамаатай.

Логарифмын хамаарал

Тоон хамаарлын зарим жишээ энд байна:

Механик ба физик

Түүхээс харахад механик, физик нь үргэлж ашиглан хөгжиж ирсэн математик аргуудсудалгаа хийж, нэгэн зэрэг математик, түүний дотор логарифмыг хөгжүүлэх хөшүүрэг болсон. Физикийн ихэнх хуулиудын онолыг математикийн хэлээр бичдэг. Логарифм ашиглан физикийн хуулиудыг тайлбарлах хоёрхон жишээг өгье.

Пуужингийн хурд гэх мэт нарийн төвөгтэй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох асуудлыг Циолковскийн томъёогоор шийдэж болох бөгөөд энэ нь сансар судлалын онолын үндэс суурийг тавьсан юм.

V = I * ln (M1/M2), хаана

• V нь онгоцны эцсийн хурд юм.
• I - хөдөлгүүрийн тодорхой импульс.
• M 1 - пуужингийн анхны масс.
• M 2 - эцсийн масс.

Өөр нэг чухал жишээ- энэ нь термодинамик дахь тэнцвэрийн төлөвийг үнэлэх өөр нэг агуу эрдэмтэн Макс Планкийн томъёонд хэрэглэгддэг.

S = k * ln (Ω), хаана

• S - термодинамик шинж чанар.
• k – Больцманы тогтмол.
• Ω нь янз бүрийн мужуудын статистик жин юм.

Хими

Химийн шинжлэх ухаанд логарифмын харьцааг агуулсан томъёог ашиглах нь тийм ч ойлгомжтой биш юм. Хоёрхон жишээ хэлье:

• Нернстийн тэгшитгэл, бодисын идэвхжил, тэнцвэрийн тогтмолтай холбоотой орчны исэлдэлтийн потенциалын нөхцөл.
• Автолизийн индекс ба уусмалын хүчиллэг зэрэг тогтмол үзүүлэлтүүдийн тооцоог бидний үйл ажиллагаагүйгээр хийх боломжгүй юм.

Сэтгэл судлал, биологи

Мөн сэтгэл судлал үүнтэй ямар холбоотой вэ гэдэг нь тодорхойгүй байна. Мэдрэхүйн хүчийг энэ функцээр өдөөлтийн эрчмийн утгыг доод эрчимтэй урвуу харьцаа гэж сайн тодорхойлсон байдаг.

Дээрх жишээнүүдийн дараа биологид логарифмын сэдвийг өргөнөөр ашиглах болсон нь гайхах зүйлгүй болсон. Логарифмын спиральд тохирох биологийн хэлбэрүүдийн талаар бүхэл бүтэн боть бичиж болно.

Бусад бүс нутаг

Энэ функцтэй холбоогүй бол ертөнц оршин тогтнох боломжгүй юм шиг санагдаж, бүх хуулийг захирдаг. Тэр тусмаа байгалийн хуулиуд холбоотой байх үед геометрийн прогресс. MatProfi вэбсайт руу хандах нь зүйтэй бөгөөд дараах үйл ажиллагааны чиглэлээр ийм олон жишээ бий.

Жагсаалт төгсгөлгүй байж болно. Энэ функцийн үндсэн зарчмуудыг эзэмшсэний дараа та хязгааргүй мэргэн ухааны ертөнцөд орох боломжтой.

Логарифм гэж юу вэ?

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Логарифм гэж юу вэ? Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ? Эдгээр асуултууд олон төгсөгчдийг төөрөгдүүлдэг. Уламжлал ёсоор бол логарифмын сэдвийг төвөгтэй, ойлгомжгүй, аймшигтай гэж үздэг. Ялангуяа логарифм бүхий тэгшитгэлүүд.

Энэ нь туйлын үнэн биш юм. Мэдээжийн хэрэг! Надад итгэхгүй байна уу? Сайн байна. Одоо 10-20 минутын дотор та:

1. Та ойлгох болно логарифм гэж юу вэ.

2. Бүхэл бүтэн ангийг шийдэж сур экспоненциал тэгшитгэл. Та тэдний талаар юу ч сонсоогүй байсан ч гэсэн.

3. Энгийн логарифм тооцоолж сур.

Түүгээр ч барахгүй, үүний тулд та зөвхөн үржүүлгийн хүснэгт болон тоог хэрхэн хүчирхэг болгох талаар мэдэх хэрэгтэй.

Чамд эргэлзэж байх шиг байна... За за, цагаа тэмдэглээрэй! Явцгаая!

Эхлээд энэ тэгшитгэлийг толгой дээрээ шийд:

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.