Ижил үзүүлэлттэй үндсийг хэрхэн нэмэх вэ. Квадрат язгуур. Квадрат үндэстэй үйлдлүүд. Модуль. Квадрат язгуурын харьцуулалт. Үндсэн үйлдлүүд: Үндсэн ойлголтууд

Х тооны квадрат язгуур нь a тоо бөгөөд энэ нь өөрөө үржүүлбэл х тоог өгнө: a * a = a^2 = x, ?x = a. Аливаа тооны нэгэн адил квадрат язгуур дээр нэмэх, хасах арифметик үйлдлийг хийхийг зөвшөөрдөг.

Заавар

1. Нэгдүгээрт, нэмэх үед квадрат үндэсЭдгээр үндсийг гаргаж авахыг хичээ. Хэрэв язгуур тэмдгийн доорх тоонууд төгс квадрат байвал энэ нь хүчинтэй байх болно. ?4 +?9 илэрхийлэл өгөгдсөн гэж үзье. Эхний тоо 4 нь 2-ын квадрат. Хоёр дахь 9 нь 3-ын квадрат. Тэгэхээр: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5 байна.

2. Хэрэв язгуур тэмдгийн доор бүтэн квадрат байхгүй бол язгуур тэмдгийн доор байгаа тооны үржүүлэгчийг шилжүүлэхийг оролдоорой. 24+?54 гэсэн илэрхийлэл өгье гэж бодъё. Тоонуудыг үржүүлэх: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. 24-ийн тоонд язгуур тэмдэгээс шилжүүлж болох 4-р хүчин зүйл байна. 54 тоо нь 9-ийн хүчин зүйлтэй. Тиймээс: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) +? (9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Энэ жишээн дээр язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлийг хассаны үр дүнд өгөгдсөн илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой болсон.

3. 2 квадрат язгуурын нийлбэрийг бутархайн хуваагч гэж үзье, A / (?a + ?b). Тэгээд ч "хүлээн дэх ухаангүй байдлыг арилгах" даалгавартай тулгарсан ч гэсэн. Дараа нь та дараагийн аргыг ашиглаж болно. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ?a - ?b илэрхийллээр үржүүлнэ. Тиймээс, хуваагч дээр та товчилсон үржүүлэх томъёог авна: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Зүйрлэвэл язгуурын зөрүүг хуваагчаар өгвөл: ?a - ?b бол бутархайн хуваагч ба хуваагчийг?a + ?b илэрхийллээр үржүүлэх ёстой. Жишээлбэл, 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?3 - ?) гэж үзье. 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Хуваарь дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах илүү хэцүү жишээг авч үзье. 12 / (?2 +?3 +?5) бутархайг өгье. 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (? 2 + ?3 - ?5:12 / (? 2 + ? + ?5)). ?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Эцэст нь хэлэхэд, хэрэв танд зөвхөн ойролцоогоор утга хэрэгтэй бол та тооцоолуур дээр квадрат язгуурыг тооцоолж болно. Утгыг бүхэл тоогоор тусад нь тооцоолж, шаардлагатай нарийвчлалтайгаар бичнэ үү (жишээлбэл, хоёр аравтын орон). Дараа нь шаардлагатай арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ энгийн тоонууд. Та илэрхийллийн ойролцоо утгыг олох хэрэгтэй гэж бодъё?7 +?5 ? 2.65 + 2.24 = 4.89.

Холбоотой видеонууд

Анхаар!
Ямар ч тохиолдолд квадрат язгуурыг анхдагч тоогоор нэмж болохгүй, i.e. ?3 + ?2? ?5!!!

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Хэрэв та язгуур тэмдгийн доор байгаа квадратыг шилжүүлэхийн тулд тоог хасвал урвуу шалгалтыг хийнэ үү - бүх үр дүнг үржүүлж, анхны дугаарыг авна уу.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй хүмүүсийн хувьд "маш их биш. »
Мөн “маш жигд. "")

Өмнөх хичээлээр бид квадрат язгуур гэж юу болохыг олж мэдсэн. Юу болохыг олж мэдэх цаг болжээ үндэсийн томъёо, гэж юу вэ үндэс шинж чанаруудмөн энэ бүхний талаар юу хийж болох вэ.

Үндэс томьёо, үндэс шинж чанар, үндэстэй үйлдлийн дүрэмүндсэндээ ижил зүйл юм. Квадрат язгуурын хувьд гайхалтай цөөн тооны томъёо байдаг. Энэ нь мэдээж таалагдах болно! Үүний оронд та олон төрлийн томъёо бичиж болно, гэхдээ үндэстэй практик, итгэлтэй ажиллахад ердөө гурав нь л хангалттай. Бусад бүх зүйл энэ гурваас урсдаг. Хэдийгээр олон хүн язгуурын гурван томъёонд төөрсөн ч тийм.

Хамгийн энгийнээс эхэлцгээе. Тэр энд байна:

Би танд сануулж байна (өмнөх хичээлээс): a ба b нь сөрөг бус тоо юм! Үгүй бол томъёо нь ямар ч утгагүй болно.

Энэ үндэсийн өмч , таны харж байгаагаар энгийн, богино, хор хөнөөлгүй. Гэхдээ энэ үндсэн томъёогоор та маш их хэрэгтэй зүйлийг хийж чадна! Ингээд харцгаая жишээнүүдэнэ бүх ашигтай зүйлс.

Эхлээд ашигтай зүйл. Энэ томъёо нь бидэнд олгодог үндсийг үржүүлэх.

Үндэсийг хэрхэн үржүүлэх вэ?

Тийм ээ, маш энгийн. Шууд томъёо руу. Жишээлбэл:

Тэд олширсон бололтой, тэгээд яах вэ? Баяр баясгалан их байна уу? Би зөвшөөрч байна, бага зэрэг. Гэхдээ энэ чамд яаж таалагдаж байна жишээ?

Үндэс нь хүчин зүйлээс яг гаргаагүй. Мөн үр дүн нь гайхалтай юм! Аль хэдийн дээрдсэн, тийм үү? Ямар ч тохиолдолд би таны хүссэн хэмжээгээр үржүүлэгч байж болохыг танд хэлэх болно. Үндэс үржүүлэх томъёо одоо ч ажиллаж байна. Жишээлбэл:

Тиймээс үржүүлснээр энэ нь яагаад хэрэгтэй байгаа нь бүх зүйл тодорхой болно үндэсийн өмч- бас ойлгомжтой.

Хоёр дахь нь ашигтай зүйл. Үндэсний тэмдгийн доор тоо оруулж байна.

Үндэс доор тоо хэрхэн оруулах вэ?

Бидэнд ийм илэрхийлэл байна гэж үзье:

Deuce-ийг үндэс дотор нуух боломжтой юу? Амархан! Хэрэв та хоёр үндэстэй бол үндсийг үржүүлэх томъёо ажиллах болно. Мөн deuce-аас үндсийг хэрхэн яаж хийх вэ? Тийм ээ, энэ бас асуулт биш! Давхар нь дөрөвний квадрат язгуур!

Үндэсийг, дашрамд хэлэхэд, ямар ч сөрөг бус тооноос хийж болно! Энэ нь энэ тооны квадратын квадрат язгуур болно. 3 нь 9-ийн үндэс. 8 нь 64-ийн үндэс. 11 нь 121-ийн үндэс. За гэх мэт.

Мэдээжийн хэрэг, ийм нарийн ширийн зүйлийг зурах шаардлагагүй. Эхлэгчээс бусад нь. Үндсээр үржүүлсэн ямар ч сөрөг бус тоог үндэс дор авчирч болно гэдгийг ойлгоход хангалттай. Гэхдээ битгий мартаарай! - үндэс дор энэ тоо болно дөрвөлжинөөрөө. Энэ үйлдлийг - язгуур дор тоо оруулах - тоог язгуураар үржүүлэх гэж нэрлэж болно. Ерөнхийдөө хүн дараахь зүйлийг бичиж болно.

Таны харж байгаагаар үйл явц нь энгийн. Тэр яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Аливаа өөрчлөлтийн нэгэн адил энэ журам нь бидний боломжийг өргөжүүлдэг. Харгис хэрцгий, эвгүй илэрхийлэлийг зөөлөн, сэвсгэр болгон хувиргах боломжууд). Энд танд энгийн нэг зүйл байна жишээ:

Өөрөө харж байгаа байх үндсэн өмч,язгуурын тэмдгийн дор хүчин зүйлийг нэвтрүүлэх боломжтой болгодог нь хялбарчлахад маш тохиромжтой.

Нэмж дурдахад, үндэс дор үржүүлэгч нэмэх нь өөр өөр язгууруудын утгыг харьцуулахад хялбар бөгөөд хялбар болгодог. Ямар ч тооцоо, тооцоолуургүйгээр! Гурав дахь ашигтай зүйл.

Үндэсийг хэрхэн харьцуулах вэ?

Энэ ур чадвар нь хатуу даалгавар, модулиудын түгжээг тайлах болон бусад гайхалтай зүйлд маш чухал юм.

Эдгээр илэрхийллийг харьцуул. Аль нь илүү вэ? Тооцоологчгүйгээр! Тус бүр нь тооны машинтай. өө-өө. Товчхондоо, хүн бүр үүнийг хийж чадна!)

Чи шууд хэлэхгүй. Хэрэв та язгуурын тэмдгийн доор тоо оруулбал?

Санаж байна уу (гэнэт, мэдэхгүй байна уу?): Хэрэв язгуурын тэмдгийн доор байгаа тоо илүү байвал үндэс нь өөрөө их байна! Тиймээс ямар ч төвөгтэй тооцоо, тооцоололгүйгээр шууд зөв хариулт:

Гайхалтай, тийм ээ? Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх томъёо нь зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш ажилладаг гэдгийг санаарай. Бид одоог хүртэл зүүнээс баруун тийш үндсийг үржүүлэх томъёог ашигласан. Энэ үндсэн шинж чанарыг баруунаас зүүн тийш хойш нь ажиллуулъя. Үүн шиг:

Тэгээд ямар ялгаа байна? Энэ нь танд ямар нэг зүйл өгч байна уу!? Мэдээжийн хэрэг! Одоо та өөрөө харах болно.

Бид (тооцоолуургүйгээр!) 6561 тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах хэрэгтэй гэж бодъё. Энэ үе шатанд зарим хүмүүс даалгавартай тэгш бус тэмцэлд унах болно. Гэхдээ бид зөрүүд, бид бууж өгөхгүй! Дөрөвдүгээрт ашигтай зүйл.

Олон тооноос үндсийг хэрхэн гаргаж авах вэ?

Бүтээгдэхүүнээс үндсийг гаргаж авах томъёог бид санаж байна. Миний дээр нийтэлсэн. Гэхдээ бидний ажил хаана байна? Бидэнд 6561 гэдэг асар том тоо байгаа, тэгээд л болоо. Тиймээ, урлаг байхгүй. Гэхдээ бидэнд хэрэгтэй бол бид хийцгээе! Энэ тоог хүчинтэй болгоё. Бидэнд эрх бий.

Эхлээд энэ тоо яг юунд хуваагддаг болохыг олж мэдье? Юу, чи мэдэхгүй байна!? Та хуваагдах шинж тэмдгийг мартсан уу!? Дэмий. Тусгай хэсэг 555, "Бутархай" сэдэв рүү очно уу. Энэ тоо нь 3 ба 9-д хуваагддаг. Учир нь (6+5+6+1=18) цифрүүдийн нийлбэр нь эдгээр тоонд хуваагддаг. Энэ бол хуваагдах шинж тэмдгүүдийн нэг юм. Бид гурав хуваах шаардлагагүй (одоо та яагаад гэдгийг ойлгох болно), гэхдээ бид 9-д хуваах болно. Ядаж нэг буланд. Бид 729-ийг авна. Тиймээс бид хоёр хүчин зүйлийг олсон! Эхнийх нь ес (бид өөрсдөө сонгосон), хоёр дахь нь 729 (тиймэр болсон). Та аль хэдийн бичиж болно:

Санаа авах уу? 729 гэсэн тоотой адилхан хийцгээе. Энэ нь мөн 3 ба 9-д хуваагддаг. Дахин хэлэхэд бид 3-т хуваагддаггүй, бид 9-д хуваагддаг. Бид 81-ийг авдаг. Мөн бид энэ тоог мэднэ! Бид бичнэ:

Бүх зүйл хялбар, дэгжин болсон! Үндэсийг нь хэсэг хэсгээр нь авах ёстой байсан, за яахав. Үүнийг ямар ч аргаар хийж болно том тоо. Тэднийг үржүүл, тэгээд яв!

Дашрамд хэлэхэд, та яагаад 3-т хуваах шаардлагагүй гэж та таамагласан уу? Тийм ээ, учир нь гурвын үндэс нь яг олборлогдоогүй байна! Наад зах нь нэг үндсийг нь сайн гаргаж авахын тулд ийм хүчин зүйл болгон задлах нь утга учиртай. Энэ нь 4, 9, 16 худаг гэх мэт. Асар их тоогоо эдгээр тоонд ээлжлэн хуваа, та азтай байна!

Гэхдээ заавал биш. Магадгүй азгүй байх. 432 тоог хүчин зүйлээр ялгаж, бүтээгдэхүүний үндсэн томъёог ашиглахад дараах үр дүн гарна гэж бодъё.

За яахав. Бид ямар ч байсан илэрхийлэлийг хялбаршуулсан. Математикийн хувьд язгуур дор хамгийн бага тоог үлдээдэг заншилтай байдаг. Шийдвэрлэх явцад бүх зүйл жишээн дээр тулгуурладаг (магадгүй бүх зүйлийг хялбарчлахгүйгээр багасгасан байж магадгүй), гэхдээ хариултанд цаашид хялбаршуулах боломжгүй үр дүнг өгөх шаардлагатай.

Дашрамд хэлэхэд бид 432-ын язгуураар юу хийснийг та мэдэх үү?

Бид язгуурын тэмдгийн доор хүчин зүйлсийг гаргаж авсан ! Энэ ажиллагааг ингэж нэрлэдэг. Тэгээд даалгавар унах болно - " язгуурын тэмдгийн доороос хүчин зүйлийг гарга"Гэхдээ эрчүүд мэдэхгүй.) Энд танд өөр нэг хэрэглээ байна үндэс шинж чанарууд.Тавдугаарт ашигтай зүйл.

Үндэс доороос үржүүлэгчийг яаж гаргах вэ?

Амархан. Үндэс илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгож, гаргаж авсан үндсийг гаргаж авна. Бид харж байна:

Ер бусын зүйл байхгүй. Үржүүлэгчийг зөв сонгох нь чухал юм. Энд бид 72-ыг 36 2 гэж задалсан. Тэгээд бүх зүйл сайхан болсон. Эсвэл тэд үүнийг өөрөөр задалж болно: 72 = 6 12. Тэгээд юу гэж!? 6-аас ч, 12-оос ч үндсийг гаргаж авдаггүй. Юу хийх вэ?!

Зүгээр дээ. Эсвэл задлах өөр хувилбаруудыг хайж олох, эсвэл бүх зүйлийг зогсоох хүртэл үргэлжлүүлэн байрлуул! Үүн шиг:

Таны харж байгаагаар бүх зүйл амжилттай болсон. Дашрамд хэлэхэд энэ нь хамгийн хурдан биш, гэхдээ хамгийн найдвартай арга юм. Тоонуудыг хамгийн жижиг хүчин зүйл болгон задалж, дараа нь ижил зүйлийг овоолно. Энэ аргыг мөн тохиромжгүй үндсийг үржүүлэхэд амжилттай ашигладаг. Жишээлбэл, та тооцоолох хэрэгтэй:

Бүгдийг үржүүлээрэй - та галзуу дугаар авах болно! Тэгээд түүнээс үндсийг нь яаж гаргаж авах вэ ?! Дахин үржүүлэх үү? Үгүй ээ, бидэнд нэмэлт ажил хэрэггүй. Бид нэн даруй хүчин зүйл болгон задалж, ижил зүйлийг овоолон цуглуулдаг.

Тэгээд л болоо. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зогсох хүртэл хэвтэх шаардлагагүй юм. Бүх зүйл таны хувийн чадвараар тодорхойлогддог. Хаана мужид жишээ авчирсан чамд бүх зүйл ойлгомжтойТиймээс та аль хэдийн тоолж болно. Хамгийн гол нь алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Математикийн хувьд хүн биш, харин математик нь эрэгтэй хүний хувьд!)

Мэдлэгээ практикт хэрэгжүүлье? Энгийн нэгээс эхэлье:

Квадрат үндэс нэмэх дүрэм

Квадрат язгуурын шинж чанарууд

Одоогийн байдлаар бид тоон дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх, эдгээр үйлдлүүдийн янз бүрийн шинж чанаруудыг тооцоололд идэвхтэй ашигласан, жишээлбэл, a + b = b + a, n -b n = (ab) n гэх мэт.

Энэ бүлэгт сөрөг бус тооны квадрат язгуурыг авах шинэ үйлдлийг танилцуулж байна. Үүнийг амжилттай ашиглахын тулд та энэ үйлдлийн шинж чанаруудтай танилцах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг бид энэ хэсэгт хийх болно.

Баталгаа. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
Үүний төлөө бид нотлох хэрэгтэй сөрөг тоонууд x, y, z, x = yz.

Тэгэхээр x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Дараа нь x 2 \u003d y 2 z 2, өөрөөр хэлбэл x 2 \u003d (yz) 2.

Хэрэв квадратуудхоёр сөрөг бус тоо тэнцүү, дараа нь тоонууд өөрсдөө тэнцүү байх бөгөөд энэ нь x 2 \u003d (yz) 2 тэгшитгэлээс x \u003d yz гэсэн үг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Бид теоремын нотолгоог товчхон тэмдэглэв.

Тайлбар 1. Радикал илэрхийлэл нь хоёроос дээш сөрөг бус хүчин зүйлийн үржвэр болох тохиолдолд теорем хүчинтэй хэвээр байна.

Тайлбар 2. Теорем 1-ийг “if. , дараа нь” (математикийн теоремуудын заншил ёсоор). Бид харгалзах томъёог өгдөг: хэрэв a ба b нь сөрөг бус тоо бол тэгш байдал .

Бид дараах теоремыг ингэж томъёолдог.

(Практикт хэрэглэхэд илүү тохиромжтой богино томъёолол: бутархайн үндэс нь язгуурын бутархайтай тэнцүү, эсвэл хэсгийн үндэс нь язгуурын хэсэгтэй тэнцүү байна.)

Энэ удаад бид зөвхөн нотлох баримтын товч мэдээллийг өгөх бөгөөд та теорем 1-ийн нотлох баримтын мөн чанарыг бүрдүүлсэн тайлбартай төстэй тайлбар хийхийг оролдож болно.

Жишээ 1. Тооцоолох.
Шийдэл. Эхний өмчийг ашиглах квадрат үндэс(Теорем 1) бид олж авна

Тайлбар 3. Мэдээжийн хэрэг, энэ жишээг өөрөөр шийдэж болно, ялангуяа танд тооцоолуур байгаа бол: 36, 64, 9-ийн тоог үржүүлж, үр дүнгийн үр дүнгийн квадрат язгуурыг авна. Гэсэн хэдий ч дээр санал болгож буй шийдэл нь илүү соёлтой харагддаг гэдэгтэй та санал нийлэх болно.

Тайлбар 4. Эхний аргын хувьд бид шууд тооцоолол хийсэн. Хоёр дахь арга нь илүү гоёмсог юм:
бид өргөдөл гаргасан томъёо a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) ба квадрат язгуурын шинж чанарыг ашигласан.

Тайлбар 5. Зарим "халуун толгой" заримдаа 3-р жишээнд дараах "шийдлийг" санал болгодог.

Энэ нь мэдээжийн хэрэг үнэн биш юм: та харж байна - үр дүн нь бидний жишээн дээрхтэй адилгүй 3. Үнэн хэрэгтээ өмч байхгүй. ямар ч болон шинж чанар гэж Зөвхөн квадрат язгуурыг үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд байдаг. Болгоомжтой, болгоомжтой байгаарай, хүсэл мөрөөдлөө бүү ав.

Жишээ 4. Тооцоолох: a)
Шийдэл. Алгебрийн аливаа томьёог зөвхөн "баруунаас зүүн тийш" төдийгүй "зүүнээс баруун тийш" ашигладаг. Тиймээс, квадрат язгуурын эхний шинж чанар нь шаардлагатай бол үүнийг -ээр илэрхийлж болно гэсэн үг бөгөөд эсрэгээр нь илэрхийлэлээр сольж болно. Энэ нь квадрат язгуурын хоёр дахь шинж чанарт хамаарна. Үүнийг харгалзан санал болгож буй жишээг шийдье.

Догол мөрийг дуусгахад бид өөр нэг энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг чухал шинж чанарыг тэмдэглэж байна.
хэрэв a > 0 ба n - натурал тоо, Тэр

Жишээ 5Тооцоол , тооны квадратуудын хүснэгт, тооцоолуур ашиглахгүйгээр.

Шийдэл. Үндэс тоог анхны хүчин зүйл болгон задалъя:

Тайлбар 6. Энэ жишээг § 15-д байгаа ижил төстэй жишээтэй ижил аргаар шийдэж болно. Хариулт нь "сүүлтэй 80" байх болно гэдгийг таахад амархан, учир нь 80 2 2 . "Сүүл", өөрөөр хэлбэл хүссэн тооны сүүлийн цифрийг олъё. Хэрэв үндсийг нь гаргаж авбал хариулт нь 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 эсвэл 89 байж болно гэдгийг бид мэдэж байна. Зөвхөн хоёр тоог шалгах хэрэгтэй: 84 ба 86, учир нь зөвхөн тэдгээр нь, квадратаар тооцвол үр дүнд нь өгнө дөрвөн оронтой 6-аар төгссөн тоо, өөрөөр хэлбэл. 7056 тоогоор төгссөн ижил оронтой. Бидэнд 84 2 \u003d 7056 байна - энэ бол бидэнд хэрэгтэй зүйл юм. гэсэн үг,

Мордкович А.Г., Алгебр. 8-р анги: Процесс. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд. - 3-р хэвлэл, эцэслэн боловсруулсан. - М.: Mnemosyne, 2001. - 223 х.: өвчтэй.

Багш, сурагчдад туслах ном, математикийн сурах бичиг татаж авах, хураангуй, онлайн сурах

Хэрэв танд энэ хичээлтэй холбоотой засвар, санал байвал бидэнд бичээрэй.

Хэрэв та хичээлийн бусад засвар, зөвлөмжийг харахыг хүсвэл эндээс үзнэ үү - Боловсролын форум.

Квадрат үндсийг хэрхэн нэмэх вэ

Тооны квадрат язгуур Xдугаар дуудсан А, энэ нь өөрөө үржих явцад ( А*А) тоо өгч болно X.
Тэдгээр. A * A = A 2 = X, Мөн √X = A.

дөрвөлжин үндэс ( √x), бусад тоонуудын нэгэн адил хасах, нэмэх зэрэг арифметик үйлдлүүдийг хийж болно. Үндэсийг хасах, нэмэхийн тулд тэдгээрийг эдгээр үйлдэлд тохирох тэмдгүүдийг ашиглан холбох ёстой (жишээлбэл √x - √y ).
Тэгээд дараа нь үндсийг нь тэдэнд авчир хамгийн энгийн хэлбэр- Хэрэв тэдгээрийн хооронд ижил төстэй зүйл байвал гипс хийх шаардлагатай. Энэ нь ижил төстэй нэр томъёоны коэффициентийг харгалзах нөхцлийн тэмдгүүдийн хамт авч, дараа нь хаалтанд хийж, үржүүлэгч хаалтны гадна нийтлэг үндсийг харуулах явдал юм. Бидний олж авсан коэффициентийг ердийн дүрмийн дагуу хялбаршуулсан болно.

Алхам 1. Квадрат үндэс гаргаж авах

Нэгдүгээрт, дөрвөлжин үндэс нэмэхийн тулд эхлээд эдгээр үндсийг задлах хэрэгтэй. Хэрэв язгуур тэмдгийн доорх тоонууд төгс квадрат байвал үүнийг хийж болно. Жишээлбэл, өгөгдсөн илэрхийллийг ав √4 + √9 . Эхний тоо 4 тооны квадрат юм 2 . Хоёр дахь тоо 9 тооны квадрат юм 3 . Тиймээс дараахь тэгш байдлыг олж авах боломжтой. √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Бүх зүйл, жишээ нь шийдэгдсэн. Гэхдээ энэ нь үргэлж ийм байдлаар тохиолддоггүй.

Алхам 2. Үндэс доороос тооны үржүүлэгчийг гаргаж авах

Хэрэв язгуур тэмдгийн доор бүтэн квадрат байхгүй бол та язгуур тэмдгийн доороос тооны үржүүлэгчийг гаргаж авахыг оролдож болно. Жишээлбэл, илэрхийлэлийг ав √24 + √54 .

Тоонуудыг үржвэрлэе:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

дунд 24 бидэнд үржүүлэгч байна 4 , язгуур тэмдгийн доороос гаргаж авч болно. дунд 54 бидэнд үржүүлэгч байна 9 .

Бид тэгш байдлыг олж авдаг:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Энэ жишээг авч үзвэл бид язгуур тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлийг хасч, өгөгдсөн илэрхийллийг хялбаршуулна.

Алхам 3. Хуваагчийг багасгах

Дараах нөхцөл байдлыг авч үзье: хоёр квадрат язгуурын нийлбэр нь бутархайн хуваагч болно, жишээлбэл, A / (√a + √b).
Одоо бидний өмнө “Хүлээж буй оновчгүй байдлаас ангижрах” даалгавар байна.
Дараах аргыг ашиглацгаая: бутархайн хуваагч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлнэ √a - √b.

Одоо бид хуваагч дахь товчилсон үржүүлэх томъёог авна.
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Үүний нэгэн адил, хуваагч нь язгуурын зөрүүг агуулж байвал: √a - √b, бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлнэ √a + √b.

Жишээ болгон бутархайг авч үзье:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Цогцолбор бууруулах жишээ

Одоо хангалттай авч үзье нарийн төвөгтэй жишээхуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

Жишээ болгон бутархайг авч үзье: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Та түүний тоо, хуваагчийг авч, илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Алхам 4. Тооцоологч дээр ойролцоо утгыг тооцоол

Хэрэв танд зөвхөн ойролцоо утга хэрэгтэй бол үүнийг квадрат язгуурын утгыг тооцоолох замаар тооцоолуур дээр хийж болно. Тус тусад нь тоо бүрийн хувьд аравтын бутархайн тоогоор тодорхойлогддог шаардлагатай нарийвчлалтайгаар утгыг тооцоолж, бүртгэнэ. Цаашилбал, шаардлагатай бүх үйлдлүүдийг энгийн тоонуудтай адил гүйцэтгэдэг.

Тооцоолсон тооцооны жишээ

Энэ илэрхийллийн ойролцоо утгыг тооцоолох шаардлагатай √7 + √5 .

Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна.

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Анхаарна уу: ямар ч тохиолдолд та квадрат үндэс нэмж болохгүй анхны тоонууд, энэ нь бүрэн хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Хэрэв та тав ба гуравны квадрат язгуурыг нэмбэл бид наймын квадрат язгуурыг авч чадахгүй.

Ашигтай зөвлөгөө: Хэрэв та тоог үржүүлэхээр шийдсэн бол язгуур тэмдгийн доор квадратыг гаргахын тулд та урвуу шалгалт хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл тооцооллын үр дүнд бий болсон бүх хүчин зүйл, үүний эцсийн үр дүнг үржүүлэх хэрэгтэй. Математик тооцоолол нь бидэнд анх өгсөн тоо байх ёстой.

Үндэстэй үйлдэл: нэмэх, хасах

Тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах нь энэ математик үзэгдлийн тусламжтайгаар хийж болох цорын ганц үйлдэл биш юм. Энгийн тоонуудын нэгэн адил квадрат язгуурыг нэмж хасах боломжтой.

Квадрат язгуур нэмэх, хасах дүрэм

Квадрат язгуур нэмэх, хасах зэрэг үйлдлүүд нь язгуур илэрхийлэл ижил байвал л боломжтой.

Та 2 3 илэрхийллийг нэмж хасах боломжтой ба 6 3, гэхдээ 5 6 биш Тэгээд 9 4 . Хэрэв илэрхийллийг хялбаршуулж, ижил язгуур дугаартай үндэс рүү авчрах боломжтой бол хялбаршуулж, дараа нь нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй.

Үндсэн үйлдлүүд: Үндсэн ойлголтууд

6 50 — 2 8 + 5 12

Үндэс илэрхийлэлийг хялбарчлах. Үүнийг хийхийн тулд язгуур илэрхийллийг 2 хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн нэг нь квадрат тоо (бүхэл язгуурыг гаргаж авсан тоо, жишээ нь 25 эсвэл 9).
Дараа нь та квадрат тооны үндсийг авах хэрэгтэйязгуур тэмдгийн өмнө гарсан утгыг бичнэ. Хоёрдахь хүчин зүйлийг үндсэн тэмдгийн дор оруулсан болохыг анхаарна уу.
Хялбаршуулах үйл явцын дараа ижил радикал илэрхийлэл бүхий үндсийг доогуур зурах шаардлагатай - зөвхөн тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой.
Ижил радикал илэрхийлэлтэй язгууруудын хувьд язгуур тэмдгийн өмнөх хүчин зүйлийг нэмэх буюу хасах шаардлагатай. Үндсэн илэрхийлэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Үндэс тоог нэмж, хасаж болохгүй!

Хэрэв танд маш олон ижил радикал илэрхийлэл бүхий жишээ байгаа бол тооцоолох үйл явцыг хөнгөвчлөхийн тулд ийм илэрхийллийн доогуур нэг, хоёр, гурвалсан шугамаар зур.

Энэ жишээг туршиж үзье:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Эхлээд 50-г 25 ба 2 гэсэн 2 хүчин зүйл болгон задалж, дараа нь 25-ын язгуур буюу 5-ыг авч, үндэс доороос 5-ыг гаргаж авах хэрэгтэй. Үүний дараа та 5-ыг 6-аар (үндэс дэх үржүүлэгч) үржүүлж, 30 2-ыг авах хэрэгтэй.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Эхлээд та 8-ыг 2 хүчин зүйл болгон задлах хэрэгтэй: 4 ба 2. Дараа нь 4-өөс 2-той тэнцэх үндсийг гаргаж аваад 2-ыг үндэснээс нь гарга. Үүний дараа та 2-ыг 2-оор үржүүлж (үндсэн хүчин зүйл) 4 2-ыг авах хэрэгтэй.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Эхлээд та 12-ыг 2 хүчин зүйл болгон задлах хэрэгтэй: 4 ба 3. Дараа нь 4-ээс үндсийг гаргаж аваад 2-ыг үндэснээс нь гарга. Үүний дараа та 2-ыг 5-аар үржүүлж (үндсэн хүчин зүйл) 10 3-ыг авах хэрэгтэй.

Хялбаршуулсан үр дүн: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Үүний үр дүнд бид энэ жишээнд хичнээн ижил радикал илэрхийлэл агуулагдаж байгааг харлаа. Одоо бусад жишээн дээр дадлага хийцгээе.

Хялбарчлах (45). Бид 45-ыг хүчин зүйлээр ангилдаг: (45) = (9 × 5) ;
Бид үндэс доороос 3-ыг гаргаж авдаг (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
Бид хүчин зүйлүүдийг үндэс дээр нэмнэ: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
Хялбарчлах 6 40 . Бид 40-ийг хүчин зүйл болгон хуваадаг: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
Бид 2-ыг үндэснээс нь гаргаж авдаг (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
Бид язгуурын урд байгаа хүчин зүйлсийг үржүүлнэ: 12 10;
Бид илэрхийллийг хялбаршуулсан хэлбэрээр бичдэг: 12 10 - 3 10 + 5;
Эхний хоёр нэр томъёо ижил язгуур тоотой тул бид тэдгээрийг хасаж болно: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Бидний харж байгаагаар радикал тоонуудыг хялбарчлах боломжгүй тул жишээн дээр бид ижил радикал тоотой гишүүдийг хайж, математикийн үйлдлүүдийг (нэмэх, хасах гэх мэт) хийж, үр дүнг бичнэ.

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Зөвлөгөө:

Нэмэх, хасахын өмнө радикал илэрхийллийг хялбарчлах (боломжтой бол) зайлшгүй шаардлагатай.
Өөр өөр язгуур илэрхийлэлтэй үндсийг нэмэх, хасахыг хатуу хориглоно.
Бүхэл тоо эсвэл квадрат язгуурыг нэмж, хасаж болохгүй: 3 + (2 x) 1/2 .
Бутархайтай үйлдэл хийхдээ хуваагч бүрт хуваагдах тоог олж, дараа нь бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, дараа нь тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарууд. Арифметик квадрат язгуурын хүч

Арифметик квадрат язгуурыг хөрвүүлэх. Арифметик квадрат язгуурыг хөрвүүлэх

Олборлох олон гишүүнтийн квадрат язгуур, олон гишүүнтийг тооцоолж, үүссэн тооноос үндсийг гаргаж авах шаардлагатай.

Анхаар!Нэр томьёо бүрээс (багасгаж, хассан) үндсийг тусад нь гаргаж авах боломжгүй.

Щоб ялна олон гишүүнтийн квадрат язгуур, шаардлага нь баялаг гишүүнийг тооцоолж, хасагдсан тооноос үндсийг авах явдал юм.

Хүндэтгэсэн!Арьсны нэмэлт тэжээл (өөрчлөгдсөн, харагдахуйц) OKremo-аас үндсийг нь гаргаж авах боломжгүй юм.

Бүтээгдэхүүний квадрат язгуурыг гаргаж авахын тулд (хэсэг), та хүчин зүйл бүрийн квадрат язгуурыг (ногдол ашиг ба хуваагч) тооцоолж, үр дүнгийн утгыг бүтээгдэхүүнээр (хуваач) авч болно.

Добуткагийн язгуурыг ялахын тулд (хэсэг), та арьсны үржүүлэгчийн квадрат үндсийг тооцоолж болно (хуваагдсан ба dilnik), нэмэлт (байнга) авах замаар утгыг устгаж болно.

Бутархайн квадрат язгуурыг авахын тулд, та тоологч ба хуваагчийн квадрат язгуурыг тусад нь гаргаж, үр дүнгийн утгыг бутархай хэлбэрээр үлдээх эсвэл категори хэлбэрээр (боломжтой бол нөхцөлөөр) тооцоолох хэрэгтэй.

Бутархайн квадрат язгуурыг ялахын тулд, та тооны дэвтэр болон окремогийн тугийн квадрат язгуурыг авч, бутархайн утгыг бутархайгаар хасах, эсвэл хэсэг болгон тоолох хэрэгтэй (оюун санааны хувьд боломжтой).

Үндэс тэмдгийн доор хүчин зүйл авч, язгуур тэмдгийн доор хүчин зүйл оруулж болно. Хүчин зүйлийг гарган авах үед түүнээс үндсийг гаргаж аваад, нэвтрүүлэх үед түүнийг харгалзах хүч хүртэл өсгөдөг.

3-р язгуур тэмдгийг үржүүлж, язгуур тэмдгийг үржүүлж болно. Үржүүлэгчийн буруугаар үндсийг мушгиж, оршилтой бол үндэс нь өндөр хөл дээр баригдсан.

Жишээ. Өргөдөл гаргах

Квадрат язгуурын нийлбэрийг (ялгааг) хөрвүүлэхийн тулд язгуур илэрхийллийг градусын нэг суурь руу авчирч, боломжтой бол градусаас үндсийг гаргаж аваад язгуурын тэмдгүүдийн өмнө, үлдсэн квадрат язгуурыг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй. ижил язгуур илэрхийлэлүүдийг нэмж болох бөгөөд тэдгээрийн коэффициентийг тэмдгийн язгуурын өмнө нэмж, ижил квадрат язгуурыг нэмнэ.

Квадрат язгуурын нийлбэрийг (өртөг) дахин гаргахын тулд дэд язгуур үндсийг алхамын суурийн аль нэгэнд нь авчирч, язгуур алхмуудыг хийж, тэмдэглэгээний өмнө бичих шаардлагатай. үндэс, мөн та ижил язгууртай дөрвөлжин язгуурыг шийдэж болох бөгөөд үүний тулд коэффициентийг язгуур тэмдгийн өмнө нэмж, ижил язгуурыг нэмнэ.

Бид бүх радикал илэрхийллүүдийг 2-р суурь дээр авчирдаг.

Тэгш зэрэглэлээс үндсийг бүрэн гаргаж, сондгойгоос 1-р зэргийн суурийн үндсийг язгуурын тэмдгийн дор үлдээнэ.

Бид ижил төстэй бүхэл тоонуудыг өгч, ижил үндэстэй коэффициентүүдийг нэмнэ. Бид хоёр гишүүнийг тооны үржвэр, нийлбэрийн хоёр гишүүн гэж бичдэг.

Виразийн бүх дэд үндсийг 2-р суурь руу аваачна.

Хосолсон үе шатнаас үндсийг дараалан зурж, хосгүй үе шатаас 1-р үе шатанд суурийн үндсийг үндэс тэмдгийн дор дүүргэнэ.

Ижил язгуурт ижил төстэй тоо, коэффициент нэмэхийг санал болгож байна. Бид хоёр гишүүнийг сүмийн хоёр гишүүний i тооны нэмэлт болгон бичдэг.

Бид радикал илэрхийллүүдийг хамгийн бага суурь буюу хамгийн бага суурьтай хүчнүүдийн үржвэрт хүргэдэг. Бид тэгш градусын радикал илэрхийллээс үндсийг гаргаж аваад, үлдэгдлийг 1-ийн үзүүлэлттэй градусын суурь эсвэл ийм суурийн үржвэрийг язгуур тэмдгийн дор үлдээнэ. Бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг (ижил язгуурын коэффициентийг нэмнэ).

Бид виразийн үндсийг хамгийн жижиг суурь руу хөтөлдөг эсвэл хамгийн жижиг суурьтай алхмуудыг нэмнэ. Виразын үндэс дор уурын алхмуудаас үндсийг нь авч, 1-р индикатор бүхий алхамын суурь дахь илүүдэл буюу ийм суурийн нэмэлтийг үндэс тэмдгийн дор дүүргэнэ. Бид ижил төстэй нэр томъёог санал болгож байна (бид ижил язгуурын коэффициентийг нэмнэ).

Бутархайн хуваагдлыг үржүүлэх замаар (хоёр дахь бутархайг харилцан адилаар сольж) орлуулъя. Тоолуур ба хуваагчийг тусад нь үржүүлнэ. Үндэсний тэмдэг бүрийн доор бид градусыг тодруулна. Тоолуур ба хуваагч дахь ижил хүчин зүйлсийг цуцалъя. Бид тэгш эрх мэдлээс үндсийг гаргаж авдаг.

Бид бутархайн хуваагдлыг үржүүлэх замаар (өөр бутархайг буцаах замаар орлуулах) орлуулдаг. Окремо тоо болон бутархайн баннеруудыг үржүүлэх. Үндэсний арьсны шинж тэмдгийн дор алхамууд харагдана. Бид тооны дэвтэр, туг дээрх ижил үржүүлэгчийг хурдасгах болно. Ихэр алхамын үндсийг буруутгах.

Хоёр квадрат язгуурыг харьцуулах, тэдгээрийн радикал илэрхийлэл нь ижил суурьтай градус хүртэл буурах ёстой, дараа нь радикал илэрхийллийн градусыг харуулах тусам квадрат язгуурын утга их байх болно.

Энэ жишээнд радикал илэрхийллүүдийг нэг суурь болгон бууруулж болохгүй, учир нь суурь нь эхнийх нь 3, хоёрдугаарт 3 ба 7 байна.

Харьцуулах хоёр дахь арга бол радикал илэрхийлэлд язгуурын коэффициентийг оруулж, радикал илэрхийллийн тоон утгыг харьцуулах явдал юм. Квадрат язгуурын хувьд язгуур илэрхийлэл том байх тусмаа язгуурын утга их байна.

Хоёр квадрат үндэсийг тааруулахын тулд, тэдгээрийн дэд үндсийг ижил суурьтай түвшинд хүргэх ёстой бөгөөд вирусын дэд язгуурын зэрэглэлийн үзүүлэлт их байх тусам квадрат язгуурын утга их байх болно.

Энэ тохиолдолд виразийн үндэс үндсийг нэг үндэс болгон авчрах боломжгүй, учир нь эхнийх нь үндэс нь 3, нөгөөд нь 3 ба 7 байна.

Тэнцвэржүүлэх өөр нэг арга бол язгуур вирусын үндэс коэффициентийг нэмж, эх вирусын тоон утгыг тэнцүүлэх явдал юм. Дөрвөлжин язгуур нь илүү дэд язгуур виразтай байх тусам үндэс нь илүү их утгатай байдаг.

Үржүүлэхийн тархалтын хууль ба үндсийг ижил илтгэгчтэй (манай тохиолдолд квадрат язгуур) үржүүлэх дүрмийг ашиглан бид язгуур тэмдгийн доорх үржвэртэй хоёр квадрат язгуурын нийлбэрийг олж авлаа. Бид 91-ийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалж, нийтлэг радикал хүчин зүйл бүхий хаалтны үндсийг (13 * 5) гаргаж авдаг.

Бид мономиалуудын аль нэг нь бүхэл тоо (1) байх үндэс ба хоёр гишүүний үржвэрийг олж авлаа.

Vikoristovuyuchi rozpodilny үржүүлгийн хууль ба ижил үзүүлэлт бүхий үндсийг үржүүлэх дүрэм (манай тохиолдолд - дөрвөлжин үндэс), үндэсийн нэмэлт тэмдэг бүхий хоёр квадрат язгуурын нийлбэрийг авсан. Бид 91 үржүүлэгчийг энгийн үгээр илэрхийлж, үндэс үржүүлэгчээс (13 * 5) аркуудын үндсийг авч болно.

Бид бүхэл тоонд монономын аль нэгийг агуулсан язгуур болон хоёртын тоог нэмсэн.

Жишээ 9:

Радикал илэрхийлэлд бид бүхэл язгуурыг гаргаж авах тоог хүчин зүйлээр сонгоно. Бид дөрвөлжин язгуурыг хүчнээс гаргаж аваад тоонуудыг квадрат язгуурын коэффициентээр тавьдаг.

Энэ олон гишүүнтийн нөхцлүүд нь √3 нийтлэг хүчин зүйлтэй бөгөөд үүнийг хаалтнаас гаргаж болно. Үүнтэй төстэй нэр томъёог танилцуулъя.

Дэд язгуур вирусын хувьд энэ нь тоог үржүүлэгч гэж үздэг бөгөөд үүнээс квадрат язгуурыг авч болно. Бид алхамуудын квадрат язгуурыг буруутгаж, тоонуудыг квадрат язгуурын коэффициентоор тавьдаг.

Энэ олон гишүүнтийн нөхцлүүд нь нийтлэг үржүүлэгч √3-тэй бөгөөд үүнийг зэвсгээр буруутгаж болно. Бид ижил төстэй нэмэлтүүдийг санал болгож байна.

Хоёрын нийлбэр ба зөрүүний үржвэр ижил суурь(3 ба √5) үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан суурийн квадратуудын зөрүүгээр бичиж болно.

Квадрат язгуурын квадрат нь радикал илэрхийлэлтэй үргэлж тэнцүү байдаг тул бид илэрхийлэл дэх радикал (язгуур тэмдэг) -ээс салах болно.

Хурдан үржүүлэх томъёоноос ижил хоёр суурийн (3 і √5) нийлбэр ба зөрүүг квадрат суурийн зөрүү гэж бичиж болно.

Квадрат zavzhd-ийн квадрат язгуур нь дэд үндэс виразтай тэнцүү тул бид виразын радикал (үндэс тэмдэг) гэж нэрлэх болно.

Сургуульруу буцах. Үндэс нэмэх

Өнөө үед орчин үеийн электрон компьютеруудтооны язгуурын тооцоог төлөөлдөггүй сорилттой даалгавар. Жишээ нь, √2704=52, ямар ч тооны машин танд үүнийг тооцоолох болно. Аз болоход тооцоолуур нь зөвхөн Windows-д төдийгүй энгийн, бүр хамгийн энгийн утсанд байдаг. Үнэн, хэрэв та гэнэт (бага зэрэг магадлалтай, дашрамд хэлэхэд үндэс нэмэхийг багтаасан) танд бэлэн мөнгө байхгүй бол харамсалтай нь та зөвхөн тархинд найдах хэрэгтэй болно.

Оюун ухааны сургалт хэзээ ч бүтэлгүйтдэг. Ялангуяа тоогоор байнга ажилладаггүй, бүр үндэстэй ажилладаг хүмүүст. Үндэс нэмэх, хасах нь уйтгартай оюун ухаанд зориулсан сайн дасгал юм. Мөн би танд үндэс нэмэхийг алхам алхмаар харуулах болно. Илэрхийллийн жишээ нь дараах байж болно.

Хялбаршуулсан тэгшитгэл нь:

Энэ бол үндэслэлгүй илэрхийлэл юм. Үүнийг хялбарчлахын тулд та бүх радикал илэрхийллийг багасгах хэрэгтэй ерөнхий үзэл. Бид үүнийг үе шаттайгаар хийдэг:

Эхний тоог цаашид хялбарчилж болохгүй. Хоёр дахь улирал руугаа орцгооё.

3√48-д бид 48-ыг үржвэрлэнэ: 48=2×24 эсвэл 48=3×16. Квадрат язгуур 24-өөс бүхэл тоо биш, өөрөөр хэлбэл. бутархай үлдэгдэлтэй байна. Бидэнд яг тодорхой утга хэрэгтэй тул ойролцоо үндэс нь бидэнд тохирохгүй. 16-ын квадрат язгуур нь 4, язгуур тэмдгийн доороос гарга. Бид авна: 3×4×√3=12×√3

Бидний дараагийн илэрхийлэл нь сөрөг, өөрөөр хэлбэл. хасах тэмдгээр бичсэн -4×√(27.) Факторинг 27. Бид 27=3×9-ийг авна. Бид бутархай хүчин зүйлийг ашигладаггүй, учир нь бутархайгаас квадрат язгуурыг тооцоолоход илүү хэцүү байдаг. Бид тэмдгийн доороос 9-ийг гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл. квадрат язгуурыг тооцоол. Бид дараах илэрхийллийг авна: -4×3×√3 = -12×√3

Дараагийн гишүүн √128 нь үндэс доороос гаргаж болох хэсгийг тооцоолно. 128=64×2 энд √64=8. Хэрэв энэ нь танд илүү хялбар бол та энэ илэрхийллийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: √128=√(8^2×2)

Бид хялбаршуулсан нэр томъёогоор илэрхийллийг дахин бичдэг.

Одоо бид ижил радикал илэрхийлэлтэй тоонуудыг нэмнэ. Та өөр өөр радикал илэрхийлэлтэй илэрхийлэл нэмэх, хасах боломжгүй. Үндэс нэмэх нь энэ дүрмийг дагаж мөрдөхийг шаарддаг.

Бид дараах хариултыг авна.

√2=1×√2 - Алгебрт ийм элементүүдийг орхигдуулдаг заншил танд мэдээ биш байх гэж найдаж байна.

Илэрхийллийг зөвхөн дөрвөлжин язгуураар биш харин куб эсвэл n-р язгуураар илэрхийлж болно.

Янз бүрийн илтгэгчтэй, гэхдээ ижил язгуур илэрхийлэлтэй үндсийг нэмэх, хасах нь дараах байдлаар явагдана.

Хэрэв бидэнд √a+∛b+∜b шиг илэрхийлэл байвал бид энэ илэрхийллийг дараах байдлаар хялбарчилж болно.

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Бид ижил төстэй хоёр гишүүнийг язгуурын нийтлэг илтгэгч болгон бууруулсан. Энд язгуурын шинж чанарыг ашигласан бөгөөд үүнд: хэрэв радикал илэрхийллийн зэрэг болон язгуур экспонентийн тоог ижил тоогоор үржүүлбэл түүний тооцоо өөрчлөгдөхгүй хэвээр үлдэнэ.

Жич: илтгэгчийг зөвхөн үржүүлэх үед нэмнэ.

Илэрхийлэлд бутархай байдаг жишээг авч үзье.

Үүнийг алхам алхмаар шийдье:

5√8=5*2√2 - бид олборлосон хэсгийг үндэснээс нь гаргаж авдаг.

Хэрэв язгуурын биеийг бутархайгаар төлөөлдөг бол ногдол ашиг ба хуваагчийн квадрат язгуурыг авбал ихэнхдээ энэ бутархай өөрчлөгдөхгүй. Үүний үр дүнд бид дээр дурдсан тэгш байдлыг олж авлаа.

Хариулт нь энд байна.

Санаж байх ёстой гол зүйл бол тэгш илтгэгчтэй язгуурыг сөрөг тооноос гаргаж авдаггүй. Хэрэв тэгш градусын радикал илэрхийлэл сөрөг байвал илэрхийлэл нь шийдэгдэх боломжгүй болно.

Үндэс нэмэх нь зөвхөн радикал илэрхийллүүд нь ижил төстэй нэр томъёо тул давхцаж байгаа тохиолдолд л боломжтой юм. Энэ нь ялгааны хувьд мөн адил хамаарна.

Янз бүрийн тоон илтгэгчтэй язгуур нэмэх нь хоёр гишүүний аль алиныг нийтлэг язгуур зэрэг болгон бууруулж гүйцэтгэнэ. Энэ хууль нь бутархайг нэмэх, хасах үед нийтлэг хуваагч руу бууруулахтай адил үйлчилдэг.

Хэрэв радикал илэрхийлэл нь нэг зэрэглэлд хүрсэн тоог агуулж байвал язгуур болон илтгэгчийн хооронд нийтлэг хуваагч байгаа тохиолдолд энэ илэрхийллийг хялбарчилж болно.

Бүтээгдэхүүний квадрат язгуур ба бутархай

a-ийн квадрат язгуур нь квадрат нь a гэсэн тоо юм. Жишээлбэл, -5 ба 5 тоонууд нь 25 тооны квадрат язгуур юм. Өөрөөр хэлбэл, x^2=25 тэгшитгэлийн язгуур нь 25 тооны квадрат язгуур юм. квадрат язгуурын үйл ажиллагаа: түүний үндсэн шинж чанарыг судлах.

Бүтээгдэхүүний квадрат язгуур

√(a*b)=√a*√b

Хоёр сөрөг бус тооны үржвэрийн квадрат язгуур, бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаэдгээр тоонуудын квадрат язгуурууд. Жишээлбэл, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Энэ шинж чанар нь радикал илэрхийлэл нь гурав, дөрөв гэх мэт үржвэр болох тохиолдолд хамаарна гэдгийг ойлгох нь чухал юм. сөрөг бус үржүүлэгч.

Заримдаа энэ өмчийн өөр нэг томъёолол байдаг. Хэрэв a ба b нь сөрөг бус тоо бол дараах тэгшитгэл биелнэ: √(a*b) =√a*√b. Тэдгээрийн хооронд огт ялгаа байхгүй, та аль нэгийг нь эсвэл өөр үг хэллэгийг ашиглаж болно (аль нь санахад илүү тохиромжтой).

Бутархайн квадрат язгуур

Хэрэв a>=0 ба b>0 бол дараах тэгшитгэл үнэн болно.

√(a/b)=√a/√b.

Жишээлбэл, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Энэ өмч нь бас өөр томъёололтой, миний бодлоор санахад илүү тохиромжтой.
Квадрат язгуур нь язгуурын квиенттэй тэнцүү байна.

Эдгээр томъёо нь зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш ажилладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай бол бид үндэсийн бүтээгдэхүүнийг бүтээгдэхүүний үндэс болгон төлөөлж болно. Хоёрдахь үл хөдлөх хөрөнгийн хувьд ч мөн адил.

Таны харж байгаагаар эдгээр шинж чанарууд нь маш тохиромжтой бөгөөд би нэмэх, хасах үйлдэлд ижил шинж чанартай байхыг хүсч байна.

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Гэвч харамсалтай нь ийм шинж чанарууд нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг үндэсгүй, гэх мэт тооцоо хийх боломжгүй..

13. Замын уулзвараар жолоодох нь 2018 он. Онлайн сэтгэгдэлтэй 13.1. Жолооч баруун эсвэл зүүн тийш эргэхдээ түүний эргэж буй зорчих хэсгийг хөндлөн гарч буй явган зорчигч, дугуйчдад зам тавьж өгөх ёстой. Энэ заавар нь бүгдэд хамаарна […]
Эцэг эхийн хурал"Эцэг эхийн эрх, үүрэг, хариуцлага" Хичээлийн танилцуулга Илтгэл татаж авах (536.6 кБ) Анхаар! Урьдчилан үзэхСлайд нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд бүгдийг төлөөлөхгүй байж магадгүй [...]
Орел муж дахь бүс нутгийн амаржих газрын нийслэл Орел болон Орел муж дахь бүс нутгийн амаржих газар (MC) нь 2011 онд байгуулагдсан. Одоо энэ нь нийгмийн дэмжлэгийн нэмэлт арга хэмжээ юм. том гэр бүлнэг удаагийн бэлэн мөнгө хэлбэрээр [...]
2018 онд эрт бүртгүүлэхэд нэг удаагийн тэтгэмжийн хэмжээ Таны хүссэн хуудас олдсонгүй. Та хаягийг буруу оруулсан эсвэл хуудсыг устгасан байж магадгүй. Ашиглах […]
Эдийн засгийн асуудлаарх хуульч нь эдийн засгийн салбар дахь гэмт хэрэг нь нэлээд том ойлголт юм. Ийм үйлдэл нь залилан, хууль бус бизнес, мөнгө угаах, хууль бус банк [...]
Төв банкны хэвлэлийн алба Оросын Холбооны Улс(Оросын Банк) Хэвлэлийн алба 107016, Москва, ст. Неглинная, 12www.cbr.ru Түр захиргааг томилох тухай ОХУ-ын Банкны Гадаад болон олон нийттэй харилцах хэлтэс 2-р зүйлийн дагуу [...]
ерөнхий шинж чанарТэгээд богино тоймусан зам Усны сав газрын ангилал ОХУ-ын GIMS-ийн хяналтанд байдаг зугаа цэнгэлийн (жижиг) хөлөг онгоцыг жолоодох усны сав газрын ангилал нь [...]
Кучерена = Виктор Цойгийн өмгөөлөгч Мөн энэ бол онцгой зүйл: Анатолий Кучеренагийн өнөөдрийн захидал. Сэдвийн үргэлжлэлд. Одоогоор хэн ч энэ захидлыг нийтлээгүй байна. Тэгэх ёстой гэж би бодож байна. Одоогоор 1-р хэсэг. Удахгүй би нэрт хуульчийн гарын үсэгтэй хоёрдугаар хэсгийг нийтлэх болно. Яагаад чухал вэ? […]

Сайн уу муурнууд! Хамгийн сүүлд бид үндэс гэж юу болохыг нарийвчлан шинжилсэн (хэрэв та санахгүй байгаа бол уншихыг зөвлөж байна). Энэ хичээлийн гол дүгнэлт: Үндэс гэдэг бүх нийтийн нэг л тодорхойлолт байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй. Үлдсэн нь дэмий хоосон, дэмий цаг үрсэн хэрэг.

Өнөөдөр бид цаашаа явж байна. Бид үндсийг үржүүлж сурах болно, үржүүлэхтэй холбоотой зарим асуудлыг судалж үзэх болно (хэрэв эдгээр асуудлуудыг шийдэхгүй бол шалгалтанд үхэлд хүргэж болзошгүй), бид зөв дадлага хийх болно. Тиймээс попкорн нөөцөлж, тав тухтай байгаарай - тэгвэл бид эхэлнэ. :)

Та тамхи татаагүй байгаа биз дээ?

Хичээл нэлээд том болсон тул би үүнийг хоёр хэсэгт хуваасан.

Эхлээд бид үржүүлэх дүрмийг авч үзэх болно. Малгай нь сануулж байгаа юм шиг санагдаж байна: энэ нь хоёр үндэс байх үед тэдний хооронд "үржүүлэх" тэмдэг байдаг - бид үүнтэй ямар нэгэн зүйл хийхийг хүсч байна.
Дараа нь бид урвуу нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх болно: нэг том үндэс байгаа бөгөөд бид үүнийг хоёр язгуурын бүтээгдэхүүн гэж илүү энгийн байдлаар харуулахыг тэвчээргүй байсан. Энэ нь ямар айдастай байх ёстой вэ гэдэг нь тусдаа асуулт юм. Бид зөвхөн алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

2-р хэсэг рүү шууд орохыг тэсэн ядан хүлээж байгаа хүмүүст тавтай морилно уу. Үлдсэнийг нь дарааллаар нь эхэлцгээе.

Үржүүлэх үндсэн дүрэм

Хамгийн энгийн - сонгодог квадрат язгуураас эхэлье. $\sqrt(a)$ болон $\sqrt(b)$ гэж тэмдэглэсэн хүмүүс. Тэдний хувьд бүх зүйл ерөнхийдөө тодорхой байна:

үржүүлэх дүрэм. Нэг квадрат язгуурыг нөгөөгөөр үржүүлэхийн тулд та тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлж, үр дүнг нийтлэг радикалын доор бичих хэрэгтэй.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Баруун эсвэл зүүн талд байгаа тоонуудад нэмэлт хязгаарлалт тавьдаггүй: хэрэв үржүүлэгч үндэс байгаа бол бүтээгдэхүүн нь бас байдаг.

Жишээ. Тоотой дөрвөн жишээг нэг дор авч үзье.

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар энэ дүрмийн гол утга нь үндэслэлгүй илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Хэрэв эхний жишээн дээр бид 25 ба 4-ийн үндсийг ямар ч шинэ дүрэмгүйгээр гаргаж авсан бол цагаан тугалга эхэлнэ: $\sqrt(32)$ ба $\sqrt(2)$ нь өөрөө тоологдохгүй, харин Тэдний үржвэр нь яг дөрвөлжин болж хувирсан тул язгуур нь рационал тоотой тэнцүү байна.

Сүүлийн мөрийг тусад нь тэмдэглэхийг хүсч байна. Тэнд радикал илэрхийлэл хоёулаа бутархай байна. Бүтээгдэхүүний ачаар олон хүчин зүйл хүчингүй болж, бүх илэрхийлэл нь хангалттай тоо болж хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл үргэлж ийм сайхан байх болно. Заримдаа үндэс дор бүрэн новш байх болно - үүнийг юу хийх, үржүүлсний дараа хэрхэн хувиргах нь тодорхойгүй байна. Хэсэг хугацааны дараа иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг судалж эхлэхэд ерөнхийдөө бүх төрлийн хувьсагч, функцүүд байх болно. Ихэнх тохиолдолд асуудлыг хөрвүүлэгчид та гэрээний нөхцөл, хүчин зүйлийг олох болно гэдэгт найдаж байгаа бөгөөд үүний дараа даалгавар нь ихээхэн хялбарчлах болно.

Үүнээс гадна яг хоёр үндсийг үржүүлэх шаардлагагүй. Та гурвыг нэг дор үржүүлж болно, дөрөв - тийм ээ, бүр арав! Энэ нь дүрмийг өөрчлөхгүй. Энийг хар даа:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бас дахин жижиг тэмдэглэлхоёр дахь жишээний дагуу. Таны харж байгаагаар гурав дахь үржүүлэгчид үндэс дор аравтын бутархай байдаг - тооцооллын явцад бид үүнийг ердийн нэгээр сольж, дараа нь бүх зүйл амархан буурдаг. Тиймээс: Би ямар ч иррационал илэрхийлэл дэх аравтын бутархайг арилгахыг зөвлөж байна (өөрөөр хэлбэл дор хаяж нэг радикал дүрс агуулсан). Энэ нь ирээдүйд маш их цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэх болно.

Гэхдээ энэ нь уянгын хазайлт байсан. Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - язгуур экспонент нь зөвхөн "сонгодог" хоёр биш, дурын тооны $n$ агуулсан байх үед.

Дурын индикаторын тохиолдол

Тиймээс бид квадрат язгуурыг олж мэдсэн. Мөн шоогаар юу хийх вэ? Эсвэл ерөнхийдөө $n$ дурын зэрэгтэй үндэстэй юу? Тийм ээ, бүх зүйл адилхан. Дүрэм ижил хэвээр байна:

$n$ зэрэгтэй хоёр үндэсийг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлэхэд хангалттай бөгөөд үүний дараа үр дүнг нэг радикал дор бичнэ.

Ерөнхийдөө ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Тооцооллын хэмжээ илүү байж болохгүй л бол. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолох:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь илэрхийлэлд дахин анхаарлаа хандуулаарай. Бид шоо үндсийг үржүүлж, аравтын бутархайн бутархайгаас салж, үр дүнд нь хуваагч дахь 625 ба 25 тоонуудын үржвэрийг олж авдаг. Энэ бол нэлээд том тоо - би хувьдаа энэ нь ямар тэнцүү болохыг шууд тооцоолохгүй. руу.

Тиймээс бид зүгээр л тоологч ба хуваагч дахь яг кубыг сонгоод, дараа нь $n $-р зэргийн язгуурын үндсэн шинж чанаруудын аль нэгийг (эсвэл та хүсвэл тодорхойлолтыг) ашигласан:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Ийм "хууран мэхлэлт" нь шалгалтанд орох эсвэл маш их цагийг хэмнэх болно хяналтын ажилТиймээс санаарай:

Радикал илэрхийлэл дэх тоог үржүүлэх гэж бүү яар. Нэгдүгээрт, шалгана уу: хэрэв ямар нэгэн илэрхийллийн яг зэрэг нь "шифрлэгдсэн" байвал яах вэ?

Энэ тайлбарын бүх тодорхой байдлыг харгалзан би ихэнх бэлтгэлгүй оюутнууд тодорхой зэрэглэлийг олж хардаггүй гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Үүний оронд тэд бүх зүйлийг үржүүлж, дараа нь гайхдаг: тэд яагаад ийм харгис хэрцгий тоо авсан бэ? :)

Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн бидний одоо судлах зүйлтэй харьцуулахад хүүхдийн тоглоом юм.

Янз бүрийн илтгэгчтэй үндсийг үржүүлэх

За, одоо бид ижил илтгэгчтэй үндсийг үржүүлж болно. Оноо өөр байвал яах вэ? Энгийн $\sqrt(2)$-г $\sqrt(23)$ гэх мэт тэнэглэлээр яаж үржүүлэх вэ гэж хэлээрэй? Бүр үүнийг хийх боломжтой юу?

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та чадна. Бүх зүйл энэ томъёоны дагуу хийгддэг:

Үндэс үржүүлэх дүрэм. $\sqrt[n](a)$-г $\sqrt[p](b)$-р үржүүлэхийн тулд дараах хувиргалтыг хийхэд хангалттай.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо нь зөвхөн тохиолдолд л ажилладаг радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш юм. Энэ бол маш чухал тэмдэглэл бөгөөд бид хэсэг хугацааны дараа эргэн ирэх болно.

Одоохондоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Одоо сөрөг бус байх шаардлага хаанаас ирсэн, зөрчвөл юу болохыг олж мэдье. :)

Үндэсийг үржүүлэхэд хялбар байдаг.

Радикал илэрхийлэл яагаад сөрөг биш байх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, та ийм байж болно сургуулийн багш нарсурах бичгээс ухаалаг иш татаарай:

Сөрөг бус байдлын шаардлага нь тэгш ба сондгой зэрэглэлийн язгуурын янз бүрийн тодорхойлолттой холбоотой байдаг (тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ өөр өөр байдаг).

За, илүү тодорхой болсон уу? Би хувьдаа 8-р ангид байхдаа энэ утгагүй зүйлийг уншаад "Сөрөг биш байх шаардлага нь *#&^@(*#@^#)~% -тай холбоотой" - товчхондоо би өөртөө ийм зүйлийг ойлгосон. Тэр үед юу ч ойлгоогүй. :)

Тиймээс одоо би бүх зүйлийг ердийн байдлаар тайлбарлах болно.

Эхлээд дээрх үржүүлэх томъёо хаанаас гарсныг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд язгуурын нэг чухал шинж чанарыг танд сануулъя.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Өөрөөр хэлбэл, бид язгуур илэрхийллийг ямар ч байгалийн хүчин чадалтай $k$-д найдвартай өсгөж чадна - энэ тохиолдолд үндсэн индексийг ижил хүчээр үржүүлэх шаардлагатай болно. Тиймээс бид ямар ч үндсийг энгийн үзүүлэлт болгон хялбархан бууруулж, дараа нь үржүүлдэг. Үржүүлэх томъёо эндээс гардаг:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэхдээ эдгээр бүх томъёоны хэрэглээг эрс хязгаарласан нэг асуудал бий. Энэ тоог анхаарч үзээрэй:

Сая өгсөн томъёоны дагуу бид ямар ч зэрэг нэмж болно. $k=2$-г нэмж үзье:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\зүүн(-5 \баруун))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Квадрат нь хасахыг (бусад тэгш хэмтэй адил) шатаадаг тул бид хасахыг нарийн арилгасан. Одоо урвуу хувиргалтыг хийцгээе: экспонент болон зэрэгт хоёрыг "багасгах". Эцсийн эцэст аливаа тэгш байдлыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш уншиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Баруун сум \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Баруун сум \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэвч дараа нь ямар нэгэн галзуу зүйл тохиолдоно:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Энэ нь байж болохгүй, учир нь $\sqrt(-5) \lt 0$ болон $\sqrt(5) \gt 0$. Энэ нь тэгш ба сөрөг тоонуудын хувьд бидний томъёо ажиллахаа больсон гэсэн үг юм. Үүний дараа бидэнд хоёр сонголт байна:

Математик бол "зарим дүрэм байдаг, гэхдээ энэ нь буруу" гэж тэнэг шинжлэх ухаан гэж хэлэхийн тулд хананы эсрэг тэмцэх;
Томъёо 100% ажиллах боломжтой нэмэлт хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлэх.

Эхний хувилбарт бид "ажилгүй" тохиолдлыг байнга барьж байх шаардлагатай болно - энэ нь хэцүү, урт бөгөөд ерөнхийдөө фу юм. Тиймээс математикчид хоёр дахь сонголтыг илүүд үзсэн. :)

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй! Практикт энэ хязгаарлалт нь тооцоололд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй, учир нь тайлбарласан бүх асуудал нь зөвхөн сондгой түвшний үндэстэй холбоотой бөгөөд тэдгээрээс хасах боломжтой.

Тиймээс бид үндэстэй бүх үйлдэлд ерөнхийд нь хамаарах өөр нэг дүрмийг томъёолж байна.

Үндэсийг үржүүлэхийн өмнө радикал илэрхийллүүд нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай.

Жишээ. $\sqrt(-5)$ тоон дээр та үндсэн тэмдгийн доороос хасахыг гаргаж болно - тэгвэл бүх зүйл сайхан болно:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Баруун сум \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(зохицуулах)\]

Ялгааг мэдэрч байна уу? Хэрэв та язгуурын доор хасах тэмдэг үлдээвэл радикал илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал энэ нь алга болж, новш эхэлнэ. Хэрэв та эхлээд хасахыг гаргавал нүүрээ хөхрөх хүртэл квадратыг өсгөж / арилгаж болно - тоо сөрөг хэвээр байх болно. :)

Тиймээс үндсийг үржүүлэх хамгийн зөв бөгөөд найдвартай арга бол дараах байдалтай байна.

Радикалуудын доор байгаа бүх сул талыг арилгана. Хасах нь зөвхөн сондгой үржвэрийн үндэст байдаг - тэдгээрийг үндэсийн урд байрлуулж, шаардлагатай бол багасгаж болно (жишээлбэл, эдгээр хасах хоёр нь байвал).
Өнөөдрийн хичээл дээр дээр дурдсан дүрмийн дагуу үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв язгуурын индексүүд ижил байвал язгуур илэрхийлэлүүдийг үржүүлээрэй. Хэрэв тэдгээр нь өөр бол бид \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) муу томьёог ашигладаг. ^(n) ))\].
3. Үр дүн, сайн дүн нь бидэнд таалагдаж байна. :)

За? Бид бэлтгэл хийх үү?

Жишээ 1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \баруун)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол хамгийн энгийн сонголт юм: үндэсийн үзүүлэлтүүд нь ижил, сондгой, асуудал нь зөвхөн хоёр дахь үржүүлэгчийн хасах хэсэгт л байна. Бид энэ хасах nafig-ийг тэвчиж, дараа нь бүх зүйлийг амархан авч үздэг.

Жишээ 2. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))) \sqrt(((\left(((2)^(5)) \баруун))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \баруун))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( тэгшлэх)\]

Энд гаралт нь иррационал тоо болж хувирсан тул олон хүн төөрөлдөх болно. Тиймээ, ийм зүйл тохиолддог: бид үндсийг нь бүрэн арилгаж чадаагүй ч ядаж бид илэрхийлэлийг ихээхэн хялбаршуулсан.

Жишээ 3. Илэрхийллийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \баруун))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Үүнд би та бүхний анхаарлыг хандуулахыг хүсч байна. Энд хоёр цэг байна:

Үндэс дор тодорхой тоо, зэрэг биш, харин $a$ хувьсагч байна. Эхлээд харахад энэ нь ер бусын боловч бодит байдал дээр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувьсагчтай ажиллах шаардлагатай болдог.
Эцэст нь бид радикал илэрхийлэл дэх язгуур экспонент болон зэрэглэлийг "багасгаж" чадсан. Энэ нь нэлээд олон удаа тохиолддог. Энэ нь хэрэв та үндсэн томъёог ашиглахгүй бол тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулах боломжтой гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, та үүнийг хийж болно:

\[\begin(a) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \баруун))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэн хэрэгтээ бүх өөрчлөлтийг зөвхөн хоёр дахь радикалаар хийсэн. Хэрэв та бүх завсрын алхамуудыг нарийвчлан зураагүй бол эцэст нь тооцооллын хэмжээ мэдэгдэхүйц буурах болно.

Үнэн хэрэгтээ, бид $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ жишээг шийдвэрлэх үед дээрх ижил төстэй даалгавартай тулгарсан. Одоо үүнийг илүү хялбар бичиж болно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \баруун))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \баруун))^(2))) =\sqrt(75). \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, бид үндсийг үржүүлэхийг олж мэдсэн. Одоо урвуу үйлдлийг авч үзье: үндэс дор ажил байгаа үед юу хийх вэ?

Та нарийн төвөгтэй тооцоолол хийх хэрэгтэй, гэхдээ электрон тооцоолох төхөөрөмж байхгүй байсан уу? Онлайн үндсэн тооцоолуур ашиглана уу. Тэр туслах болно:

өгөгдсөн тооны квадрат эсвэл шоо язгуурыг олох;
бутархай хүчээр математикийн үйлдлийг гүйцэтгэх.

Аравтын орны тоо:

√

Квадрат язгуурыг гараар хэрхэн тооцоолох вэ - тохирох утгыг олохын тулд сонгох аргыг ашиглана уу. Үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Квадрат язгуур гэж юу вэ

Үндэс nградус натурал тоо а- тоо, nзэрэг нь тэнцүү байна а(радикал тоо). Үндэсийг √ тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тэд түүнийг радикал гэж нэрлэдэг.

Математикийн үйлдэл бүр хариу үйлдэлтэй байдаг: нэмэх → хасах, үржүүлэх → хуваах, нэмэгдүүлэх → үндсийг задлах.

Тооны квадрат язгуур аквадрат нь тэнцүү тоо байх болно а. Үүнээс тоон язгуурыг хэрхэн тооцоолох вэ гэсэн асуултын хариулт гарч ирнэ. Та хоёр дахь зэрэглэлд үндэс дор байгаа утгатай тэнцүү тоог сонгох хэрэгтэй.

Ихэвчлэн 2-ыг үндсэн тэмдгийн дээр бичдэггүй. Энэ нь хамгийн бага хүч бөгөөд үүний дагуу хэрэв тоо байхгүй бол 2-р үзүүлэлтийг илэрхийлнэ.Бид шийднэ: 16-ийн квадрат язгуурыг тооцоолохын тулд та хоёр дахь зэрэглэлд хүргэх тоог олох хэрэгтэй. , 16 гарч ирнэ.

Бид тооцоог гараар хийдэг

Анхны хүчин зүйлүүдэд хуваах тооцоог аль язгуур тооноос хамааран хоёр аргаар гүйцэтгэнэ.

1. Квадрат хүчин зүйлд тооцож тодорхой хариултыг авах боломжтой бүхэл тоо.

Квадрат тоонууд нь үлдэгдэлгүйгээр үндэслэж болох тоо юм. Хүчин зүйл нь үржүүлснээр анхны тоог өгдөг тоо юм.

Жишээлбэл:

25, 36, 49 нь квадрат тоонууд учир нь:

Эндээс харахад квадрат хүчин зүйлүүд нь квадрат тоо болох хүчин зүйлүүд юм.

784-ийг аваад үндсийг нь гаргаж авъя.

Бид тоог квадрат хүчин зүйл болгон задалдаг. 784 тоо нь 4-ийн үржвэр тул эхнийх нь квадрат хүчин зүйл- 4 x 4 \u003d 16. 784-ийг 16-д хувааж, 49-ийг аваарай - энэ нь мөн 7 x 7 \u003d 16 квадрат тоо юм.

Дүрмийг хэрэгжүүл

Бид квадрат хүчин зүйл бүрийн үндсийг авч, үр дүнг үржүүлж, хариултыг авна.

Хариулт.

2. хуваагдашгүй. Үүнийг квадрат хүчин зүйл болгон задлах боломжгүй.

Ийм жишээнүүд бүхэл тооноос илүү түгээмэл байдаг. Тэдний шийдэл нь яг тодорхой биш, өөрөөр хэлбэл бүхэл бүтэн байх болно. Энэ нь бутархай, ойролцоо байх болно. Даалгаврыг хялбарчлахын тулд язгуур тоог квадрат хүчин зүйл болон язгуурыг гаргаж авах боломжгүй тоо болгон өргөжүүлэх нь тусална.

Бид 252 тоог квадрат ба ердийн хүчин зүйл болгон задалдаг.
Бид язгуурын үнэ цэнийг үнэлдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид дижитал захирагч дахь радикал тооны урд ба ард байрлах хоёр квадрат тоог сонгоно.	Үндэс тоо нь 7. Тэгэхээр хамгийн ойрын том квадрат тоо нь 8, жижиг нь 4 болно. 2-оос 4-ийн хооронд.
Үнэ цэнийг үнэлэх	√7 нь 2-той ойр байх магадлалтай. Энэ тоог өөрөө үржүүлэхэд бид 7-г авахаар сонгосон. 2.7 x 2.7 = 7.2. Тохиромжгүй, 7.2>7 тул бид жижиг 2.6 x 2.6 = 6.76-г авна. Бид явлаа, учир нь 6.76 ~ 7.
Үндэсийг тооцоол

Комплекс тооны язгуурыг хэрхэн тооцоолох вэ? Мөн язгуурын утгыг тооцоолох аргаар.

Баганад хуваахдаа үндсийг задлах үед хамгийн зөв хариултыг авдаг.

Нэг хуудас цаас аваад босоо шугам нь дунд, хэвтээ шугам нь баруун талд, эхлэлийн доор байхаар зур.
Үндсэн тоог хос тоо болгон хуваа. Аравтын тоодараах байдлаар хуваана: - баруунаас зүүн тийш бүхэл хэсэг; зүүнээс баруун тийш аравтын бутархайн дараах тоо юм.	Жишээ: 3459842.825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Эхэндээ хосгүй дугаар байхыг зөвшөөрнө.
Эхний тоог (эсвэл хос) бид сонгоно хамгийн том тоо n. Түүний квадрат нь эхний тооны (хос тооны) утгаас бага буюу тэнцүү байх ёстой. Энэ тооны үндсийг ав - √n. Хүлээн авсан үр дүнг баруун дээд буланд, энэ тооны квадратыг баруун доод талд бичнэ үү. Бидэнд эхний 7 байна. Хамгийн ойр квадрат тоо нь 4. 7-оос бага, 4 =
Эхний тооноос (хос) n тооны олдсон квадратыг хасна. Үр дүнг 7-оос доош тэмдэглэнэ үү. Баруун талын дээд тоог хоёр дахин нэмээд баруун талд 4_х_=_ илэрхийллийг бич. Жич: Тоонууд нь ижил байх ёстой.
Бид зураас бүхий илэрхийллийн тоог сонгоно. Үүнийг хийхийн тулд үр дүн нь зүүн талд байгаа одоогийн тооноос их эсвэл тэнцүү байхаар тоог ол. Манай тохиолдолд 8 байна.
Баруун дээд буланд олдсон дугаарыг бичнэ үү. Энэ нь хүссэн үндэснээс хоёр дахь тоо юм. Дараагийн хос тоог нурааж, зүүн талд үүссэн зөрүүний хажууд бичнэ үү.
Баруун талд байгаа бүтээгдэхүүнийг зүүн талд байгаа тооноос хас. Бид баруун дээд талд байрлах тоог хоёр дахин нэмэгдүүлж, зураасаар илэрхийллийг бичнэ.
Үүссэн зөрүүнд бид хэд хэдэн тоог буулгана. Хэрэв эдгээр нь бутархай хэсгийн тоонууд, өөрөөр хэлбэл таслалын ард байрладаг бол бид хүссэн квадрат язгуурын сүүлчийн оронтой ойролцоо баруун дээд буланд таслал тавина. Бид баруун талд байгаа илэрхийлэлд зураасыг бөглөж, үр дүн нь зүүн талын илэрхийллийн зөрүүгээс бага буюу тэнцүү байхаар тоог сонгоно.
Хэрэв танд илүү олон аравтын орон хэрэгтэй бол зүүн талд байгаа одоогийн цифрийн ойролцоо нэмээд алхмуудыг давтана уу: зүүнээс хасах, баруун дээд буланд тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэх, зураасаар илэрхийлэл бичих, түүнд хамаарах хүчин зүйлийг сонгох гэх мэт.

Та ийм тооцоололд хэр их цаг зарцуулна гэж бодож байна вэ? Хэцүү, урт, будлиантай. Тэгвэл яагаад өөртөө хялбар болгож болохгүй гэж? Манай програмыг ашиглан хурдан бөгөөд үнэн зөв тооцоолол хийхэд тусална.

Үйлдлийн алгоритм

1. Аравтын бутархайн хүссэн тоог оруулна.

2. Үндэсний зэрэглэлийг (2-оос их бол) зааж өгнө.

3. Үндэс гаргаж авахаар төлөвлөж буй дугаараа оруулна уу.

4. "Шийдвэрлэх" товчийг дарна уу.

Хамгийн төвөгтэй математик үйлдлүүдийг тооцоол онлайн тооцоолуурэнгийн болж байна!

Үндэс томъёо. квадрат язгуурын шинж чанарууд.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Хүчтэй "маш их биш ..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Үндэс томьёо, үндэс шинж чанар, үндэстэй үйлдлийн дүрэм- энэ нь үндсэндээ ижил зүйл юм. Квадрат язгуурын хувьд гайхалтай цөөн тооны томъёо байдаг. Энэ нь мэдээж таалагдах болно! Үүний оронд та олон төрлийн томъёо бичиж болно, гэхдээ үндэстэй практик, итгэлтэй ажиллахад ердөө гурав нь л хангалттай. Бусад бүх зүйл энэ гурваас урсдаг. Хэдийгээр олон хүн язгуурын гурван томъёонд төөрөлддөг ч тийм ээ ...