Ердийн пирамидын талбайг ол. Пирамидын хажуугийн гадаргууг хэрхэн олох вэ

суурь нь дурын олон өнцөгт хэлбэртэй, хажуугийн нүүрийг гурвалжингаар дүрсэлсэн дүрс юм. Тэдний оройнууд нь нэг цэг дээр байрладаг бөгөөд пирамидын оройтой тохирч байна.

Пирамид нь янз бүр байж болно - гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт гэх мэт. Суурьтай зэргэлдээх булангийн тооноос хамааран түүний нэрийг тодорхойлж болно.
Зөв пирамидсуурийн талууд, өнцөг, ирмэгүүд нь тэнцүү байх пирамид гэж нэрлэдэг. Мөн ийм пирамид дээр хажуугийн нүүрний талбай тэнцүү байх болно.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёо нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Өөрөөр хэлбэл, дурын пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд гурвалжин бүрийн талбайг олж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй. Хэрэв пирамид нь таслагдсан бол түүний нүүрийг трапец хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Учир нь ердийн пирамидөөр нэг томъёо байдаг. Үүн дээр хажуугийн гадаргуугийн талбайг суурийн хагас периметр ба апотемийн уртаар тооцоолно.

Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.
Зөвийг нь өгье дөрвөлжин пирамид. Суурийн тал б= 6 см, үг хэллэг а= 8 см-ийн хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Эхлээд түүний периметрийг олъё:

Одоо бид пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолж болно.

олохын тулд бүрэн талбайолон талт, та түүний суурийн талбайг олох хэрэгтэй. Пирамидын суурийн талбайн томъёо нь суурь дээр аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас хамаарч өөр өөр байж болно. Үүнийг хийхийн тулд гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу. параллелограммын талбайгэх мэт.

Бидний нөхцөлөөр өгөгдсөн пирамидын суурийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Пирамид нь тогтмол байдаг тул түүний сууринд дөрвөлжин байдаг.
Дөрвөлжин талбайтомъёогоор тооцоолно: ,
a нь квадратын тал юм. Бидний хувьд энэ нь 6 см бөгөөд пирамидын суурийн талбай нь:

Одоо зөвхөн олон өнцөгтийн нийт талбайг олох л үлдлээ. Пирамидын талбайн томъёо нь түүний суурь ба хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ.

Пирамидын гадаргуугийн талбай. Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидуудтай холбоотой асуудлуудыг авч үзэх болно. Энгийн пирамид бол суурь нь ердийн олон өнцөгт пирамид бөгөөд пирамидын орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг гэдгийг сануулъя.

Ийм пирамидын хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.Ердийн пирамидын оройноос зурсан энэ гурвалжны өндрийг apothem, SF - apothem гэж нэрлэдэг:

Доор үзүүлсэн асуудлын төрлөөс та бүх пирамидын гадаргуугийн талбай эсвэл түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг олох хэрэгтэй. Блогт ердийн пирамидуудтай холбоотой хэд хэдэн асуудлыг аль хэдийн хэлэлцсэн бөгөөд асуулт нь элементүүдийг (өндөр, суурийн ирмэг, хажуугийн ирмэг) олох тухай байв.

IN Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварДүрмээр бол ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт пирамидуудыг авч үздэг. Би ердийн таван өнцөгт болон долоон өнцөгт пирамидуудтай холбоотой ямар ч асуудал олж хараагүй.

Бүх гадаргуугийн талбайн томъёо нь энгийн байдаг - та пирамидын суурийн талбай ба түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэрийг олох хэрэгтэй.

Даалгавруудыг авч үзье:

Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн хажуу тал нь 72, хажуугийн ирмэг нь 164. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбай нь хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

*Хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү талбайтай дөрвөн гурвалжингаас бүрдэнэ. Пирамидын суурь нь дөрвөлжин юм.

Бид пирамидын хажуугийн талбайг тооцоолж болно:

Тиймээс пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 28224

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 22, хажуугийн ирмэг нь 61-тэй тэнцүү байна. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн зургаан өнцөгт пирамидын суурь нь ердийн зургаан өнцөгт юм.

Энэхүү пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 61,61 ба 22 талуудтай тэнцүү гурвалжны зургаан хэсгээс бүрдэнэ.

Хэроны томъёог ашиглан гурвалжны талбайг олъё.

Тиймээс хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 3240

*Дээр дурдсан асуудлуудад хажуугийн нүүрний талбайг өөр гурвалжны томъёог ашиглан олж болох боловч үүний тулд та апотемийг тооцоолох хэрэгтэй.

27155. Суурийн талууд нь 6, өндөр нь 4 байх энгийн дөрвөлжин пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

Пирамидын гадаргуугийн талбайг олохын тулд бид суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуугийн талбайг мэдэх хэрэгтэй.

Суурийн талбай нь 6 талтай дөрвөлжин тул 36 байна.

Хажуугийн гадаргуу нь бүрдэнэ дөрвөн нүүр, эдгээр нь конгруент гурвалжин юм. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй (apothem):

*Гурвалжны талбай нь суурийн үржвэрийн тал ба энэ сууринд татсан өндөртэй тэнцүү байна.

Суурь нь мэдэгдэж байгаа, энэ нь зургаатай тэнцүү байна. Өндөрийг олъё. Ингээд авч үзье зөв гурвалжин(шар өнгөөр ​​тодруулсан):

Нэг хөл нь 4-тэй тэнцүү, учир нь энэ нь пирамидын өндөр, нөгөө нь суурийн ирмэгийн хагастай тэнцүү тул 3-тай тэнцүү байна. Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж болно.

Энэ нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

Тиймээс бүх пирамидын гадаргуугийн талбай нь:

Хариулт: 96

27069. Энгийн дөрвөлжин пирамидын суурийн талууд 10, хажуугийн ирмэг нь 13. Энэ пирамидын гадаргуугийн талбайг ол.

27070. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын суурийн талууд нь 10, хажуугийн ирмэг нь 13-тай тэнцүү. Энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо бас байдаг. Ердийн пирамидын хувьд суурь нь байдаг ортогональ проекцхажуугийн гадаргуу, тиймээс:

П- суурь периметр, л- пирамидын үг

*Энэ томьёо нь гурвалжны талбайн томъёонд үндэслэсэн болно.

Хэрэв та эдгээр томъёог хэрхэн гаргаж авсан талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсвэл үүнийг бүү алдаарай, нийтлэлийн нийтлэлийг дагана уу.Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!

Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.

P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.

Оюутнууд пирамид гэдэг ойлголттой геометрийг судлахаас нэлээд өмнө тулгардаг. Буруу нь дэлхийн алдартай Египетийн гайхамшгуудад оршдог. Тиймээс энэхүү гайхамшигт олон өнцөгтийг судалж эхлэхэд ихэнх оюутнууд үүнийг аль хэдийн тодорхой төсөөлдөг. Дээр дурдсан бүх үзвэрүүд зөв хэлбэртэй байдаг. Юу болов ердийн пирамид, мөн ямар шинж чанартай болон бид ярилцанацааш.

Тодорхойлолт

Пирамидын тухай маш олон тодорхойлолт байдаг. Эрт дээр үеэс энэ нь маш их алдартай байсан.

Жишээлбэл, Евклид үүнийг нэг цэгээс эхлээд тодорхой цэгт нийлдэг хавтгайнуудаас бүрдэх биеийн дүрс гэж тодорхойлсон.

Херон илүү нарийн томъёолол өгсөн. Энэ бол ийм тоо байна гэж тэр хэлэв бааз, онгоцтой гурвалжин хэлбэрээр, нэг цэгт нийлдэг.

Орчин үеийн тайлбар дээр үндэслэн пирамид нь тодорхой k-gon ба k-ээс бүрдсэн орон зайн олон өнцөгт хэлбэрээр дүрслэгдсэн байдаг. хавтгай дүрсүүднэг нийтлэг цэгтэй гурвалжин хэлбэртэй.

Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье, Энэ нь ямар элементүүдээс бүрддэг:

• k-gon нь зургийн үндэс гэж тооцогддог;
• 3 өнцөгт хэлбэрүүд нь хажуугийн хэсгийн ирмэгүүд шиг цухуйсан;
• хажуугийн элементүүд үүссэн дээд хэсгийг орой гэж нэрлэдэг;
• оройг холбосон бүх сегментийг ирмэг гэж нэрлэдэг;
• хэрэв шулуун шугамыг оройноос 90 градусын өнцгөөр зургийн хавтгайд буулгасан бол түүний дотоод орон зайд байгаа хэсэг нь пирамидын өндөр болно;
• Ямар ч хажуугийн элементэд апотем гэж нэрлэгддэг перпендикулярыг манай олон өнцөгтийн тал руу зурж болно.

Ирмэгийн тоог 2*k томьёог ашиглан тооцоолсон бөгөөд k нь k-gon-ийн талуудын тоо юм. Пирамид гэх мэт олон өнцөгт хэдэн нүүртэй болохыг k+1 илэрхийлэлээр тодорхойлж болно.

Чухал!Пирамид зөв хэлбэрСуурийн хавтгай нь тэнцүү талуудтай к-гон болох стереометрийн дүрс гэж нэрлэдэг.

Үндсэн шинж чанарууд

Зөв пирамид олон шинж чанартай,Энэ нь түүнд өвөрмөц юм. Тэднийг жагсаацгаая:

1. Үүний үндэс нь зөв хэлбэрийн дүрс юм.
2. Хажуугийн элементүүдийг хязгаарлах пирамидын ирмэгүүд нь тэнцүү тооны утгатай байна.
3. Хажуугийн элементүүд нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
4. Зургийн өндрийн суурь нь олон өнцөгтийн төвд унадаг бол энэ нь нэгэн зэрэг бичээстэй, хүрээлэгдсэн төв цэг юм.
5. Хажуугийн бүх хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
6. Хажуугийн бүх гадаргуу нь суурьтай харьцуулахад ижил налуу өнцөгтэй байна.

Бүртгэгдсэн бүх шинж чанаруудын ачаар элементийн тооцоог хийх нь илүү хялбар байдаг. Дээрх шинж чанарууд дээр үндэслэн бид анхаарлаа хандуулдаг хоёр тэмдэг:

1. Олон өнцөгт тойрогт багтах тохиолдолд хажуугийн нүүр нь суурьтай тэнцүү өнцөгтэй байна.
2. Олон өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэхдээ оройноос гарч буй пирамидын бүх ирмэгүүд нь суурьтай тэнцүү урттай, ижил өнцөгтэй байна.

Суурь нь дөрвөлжин юм

Ердийн дөрвөлжин пирамид - суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй олон өнцөгт.

Энэ нь дөрвөн хажуугийн нүүртэй бөгөөд тэдгээр нь гадаад төрхөөрөө адил тэгш өнцөгт юм.

Квадратыг хавтгай дээр дүрсэлсэн боловч ердийн дөрвөлжингийн бүх шинж чанарт суурилдаг.

Жишээлбэл, квадратын талыг диагональтай нь холбох шаардлагатай бол дараах томъёог ашиглана: диагональ нь квадратын тал ба хоёрын язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

Энэ нь ердийн гурвалжин дээр суурилдаг

Энгийн гурвалжин пирамид нь суурь нь ердийн 3 өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт юм.

Хэрэв суурь нь ердийн гурвалжин бөгөөд хажуугийн ирмэг нь суурийн ирмэгтэй тэнцүү байвал ийм зураг байна. тетраэдр гэж нэрлэдэг.

Тетраэдрийн бүх нүүр нь ижил талт 3 өнцөгт хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд та зарим зүйлийг мэдэж байх хэрэгтэй бөгөөд тооцоолохдоо цаг хугацаа алдахгүй байх хэрэгтэй.

• хавирганы аль ч сууринд налуу өнцөг нь 60 градус;
• бүх дотоод нүүрний хэмжээ нь 60 градус;
• ямар ч нүүр царай суурь болж чаддаг;
• , зураг дотор зурсан, эдгээр нь тэнцүү элементүүд юм.

Олон өнцөгтийн хэсгүүд

Ямар ч олон талт талбарт байдаг хэд хэдэн төрлийн хэсэгхавтгай. Ихэнхдээ ордог сургуулийн курсгеометрүүд хоёртой ажилладаг:

• тэнхлэгийн;
• суурьтай зэрэгцээ.

Полиэдроныг орой, хажуугийн ирмэг, тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайтай огтлолцох замаар тэнхлэгийн огтлолыг олж авна. Энэ тохиолдолд тэнхлэг нь оройноос татсан өндөр юм. Таслах хавтгай нь бүх нүүртэй огтлолцох шугамаар хязгаарлагдаж, гурвалжин үүснэ.

Анхаар!Ердийн пирамидын хувьд тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.

Хэрэв зүсэх онгоц нь суурьтай зэрэгцээ гүйж байвал үр дүн нь хоёр дахь сонголт юм. Энэ тохиолдолд бид суурьтай төстэй хөндлөн огтлолын дүрстэй байна.

Жишээлбэл, хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол суурьтай зэрэгцээ хэсэг нь зөвхөн жижиг хэмжээтэй дөрвөлжин хэлбэртэй болно.

Энэ нөхцөлд асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээр нь дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг, шинж чанарыг ашигладаг. Фалесийн теорем дээр үндэслэсэн. Юуны өмнө ижил төстэй байдлын коэффициентийг тодорхойлох шаардлагатай.

Хэрэв онгоцыг суурьтай зэрэгцээ зурж, олон өнцөгтийн дээд хэсгийг таславал доод хэсэгт ердийн таслагдсан пирамид гарч ирнэ. Дараа нь таслагдсан олон өнцөгтийн суурь нь ижил төстэй олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрнүүд нь хоёр талт трапец хэлбэртэй байдаг. Тэнхлэгийн хэсэг нь мөн адил тэгш өнцөгт байна.

Таслагдсан олон өнцөгтийн өндрийг тодорхойлохын тулд тэнхлэгийн хэсэгт, өөрөөр хэлбэл трапецын өндрийг зурах шаардлагатай.

Гадаргуугийн талбайнууд

Үндсэн геометрийн асуудлуудСургуулийн геометрийн хичээлээр шийдэх ёстой пирамидын гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүнийг олох.

Хоёр төрлийн гадаргуугийн хэмжээ байдаг:

• хажуугийн элементүүдийн талбай;
• бүх гадаргуугийн талбай.

Нэрнээс нь харахад бидний юу яриад байгаа нь ойлгомжтой. Хажуугийн гадаргуу нь зөвхөн хажуугийн элементүүдийг агуулдаг. Үүнээс үзэхэд үүнийг олохын тулд та хажуугийн хавтгайн талбайг, өөрөөр хэлбэл 3-гонс тэгш өнцөгтүүдийн талбайг нэмэх хэрэгтэй. Хажуугийн элементүүдийн талбайн томъёог гаргаж авахыг хичээцгээе.

1. 3 өнцөгт тэгш өнцөгтийн талбай нь Str=1/2(aL)-тай тэнцүү бөгөөд a нь суурийн тал, L нь апотем юм.
2. Хажуугийн хавтгайн тоо нь суурийн к-гоны төрлөөс хамаарна. Жишээлбэл, ердийн дөрвөлжин пирамид нь дөрвөн хажуугийн хавтгайтай байдаг. Иймд Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L гэсэн дөрвөн дүрсийн талбайг нэмэх шаардлагатай. Утга нь 4a = Rosn, Росн нь суурийн периметр болох тул илэрхийллийг ийм байдлаар хялбарчилсан. Мөн 1/2*Rosn илэрхийлэл нь түүний хагас периметр юм.
3. Тиймээс бид ердийн пирамидын хажуугийн элементүүдийн талбай нь суурийн хагас периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү байна гэж дүгнэж байна: Sside = Rosn * L.

Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай нь хажуугийн хавтгай ба суурийн талбайн нийлбэрээс бүрдэнэ: Sp.p = Sside + Sbas.

Суурийн талбайн хувьд энд олон өнцөгтийн төрлөөс хамааран томъёог ашиглана.

Ердийн пирамидын эзэлхүүнсуурийн хавтгайн талбайн үржвэр ба өндрийг гурваар хуваасантай тэнцүү: V=1/3*Sbas*H, H нь олон талт өндөр.

Геометрийн ердийн пирамид гэж юу вэ

Ердийн дөрвөлжин пирамидын шинж чанарууд

Заавар

Юуны өмнө пирамидын хажуугийн гадаргууг хэд хэдэн гурвалжингаар төлөөлдөг гэдгийг ойлгох нь зүйтэй бөгөөд тэдгээрийн талбайг мэдэгдэж буй өгөгдлөөс хамааран янз бүрийн томъёог ашиглан олж болно.

S = (a*h)/2, энд h нь а тал руу буулгасан өндөр;

S = a*b*sinβ, энд a, b нь гурвалжны талууд, β нь эдгээр талуудын хоорондох өнцөг;

S = (r*(a + b + c))/2, энд a, b, c нь гурвалжны талууд, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус;

S = (a*b*c)/4*R, энд R нь тойргийг тойрсон гурвалжны радиус;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (хэрэв гурвалжин тэгш өнцөгт байвал);

S = S = (a²*√3)/4 (хэрэв гурвалжин тэгш талт бол).

Үнэн хэрэгтээ эдгээр нь гурвалжны талбайг олох хамгийн үндсэн мэдэгдэж буй томъёо юм.

Дээрх томъёог ашиглан пирамидын нүүр царай болох бүх гурвалжны талбайг тооцоолсны дараа та энэ пирамидын талбайг тооцоолж эхлэх боломжтой. Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: та үүссэн бүх гурвалжны талбайг нэмэх хэрэгтэй хажуугийн гадаргуупирамидууд. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлж болно.

Sp = ΣSi, энд Sp нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, Si нь хажуугийн гадаргуугийн хэсэг болох i-р гурвалжны талбай юм.

Илүү тодорхой болгохын тулд бид жижиг жишээг авч үзэж болно: ердийн пирамид, түүний хажуугийн нүүр нь тэгш талт гурвалжнуудаас бүрдэх ба түүний суурь дээр дөрвөлжин байрладаг. Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь 17 см бөгөөд энэ пирамидын хажуугийн гадаргууг олох шаардлагатай.

Шийдэл: Энэ пирамидын ирмэгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд түүний нүүр нь тэгш талт гурвалжин гэдгийг мэддэг. Тиймээс, хажуугийн гадаргуу дээрх бүх гурвалжны бүх талууд 17 см-тэй тэнцүү байна гэж хэлж болно, тиймээс эдгээр гурвалжны аль нэгний талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй болно.

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 см²

Пирамидын ёроолд дөрвөлжин байдаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс өгөгдөл нь тодорхой байна тэгш талт гурвалжиндөрөв. Дараа нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно.

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Хариулт: Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 500.548 см²

Эхлээд пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё. Хажуугийн гадаргуу нь бүх хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм. Хэрэв та ердийн пирамидтай харьцаж байгаа бол (өөрөөр хэлбэл суурь нь энгийн олон өнцөгттэй, орой нь энэ олон өнцөгтийн төв рүү чиглэсэн байдаг) хажуугийн гадаргууг бүхэлд нь тооцоолохын тулд периметрийг үржүүлэхэд хангалттай. суурь (өөрөөр хэлбэл суурийн пирамид дээр байрлах олон өнцөгтийн бүх талуудын уртын нийлбэр) хажуугийн нүүрний өндрөөр (өөрөөр апотем гэж нэрлэдэг) үр дүнгийн утгыг 2-т хуваана: Sb = 1/2P* h, энд Sb нь хажуугийн гадаргуугийн талбай, P нь суурийн периметр, h нь хажуугийн нүүрний өндөр (apothem).

Хэрэв таны өмнө дурын пирамид байгаа бол та бүх нүүрний талбайг тусад нь тооцоолж, дараа нь нэмэх хэрэгтэй болно. Пирамидын хажуу талууд нь гурвалжин байдаг тул гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S=1/2b*h, b нь гурвалжны суурь, h нь өндөр. Бүх нүүрний талбайг тооцоолсны дараа пирамидын хажуугийн гадаргууг авахын тулд тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.

Дараа нь та пирамидын суурийн талбайг тооцоолох хэрэгтэй. Тооцооллын томьёоны сонголт нь пирамидын суурь дээр аль олон өнцөгт байрлаж байгаагаас хамаарна: ердийн (өөрөөр хэлбэл бүх талууд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. ижил урт) эсвэл буруу. Дөрвөлжин ердийн олон өнцөгтпериметрийг олон өнцөгт дотор бичсэн тойргийн радиусаар үржүүлээд гарсан утгыг 2-т хуваах замаар тооцоолж болно: Sn=1/2P*r, энд Sn нь олон өнцөгтийн талбай, P нь периметр, ба r нь олон өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус юм.

Таслагдсан пирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолоос үүссэн олон өнцөгт юм. суурьтай зэрэгцээ. Пирамидын хажуугийн гадаргууг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. Энэ нь маш энгийн: талбай нь суурийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Бидэнд ердийн пирамид өгөгдсөн гэж бодъё. Суурийн урт нь b = 5 см, c = 3 см Apothem a = 4 см пирамидын хажуугийн гадаргууг олохын тулд эхлээд суурийн периметрийг олох хэрэгтэй. Том суурийн хувьд p1=4b=4*5=20 см-тэй тэнцүү байх ба жижиг суурийн хувьд дараах томъёо байх болно : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 см.

нь олон талт дүрс бөгөөд түүний суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжингаар дүрслэгдсэн байдаг.

Хэрэв суурь нь дөрвөлжин бол пирамид гэж нэрлэгддэг дөрвөлжин, хэрэв гурвалжин бол - тэгвэл гурвалжин. Пирамидын өндрийг дээд талаас нь суурьтай перпендикуляраар зурдаг. Мөн талбайг тооцоолоход ашигладаг апотем– хажуугийн нүүрний өндөр, дээрээс нь доошлуулсан.
Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томьёо нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тооцооны аргыг маш ховор ашигладаг. Үндсэндээ пирамидын талбайг суурийн периметр ба апотемоор тооцоолно.

Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Бидэнд ABCDE суурь ба дээд F-тэй пирамид өгье. AB =BC =CD =DE =EA =3 см Апотем a = 5 см Пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Периметрийг олъё. Суурийн бүх ирмэгүүд тэнцүү тул пентагоны периметр нь дараахтай тэнцүү байна.
Одоо та олж болно хажуугийн талбайпирамидууд:

Ердийн гурвалжин пирамидын талбай

Ердийн гурвалжин пирамид нь ердийн гурвалжин байрладаг суурь ба талбайн хувьд тэнцүү гурван хажуугийн нүүрнээс бүрдэнэ.
Хажуугийн гадаргуугийн томъёо зөв гурвалжин пирамидянз бүрийн аргаар тооцоолж болно. Та ердийн тооцооллын томъёог периметр ба апотем ашиглан хэрэглэж болно, эсвэл нэг нүүрний талбайг олоод гурваар үржүүлж болно. Пирамидын нүүр нь гурвалжин тул бид гурвалжны талбайн томъёог ашигладаг. Энэ нь апотем болон суурийн уртыг шаардах болно. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

a = 4 см, суурь нь b = 2 см хэмжээтэй пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.
Эхлээд хажуугийн нүүрний аль нэгний талбайг ол. Энэ тохиолдолд дараах байдалтай болно.
Томъёонд утгыг орлуулна уу:
Ердийн пирамидын бүх талууд ижил байдаг тул пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь гурван нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Тус тусад нь:

Таслагдсан пирамидын талбай

ТасалсанПирамид нь пирамид ба түүний хөндлөн огтлолын суурьтай параллель байдаг олон өнцөгт юм.
Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн томъёо нь маш энгийн. Талбай нь суурь ба апотемийн периметрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.