Фибоначчийн дараалал бол урлаг, нийгмийн хөгжил дэвшлийн бэлэг тэмдэг юм. Фибоначчийн тоо: практик хэрэглээ. Алтан пропорцийг ашигласан түүх

Тэрээр Фибоначчийн цувралын тухай ойлголт, энэ нь долгионы онолтой хэрхэн холбоотой болохыг ярихаас гадна цувралын хэрэглээг үгүйсгэх болно. байгалийн үйл явц.
Өнгөрсөн зууны 30-аад онд мастерын боловсруулсан , хамгийн сэтгэл хөдөлгөм хэсгүүдийн нэг юм. Энэ нь өөрөө график судалдаг шинжлэх ухааны шинэ бүлэгт хуваагдсан. Энэ нь онолын чиглэлээр мэргэшсэн бусад мэргэжилтнүүдийн боловсруулалт дээр үндэслэсэн болно (би зохиогчийн номыг уншихыг танд зөвлөж байна).
Жишээлбэл, Италийн агуу математикч Леонардо Фибоначчи Элиотын онолын үндэс суурийг тавьсан эрдэмтдийн нэг гэж тооцогддог (түүний тухай би аль хэдийн нийтлэлд ярьсан -).

Шилдэг брокер

Дижитал цуврал Фибоначчийн тоо– алтан харьцаа ба коэффициент эсвэл залруулгын түвшин + видео. Байгаль дахь Фибоначчийн тоо.

Мэргэжилтэн 13-р зуунд амьдарч байсан. Эрдэмтэн "Тооцооллын ном" хэмээх бүтээлээ хэвлүүлсэн. Энэхүү ном нь Европыг тухайн үеийн чухал нээлт төдийгүй аравтын тооллын системийг танилцуулсан юм. Энэхүү систем нь 0-ээс есөн хүртэлх танил тоонуудыг гүйлгээнд нэвтрүүлсэн.

Энэ системийн дүр төрх нь анхных байсан чухал амжилтуудРом унаснаас хойш Европ. Фибоначчи дундад зууны үеийн тооны шинжлэх ухааныг хадгалж үлдсэн. Тэрээр мөн дээд математик, физик, одон орон, механик инженерчлэл зэрэг бусад шинжлэх ухааныг хөгжүүлэх гүн гүнзгий суурийг тавьсан.

Видео үзэх

Тоонууд болон тэдгээрийн деривативууд хэрхэн гарч ирсэн

Шийдвэрлэж байна хэрэглээний асуудал, Леонардо тааралдав Фибоначчийн тоонуудын сониуч цуврал,эхэнд нь хоёр нэгж байдаг.

Дараагийн нэр томъёо бүр нь өмнөх хоёрын нийлбэр юм. Хамгийн сонирхолтой нь тэр тооны цувралФибоначчи бол ямар нэг нэр томъёог өмнөхтэй нь хуваахад үр дүн нь 0.618-д ойртдог гайхалтай дараалал юм. Энэ дугаарыг нэрлэсэн " Алтан харьцаа».

Энэ тоог хүн төрөлхтөнд маш эртнээс мэддэг байсан нь тогтоогджээ. Жишээлбэл, эртний Египтэд үүнийг ашиглан пирамид барьдаг байсан бол эртний Грекчүүд үүнийг ашиглан сүм хийдүүдээ барьсан. Хүний биеийн бүтэц энэ тоонд хэрхэн захирагддагийг Леонардо да Винчи харуулсан.

Байгаль нь Фибоначчийн тоог хамгийн дотно, дэвшилтэт газруудад ашигладаг. Атомын бүтэц, ДНХ молекул, тархины микрокапилляр гэх мэт бусад жижиг хэлбэрүүдээс эхлээд гаригийн тойрог зам, галактикийн бүтэц гэх мэт асар том бүтэц хүртэл. Жишээнүүдийн тоо маш их тул байгальд пропорцын үндсэн хууль байдаг гэж маргах ёстой.

Тиймээс Фибоначчийн цуврал болон алтан харьцаа нь хувьцааны графикт орсон нь гайхах зүйл биш юм. Зөвхөн 0.618 тоо төдийгүй түүний деривативууд бас бий.

Хэрэв та алтан харьцааны тоог нэг, хоёр, гурав, дөрөв дэх зэрэглэлд шилжүүлж, үр дүнг нэгдлээс хасвал та дараахь зүйлийг авна. шинэ эгнээ, үүнийг "гэж нэрлэдэг Фибоначчийн нөхөн сэргээх харьцаа" Үлдсэн зүйл бол аравны таван тэмдгийг нэмэх явдал юм - энэ нь тавин хувь юм.

Гэсэн хэдий ч энэ нь алтан харьцаагаар хийж болох бүх зүйл биш юм. Хэрэв бид нэгийг 0.618-д хуваавал бид 1.618; хэрэв бид үүнийг шоо болговол 2.618; Эдгээр нь Фибоначчийн тэлэлтийн харьцаа юм. Энд алга болсон цорын ганц тоо бол Жон Мерфигийн санал болгосон 3236 тоо юм.

Мэргэжилтнүүд тууштай байдлын талаар юу гэж боддог вэ?

Зарим хүмүүс эдгээр тоонууд нь засвар, өргөтгөлийн цар хүрээг тодорхойлохын тулд техникийн шинжилгээний хөтөлбөрт ашиглагддаг тул аль хэдийн танил болсон гэж хэлж болно. Нэмж дурдахад эдгээр цувралууд Элиотын долгионы онолд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Эдгээр нь түүний тоон үндэс юм.

Манай мэргэжилтэн Николай бол "Восток" хөрөнгө оруулалтын компанид батлагдсан багц менежер юм.

• – Николай, чи Фибоначчийн тоо болон түүний деривативууд янз бүрийн хэрэгслийн график дээр гарч ирсэн нь санамсаргүй гэж бодож байна уу? Мөн бид: "Фибоначчийн цуврал практик хэрэглээ"болдог уу?
• – Би ид шидийн шашинд муу ханддаг. Хөрөнгийн биржийн график дээр бүр ч илүү. Бүх зүйл өөрийн гэсэн шалтгаантай. “Фибоначчийн түвшин” номондоо тэрээр алтан харьцаа хаана гарч ирдгийг, хөрөнгийн биржийн ханшийн график дээр гарч ирсэнд огтхон ч гайхсангүй. Гэхдээ дэмий хоосон! Түүний өгсөн олон жишээнд Пи тоо байнга гардаг. Гэхдээ яагаад ч юм үнийн харьцаанд ороогүй.
• - Тэгэхээр та Элиотын долгионы зарчмын үр дүнтэй гэдэгт итгэхгүй байна уу?
• - Үгүй ээ, энэ бол гол зүйл биш. Долгионы зарчим- энэ бол нэг зүйл. Тоон харьцаа өөр байна. Тэдний үнийн график дээр харагдах шалтгаан нь гурав дахь нь юм
• – Таны бодлоор хувьцааны график дээр алтан харьцаа гарч ирэх болсон шалтгаан юу вэ?
• – Энэ асуултын зөв хариултыг олох боломжтой Нобелийн шагналэдийн засагт. Одоохондоо бид жинхэнэ шалтгааныг таах боломжтой. Тэд байгальтай зохицохгүй нь тодорхой. Биржийн үнэ тогтоох олон загвар байдаг. Тэд тусгайлсан үзэгдлийг тайлбарладаггүй. Гэхдээ аливаа үзэгдлийн мөн чанарыг ойлгохгүй байх нь тухайн үзэгдлийг үгүйсгэж болохгүй.
• – Мөн энэ хууль хэзээ нэгэн цагт нээгдвэл солилцооны үйл явцыг сүйрүүлж чадах болов уу?
• – Үүнтэй ижил долгионы онолоос харахад хувьцааны үнийн өөрчлөлтийн хууль бол цэвэр сэтгэл зүй юм. Энэ хуулийг мэдсэнээр юу ч өөрчлөгдөхгүй, хөрөнгийн биржийг сүйрүүлж чадахгүй юм шиг санагдаж байна.

Вэбмастер Максимийн блогоос өгсөн материал.

Төрөл бүрийн онол дахь математикийн үндсэн зарчмууд давхцаж байгаа нь үнэхээр гайхалтай юм шиг санагддаг. Магадгүй энэ нь уран зөгнөл эсвэл эцсийн үр дүнд тохируулсан байж магадгүй юм. Хүлээж үз. Өмнө нь ер бусын эсвэл боломжгүй гэж үздэг байсан ихэнх зүйлс: жишээлбэл, сансар огторгуйн хайгуул нь ердийн зүйл болж, хэнийг ч гайхшруулдаггүй. Мөн долгионы онол, ойлгомжгүй байж магадгүй, цаг хугацаа өнгөрөх тусам илүү хүртээмжтэй, ойлгомжтой болно. Өмнө нь шаардлагагүй байсан зүйл нь туршлагатай шинжээчийн гарт ирээдүйн зан үйлийг урьдчилан таамаглах хүчирхэг хэрэгсэл болно.

Байгаль дахь Фибоначчийн тоо.

Хараач

Одоо та юуг хэрхэн үгүйсгэх талаар ярилцъя дижитал цувралФибоначчи нь байгаль дээрх зарим хэв маягт оролцдог.

Бусад хоёр тоог аваад Фибоначчийн тоонуудтай ижил логиктой дараалал байгуулъя. Өөрөөр хэлбэл, дарааллын дараагийн гишүүн нь өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 6 ба 51 гэсэн хоёр тоог авъя. Одоо бид 1860 ба 3009 гэсэн хоёр тоогоор дуусгах дарааллыг бүтээнэ. Эдгээр тоог хуваахдаа алтан харьцаатай ойролцоо тоо гарч ирдэг гэдгийг анхаарна уу.

Үүний зэрэгцээ бусад хосуудыг хуваах үед олж авсан тоонууд эхнийхээс сүүлчийнх хүртэл буурсан бөгөөд энэ нь хэрэв энэ цуврал тодорхойгүй үргэлжлэх юм бол бид алтан харьцаатай тэнцэх тоог авах болно гэж хэлж болно.

Тиймээс Фибоначчийн тоо ямар ч байдлаар ялгардаггүй. Ижил үйлдлүүдийн үр дүнд өгдөг хязгааргүй тооны тоонуудын өөр дараалал байдаг. алтан тоо fi.

Фибоначчи эзотерикч биш байсан. Тэр ямар ч ид шидийн үзлийг тоонд оруулахыг хүссэнгүй, тэр зүгээр л туулайн тухай энгийн асуудлыг шийдэж байв. Тэгээд тэр асуудлаас нь харахад эхний, хоёр дахь болон бусад саруудад үржүүлгийн дараа хэдэн туулай гарах вэ гэсэн тоон дарааллыг бичсэн. Жилийн дотор тэр ижил дарааллыг хүлээн авсан. Тэгээд ч би харилцаа хийгээгүй. Ямар ч алтан хувь хэмжээ, тэнгэрлэг харилцааны тухай яриагүй. Энэ бүхнийг түүний дараа Сэргэн мандалтын үед зохион бүтээсэн.

Математиктай харьцуулахад Фибоначчийн давуу тал асар их юм. Тэрээр арабуудаас тооллын системийг авч, үнэн зөвийг нь баталсан. Энэ бол хүнд хэцүү, урт тэмцэл байсан. Ромын тооны системээс: хүнд, тоолоход тохиромжгүй. Тэр дараа нь алга болсон францын хувьсгал. Фибоначчи алтан харьцаатай ямар ч холбоогүй.

Хязгааргүй олон тооны спираль байдаг бөгөөд хамгийн алдартай нь: байгалийн логарифмын спираль, Архимедийн спираль, гиперболын спираль юм.

Фибоначчи урт удаан насалсан, ялангуяа математикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулж, "Абакийн ном" (13-р зууны эхэн үе) хэмээх том бүтээлдээ үүнийгээ зориулжээ. Тэр үргэлж тооны ид шидийг сонирхдог байсан - тэр Архимед эсвэл Евклидээс дутахааргүй гайхалтай байсан байх. Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудлуудыг өмнө нь тавьж, хэсэгчлэн шийдвэрлэж байсан, жишээлбэл, алдарт эрдэмтэн, яруу найрагч Омар Хайям; Гэсэн хэдий ч Фибоначчи туулайн нөхөн үржихүйн асуудлыг томъёолсон бөгөөд үүнээс гаргасан дүгнэлт нь түүний нэрийг олон зууны туршид алдахыг зөвшөөрөөгүй юм.

Товчхондоо даалгавар нь дараах байдалтай байна. Хос туулайг тал бүрээс нь ханаар хашсан газарт байрлуулж, хоёр дахь сараасаа эхлэн хос бүр сар бүр өөр нэг туулай төлдөг. Туулайн үржлийг цаг тухайд нь дараахь цувралаар тайлбарлах болно: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 гэх мэт. Энэ цувралыг Фибоначчийн дараалал гэж нэрлэдэг ба Фибоначчийн томъёо буюу тоо гэж нэрлэдэг. Математикийн үүднээс авч үзвэл дараалал нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байсан тул ердөө л өвөрмөц болсон.

• Дурын хоёр дараалсан тооны нийлбэр нь дарааллын дараагийн тоо юм

• дарааллын тоо бүрийн тав дахь тооноос өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь 1.618 байна.

• Дурын тооны квадрат ба зүүн талд байгаа хоёр тооны байрлалын квадрат хоорондын зөрүү нь Фибоначчийн тоо байх болно.

• зэргэлдээх тоонуудын квадратуудын нийлбэр нь Фибоначчийн тоо байх бөгөөд энэ нь хамгийн том квадрат тоонуудын дараа хоёр байрлалд байрлана.

Фибоначчийн алтан харьцаа

Эдгээр олдворуудаас хоёр дахь нь "алтан харьцаа" гэгддэг 1.618 тоог ашигласан тул хамгийн сонирхолтой нь юм. Энэ тоог эртний Грекчүүд мэддэг байсан бөгөөд үүнийг Парфеноныг барих явцад ашигладаг байсан (дашрамд хэлэхэд энэ нь Төв банкны үүрэг гүйцэтгэдэг байсан). Сонирхолтой нь 1.618 тоо нь байгальд микро болон макро масштабын аль алинд нь байдаг - эмгэн хумсны бүрхүүлийн ороомогоос эхлээд сансрын галактикуудын том спираль хүртэл.

Эртний Египетчүүдийн бүтээсэн Гиза дахь пирамидууд нь барилгын ажлын явцад Фибоначчийн цувралын хэд хэдэн параметрүүдийг агуулж байсан. Нэг тал нь нөгөөгөөсөө 1.618 дахин том тэгш өнцөгт нь нүдэнд хамгийн тааламжтай харагдаж байна - энэ харьцааг Леонардо да Винчи зургандаа ашигласан бөгөөд өдөр тутмын утгаараа цонх, хаалганы нүхийг бүтээхдээ зөн совингоор ашигладаг байв. Тэр ч байтугай долгионыг Фибоначчийн спираль хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Амьд байгальд Фибоначчийн дараалал багагүй тохиолддог - энэ нь хумс, шүд, наранцэцэг, аалзны тор, тэр ч байтугай бактерийн өсөлтөөс олж болно. Хэрвээ хүсвэл тууштай байдал нь хүний ​​нүүр, бие гэх мэт бараг бүх зүйлд байдаг. Гэсэн хэдий ч байгалийн болон түүхэн үзэгдлүүдээс Фибоначчийн алтан харьцааг олсон гэсэн олон мэдэгдлүүд нь илт худал бөгөөд энэ нь хүссэн үр дүндээ буруу тохирдог нийтлэг домог юм. Фибоначчийн спиралыг сколиоз буюу алдартай хүмүүсийн үсний засалтаар дүрсэлсэн комик зургууд байдаг.

Санхүүгийн зах зээл дээрх Фибоначчийн тоо

Фибоначчийн тоог ашиглахад хамгийн түрүүнд оролцсон хүмүүсийн нэг санхүүгийн зах зээл, Р.Эллиот байв. Фибоначчийн цувралыг ашигласан зах зээлийн тайлбарыг ихэвчлэн "Эллиотын долгион" гэж нэрлэдэг тул түүний ажил дэмий хоосон байсангүй. Түүний зах зээлийн хэв маягийг эрэлхийлэх үндэс нь гурван алхам урагшлах, хоёр алхам ухрах супер циклээс хүний ​​хөгжлийн загвар байв. Та Фибоначчийн түвшинг хэрхэн ашиглахыг оролдож болох жишээг доор харуулав.

Хүн төрөлхтөн шугаман бус хөгжиж байгаа нь хүн бүрт ойлгомжтой байдаг - жишээлбэл, Демокритын атомист сургаал Дундад зууны төгсгөл хүртэл бүрэн алдагдсан, өөрөөр хэлбэл. 2000 жилийн турш мартагдсан. Гэсэн хэдий ч бид алхамуудын онол, тэдгээрийн тоог үнэн гэж хүлээн зөвшөөрсөн ч алхам бүрийн хэмжээ тодорхойгүй хэвээр байгаа нь Эллиотын долгионыг толгой, сүүлний таамаглах чадвартай харьцуулах боломжтой болгодог. Эхлэх цэг, долгионы тоог зөв тооцоолох нь онолын гол сул тал байсан бөгөөд байх болно.

Гэсэн хэдий ч онол нь орон нутгийн амжилтанд хүрсэн. Эллиотын шавь гэж хэлж болох Боб Претчер 1980-аад оны эхэн үеийн бухын зах зээлийг зөв таамаглаж, 1987 оныг эргэлтийн цэг гэж үзсэн. Энэ нь үнэхээр тохиолдсон бөгөөд үүний дараа Боб өөрийгөө суут ухаантан мэт санагдав - ядаж бусдын нүдэнд тэр хөрөнгө оруулалтын гуру болсон нь гарцаагүй. Фибоначчийн түвшнийг дэлхий даяар сонирхож байна.

Prechter's Elliott Wave Theorist сэтгүүлийн захиалга тухайн жилдээ 20,000 болж өссөн боловч 1990-ээд оны эхээр Америкийн зах зээлд "мөхөл ба харанхуй" гэсэн таамаглал зогссон тул буурсан байна. Гэсэн хэдий ч энэ нь Японы зах зээлд ашигтай байсан бөгөөд нэг давалгаанаар "хоцорсон" онолыг дэмжигчид өөрсдийн капитал эсвэл компанийн үйлчлүүлэгчдийнхээ капиталыг алджээ.

Эллиотт долгион нь янз бүрийн арилжааны үеийг хамардаг - долоо хоног бүрээс эхлээд стандарт техникийн шинжилгээний стратегитай төстэй болгодог, хэдэн арван жилийн тооцоолол, i.e. суурь таамаглалын нутаг дэвсгэрт ордог. Энэ нь долгионы тоог өөрчлөх замаар боломжтой юм. Дээр дурдсан онолын сул талууд нь түүнийг дэмжигчдэд долгионы үл нийцэх байдлын тухай биш харин тэдний дунд хийсэн буруу тооцоолол, эхлэлийн байрлалыг буруу тодорхойлсон тухай ярих боломжийг олгодог.

Яг л лабиринт шиг - хэрвээ та зөв газрын зурагтай байсан ч яг хаана байгаагаа ойлгосон тохиолдолд л үүнийг дагаж чадна. Үгүй бол карт ямар ч ашиггүй болно. Эллиотын долгионы хувьд таны байршлын зөв эсэхээс гадна газрын зургийн үнэн зөв эсэхэд эргэлзэх бүх шинж тэмдэг байдаг.

Дүгнэлт

Хүн төрөлхтний долгионы хөгжил бодит үндэс суурьтай - Дундад зууны үед инфляци ба дефляцийн давалгаа бие биенээ ээлжлэн сольж, дайн тулаан харьцангуй тайван амгалан амьдралд шилжсэн. Байгаль дахь Фибоначчийн дарааллыг ажиглах нь зарим тохиолдолд эргэлзээ төрүүлдэггүй. Тиймээс хүн бүр математикч эсвэл санамсаргүй тоо үүсгэгч гэж хэн бэ гэдэг асуултад өөр өөрийн хариултыг өгөх эрхтэй. Миний хувийн бодол: Хэдийгээр хүн төрөлхтний бүх түүх, зах зээлийг долгионы үзэл баримтлалд илэрхийлж болох ч долгион бүрийн өндөр, үргэлжлэх хугацааг хэн ч таамаглах боломжгүй юм.

Битгий алд.Бүртгүүлж, нийтлэлийн холбоосыг имэйлээр хүлээн авна уу.

Мэдээжийн хэрэг та математик бол бүх шинжлэх ухааны хамгийн чухал нь гэсэн санааг мэддэг. Гэхдээ олон хүн үүнтэй санал нийлэхгүй байж магадгүй, учир нь... Заримдаа математик бол зүгээр л бодлого, жишээ болон үүнтэй төстэй уйтгартай зүйлс юм шиг санагддаг. Гэсэн хэдий ч математик бидэнд танил зүйлсийг огт танихгүй талаас нь хялбархан харуулж чадна. Түүгээр ч барахгүй тэрээр орчлон ертөнцийн нууцыг илчилж чадна. Яаж? Фибоначчийн тоонуудыг харцгаая.

Фибоначчийн тоо гэж юу вэ?

Фибоначчийн тоонууд нь тоон дарааллын элементүүд бөгөөд дараагийн тоо бүр нь өмнөх хоёрыг нийлбэрээр илэрхийлэгддэг, жишээлбэл: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Дүрмээр бол ийм дарааллыг дараах томъёогоор бичнэ: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Фибоначчийн тоонууд нь "n"-ийн сөрөг утгуудаас эхэлж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд дараалал нь хоёр талт байх болно - энэ нь эерэг ба хоёуланг нь хамарна. сөрөг тоонууд, хоёр чиглэлд хязгааргүйд хүрэх хандлагатай. Ийм дарааллын жишээ нь: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 байж болно. , 21, 34, томъёо нь: F n = F n+1 - F n+2 эсвэл F -n = (-1) n+1 Fn байх болно.

Фибоначчийн тоог бүтээгч нь Дундад зууны үеийн Европын анхны математикчдын нэг болох Пизагийн Леонардо гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүнийг Фибоначчи гэж нэрлэдэг бөгөөд тэрээр нас барснаасаа хойш олон жилийн дараа энэ хочийг авсан юм.

Амьдралынхаа туршид Пизагийн Леонардо математикийн тэмцээнд маш их дуртай байсан тул түүний бүтээлүүд (“Liber abaci” / “Book of Abacus”, 1202; “Practica geometriae” / “Practice of Geometry”, 1220, “Flos”). / “Цэцэг”, 1225) – сэдвийн судалгаа куб тэгшитгэлба "Liber quadratorum" / "Дөрвөлжингийн ном", 1225 - тодорхойгүй байдлын талаархи асуудлууд квадрат тэгшитгэл) бүх төрлийн математикийн асуудлыг маш олон удаа шинжилдэг.

ТУХАЙ амьдралын замФибоначчийн тухай маш бага зүйл мэддэг. Гэхдээ түүний асуудлууд дараагийн зуунд математикийн хүрээлэлд асар их нэр хүндтэй байсан нь тодорхой юм. Бид эдгээрийн аль нэгийг цаашид авч үзэх болно.

Туулайтай холбоотой Фибоначчийн асуудал

Даалгаврыг биелүүлэхийн тулд зохиогч дараахь нөхцлийг тавьсан: ялгаатай шинэ төрсөн туулай (эм, эрэгтэй) байдаг. сонирхолтой онцлог- амьдралын хоёр дахь сараас эхлэн тэд шинэ хос туулай гаргадаг - мөн эм, эрэгтэй. Туулайг хязгаарлагдмал орчинд байлгаж, байнга үржүүлдэг. Мөн нэг ч туулай үхдэггүй.

Даалгавар: нэг жилийн туулайн тоог тодорхойлох.

Шийдэл:

Бидэнд:

• Сарын сүүлээр нийлдэг эхний сарын эхээр нэг хос туулай
• Хоёр дахь сард хоёр хос туулай (эхний хос ба төл)
• Гурав дахь сард гурван хос туулай (эхний хос, өмнөх сарын эхний хосын төл, шинэ төл)
• Дөрөв дэх сард таван хос туулай (эхний хос, эхний хосын нэг ба хоёр дахь төл, эхний хосын гурав дахь төл, хоёрдугаар хосын эхний төл)

Сарын туулайн тоо “n” = өнгөрсөн сарын туулайн тоо + шинэ хос туулайн тоо, өөрөөр хэлбэл дээрх томьёо: F n = F n-1 + F n-2. Үүний үр дүнд шинэ тоо бүр өмнөх хоёр тооны нийлбэртэй тохирч байгаа давтагдах тооны дараалал (бид дараа нь рекурсын тухай ярих болно) үүсдэг.

1 сар: 1 + 1 = 2

2 сар: 2 + 1 = 3

3 сар: 3 + 2 = 5

4 сар: 5 + 3 = 8

5 сар: 8 + 5 = 13

6 сар: 13 + 8 = 21

7 дахь сар: 21 + 13 = 34

8 дахь сар: 34 + 21 = 55

9 сар: 55 + 34 = 89

10 дахь сар: 89 + 55 = 144

11 дэх сар: 144 + 89 = 233

12 сар: 233+ 144 = 377

Энэ дараалал нь тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилж болох боловч жилийн дараа туулайн тоог олох даалгавар бол 377 хос юм.

Фибоначчийн тоонуудын нэг шинж чанар нь хэрэв та хоёр дараалсан хосыг харьцуулж, томыг нь жижгээр нь хуваах юм бол үр дүн нь алтан харьцаа руу шилжих болно гэдгийг энд тэмдэглэх нь чухал бөгөөд бид доор ярих болно. .

Энэ хооронд бид Фибоначчийн тоон дээрх хоёр асуудлыг санал болгож байна.

• Тодорхойлох квадрат тооХэрэв та үүнээс 5-ыг хасах юм уу 5-ыг нэмбэл дахин квадрат тоо гарна гэдгийг бид мэднэ.
• 2, 3, 4, 5 эсвэл 6-д хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэх нөхцөлтэйгээр 7-д хуваагдах тоог тодорхойл.

Ийм даалгавар нь оюун ухааныг хөгжүүлэх маш сайн арга төдийгүй зугаа цэнгэл байх болно. Мөн интернэтээс мэдээлэл хайж эдгээр асуудлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг мэдэж болно. Бид тэдэнд анхаарлаа хандуулахгүй, харин түүхээ үргэлжлүүлэх болно.

Рекурс ба алтан харьцаа гэж юу вэ?

Рекурс

Рекурс гэдэг нь өөрөө байгаа аливаа объект, үйл явцын тодорхойлолт, тодорхойлолт, дүрс юм энэ объектэсвэл процесс. Өөрөөр хэлбэл объект эсвэл процессыг өөрийн нэг хэсэг гэж нэрлэж болно.

Рекурсийг зөвхөн математикийн шинжлэх ухаанд төдийгүй компьютерийн шинжлэх ухаан, нийтийн соёл, урлагт өргөн ашигладаг. Фибоначчийн тоонд хамаарах тоо нь “n>2” байвал “n” = (n-1)+(n-2) гэж хэлж болно.

Алтан харьцаа

Алтан харьцаа гэдэг нь бүхэл бүтэн хэсгийг зарчмын дагуу холбоотой хэсгүүдэд хуваах явдал юм: том нь жижиг нь нийт үнэ цэнэ нь том хэсэгтэй адил хамааралтай байдаг.

Алтан харьцааг анх Евклид ("Элементүүд" хэмээх зохиол, МЭӨ 300 онд) дурьдсан бөгөөд ердийн тэгш өнцөгтийн барилгын тухай ярьжээ. Гэсэн хэдий ч илүү танил ойлголтыг Германы математикч Мартин Ом нэвтрүүлсэн.

Ойролцоогоор алтан харьцааг 38% ба 68% гэсэн хоёр өөр хэсэгт пропорциональ хуваах хэлбэрээр илэрхийлж болно. Алтан харьцааны тоон илэрхийлэл нь ойролцоогоор 1.6180339887 байна.

Практикт алтан харьцааг архитектурт ашигладаг. дүрслэх урлаг(бүтээлүүдийг хараарай), кино театр болон бусад газрууд. Удаан хугацааны туршид, одоогийнх шиг, алтан харьцааг гоо зүйн харьцаа гэж үздэг байсан ч ихэнх хүмүүс үүнийг пропорциональ бус уртасгасан гэж үздэг.

Та дараах пропорцийг баримтлан алтан харьцааг өөрөө тооцоолохыг оролдож болно.

• Сегментийн урт a = 0.618
• Хэсгийн урт b= 0.382
• Сегментийн урт c = 1
• c ба a = 1.618 харьцаа
• c ба b-ийн харьцаа = 2.618

Одоо алтан харьцааг Фибоначчийн тоонуудад хэрэглэцгээе: бид түүний дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүнийг авч, томыг нь жижиг болгон хуваана. Бид ойролцоогоор 1.618 авдаг. Хэрэв бид ижил зүйлийг авбал илүү их тооба дараагийн том утгад хуваахад бид ойролцоогоор 0.618 болно. Өөрөө туршаад үзээрэй: 21, 34 эсвэл бусад тоогоор "тогло". Хэрэв бид энэ туршилтыг Фибоначчийн дарааллын эхний тоогоор хийвэл ийм үр дүн байхгүй болно, учир нь алтан харьцаа нь дарааллын эхэнд "ажилладаггүй". Дашрамд хэлэхэд Фибоначчийн бүх тоог тодорхойлохын тулд та зөвхөн эхний гурван дараалсан тоог мэдэх хэрэгтэй.

Эцэст нь хэлэхэд, бодоход илүү их хоол.

Алтан тэгш өнцөгт ба Фибоначчийн спираль

"Алтан тэгш өнцөгт" нь алтан харьцаа ба Фибоначчийн тоонуудын өөр нэг хамаарал юм, учир нь... түүний харьцаа 1.618-аас 1 байна (1.618 тоог санаарай!).

Энд жишээ байна: бид Фибоначчийн дарааллаас хоёр тоог, жишээлбэл 8 ба 13-ыг авч, 8 см өргөн, 13 см урттай тэгш өнцөгт зурж, дараа нь бид үндсэн тэгш өнцөгтийг жижиг хэсгүүдэд хуваана урт ба өргөн нь Фибоначчийн тоотой тохирч байх ёстой - том тэгш өнцөгтийн нэг ирмэгийн урт нь жижиг ирмэгийн хоёр урттай тэнцүү байх ёстой.

Үүний дараа бид бүх тэгш өнцөгтүүдийн булангуудыг гөлгөр шугамаар холбож, логарифмын спираль - Фибоначчийн спираль тусгай тохиолдлыг олж авдаг. Үүний гол шинж чанар нь хил хязгааргүй, хэлбэрийн өөрчлөлт юм. Ийм спираль нь ихэвчлэн байгальд байдаг: хамгийн тод жишээ бол нялцгай биетний хясаа, хиймэл дагуулын зураг дээрх циклонууд, тэр ч байтугай олон тооны галактикууд юм. Гэхдээ хамгийн сонирхолтой нь амьд организмын ДНХ ч мөн адил дүрэмд захирагддаг, учир нь энэ нь спираль хэлбэртэй гэдгийг та санаж байна уу?

Эдгээр болон бусад олон "санамсаргүй" давхцал нь өнөөг хүртэл эрдэмтдийн ухамсарыг хөдөлгөж, Орчлон ертөнцийн бүх зүйл нэг алгоритм, үүнээс гадна математикийн нэг алгоритмд захирагддаг болохыг харуулж байна. Мөн энэ шинжлэх ухаан нь маш олон уйтгартай нууц, нууцыг нуудаг.

Математикийг "бүх шинжлэх ухааны хатан хаан" гэж нэрлэдэг гэж та сонсож байсан уу? Та энэ мэдэгдэлтэй санал нийлж байна уу? Математик таны хувьд сурах бичигт уйтгартай бодлогууд хэвээр үлдэж байгаа цагт та энэ шинжлэх ухааны гоо үзэсгэлэн, олон талт байдал, тэр ч байтугай хошин шогийг мэдрэх нь бараг боломжгүй юм.

Гэхдээ математикт бидний нийтлэг зүйл, үзэгдлийн талаар сонирхолтой ажиглалт хийхэд тусалдаг сэдвүүд байдаг. Тэр ч байтугай манай Орчлон ертөнцийг бүтээх нууцын хөшиг рүү нэвтрэхийг хичээ. Дэлхий дээр математик ашиглан дүрсэлж болох сонирхолтой хэв маяг байдаг.

Фибоначчийн тоонуудыг танилцуулж байна

Фибоначчийн тоотооны дарааллын элементүүдийг нэрлэ. Үүнд цувралын дараагийн тоо бүрийг өмнөх хоёр тоог нэгтгэн гаргаж авдаг.

Жишээ дараалал: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Та сөрөг утгатай Фибоначчийн тооны цувралыг эхлүүлж болно n. Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд дараалал нь хоёр талын (өөрөөр хэлбэл сөрөг ба эерэг тоонуудыг хамардаг) бөгөөд хоёр чиглэлд хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Ийм дарааллын жишээ: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Энэ тохиолдолд томъёо дараах байдалтай байна.

F n = F n+1 - F n+2эсвэл та үүнийг хийж болно: F -n = (-1) n+1 Fn.

Одоо бидний мэддэг "Фибоначчийн тоо" гэж эртний Энэтхэгийн математикчид Европт ашиглагдаж эхлэхээс өмнө мэддэг байсан. Мөн энэ нэрээр ерөнхийдөө нэг тасралтгүй байдаг түүхэн анекдот. Фибоначчи өөрөө амьдралынхаа туршид өөрийгөө хэзээ ч Фибоначчи гэж нэрлэж байгаагүйгээс эхэлье - энэ нэрийг Пизагийн Леонардо нас барснаас хойш хэдхэн зууны дараа хэрэглэж эхэлсэн. Гэхдээ бүгдийг дарааллаар нь ярья.

Пизагийн Леонардо буюу Фибоначчи

Худалдаачны хүү математикч болж, улмаар Дундад зууны үед Европын анхны томоохон математикч хэмээн хойч үедээ хүлээн зөвшөөрөгдсөн. Наад зах нь Фибоначчийн тоонуудын ачаар (энэ нь одоохондоо ингэж нэрлэгдээгүй байсан гэдгийг бид санаж байна). Үүнийг тэрээр 13-р зууны эхээр "Либер абачи" ("Абакийн ном", 1202) бүтээлдээ дүрсэлсэн байдаг.

Би аавтайгаа хамт Дорнод руу аялдаг, Леонардо араб багш нараас математикийн чиглэлээр суралцдаг байсан (тэр үед тэд энэ чиглэлээр, бусад олон шинжлэх ухаанд суралцаж байсан. шилдэг мэргэжилтнүүд). Эртний математикчдын бүтээлүүд ба Эртний Энэтхэгтэр араб орчуулга дээр уншсан.

Уншсан бүхнээ сайтар ойлгож, өөрийн сониуч сэтгэлгээг ашиглан Фибоначчи математикийн талаар хэд хэдэн шинжлэх ухааны бүтээл туурвисан бөгөөд үүнд дээр дурдсан "Абакийн ном" багтжээ. Үүнээс гадна би бүтээсэн:

• "Practica geometriae" ("Геометрийн дадлага", 1220);
• "Флос" ("Цэцэг", 1225 - куб тэгшитгэлийн судалгаа);
• "Liber quadratorum" ("Квадратуудын ном", 1225 - тодорхойгүй квадрат тэгшитгэлийн асуудлууд).

Тэрээр математикийн тэмцээнийг маш их сонирхдог байсан тул зохиолууддаа математикийн янз бүрийн бодлогуудыг шинжлэхэд ихээхэн анхаарал хандуулдаг байв.

Леонардогийн амьдралын талаар маш бага намтар мэдээлэл үлдсэн. Математикийн түүхэнд түүний нэрээр орж ирсэн Фибоначчийн нэрний хувьд зөвхөн 19-р зуунд л түүнд оноосон юм.

Фибоначчи ба түүний асуудлууд

Фибоначчи үлдсэний дараа их тоодараагийн зуунд математикчдын дунд маш их алдартай байсан асуудлууд. Бид Фибоначчийн тоогоор шийдэгдсэн туулайн асуудлыг авч үзэх болно.

Туулай бол зөвхөн үнэ цэнэтэй үслэг эдлэл биш юм

Фибоначчи дараахь нөхцлийг тавьсан: ийм сонирхолтой үүлдрийн шинэ төрсөн туулай (эрэгтэй, эмэгтэй) байдаг бөгөөд тэд тогтмол (хоёр дахь сараас эхлэн) үр удмаа гаргадаг - үргэлж нэг шинэ хос туулай. Мөн таны таамаглаж байгаагаар эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүс.

Эдгээр нөхцөлт туулайг хязгаарлагдмал орчинд байрлуулж, урам зоригтойгоор үржүүлдэг. Мөн ямар нэгэн нууцлаг туулайн өвчнөөр нэг ч туулай үхдэггүй гэж заасан байдаг.

Жилд хэдэн туулай авах вэ гэдгээ тооцоолох хэрэгтэй.

• 1 сарын эхээр бид 1 хос туулайтай. Сарын сүүлээр тэд гэрлэнэ.
• Хоёр дахь сар - бид аль хэдийн 2 хос туулайтай (хос нь эцэг эхтэй + 1 хос нь тэдний үр удам юм).
• Гурав дахь сар: Эхний хос нь шинэ хосыг төрүүлж, хоёр дахь хос хосыг төрүүлдэг. Нийт - 3 хос туулай.
• Дөрөвдүгээр сар: Эхний хос нь шинэ хос төрүүлдэг, хоёр дахь хос нь цаг алдахгүй, мөн шинэ хос төрүүлдэг, гурав дахь хос нь дөнгөж нийлж байна. Нийт - 5 хос туулай.

туулайн тоо n th сар = өмнөх сарын хос туулайн тоо + шинэ төрсөн хосын тоо (одооноос 2 сарын өмнө хос туулайтай ижил тооны хос туулай байна). Энэ бүгдийг бид дээр дурдсан томъёогоор тайлбарлав. Fn = Fn-1 + Fn-2.

Тиймээс бид дахин давтагдах (тайлбар рекурс- доор) тооны дараалал. Дараагийн тоо бүр өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Та дарааллыг удаан хугацаанд үргэлжлүүлж болно: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Гэхдээ бид тодорхой хугацаа буюу нэг жилийг тогтоосон тул 12 дахь "нүүдэл" дээр гарсан үр дүнг сонирхож байна. Тэдгээр. Дарааллын 13 дахь гишүүн: 377.

Асуудлын хариулт: Хэрэв заасан бүх нөхцөл хангагдсан бол 377 туулай авна.

Фибоначчийн тооны дарааллын нэг шинж чанар нь маш сонирхолтой юм. Хэрэв та цувралаас хоёр дараалсан хосыг авч, их тоог бага тоонд хуваавал үр дүн нь аажмаар ойртох болно. алтан харьцаа(Та энэ талаар дэлгэрэнгүйг нийтлэлээс уншиж болно).

Математикийн хувьд, "харилцааны хязгаар a n+1руу a nалтан харьцаатай тэнцүү".

Тооны онолын бусад асуудлууд

1. 7-д хуваагдаж болох тоог ол.Мөн 2,3,4,5,6-д хуваавал үлдэгдэл нь нэг болно.
2. Квадрат тоог ол. Хэрэв та 5-ыг нэмбэл 5-ыг хасвал дахин квадрат тоо гарах нь мэдэгдэж байна.

Эдгээр асуудлын хариултыг өөрөө хайхыг бид танд санал болгож байна. Та энэ нийтлэлийн сэтгэгдэлд сонголтоо үлдээж болно. Дараа нь бид таны тооцоолол зөв эсэхийг танд хэлэх болно.

Рекурсын тайлбар

Рекурс– энэ объект эсвэл процессыг агуулсан объект, процессын тодорхойлолт, тайлбар, дүрслэл. Өөрөөр хэлбэл, мөн чанартаа объект эсвэл үйл явц нь өөрийн нэг хэсэг юм.

Рекурсийг математик, компьютерийн шинжлэх ухаан, тэр ч байтугай урлаг, нийтийн соёлд өргөн ашигладаг.

Фибоначчийн тоог давталтын хамаарлыг ашиглан тодорхойлно. Дугаарын хувьд n>2 n- e тоо тэнцүү байна (n – 1) + (n – 2).

Алтан харьцааны тайлбар

Алтан харьцаа- бүхэл хэсгийг (жишээлбэл, сегментийг) дараах зарчмын дагуу холбогдох хэсгүүдэд хуваах: том хэсэг нь жижиг хэсэгтэй бүхэл утгын адил (жишээлбэл, хоёр сегментийн нийлбэр) хамааралтай байна. илүү том хэсэг рүү.

Алтан харьцааны тухай анхны дурдлагыг Евклид "Элементүүд" (МЭӨ 300 орчим) зохиолоос олж болно. Тогтмол тэгш өнцөгтийг бүтээх ажлын хүрээнд.

Бидэнд танил болсон нэр томъёог 1835 онд Германы математикч Мартин Ом эргэлтэд оруулсан.

Хэрэв бид алтан харьцааг ойролцоогоор тайлбарлавал энэ нь ойролцоогоор 62% ба 38% гэсэн хоёр тэнцүү бус хэсэгт пропорциональ хуваагдлыг илэрхийлнэ. Тоон утгаараа алтан харьцаа нь тоо юм 1,6180339887 .

Алтан харьцаа нь дүрслэх урлаг (Леонардо да Винчи болон Сэргэн мандалтын үеийн бусад зураачдын зурсан зургууд), архитектур, кино урлаг (С. Есенштейн "Байлдааны Потемкин") болон бусад салбарт практик хэрэглээг олж авдаг. Удаан хугацааны туршид алтан харьцаа нь хамгийн гоо зүйн харьцаа гэж үздэг. Энэ үзэл бодол өнөөг хүртэл алдартай хэвээр байна. Хэдийгээр судалгааны үр дүнгээс харахад ихэнх хүмүүс энэ пропорцийг хамгийн амжилттай сонголт гэж үздэггүй бөгөөд хэт урт (пропорциональ бус) гэж үздэг.

• Хэсгийн урт -тай = 1, А = 0,618, б = 0,382.
• Хандлага -тайруу А = 1, 618.
• Хандлага -тайруу б = 2,618

Одоо Фибоначчийн тоонууд руу буцаж орцгооё. Түүний дарааллаас хоёр дараалсан гишүүнийг авъя. Илүү их тоог бага тоонд хувааж, ойролцоогоор 1.618 болно. Одоо бид ижил том тоо болон цувралын дараагийн гишүүнийг (өөрөөр хэлбэл илүү том тоо) ашиглаж байна - тэдгээрийн харьцаа эрт 0.618 байна.

Энд жишээ байна: 144, 233, 377.

233/144 = 1.618 ба 233/377 = 0.618

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та дарааллын эхнээс (жишээлбэл, 2, 3, 5) тоонуудтай ижил туршилт хийхийг оролдвол юу ч ажиллахгүй. За бараг л. Алтан харьцааны дүрмийг дарааллын эхэнд бараг дагаж мөрддөггүй. Гэхдээ та цувралын дагуу явж, тоо нэмэгдэх тусам энэ нь маш сайн ажилладаг.

Фибоначчийн тоонуудын бүхэл бүтэн цувралыг тооцоолохын тулд дараалсан гурван гишүүний дарааллыг мэдэхэд хангалттай. Та үүнийг өөрөө харж болно!

Алтан тэгш өнцөгт ба Фибоначчийн спираль

Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны өөр нэг сонирхолтой параллель бол "алтан тэгш өнцөгт" гэж нэрлэгддэг зүйл юм: талууд нь 1.618-аас 1-ийн харьцаатай. Гэхдээ бид 1.618 гэж юу болохыг аль хэдийн мэддэг болсон, тийм үү?

Жишээлбэл, Фибоначчийн цувралын 8 ба 13 дараалсан хоёр гишүүнийг авч, өргөн = 8, урт = 13 гэсэн параметртэй тэгш өнцөгтийг байгуулъя.

Дараа нь бид том тэгш өнцөгтийг жижиг хэсгүүдэд хуваана. Заавал хийх нөхцөл: тэгш өнцөгтийн талуудын урт нь Фибоначчийн тоотой тохирч байх ёстой. Тэдгээр. Том тэгш өнцөгтийн хажуугийн урт нь хоёр жижиг тэгш өнцөгтийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байх ёстой.

Энэ зурагт хэрхэн яаж хийгдсэн (хялбар байхын тулд тоонуудыг латин үсгээр тэмдэглэсэн).

Дашрамд хэлэхэд та урвуу дарааллаар тэгш өнцөгтүүдийг барьж болно. Тэдгээр. 1-р талтай квадратаар барьж эхлэх. Дээр дурдсан зарчмыг удирдлага болгон талуудтай дүрсүүдийг хийж дуусгах, тэнцүү тооФибоначчи. Онолын хувьд үүнийг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно - эцсийн эцэст Фибоначчийн цуврал нь албан ёсоор хязгааргүй юм.

Хэрэв бид зураг дээр олж авсан тэгш өнцөгтүүдийн булангуудыг гөлгөр шугамаар холбовол бид логарифмын спираль авна. Өөрөөр хэлбэл, түүний онцгой тохиолдол бол Фибоначчийн спираль юм. Энэ нь ялангуяа хил хязгааргүй, хэлбэр дүрсээ өөрчилдөггүй гэдгээрээ онцлог юм.

Үүнтэй төстэй спираль ихэвчлэн байгальд байдаг. Далайн хясаа нь хамгийн гайхалтай жишээнүүдийн нэг юм. Түүгээр ч барахгүй дэлхийгээс харж болох зарим галактикууд спираль хэлбэртэй байдаг. Хэрэв та зурагтаар гарч буй цаг агаарын мэдээг анхаарч үзвэл, хиймэл дагуулаас зураг авахдаа циклонууд ижил төстэй спираль хэлбэртэй болохыг анзаарсан байх.

ДНХ-ийн спираль нь алтан хэсгийн дүрмийг дагаж мөрддөг нь сонирхолтой юм - түүний гулзайлтын интервалаас харгалзах хэв маягийг харж болно.

Ийм гайхалтай "санамсаргүй тохиолдлууд" нь оюун ухааныг өдөөж, орчлон ертөнцийн бүх үзэгдэл дагаж мөрддөг тодорхой нэг алгоритмын тухай ярихад хүргэдэг. Энэ нийтлэлийг яагаад ингэж нэрлэснийг та одоо ойлгож байна уу? Тэгээд ямар хаалганууд гайхалтай ертөнцүүдМатематик танд бүх зүйлийг нээж чадах уу?

Байгаль дахь Фибоначчийн тоо

Фибоначчийн тоо ба алтан харьцааны хоорондох холбоо нь сонирхолтой хэв маягийг санал болгодог. Фибоначчийн тоотой төстэй дэс дарааллыг байгалиасаа, тэр ч байтугай тухайн үед олохыг оролдох нь маш сонирхолтой юм. түүхэн үйл явдал. Мөн байгаль үнэхээр ийм таамаглалыг бий болгодог. Гэхдээ бидний амьдралын бүх зүйлийг математик ашиглан тайлбарлаж, тайлбарлаж болох уу?

Фибоначчийн дарааллыг ашиглан дүрсэлж болох амьд биетүүдийн жишээ:

• ургамал дахь навч (болон мөчир) -ийн байршил - тэдгээрийн хоорондох зай нь Фибоначчийн тоо (филлотаксис) -тай хамааралтай;

• наранцэцгийн үрийн зохион байгуулалт (үрийг мушгисан хоёр эгнээ спираль хэлбэрээр байрлуулсан. өөр өөр чиглэлүүд: нэг эгнээ цагийн зүүний дагуу, нөгөө нь цагийн зүүний эсрэг);

• нарсны боргоцой масштабын зохион байгуулалт;
• цэцгийн дэлбээ;
• хан боргоцойны эсүүд;
• хүний ​​гар дээрх хурууны фалангуудын уртын харьцаа (ойролцоогоор) гэх мэт.

Комбинаторикийн асуудлууд

Фибоначчийн тоог комбинаторикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Комбинаторикзориулалтын олонлогоос тодорхой тооны элемент сонгох, тоолох гэх мэтийг судалдаг математикийн салбар юм.

Түвшинд зориулагдсан комбинаторикийн бодлогуудын жишээг авч үзье ахлах сургууль(эх сурвалж - http://www.problems.ru/).

Даалгавар №1:

Леша 10 шаттай шатаар авирдаг. Нэг удаа тэр нэг алхам эсвэл хоёр алхам үсэрдэг. Леша шатаар хэдэн замаар авирч чадах вэ?

Леша шатаар авирч болох хэд хэдэн арга зам nалхамуудыг тэмдэглэе болон n.Үүнийг дагадаг a 1 = 1, a 2= 2 (эцсийн эцэст Леша нэг эсвэл хоёр алхмаар үсэрдэг).

Мөн Леша шатаар үсэрдэг гэдэгтэй санал нэг байна n> 2 алхамууд. Тэр анх удаагаа хоёр алхам үсэрсэн гэж бодъё. Энэ нь асуудлын нөхцөл байдлын дагуу тэрээр өөр үсрэх шаардлагатай гэсэн үг юм n - 2алхамууд. Дараа нь авиралтыг дуусгах хэд хэдэн арга замыг тодорхойлсон болно a n–2. Хэрэв бид Леша анх удаагаа нэг алхам үсэрсэн гэж үзвэл авиралтыг дуусгах хэд хэдэн арга замыг тайлбарлах болно. a n–1.

Эндээс бид дараахь тэгш байдлыг олж авна. a n = a n–1 + a n–2(танил харагдаж байна, тийм үү?).

Бид мэдэж байгаа болохоор a 1Тэгээд a 2Асуудлын нөхцлийн дагуу 10 алхам байдаг гэдгийг санаарай, бүгдийг дарааллаар нь тооцоол a n: a 3 = 3, a 4 = 5, а 5 = 8, a 6 = 13, а 7 = 21, а 8 = 34, а 9 = 55, а 10 = 89.

Хариулт: 89 арга.

Даалгавар №2:

Та зөвхөн "a" ба "b" үсгүүдээс бүрдэх 10 үсэгтэй үгсийн тоог олох хэрэгтэй бөгөөд дараалан хоёр "b" үсэг агуулаагүй байх ёстой.

-ээр тэмдэглэе a nүгийн тоо урт nзөвхөн "а" ба "б" үсгээс бүрдэх ба дараалан хоёр "б" үсэг агуулаагүй үсэг. гэсэн үг, a 1= 2, a 2= 3.

Дарааллаар нь a 1, a 2, <…>, a nБид дараагийн гишүүдээ өмнөх гишүүдээрээ дамжуулан илэрхийлэх болно. Тиймээс урттай үгсийн тоо байна n"б" давхар үсэг агуулаагүй, "а" үсгээр эхэлдэг үсэг a n–1. Хэрэв үг урт бол nүсэг нь "б" үсгээр эхэлдэг, ийм үгийн дараагийн үсэг нь "а" байх нь логик юм (эцэст нь асуудлын нөхцлийн дагуу хоёр "б" байж болохгүй). Тиймээс урттай үгсийн тоо байна nэнэ тохиолдолд бид үсгүүдийг гэж тэмдэглэнэ a n–2. Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд аль ч үг (урт n - 1Тэгээд n - 2үсэг тус тус) давхар "б" байхгүй.

Бид яагаад гэдгийг зөвтгөж чадсан a n = a n–1 + a n–2.

Одоо тооцоолъё a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, а 10= а 9+ а 8= 144. Тэгээд бид сайн мэддэг Фибоначчийн дарааллыг олж авдаг.

Хариулт: 144.

Даалгавар №3:

Нүдэнд хуваагдсан соронзон хальс байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь баруун тийшээ явж, тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилдэг. Соронзон хальсны эхний квадрат дээр царцаа тавь. Тэр соронзон хальсны аль ч нүдэн дээр байгаа хамаагүй, тэр зөвхөн баруун тийшээ шилжиж болно: нэг нүд эсвэл хоёр. Царцаа соронзон хальсны эхнээс үсрэх хэд хэдэн арга байдаг n- эсүүд үү?

Туузан дагуу царцааг хөдөлгөх хэд хэдэн арга замыг зааж өгье n--р эсүүд дуртай a n. Энэ тохиолдолд a 1 = a 2= 1. Мөн дотор n+1Царцаа аль аль нь --р нүдэнд орж болно n--р үүр, эсвэл дээгүүр нь үсрэх замаар. Эндээс a n + 1 = a n - 1 + a n. Хаана a n = Fn - 1.

Хариулт: Fn - 1.

Та өөрөө ижил төстэй бодлогуудыг үүсгэж, ангийнхантайгаа математикийн хичээл дээр шийдвэрлэхийг оролдож болно.

Алдартай соёл дахь Фибоначчийн тоо

Мэдээжийн хэрэг, Фибоначчийн тоо гэх мэт ер бусын үзэгдэл хүмүүсийн анхаарлыг татахгүй байх боломжгүй юм. Энэхүү хатуу батлагдсан загварт сэтгэл татам, бүр нууцлаг зүйл байсаар байна. Фибоначчийн дараалал нь орчин үеийн олон бүтээлд ямар нэгэн байдлаар "гэрэлтдэг" нь гайхах зүйл биш юм алдартай соёлтөрөл бүрийн төрөл.

Бид тэдний заримын талаар танд хэлэх болно. Тэгээд чи өөрийгөө дахин хайх гэж оролдоно. Хэрэв та үүнийг олсон бол сэтгэгдэл дээр бидэнтэй хуваалцаарай - бид ч бас сонирхож байна!

• Фибоначчийн тоог Дан Брауны бестселлер "Да Винчи код" номонд дурдсан байдаг: Фибоначчийн дараалал нь номын гол баатруудын сейф нээхэд ашигладаг код болдог.
• 2009 онд Америкийн "Ноён хэн ч биш" кинонд нэг ангид байшингийн хаяг нь Фибоначчийн дарааллын нэг хэсэг - 12358. Үүнээс гадна өөр нэг ангид. гол дүрүндсэндээ ижил боловч бага зэрэг гажуудсан утасны дугаар руу залгах ёстой ( нэмэлт цифр 5 дугаарын дараа) дараалал: 123-581-1321.
• 2012 оны "Холболт" цувралын гол дүр болох аутизмтай хүү дэлхий дээр болж буй үйл явдлуудын зүй тогтлыг ялгаж салгаж чаддаг. Үүнд Фибоначчийн тоогоор дамжуулан. Мөн эдгээр үйл явдлыг тоогоор дамжуулан удирд.
• Java тоглоом хөгжүүлэгчдэд зориулсан гар утаснууд Doom RPG нь түвшний аль нэгэнд тавигдсан нууц хаалга. Үүнийг нээдэг код нь Фибоначчийн дараалал юм.
• 2012 онд Оросын рок хамтлаг Splin "Оптик хуурмаг" концепт цомгоо гаргасан. Найм дахь дууг “Фибоначчи” гэдэг. Бүлгийн удирдагч Александр Васильевын шүлгүүд Фибоначчийн тоонуудын дарааллаар тоглодог. Дараалсан есөн гишүүний хувьд тохирох тооны мөр байна (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Галт тэрэг хөдөллөө

1 Нэг үе тасарсан

1 Нэг ханцуй нь чичирэв

2 Ингээд л юмаа аваарай

Ингээд л юмаа аваарай

3 Буцалж буй ус авах хүсэлт

Галт тэрэг гол руу явдаг

Галт тэрэг тайга дундуур явдаг<…>.

• Жеймс Линдоны Лимерик (тодорхой хэлбэрийн богино шүлэг - ихэвчлэн таван мөрт, тодорхой шүлгийн схемтэй, агуулгын хувьд инээдэмтэй, эхний ба сүүлчийн мөрүүд нь бие биенээ давтсан эсвэл хэсэгчлэн давтдаг) мөн Фибоначчийн ишлэлийг ашигладаг. инээдмийн мотив болгон дараалал:

Фибоначчийн эхнэрүүдийн өтгөн хоол

Энэ нь зөвхөн тэдний ашиг тусын тулд байсан, өөр юу ч биш.

Цуу ярианы дагуу эхнэрүүд жинлэв.

Тус бүр нь өмнөх хоёртой адил юм.

Үүнийг нэгтгэн дүгнэе

Өнөөдөр бид танд олон сонирхолтой, хэрэгтэй зүйлийг хэлж чадсан гэдэгт найдаж байна. Жишээлбэл, та одоо эргэн тойрныхоо байгалиас Фибоначчийн спираль хайж болно. Магадгүй та "амьдрал, орчлон ертөнц, ерөнхийдөө нууцыг" тайлж чадах хүн байх болно.

Комбинаторикийн асуудлыг шийдэхдээ Фибоначчийн тоонуудын томъёог ашиглана уу. Та энэ нийтлэлд тайлбарласан жишээнүүдэд найдаж болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.