Сегментийн төгсгөлүүд. Таны корреспондент курс геометр нь танилцуулгатай ажиллах Лосевагийн зааврыг хуурамчаар үйлдсэн

Тойрог тэнцүү байна. Параллелограммын талбайг ол. Хэсэг. Диагональ. Дөрвөн өнцөгт. Параллелограмм. Өнцөг. Тойргийн төвүүд. Тойрог. Баталгаа. Гурвалжин. Хоёр тойрог. Параллелограммын шинж чанар. Параллелограммын өндөр. Геометр. Дөрвөлжин. Параллелограммын талбай. Параллелограммын шинж чанарууд. Сегментүүдийн тэгш байдал. Цэгүүд. Даалгаврууд. Тойрогтой шүргэгч. Хурц өнцөг. Дунд шугам. Параллелограммын шинж тэмдэг.

"Хоёр өнцөгт өнцөг, хавтгайн перпендикуляр байдал" - Бүх зургаан нүүр нь тэгш өнцөгт юм. огтлолцох шугам хоорондын зай. Хоёр хавтгайн перпендикуляр байдлын тэмдэг. Зайг ол. Шугаман хоёр өнцөгт өнцөг. Өнцгийг ол. Шугаманд перпендикуляр хавтгай. Планиметр. Хоёр талт өнцөг. А шугам нь хавтгайд перпендикуляр байна. Кубын ирмэг. Параллелепипед. Хэсэг. ABC1 ба A1B1D онгоцууд перпендикуляр байна. Өнцгийн тангенсыг ол. Диагональ.

"Стереометрийн аксиомуудын үр дүн" - Геометрийн хэсэг. Шугаман ба хавтгайн огтлолцол. Хавтгай, шулуун. Онгоц. Шоо дөрвөлжин дүрсийг бүтээ. Нэг, хоёр, гурав, дөрвөн цэгээр хэдэн нүүр дамждаг. Шинэ материалын тайлбар. Шулуун шугам зур. Баталгаа. Шийдэл. Аман ажил. Мэдэгдэл. Стереометрийн аксиомууд ба тэдгээрийн зарим үр дагавар. Стереометр гэж юу вэ? Планиметрийн аксиомууд. Онгоцуудын огтлолцлын шугамыг ол.

"Пирамидын тухай ойлголт" - Пирамидын нүүр царай. Аюулгүй байдлын асуултууд. Пирамидын хажуугийн хавирга. Гизагийн гайхамшиг. Олон өнцөгт. Тэнцүү өнцөг. Эдийн засаг дахь пирамид. Аялалын маршрут. Пирамидын ёроолд мастаба байдаг. Хажуугийн ирмэг. Египетийн пирамидууд. Химийн пирамидууд. Пирамидын суурь. Алхам пирамидууд. Орчин үеийн аж үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжийн загвар. Пирамидын ертөнц рүү виртуал аялал. Хажуугийн хавирга. Метан молекулын бүтэц. Хажуугийн хажуугийн нүүрнүүд.

"Төв тэгш хэмийн жишээ" - Хивс дээрх хээ. Сегмент. Өгөгдсөн хэмжүүр бүхий өнцөг. Онгоц. Сегмент өгөгдсөн урт. Зургаан хошуут од дахь төвийн тэгш хэм. Төвийн тэгш хэм. Дөрвөлжин дэх төв тэгш хэм. "Прибальтийская" зочид буудал. Chamomile. Ургамлын тэгш хэмийн жишээ. Шулуун. Тэгш өнцөгт координатын систем дэх төвийн тэгш хэм. Тээвэрлэлтийн төв тэгш хэм. Стереометрийн аксиомууд. Амьтан судлалын төв тэгш хэм.

"Стереометрийн аксиомууд, 10-р анги" - Стереометрийн аксиомууд. A, B, C? нэг шулуун шугам A, B, C? ? ? - цорын ганц онгоц. Онгоц огтлолцсон хоёр шугамыг дайран өнгөрдөг ба зөвхөн нэг. Бодлого өгөгдсөн MABC тетраэдр, тэдгээрийн ирмэг бүр нь 6 см бөгөөд хавтгайнуудын огтлолцох шугамыг нэрлэ: A) (MAB) ба (MFC) B) (MCF) ба (ABC). Стереометрийн аксиомуудын үр дүн. 4. AD=a бол AK ба AB1 хэрчмүүдийн уртыг тооцоол. 2. CF сегментийн урт ба ABC гурвалжны талбайг ол.

5. Дугуйлсан зураг:

О1 цэгт төвтэй тойргийн дүрс нь α проекцын хавтгайд хамаарах төв нь О цэгтэй эллипс юм.

Хоёр огтлолцох шулууны нийтлэг перпендикулярэдгээр шугамууд дээр төгсгөлтэй, тэдгээрт перпендикуляр сегмент гэж нэрлэдэг.

Хөндлөнгийн шугам хоорондын зайтэдгээрийн нийтлэг перпендикулярын урт гэж нэрлэдэг. Энэ нь эдгээр шугамыг дайран өнгөрөх параллель хавтгайн хоорондын зайтай тэнцүү байна.

Огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөгӨгөгдсөн огтлолцох шугамтай параллель огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийг гэнэ.

Ерөнхий гурван перпендикуляр теорем

Энэ хавтгай дээрх налуугийн проекцтой перпендикуляр хавтгай дээрх аливаа шулуун шугам нь налуутай перпендикуляр байна.

Мөн эсрэгээр: хэрэв хавтгай дээрх шулуун шугам нь налуутай перпендикуляр байвал энэ нь налуугийн проекцтой перпендикуляр байна.

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөгшулуун ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцгийг (φ өнцөг) гэж нэрлэдэг.

Хоёр огтлолцох хавтгай хоорондын өнцөгЭдгээр хавтгайн огтлолцох шулуун шугамын хоорондох өнцгийг

эдгээр хавтгайн огтлолцох шугамд перпендикуляр хавтгай (φ‘ өнцөг).

Олон өнцөгтийг хавтгай дээрх ортогональ проекцын талбайнь түүний талбайн үржвэр ба олон өнцөгтийн хавтгай ба проекцын талбайн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү байна.

Бодлого 1. ABCD квадратын диагональуудын огтлолцлын О цэгээр түүний хавтгайд 15 см урттай МО перпендикуляр татагдсан бол түүний тал нь 16 см бол М цэгээс квадратын талууд хүртэлх зайг ол.

Хариулт: 17 см.

Бодлого 2. 12 см-тэй тэнцүү AS хэрчим ABC гурвалжны хавтгайд перпендикуляр бөгөөд AB=AC=20 см, BC=24 см S цэгээс BC шулуун хүртэлх зайг ол.

Хариулт: 20 см.

Бодлого 3. Талбай нь 180 см2 ABCD тэгш өнцөгтийн хавтгайд перпендикуляр SD зурсан, SD = 12 см, BC = 20 см тэгш өнцөгтийн S цэгээс талууд хүртэлх зайг ол.

Хариулт: 12 см, 12 см, 15 см, 4 34 см.

Асуудал 4. Хөлний АС зөв гурвалжин a-тай тэнцүү, В өнцөг нь φ-тэй тэнцүү. Зөв өнцгийн оройгоор энэ гурвалжны хавтгайд a урттай перпендикуляр MC татагдана. Гипотенузын перпендикулярын төгсгөл хүртэлх зайг ол.

Хариулт: a cosϕ; a 1+ cos2 ϕ .

Бодлого 5. ABC гурвалжинд талууд AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см А оройноос түүний хавтгайд 5 см урттай AD перпендикуляр татагдсан бөгөөд D цэгээс BC тал хүртэлх зайг ол.

Хариулт: 13 см.

Бодлого 6. ABCD ромбын хавтгайд Ð A = 45°, AB = 8 см урттай 7 см урттай перпендикуляр MC-г татав.

Хариулт: 7 см, 7 см, 9 см, 9 см.

Даалгавар 7. Кубын зураг дээр AB ба CD шулуун шугамын нийтлэг перпендикуляруудыг байгуул.

Асуудал 8. Хувьсах гүйдлийн талаас тэгш талт гурвалжин ABC бол α хавтгай юм. Гурвалжны BD өндөр ба энэ хавтгайн хоорондох өнцөг нь φ-тэй тэнцүү байна. AB шулуун ба α хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Хариулт: arcsinç				sinϕ ÷.

Бодлого 9. Энгийн АВС гурвалжны О төвөөр дамжуулан түүний хавтгайд татагдсан

MO-д перпендикуляр. AB=a 3. MA шулуун ба гурвалжны хавтгай хоорондын өнцөг нь 45 ° байна. Хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг ол: 1) AMO ба VMO; 2) IUD ба ABC.

Хариулт: 1) 60°; 2) arctg 2.

Бодлого 10. ABC ба ABD тэгш талт гурвалжны хавтгайнууд перпендикуляр байна. Өнцгийг ол:

1) DC шулуун ба ABC хавтгай хооронд; ADC болон BDC онгоцуудын хооронд.

Хариулт: 1) 45°; 2) arccos 1 5 .

Бодлого 11. Олон өнцөгт нь проекцын хавтгайтай параллель биш гурвалжин байх тохиолдолд олон өнцөгтийн проекцын талбайн теоремыг батал.

Бодлого 12. Кубын ирмэг нь a-тай тэнцүү. Шоогийн хөндлөн огтлолын талбайг суурийн оройг 30 градусын өнцгөөр дамжуулж, бүх хажуугийн ирмэгийг огтолж буй хавтгайгаар ол.

Хариулт: 2 3 a 2.

Бодлого 13. Тэгш өнцөгтийн талууд нь 20 ба 25 см хавтгай дээрх проекц нь үүнтэй төстэй. Проекцийн периметрийг ол.

Хариулт: 72 см эсвэл 90 см.

Бодлого 14. АС суурьтай параллель MN дунд шугамын дагуу 16 см өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжинг нугалахад В орой нь ACNM дөрвөлжингийн хавтгайгаас 4 см зайтай байна.

a) AMC ба MBN хавтгайн хоорондох өнцгийг ол;

b) BMNC хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцгийг байгуулж, өнцгийн хэмжүүрийг ол. зөв бичгийн проекц AMNC дөрвөн өнцөгтийн хавтгай дээрх В орой нь түүний гадна байрладаг;

в) BMNC хоёр өнцөгт өнцөг болон BMA өнцгийн өнцгийн хэмжүүрүүдийг харьцуулах; d) В цэгээс АС шулуун шугам хүртэлх зайг ол;

e) MN шулуунаас ABC хавтгай хүртэлх зайг ол;

f) AMB болон BNC онгоцны огтлолцлын шугамыг байгуулна.

3. Өөрийгөө хянах даалгавар

1. Шоогийн ирмэг 10 см a ба b шулуунуудын хоорондох зайг ол.

2. ABC гурвалжны А оройгоор шулуун шугам татсан. хавтгайд перпендикуляргурвалжин. AB = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см бол a ба BC шулуунуудын хоорондох зайг ол.

Хариулт: 12 см.

3. ABCD квадратын хавтгайд перпендикуляр KD зурсан. Талбайн тал нь 5 см. Шугамын хоорондох зайг ол: 1) AB ба KD; 2) KD ба AC.

Хариулт: 1) 5 см; 2) 5 2 2 см.

4. α ба β хавтгайн хоорондох өнцөг 30° байна. α хавтгайд байрлах А цэг нь хавтгайнуудын огтлолцлын шугамаас 12 см зайд А цэгээс β хавтгай хүртэлх зайг ол.

Хариулт: 6 см.

5. ABCD квадратын O төвөөр дамжуулан түүний хавтгайд перпендикуляр SO татагдана. SC шулуун ба квадратын хавтгай хоорондын өнцөг 60°, AB = 18 см ABC ба BSC хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.

Хариулт: arctg 6.

6. 4 2 см талтай квадратыг M ба N талуудын DC ба ВС-ийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу нугалж, C оройг хавтгайгаас салгав.

AMN 1 см-ээр.

a) ADM ба CMN хавтгайн хоорондох өнцгийг ол;

б) BMNC хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцгийг байгуулж, ABNMD таван өнцөгтийн хавтгай дээрх С оройны ортогональ проекц нь түүний хил хязгаараас давсан байвал түүний өнцгийн хэмжээг ол;

в) BMNC хоёр өнцөгт өнцөг ба CNB өнцгийн өнцгийн хэмжүүрийг харьцуулах; г) С цэгээс BD шулуун шугам хүртэлх зайг ол;

д) MN шулуунаас BDC хавтгай хүртэлх зайг олох;

е) BNC ба DMC хавтгайн огтлолцох шугамыг байгуулна.

Хариулт: a) 30°; d) 2 × 2 + 3 см; г) 2-3 см.

7. ABCD параллелограммын A ба D оройнууд нь α хавтгайд байх ба нөгөө хоёр нь энэ хавтгайн гадна орших AB = 15 см, BC = 19 см параллелограммын α хавтгай дээрх диагональуудын проекцууд 20 см байна ба 22 см BC талаас α хавтгай хүртэлх зайг ол.

Заавар: Параллелограммын диагональуудын квадратуудын нийлбэрийн теоремыг ашиглана.

Хариулт: 12 см.

8. М цэгийг ижил өнцөгт трапецын тал бүрээс 12 см зайд авав. Трапецын суурь нь 18 см ба М цэгээс трапецын хавтгай хүртэлх зайг ол.

Хариулт: М цэг нь трапецын хавтгайд байрладаг.

9. ABCD тэгш өнцөгтийн А оройгоор тэгш өнцөгтийн хавтгайд AD ба AB талуудтай 50° өнцөг үүсгэсэн налуу AM зурсан. Энэ налуу хавтгай ба тэгш өнцөгтийн хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Хариулт: 32°57'.

10. AB=25 см хэрчмийн төгсгөлүүд нь 60°-тай тэнцүү хоёр талт өнцгийн нүүрэн дээр байрладаг. А ба В цэгүүдээс AC ба BD перпендикулярууд хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэг дээр унасан, AC = 5 см, BD = 8 см CD-г ол.

Хариулт: 24 см.

Хичээл № 7

Хичээлийн сэдэв: "Сансар дахь декартын координатын систем"

- орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын системийн талаархи сурагчдын сургуулийн мэдлэгийг нэгтгэх;

- орон зай дахь дүрсийн тэгшитгэлийн талаархи мэдлэгийг системчлэх;

- орон зайд геометрийн дүрсийн тэгшитгэлийг зурах асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг нэгтгэх.

1. Дүгнэлтонолын материал

t.O – координатын гарал үүсэл; Үхэр - абсцисса тэнхлэг; Оу – ордны тэнхлэг; Oz – хэрэглэх тэнхлэг. xy , xz u yz – координатын хавтгай

Хоёр цэгийн хоорондох зай

Сегментийн дунд цэгийн координатууд

F дүрсийг энэ тэгшитгэлээр тэгш өнцөгт координатаар өгсөн, хэрэв цэг нь F зурагт хамаарах бол энэ цэгийн координат нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангаж байвал. Энэ нь 2 нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм:

1) хэрэв цэг нь F зурагт хамаарах бол түүний координатууд тэгшитгэлийг хангана;

2) хэрэв x, y, z тоонууд энэ тэгшитгэлийг хангаж байвал ийм координаттай цэг нь F зурагт хамаарна.

Бөмбөрцгийн тэгшитгэл Бөмбөрцөг гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс зайтай орон зайн цэгүүдийн багц юм

заасан эерэг зай. Үүний зэрэгцээ өгсөн онооБөмбөрцгийн төв гэж нэрлэгддэг ба энэ зай нь түүний радиус юм.

A (a;b;c) цэгт төвтэй R радиустай бөмбөрцгийг тэгшитгэлээр (тодорхойлолтоор) өгөв.

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2.

Хэрэв бөмбөрцгийн төв нь координатын эхлэлтэй давхцаж байвал a=b=c=0 бөгөөд бөмбөрцгийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

Хавтгай тэгшитгэл

Теорем. Орон зайн хавтгайг x, y, z тэгш өнцөгт координатын системд A2 +B2 +C2 >0 байх тохиолдолд Ax+By+Cz+D=0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Үнэн ба харилцан яриа: тэгш өнцөгт координатын систем дэх орон зай дахь хавтгайг A2 +B2 +C2 >0 тодорхойлох нөхцөлд Ax+By+Cz+D=0 тэгшитгэл.

Шугамын тэгшитгэл

Орон зайн шулуун шугам нь хоёр хавтгайн огтлолцох шугам юм.

Ð A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Хэрэв A (x1 ;y1 ;z1 ) ба B (x2 ;y2 ;z2 ) цэгүүдийг дайран өнгөрөх AB шулуун нь аль нэгтэй параллель биш бол координатын хавтгай, тэгвэл түүний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x−x1				y−y1				z − z1

2. Танхимын сургалтын даалгаврын систем

Бодлого 1. Кубын тал нь 10. Оройнуудын координатыг ол.

Бодлого 2. A(7;1;-5), B(4;-3;-4), C(1;3;-2) бол ABC гурвалжны периметрийг ол.

Хариулт: 14 + 26.

Бодлого 3. Хэрэв A(3;2;2), B(1;1;1), A, B, C гурван цэг нь нэг шулуун дээр байх уу.

Хариулт: Тийм ээ.

Бодлого 4. А(2;1;5) эсвэл В(-2;1;6) цэгүүдийн аль нь гарал үүсэлд ойр орших вэ? Хариулт: А цэг.

Бодлого 5. K(0;2;1), P(2;0;3) ба T(-1;y;0) оноо өгөгдсөн. Нөхцөл хангагдсан y-ийн утгыг ол: CT = RT.

Хариулт: -3.

Бодлого 6. A(2;0;2) бол ABC гурвалжны талуудын дунд цэгүүдийн координатыг ол.

B(2;2;0), C(2;2;2).

Хариулт: A1 (2;2;1), B1 (2;1;2), C1 (2;1;1).

Бодлого 7. A(2;1;3), B(2;1;5), ABC гурвалжны AM медиан уртыг ол.

Хариулт: AM=1.

Бодлого 8. Дараах тэгшитгэлүүдийн аль нь бөмбөрцгийн тэгшитгэл вэ?

a) x 2 − y 2				x 2 + y 2 + z 2 =1;	в) x 2 + y 2 + z 2 = a 2;
d) x 2 + y 2		1+ x ;		2x 2 + y 2 + z 2 =1;	д) x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 3y − 4z =1?

Бодлого 9. Агаарын тэнхлэг ба А(1;1;1) цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

b) цэгүүд O(0;0;0); A(1;2;-3) ба B(2;-2;5).

Бодлого 10. Хавтгай ба бөмбөрцгийг 4x+3y–4=0, x2 +y2 +z2 –2x+8y+8=0 тэгшитгэлээр олно. Бөмбөрцгийн төв нь энэ хавтгайд хамаарах уу?

Бодлого 11. А(1;3;2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Тэдний огтлолцох цэгүүдийг ол.

Бодлого 13. ABCD тетраэдрийн D оройноос ABC нүүр хүртэлх зайг ол.

хэрэв AC=CB=10, AB=12, DA=7, DB= 145, DC= 29.

Хариулт: 3.

Бодлого 14. AB=AC=BC=10 бол ABCD тетраэдрийн AD ирмэгийн уртыг ол.

DB=2 29 , DC= 46 ба D оройноос ABC нүүрний хавтгай хүртэлх зай нь тэнцүү байна.

Хариулт: 214 эсвэл 206.

3. Өөрийгөө хянах даалгавар

1. Өгөгдсөн оноо K(0;1;1); P(2;-1;3) ба T(-1;y;0). Нөхцөл хангагдсан y-ийн утгыг ол: CT = RT.

2. А (1;2;3) ба В (3;-6;7) оноо өгөгдсөн. AB сегментийн дунд цэгийн координатыг ол.

3. Ой тэнхлэгт орших, А (4;-1;3) ба В (1;3;0) цэгүүдээс ижил зайд орших цэгийн координатыг ол.

4. А(0;0;1), В(0;1;0), С(1;0;0) цэгүүдээс ижил зайтай, yz хавтгайгаас 2-ын зайтай цэгүүдийг ол.

5. A(a;0;0), B(0;a;0) оноо			С(0;0;а) – гурвалжны оройнууд. Координатыг ол
	энэ гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэгүүд.
	харьяалагддаг				тэгшитгэл нь бөмбөрцөг
	x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0?
	Нэг цэг ол	бөмбөрцгийн уулзварууд,		өгсөн	тэгшитгэл x 2 + y 2 + z 2 − 4 x = 12 s

8. Онгоцны тэгшитгэлийг бичнэ үү. хавтгайтай зэрэгцээ xy ба A(2;3;4) цэгийг дайран өнгөрөх.

9. Оноо O(0;0;0); A(3;0;0); B(0;4;0) ба О 1 (0;0;5) – тэгш өнцөгт параллелепипедийн орой. Түүний бүх нүүрний хавтгайн тэгшитгэлийг бич.

10. A(1;1;2) ба цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич B(-3;2;7).

11. Хэрэв сегментийн нэг төгсгөл нь шоо дөрвөлжингийн диагональ дээр, нөгөө нь түүнийг огтолж буй хажуугийн нүүрний диагональ дээр байрласан бол b урттай хэрчмүүд шоогийн суурийн хэсгээс ямар зайд суурьтай параллель байрлах вэ? Кубын ирмэгийн урт a.

Хариулт: (2a ± 5b 2 − a 2) ÷ 5.

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – куб хэлбэртэй, AB=BC=a, AA1=2a. M AD1, K DB1, AM:AD1 = 2:3 бол ABB1 A1 нүүртэй параллель MK сегментийн уртыг ол.

Хариулт: a 3 5 .

Хичээл №8

Хичээлийн сэдэв: "Сансар дахь векторууд ба стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэх вектор арга"

- векторууд ба тэдгээрт үзүүлэх үйл ажиллагааны талаархи оюутнуудын сургуулийн мэдлэгийг нэгтгэх, гүнзгийрүүлэх;

- Планиметр ба стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэх вектор аргыг үргэлжлүүлэн судлах; a нь " a, b.

2-р шинж чанар: (xa) × b = x(a × b) нь " a, b, x. Property 3: (a + b) × c = a × c + b × c for " a, b, c.

Хоёр онцгой тохиолдол:

1) a = b; a × a = a2 = a 2.

2) a, b векторууд перпендикуляр байвал a × b = 0 байна. Хэрэв a эсвэл b нь тэг вектор бол тодорхойлолтоор энэ нь дурын векторт перпендикуляр байна.

Хэрэв a =(a1;a2;a3); b =(b1 ;b2 ;b3 ), дараа нь a × b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 болно.

Слайд 2

Нээлттэй хичээл: Л.С. Атанасян

Слайд 3

Танилцуулгатай ажиллах заавар:

Слайдуудыг хулганаар харуулна. Та ямар ч слайдаас ажиллаж эхлэх боломжтой. Та слайдын хэсгийг сонгож болно. Та шаардлагатай материалыг хуулж болно.

Слайд 4

Хоёр талт өнцөг. 2008 оны 10-р анги

Слайд 5

Хичээлийн зорилго: 1. Үзэл баримтлалыг өргөжүүлэх: “Өнцөг” 2. Хоёр өнцөгт өнцгийн тодорхойлолтыг гарга. Хоёр өнцөгт өнцгийг хэмжиж сурах4. Бодлого шийдвэрлэхдээ хоёр талт өнцгийн шинж чанарыг ашиглаж сур.

Слайд 6

Давталт.1. Шугаман өнцгийн тодорхойлолт.2.Гурван перпендикуляр теорем.3.Налуу ба проекц.4.Тригонометрийн функцийн тодорхойлолт.4. Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд.

Слайд 7

Бид хулганын командын дагуу өнцгүүдийг аажим аажмаар харуулах тул тодорхойлолт, шинж чанарыг давтан хийнэ Шугаман өнцөг (хурц, зөв, мохоо) Босоо өнцөг Зэргэлдээ өнцөг Төв өнцөг Бичсэн өнцөг.

Слайд 8

Слайд 9

Перпендикуляр, ташуу, проекц. Гурван перпендикулярын теорем. Ташуу ба проекцуудын шинж чанарууд. Эдгээр асуултуудыг асуудлууд дээр давт.

Слайд 10

B S A K N Перпендикуляр, ташуу ба проекц нь KS шулуун шугамын гурван перпендикулярын теоремоор Пифагорын теоремоор холбогдоно. ABC KS онгоц Тэнцүү налуу нь …….. Том налуутай………

Слайд 11

A B C D V H P N A B C D E F M H S O P R HD (AO) шулуун ба суурийн хавтгай ба хажуугийн гадаргуугийн хоорондох өнцгийг ол.

Слайд 12

A D C B F F цэгээс DC ба AD-д перпендикуляр зурна ABCD – дөрвөлжин, ромб. Перпендикуляр, ташуу, ташуу проекцууд хоорондоо ямар холбоотой вэ?

Слайд 13

A B C D F Хаана үзэх вэ гурвын теоремперпендикуляр?

Слайд 14

Даалгавар.

ABCD квадратын В оройгоор BM перпендикуляр зурсан. Мэдэгдэж байна MA=4см MD=5см, М-ээс хавтгай хүртэлх зайг ол; MV ба DC хоорондох зай. A B C D M

Слайд 15

Хичээлийн гол хэсэг.

Практик даалгавар: Хүн бүр файлын хуудсыг авч, тэгш бус хоёр хэсэгт хувааж, нийтлэг шулуун шугамтай огтлолцсон хоёр хагас хавтгайг хоёр өнцөгт өнцөг гэж нэрлэдэг гэж дүгнэв. Хэрхэн хэмжих вэ? Нийтлэг шулуун шугам зурцгаая, хавтгайн аксиомыг санаж, ирмэг дээр цэг тэмдэглэе. Нүүр тус бүрийн өгөгдсөн цэгээс ирмэг рүү перпендикуляр зуръя. Бид ирмэгийн дагуу дахин нугалж, өнцөг нь өөр өөр байна гэж дүгнэж байгаа нь тэдгээрийг ялгах шаардлагатай гэсэн үг юм, яаж? Бид хайч аваад перпендикулярын дагуу зүсэж, хуудсыг хагарал руу оруулаад шугаман өнцгийг харна. Бид хүлээн авсан саналд хариулт өгөх слайдуудыг үзэж байна. Хоёр талт өнцгийн хэмжилтийг тодорхойлъё. Бид пирамид, призм болон ширээн дээр давхар өнцгийг харуулж байна.

Слайд 16

Хоёр талт өнцөг Хоёр өнцөгт өнцгийн хэмжүүр нь түүний шугаман өнцгийн хэмжүүр гэдгийг мэддэг. Хэрэв бид нүүр бүр дээр хоёр талт өнцгийн ирмэг дээр цэгийг тэмдэглэж, энэ цэгээс ирмэг рүү перпендикуляр туяа татвал шугаман өнцгийг олж авна. М

Слайд 17

Ирмэг дээрх цэг нь дур зоргоороо байж болно ...

Слайд 18

Тодорхойлолт:

α β B A C M N P

Слайд 19

Хоёр талт өнцгийн шугаман өнцгийг дараах байдлаар байгуулах нь заримдаа тохиромжтой байдаг: А цэгээс бид α-г AC┴a ирмэг дээр буулгаж, нөгөө нүүртэй перпендикуляр AB┴β CB нь AC-ийн проекц болно. онгоц β. AC┴a-аас хойш, дараа нь BC┴apo теоремын эсрэгойролцоогоор 3 перпендикуляр. ACB нь a ирмэгтэй хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцөг юм. A B C a α β

Слайд 20

Перпендикуляр хавтгайнууд. Хоёр огтлолцох өнцөг нь 90 ° бол тэдгээрийг перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Слайд 21

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Хэрэв онгоц өөр хавтгайд перпендикуляр шугамаар дамжин өнгөрвөл ийм хавтгайнууд перпендикуляр байна.

Слайд 22

Асуудлыг шийдвэрлэх:

Слайд 23

Асуудлыг шийдвэрлэх талаархи тэмдэглэл.

Та "Autofigures" ашиглан компьютер дээр шийдэж болно Та "interboard" дээр шийдэж болно. Энгийн самбар эсвэл самбар дээр шууд проекц хийх боломжтой. Бид дэлгэцэн дээр асуудлын нөхцөлийг харуулж, зургийг дуусгаж, шууд хүрээ дээр шийддэг. Оюутан бүр асуудлын шийдлийг хадгалах боломжтой бөгөөд дараа нь багш үүнийг үнэлнэ. Та оюутны шийдлүүдийг нийтлэг дэлгэц дээр үзүүлж, өөр өөр аргуудыг авч үзэх боломжтой.

Слайд 24

М цэг нь 30-тай тэнцүү хоёр өнцөгт өнцгийн аль нэг нүүрэн дээр байрладаг. Цэгээс хоёр өнцөгт өнцгийн ирмэг хүртэлх зай нь 18 см. М цэгийн хоёр дахь нүүрэн дээрх проекцоос ирмэг хүртэлх зайг тооцоол хоёр талт өнцөг.

Слайд 25

Хоёр өнцөгт тэгш өнцөгтийн нүүрэн дээр байрлах АС ба ВС сегментүүд нь түүний ирмэгт перпендикуляр байна. AC=10см, ВС=24см бол А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоол.

Слайд 26

Хоёр талт өнцгийн нүүрэн дээрх K цэгийг нөгөө талаас нь 12 см, ирмэгээс нь хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг тооцоолно.

Слайд 27

А цэг нь бие биетэйгээ тэнцүү хоёр өнцөгтийн ирмэг дээр байрладаг. В ба С цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоол.

Слайд 28

AC = CB = 10, AB = 16, CD = 6 бол D цэгээс AB шулуун хүртэлх зайг ол. D цэгээс AB шулуун хүртэл перпендикуляр зур. AB ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцгийг ол. ▲ABC, CD╨ABC D

Слайд 29

▲ABC, CD ╨ ABC). D цэгээс AB шулуун шугам хүртэлх зайг ол, (АВ ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг ол) шулуун ACB, AC = 15, CB = 20, CD = 35. А Д

Слайд 30

M ба K цэгүүд нь зөв хоёр өнцөгт өнцгийн өөр өөр нүүрэн дээр байрладаг. Эдгээр цэгүүдээс ирмэг хүртэлх зай нь 20 см ба 21 см байна MC-ийн сегментүүд ба хоёр талт өнцгийн ирмэгийн хоорондох зайг тооцоол.

Слайд 31

Сегментийн төгсгөлүүд нь хоёр талт өнцгийн нүүрэн дээр байрладаг бөгөөд түүний ирмэгээс 6 см зайд байрладаг. Энэ сегмент ба ирмэгийн хоорондох зай нь 3 см. Хоёр өнцөгт өнцгийг тооцоол.

Слайд 32

K цэг нь ABC тэгш өнцөгт гурвалжны тал бүрээс 8 см зайтай, AB = 24 см ирмэг нь BC шулуун, нүүр нь K ба А цэгүүдийг агуулсан хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг тооцоол.

К А В С А В С

Слайд 33

a) M хавтгай нь ABCD квадратын AD талыг дайран өнгөрч, BD диагональ нь M хавтгайтай 45 градусын өнцөг үүсгэнэ. Талбайн хавтгай ба M хавтгайн хоорондох өнцгийг ол. b) M хавтгай ABCD квадратын AD талыг дайран өнгөрч, хавтгайтай 30 градусын өнцөг үүсгэнэ. Диагональ BD-ийн M хавтгайд хийх өнцгийг ол.

Слайд 34

PABCD пирамидын суурь нь ABCD тэгш өнцөгт бөгөөд RAB ба RBC хавтгай нь ABC хавтгайд перпендикуляр, PAC хавтгай нь түүнд налуу байна. Пирамидын өндөр ба эзэлхүүнийг ол.

Слайд 35

Гурвалсан өнцгийн шинж чанар.

Хэрэв хоёр хавтгай өнцөг тэнцүү бол тэдгээрийн нийтлэг ирмэг нь гурав дахь хавтгайн өнцгийн биссектрист проекц болно. A B C D

Слайд 36

Параллелепипедийн бүх нүүрүүд нь а талтай, хурц өнцөгтэй тэнцүү ромбууд юм.

Слайд 37

Хариулт:

Слайд 38

*Пирамидын суурь нь ромб юм. Хажуугийн хоёр нүүр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн үүсгэсэн хоёр талт өнцөг нь 120 °; бусад хоёр нүүр нь 30 ° өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу байна. Пирамидын өндөр нь h. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Слайд 39

MABCD нь өгөгдсөн пирамид, ABCD нь ромб; (ABM)┴(ABC) ба (MSV)┴(ABC) нь MV┴ABC гэсэн утгатай. MB=H,ABC - МБ ирмэгтэй хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг, ABC=120°. A B C D