Нэг хувьсагчийн функцийн онол. Математик анализ. Нэг хувьсагчийн функцийн онол Математик анализ 1 жилийн хязгаар

Энэхүү сургалт нь математик, эдийн засаг, байгалийн шинжлэх ухааны чиглэлээр мэргэшсэн бакалавр, магистр, мөн дунд сургуулийн математикийн багш, их дээд сургуулийн багш нарт зориулагдсан болно. Математикийн хичээлийг гүнзгийрүүлэн судалж буй сургуулийн хүүхдүүдэд ч хэрэг болно.

Хичээлийн бүтэц нь уламжлалт. Хичээл нь их сургуулийн 1-р курсын эхний семестрт суралцсан математикийн шинжилгээний сонгодог материалыг хамардаг. “Олонлогийн онол ба бодит тооны элементүүд”, “Тооны дарааллын онол”, “Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал”, “Функцийн дифференциал байдал”, “Яг ялгах чадварын хэрэглээ” гэсэн хэсгүүдийг үзүүлнэ. Бид олонлогийн тухай ойлголттой танилцаж, бодит тооны хатуу тодорхойлолтыг өгч, бодит тооны шинж чанарыг судлах болно. Дараа нь бид тооны дараалал, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно. Энэ нь сургуулийн сурагчдад сайн мэддэг тоон функцийн тухай ойлголтыг шинэ, илүү нарийн түвшинд авч үзэх боломжийг бидэнд олгоно. Бид функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг танилцуулж, тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар, тэдгээрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаар ярилцах болно.

Хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба дифференциал байдлыг тодорхойлж, дифференциалагдах функцийн шинж чанарыг судлах болно. Энэ нь функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолох, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хязгаарыг тооцоолох, функцийн шинж чанарыг судлах, түүний графикийг байгуулах зэрэг чухал хэрэглээний асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжийг танд олгоно.

Формат

Сургалтын хэлбэр нь захидал харилцаа (зай) юм.
Долоо хоног бүрийн хичээлд сэдэвчилсэн видео лекц үзэх, үр дүнг автоматаар баталгаажуулах тестийн даалгавруудыг гүйцэтгэх зэрэг орно.
Сахилга батыг судлах чухал элемент бол тооцооллын асуудал, нотлох асуудлыг бие даан шийдвэрлэх явдал юм. Шийдэл нь зөв хариулт (тооцооллын асуудлын хувьд) эсвэл шаардлагатай мэдэгдлийг (онолын асуудлын хувьд) бүрэн нотлоход хүргэдэг нарийн бөгөөд логикийн хувьд зөв үндэслэлийг агуулсан байх ёстой.

Шаардлага

Сургалт нь бакалаврын 1-р курст зориулагдсан болно. Ахлах сургуулийн түвшинд (11-р анги) бага ангийн математикийн мэдлэг шаардлагатай.

Курсын хөтөлбөр

Лекц 1.Олонлогын онолын элементүүд.
Лекц 2.Бодит тооны тухай ойлголт. Тоон олонлогуудын яг нүүр царай.
Лекц 3.Бодит тоон дээрх арифметик үйлдлүүд. Бодит тооны шинж чанарууд.
Лекц 4.Тооны дараалал ба тэдгээрийн шинж чанарууд.
Лекц 5.Монотон дараалал. Коши дарааллын нэгдлийн шалгуур.
Лекц 6.Нэг хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт. Функцийн хязгаар. Хязгааргүй жижиг, хязгааргүй том функцууд.
Лекц 7.Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүдийн ангилал. Тасралтгүй функцүүдийн орон нутгийн болон глобал шинж чанарууд.
Лекц 8.Монотон функцууд. Урвуу функц.
Лекц 9.Хамгийн энгийн энгийн функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд: экспоненциал, логарифм ба чадлын функцууд.
Лекц 10.Тригонометр ба урвуу тригонометрийн функцууд. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Функцийн жигд тасралтгүй байдал.
Лекц 11.Дериватив ба дифференциал гэсэн ойлголт. Деривативын геометрийн утга. Ялгах дүрэм.
Лекц 12.Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд. Функцийн дифференциал.
Лекц 13.Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал. Лейбницийн томъёо. Параметрээр тодорхойлогдсон функцүүдийн деривативууд.
Лекц 14.Дифференциалагдах функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд. Ролле ба Лагранжийн теоремууд.
Лекц 15.Коши теорем. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх анхны дүрэм.
Лекц 16. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх хоёр дахь дүрэм. Пеано хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо.
Лекц 17.Үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо ерөнхий хэлбэрээр, Лагранж, Коши хэлбэрээр. Үндсэн үндсэн функцүүдийн Маклаурины томъёоны дагуу өргөтгөл. Тейлорын томъёоны хэрэглээ.
Лекц 18.Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Функцийн графикийн асимптотууд. Гүдгэр.
Лекц 19.Гулзайлтын цэгүүд. Функцийн судалгааны ерөнхий схем. График зурах жишээ.

Сургалтын үр дүн

Хичээлийг эзэмшсэний үр дүнд оюутан математикийн шинжилгээний үндсэн ойлголтууд: олонлог, тоо, дараалал, функцийн талаархи ойлголттой болж, тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцаж, эдгээр шинж чанаруудыг бодлого шийдвэрлэхдээ ашиглаж сурах болно.

Энэхүү сургалт нь математик, эдийн засаг, байгалийн шинжлэх ухааны чиглэлээр мэргэшсэн бакалавр, магистр, мөн дунд сургуулийн математикийн багш, их дээд сургуулийн багш нарт зориулагдсан болно. Математикийн хичээлийг гүнзгийрүүлэн судалж буй сургуулийн хүүхдүүдэд ч хэрэг болно.

Хичээлийн бүтэц нь уламжлалт. Хичээл нь их сургуулийн 1-р курсын эхний семестрт суралцсан математикийн шинжилгээний сонгодог материалыг хамардаг. “Олонлогийн онол ба бодит тооны элементүүд”, “Тооны дарааллын онол”, “Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал”, “Функцийн дифференциал байдал”, “Яг ялгах чадварын хэрэглээ” гэсэн хэсгүүдийг үзүүлнэ. Бид олонлогийн тухай ойлголттой танилцаж, бодит тооны хатуу тодорхойлолтыг өгч, бодит тооны шинж чанарыг судлах болно. Дараа нь бид тооны дараалал, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно. Энэ нь сургуулийн сурагчдад сайн мэддэг тоон функцийн тухай ойлголтыг шинэ, илүү нарийн түвшинд авч үзэх боломжийг бидэнд олгоно. Бид функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг танилцуулж, тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар, тэдгээрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаар ярилцах болно.

Хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба дифференциал байдлыг тодорхойлж, дифференциалагдах функцийн шинж чанарыг судлах болно. Энэ нь функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолох, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хязгаарыг тооцоолох, функцийн шинж чанарыг судлах, түүний графикийг байгуулах зэрэг чухал хэрэглээний асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжийг танд олгоно.

Формат

Сургалтын хэлбэр нь захидал харилцаа (зай) юм.
Долоо хоног бүрийн хичээлд сэдэвчилсэн видео лекц үзэх, үр дүнг автоматаар баталгаажуулах тестийн даалгавруудыг гүйцэтгэх зэрэг орно.
Сахилга батыг судлах чухал элемент бол тооцооллын асуудал, нотлох асуудлыг бие даан шийдвэрлэх явдал юм. Шийдэл нь зөв хариулт (тооцооллын асуудлын хувьд) эсвэл шаардлагатай мэдэгдлийг (онолын асуудлын хувьд) бүрэн нотлоход хүргэдэг нарийн бөгөөд логикийн хувьд зөв үндэслэлийг агуулсан байх ёстой.

Шаардлага

Сургалт нь бакалаврын 1-р курст зориулагдсан болно. Ахлах сургуулийн түвшинд (11-р анги) бага ангийн математикийн мэдлэг шаардлагатай.

Курсын хөтөлбөр

Лекц 1.Олонлогын онолын элементүүд.
Лекц 2.Бодит тооны тухай ойлголт. Тоон олонлогуудын яг нүүр царай.
Лекц 3.Бодит тоон дээрх арифметик үйлдлүүд. Бодит тооны шинж чанарууд.
Лекц 4.Тооны дараалал ба тэдгээрийн шинж чанарууд.
Лекц 5.Монотон дараалал. Коши дарааллын нэгдлийн шалгуур.
Лекц 6.Нэг хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт. Функцийн хязгаар. Хязгааргүй жижиг, хязгааргүй том функцууд.
Лекц 7.Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүдийн ангилал. Тасралтгүй функцүүдийн орон нутгийн болон глобал шинж чанарууд.
Лекц 8.Монотон функцууд. Урвуу функц.
Лекц 9.Хамгийн энгийн энгийн функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд: экспоненциал, логарифм ба чадлын функцууд.
Лекц 10.Тригонометр ба урвуу тригонометрийн функцууд. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Функцийн жигд тасралтгүй байдал.
Лекц 11.Дериватив ба дифференциал гэсэн ойлголт. Деривативын геометрийн утга. Ялгах дүрэм.
Лекц 12.Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд. Функцийн дифференциал.
Лекц 13.Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал. Лейбницийн томъёо. Параметрээр тодорхойлогдсон функцүүдийн деривативууд.
Лекц 14.Дифференциалагдах функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд. Ролле ба Лагранжийн теоремууд.
Лекц 15.Коши теорем. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх анхны дүрэм.
Лекц 16. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх хоёр дахь дүрэм. Пеано хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо.
Лекц 17.Үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо ерөнхий хэлбэрээр, Лагранж, Коши хэлбэрээр. Үндсэн үндсэн функцүүдийн Маклаурины томъёоны дагуу өргөтгөл. Тейлорын томъёоны хэрэглээ.
Лекц 18.Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Функцийн графикийн асимптотууд. Гүдгэр.
Лекц 19.Гулзайлтын цэгүүд. Функцийн судалгааны ерөнхий схем. График зурах жишээ.

Сургалтын үр дүн

Хичээлийг эзэмшсэний үр дүнд оюутан математикийн шинжилгээний үндсэн ойлголтууд: олонлог, тоо, дараалал, функцийн талаархи ойлголттой болж, тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцаж, эдгээр шинж чанаруудыг бодлого шийдвэрлэхдээ ашиглаж сурах болно.

Уг хичээл нь Эрдмийн Их Сургуулийн математикийн анализын лекцүүдийн эхний хагасын эхний хагасын студи видео бичлэг юм. 4 гаруй модулиар оюутнууд математик анализын үндсэн ойлголтууд болох дараалал, хязгаар, тасралтгүй байдлын талаар мэдлэгтэй болно. Бид зөвхөн нэг хувьсагчийн бодит тоо, функцээр хязгаарлагдах болно. Танилцуулга нь нотлох баримтын үндсэн санааг өөрчлөхгүй, харин ойлголтыг ихээхэн хүндрүүлдэг ерөнхий дүгнэлтгүйгээр нэлээд энгийн түвшинд явагдана. Бүх мэдэгдлийг (хичээлийн эхэнд болон үндсэн функцүүдийн тодорхойлолтод зарим уйтгартай албан ёсны үндэслэлээс бусад) хатуу нотлох болно. Видео бичлэгүүд нь оюутнуудад бие даан ажиллах олон тооны даалгавар дагалддаг.

Энэ курс хэнд зориулагдсан бэ

Техникийн мэргэжлийн бага ангийн оюутнууд

Оюутнууд сургуулийн математикийн хөтөлбөрийг сайн эзэмшсэн байх ёстой. Тухайлбал, та үндсэн энгийн функцүүдийн график ямар байдгийг мэдэх, тригонометр, экспоненциал, логарифм функц, арифметик ба геометр прогрессийн үндсэн томъёог мэддэг байхаас гадна тэгш ба тэгш бус байдлын алгебрийн хувиргалтыг итгэлтэйгээр хийх чадвартай байх хэрэгтэй. Хэд хэдэн асуудлын хувьд та рационал ба иррационал тоонуудын хамгийн энгийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй.

“Математикийн анализ” хичээлийн 1-р курс, 1-р улирлын шалгалтын асуултууд.

1. Олон түмэн. Багц дээрх үндсэн үйлдлүүд. Метрийн болон арифметик орон зай.

2. Тоон багц. Тоон шугам дээрх олонлогууд: сегмент, интервал, хагас тэнхлэг, хөршүүд.

3. Хязгаарлагдмал олонлогийн тодорхойлолт. Тооны багцын дээд ба доод хязгаар. Тоон олонлогийн дээд ба доод хязгаарын тухай постулатууд.

4. Математик индукцийн арга. Бернулли ба Кошигийн тэгш бус байдал.

5. Функцийн тодорхойлолт. Функцийн график. Тэгш ба сондгой функцууд. Тогтмол функцууд. Функцийг тодорхойлох аргууд.

6. Тогтвортой байдлын хязгаар. Конвергенц дарааллын шинж чанарууд.

7. Хязгаарлагдмал дараалал. Дарааллын зөрүүний хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

8. Монотон дарааллын тодорхойлолт. Монотон дарааллын тухай Вейерштрассын теорем.

9. Тоо e.

10. Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгааргүй функцийн хязгаар. Нэг талын хязгаарлалт.

11. Хязгааргүй жижиг функцууд. Функцын нийлбэр, үржвэр, хуваалтын хязгаар.

12. Тэгш бус байдлын тогтвортой байдлын тухай теоремууд. Тэгш бус байдлын хязгаарт хүрэх. Гурван функцийн тухай теорем.

13. Эхний болон хоёр дахь нь гайхалтай хязгаар юм.

14. Хязгааргүй том функцууд ба тэдгээрийн хязгааргүй жижиг функцтэй холбоо.

15. Хязгааргүй жижиг функцүүдийн харьцуулалт. Эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын шинж чанарууд. Хязгааргүй жижиг тоонуудыг эквивалент тоогоор солих тухай теорем. Үндсэн эквивалентууд.

16. Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал. Үргэлжилсэн функц бүхий үйлдлүүд. Үндсэн үндсэн функцүүдийн тасралтгүй байдал.

17. Функцийн тасалдлын цэгүүдийн ангилал. Тасралтгүй байдлын тодорхойлолт

18. Нарийн төвөгтэй функцийн тодорхойлолт. Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар. Нарийн төвөгтэй функцийн тасралтгүй байдал. Гиперболын функцууд

19. Сегмент дээрх функцийн тасралтгүй байдал. Үргэлжилсэн функц интервал дээр устаж үгүй ​​болох ба функцийн завсрын утгын тухай Кошигийн теоремууд.

20. Интервал дээр үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарууд. Тасралтгүй функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай Вейерштрассын теорем. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудын тухай Вейерштрассын теорем.

21. Монотон функцийн тодорхойлолт. Монотон функцийн хязгаарын тухай Вейерштрассын теорем. Интервал дээр монотон ба тасралтгүй функцийн утгуудын олонлогын тухай теорем.

22. Урвуу функц. Урвуу функцийн график. Урвуу функцийн оршихуй ба тасралтгүй байдлын тухай теорем.

23. Урвуу тригонометр ба гипербол функцууд.

24. Функцийн деривативыг тодорхойлох. Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд.

25. Дифференциалагдах функцийн тодорхойлолт. Функцийг ялгах шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл. Дифференциалагдах функцийн тасралтгүй байдал.

26. Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийн тангенс ба нормаль тэгшитгэл.

27. Хоёр функцийн нийлбэр, үржвэр, хуваалтын дериватив

28. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив ба түүний урвуу функц.

29. Логарифмын ялгаа. Параметрээр өгөгдсөн функцийн дериватив.

30. Функцийн өсөлтийн гол хэсэг. Функцийг шугаман болгох томъёо. Дифференциалын геометрийн утга.

31. Нарийн төвөгтэй функцийн дифференциал. Дифференциал хэлбэрийн өөрчлөгдөөгүй байдал.

32. Дифференциалагдах функцүүдийн шинж чанарын тухай Рол, Лагранж, Кошигийн теоремууд. Төгсгөлийн өсөлтийн томъёо.

33. Хязгаарын хүрээнд тодорхой бус байдлыг тодруулахад дериватив хэрэглэх. Л'Хопиталын дүрэм.

34. Деривативын тодорхойлолт n-р дараалал. n-р эрэмбийн дериватив олох дүрэм. Лейбницийн томъёо. Дээд захиалгын ялгаа.

35. Пеано хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо. Лагранж, Коши хэлбэрийн үлдэгдэл нэр томъёо.

36. Өсөх, багасгах функцууд. Экстремум цэгүүд.

37. Функцийн гүдгэр ба хотгор. Гулзайлтын цэгүүд.

38. Төгсгөлгүй функц эвдэрч байна. Асимптотууд.

39. Функцийн график байгуулах схем.

40. Антидеривативын тодорхойлолт. Антидеривативын үндсэн шинж чанарууд. Интеграцийн хамгийн энгийн дүрмүүд. Энгийн интегралын хүснэгт.

41. Хувьсагчийн өөрчлөлтийн интеграл ба тодорхойгүй интеграл дахь хэсгүүдээр интегралчлах томъёо.

42. Маягтын илэрхийллийг нэгтгэх e ax cos bx ба e ax sin bx давтагдах хамаарлыг ашиглан.

	43. Бутархай интеграци			давтагдах харилцааг ашиглах.
			a 2 n

44. Рационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Энгийн бутархайн интеграл.

45. Рационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Зөв бутархайг энгийн бутархай болгон задлах.

46. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх

	R x, м

47. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. R x , ax 2 bx c хэлбэрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх. Эйлерийн орлуулалт.

48. Маягтын илэрхийлэлийг нэгтгэх

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Хоёр тоот дифференциал интеграл.

50. Тригонометрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт.

51. Нүглийн хувьд интеграл нь сондгой байх тохиолдолд рационал тригонометрийн илэрхийллүүдийн интеграл. x (эсвэл cos x) эсвэл бүр sin x ба cos x-ийн хувьд.

52. Илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх sin n x cos m x ба sin nx cos mx.

53. Илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх tg m x ба ctg m x .

54. Илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 ба R x , x 2 a 2-г тригонометрийн орлуулалт ашиглан хийнэ.

55. Тодорхой интеграл. Муруй трапецын талбайг тооцоолох асуудал.

56. Интеграл нийлбэр. Дарбоусын дүн. Тодорхой интеграл байх нөхцөлийн тухай теорем. Интегралдах функцүүдийн ангиуд.

57. Тодорхой интегралын шинж чанарууд. Дундаж утгын теоремууд.

58. Дээд хязгаарын функц болох тодорхой интеграл. ТомъёоНьютон-Лейбниц.

59. Хувьсагчийг өөрчлөх томъёо, тодорхой интегралд хэсгүүдээр интегралдах томъёо.

60. Интеграл тооцооллын геометрийн хэрэглээ. Зургийн хэмжээ. Эргэлтийн тоонуудын хэмжээ.

61. Интеграл тооцооллын геометрийн хэрэглээ. Хавтгай дүрсний талбай. Муруй салбарын талбай. Муруй урт.

62. Эхний төрлийн буруу интегралын тодорхойлолт. ТомъёоНьютон-Лейбниц эхний төрлийн зохисгүй интеграл. Хамгийн энгийн шинж чанарууд.

63. Эерэг функцийн хувьд эхний төрлийн буруу интегралуудын нэгдэл. 1 ба 2-р харьцуулах теоремууд.

64. Хувьсах функцээс эхний төрлийн зохисгүй интегралуудын үнэмлэхүй ба нөхцөлт нийлэлт. Абел ба Дирихлетийн нэгдлийн тест.

65. Хоёр дахь төрлийн буруу интегралын тодорхойлолт. ТомъёоХоёр дахь төрлийн буруу интегралын хувьд Ньютон-Лейбниц.

66. Буруу интегралуудын холболт 1 ба 2-р төрөл. Үндсэн утга утгаараа буруу интеграл.

А.В. Гласко

МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ЛЕКЦ

"АНУСАН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА БА Хязгаарлалт"

Москва, MSTU им. Н.Э. Бауман

§1. Логик бэлгэдэл.

Математик илэрхийлэл бичихдээ бид дараах логик тэмдгүүдийг ашиглана.

	Утга		Утга
			Хэнд ч, хүн бүрт, хүн бүрт (
			Байдаг, байдаг, байдаг (байдаг)
			Татдаг, дагадаг (тиймээс)
			Үүнтэй адилаар, хэрэв зөвхөн, хэрэв байвал,
			шаардлагатай бөгөөд хангалттай
Тэгэхээр хэрэв А ба В нь ямар нэгэн мэдэгдэл байвал

			Утга
			A эсвэл B (эсвэл A эсвэл B, эсвэл A ба B хоёулаа)
			Аливаа x-ийн хувьд А
			А-д тохирох x байна
			А-аас В-ийг дагаж (хэрэв А үнэн бол В нь үнэн)
(далд утга)
			A нь B-тэй тэнцүү, A нь зөвхөн В тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог.
			B-ийн хувьд энэ нь А-д шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
	Сэтгэгдэл. “A B” нь A нь B-д хангалттай, В нь А-д шаардлагатай гэсэн үг юм.

Жишээ. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Заримдаа бид өөр тусгай тэмдэг ашиглах болно: A =df B.

Энэ нь тодорхойлолтоор A = B гэсэн үг юм.

§2. Олон түмэн. Олонлогийн элементүүд ба хэсгүүд.

Олонлогийн тухай ойлголт нь энгийн ойлголтоор тодорхойлогддоггүй анхдагч ойлголт юм. Цуглуулга, гэр бүл, багц гэсэн үгс нь түүний ижил утгатай үг юм.

Багцын жишээ: ангид олон оюутан, тэнхимд олон багш, зогсоол дээр олон машин гэх мэт.

Анхдагч ойлголтууд нь бас ойлголтууд юм тогтоосон элементболон харилцаа

олонлогийн элементүүдийн хооронд.

Жишээ. N нь натурал тоонуудын олонлог, түүний элементүүд нь 1,2,3,... Хэрэв x ба у нь N-ийн элемент бол тэдгээр нь дараах харилцааны аль нэгэнд байна: x=y, x у.

А, В, С, Х, Ү, …, олонлогийг том үсгээр, тэдгээрийн элементүүдийг жижиг үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрцгөөе: a, b, c, x, y, …

Элементүүд эсвэл олонлогуудын хоорондын хамаарлыг үсгүүдийн хооронд оруулсан тэмдэгээр илэрхийлнэ. Жишээ нь. А олонлог байг. Дараа нь a A хамаарал нь a нь А олонлогийн элемент болохыг илэрхийлнэ. a A тэмдэглэгээ нь a нь А-ийн элемент биш гэсэн үг юм.

Багцыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. 1. Түүний элементүүдийг жагсаах.

Жишээлбэл, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Элементүүдийн шинж чанарыг харуулсан. p шинж чанартай элементийн олонлогийг А гэж үзье. Үүнийг дараах байдлаар бичиж болно: A=( a:p ) эсвэл A=( ap ).

Жишээлбэл, A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) гэсэн тэмдэглэгээ нь A нь x2 -1>0 тэгш бус байдлыг хангах бодит тоонуудын олонлог юм.

Хэд хэдэн чухал тодорхойлолтуудыг танилцуулъя.

Def. Тодорхой хязгаарлагдмал тооны элементүүдээс бүрдэх олонлогийг төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үүнийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, ангийн сурагчдын олонлог хязгаарлагдмал, харин натурал тооны олонлог буюу хэрчм доторх цэгүүдийн олонлог хязгааргүй байна.

Def. Ганц элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг тэмдэглэнэ.

Def. Хоёр олонлог нь ижил зүйлээс бүрдсэн бол тэнцүү гэж нэрлэдэг

Тэдгээр. олонлогийн тухай ойлголт нь элементүүдийн тодорхой дарааллыг илэрхийлдэггүй. Def. X олонлогийн аль нэг элемент нь Y олонлогийн элемент (мөн ерөнхийдөө ямар ч биш) бол X олонлогийг Y олонлогийн дэд олонлог гэж нэрлэдэг.

Y олонлогийн элемент нь X олонлогийн элемент юм). Ашигласан тэмдэглэгээ нь: X Y.

Жишээлбэл, жүржийн O олонлог нь F: O F жимсний олонлогийн дэд олонлог, харин N натурал тооны олонлог нь R: N R бодит тооны олонлогийн дэд олонлог юм.

“ ” ба “ ” тэмдгийг оруулах тэмдэг гэнэ. Олонлог бүрийг өөрийн дэд олонлог гэж үздэг. Хоосон олонлог нь аливаа олонлогийн дэд олонлог юм.

Def. А олонлогийн А-тай тэнцүү биш ямар ч хоосон биш В дэд олонлогийг дуудна

өөрийн дэд олонлог.

§ 3. Эйлер-Венн диаграм. Олонлог дээрх анхан шатны үйлдлүүд.

Багцуудыг хавтгай дээрх талбайн хэлбэрээр графикаар дүрслэх нь тохиромжтой. Талбайн цэгүүд нь олонлогийн элементүүдтэй тохирч байна гэж үздэг. Олонлогуудын ийм график дүрслэлийг Эйлер-Венн диаграм гэж нэрлэдэг.

Жишээ. A – олон МТУИС-ийн оюутнууд, Б – олон оюутнууд үзэгчдийн дунд. Цагаан будаа. 1 нь A B гэдгийг тодорхой харуулж байна.

Эйлер-Венн диаграммыг анхан шатны хичээлийг дүрслэн харуулахад ашиглахад тохиромжтой үйлдлүүдийг тохируулах. Үндсэн үйл ажиллагаанд дараахь зүйлс орно.

Цагаан будаа. 1. Эйлер-Венн диаграмын жишээ.

1. А ба В олонлогийн A В огтлолцол нь А ба В олонлогт нэгэн зэрэг хамаарах бүх элементүүдээс бүрдсэн С олонлог юм.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(Зураг 2-т С олонлогийг сүүдэрлэсэн талбайгаар дүрсэлсэн).

Цагаан будаа. 2. Олонлогуудын огтлолцол.

2. А ба В олонлогуудын нэгдэл нь А эсвэл В олонлогуудын аль нэгэнд хамаарах бүх элементүүдээс бүрдсэн С олонлог юм.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(3-р зурагт С олонлогийг сүүдэрлэсэн талбайгаар дүрсэлсэн).

Цагаан будаа. 3. Багцуудын нэгдэл.

Цагаан будаа. 4. Багцын ялгаа.

3. А олонлогт хамаарах боловч В олонлогт хамааралгүй бүх элементүүдээс бүрдэх А ба В олонлогийн A\B ялгааг С олонлог гэнэ.

A\B =( z: (z A) (z B) )

(4-р зурагт С олонлогийг шараар сүүдэрлэсэн талбайгаар дүрсэлсэн).

§4. Бодит тоонуудын багц.

R бодит тоонуудын багцыг байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд юуны өмнө, натурал тоонуудын багц, бид үүнийг дараах байдлаар тодорхойлдог. n=1 тоог эхний элемент болгон авч үзье. Дараагийн элемент бүрийг өмнөхөөсөө нэгийг нэмснээр олж авна.

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = ( -1, -2, -3, …, -n, … ).

Бүхэл тоон ZБид үүнийг гурван багцын нэгдэл гэж тодорхойлдог: N, -N ба нэг элементээс бүрдэх олонлог - тэг:

Бид рационал тоонуудын багцыг бүхэл тоонуудын бүх боломжит харилцааны багц гэж тодорхойлдог.

Q = ( xx = m/n; m, n Z, n 0).

Мэдээж N Z Q.

Рационал тоо бүрийг төгсгөлтэй бодит эсвэл хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг мэддэг. Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг судлахад тулгарч болох бүх хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд оновчтой тоо хангалттай юу? Эртний Грекд аль хэдийн нотлогдсон: хэрэв бид нэг хөлтэй тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзвэл гипотенузын уртыг оновчтой тоогоор илэрхийлэх боломжгүй юм. Тиймээс бид оновчтой тоонуудын багцаар хязгаарлагдах боломжгүй. Тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх шаардлагатай байна. Энэхүү өргөтгөлийг нэвтрүүлэх замаар олж авдаг иррационал тоонуудын багц J нь бүх үечилсэн бус хязгааргүй аравтын бутархайн олонлог гэж хамгийн амархан ойлгогддог.

Рационал ба иррационал тооны олонлогуудын нэгдлийг гэж нэрлэдэг

бодит тоонуудын багц R: R =Q Y.

Заримдаа бид R бодит тоонуудын өргөтгөсөн багцыг авч үзэх, ойлгох

Бодит тоонуудыг тооны шулуун дээрх цэгүүдээр илэрхийлэх нь тохиромжтой.

Def. Тооны тэнхлэг нь гарал үүсэл, масштаб, лавлагааны чиглэлийг харуулсан шулуун шугам юм.

Бодит тоо ба тооны тэнхлэг дээрх цэгүүдийн хооронд нэг нэгийг харьцах харилцаа тогтоогддог: аливаа бодит тоо нь тооны тэнхлэг дээрх нэг цэгтэй тохирч, эсрэгээр.

Бодит тооны багцын бүрэн байдлын (тасралтгүй байдлын) аксиом. Ямар ч хоосон бус олонлогууд A= (a) R ба B= (b) R нь ямар ч a ба b-ийн хувьд a ≤ b тэгш бус байдлын хувьд c тоо байна.a ≤ c ≤ b байхаар R байна (Зураг 5).

Зураг 5. Бодит тооны багцын бүрэн байдлын аксиомын дүрслэл.

§5. Тоон багц. Хөрш.

Def. Тоон багц R олонлогийн аль ч дэд олонлогийг хамгийн чухал тоон олонлог гэж нэрлэдэг: N, Z, Q, J, түүнчлэн

сегмент: (x R |a x b ),

интервал: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

хагас интервал: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Тооны тэнхлэг дээрх цэгийн хөрш зэргэлдээх үзэл баримтлал нь математик шинжилгээнд хамгийн чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Def. -х 0 цэгийн хөрш гэдэг нь төв нь x 0 цэгтэй 2 урттай интервал юм (Зураг 6):

u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Цагаан будаа. 6. Цэгийн хөрш.

Def. Цэгийн цоорсон хөрш нь энэ цэгийн хөрш юм.

үүнээс x0 цэг өөрөө хасагдсан (Зураг 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Цагаан будаа. 7. Цэгийн цоорсон хөрш.

Def. Баруун талын - x0 цэгийн хөрш хагас интервал гэж нэрлэдэг

u (x 0 ), утгын муж: E= [-π/2,π/2 ].

Цагаан будаа. 11. y arcsin x функцийн график.

Одоо нийлмэл функцийн тухай ойлголтыг танилцуулъя ( зураглалын найрлага). D, E, M гурван багцыг өгөөд f: D→E, g: E→M гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, f ба g зураглалын найрлага эсвэл нийлмэл функц гэж нэрлэгддэг h: D→M шинэ зураглалыг байгуулах боломжтой (Зураг 12).

Нарийн төвөгтэй функцийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: z =h(x)=g(f(x)) эсвэл h = f o g.

Цагаан будаа. 12. Цогцолбор функцийн тухай ойлголтын дүрслэл.

f (x) функцийг дуудна дотоод функц, ба функц g (y) - гадаад функц.

1. Дотоод функц f(x)= x², гадаад функц g (y) sin y. Нарийн төвөгтэй функц z= g(f(x))=sin(x²)

2. Одоо бол эсрэгээрээ. Дотоод функц f (x)= sinx, гадаад функц g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)