Тойргийн том нумыг олох томьёо. Тойрог. Төв ба бичээстэй өнцөг

Дугуй нумын уртыг олох томъёо нь маш энгийн бөгөөд маш олон удаа байдаг чухал шалгалтуудУлсын нэгдсэн шалгалттай адил үүнийг ашиглахгүйгээр шийдэх боломжгүй асуудлууд байдаг. Түүнчлэн SAT болон бусад олон улсын стандартчилсан шалгалтыг өгөхийн тулд үүнийг мэдэх шаардлагатай.

Тойргийн нумын урт хэд вэ?

Томъёо дараах байдалтай байна.

l = πrα / 180°

Томъёоны элемент бүр нь юу вэ:

• π - Pi тоо ( тогтмол, ≈ 3.14-тэй тэнцүү);
• r нь өгөгдсөн тойргийн радиус;
• α нь нумын байрлах өнцгийн хэмжээ (төв, бичээсгүй).

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэхийн тулд нөхцөл байдалд r ба α байх ёстой. Эдгээр хоёр хэмжигдэхүүнгүйгээр нумын уртыг олох боломжгүй юм.

Энэ томъёог хэрхэн гаргаж авсан бэ, яагаад ийм харагдаж байна вэ?

Бүх зүйл туйлын хялбар. Та хуваагчдаа 360° тавиад урд талын тоологчдоо хоёрыг нэмбэл илүү тодорхой болно. Та бас чадна α бутархайд үлдээж болохгүй, гаргаж аваад үржүүлэх тэмдгээр бичнэ. Энэ элемент нь тоологч хэсэгт байгаа тул энэ нь нэлээд боломжтой юм. Дараа нь ерөнхий үзэлиймэрхүү болно:

l = (2πr / 360°) × α

Тохиромжтой болгох үүднээс бид 2 ба 360°-ыг богиносгосон. Одоо, хэрэв та анхааралтай ажиглавал бүхэл бүтэн тойргийн уртын маш сайн мэддэг томьёог харж болно, тухайлбал - 2πr.Бүх тойрог нь 360 ° -аас бүрдэх тул бид үүссэн хэмжүүрийг 360 хэсэгт хуваана. Дараа нь бид тоогоор үржүүлнэ α, өөрөөр хэлбэл, бидэнд хэрэгтэй "бялууны хэсэг"-ийн тоогоор. Гэхдээ хүн бүр тоог (өөрөөр хэлбэл бүх тойргийн уртыг) градусаар хувааж болохгүй гэдгийг баттай мэддэг. Энэ тохиолдолд юу хийх вэ? Ихэвчлэн, дүрмээр, градус нь төв өнцгийн зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл түүнтэй тохирдог α. Дараа нь зөвхөн тоонууд үлдэж, эцэст нь эцсийн хариултыг авна.

Энэ нь тойргийн нумын уртыг яагаад ийм байдлаар олж, ийм хэлбэртэй байгааг тайлбарлаж болно.

Энэ томъёог ашиглан дунд зэргийн нарийн төвөгтэй асуудлын жишээ

Нөхцөл: 10 сантиметр радиустай тойрог байна. Төвийн өнцгийн хэмжүүр нь 90 ° байна. Энэ өнцгөөр үүссэн дугуй нумын уртыг ол.

Шийдэл: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Хариулт: l = 5π

Мөн градусын хэмжүүрийн оронд радиан өнцгийн хэмжүүр өгөх боломжтой. Ямар ч тохиолдолд та айх хэрэггүй, учир нь энэ удаад даалгавар илүү хялбар болсон. Радианы хэмжүүрийг градусын хэмжигдэхүүн болгон хөрвүүлэхийн тулд танд хэрэгтэй өгсөн дугаар 180° / π-ээр үржүүлнэ. Энэ нь одоо бид орлуулах боломжтой гэсэн үг юм α дараах хослол: m × 180° / π. Энд m нь радианы утга юм. Тэгээд 180 ба тоо π багасгаж, бүрэн хялбаршуулсан томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

• m - өнцгийн радиан хэмжүүр;
• r нь өгөгдсөн тойргийн радиус юм.

Цэгүүд нь ижил зайтай тойрог үүсгэдэг дүрсийг нум гэнэ. Хэрэв бид тойргийн төв цэгээс нумын төгсгөлүүдтэй давхцаж буй цэгүүд рүү туяа татвал түүний төв өнцөг үүснэ.

Нумын уртыг тодорхойлох

Дараахь томъёоны дагуу үйлдвэрлэв.

Энд L нь хүссэн нумын урт, π = 3.14, r нь тойргийн радиус, α нь төв өнцөг юм.

Л

3.14 x 10 x 85

14,82

Хариулт:

Тойргийн нумын урт нь 14.82 сантиметр юм.

Анхан шатны геометрийн хувьд нумыг түүн дээр байрлах хоёр цэгийн хооронд байрлах тойргийн дэд олонлог гэж ойлгодог. Практикт асуудлыг шийдвэрлэх тодорхойлолттүүнийг уртЭнэхүү геометрийн элемент нь янз бүрийн загварт өргөн тархсан тул инженер, архитекторууд үүнийг байнга хийх шаардлагатай болдог.

Бөөрөнхий, олон өнцөгт эсвэл эллипс хэлбэрийн барилгуудын тулгуур хоорондын зайг нөхөхөд өргөн хэрэглэгддэг хонгил барихад энэ параметрийг ямар нэг байдлаар тодорхойлох шаардлагатай байсан эртний архитекторууд энэ даалгавартай хамгийн түрүүнд тулгарсан байх. Хэрэв та өнөөг хүртэл хадгалагдан үлдсэн эртний Грек, эртний Ром, ялангуяа Арабын архитектурын гайхамшигт бүтээлүүдийг анхааралтай ажиглавал нуман хаалга, хонгил нь тэдний хийц загварт маш түгээмэл байдгийг анзаарах болно. Орчин үеийн архитекторуудын бүтээлүүд тийм ч баялаг биш боловч эдгээр геометрийн элементүүд нь мэдээжийн хэрэг тэдгээрт байдаг.

Уртянз бүрийн нуммашин барихдаа тооцох ёстой ба төмөр замууд, түүнчлэн моторт уралдааны замууд, ихэнх тохиолдолд хөдөлгөөний аюулгүй байдал нь тооцооллын зөв, нарийвчлалаас ихээхэн хамаардаг. Баримт нь геометрийн үүднээс авч үзвэл хурдны замын олон эргэлт нь яг нуман хэлбэртэй байдаг бөгөөд тэдгээрийн дагуу хөдөлж байх үед янз бүрийн физик хүчнүүд тээврийн хэрэгсэлд үйлчилдэг. Тэдгээрийн үр дүнгийн параметрүүдийг нумын урт, түүнчлэн түүний төв өнцөг, радиусаар голчлон тодорхойлдог.

Машин, механизмын дизайнерууд зөв, нарийвчлалтай байрлуулахын тулд янз бүрийн нумын уртыг тооцоолох хэрэгтэй бүрэлдэхүүн хэсгүүдянз бүрийн нэгжүүд. Энэ тохиолдолд тооцооллын алдаа нь чухал, чухал хэсгүүд нь хоорондоо буруу харьцаж, механизм нь бүтээгчдийн төлөвлөснөөр ажиллах боломжгүй болно гэсэн үг юм. Нуман гэх мэт геометрийн элементүүдээр дүүрсэн байгууламжуудын жишээнд дотоод шаталтат хөдөлгүүр, хурдны хайрцаг, мод, металл боловсруулах төхөөрөмж, автомашин, ачааны машины биеийн хэсгүүд гэх мэт орно.

НумануудТэд анагаах ухаанд, ялангуяа шүдний эмчилгээнд нэлээд түгээмэл байдаг. Жишээлбэл, тэдгээр нь гажиг засахад ашиглагддаг. Хаалт (эсвэл хаалтны систем) гэж нэрлэгддэг, зохих хэлбэртэй, тусгай хайлшаар хийгдсэн засах элементүүд нь шүдний байрлалыг өөрчлөх байдлаар суурилуулсан байдаг. Эмчилгээ амжилттай болохын тулд эдгээр нумыг маш нарийн тооцоолох ёстой гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Нэмж дурдахад нуман хаалга нь гэмтлийн эмчилгээнд маш өргөн хэрэглэгддэг бөгөөд үүний хамгийн тод жишээ бол 1951 онд Оросын эмчийн зохион бүтээсэн алдартай Илизаров аппарат бөгөөд өнөөг хүртэл маш амжилттай ашиглагдаж байна. Үүний салшгүй хэсэг нь тусгай сүлжмэл зүүгээр урсдаг нүхээр тоноглогдсон металл нумууд бөгөөд эдгээр нь бүхэл бүтэн бүтцийн гол тулгуур юм.

Тойрог, түүний хэсгүүд, тэдгээрийн хэмжээ, харилцаа холбоо нь үнэт эдлэлийн хүн байнга тулгардаг зүйл юм. Бөгж, бугуйвч, каст, хоолой, бөмбөлөг, спираль - маш олон дугуй хэлбэртэй зүйлийг хийх хэрэгтэй. Та энэ бүхнийг яаж тооцоолох вэ, ялангуяа сургуульдаа геометрийн хичээл алгасах аз тохиосон бол?..

Эхлээд тойрог ямар хэсгүүдтэй, юу гэж нэрлэгддэгийг харцгаая.

• Тойрог нь тойрог доторх шугам юм.
• Нуман бол тойргийн нэг хэсэг юм.
• Радиус гэдэг нь тойргийн төвийг тойргийн дурын цэгтэй холбосон хэрчим юм.
• Хөвч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.
• Сегмент нь хөвч ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.
• Сектор гэдэг нь хоёр радиус ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.

Бидний сонирхож буй тоо хэмжээ, тэдгээрийн тэмдэглэгээ:

Одоо тойргийн хэсгүүдтэй холбоотой ямар асуудлыг шийдэх ёстойг харцгаая.

• Бөгжний (бугуйвч) аль ч хэсгийн хөгжлийн уртыг ол. Диаметр ба хөвчийг (сонголт: диаметр ба төв өнцөг) өгөгдсөн бол нумын уртыг ол.
• Онгоц дээр зураг байгаа тул та нуман хэлбэрээр нугасны дараа түүний хэмжээг проекцоор олж мэдэх хэрэгтэй. Нумын урт ба диаметрийг өгснөөр хөвчний уртыг ол.
• Хавтгай бэлдэцийг нуман хэлбэрээр нугалахад олж авсан хэсгийн өндрийг олоорой. Эх сурвалжийн өгөгдлийн сонголтууд: нумын урт ба диаметр, нумын урт ба хөвч; сегментийн өндрийг ол.

Амьдрал танд өөр жишээ өгөх болно, гэхдээ би эдгээрийг зөвхөн бусад бүх зүйлийг олохын тулд хоёр параметр тохируулах шаардлагатайг харуулахын тулд өгсөн. Энэ бол бидний хийх зүйл юм. Тухайлбал, бид сегментийн таван параметрийг авдаг: D, L, X, φ ба H. Дараа нь тэдгээрээс бүх боломжит хосуудыг сонгоод тэдгээрийг анхны өгөгдөл гэж үзэх болно. тархины шуургабусад бүгдийг ол.

Уншигчдад шаардлагагүй дарамт учруулахгүйн тулд би нарийн шийдлийг өгөхгүй, зөвхөн үр дүнг томъёо хэлбэрээр танилцуулах болно (албан ёсны шийдэл байхгүй тохиолдолд би энэ талаар ярилцах болно).

Бас нэг тэмдэглэл: хэмжлийн нэгжийн тухай. Төв өнцгөөс бусад бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хийсвэр нэгжээр хэмждэг. Энэ нь жишээлбэл, хэрэв та нэг утгыг миллиметрээр зааж өгсөн бол нөгөөг нь сантиметрээр зааж өгөх шаардлагагүй бөгөөд үр дүнгийн утгыг ижил миллиметрээр (мөн квадрат миллиметрээр) хэмжинэ гэсэн үг юм. Инч, фут, далайн милийн талаар мөн адил хэлж болно.

Бүх тохиолдолд зөвхөн төв өнцгийг градусаар хэмждэг бөгөөд өөр юу ч биш. Яагаад гэвэл дугуй хэлбэртэй ямар нэг зүйлийг зохион бүтээдэг хүмүүс өнцгийг радианаар хэмжих хандлагатай байдаггүй. "Өнцөг пи дөрөв" гэсэн хэллэг нь олныг төөрөлдүүлдэг бол "дөчин таван градусын өнцөг" нь ердийнхөөс ердөө тавхан градусаар өндөр байдаг тул хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч бүх томъёонд өөр нэг өнцөг байх болно - α - завсрын утга. Энэ нь радианаар хэмжигддэг төв өнцгийн хагас нь гэсэн утгыг илэрхийлдэг боловч та энэ утгыг сайтар судалж чадахгүй.

1. D диаметр ба нумын урт L өгөгдсөн

; хөвчний урт ;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

2. Өгөгдсөн D диаметр ба хөвчний урт X

; нумын урт;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

Хөвч нь тойргийг хоёр сегмент болгон хуваадаг тул энэ асуудал нэг биш, хоёр шийдэлтэй байна. Хоёрдахь өнцгийг авахын тулд дээрх томьёо дахь α өнцгийг өнцгөөр солих хэрэгтэй.

3. D диаметр ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

4. H сегментийн D диаметр ба өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; төв өнцөг .

6. Өгөгдсөн нумын урт L ба төвийн өнцөг φ

; диаметр;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

8. Хөвчний урт X ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; сегментийн өндөр .

9. Х хөвчний урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; төв өнцөг .

10. Төвийн өнцөг φ ба H сегментийн өндрийг өгөв

; диаметр ;
нумын урт; хөвчний урт .

Анхааралтай уншигч намайг хоёр сонголтыг алдсаныг анзаарахгүй байж чадсангүй.

5. Өгөгдсөн нумын урт L ба хөвчний урт X

7. L нумын урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

Эдгээр нь асуудалд томъёо хэлбэрээр бичиж болох шийдэлгүй хоёр таагүй тохиолдол юм. Мөн даалгавар нь тийм ч ховор биш юм. Жишээлбэл, та L урттай хавтгай хэсэгтэй бөгөөд урт нь X (эсвэл өндөр нь H) болохын тулд нугалахыг хүсч байна. Би ямар диаметртэй мандал (хөндлөвч) авах ёстой вэ?

Энэ асуудал нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг.
; - 5-р хувилбарт
; - 7-р хувилбарт
мөн тэдгээрийг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй ч программын аргаар хялбархан шийдэж болно. Мөн би ийм програмыг хаанаас авахаа мэддэг: яг энэ сайт дээр, нэрийн дор. Тэр миний хэлж байгаа бүх зүйлийг энд микросекундэд хийдэг.

Зургийг дуусгахын тулд бидний тооцооллын үр дүнд тойрог, талбайн гурван утгыг нэмнэ үү - тойрог, салбар, сегмент. (Бүх дугуй ба хагас дугуй хэсгүүдийн массыг тооцоолоход талбайнууд бидэнд маш их туслах болно, гэхдээ энэ талаар тусдаа өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.) Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнийг ижил томъёогоор тооцоолно.

тойрог;
тойргийн талбай ;
салбарын бүс ;
сегментийн талбай ;

Эцэст нь хэлэхэд туйлын оршин тогтнох тухай дахин сануулъя үнэгүй програм, дээрх бүх тооцооллыг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь арктангенс гэж юу болох, түүнийг хаанаас хайхаа санахаас чөлөөлнө.

Тойргийн талбайг олох асуудал - заавал байх ёстой Улсын нэгдсэн шалгалтын нэг хэсэгматематикт. Дүрмээр бол гэрчилгээжүүлэх шалгалтанд энэ сэдэвт хэд хэдэн даалгавар өгдөг. Ахлах сургуулийн бүх сурагчид бэлтгэлийн түвшингээс үл хамааран тойргийн тойрог, талбайг олох алгоритмыг ойлгох ёстой.

Хэрэв ийм төлөвлөгөөний даалгаврууд танд хүндрэл учруулж байвал Школково боловсролын портал руу хандахыг зөвлөж байна. Бидэнтэй хамт та мэдлэгийн цоорхойг нөхөж чадна.

Сайтын харгалзах хэсэгт Улсын нэгдсэн шалгалтанд орсонтой адил тойргийн тойрог, талбайг олох олон тооны асуудлыг багтаасан болно. Тэдгээрийг зөв хийж сурснаар төгсөгч шалгалтаа амжилттай давах боломжтой болно.

Онцлох үйл явдал

Талбайн томьёог ашиглах шаардлагатай асуудлууд нь шууд эсвэл урвуу байж болно. Эхний тохиолдолд зургийн элементүүдийн параметрүүдийг мэддэг. Энэ тохиолдолд шаардлагатай хэмжээ нь талбай юм. Хоёр дахь тохиолдолд, эсрэгээр, талбай нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь зургийн зарим элементийг олох шаардлагатай байна. Ийм даалгаварт зөв хариултыг тооцоолох алгоритм нь зөвхөн үндсэн томъёог ашиглах дарааллаар ялгаатай байдаг. Тийм ч учраас ийм асуудлыг шийдэж эхлэхдээ онолын материалыг давтах шаардлагатай болдог.

Асаалттай боловсролын портал"Школково" нь "Тойрог, нумын урт ба тойргийн талбайг олох" сэдэв болон бусад сэдвүүдийн талаархи бүх үндсэн мэдээллийг, жишээлбэл, манай мэргэжилтнүүд үүнийг бэлтгэж, хамгийн их танилцуулсан болно. хүртээмжтэй хэлбэр.

Үндсэн томъёог санаж, оюутнууд Улсын нэгдсэн шалгалтанд орсонтой адил тойргийн талбайг олох асуудлыг онлайнаар хийж эхлэх боломжтой. Сайт дээрх дасгал бүрийн хувьд үүнийг толилуулж байна нарийвчилсан шийдэлмөн зөв хариултыг өгсөн болно. Шаардлагатай бол аливаа даалгаврыг "Дуртай" хэсэгт хадгалах боломжтой бөгөөд дараа нь буцаж очоод багштай ярилцах боломжтой.

Асуудал 10 (OGE - 2015)

О төвтэй тойрог дээр A ба B цэгүүдийг ∠ AOB = 18° гэж тэмдэглэв. Бага AB нумын урт 5. Тойргийн том нумын уртыг ол.

Шийдэл

∠ AOB = 18°. Бүх тойрог нь 360 ° байна. Тиймээс ∠ AOB нь тойргийн 18/360 = 1/20 байна.

Энэ нь жижиг нуман AB нь бүх тойргийн 1/20-ийг эзэлдэг тул том нум нь үлдсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл. 19/20 тойрог.

Тойргийн 1/20 нь нумын урттай 5. Дараа нь том нумын урт нь 5 * 19 = 95 байна.

Асуудал 10 (OGE - 2015)

О төвтэй тойрог дээр A ба B цэгүүдийг ∠ AOB = 40° гэж тэмдэглэв. Бага AB нумын урт 50. Тойргийн том нумын уртыг ол.

Шийдэл

∠ AOB = 40°. Бүх тойрог нь 360 ° байна. Тиймээс ∠ AOB нь тойргийн 40/360 = 1/9 байна.

Энэ нь жижиг нуман AB нь бүх тойргийн 1/9-ийг эзэлдэг тул том нум нь үлдсэн хэсэг, өөрөөр хэлбэл. 8/9 тойрог.

Тойргийн 1/9 нь 50 нумын урттай тохирч байвал том нумын урт 50*8 = 400 байна.

Хариулт: 400.

Даалгавар 10 (ТЕГ - 2014)

Тойргийн хөвчний урт 72, тойргийн төвөөс энэ хөвч хүртэлх зай 27. Тойргийн диаметрийг ол.

Шийдэл

-аас Пифагорын теоремын дагуу зөв гурвалжин AOB бид дараахь зүйлийг авна.

AO 2 = OB 2 +AB 2,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Дараа нь диаметр нь 2R = 2*45 = 90 байна.

Даалгавар 10 (ТЕГ - 2014)

О цэг нь ∠ABC = 134 ° ба ∠OAB = 75 ° байдаг нь A, B, C цэгүүд байрладаг тойргийн төв юм. BCO өнцгийг ол.Хариултаа градусаар өгнө үү.