Зөв оновчтой функцийг нэгтгэх. Рационал функцүүдийн интеграл Бутархай - рационал функц Хамгийн энгийн

Интегралууд нь энгийн функцээр илэрхийлэгддэг функцүүдийн хамгийн чухал ангиллын нэг бол рационал функцүүдийн ангилал юм.

Тодорхойлолт 1. Хэлбэрийн үүрэг хаана
- градусын олон гишүүнтnТэгээдмоновчтой гэж нэрлэдэг. Бүхэл бүтэн оновчтой функц, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнт, шууд интеграл. Бутархай-рационал функцийн интегралыг стандарт аргаар үндсэн хүснэгтийн интеграл болгон хувиргах нэр томъёонд задлах замаар олж болно.

Тодорхойлолт 2. Бутархай
тоологчийн зэрэгтэй бол зөв гэж нэрлэдэгnхуваагчийн хүчнээс багам.

Тоолуурын зэрэг нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх бутархайг буруу гэж нэрлэдэг.

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь олон гишүүнт тоог хуваахтай адил олон гишүүнт хуваагдах замаар хийгддэг.

Жишээ.
Бутархай хэсгийг төсөөлье

олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр:

3

3

3

x - 1
Эхний улирал
энэ нь тэргүүлэх нэр томъёог хуваасны үр дүнд олддог , тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана X
хуваагч Дараа нь бид үрждэг хуваагч бүрт x-1

мөн үр дүнгийн ногдол ашгаас хасагдана; Бүрэн бус хэсгийн үлдсэн нөхцлүүд ижил төстэй олддог.

Олон гишүүнт хуваагдсаны дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ үйлдлийг бүхэл хэсгийг сонгох гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3. Хамгийн энгийн бутархай нь дараах төрлийн зөв рационал бутархай юм.

I.
II.

(K=2, 3, …).
III.

дөрвөлжин гурвалжин хаана байна
IV.
Энд K=2, 3, …; квадрат гурвалжин

жинхэнэ үндэс байхгүй.
a) хуваагчийг өргөжүүлэх
хамгийн энгийн бодит хүчин зүйл болгон (алгебрийн үндсэн теоремын дагуу энэ өргөтгөл нь хэлбэрийн шугаман биномуудыг агуулж болно.
ба квадрат гурвалсан тоо

, үндэсгүй);
б) өгөгдсөн бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах диаграммыг бич. Түүнээс гадна, маягтын хүчин зүйл бүр тохирдогк

I ба II төрлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд:
маягтын хүчин зүйл бүрт

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь олон гишүүнт тоог хуваахтай адил олон гишүүнт хуваагдах замаар хийгддэг.

III ба IV төрлийн e нөхцөлтэй тохирч байна:
Бутархай тэлэлтийн схемийг бичнэ үү

хамгийн энгийнийн нийлбэрээр.

в) олж авсан хамгийн энгийн бутархайн нэмэлтийг гүйцэтгэнэ.
Үүссэн болон анхны бутархайн тоологчдын тэгш байдлыг бичнэ үү;

г) харгалзах тэлэлтийн коэффициентийг ол:

Задаргааны дараа зөв рационал бутархайг хамгийн энгийн нөхцөл болгон нэгтгэх нь дараахь төрлийн интегралуудыг олоход хүргэдэг.

(тохирдогТэгээд д =2, 3, …).

Интегралын тооцоо III томъёо руу бууруулна:

интеграл - II томъёонд:

интеграл квадрат гурвалсан гишүүн агуулсан функцүүдийн интегралчлалын онолд заасан дүрмээр олж болно; - 4-р жишээнд үзүүлсэн өөрчлөлтүүдээр.

Жишээ 1.

a) хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцно:

б) интегралыг нөхцөл болгон задлах диаграммыг бич.

в) энгийн бутархай нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ:

Бутархайн тоологчдын тэгш байдлыг бичье.

г) үл мэдэгдэх A, B, C коэффициентийг олох хоёр арга байдаг.

Хоёр олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь ижил түвшний хувьд тэнцүү байх тохиолдолд л тэнцүү байна , тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана, ингэснээр та тохирох тэгшитгэлийн системийг үүсгэж болно. Энэ бол шийдвэрлэх аргуудын нэг юм.

Коэффицентүүд нь

чөлөөт гишүүд (коэффицент ):4A=8.

Системийг шийдсэний дараа бид олж авдаг A=2, B=1, C= - 10.

Өөр нэг арга - хувийн үнэт зүйлс - дараах жишээнд авч үзэх болно;

д) олсон утгыг задралын схемд орлуулах:

Үр дүнгийн нийлбэрийг интеграл тэмдгийн дор орлуулж, нэр томъёо бүрийг тусад нь нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 2.

Identity гэдэг нь түүнд багтсан үл мэдэгдэх бүх утгын хувьд хүчинтэй тэгш байдал юм. Үүний үндсэн дээрхувийн үнэ цэнийн арга. , тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагданаӨгүүлж болно

аливаа үнэт зүйлс. Тэгш байдлын баруун талд байгаа аливаа нөхцөлийг арилгадаг утгуудыг тооцох нь илүү тохиромжтой. Болъё x = 0 . Дараа нь 1 = А 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С Үүнтэй адилаар x = - 2 бидэнд байгаа 1= - 2V*(-3 ), цагт x = 1 бидэнд байгаа.

1 = 3А

Тиймээс,

Жишээ 3.

аливаа үнэт зүйлс. Тэгш байдлын баруун талд байгаа аливаа нөхцөлийг арилгадаг утгуудыг тооцох нь илүү тохиромжтой. Болъёг) эхлээд бид хэсэгчилсэн утгын аргыг ашигладаг. . Дараа нь , Дараа нь.

1, A = 1 At x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) эсвэл, 6 = - 3V.

B = - 2 , тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана C ба D коэффициентийг олохын тулд та өөр хоёр тэгшитгэл үүсгэх хэрэгтэй. Үүний тулд та өөр ямар ч утгыг авч болно , Жишээ нь x = 1 Тэгээд x = 2 , тэргүүлэх нэр томъёонд хуваагдана. Та эхний аргыг ашиглаж болно, i.e. ижил чадлын хувьд коэффициентийг тэнцүүлэх , жишээ нь хэзээ

Тэгээд.Бид авдаг

1 = A+B+C ба 4 = С + Д, - IN.Мэдэх A = 1, . = 0 .

B = -2

, бид олох болно C = 2

Тиймээс коэффициентийг тооцоолохдоо хоёр аргыг хослуулж болно.
Сүүлийн интеграл
шинэ хувьсагчийг тодорхойлох аргад заасан дүрмийн дагуу бид тусад нь олдог.

=

Хуваарьт төгс квадратыг сонгоцгооё:

гэж хэлье

Дараа нь

Бид авах:

Өмнөх тэгш байдлыг орлуулснаар бид олдог

Жишээ 4.

Хай

б)

Гурав дахь интегралд бид хувьсагчийг орлуулна:

(Өөрчлөлтийг хийхдээ бид тригонометрийн томъёог ашигласан

Интегралуудыг ол:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Өөрийгөө шалгах асуултууд.

Эдгээр рационал бутархайн аль нь зөв вэ:

2. Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлах диаграмм зөв бичигдсэн үү?

Рационал функц гэдэг нь олон гишүүнт буюу олон гишүүнтийн үржвэрийн тоо болон хуваагч хэлбэрийн бутархай юм.

Жишээ 1. Алхам 2.

.

Бид тодорхойлогдоогүй коэффициентийг энэ тусдаа бутархайд байхгүй, харин бусад үр дүнд бий болсон олон гишүүнтүүдээр үржүүлнэ.

Хаалтанд нээж, анхны интегралын хүртэгчийг үүссэн илэрхийлэлтэй тэнцүүл.

Тэгш байдлын хоёр тал дээр бид х-ийн ижил чадалтай нэр томъёог хайж, тэдгээрээс тэгшитгэлийн системийг зохиодог.

.

Бид бүх x-ийг цуцалж, ижил тэгшитгэлийн системийг авна.

.

Тиймээс интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон эцсийн өргөтгөл нь:

.

Жишээ 2. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Одоо бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлж байна. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.

Одоо та тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийн коэффициентийг функцийн анхны илэрхийллийн тоологч дахь харгалзах зэрэгтэй тэнцүүлж, өмнөх алхам дээр олж авсан илэрхийлэл дэх ижил төстэй коэффициентүүдийг тэгшитгэдэг.

Бид үүссэн системийг шийддэг:

Тэгэхээр эндээс

.

Тиймээс, Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

Бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.

Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Бид x-ийг багасгаж, тэнцүү тэгшитгэлийн системийг авна.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

гэж хэлье Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалж, энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагчтай болгосны дараа олж авсан хуваагч дахь илэрхийлэлтэй анхны бутархайн хуваагчийг хэрхэн тэнцүүлэхийг бид өмнөх жишээнүүдээс аль хэдийн мэдэж байсан. Тиймээс зөвхөн хяналтын зорилгоор бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг танилцуулж байна.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

Жишээ 5. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Бид бие даан энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүртэгчтэй адилтгадаг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 6. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

Бид өмнөх жишээнүүдийн адил энэ хэмжээгээр ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 7. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Үр дүнгийн хэмжээтэй тодорхой үйлдлүүдийн дараа дараахь тэгшитгэлийн системийг авах шаардлагатай.

Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.

Бид интегралын эцсийн задралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон олж авна.

.

Жишээ 8. Алхам 2. 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах задралыг олж авав.

.

Тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд автоматжуулсан үйлдлүүдэд зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Зарим тохиолдолд шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусалдаг хиймэл техник байдаг. Бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, бид энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүрдэгчтэй тэнцүүлж, олж авна.

Рационал функцүүдийн интеграл Бутархай - рационал функц Хамгийн энгийн рационал бутархай Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Энгийн бутархай интегралчлал Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм

зэрэгтэй олон гишүүнт n. Бутархай - рационал функц Бутархай - рационал функц нь хоёр олон гишүүнтийн харьцаатай тэнцүү функц юм: Хэрэв тоологчийн зэрэг нь хуваарийн зэрэгээс бага бол рационал бутархайг зөв гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл м.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Бутархай - рационал функц Бутархай бутархайг зөв хэлбэрт нь буулгана: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 63 x3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Хамгийн энгийн рационал бутархай Хэлбэрийн зөв рационал бутархай: Тэдгээрийг төрлийн хамгийн энгийн рационал бутархай гэнэ. сүх А); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теорем: Хуваарагч нь үржвэрлэгдсэн аливаа зөв рационал бутархайг: түүгээр ч барахгүй энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Теоремын томъёололыг дараах жишээн дээр тайлбарлая: Тодорхой бус A, B, C, D... коэффициентүүдийг олохын тулд коэффициентийг харьцуулах арга ба арга гэсэн хоёр аргыг хэрэглэнэ. хувьсагчийн хэсэгчилсэн утгуудын. Жишээ ашиглан эхний аргыг авч үзье. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Рационал бутархайг энгийн бутархай болгон задлах Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ: Хамгийн энгийн бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгоё Үр дүн болон анхны бутархайн тоог тэнцүүлэх Ижил зэрэглэлийн коэффициентүүдийг тэнцүүлэх x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Хамгийн энгийн бутархайн интеграл Хамгийн энгийн рационал бутархайн интегралыг олцгооё: 3-р төрлийн бутархайн интегралыг жишээгээр авч үзье. dx ax A k dx qpxx NMx 2 axd axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Энгийн бутархайн интеграл dx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t t 9 23 2 9t 3) 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Энгийн бутархайн интеграл Орлуулах аргыг ашиглан ийм төрлийн интеграл: хоёр интегралын нийлбэр болгон бууруулна: Эхний интегралыг дифференциал тэмдгийн дор t оруулан тооцно. Хоёр дахь интегралыг давтагдах томьёог ашиглан тооцоолно: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt)

Энгийн бутархайн интеграл a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332ct 2 t ) ) (4)1(

Рационал бутархайг нэгтгэх ерөнхий дүрэм Хэрэв бутархай нь буруу бол олон гишүүнт ба зөв бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Зөв оновчтой бутархайн хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваахдаа тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлнэ. Олон гишүүнт болон үүссэн энгийн бутархайн нийлбэрийг нэгтгэ.

Жишээ Бутархайг зөв хэлбэрт оруулъя. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx2 2 xx2 5 05 23 48 2 x x

Жишээ: Зөв бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлье. Тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг ххх хх 23 2 2 48 2 2)1(48 хх хх 2) хувьсагчийн хэсэгчилсэн утгын аргаар олъё. )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx хх 23 2 2 48 2)1(3 1 124 хх

Жишээ dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

“Математикч зураач, яруу найрагчийн нэгэн адил хэв маягийг бүтээдэг. Мөн түүний хээ нь илүү тогтвортой байвал санаанаас бүрдсэн учраас л... Зураач, яруу найрагчийн хээ шиг математикч хүний ​​хээ ч сайхан байх ёстой; Өнгө, үгийн нэгэн адил санаанууд бие биетэйгээ нийцэх ёстой. Гоо сайхан бол хамгийн эхний шаардлага: энэ дэлхийд муухай математикт газар байхгүй».

G.H.Hardy

Эхний бүлэгт энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй нэлээд энгийн функцүүдийн эсрэг деривативууд байгааг тэмдэглэв. Үүнтэй холбогдуулан тэдгээрийн эсрэг деривативууд нь анхан шатны функцууд гэж бид үнэн зөв хэлж чадах функцүүдийн ангиуд асар их практик ач холбогдолтой болж байна. Энэ ангиллын функцүүд орно оновчтой функцууд, хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн харьцааг илэрхийлдэг. Олон асуудал нь рационал бутархайг нэгтгэхэд хүргэдэг. Тиймээс ийм функцуудыг нэгтгэх чадвартай байх нь маш чухал юм.

2.1.1. Бутархай рационал функцууд

Рационал бутархай(эсвэл бутархай рационал функц) хоёр алгебрийн олон гишүүнтийн хамаарал гэж нэрлэгддэг:

хаана ба олон гишүүнт байна.

Үүнийг сануулъя олон гишүүнт (олон гишүүнт, бүхэл бүтэн оновчтой функц) n-р зэрэгхэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг

Хаана - бодит тоо. Жишээлбэл,

- нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт;

– дөрөвдүгээр зэргийн олон гишүүнт гэх мэт.

Рационал бутархай (2.1.1) гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв зэрэг нь зэргээс доогуур байвал, i.e. n<м, эс бөгөөс бутархайг дуудна буруу.

Аливаа буруу бутархайг олон гишүүнт (бүхэл тоо) ба зөв бутархай (бутархай хэсэг) нийлбэрээр илэрхийлж болно.Бутархай бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг салгахдаа олон гишүүнтийг "булангаар" хуваах дүрмийн дагуу хийж болно.

Жишээ 2.1.1.Дараах буруу рационал бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг ол.

A) , б) .

Шийдэл . a) "Булангийн" хуваах алгоритмыг ашиглан бид олж авна

Тиймээс бид авдаг

.

б) Энд бид мөн "булангийн" хуваах алгоритмыг ашигладаг.

Үүний үр дүнд бид авдаг

.

Дүгнэж хэлье. Ерөнхий тохиолдолд рационал бутархайн тодорхойгүй интегралыг олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн интегралын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Олон гишүүнтийн эсрэг деривативыг олох нь хэцүү биш юм. Тиймээс, дараагийн зүйлд бид зөв рационал бутархайг голчлон авч үзэх болно.

2.1.2. Хамгийн энгийн рационал бутархай ба тэдгээрийн интеграл

Зөв оновчтой бутархайн дотроос дөрвөн төрөл байдаг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар ангилдаг хамгийн энгийн (анхны) рационал бутархай:

3) ,

4) ,

бүхэл тоо хаана байна, , өөрөөр хэлбэл квадрат гурвалжин жинхэнэ үндэс байхгүй.

1 ба 2 төрлийн энгийн бутархайг нэгтгэх нь тийм ч хэцүү биш юм.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Одоо 3-р төрлийн энгийн бутархайн интеграцийг авч үзье, гэхдээ бид 4-р төрлийн бутархайг авч үзэхгүй.

Маягтын интегралаас эхэлье

.

Энэ интегралыг ихэвчлэн хуваагчийн төгс квадратыг тусгаарлах замаар тооцдог. Үр дүн нь дараах хэлбэрийн хүснэгтийн интеграл юм

1+4+2+1 = - B(1+1+1) .

Жишээ 2.1.2.Интегралуудыг ол:

A) , б) .

Шийдэл . a) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг сонгоно уу:

Эндээс бид олдог

б) Квадрат гурвалсан гишүүнээс бүтэн квадратыг тусгаарласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс,

.

Интегралыг олохын тулд

Та хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт тусгаарлаж, интегралыг хоёр интегралын нийлбэр болгон өргөжүүлж болно: эхнийх нь орлуулах замаар гадаад үзэмж дээр ирдэг

,

ба хоёр дахь нь - дээр дурдсан нэгэнд.

Жишээ 2.1.3.Интегралуудыг ол:

.

Шийдэл . Үүнийг анхаарна уу . Тоолуур дахь хуваарийн деривативыг салгая.

Эхний интегралыг орлуулах аргыг ашиглан тооцоолно :

Хоёр дахь интегралд бид хуваагч дахь төгс квадратыг сонгоно

Эцэст нь бид авдаг

2.1.3. Зөв оновчтой бутархай тэлэлт
энгийн бутархайн нийлбэрийн хувьд

Аливаа зөв рационал бутархай энгийн бутархайн нийлбэр хэлбэрээр өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно. Үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай. Дээд алгебраас харахад олон гишүүнт бүр бодит коэффициенттэй байдаг

Энд бид дараах рационал бутархайг нэгтгэх гурван жишээний нарийвчилсан шийдлүүдийг санал болгож байна.
, , .

Жишээ 1

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Интеграл нь олон гишүүнтийн бутархай тул энд интеграл тэмдэг нь рационал функц юм. хуваагч олон гишүүнт зэрэг ( 3 ) нь тоологч олон гишүүнтийн зэргээс бага ( 4 ). Тиймээс эхлээд та бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгох хэрэгтэй.

1. Бутархайн хэсгийг бүхэлд нь сонгоцгооё. x хуваах 4 х 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Эндээс
.

2. Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та куб тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

1 . 1 :

Эндээс
.
x-д хуваах -
.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Тэгшитгэлийн үндэс нь: , .
.

3. Дараа нь

.

Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая.
.
Тиймээс бид олсон:

Интеграцид орцгооё.

Хариулт

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Жишээ 2 Энд бутархайн тоологч нь тэг зэрэгтэй олон гишүүнт ( 1 = x 0 0 < 3 ). Хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Түүнээс хойш

1. , тэгвэл бутархай зөв байна. Энгийн бутархай болгон задалъя.
.
Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 3 Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм
1, 3, -1, -3 .
x =-г орлуулъя 1 :
.

(х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно: 1 Тэгэхээр бид нэг язгуур х = оллоо . x хуваах 1 :

3 + 2 x - 3
.

x дээр -
Тэгэхээр, Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:.
Ялгаварлагчийг ол: D = 1 2 - 4 3 = -11.< 0 Түүнээс хойш Д
.

2.
.
, тэгвэл тэгшитгэл бодит үндэсгүй болно. Тиймээс бид хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг олж авлаа.:
(2.1) .
x =-г орлуулъя 1 (x - 1)(x 2 + x + 3) 1 = 0 ,
.

. (2.1) Дараа нь x - 0 :
Орлуулж орцгооё;
.

x = (2.1) 1 = 3 A - C 2 :
;
-тэй тэнцүүлье;
.

.

3. Тиймээс бид олсон:
(2.2) .
x-ийн коэффициентүүд

;
;
.

0 = A + B 2 .


.
Хоёрдахь интегралыг тооцоолохын тулд бид хуваагчийн деривативыг тоологч хэсэгт сонгож, хуваагчийг квадратуудын нийлбэр болгон бууруулна. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:Тооцоолох I x тэгшитгэлээс хойшжинхэнэ үндэс байхгүй бол x

2 + x + 3 > 0 (2.2) :
.

Интеграцид орцгооё.

.

Интегралыг тооцоолох:
.

Шийдэл

Тиймээс модулийн тэмдгийг орхиж болно. 3 Бид хүргэж өгнө 4 Жишээ 3 3 < 4 Энд интеграл тэмдгийн дор олон гишүүнтийн хэсэг байна. Тиймээс интеграл нь рационал функц юм. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна

1. .
.
Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 2 Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

(х-гүй гишүүн). Өөрөөр хэлбэл бүх үндэс нь тоонуудын нэг байж болно: -1 . Бутархайн хуваагчийн олон гишүүнтийн зэрэг нь тэнцүү байна:


3 + 2 x - 3
.

.
.
Түүнээс хойш 2 Энэ нь ядаж нэг бүхэл үндэстэй гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тооны хуваагч юм
1, 2, -1, -2 .
x =-г орлуулъя -1 :
.

, тэгвэл бутархай зөв байна. Тиймээс үүнийг энгийн бутархай хэсгүүдэд задалж болно. Гэхдээ үүнийг хийхийн тулд хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй. -1 Бутархайн хуваагчийг үржвэр болгоё. Үүнийг хийхийн тулд та дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.

(-1) = x + 1 2 + 2 = 0 Одоо бид гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
.

2. Хэрэв бид энэ тэгшитгэлийг бүхэл язгууртай гэж үзвэл энэ нь тооны хуваагч болно.
.
Тиймээс бид өөр нэг язгуурыг олсон x = .:
(3.1) .
x =-г орлуулъя -1 Өмнөх тохиолдлын адил олон гишүүнтийг хуваах боломжтой боловч бид нэр томъёог бүлэглэх болно. 1 = 0 ,
.

x тэгшитгэлээс хойш (3.1) :

;

.
x =-г орлуулъя -1 бодит үндэс байхгүй бол хуваагчийн хүчин зүйлчлэлийг авна. 1 = 0 :
;
; .

. (3.1) Дараа нь x - 0 :
Бутархайг хамгийн энгийн хэлбэрт нь задалцгаая. Бид дараах хэлбэрээр өргөтгөл хайж байна:;
.

x = (3.1) 1 = 3 A - C 3 :
;
Бид бутархайн хуваагчаас салж, үржүүлнэ;
.

(x + 1) 2 (x 2 + 2)
.

3. Тиймээс бид олсон:


.