Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг хэрхэн олох вэ. Координатын хавтгай дээрх зайг хэрхэн олох вэ. Цэгээс цэг хүртэлх зайг олох, жишээ, шийдэл

Хичээлийн төлөвлөгөө.

Шугаман дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.

Тэгш өнцөгт (декарт) координатын систем.

Шугаман дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.

Теорем 3.Хэрэв A(x) ба B(y) нь дурын хоёр цэг бол d - тэдгээрийн хоорондох зайг дараах томъёогоор тооцоолно: d = lу - xl.

Баталгаа.Теорем 2-ын дагуу бид AB = y - x байна. Гэхдээ А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь AB сегментийн урттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. AB векторын урт. Иймд d = lАВl=lu-хl болно.

y-x, x-y тоонуудыг модулаар авдаг тул d =lx-уl гэж бичиж болно. Тиймээс координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд тэдгээрийн координатын зөрүүний модулийг олох хэрэгтэй.

Жишээ 4. Өгөгдсөн A(2) ба B(-6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

Шийдэл.Томъёонд x=2, y=-6-г орлуулъя. Бид AB=lу-хl=l-6-2l=l-8l=8 болно.

Жишээ 5.Эхтэй харьцуулахад M(4) цэгт тэгш хэмтэй цэг байгуул.

Шийдэл.Учир нь М цэгээс О цэг хүртэл баруун тийш 4 нэгж сегментийг байрлуулсан бөгөөд дараа нь тэгш хэмтэй цэг байгуулахын тулд бид О цэгээс зүүн тийш 4 нэгж сегментийг тавиад M цэгийг авна" (-4).

Жишээ 6.В(2) цэгтэй харьцуулахад А(-4) цэгт тэгш хэмтэй C(x) цэгийг байгуулна.

Шийдэл.Тоон шулуун дээр A(-4) ба B(2) цэгүүдийг тэмдэглэ. Теорем 3-ын дагуу цэгийн хоорондох зайг олъё, бид 6-ыг авна. Дараа нь В ба С цэгүүдийн хоорондох зай нь мөн 6-тай тэнцүү байх ёстой. В цэгээс баруун тийш 6 нэгж хэрчмийг тавиад С (8) цэгийг авна.

Дасгал. 1) A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг ол: a) A(3) ба B(11), b) A(5) ба B(2), c) A(-1) ба B(3), d) A (-5) ба B(-3), e) A(-1) ба B(3), (Хариулт: a)8, b)3, c)4, d)2, e)2).

2) В(-1) цэгтэй харьцуулахад А(-5) цэгт тэгш хэмтэй C(x) цэгийг байгуулна. (Хариулт: C(3)).

Тэгш өнцөгт (декарт) координатын систем.

Нэг гарал үүсэлтэй Ox ба Oy хоёр харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүд нь ижил масштабын нэгжийг үүсгэдэг. тэгш өнцөгт(эсвэл Декарт) хавтгай координатын систем.

Үхрийн тэнхлэг гэж нэрлэгддэг x тэнхлэг, мөн Ой тэнхлэг - у тэнхлэг. Тэнхлэгүүдийн огтлолцлын О цэгийг нэрлэнэ гарал үүсэл. Ox болон Oy тэнхлэгүүд байрлах хавтгайг координатын хавтгай гэж нэрлэдэг ба Oxy гэж тэмдэглэнэ.

M нь хавтгай дээрх дурын цэг байг. Үүнээс Ox болон Oy тэнхлэгт MA ба MB перпендикуляруудыг тус тус буулгая. Эдгээр перпендикуляруудын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох А ба В цэгүүдийг нэрлэнэ төсөөлөлкоординатын тэнхлэг дээрх M цэгүүд.

A ба B цэгүүд нь тодорхой тооны x ба y-тэй тохирч байна - тэдний Ox болон Oy тэнхлэг дээрх координатууд. x тоог дууддаг абсциссацэг M, тоо y - түүний ординат.

М цэг нь х ба у координаттай болохыг бэлгэдлээр дараах байдлаар тэмдэглэв: M(x,y). Энэ тохиолдолд хаалтанд эхлээд абсциссыг, хоёрдугаарт ординатыг зааж өгнө. Гарал үүсэл нь координаттай (0,0).

Тиймээс, сонгосон координатын системээр, хавтгайн М цэг бүр нь хос тоо (x, y) - түүний тэгш өнцөгт координат, эсрэгээр, хос тоо (x, y) бүр, үүнээс гадна нэг цэгтэй тохирч байна. Окси хавтгай дээрх M нь абсцисс нь х, ординат нь у юм.

Тиймээс хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем нь онгоцны бүх цэгүүдийн олонлог ба хос тоонуудын хооронд нэг нэгээр нь харьцах харьцааг бий болгодог бөгөөд энэ нь шийдвэрлэх боломжийг олгодог. геометрийн асуудлуудалгебрийн аргыг хэрэглэх.

Координатын тэнхлэгүүд нь онгоцыг дөрвөн хэсэгт хуваадаг, тэдгээрийг нэрлэдэг дөрөвний нэг, дөрөвний нэгэсвэл координат өнцөгЗурагт үзүүлсэн шиг I, II, III, IV ром тоогоор дугаарласан (гипер холбоос).

Зурагт мөн тэдгээрийн байршлаас хамааран цэгүүдийн координатын тэмдгүүдийг харуулав. (жишээлбэл, эхний улиралд хоёр координат эерэг байна).

Жишээ 7.Барилгын цэгүүд: A(3;5), B(-3;2), C(2;-4), D (-5;-1).

Шийдэл.А(3;5) цэгийг байгуулъя. Юуны өмнө бид тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлж байна. Дараа нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу бид 3 масштабын нэгжийг баруун тийш, ордны тэнхлэгийн дагуу бид 5 хуваалтын нэгжийг дээшлүүлж, эцсийн хуваах цэгүүдээр бид координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг зурна. Эдгээр шугамын огтлолцлын цэг нь хүссэн A(3;5) цэг юм. Үлдсэн цэгүүд нь ижил аргаар баригдсан (гипер холбоосын зургийг харна уу).

Дасгал.

А(2;-4) цэгийг зурахгүйгээр аль улиралд хамаарахыг олоорой.

Ординат нь эерэг байвал цэгийг аль хэсэгт байрлуулах вэ?

Ой тэнхлэг дээр -5 координаттай цэгийг авав. Түүний онгоц дээрх координатууд юу вэ? (хариулт: цэг нь Ой тэнхлэг дээр байрладаг тул түүний абсцисса нь 0-тэй тэнцүү, ординатыг нөхцөлийн дагуу өгсөн тул цэгийн координат (0;-5) байна).

Өгөгдсөн оноо: a) A(2;3), b) B(-3;2), c) C(-1;-1), d) D(x;y). Үхрийн тэнхлэгтэй харьцуулахад тэдгээрт тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (2;-3), б) (-3;-2), в) (-1;1), г) (x;-y)).

Өгөгдсөн оноо: a) A(-1;2), b) B(3;-1), c) C(-2;-2), d) D(x;y). Ой тэнхлэгтэй харьцангуй тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (1;2), б) (-3;-1), в) (2;-2), г) (-x;y)).

Өгөгдсөн оноо: a) A(3;3), b) B(2;-4), c) C(-2;1), d) D(x;y). Гарал үүсэлтэй нь харьцуулахад тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Эдгээр бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: а) (-3;-3), б) (-2;4), в) (2;-1), г) (-x;-y)).

M(3;-1) цэгийг өгөв. Үхрийн тэнхлэг, Ой тэнхлэг, эхлэлтэй харьцуулахад түүнд тэгш хэмтэй цэгүүдийн координатыг ол. Бүх цэгүүдийг зур. (хариулт: (3;1), (-3;-1), (-3;1)).

M(x;y) цэг нь аль хэсэгт байрлаж болохыг тодорхойлбол: a) xy>0, b) xy< 0, в) х-у=0, г) х+у=0. (ответ: а) в первой и третьей, б)во второй и четвертой, в) в первой и третьей, г) во второй и четвертой).

Оройнуудын координатыг тодорхойл тэгш талт гурвалжин 10-тай тэнцүү талтай, эхний улиралд хэвтэж байгаа бол түүний оройнуудын аль нэг нь О координатын эхлэлтэй давхцаж, гурвалжны суурь нь Үхрийн тэнхлэг дээр байрладаг. Зураг зурах. (хариулт: (0;0), (10;0), (5;5v3)).

Координатын аргыг ашиглан ердийн зургаан өнцөгт ABCDEF-ийн бүх оройнуудын координатыг тодорхойлно.

(хариулт: A (0;0), B (1;0), C (1.5;v3/2), D (1;v3), E (0;v3), F (-0.5;v3 /2). Заавар: А цэгийг координатын эх болгон авч, абсцисса тэнхлэгийг А-аас В хүртэл чиглүүлж, AB талын уртыг масштабын нэгж болгон авах нь зургаан өнцөгтийн том диагональуудыг зурахад тохиромжтой.)

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай нь 6-р зэрэг юм.

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох томъёо

Цэгийн координатыг олох алгоритм - сегментийн дунд хэсэг

Энэхүү танилцуулгад материалыг ашигласан интернетийн хамт олондоо баярлалаа!

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх: Ашиглахурьдчилан харах

танилцуулга хийх, Google акаунт үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай x 0 1 A B AB = ρ (A, B)

Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай Хичээлийн зорилго: - Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох аргыг (томьёо, дүрэм) ол. - Олдсон дүрмийг ашиглан координатын шулуун дээрх цэг хоорондын зайг олж сур.

1. Аман тоо 15 -22 +8 -31 +43 -27 -14

2. Асуудлыг координатын шугам ашиглан амаар шийд: а) – 8,9 ба 2 б) – 10,4 ба – 3,7 в) – 1,2 ба 4,6 тоонуудын хооронд хэдэн бүхэл тоо байгаа вэ? a) 10 b) 8 c) 6

0 1 2 7 эерэг тоо -1 -5 сөрөг тоо Гэрээс цэнгэлдэх хүртэлх зай 6 Гэрээс сургууль хүртэлх зай 6 Координатын шугам

0 1 2 7 -1 -5 Цэнгэлдэх хүрээлэнгээс байшин хүртэлх зай 6 Сургуулиас байшин хүртэлх зай 6 Координатын шугамын цэг хоорондын зайг олох ρ (-5 ; 1)=6 ρ (7 ; 1)=6 ρ (a; b) =? | a-b |

a ба b цэгүүдийн хоорондох зай нь эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү байна. ρ (a; b)= | a-b | Координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зай

Бодит тооны модулийн геометрийн утга a b a a=b b x x x Хоёр цэгийн хоорондох зай

0 1 2 7 -1 -5 Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг ол - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (-6 ; 2)= ρ (6 ; 3)= ρ (0 ; 7) = ρ (1 ; -4) = 8 3 7 5

0 1 2 7 -1 -5 Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг ол - 2 - 3 - 4 3 4 5 6 -6 ρ (2 ; -6)= ρ (3 ; 6)= ρ (7 ; 0) = ρ (-4 ; 1) = 8 3 7 5

Гаралт: илэрхийллийн утгууд | a – b | болон | б–а | a ба b =-ийн аль ч утгын хувьд тэнцүү байна

–16 –2 0 –3 +8 0 +4 +17 0 ρ(–3; 8) = 11; |(–3) – (+8)| = 11; |(+8) – (–3)| = 11. ρ(–16; –2) = 14; |(–16) – (–2)| = 14; |(–2) – (–16)| = 14. ρ(4; 17) = 13; |(+4) – (+17)| = 13; |(+17) – (+4)| = 13. Координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зай

Хэрэв: 1) x = – 14, y = – 23 бол ρ(x; y)-г ол; ρ(x;y)=| x – y |=|–14–(– 23)|=|–14+23|=| 9 |=9 2) x = 5.9, y = –6.8; ρ(x; y)=|5, 9 –(– 6.8)|=|5.9+6.8|=| 12.7 |=12.7

Өгүүлбэрийг үргэлжлүүлээрэй 1. Координатын шугам нь ... заасан шулуун шугам 2. Хоёр цэгийн хоорондох зай нь ... 3. Эсрэг тоонууд нь тоонууд ... 4. Х тооны модулийг . .. 5. - a – b V b – a гэсэн илэрхийллийн утгыг харьцуулж дүгнэлт гарга... - Илтгэлийн утгыг харьцуулна уу | a – b | V | b–a | в дүгнэлт гаргах...

Винтик, Шпунтик нар координатын цацрагийн дагуу алхаж байна. Винтик нь В цэгт (236), Шпунтик нь W (193) цэгт Винтик, Шпунтик хоёр бие биенээсээ ямар зайд байрладаг вэ? ρ (B, W) = 43

A(0), B(1) A(2), B(5) A(0), B (- 3) A(- 10), B(1) AB = 1 AB = 3 AB цэгүүдийн хоорондох зайг ол. = 3 AB = 11

A(- 3.5), B(1.4) K(1.8), B(4.3) A(- 10), C(3) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.

AB = KB = AC = гэдгийг шалгана уу

С(– 5) С(– 3) Цэгийн координатыг ол - BA сегментийн дунд.

А (–3.25) ба В (2.65) цэгүүдийг координатын шулуун дээр тэмдэглэв. AB сегментийн дунд хэсэг болох О цэгийн координатыг ол. Шийдэл: 1) ρ(A;B)= |–3.25 – 2.65| = |–5.9| = 5.9 2) 5.9: 2 = 2.95 3) –3.25 + 2.95 = – 0.3 эсвэл 2.65 – 2.95 = – 0.3 Хариулт: O(–0, 3)

Координатын шулуун дээр C(–5.17) ба D(2.33) цэгүүдийг тэмдэглэв. CD сегментийн дунд хэсэг болох А цэгийн координатыг ол. Шийдэл: 1) ρ(C; D)= |– 5, 17 – 2, 33 | = |– 7, 5 | = 7, 5 2) 7, 5: 2 = 3, 7 5 3) – 5, 17 + 3, 7 5 = – 1, 42 эсвэл 2, 33 – 3, 7 5 = – 1, 42 Хариулт: A ( – 1, 42)

Дүгнэлт: Цэгийн координатыг олох алгоритм - өгөгдсөн сегментийн дунд: 1. Цэгүүдийн хоорондох зай - өгөгдсөн сегментийн төгсгөл = 2. Үр дүн-1-ийг 2-т хуваана (утгын хагас) = c 3 a координат дээр үр дүн-2-ыг нэмэх эсвэл a + c эсвэл - c координатаас үр дүн-2-ыг хасна 4. Үр дүн-3 нь цэгийн координат - энэ сегментийн дунд хэсэг юм.

Сурах бичигтэй ажиллах: §19, х.112, A. No573, 575 V. No578, 580 Гэрийн даалгавар: §19, х.112, A. No574, 576, V. No579, 581 CD-д бэлтгэх “ Рационал тоог нэмэх, хасах. Координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зай"

Өнөөдөр би олж мэдлээ... Сонирхолтой байсан... Би үүнийг ойлголоо ... Одоо би чадна ... Би сурсан ... Би үүнийг хийсэн ... Би хичээх болно ... Би гайхсан ... Би хүссэн...

Хичээлийн дугаар /3

СЭДЭВ: Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зай

Багшийн үйл ажиллагааны зорилго: координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох, зөрүүний модуль, сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох чадварыг эзэмших нөхцөлийг бүрдүүлэх.

Сэдвийг судлахаар төлөвлөсөн үр дүн:

Хувийн: тухайн сэдвийг судлах танин мэдэхүйн сонирхлыг харуулах.

Сэдэв: координатын шугам дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг олох, ялгааны модуль, сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох чадвартай.

Сэдвийг судлах мета-субъектийн үр дүн (бүх нийтийн суралцах үйл ажиллагаа):

боловсролын: асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга замд анхаарлаа төвлөрүүлэх; мэдээллийг нэгтгэн дүгнэх, системчлэх чадвартай;

зохицуулалт: шийдлийн аргыг төлөвлөх, хянахдаа дүрмийг харгалзан үзэх;

харилцаа холбоо: Тэд янз бүрийн санал бодлыг харгалзан үзэж, хамтын ажиллагааны янз бүрийн байр суурийг зохицуулахыг хичээдэг.

Хичээлийн скрипт.

I .Org мөч.
Сайн байна уу залуусаа. Өнөөдөр бидэнд зочид ирлээ, тэдэнтэй мэндэлцгээе!

Суу.

Бидний хичээл тийм ч энгийн хичээл биш. Мэдлэгийг нэгтгэх хичээл. Бид юу сурсан, юу сурснаа харуулах ёстой.

Сүүлийн үед бид ямар сэдвээр ажиллаж байна вэ (харьцуулалт, оновчтой тоог нэмэх)

Би дараах үгсийг хичээлийн эпиграф болгон авсан. : Бид өнөөдөр шинжлэх ухааны аялалд гарна

Туслахын тулд уран зөгнөлийг ашиглацгаая,

Бид шулуун замаас гарахгүй

Ингэснээр бид зорилгодоо илүү хурдан хүрч чадна

Бид шатаар өгсөх ёстой!

2. Мэдлэгийг шинэчлэх .

"Шат" даалгавар.

Сонголтууд дээр ажиллах, баталгаажуулах, өөрийгөө үнэлэх

3 Сайн байна, бид мэдлэгийн төлөө урагшилсаар байна.Гэрийн даалгавраа шалгацгаая.

1. Координатын шугамын цэгүүдийн хоорондох зайг ол: D/Z

a) A(-4) ба B(-6); b) A(5) ба B(-7); в) А(3) ба В(-18).

ШИЙДЭЛ: a) AB= |-6-(-4) |= |-2|=2

b) AB =|-7-5|=12

в) AB = |-18-3 |= 21

2. Цэгээс алслагдсан цэгүүдийн координатыг ол.

a) A(-8) 5-аар; b) B(6) -2.7; c) C(4) -3.2

Шийдэл: a) -8+5=-3 А 1 (-3) ба -8-5=-13 А 2 (-13)

б)6+(-2.7) =3.3 IN 1 (3,3) ба 6-(-2.7) =8.7 IN 2 (8,7)

в) 4+(-3.2) =0.8 ХАМТ 1 (0,8) 4-(-3,2) = 7,2 ХАМТ 2 (7,2)

3) хэрчмийн дунд хэсэг болох С цэгийн координатыг ол, хэрэв:

a) A(-12) B (1) b) A(-7) ба В(9) в) А(16) ба Б (-8)

ШИЙДЭЛ:

12+1=-11 B) -7+9 =2 B) 16+(-8) =8

11: 2=-5,5 2:2=1 8:2 =4

С(-5.5) с(1) С(4)

Таны ширээн дээр стандарт байдаг гэрийн даалгавар. Өөрийгөө үнэлэх хуудсыг шалгаж тэмдэглэнэ үү.

4 . Блиц судалгаа :

1. Координатын шугам гэж юу вэ?

2.Рационал тоог харьцуулах ямар дүрмийг та мэдэх вэ?

3. Тооны модуль гэж юу вэ?

4.Ижил тэмдэгтэй хоёр тоог хэрхэн нэмэх вэ?

5.Өөр өөр тэмдэгтэй хоёр тоог хэрхэн нэмэх вэ?

6. Координатын шулуун дээрх цэгүүдийн хоорондох зайг хэрхэн тодорхойлох вэ?

За, одоо бид мэдлэгээ практикт хэрхэн ашиглахаа харуулах болно.

5. Алдаа засах

12+4 =-16 -12+(-18) =6 9-14=5

16 +(-10)=6 30 +(-10) =-20 5 –(-3)=2

6 –(-5) =11 -20 -14 =-34 -2 +7=9

11-28 =-39 -34 -5 =-29 9 -13=22

Өөрөө тест хийх.

12+4 =--8 -12+(-18) =30 9-14= -5

16 +(-10)=-26 30 +(-10) =20 5 –(-3)=8

26 –(-5) =-21 -20 -14 =-34 -2 +7=5

11-28 =--17 -34 -5 =-41 9 -13=-4

6. Цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох: сегментийн дунд хэсгийг олох (сонголтуудын дагуу)

(Тэмдэглэлийн дэвтэр солилцох, харилцан шалгах.)

7. За, одоо бид амарна. Бидний нүд амрах хэрэгтэй

8.Бие даах ажил (дэвтэрт) үнэлгээ.

Сонголт 1 Сонголт 2

1,5-4,6 0,8 -1,2

-2,8 +3,8 4-9,4

0,45 -1 -4,3 +(-1,2) (Слайд 9)

Зорилтот: илэрхийллийг хувиргахад нэмэх хуулиудыг хэрэглэх чадварыг шалгах; танин мэдэхүйн сонирхол, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх; зорилгодоо хүрэхийн тулд тууштай, тууштай байхыг төлөвшүүлэх.




Хүснэгтийн дагуу олж авсан үр дүнгийн дагуу илэрхийллийн утгыг олж, гномыг өнгөөр ​​​​будна. (Гномтой карт нь сахиус шиг оюутнуудад үлддэг)

Сайн байна уу залуусаа!

Та даалгавруудыг гүйцэтгэсэн

Тэгээд тэд мэдлэгээ гялалзуулсан.

Мөн суралцах шидэт түлхүүр нь юм

Таны тэвчээр, тэвчээр!

Энэ нийтлэлд бид цэгээс цэг хүртэлх зайг онолын хувьд тодорхойлох арга замыг авч үзэх бөгөөд тодорхой даалгаврын жишээг ашиглах болно. Эхлэхийн тулд зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Цэгүүдийн хоорондох зайодоо байгаа масштабаар тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Хэмжих уртын нэгжтэй байхын тулд масштабыг тогтоох шаардлагатай. Иймд цэгийн хоорондох зайг олох асуудлыг үндсэндээ координатын шулуун дээр, координатын хавтгайд эсвэл гурван хэмжээст орон зайд координатуудыг ашиглан шийддэг.

Анхны өгөгдөл: координатын шугам O x ба түүн дээр байрлах дурын цэг нь нэг зүйлтэй бодит тоо: А цэгийн хувьд энэ нь тодорхой тоо байя x A,Энэ нь мөн А цэгийн координат юм.

Ерөнхийдөө тодорхой сегментийн уртыг тухайн хуваарийн дагуу уртын нэгж болгон авсан сегменттэй харьцуулахад үнэлдэг гэж хэлж болно.

Хэрэв А цэг нь бүхэл тооны бодит тоотой тохирч байвал О цэгээс шулуун шугамын дагуу О А сегментийг дараалан буулгаснаар О А сегментийн уртыг тусгаарласан нэгжийн нийт тооноос тодорхойлж болно.

Жишээлбэл, А цэг нь 3-р тоотой тохирч байна - О цэгээс түүнд хүрэхийн тулд та гурван нэгж сегментийг таслах хэрэгтэй болно. Хэрэв А цэг координаттай бол - 4 - ганц сегментүүдижил төстэй байдлаар хадгалагддаг, гэхдээ өөр, сөрөг чиглэлд. Тиймээс эхний тохиолдолд O A зай нь 3-тай тэнцүү байна; хоёр дахь тохиолдолд O A = 4.

Хэрэв А цэг нь координатын хувьд оновчтой тоотой бол эх үүсвэрээс (О цэг) бүхэл тооны нэгж сегментийг, дараа нь түүний шаардлагатай хэсгийг зурна. Гэхдээ геометрийн хувьд хэмжилт хийх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, 4 111-ийн бутархайг координатын шулуун дээр зурахад хэцүү мэт санагдаж байна.

Дээрх аргыг ашигласнаар иррационал тоог шулуун дээр зурах нь огт боломжгүй юм. Жишээлбэл, А цэгийн координат 11 байх үед. Энэ тохиолдолд хийсвэрлэл рүү шилжих боломжтой: хэрэв А цэгийн өгөгдсөн координат тэгээс их бол O A = x A (тоог зай гэж авна); хэрэв координат тэгээс бага бол O A = - x A . Ерөнхийдөө эдгээр мэдэгдэл нь ямар ч бодит тоо x А-д үнэн юм.

Дүгнэж хэлэхэд: гарал үүслийн цэгээс координатын шулуун дээрх бодит тоотой тохирох цэг хүртэлх зай нь:

• Хэрэв цэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал 0;

• x A, хэрэв x A > 0 бол;

• - x A бол x A< 0 .

Энэ тохиолдолд сегментийн урт нь өөрөө сөрөг байж болохгүй нь ойлгомжтой тул модулийн тэмдгийг ашиглан бид О цэгээс А цэг хүртэлх зайг координатаар бичнэ. х А: O A = x A

Дараах мэдэгдэл үнэн байх болно. нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зай нь координатын зөрүүний модультай тэнцүү байх болно.Тэдгээр. аль ч байршлын хувьд ижил координатын шулуун дээр байрлах, харгалзах координаттай А ба В цэгүүдийн хувьд х АТэгээд x B: A B = x B - x A.

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координаттай тэгш өнцөгт координатын систем O x y хавтгай дээр хэвтэж буй A ба B цэгүүд: A (x A, y A) ба B (x B, y B).

А ба В цэгүүдээр дамжуулан О х ба О у координатын тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үр дүнд нь проекцын цэгүүдийг олж авцгаая: A x, A y, B x, B y. А ба В цэгүүдийн байршилд үндэслэн дараах сонголтуудыг хийх боломжтой.

Хэрэв А ба В цэгүүд давхцаж байвал тэдгээрийн хоорондын зай тэг болно;

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шулуун дээр (абсцисса тэнхлэг) байвал цэгүүд давхцаж, | A B | = | A y B y | . Цэгүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү тул A y B y = y B - y A, тэгэхээр A B = A y B y = y B - y A болно.

Хэрэв A ба В цэгүүд нь O y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр (ординатын тэнхлэг) байвал - өмнөх догол мөртэй адилтгаж үзвэл: A B = A x B x = x B - x A

Хэрэв А ба В цэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр оршдоггүй бол тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог гарган олно.

A B C гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Энэ тохиолдолд A C = A x B x ба B C = A y B y болно. Пифагорын теоремыг ашиглан бид тэгшитгэлийг үүсгэнэ: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, дараа нь үүнийг хувиргана: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Хүлээн авсан үр дүнгээс дүгнэлт хийцгээе: хавтгай дээрх А цэгээс В цэг хүртэлх зайг эдгээр цэгүүдийн координатыг ашиглан томъёогоор тооцоолно.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Үүссэн томьёо нь цэгүүд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамууд дээр байрлах цэгүүд эсвэл нөхцөл байдлын давхцлын талаар өмнө нь бий болгосон мэдэгдлийг баталгаажуулдаг. Тэгэхээр, хэрэв A ба B цэгүүд давхцвал тэгш байдал үнэн болно: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

А ба В цэгүүд x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах нөхцөл байдлын хувьд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

А ба В цэгүүд ординатын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр байрлах тохиолдолд:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координат A (x A, y A, z A) болон B (x B, y B, z B) бүхий дурын цэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем O x y z. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох шаардлагатай.

А ба В цэгүүд координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайд хэвтэхгүй байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. А ба В цэгүүдээр дамжуулан координатын тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайг зурж, харгалзах проекцын цэгүүдийг олъё: A x, A y, A z, B x, B y, B z.

А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь үүссэн параллелепипедийн диагональ юм. Энэхүү параллелепипедийн хэмжилтийн барилгын дагуу: A x B x , A y B y and A z B z.

Геометрийн хичээлээс бид параллелепипедийн диагональ квадрат нь түүний хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид тэгш байдлыг олж авна: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Өмнө нь олж авсан дүгнэлтийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Илэрхийлэлийг өөрчилье:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал орон зайн цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох томъёоиймэрхүү харагдах болно:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Үүссэн томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.

Цэгүүд давхцаж байна;

Нэгэн дээр хэвтэж байна координатын тэнхлэгэсвэл координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам.

Цэгүүдийн хоорондох зайг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл: координатын шугам ба түүн дээр байрлах цэгүүдийг өгөгдсөн координат A (1 - 2) ба B (11 + 2) өгсөн болно. О цэгээс А цэг хүртэл, А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олох шаардлагатай.

Шийдэл

1. Лавлах цэгээс цэг хүртэлх зай нь энэ цэгийн координатын модультай тэнцүү O A = 1 - 2 = 2 - 1 байна.
2. Бид A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модуль гэж тодорхойлдог: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Хариулт: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем ба үүн дээр байрлах A (1, - 1) ба B (λ + 1, 3) хоёр цэгийг өгсөн болно. λ нь бодит тоо юм. А В зай нь 5-тай тэнцүү байх энэ тооны бүх утгыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 томъёог ашиглах ёстой.

Бодит координатын утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Мөн бид одоо байгаа нөхцөлийг ашигладаг A B = 5, тэгвэл тэгш байдал нь үнэн болно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Хариулт: λ = ± 3 бол A B = 5.

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл: заасан гурван хэмжээст орон зайтэгш өнцөгт координатын системд O x y z ба түүнд байрлах A (1, 2, 3) ба B - 7, - 2, 4 цэгүүд.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 томъёог ашиглана.

Бодит утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Хариулт: | A B | = 9

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу