Дурын биетийн хүндийн төвийг түүний бие даасан хэсгүүдэд үйлчлэх хүчийг дараалан нэмэх замаар тодорхойлох нь хэцүү ажил юм; Энэ нь зөвхөн харьцангуй энгийн хэлбэрийн биед хялбар болно.

Бие нь зөвхөн хоёр массаас бүрдэх ба саваагаар холбогдсон байг (Зураг 125). Хэрэв саваагийн масс нь масстай харьцуулахад бага байвал үүнийг үл тоомсорлож болно. Масс тус бүр нь тэнцүү ба таталцлын хүчээр үйлчилдэг; хоёулаа босоо доошоо чиглэсэн, өөрөөр хэлбэл бие биентэйгээ зэрэгцээ байна. Бидний мэдэж байгаагаар хоёр зэрэгцээ хүчний үр дүн нь нөхцөлөөс тодорхойлогддог цэг дээр үйлчилдэг

Цагаан будаа. 125. Хоёр ачаанаас бүрдэх биеийн хүндийн төвийг тодорхойлох

Үүний үр дүнд хүндийн төв нь хоёр ачааны хоорондох зайг тэдгээрийн массын харьцаатай урвуу харьцаагаар хуваадаг. Хэрэв энэ биеийг цэг дээр түдгэлзүүлсэн бол энэ нь тэнцвэрт байдалд байх болно.

Хоёр тэнцүү масс нь эдгээр массын хоорондох зайг хагасаар хуваах цэг дээр нийтлэг хүндийн төвтэй байдаг тул жишээлбэл, нэгэн төрлийн бариулын хүндийн төв нь савааны голд байрладаг нь шууд тодорхой болно (Зураг 126). ).

Нэг төрлийн дугуй дискний аль ч диаметр нь түүнийг бүрэн ижил тэгш хэмтэй хоёр хэсэгт хуваадаг тул (Зураг 127) хүндийн төв нь дискний диаметр бүр дээр, өөрөөр хэлбэл диаметрүүдийн огтлолцлын цэг дээр - геометрийн төвд байрлах ёстой. диск. Үүнтэй адил үндэслэлээр бид нэгэн төрлийн бөмбөлгийн хүндийн төв нь түүний геометрийн төвд, жигд тэгш өнцөгт параллелепипедийн хүндийн төв нь диагональуудын огтлолцол дээр оршдогийг олж мэднэ. Цагирагны хүндийн төв эсвэл бөгж түүний төвд байрладаг. Сүүлийн жишээ нь биеийн хүндийн төв нь биеийн гадна байрладаг болохыг харуулж байна.

Цагаан будаа. 126. Нэг төрлийн бариулын хүндийн төв нь түүний голд байрладаг

Цагаан будаа. 127. Нэг төрлийн дискний төв нь геометрийн төвд байрладаг

Хэрэв бие нь жигд бус хэлбэртэй эсвэл нэг төрлийн бус байвал (жишээлбэл, хоосон зайтай) хүндийн төвийн байрлалыг тооцоолох нь ихэвчлэн хэцүү байдаг бөгөөд туршилтаар энэ байрлалыг олох нь илүү тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, та фанерын хүндийн төвийг олохыг хүсч байна. Үүнийг утас дээр өлгөцгөөе (Зураг 128). Мэдээжийн хэрэг, тэнцвэрийн байрлалд биеийн хүндийн төв нь утасны суналт дээр байх ёстой, эс тэгвээс таталцлын хүч нь түдгэлзүүлсэн цэгтэй харьцангуй моменттэй байх бөгөөд энэ нь биеийг эргүүлж эхэлдэг. Тиймээс бид фанер дээр утаснуудын үргэлжлэлийг дүрсэлсэн шулуун шугамыг зурснаар таталцлын төв нь энэ шулуун дээр байрладаг гэж хэлж болно.

Үнэн хэрэгтээ, биеийг өөр өөр цэгүүдэд түдгэлзүүлж, босоо шугам зурснаар бид бүгд нэг цэг дээр огтлолцох болно. Энэ цэг нь биеийн хүндийн төв юм (учир нь энэ нь бүх шугам дээр нэгэн зэрэг хэвтэх ёстой). Үүнтэй адилаар та зөвхөн хавтгай дүрс төдийгүй илүү төвөгтэй биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлж болно. Онгоцны хүндийн төвийн байрлалыг жингийн тавцан дээр дугуйг нь эргүүлэх замаар тодорхойлно. Дугуй тус бүрт үйлчлэх жингийн хүчний үр дүн нь босоо чиглэлд чиглэх бөгөөд түүний үйлчлэх шугамыг параллель хүчийг нэмэх хуулийг ашиглан олж болно.

Цагаан будаа. 128. Түгжих цэгүүдээр татсан босоо шугамын огтлолцох цэг нь биеийн хүндийн төв юм.

Биеийн бие даасан хэсгүүдийн масс өөрчлөгдөх эсвэл биеийн хэлбэр өөрчлөгдөхөд хүндийн төвийн байрлал өөрчлөгддөг. Иймд савнаас түлш зарцуулагдах, ачаа тээшийг ачих гэх мэт үед онгоцны хүндийн төв хөдөлдөг. Биеийн хэлбэр өөрчлөгдөх үед хүндийн төвийн хөдөлгөөнийг харуулсан харааны туршилт хийхийн тулд хоёр ширхэг авах нь тохиромжтой. нугасаар холбогдсон ижил баар (Зураг 129). Баар нь бие биенийхээ үргэлжлэл болж байгаа тохиолдолд таталцлын төв нь баарны тэнхлэг дээр байрладаг. Хэрэв баар нь нугас дээр нугалж байвал хүндийн төв нь баарны гадна талд, тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн биссектрист байрладаг. Хэрэв та баарны аль нэгэнд нэмэлт ачаалал өгвөл хүндийн төв энэ ачаалал руу шилжинэ.

Цагаан будаа. 129. a) Нэг шулуун дээр байрлах нугасаар холбогдсон баарны хүндийн төв нь баарны тэнхлэг дээр байрладаг, b) Гулзайлтын системийн хүндийн төв нь баарны гадна байрладаг.

81.1. 12 см урттай, T үсэг хэлбэрээр бэхлэгдсэн хоёр ижил нимгэн саваагийн хүндийн төв хаана байна вэ?

81.2. Нэг төрлийн гурвалжин хавтангийн хүндийн төв нь медиануудын огтлолцол дээр байрладаг болохыг батал.

Цагаан будаа. 130. Дасгал хийх 81.3

81.3. Зурагт үзүүлсэн шиг 60 кг жинтэй нэгэн төрлийн самбар нь хоёр тулгуур дээр байрладаг. 130. Тулгуурт үйлчлэх хүчийг тодорхойл.

Заавар

Төвийг олохыг хичээ хүндийн хүчхавтгай тоонуудэмпирик байдлаар. Шинэ, хурцлаагүй харандаа аваад босоо байдлаар байрлуул. Дээрээс нь хавтгай дүрсийг тавь. Зурган дээрх тогтвортой байгаа цэгийг харандаагаар тэмдэглэ. Энэ нь төв байх болно хүндийн хүччинийх тоонууд. Харандааны оронд долоовор хуруугаа дээш сунгахад л хангалттай. Гэхдээ энэ нь хуруугаа шулуун, ганхахгүй, чичиргээгүй байлгах хэрэгтэй.

Үүссэн цэг нь массын төв гэдгийг харуулахын тулд зүүгээр нүх гарга. Нүхний дундуур утас гүйлгэж, утас нь үсрэхгүйн тулд нэг үзүүрээр нь зангидаж холбоно. Утасны нөгөө үзүүрийг барьж, түүнээс биеэ дүүжлээрэй. Хэрэв төв хүндийн хүчЭнэ нь зөв, зураг яг шалан дээр параллель байх болно. Түүний талууд найгахгүй.

Төвийг ол хүндийн хүч тоонуудгеометрийн хувьд. Хэрэв танд гурвалжин өгөгдсөн бол . Эдгээр сегментүүд нь гурвалжны оройг эсрэг талын дундуур холбодог. Гол нь болно төвгурвалжны масс. Хажуугийн дунд цэгийг олохын тулд та зургийг хагасаар нугалж болно, гэхдээ энэ нь жигд байдлыг алдагдуулна гэдгийг санаарай. тоонууд.

Геометрийн болон туршилтаар олж авсан үр дүнг харьцуулах. Туршилтын явцын талаар мэдээлэх. Жижиг алдааг хэвийн гэж үзнэ. Тэднийг төгс бус байдлаар тайлбарладаг тоонууд, багаж хэрэгслийн алдаа, хүний ​​хүчин зүйл (ажлын бага зэргийн дутагдал, хүний ​​нүдний төгс бус байдал гэх мэт).

Эх сурвалжууд:

• Хавтгай дүрсийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолох

Нэг төрлийн таталцлын талбарт хүндийн төв нь массын төвтэй давхцдаг. Геометрийн хувьд "хүндийн төв" ба "массын төв" гэсэн ойлголтууд нь мөн адил тэнцүү байдаг, учир нь таталцлын орон байгаа эсэхийг авч үздэггүй. Массын төвийг мөн инерцийн төв ба барицентр гэж нэрлэдэг (Грек хэлнээс barus - хүнд, кентрон - төв). Энэ нь бие буюу бөөмсийн системийн хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. Тиймээс чөлөөт уналтын үед бие нь инерцийн төвөө тойрон эргэдэг.

Заавар

Системийг хоёр ижил цэгээс бүрдүүлье. Дараа нь мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн дунд байрладаг. Хэрвээ x1 ба x2 координаттай цэгүүд m1 ба m2 өөр масстай бол массын төвийн координат нь x(c)=(m1 x1+m2 x2)/(m1+m2) болно. Лавлах системийн сонгосон "тэг" -ээс хамааран координатууд нь сөрөг байж болно.

Хавтгай дээрх цэгүүд х ба у гэсэн хоёр координаттай. Орон зайд заасан тохиолдолд гурав дахь z координат нэмэгдэнэ. Координат бүрийг тусад нь тайлбарлахгүйн тулд цэгийн радиус векторыг авч үзэх нь тохиромжтой. r=x би+y j+z· к, Хаана би,j,к− координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд.

Одоо систем нь m1, m2, m3 масстай гурван цэгээс бүрдэнэ. Тэдний радиус векторууд тус тус r1, r2Тэгээд r3. Дараа нь тэдгээрийн хүндийн төвийн радиус вектор r(c)=(м1· r1+м2· r2+м3· r3)/(м1+м2+м3).

Хэрэв систем нь дурын цэгүүдээс тогтдог бол радиус векторыг дараах томъёогоор олно.
r(c)=∑м(i) r(i)/∑м(i). Нийлбэрийг индекс i (нийлбэр тэмдэг ∑ доор бичсэн) ашиглан гүйцэтгэнэ. Энд m(i) нь i-р систем, r(i)- түүний радиус вектор.

Хэрэв бие нь нэгэн төрлийн масстай бол нийлбэр нь интеграл болно. Биеийг оюун санааны хувьд хязгааргүй жижиг хэсгүүдэд хуваана dm. Бие нь нэгэн төрлийн тул хэсэг бүрийн массыг dm=ρ·dV гэж бичиж болно, энд dV нь энэ хэсгийн анхан шатны эзэлхүүн, ρ нь нягт (нэг төрлийн биеийн бүх эзэлхүүний хэмжээнд ижил) байна.

Бүх хэсгүүдийн массын интеграл нийлбэр нь бүх биеийн массыг өгнө: ∑m(i)=∫dm=M. Тэгэхээр энэ нь болж байна r(c)=1/M·∫ρ·dV· доктор. Тогтмол утга болох нягтыг интеграл тэмдгийн доор авч болно. r(c)=ρ/M·∫dV· доктор. Шууд интеграцийн хувьд та dV болон хооронд тодорхой функцийг тохируулах шаардлагатай болно доктор, энэ нь зургийн параметрүүдээс хамаарна.

Жишээлбэл, сегментийн хүндийн төв (урт нэгэн төрлийн саваа) дунд байна. Бөмбөрцөг ба бөмбөгний массын төв нь төвд байрладаг. Конусын барицентр нь тэнхлэгийн сегментийн өндөрт байрладаг бөгөөд сууринаас нь тоолдог.

Мөн төвийг туршилтаар тодорхойлж болно. Зузаан цаас эсвэл картон хуудаснаас ямар ч хэлбэрийг хайчилж ав (жишээлбэл, ижил гурвалжин). Босоо сунгасан хурууны үзүүр дээр тавьж үзээрэй. Үүнийг хийх газар нь биеийн инерцийн төв байх болно.

Эх сурвалжууд:

• "Механик", D.V. Сивухин, 2006 он.
• Хөлөг онгоцны хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох

Энгийн утгаараа хүндийн төв нь биед үйлчилж буй бүх хүчний үр дүнг хэрэглэх цэг гэж ойлгогддог. Хамгийн энгийн жишээ бол энгийн самбар хэлбэртэй хүүхдийн савлуур юм. Ямар ч тооцоололгүйгээр ямар ч хүүхэд савлуур дээр байгаа хүнд жинтэй хүнийг тэнцвэржүүлэх (магадгүй бүр илүү жинтэй) байхаар самбарын тулгуурыг сонгох болно. Нарийн төвөгтэй бие, хэсгүүдийн хувьд нарийн тооцоолол, тохирох томъёолол зайлшгүй шаардлагатай. Хэдийгээр танд төвөгтэй илэрхийлэл гарсан ч гол зүйл бол тэднээс айх хэрэггүй, гэхдээ бид эхлээд бараг л энгийн ажлын тухай ярьж байгааг санах хэрэгтэй.

Заавар

Тэнцвэрийн байрлал дахь хамгийн энгийн хөшүүргийг (1-р зургийг үз) авч үзье. Х₁₂-ийг абсциссатай хэвтээ тэнхлэгт байрлуулж, ирмэг дээр m₁ ба m₂ масстай материалын цэгүүдийг байрлуул. 0x тэнхлэгийн дагуух координатуудыг мэдэгдэж байгаа бөгөөд x₁ ба x₂-тэй тэнцүү гэж үзье. Р₁=m₁g ба P₂=m₂g жингийн хүчний моментууд тэнцүү бол хөшүүрэг тэнцвэрийн байрлалд байна. Момент нь хүч хэрэглэх цэгээс босоо x=x₁₂ хүртэл буулгасан перпендикулярын уртаар олж болох гарны хүчний үржвэртэй тэнцүү байна. Иймд Зураг 1-ийн дагуу m₁gℓ₁= m₂gℓ₂, ℓ₁=х₁₂-х₁, ℓ₂=х₂-х₁₂. Дараа нь m₁(х₁₂-х₁)=m₂(х₂-х₁₂). Энэ тэгшитгэлийг шийдээд x₁₂=(m₁x₁+m₂x₂)/(m₁+m₂) авна.

y₁₂ ординатыг олохын тулд 1-р алхамтай ижил үндэслэл, тооцооллыг хэрэгжүүл. m₁gh₁= m₂gh₂, h₁=y₁₂-y₁, h₂=y₂-y⁂ байх Зураг 1-т үзүүлсэн жишээг дагана уу. Дараа нь m₁(y₁₂-y₁)=m₂(y₂-y₁₂). Үр дүн нь y₁₂=(m₁у₁+m₂у₂)/(m₁+m₂). Дараа нь хоёр цэгийн системийн оронд нийт массын (m₁+m₂) нэг M₁₂(x12,у12) цэг байгааг анхаарч үзээрэй.

Хоёр цэгийн системд координаттай (x₃, y₃) өөр масс (m₃) нэмнэ. Тооцоолохдоо хоёр дахь цэг нь масс (m₁+m₂) ба координат (x12,y12) байх хоёр цэгтэй харьцаж байна гэж бодох хэрэгтэй. Энэ хоёр цэгийн хувьд 1 ба 2-р алхамын бүх үйлдлийг давтан хийснээр та x₁x₁+m₂x₂+m₃x₃)/(m₁+m₂+m₃), y₁₂₃=(m₁₂₁+m₁₂₁+m) гурван цэгийн төвд ирнэ. m₁ +m₂ +m₃). Дараа нь дөрөв, тав гэх мэт цэгүүдийг нэмнэ. Нэг процедурыг олон удаа давтан хийсний дараа n цэгийн системийн хувьд хүндийн төвийн координатыг томъёогоор тооцоолж байгаа эсэхийг шалгаарай (2-р зургийг үз). Ажлын явцад таталцлын хурдатгал g буурсан болохыг анхаарна уу. Тиймээс масс ба хүндийн төвийн координатууд давхцдаг.

Харж байгаа хэсэгт гадаргуугийн нягт нь ρ=1 байх тодорхой D муж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дээрх ба доороос y=φ(x) ба y=ψ(x), x є [a,b] муруйнуудын графикаар зураг хязгаарлагдана. X=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) босоо байрлалтай D талбайг ойролцоогоор ∆хi суурьтай тэгш өнцөгт гэж тооцож болохуйц нимгэн тууз болгон хуваа. .3). Энэ тохиолдолд ∆хi хэрчмийн дунд хэсгийг массын төвийн абсциссатай ξi=(1/2) давхцахыг авч үзье. Тэгш өнцөгтийн өндрийг ойролцоогоор [φ(ξi)-ψ(ξi)]-тэй тэнцүү гэж үзье. Тэгвэл элементар талбайн массын төвийн ординат нь ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)] байна.

Нягтын жигд тархалтаас шалтгаалан туузны массын төв нь түүний геометрийн төвтэй давхцах болно гэж үзье. Харгалзах энгийн масс ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi (ξi,ηi) цэг дээр төвлөрч байна. Салангид хэлбэрээр үзүүлсэн массаас тасралтгүй рүү урвуу шилжих мөч ирлээ. Хүндийн төвийн координатыг (2-р зургийг үз) тооцоолох томъёоны дагуу интеграл нийлбэрийг 4а-р зурагт үзүүлэв. Нийлбэрээс тодорхой интеграл руу ∆xi→0 (ξi→xi) хязгаарт шилжихдээ эцсийн хариултыг авна (Зураг 4б). Хариултанд масс байхгүй байна. S=M тэгш байдлыг зөвхөн тоон утга гэж ойлгох хэрэгтэй. Энд байгаа хэмжээсүүд нь бие биенээсээ ялгаатай.

Хүндийн төвийг хэрхэн олох вэ

Зохиогч: Дурын хэлбэртэй биеийг авъя. Унжсаны дараа байрлалаа хадгалахын тулд (өөрөөр хэлбэл эргэж эхлэхгүй) утас дээр өлгөх боломжтой юу? ямар чанхны чиг баримжаа (Зураг 27.1)?

Өөрөөр хэлбэл, биеийн янз бүрийн хэсэгт үйлчлэх таталцлын моментуудын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх цэг байдаг уу? ямар чорон зай дахь биеийн чиг баримжаа?

Уншигч: Би тэгж бодож байна. Энэ цэгийг нэрлэдэг биеийн хүндийн төв.

Баталгаа.Энгийн болгохын тулд орон зайд дур зоргоороо чиглэсэн, дурын хэлбэрийн хавтгай хавтан хэлбэртэй биеийг авч үзье (Зураг 27.2). Координатын системийг авч үзье X 0цагтмассын төв цэг дээр эхлэлтэй ХАМТ, Дараа нь x C = 0, үед C = 0.

Энэ биеийг олон тооны цэгийн массын цуглуулга гэж төсөөлөөд үз дээ м би, тус бүрийн байрлалыг радиус вектороор тодорхойлно.

Тодорхойлолтоор массын төв нь , координат юм x C = .

Координатын системд бид баталсан учраас x C= 0, тэгвэл . Энэ тэгш байдлыг үржүүлье gмөн бид авдаг

Зураг дээрээс харж болно. 27.2, | x i| - энэ бол эрх мэдлийн мөрөн юм. Тэгээд хэрэв x i> 0, дараа нь хүчний момент М и> 0, хэрэв x j < 0, то М ж < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iхүчний момент тэнцүү байх болно M i = m i gx i .Дараа нь тэгш байдал (1) нь тэгш эрхтэй тэнцүү байна, хаана М и- таталцлын момент. Энэ нь биеийг дур зоргоороо чиглүүлснээр биед үйлчлэх таталцлын моментуудын нийлбэр нь түүний массын төвтэй харьцуулахад тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Бидний бодож байгаа бие тэнцвэрт байдалд байхын тулд түүнд тухайн цэг дээр хэрэглэх шаардлагатай. ХАМТхүч Т = мг, босоо дээш чиглэсэн. Цэгтэй харьцуулахад энэ хүчний момент ХАМТтэгтэй тэнцүү.

Бидний үндэслэл огторгуйд бие яг хэрхэн чиглэгдэж байгаагаас ямар нэгэн байдлаар шалтгаалаагүй тул таталцлын төв нь массын төвтэй давхцаж байгааг нотолсон бөгөөд үүнийг нотлох шаардлагатай болсон.

Асуудал 27.1.Жингүй урттай савааны хүндийн төвийг ол л, төгсгөлд нь хоёр цэгийн масс тогтоогдсон байна Т 1 ба Т 2 .

Т 1 Т 2 л	Шийдэл. Бид таталцлын төвийг биш харин массын төвийг хайх болно (учир нь эдгээр нь ижил зүйл юм). Тэнхлэгийг танилцуулъя X(Зураг 27.3). Цагаан будаа. 27.3
x C =?

Хариулт: массаас хол зайд Т 1 .

ЗОГС! Өөрөө шийд: B1–B3.

Мэдэгдэл 1 . Хэрэв нэгэн төрлийн хавтгай бие нь тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бол хүндийн төв нь энэ тэнхлэг дээр байна.

Үнэн хэрэгтээ аливаа цэгийн массын хувьд м би, тэгш хэмийн тэнхлэгийн баруун талд байрладаг, эхнийхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай ижил цэгийн масс байдаг (Зураг 27.4). Энэ тохиолдолд хүчний моментуудын нийлбэр .

Биеийг бүхэлд нь ижил төстэй хос цэгүүдэд хуваасан байдлаар дүрсэлж болох тул тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгтэй харьцуулахад таталцлын нийт момент тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь биеийн хүндийн төв нь энэ тэнхлэг дээр байрладаг гэсэн үг юм. . Энэ нь чухал дүгнэлтэд хүргэдэг: Хэрэв бие хэд хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй бол хүндийн төв нь эдгээр тэнхлэгүүдийн огтлолцол дээр байрладаг.(Зураг 27.5).

Цагаан будаа. 27.5

Мэдэгдэл 2. Хэрэв хоёр бие масстай бол Т 1 ба Т 2-ыг нэг болгон холбосон бол ийм биеийн хүндийн төв нь эхний ба хоёр дахь биеийн хүндийн төвүүдийг холбосон шулуун шугамын сегмент дээр байрлана (Зураг 27.6).

Цагаан будаа. 27.6 Цагаан будаа. 27.7

Баталгаа.Биеийн хүндийн төвүүдийг холбосон сегмент нь босоо байхаар нийлмэл биеийг байрлуулцгаая. Дараа нь цэгтэй харьцуулахад эхний биеийн таталцлын моментуудын нийлбэр ХАМТ 1 нь тэгтэй тэнцүү ба цэгтэй харьцуулахад хоёр дахь биеийн таталцлын моментуудын нийлбэр. ХАМТ 2 нь тэгтэй тэнцүү (Зураг 27.7).

Үүнийг анхаарна уу мөраливаа цэгийн массын таталцал т бисегмент дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд мөн адил ХАМТ 1 ХАМТ 2, тиймээс сегмент дээр хэвтэж буй аливаа цэгтэй харьцуулахад таталцлын момент ХАМТ 1 ХАМТ 2, ижил. Иймээс бүх биеийн таталцлын хүч сегментийн аль ч цэгтэй харьцуулахад тэг байна ХАМТ 1 ХАМТ 2. Тиймээс нийлмэл биеийн хүндийн төв нь сегмент дээр байрладаг ХАМТ 1 ХАМТ 2 .

Заавар хэлбэрээр тодорхой томъёолсон мэдэгдэл 2-оос чухал практик дүгнэлт гарч байна.

Заавар,

хатуу биеийг эвдэж чадвал хүндийн төвийг хэрхэн олох вэ

хэсэг болгон хувааж, тус бүрийн хүндийн төвүүдийн байрлалыг мэддэг

1. Хэсэг бүрийг тухайн хэсгийн хүндийн төвд байрлах массаар солих шаардлагатай.

2. Хай массын төв(мөн энэ нь хүндийн төвтэй ижил) цэгийн массын системийн үр дүнд тохирсон координатын системийг сонгох X 0цагт, томъёоны дагуу:

Үнэн хэрэгтээ нийлмэл биеийг сегмент болгон зохион байгуулъя ХАМТ 1 ХАМТ 2 нь хэвтээ байсан бөгөөд цэг дээр утаснууд дээр өлгөх ХАМТ 1 ба ХАМТ 2 (Зураг 27.8, А). Бие нь тэнцвэрт байдалд байх нь тодорхой. Хэрэв бид бие бүрийг цэгийн массаар солих юм бол энэ тэнцвэр алдагдахгүй Т 1 ба Т 2 (Зураг 27.8, б).

Цагаан будаа. 27.8

ЗОГС! Өөрийнхөө төлөө шийд: C3.

Асуудал 27.2.Массын бөмбөгийг ижил талт гурвалжны хоёр орой дээр байрлуулсан Тбүр. Гурав дахь орой дээр 2 масстай бөмбөгийг байрлуулсан Т(Зураг 27.9, А). Гурвалжин тал А. Энэ системийн хүндийн төвийг тодорхойл.

Т 2Т А	Цагаан будаа. 27.9
x C = ? үед C = ?

Шийдэл. Координатын системийг танилцуулъя X 0цагт(Зураг 27.9, б). Дараа нь

,

.

Хариулт: x C = А/2; ; хүндийн төв нь хагас өндөрт байрладаг МЭ.

Таталцлын төв нь энгийн таталцлын хүчний үр дүнгийн үйл ажиллагааны шугам дамжин өнгөрөх цэг юм. Энэ нь зэрэгцээ хүчний төвийн өмчтэй (E.M. Никитин, § 42). Тийм ч учраас янз бүрийн биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох томъёохэлбэртэй байна:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Хэрэв таталцлын төвийг тодорхойлох шаардлагатай биеийг шугамаар хийсэн дүрсээр (жишээлбэл, утсаар хийсэн хаалттай эсвэл нээлттэй контур, 173-р зурагт) тодорхойлж чадвал сегмент бүрийн жин G i l i. бүтээгдэхүүн болгон төлөөлж болно
G i = l i d,
Энд d нь бүх зургийн нэгжийн материалын тогтмол жин юм.

G i-ийн оронд тэдгээрийн l i d утгыг томъёонд (1) орлуулсны дараа тоологч ба хуваагчийн гишүүн бүрийн тогтмол d хүчин зүйлийг хаалтанд (нийлбэрийн тэмдгийн цаана) гаргаж, багасгаж болно. Тиймээс, Шугамын хэсгүүдээс бүрдэх дүрсийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох томъёо, дараах хэлбэрийг авна.
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Хэрэв бие нь янз бүрийн аргаар байрлуулсан хавтгай эсвэл муруй гадаргуугаас бүрдсэн дүрс хэлбэртэй байвал (Зураг 174) хавтгай (гадаргуу) бүрийн жинг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
G i = F i p,
Энд F i нь гадаргуу бүрийн талбай, p нь зургийн нэгж талбайн жин юм.

G i-ийн энэ утгыг томъёонд (1) орлуулсны дараа бид олж авна талбайнуудаас бүрдэх дүрсийн хүндийн төвийн координатын томъёо:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Хэрэв нэгэн төрлийн биеийг тодорхой геометрийн хэлбэрийн энгийн хэсгүүдэд хувааж чадвал (Зураг 175) хэсэг тус бүрийн жин
G би = V би γ,
Энд V i нь хэсэг тус бүрийн эзэлхүүн, γ нь биеийн нэгж эзлэхүүн дэх жин юм.

G i-ийн утгыг томъёонд (1) орлуулсны дараа бид олж авна Нэг төрлийн эзэлхүүнээс бүрдэх биеийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох томъёо:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

Биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох зарим асуудлыг шийдвэрлэхдээ тойрог нуман, дугуй салбар эсвэл гурвалжингийн хүндийн төв хаана байрлаж байгааг мэдэх шаардлагатай байдаг.

Хэрэв нумын радиус r ба радианаар илэрхийлэгдсэн нумын радиус 2α төв өнцгийг мэддэг бол таталцлын C төвийн байрлалыг (Зураг 176, а) нумын төвтэй харьцуулахад тодорхойлно. томъёо:
(5) x c = (r sin α)/α.

Хэрэв нумын хөвч AB=b өгөгдсөн бол (5) томъёонд та орлуулалтыг хийж болно
нүгэл α = b/(2r)
тэгээд дараа нь
(5a) x c = b/(2α).

Хагас тойргийн хувьд хоёр томьёо нь дараах хэлбэртэй байна (Зураг 176, b):
(5б) x c = OC = 2r/π = d/π.

Дугуй секторын хүндийн төвийн байрлалыг r радиус өгсөн бол (Зураг 176, c) дараах томъёогоор тодорхойлно.
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Хэрэв секторын хөвч өгөгдсөн бол:
(6a) x c = b/(3α).

Хагас тойргийн онцгой тохиолдолд сүүлчийн томъёо хоёулаа хэлбэрийг авна (Зураг 176, d)
(6б) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Аливаа гурвалжны талбайн хүндийн төв нь аль ч талаас нь харгалзах өндрийн гуравны нэгтэй тэнцэх зайд байрладаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд хүндийн төв нь хөлний уртын гуравны нэгийн зайд байрлах цэгүүдээс хөл рүү өргөгдсөн перпендикуляруудын огтлолцол дээр байрлаж, зөв ​​өнцгийн оройноос эхлэн тоолно (Зураг 177).

Нимгэн саваа (шугам), хавтан (талбай), эзэлхүүнээс бүрдсэн аливаа нэгэн төрлийн биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараахь дарааллыг баримтлахыг зөвлөж байна.

1) хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох шаардлагатай биеийг зурах. Биеийн бүх хэмжээсийг ихэвчлэн мэддэг тул масштабыг ажиглах шаардлагатай;

2) биеийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд (шугам, талбайн хэсэг, эзэлхүүн) хуваах, хүндийн төвүүдийн байрлалыг биеийн хэмжээнээс хамаарч тодорхойлно;

3) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн урт, талбай, эзэлхүүнийг тодорхойлох;

4) координатын тэнхлэгүүдийн байршлыг сонгох;

5) бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох;

6) бие даасан хэсгүүдийн урт, талбай, эзэлхүүний олсон утгууд, түүнчлэн тэдгээрийн хүндийн төвүүдийн координатыг зохих томъёонд орлуулж, бүх биеийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолох;

7) олсон координатыг ашиглан биеийн хүндийн төвийн байрлалыг зурагт заана уу.

§ 23. Нимгэн нэгэн төрлийн саваанаас тогтсон биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох.

§ 24. Хавтануудаас бүрдсэн дүрсүүдийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох

Сүүлийн асуудал, мөн өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн асуудлуудын хувьд тоонуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь хуваах нь ямар ч хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ заримдаа зураг нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хэд хэдэн аргаар хуваагдах боломжийг олгодог хэлбэртэй байдаг, жишээлбэл, гурвалжин зүсэлттэй нимгэн тэгш өнцөгт хавтан (Зураг 183). Ийм хавтангийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлохдоо түүний талбайг дөрвөн тэгш өнцөгт (1, 2, 3, 4), нэг тэгш өнцөгт гурвалжин 5 болгон хэд хэдэн аргаар хувааж болно. Хоёр сонголтыг Зураг дээр үзүүлэв. 183, а ба б.

Дүрсийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваах хамгийн оновчтой арга бол хамгийн бага тооны хэсгүүдийг гаргах явдал юм. Хэрэв зураг дээр зүсэлт байгаа бол тэдгээрийг зургийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дунд оруулж болно, гэхдээ хайчлагдсан хэсгийн талбайг сөрөг гэж үзнэ. Тиймээс энэ хуваагдлыг сөрөг талбайн арга гэж нэрлэдэг.

Зураг дээрх хавтан. 183-р зургийг энэ аргыг ашиглан зөвхөн хоёр хэсэгт хуваадаг: тэгш өнцөгт 1 нь бүхэл бүтэн хавтангийн талбайтай, гурвалжин 2 нь бидний сөрөг гэж үздэг талбайтай.

§ 26. Энгийн геометрийн хэлбэртэй хэсгүүдээс бүрдэх биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох.

Энгийн геометрийн хэлбэртэй хэсгүүдээс бүрдэх биеийн хүндийн төвийн байрлалыг тодорхойлох асуудлыг шийдэхийн тулд та шугам эсвэл талбайгаас бүрдсэн дүрсүүдийн хүндийн төвийн координатыг тодорхойлох чадвартай байх ёстой.

Инженерийн практикт хүндийн төвийн байрлалыг мэддэг энгийн элементүүдээс бүрдсэн нарийн төвөгтэй хавтгай дүрсийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолох шаардлагатай болдог. Энэ даалгавар нь... тодорхойлох ажлын нэг хэсэг юм.

Цацраг ба саваагийн нийлмэл хөндлөн огтлолын геометрийн шинж чанарууд. Ихэнхдээ хайчлагчийн инженерүүд даралтын төвийн координатыг тодорхойлох, ачаа байрлуулахдаа янз бүрийн тээврийн хэрэгслийн ачих схемийг боловсруулах, элементийн хэсгүүдийг сонгохдоо металл хийц зохион бүтээгчид, мэдээжийн хэрэг оюутнуудад ижил төстэй асуултуудтай тулгардаг. "Онолын механик", "Материалын бат бөх байдал" гэсэн чиглэлээр суралцаж байна.

Анхан шатны дүрүүдийн номын сан.

Тэгш хэмтэй хавтгай дүрсүүдийн хувьд хүндийн төв нь тэгш хэмийн төвтэй давхцдаг. Энгийн объектуудын тэгш хэмт бүлэгт тойрог, тэгш өнцөгт (дөрвөлжин орно), параллелограмм (ромбыг оруулаад), ердийн олон өнцөгт орно.

Дээрх зурагт үзүүлсэн арван зургаас зөвхөн хоёр нь үндсэн байна. Өөрөөр хэлбэл, гурвалжин ба тойргийн секторуудыг ашигласнаар та практик сонирхлын бараг бүх дүрсийг нэгтгэж болно. Аливаа дурын муруйг хэсэг болгон хувааж, дугуй нумаар сольж болно.

Үлдсэн найман тоо нь хамгийн түгээмэл байдаг тул энэ өвөрмөц номын санд оруулсан болно. Манай ангилалд эдгээр элементүүд нь үндсэн биш юм. Хоёр гурвалжингаас тэгш өнцөгт, параллелограмм, трапец хэлбэртэй байж болно. Зургаан өнцөгт нь дөрвөн гурвалжны нийлбэр юм. Тойргийн сегмент нь тойрог ба гурвалжны секторын ялгаа юм. Тойргийн цагираг хэлбэртэй салбар нь хоёр секторын ялгаа юм. Тойрог нь α=2*π=360˚ өнцөгтэй тойргийн сектор юм. Үүний дагуу хагас тойрог нь α=π=180˚ өнцөгтэй тойргийн сектор юм.

Нийлмэл дүрсийн хүндийн төвийн координатыг Excel дээр тооцоолох.

Асуудлыг цэвэр онолын тооцоогоор судлахаас жишээ авч үзэх замаар мэдээллийг дамжуулах, ойлгох нь үргэлж хялбар байдаг. "Таталцлын төвийг хэрхэн олох вэ?" Гэсэн асуудлын шийдлийг авч үзье. Энэ текстийн доорх зурагт үзүүлсэн нийлмэл зургийн жишээг ашиглан.

Нийлмэл хэсэг нь тэгш өнцөгт (хэмжээтэй а1 =80 мм, б1 =40 мм), зүүн дээд талд нь тэгш өнцөгт гурвалжин нэмсэн (суурийн хэмжээтэй хамт) а2 =24 мм ба өндөр h2 =42 мм) ба түүнээс баруун дээд талаас хагас тойрог (төв нь координаттай цэг дээр) таслагдсан. x03 =50 мм ба y03 =40 мм, радиус r3 =26 мм).

Бид тооцооллыг хийхэд тань туслах программыг ашиглах болно MS Excel эсвэл програм OOo Calc . Тэдний хэн нь ч бидний даалгаврыг амархан даван туулах болно!

-тэй эсүүдэд шар бид үүнийг дүүргэх болно туслах урьдчилсан тооцоолол .

Бид цайвар шар өнгийн дүүргэлт бүхий нүднүүдийн үр дүнг тооцоолно.

Цэнхэр фонт нь эх сурвалж мэдээлэл .

Хар фонт нь завсрын тооцооны үр дүн .

Улаан фонт нь эцсийн тооцооны үр дүн .

Бид асуудлыг шийдэж эхэлдэг - бид хэсгийн хүндийн төвийн координатыг хайж эхэлдэг.

Анхны өгөгдөл:

1. Бид нийлмэл хэсгийг бүрдүүлсэн анхан шатны дүрсүүдийн нэрийг бичнэ

D3 нүд рүү: Тэгш өнцөгт

E3 нүд рүү: Гурвалжин

F3 нүд рүү: Хагас тойрог

2. Энэ нийтлэлд үзүүлсэн "Анхан шатны дүрсүүдийн номын сан" -ыг ашиглан бид нийлмэл хэсгийн элементүүдийн хүндийн төвүүдийн координатыг тодорхойлох болно. xciТэгээд yciдур мэдэн сонгосон 0x ба 0y тэнхлэгтэй харьцуулахад мм-ээр бичнэ

D4 нүд рүү: =80/2 = 40,000

xc 1 = а 1 /2

D5 нүд рүү: =40/2 =20,000

yc 1 = б 1 /2

E4 нүд рүү: =24/2 =12,000

xc 2 = а 2 /2

E5 нүд рүү: =40+42/3 =54,000

yc 2 = б 1 + h 2 /3

F4 нүд рүү: =50 =50,000

xc 3 = x03

F5 нүд рүү: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Элементүүдийн талбайг тооцоолъё Ф 1 , Ф 2 , Ф3 мм2-д дахин "Эхний тоонуудын номын сан" хэсгийн томъёог ашиглана.

D6 нүдэнд: =40*80 =3200

Ф1 = а 1 * б1

E6 нүдэнд: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

F6 нүдэнд: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Гурав дахь элементийн талбай - хагас тойрог нь сөрөг байна, учир нь энэ нь огтлолт - хоосон зай юм!

Хүндийн төвийн координатыг тооцоолох:

4. Эцсийн зургийн нийт талбайг тодорхойл Ф0 мм2-д

D8E8F8 нэгтгэсэн нүдэнд: =D6+E6+F6 =2642

Ф0 = Ф 1 + Ф 2 + Ф3

5. Нийлмэл дүрсийн статик моментуудыг тооцоолъё SxТэгээд С 0x ба 0y сонгосон тэнхлэгтэй харьцуулахад мм3

D9E9F9 нэгтгэсэн нүдэнд: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

нэгтгэсэн нүдэнд D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

С = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Эцэст нь нийлмэл хэсгийн хүндийн төвийн координатыг тооцоолъё XcТэгээд Ycсонгосон координатын системд мм-ээр 0x - 0y

нэгтгэсэн нүдэнд D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = С / Ф0

нэгтгэсэн нүдэнд D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Асуудал шийдэгдэж, Excel-ийн тооцоо дууссан - гурван энгийн элемент ашиглан эмхэтгэсэн хэсгийн хүндийн төвийн координатууд олдлоо!

Дүгнэлт.

Нарийн төвөгтэй хэсгийн хүндийн төвийг тооцоолох аргачлалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс нийтлэл дэх жишээг маш энгийнээр сонгосон. Энэ арга нь аливаа нарийн төвөгтэй дүрсийг таталцлын төвүүдийн мэдэгдэж буй байршилтай энгийн элементүүдэд хувааж, бүх хэсэгт эцсийн тооцоог хийх ёстой.

Хэрэв хэсэг нь өнхрөх профиль - өнцөг ба сувгуудаар хийгдсэн бол тэдгээрийг дугуй хэлбэртэй "π / 2" салбартай тэгш өнцөгт, дөрвөлжин болгон хуваах шаардлагагүй болно. Эдгээр профайлын хүндийн төвүүдийн координатуудыг ГОСТ хүснэгтэд өгсөн болно, өөрөөр хэлбэл өнцөг ба суваг хоёулаа нийлмэл хэсгүүдийн тооцоололд үндсэн элемент байх болно (I-цацрагуудын талаар ярих нь утгагүй юм. хоолой, саваа ба зургаан өнцөгт - эдгээр нь төвлөрсөн тэгш хэмтэй хэсгүүд юм).

Мэдээжийн хэрэг координатын тэнхлэгүүдийн байршил нь зургийн хүндийн төвийн байрлалд нөлөөлөхгүй! Тиймээс тооцоогоо хялбарчлах координатын системийг сонго. Жишээлбэл, би координатын системийг цагийн зүүний дагуу 45˚ эргүүлэх юм бол тэгш өнцөгт, гурвалжин, хагас тойргийн хүндийн төвүүдийн координатыг тооцоолох нь тооцооллын өөр нэг тусдаа бөгөөд төвөгтэй үе шат болж хувирах бөгөөд үүнийг хийх боломжгүй юм. толгойд".

Доор үзүүлсэн Excel тооцооллын файл нь энэ тохиолдолд програм биш юм. Үүний оронд энэ нь тодорхой тохиолдол бүрт дагаж мөрддөг тооцоолуур, алгоритм, загвар юм. тод шар өнгийн дүүргэлттэй нүднүүдийн хувьд өөрийн томъёоны дарааллыг үүсгэ.

Тиймээс та одоо аль ч хэсгийн хүндийн төвийг хэрхэн олохоо мэддэг болсон! Дурын нарийн төвөгтэй нийлмэл хэсгүүдийн бүх геометрийн шинж чанаруудын бүрэн тооцоог "" хэсгийн дараагийн нийтлэлүүдийн аль нэгэнд авч үзэх болно. Блог дээрх мэдээг дагаж мөрдөөрэй.

Учир нь хүлээн авч байна шинэ нийтлэлүүд гарах тухай мэдээлэл болон төлөө ажиллаж байгаа програмын файлуудыг татаж авах Өгүүллийн төгсгөлд эсвэл хуудасны дээд талд байрлах цонхон дээрх зарлалуудад бүртгүүлэхийг би танаас хүсч байна.

Имэйл хаягаа оруулсны дараа "Өгүүллийн зарлал хүлээн авах" товчийг дарна уу БҮҮ МАРТ ЗАХИАЛГАА БАТАЛГААРАЙ холбоос дээр дарж үзнэ үү заасан имэйл хаягаар танд шууд ирэх захидалд (заримдаа хавтсанд « Спам » )!

Өгүүллийн эхэнд байгаа "зурагны дүрс" дээр дүрслэгдсэн шил, зоос, хоёр сэрээний талаар хэдэн үг хэлье. Та нарын олонхи нь хүүхэд, насанд хүрэгчдийн гайхшралыг төрүүлдэг энэхүү "заль мэх"-ийг мэддэг байх. Энэ нийтлэлийн сэдэв бол хүндийн төв юм. Энэ бол бидний ухамсар, туршлагаар тоглож буй тулгуур цэг бөгөөд бидний оюун санааг зүгээр л хуурч байна!

“Сэрээ+зоос” системийн хүндийн төв нь үргэлж дээр байрладаг тогтмолзай босоо доошзоосны ирмэгээс, энэ нь эргээд тулгуур цэг юм. Энэ бол тогтвортой тэнцвэрийн байрлал юм!Хэрэв та сэрээгээ сэгсэрвэл систем нь өмнөх тогтвортой байр сууриа эзлэхийг хичээж байгаа нь тэр даруй тодорхой болно! Савлуурыг төсөөлөөд үз дээ - бэхэлгээний цэг (=шилний ирмэг дээрх зоосны тулгуур цэг), дүүжингийн саваа тэнхлэг (=Манай тохиолдолд тэнхлэг нь виртуаль, учир нь хоёр салааны масс. орон зайд янз бүрийн чиглэлд тархсан) ба тэнхлэгийн доод хэсэгт ачаалал (=бүхэл "салаа" системийн хүндийн төв + зоос"). Хэрэв та дүүжинг босоо тэнхлэгээс аль нэг чиглэлд (урагш, хойш, зүүн, баруун) хазайлгаж эхэлбэл таталцлын нөлөөгөөр анхны байрлалдаа буцаж ирэх нь гарцаагүй. тэнцвэрийн тогтвортой байдал(Манай сэрээ, зоостой ижил зүйл тохиолддог)!

Хэрэв та ойлгохгүй байгаа ч ойлгохыг хүсч байвал өөрөө ойлгоорой. Өөрөө "тэнд очих" нь маш сонирхолтой юм! Тогтвортой тэнцвэрийг ашиглах ижил зарчмыг Vanka-stand-up тоглоомонд бас хэрэгжүүлдэг гэдгийг би нэмж хэлье. Зөвхөн энэ тоглоомын хүндийн төв нь тулгуур цэгээс дээш, харин тулгуур гадаргуугийн хагас бөмбөрцгийн төвийн доор байрладаг.

Би та бүхний сэтгэгдлийг харахдаа үргэлж баяртай байдаг, эрхэм уншигчид аа!!!

Гуйя ХҮНДЭТГЭЛ зохиогчийн бүтээл, татаж авах файл SUBSCRIBE хийсний дараа нийтлэлийн зарын хувьд.