Дэлхийн хэвтээ гадаргуугаас шидэгдсэн бие. Хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг судлах. Биеийн хэвтээ тэнхлэгийн өнцөгт хөдөлгөөн гэж юу вэ?

Онол

Хэрэв биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидвэл нислэгийн үед таталцлын хүч ба агаарын эсэргүүцлийн хүчээр түүнд үйлчилдэг. Хэрэв эсэргүүцлийн хүчийг үл тоомсорловол үлдсэн цорын ганц хүч бол таталцал юм. Тиймээс Ньютоны 2-р хуулийн дагуу бие нь таталцлын хурдатгалтай тэнцэх хурдатгалтай хөдөлдөг; координатын тэнхлэг дээрх хурдатгалын проекцууд тэнцүү байна а х = 0, болон y= -г.

Материаллаг цэгийн аливаа нарийн төвөгтэй хөдөлгөөнийг координатын тэнхлэгийн дагуух бие даасан хөдөлгөөний суперпозиция хэлбэрээр дүрсэлж болох бөгөөд өөр өөр тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлгөөний төрөл өөр байж болно. Манай тохиолдолд нисдэг биеийн хөдөлгөөнийг хэвтээ тэнхлэгийн дагуух жигд хөдөлгөөн (X тэнхлэг) ба босоо тэнхлэгийн дагуу жигд хурдассан хөдөлгөөн (Y тэнхлэг) гэсэн хоёр бие даасан хөдөлгөөний суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлж болно (Зураг 1). .

Тиймээс биеийн хурдны төсөөлөл цаг хугацааны хувьд дараах байдлаар өөрчлөгддөг.

,

Анхны хурд хаана, α нь шидэх өнцөг.

Тиймээс биеийн координатууд дараах байдлаар өөрчлөгддөг.

Координатын гарал үүслийг бидний сонголтоор анхны координатууд (Зураг 1) Дараа нь

Өндөр нь тэг байх хоёр дахь удаагаа утга нь тэг бөгөөд энэ нь шидэх мөчтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. энэ утга нь бас физик утгатай.

Бид эхний томъёоноос (1) нислэгийн хүрээг олж авдаг. Нислэгийн хүрээ нь координатын утга юм Xнислэгийн төгсгөлд, i.e. -тэй тэнцүү хугацаанд t 0. Эхний томъёонд (1) утгыг (2) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

(3)

Энэ томъёоноос харахад хамгийн их нислэгийн хүрээ нь 45 градусын шидэлтийн өнцгөөр хүрдэг.

Шидсэн биеийн хамгийн их өргөх өндрийг хоёр дахь томъёоноос (1) авч болно. Үүнийг хийхийн тулд та энэ томьёонд нислэгийн цагийн хагастай (2) тэнцүү цагийн утгыг орлуулах хэрэгтэй, учир нь Траекторын дунд цэг дээр нислэгийн өндөр хамгийн их байна. Тооцооллыг хийснээр бид олж авдаг

Энэ нийтлэлд бид биеийг хэвтээ өнцгөөр шидсэн нөхцөл байдлын дүн шинжилгээг авч үзэх болно. Энэ нь гараараа чулуу шидэх, их буугаар сум харвах, нумнаас сум харвах гэх мэт байж болно. Эдгээр бүх нөхцөл байдлыг математикийн үүднээс ижил аргаар дүрсэлсэн байдаг.

Хэвтээ өнцгөөр хөдөлгөөний онцлог

Физикийн үүднээс дээрх жишээнүүдийн хооронд ямар ижил төстэй зүйл байна вэ? Энэ нь биед үйлчилж буй хүчний мөн чанарт оршдог. Биеийн чөлөөт нислэгийн үед түүнд зөвхөн хоёр хүч үйлчилдэг.

• Таталцал.
• Салхи.

Хэрэв биеийн жин хангалттай том бөгөөд хэлбэр нь үзүүртэй (харваа, сум) байвал агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлож болно.

Тиймээс тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөн нь зөвхөн таталцлын хүч л гарч ирдэг асуудал юм. Энэ нь параболик функцээр сайн нарийвчлалтай дүрслэгдсэн траекторийн хэлбэрийг тодорхойлдог.

Параболик траекторийн дагуух хөдөлгөөний тэгшитгэл. Хурд

Биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэв. Та түүний хөдөлгөөнийг хэрхэн дүрслэх вэ? Биеийн нислэгийн үед үйлчлэх цорын ганц хүч нь доош чиглэсэн байдаг тул түүний хэвтээ бүрэлдэхүүн нь тэг байна. Энэ баримт нь объектын хэвтээ хөдөлгөөнийг анхны нөхцлөөр (шидэлт эсвэл шидэлтийн өнцөг θ ба хурд v) өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гэсэн үг юм. Биеийн босоо хөдөлгөөн нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөний тод жишээ бөгөөд хурдатгалын үүргийг тогтмол g (9.81 м/с2) гүйцэтгэдэг.

Дээр дурдсан зүйлсийг харгалзан бид нисдэг биеийн хурдыг t хугацаанд хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон бичиж болно.

v x = v * cos(θ);

v y = v * sin(θ) - g * t

Эндээс харахад v x бүрэлдэхүүн хэсэг нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй бөгөөд нислэгийн бүх замд тогтмол хэвээр байна (х тэнхлэгийн чиглэлд гадны хүч байхгүйн үр дагавар). Бүрэлдэхүүн хэсэг v y нь цаг хугацааны эхний мөчид хамгийн их утгатай байна. Тэгээд дараа нь энэ нь биеийн хөөрөх хамгийн дээд цэг дээр тэг болох хүртэл буурч эхэлдэг. Үүний дараа энэ нь тэмдэг өөрчлөгдөж, унах үед анхны бүрэлдэхүүн хэсэг v y, өөрөөр хэлбэл v*sin(θ)-ийн модультай тэнцүү болж хувирна.

Бичсэн тэгшитгэлүүд нь хэвтээ тэнхлэгт өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хурдыг t ямар ч үед тодорхойлох боломжийг олгодог. Түүний модуль нь дараахтай тэнцүү байх болно.

v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =

= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)

Параболик траекторийн дагуух хөдөлгөөний тэгшитгэл. Нислэгийн хүрээ

Биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэв. Хэр хол нисэх вэ? Хүрээний асуудал нь x координатын өөрчлөлттэй холбоотой. Энэ утгыг хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг цаг хугацааны явцад нэгтгэх замаар олж болно. Интеграцийн үр дүнд бид дараах томъёог олж авна.

x = v * cos(θ) * t + x 0 ;

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0

X ба x 0 координатуудын хоорондох ялгаа нь нислэгийн хүрээ юм. Хэрэв бид x 0 = 0 гэж үзвэл хүрээ нь x-тэй тэнцүү байх бөгөөд үүнийг олохын тулд бие нь хэр удаан t агаарт байхыг мэдэх шаардлагатай.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь y 0 утгыг (биеийг шидсэн h өндөр) мэдэж байвал энэ хугацааг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Объект хөдөлгөөнөө дуусгахад (газар дээр унах) y координат нь тэг болно. Энэ нь хэзээ болох цагийг тооцоод үзье. Бидэнд:

v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0

Бидний өмнө бүрэн квадрат тэгш байдал байна. Бид үүнийг ялгаварлагчаар шийддэг:

D = v 2 * нүгэл 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * нүгэл 2 (θ) + 2 * г * h;

t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))

Бид сөрөг үндсийг устгадаг. Бид дараах нислэгийн цагийг авна.

t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * нүгэл 2 (θ) + 2 * г * h))/g

Одоо бид энэ утгыг нислэгийн хүрээний тэгшитгэлд орлуулж байна. Бид авах:

x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * нүгэл 2 (θ) + 2 * g * h))/g

Хэрэв биеийг газраас шидвэл, өөрөөр хэлбэл h = 0 бол энэ томъёог ихээхэн хялбаршуулах болно. Мөн иймэрхүү харагдах болно:

x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/г

Сүүлчийн илэрхийлэлийг синус ба косинусын тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглан олж авсан (багасгах томъёо).

Синус нь зөв өнцгийн хувьд хамгийн их утгатай байдаг тул биеийг дэлхийн гадаргуугаас 45 ° өнцгөөр шидэх үед (буудсан) нислэгийн хамгийн дээд хязгаарт хүрэх бөгөөд энэ хүрээ нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн биеийн өндөр

Одоо өөр нэг чухал параметрийг тодорхойлъё - шидсэн объект өсөх өндрийг. Мэдээжийн хэрэг, үүний тулд зөвхөн y координатын өөрчлөлтийг авч үзэх нь хангалттай юм.

Тэгэхээр биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэхэд тэр ямар өндөрт нисэх вэ? Энэ өндөр нь v y хурдны бүрэлдэхүүн хэсгийн тэгтэй тэнцүү байх болно. Бидэнд тэгшитгэл байна:

v y = v * sin(θ) - g * t = 0

Тэгшитгэлээ шийдье. Бид авах:

Одоо та энэ хугацааг y координатын илэрхийлэлд орлуулах хэрэгтэй. Бид авах:

y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * нүгэл 2 (θ)/г - г/2* v 2 * нүгэл 2 (θ)/г 2 + h =

V 2 * нүгэл 2 (θ)/(2 * г) + ц

Энэ томьёо нь биеийг хатуу босоо тэнхлэгт (θ = 90) шидсэн тохиолдолд нислэгийн хүрээнээс ялгаатай нь хамгийн дээд өндрийг олж авна гэдгийг харуулж байна. Энэ тохиолдолд бид дараах томъёонд хүрнэ.

Энэ нийтлэлд өгөгдсөн бүх томъёонд биеийн жин харагдахгүй байгаа нь сонирхолтой юм. Параболик траекторийн шинж чанар нь үүнээс хамаардаггүй, гэхдээ зөвхөн агаарын эсэргүүцэл байхгүй тохиолдолд л хамаарна.

Хөдөлгөөнгүй катапультаас харвасан чулууны нислэгийн хамгийн дээд хязгаар нь S = 22.5 м. Тогтмол хурдтайгаар хэвтээ тэнхлэгт хөдөлж буй тавцан дээр суурилуулсан ижил катапультаас харвах чулууны боломжит хамгийн их хүрээг ол. v = 15.0 м/с. Агаарын эсэргүүцлийг үл тоомсорлож, чөлөөт уналтын хурдатгалыг тооцоол g = 10.0 м/с 2.

Шийдэл: Хэвтээ чиглэлийн өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хамгийн их нислэгийн хүрээ нь тэнхлэгтэй тэнцэх өнцөгт хүрдэг гэдгийг сайн мэддэг. 45°ба дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

Одоо хөдөлж буй катапультаас гарсан чулууны нислэгийг авч үзье. Тэнхлэгүүд нь дараахь координатын системийг танилцуулъя. X- хэвтээ чиглэлд чиглэсэн, ба Ю- босоо. Координатын гарал үүсэл нь чулууг суллах үед катапултын байрлалтай тохирч байна.

Чулууны хурдны векторыг тооцоолохын тулд катапультын хэвтээ хурдыг харгалзан үзэх шаардлагатай. v = v o. Катапульт чулууг өнцгөөр шиддэг гэж бодъё α тэнгэрийн хаяанд. Дараа нь манай координатын систем дэх чулууны анхны хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ илэрхийллийг (3) системийн эхний тэгшитгэлд орлуулснаар бид чулууны нислэгийн хүрээг олж авна.

Хоёрдугаарт, энэ нь (5)-аас огт гарахгүй S 1хамгийн их байх болно α = 45°(энэ нь (6) үед үнэн юм v=0).

Бүгд найрамдах улсын олимпиадад энэ асуудлыг санал болгосноор оролцогчдын аравны есөн нь томьёо (5) авч, дараа нь түүний утгыг орлуулах болно гэдэгт зохиогчид итгэлтэй байсан. α = 45°. Гэсэн хэдий ч харамсалтай нь бид андуурсан: нэг ч олимпийн тамирчин нислэгийн хамгийн дээд хүрээг үргэлж (!) -тэй тэнцэх өнцөгт хүрдэг гэдэгт эргэлздэггүй. 45°. Энэхүү алдартай баримт нь хязгаарлагдмал хэрэглэгдэх боломжтой: энэ нь зөвхөн дараах тохиолдолд л үнэн юм.

а) агаарын эсэргүүцлийг тооцохгүй байх;
б) хөөрөх цэг ба уналтын цэг нь ижил түвшинд байна;
в) сум хөдөлгөөнгүй байна.

Асуудлыг шийдэхэд буцаж орцгооё. Тиймээс бид өнцгийн утгыг олох хэрэгтэй α , аль үед S 1(5) томъёогоор тодорхойлогддог, хамгийн их байна. Мэдээжийн хэрэг та дифференциал тооцооллын төхөөрөмжийг ашиглан функцийн экстремумыг олох боломжтой: деривативыг олж, тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, хүссэн утгыг олоорой. α . Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг 9-р ангийн сурагчдад санал болгосон тул бид түүний геометрийн шийдлийг өгөх болно. Үүний давуу талыг ашиглацгаая v = v o = 15 м/с.

Векторуудыг цэгцэлье vТэгээд v oзурагт үзүүлсэн шиг. Тэдний урт нь тэнцүү тул О цэг дээр төвтэй тойрог, дараа нь сегментийн уртыг дүрсэлж болно А.С.тэнцүү байна v o + v o cos α(энэ нь vxo), сегментийн урт МЭӨтэнцүү байна v o гэм α(Энэ vyo). Тэдний бүтээгдэхүүн нь гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байна ABC, эсвэл гурвалжны талбай ABB 1.

Энэ нь нислэгийн хүрээний илэрхийлэлд багтсан бүтээгдэхүүн гэдгийг анхаарна уу (5). Өөрөөр хэлбэл, нислэгийн хүрээ нь тухайн газрын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна ΔАВВ 1тогтмол хүчин зүйлээр 2/г.

Одоо өөрөөсөө асууя: өгөгдсөн тойрогт дүрслэгдсэн гурвалжнуудын аль нь хамгийн их талбайтай вэ? Мэдээжийн хэрэг зөв! Тиймээс өнцгийн хүссэн утга α = 60°.

Вектор ABчулууны нийт анхны хурдны вектор байгаа бөгөөд энэ нь өнцгөөр чиглэгддэг 30°тэнгэрийн хаяанд (дахин, огт биш 45°).

Тиймээс, асуудлын эцсийн шийдэл нь бид орлуулах ёстой (5) томъёоноос гардаг α = 60°.

Хэрэв биеийг тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидвэл нислэгийн үед таталцлын хүч ба агаарын эсэргүүцлийн хүчээр түүнд үйлчилдэг. Хэрэв эсэргүүцлийн хүчийг үл тоомсорловол үлдсэн цорын ганц хүч бол таталцал юм. Тиймээс Ньютоны 2-р хуулийн дагуу бие нь таталцлын хурдатгалтай тэнцэх хурдатгалтай хөдөлдөг; координатын тэнхлэгүүд дээрх хурдатгалын проекцууд ax = 0, ay = - g.

Зураг 1. Хэвтээ өнцөгт шидэгдсэн биеийн кинематик шинж чанар

Материаллаг цэгийн аливаа нарийн төвөгтэй хөдөлгөөнийг координатын тэнхлэгийн дагуух бие даасан хөдөлгөөний суперпозиция хэлбэрээр дүрсэлж болох бөгөөд өөр өөр тэнхлэгийн чиглэлд хөдөлгөөний төрөл өөр байж болно. Манай тохиолдолд нисдэг биеийн хөдөлгөөнийг хэвтээ тэнхлэгийн дагуух жигд хөдөлгөөн (X тэнхлэг) ба босоо тэнхлэгийн дагуу жигд хурдассан хөдөлгөөн (Y тэнхлэг) гэсэн хоёр бие даасан хөдөлгөөний суперпозиция хэлбэрээр илэрхийлж болно (Зураг 1). .

Тиймээс биеийн хурдны төсөөлөл цаг хугацааны хувьд дараах байдлаар өөрчлөгддөг.

Энд $v_0$ нь анхны хурд, $(\mathbf \alpha )$ нь шидэх өнцөг юм.

Бидний сонголтоор гарал үүслийн эхний координатууд (Зураг 1) $x_0=y_0=0$ байна. Дараа нь бид:

(1)

Томъёо (1)-д дүн шинжилгээ хийцгээе. Шидсэн биеийн хөдөлгөөний цагийг тодорхойлъё. Үүний тулд y координатыг тэгтэй тэнцүү болгоё, учир нь буух үед биеийн өндөр нь тэг байна. Эндээс бид нислэгийн цагийг авна:

Өндөр нь тэг байх хоёр дахь удаагаа утга нь тэг бөгөөд энэ нь шидэх мөчтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. энэ утга нь бас физик утгатай.

Бид эхний томъёоноос (1) нислэгийн хүрээг олж авдаг. Нислэгийн хүрээ нь нислэгийн төгсгөлд x координатын утга, i.e. $t_0$-тай тэнцэх үед. Эхний томъёонд (1) утгыг (2) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ томъёоноос харахад хамгийн их нислэгийн хүрээ нь 45 градусын шидэлтийн өнцгөөр хүрдэг.

Шидсэн биеийн хамгийн их өргөх өндрийг хоёр дахь томъёоноос (1) авч болно. Үүнийг хийхийн тулд та энэ томьёонд нислэгийн цагийн хагастай (2) тэнцүү цагийн утгыг орлуулах хэрэгтэй, учир нь Траекторын дунд цэг дээр нислэгийн өндөр хамгийн их байна. Тооцооллыг хийснээр бид олж авдаг

(1) тэгшитгэлээс биеийн траекторийн тэгшитгэлийг олж авч болно, өөрөөр хэлбэл. хөдөлгөөний үед биеийн х ба у координатыг холбосон тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд та эхний тэгшитгэлээс (1) цагийг илэрхийлэх хэрэгтэй:

ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Дараа нь бид:

Энэ тэгшитгэл нь хөдөлгөөний траекторийн тэгшитгэл юм. Энэ нь квадрат гишүүний өмнө байрлах “-” тэмдгээр тэмдэглэгдсэний дагуу салбарууд нь доошилсон параболын тэгшитгэл болохыг харж болно. Энд $\alpha $ шидэлтийн өнцөг ба түүний функцууд нь зүгээр л тогтмол байдаг гэдгийг санах нь зүйтэй. тогтмол тоонууд.

Биеийг v0 хурдтайгаар тэнгэрийн хаяанд $(\mathbf \alpha )$ өнцгөөр шидэв. Нислэгийн хугацаа $t = 2 s$. Биеийн Hmax ямар өндөрт гарах вэ?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Биеийн хөдөлгөөний хууль дараахь хэлбэртэй байна.

$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(массив) \баруун.$ доллар

Анхны хурдны вектор нь OX тэнхлэгтэй $(\mathbf \alpha )$ өнцгийг үүсгэдэг. Тиймээс,

\ \ \

Уулын оройноос чулууг тэнгэрийн хаяанд = 30$()^\circ$ өнцгөөр $v_0 = 6 м/с$ анхны хурдтайгаар шидэв. Налуу хавтгайн өнцөг = 30$()^\circ$. Чулуу шидэх цэгээс ямар зайд унах вэ?

$$ \альфа =30()^\circ$$ $$v_0=6\ м/с$$ $$S - ?$$

Координатын эхийг шидэх цэг дээр, OX - налуу хавтгайн дагуу доошоо, OY - налуу хавтгайд перпендикуляр дээшээ байрлуулъя. Хөдөлгөөний кинематик шинж чанарууд:

Хөдөлгөөний хууль:

$$\left\( \begin(массив)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2) \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(массив) \баруун.$$ \

Үүссэн $t_В$ утгыг орлуулснаар бид $S$-г олно:

Энэ бол FEFU-ийн сургуулийн сурагчдад зориулсан компьютерийн шинжлэх ухааны мастер ангид зориулсан бүтээлч даалгавар юм.
Даалгаврын зорилго нь агаарын эсэргүүцлийг харгалзан үзвэл биеийн замнал хэрхэн өөрчлөгдөхийг олж мэдэх явдал юм. Хэрэв агаарын эсэргүүцлийг харгалзан үзвэл 45 ° шидэлтийн өнцгөөр нислэгийн зай хамгийн дээд хэмжээндээ хүрэх үү гэсэн асуултад хариулах шаардлагатай.

“Аналитик судалгаа” хэсэгт онолыг тоймлон харуулав. Энэ хэсгийг алгасаж болно, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн танд ойлгомжтой байх ёстой, учир нь... ОТа энэ талаар ихэнхийг сургуульд сурсан.
"Тоон судалгаа" хэсэг нь компьютер дээр хэрэгжих ёстой алгоритмын тайлбарыг агуулдаг. Алгоритм нь энгийн бөгөөд товч учраас хүн бүр үүнийг хийх чадвартай байх ёстой.

Аналитик судалгаа

Зурагт үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. Цаг хугацааны эхний мөчид масстай бие мгарал үүсэл дээр байрладаг. Чөлөөт уналтын хурдатгалын вектор нь босоо доош чиглэсэн бөгөөд координаттай (0, -) g).
- анхны хурдны вектор. Энэ векторыг үндэс болгон өргөжүүлье: . Энд хурдны векторын хэмжээ нь шидэлтийн өнцөг юм.

Ньютоны хоёрдугаар хуулийг бичье: .
Цагийн агшин бүрт хурдатгал гэдэг нь хурдны өөрчлөлтийн (агшин зуурын) хурд, өөрөөр хэлбэл, цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив юм: .

Тиймээс Ньютоны 2-р хуулийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
, биед үйлчлэх бүх хүчний үр дүн хаана байна.
Таталцлын хүч, агаарын эсэргүүцлийн хүч нь биед үйлчилдэг тул
.

Бид гурван тохиолдлыг авч үзэх болно:
1) Агаарын эсэргүүцлийн хүч 0: .
2) Агаарын эсэргүүцлийн хүч нь хурдны векторын эсрэг чиглэсэн бөгөөд түүний хэмжээ нь хурдтай пропорциональ байна. .
3) Агаарын эсэргүүцлийн хүч нь хурдны векторын эсрэг чиглэсэн бөгөөд түүний хэмжээ нь хурдны квадраттай пропорциональ байна. .

Эхлээд 1-р тохиолдлыг авч үзье.
Энэ тохиолдолд , эсвэл .


Үүнийг дагадаг (нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөн).
Учир нь ( r- радиус вектор), дараа нь .
Эндээс .
Энэ томьёо нь жигд хурдасгасан хөдөлгөөний үед биеийн хөдөлгөөний хуулийн танил болсон томъёоноос өөр зүйл биш юм.
Түүнээс хойш .
Хоёуланг нь авч үзвэл , бид сүүлчийн вектор тэгшитгэлээс скаляр тэгшитгэлийг олж авна:

Үүссэн томъёонд дүн шинжилгээ хийцгээе.
Олъё нислэгийн цагбие. Тэнцүүлэх yтэг бол бид авна

Нислэгийн хүрээкоординатын утгатай тэнцүү байна xцаг хугацааны хувьд т 0:

Энэ томъёоноос үзэхэд нислэгийн хамгийн их хүрээ нь -д хүрнэ.
Одоо олъё биеийн тракторын тэгшитгэл. Үүнийг хийхийн тулд бид илэрхийлж байна тдамжуулан x

Үр дүнгийн илэрхийллийг орлуулъя ттөлөө тэгш эрхтэй y.

Үр дүнгийн функц y(x) нь квадрат функц бөгөөд түүний график нь парабол, салбарууд нь доош чиглэсэн байдаг.
Тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидэгдсэн биеийн хөдөлгөөнийг (агаарын эсэргүүцлийг тооцохгүйгээр) энэ видеонд дүрсэлсэн болно.

Одоо хоёр дахь тохиолдлыг авч үзье: .

Хоёр дахь хууль нь ийм хэлбэртэй байна ,
эндээс .
Энэ тэгш байдлыг скаляр хэлбэрээр бичье.

Бид авсан хоёр шугаман дифференциал тэгшитгэл.
Эхний тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна

Үүнийг тэгшитгэлд энэ функцийг орлуулах замаар баталгаажуулж болно v xба анхны нөхцөл байдалд .
Энд e = 2.718281828459... Эйлерийн тоо.
Хоёр дахь тэгшитгэл нь шийдэлтэй

Учир нь , , дараа нь агаарын эсэргүүцэл байгаа тохиолдолд биеийн хөдөлгөөн жигд байх хандлагатай байдаг, 1-р тохиолдолоос ялгаатай нь хурд нь хязгааргүй нэмэгдэх үед.
Дараах видеонд шүхрээр шумбагч эхлээд түргэвчилсэн хурдаар хөдөлж, дараа нь жигд хөдөлж эхэлдэг (шүхэр нээгдэхээс өмнө ч гэсэн).

-ийн илэрхийлэлүүдийг олцгооё xТэгээд y.
Учир нь x(0) = 0, y(0) = 0, тэгвэл

Хэзээ 3-р тохиолдлыг авч үзэх нь бидэнд үлдлээ .
Ньютоны хоёр дахь хууль ийм хэлбэртэй байна
, эсвэл .
Скаляр хэлбэрээр энэ тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Энэ шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн систем. Энэ системийг тодорхой шийдэх боломжгүй тул тоон симуляцийг ашиглах шаардлагатай.

Тоон судалгаа

Өмнөх хэсэгт бид эхний хоёр тохиолдолд биеийн хөдөлгөөний хуулийг тодорхой хэлбэрээр олж авч болохыг харсан. Гэсэн хэдий ч, гурав дахь тохиолдолд асуудлыг тоогоор шийдэх шаардлагатай. Тоон аргуудыг ашигласнаар бид зөвхөн ойролцоо шийдлийг олж авах болно, гэхдээ бид бага нарийвчлалтайгаар сэтгэл хангалуун байх болно. (Дашрамд дурдахад, π тоо эсвэл 2-ын квадрат язгуурыг яг нарийн бичих боломжгүй тул тооцоолохдоо тэд хязгаарлагдмал тооны цифрүүдийг авдаг бөгөөд энэ нь хангалттай юм.)

Агаарын эсэргүүцлийн хүчийг томъёогоор тодорхойлсон хоёр дахь тохиолдлыг бид авч үзэх болно . Хэзээ гэдгийг анхаарна уу к= 0 бид эхний тохиолдлыг авна.

Биеийн хурд дараах тэгшитгэлд захирагдана.

Эдгээр тэгшитгэлийн зүүн талд хурдатгалын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бичсэн болно .
Хурдатгал гэдэг нь хурдны өөрчлөлтийн (агшин зуурын) хурд, өөрөөр хэлбэл, цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив гэдгийг санаарай.
Тэгшитгэлийн баруун гар тал нь хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулна. Тиймээс эдгээр тэгшитгэлүүд нь хурдны өөрчлөлтийн хурд нь хурдтай хэрхэн холбоотой болохыг харуулж байна.

Эдгээр тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тоон аргаар олохыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид цаг хугацааны тэнхлэг дээр танилцуулна торон: тоо сонгож, хэлбэрийн цаг мөчүүдийг авч үзье: .

Бидний даалгавар бол утгыг ойролцоогоор тооцоолох явдал юм сүлжээний зангилаанууд дээр.

Тэгшитгэл дэх хурдатгалыг орлъё ( агшин зуурын хурдхурдны өөрчлөлт) by дундаж хурдБиеийн тодорхой хугацааны хөдөлгөөнийг харгалзан хурдны өөрчлөлт:

Одоо олж авсан ойролцоо утгыг тэгшитгэлдээ орлъё.

Үүссэн томъёонууд нь функцүүдийн утгыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог дараагийн сүлжээний зангилаа дээр, хэрэв өмнөх торны зангилааны эдгээр функцуудын утгууд мэдэгдэж байгаа бол.

Тайлбарласан аргыг ашиглан бид хурдны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ойролцоо утгын хүснэгтийг авах боломжтой.

Биеийн хөдөлгөөний хуулийг хэрхэн олох вэ, i.e. ойролцоо координатын утгын хүснэгт x(т), y(т)? Үүнтэй адил!
Бидэнд байна

vx[j]-ийн утга нь функцын утгатай тэнцүү бөгөөд бусад массивын хувьд ижил байна.
Одоо зөвхөн гогцоо бичих л үлдлээ, үүний дотор бид vx-ийг аль хэдийн тооцоолсон vx[j] утгаар тооцоолж, бусад массивын хувьд ч мөн адил. Цикл нь байх болно j 1-ээс Н.
Томъёоны дагуу vx, vy, x, y гэсэн анхны утгыг эхлүүлэхээ бүү мартаарай. x 0 = 0, y 0 = 0.

Паскаль болон С хэлэнд син(x) ба cos(x) функцууд синус болон косинусыг тооцоолоход зориулагдсан. Эдгээр функцууд нь радианаар аргумент авдаг гэдгийг анхаарна уу.

Та биеийн хөдөлгөөний графикийг зурах хэрэгтэй к= 0 ба к> 0 ба гарсан графикуудыг харьцуул. Excel програм дээр график үүсгэж болно.
Тооцооллын томьёо нь маш энгийн тул та тооцоололд зөвхөн Excel ашиглах боломжтой, тэр ч байтугай програмчлалын хэл ашиглах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.
Гэсэн хэдий ч, ирээдүйд та програмчлалын хэлгүйгээр хийх боломжгүй биеийн нислэгийн цаг хугацаа, хүрээг тооцоолох шаардлагатай CATS-ийн асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно.

Та чадна гэдгийг анхаарна уу тестөөрийн программ болон тооцооны үр дүнг харьцуулан графикуудаа шалгана уу к= 0 “Аналитик судалгаа” хэсэгт өгсөн яг томьёотой.

Програмаа туршиж үзээрэй. Хэрэв агаарын эсэргүүцэл байхгүй бол ( к= 0) тогтмол анхны хурдтай нислэгийн хамгийн их хүрээг 45 ° өнцгөөр хангана.
Агаарын эсэргүүцлийн талаар юу хэлэх вэ? Нислэгийн хамгийн дээд зайд ямар өнцгөөр хүрэх вэ?

Зураг дээр биеийн хөдөлгөөний замыг харуулав v 0 = 10 м/с, α = 45°, g= 9.8 м/с 2, м= 1 кг, к= 0 ба 1-ийг Δ-д тоон загварчлалаар олж авсан т = 0,01.

Та Троицк хотын 10-р ангийн сурагчдын 2011 онд болсон "Шинжлэх ухаанд эхлэл" бага хуралд танилцуулсан гайхалтай бүтээлтэй танилцаж болно. Энэхүү ажил нь тэнгэрийн хаяанд өнцгөөр шидсэн теннисний бөмбөгний хөдөлгөөнийг загварчлахад зориулагдсан болно (агаарыг харгалзан). эсэргүүцэл). Тоон загварчлал болон бүрэн хэмжээний туршилтыг хоёуланг нь ашигладаг.

Тиймээс энэхүү бүтээлч даалгавар нь практикт идэвхтэй хэрэглэгддэг боловч сургуульд бага судлагдсан математик болон тоон загварчлалын аргуудтай танилцах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, эдгээр аргуудыг ЗХУ-д 20-р зууны дунд үед цөмийн болон сансрын төслүүдийг хэрэгжүүлэхэд ашигласан.