Танилцуулга

Маягтын аливаа тэгш байдал

хөдөлгөөний интеграл гэж нэрлэдэг. Хаалттай системийн хувьд nБүх зүйлийн эрх чөлөөний зэрэг нь хөдөлгөөний бие даасан интеграл байдаг. -аас хамаарахгүй хөдөлгөөний тэгшитгэлд шинэ хувьсагчдыг авч үзвэл хөдөлгөөний тэгшитгэлийн бүрэн багц хэлбэрт бичигдэнэ. , (1)

Түүнээс гадна хаалттай системийн хувьд цаг хугацаа энд зөвхөн тодорхой бичсэн дифференциал хэлбэрээр орно. Тиймээс эдгээр тэгшитгэлээс хассан dt, бид авах болно

цаг хугацаа агуулаагүй тэгшитгэл. Тэдгээрийг нэгтгэх нь хөдөлгөөний интегралд хүргэнэ.

1. Хөдөлгөөний интегралын асимптот нэмэлт. Ноетерийн теоремын томъёолол.

Хөдөлгөөний бүх интегралуудын дунд нэмэлт буюу асимптот бус нэмэлт хөдөлгөөний интегралууд онцгой ач холбогдолтой бөгөөд тэдгээрийн тусгай нэр байдаг - хадгалалтын хуулиуд. Хэрэв бид бие биенээсээ маш хол байрладаг хоёр системийг авч үзвэл нэг систем дэх үйл явц нь нөгөөгийн хөдөлгөөнд ямар ч байдлаар нөлөөлөх ёсгүй нь физикийн хувьд ойлгомжтой юм. Нөгөөтэйгүүр, ийм хоёр системийг хоёр хэсэг болгон авч үзэхэд юу ч саад болохгүй. IТэгээд II, нэгдсэн нийтлэг систем, дараа нь бид асимптотик нэмэлт байдлын нөхцөлд ирдэг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна: хэрэв зарим систем ( би+ II)өөр өөр дэд системүүдийн материаллаг цэгүүдийн хоорондох хамгийн бага зай байхаар хоёр дэд системд хуваагдана

, дараа нь түүний Лагранж функц нь хоёр дэд системийн Лагранж функцүүдийн нийлбэрт задардаг. . (2)

Хамгаалалтын хуулиуд нь цаг хугацаа, координатын тодорхой бүлгийн хувиргалттай холбоотой механик системийн тодорхойлолтын өөрчлөгдөөгүйтэй холбоотой гүн гүнзгий гарал үүсэлтэй байдаг. Нойтерийн теорем байдаг бөгөөд энэ нь системийн хувьд дифференциал тэгшитгэлЗарим вариацын зарчмаас Эйлерийн тэгшитгэл хэлбэрээр олж авч болох бөгөөд нэг параметрийн тасралтгүй бүлэг хувиргалттай харьцуулахад вариацын функциональ өөрчлөгдөөгүй байх нь нэг хадгалалтын хууль байгааг илтгэнэ. Хэрэв бүлэгт багтсан бол лпараметрүүд, дараа нь функциональ өөрчлөгддөггүй байдал нь оршин байгааг илтгэнэ лхамгааллын хуулиуд.

Ноетерийн теоремд шаардлагатай тэгш хэмийн хувиргалтуудын бүлэгт багтсан тэгш хэмийн хувиргалтын бүлэг байгаа эсэх нь физик системийн шинж чанараас хамаарна. Харж байгаа хаалттай системүүдийн хувьд үйлдэл нь өөрчлөлтийн долоон параметрийн бүлгийн хувьд өөрчлөгддөггүй байх ёстой - нэг цагийн шилжилтээс хамаарч, орон зайн шилжилтийн гурван параметрээс хамаарч, орон зайн эргэлтийн гурван параметрээс хамаарна. Үүний дагуу аливаа хаалттай систем нь заасан хувиргалтанд тохирсон 7 хэмжигдэхүүнтэй байх ёстой. Хэрэв систем нь бусад тэгш хэмийн хувиргалтыг зөвшөөрдөг бол илүү хадгалагдсан хэмжигдэхүүн байж болно.

2. Ноетерийн теоремийн баталгаа

Ноетерийн теоремыг нарийн томъёолж, баталцгаая.

Лагранжийн функцээр тодорхойлсон зарим системийг авч үзье

. (3)

Ийм Лагранж функцтэй вариацын зарчмаас олж авсан Лагранж-Эйлерийн тэгшитгэлийн хэлбэр нь хэлбэрийн хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй.

, түүнчлэн илүү ерөнхий өөрчлөлтүүдийн талаар (4)

бие даасан хувьсагчийг орлуулахтай холбоотой. Гэсэн хэдий ч шинэ цаг хугацаанаас хамааран шинэ координатын функцын хувьд үйлдлийн шинэ илэрхийлэлд зориулсан тусгай хэлбэр нь ийм өөрчлөлттэй холбоотой аливаа өөрчлөлтийг авч болно.

Ноетерийн теорем нь зөвхөн ийм өөрчлөлт гарахгүй тохиолдолд л сонирхолтой байдаг.

ерөнхий координат ба цаг хугацаа.

(4) -ийг ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

(5)

Өөрчлөлтийг хийцгээе

ийм (6)

тэдгээр. нэг параметрийн бүлгийг бүрдүүлэх. Параметрт тохирох хязгааргүй жижиг хувиргалтыг авч үзье

. (7)

Үнэн хэрэгтээ авч үзэж буй хувиргах явцад тохиолддог ерөнхий координатын өөрчлөлтүүд нь утгын зөрүү юм.

шинэ цаг хугацааны аль нэг цэгт шинэ координатууд, хуучин координатуудын утгууд нь хуучин цагийн харгалзах цэг дээр, өөрөөр хэлбэл. . (8)

Тэдгээрийн хамт маягтын хувилбаруудыг харгалзан үзэх нь тохиромжтой

(9)

Бидний хувиргалт нь координатад бус зөвхөн цаг хугацаанд нөлөөлж байсан ч гэсэн тэгээс ялгаатай координатуудын цаг хугацааны хамаарал.

Аливаа функцийн хувьд дараах хамаарал хүчинтэй байна.

.

Дараа нь танилцуулсан хоёр төрлийн өөрчлөлтийн хооронд хамаарал байгаа бөгөөд үүнийг дараах байдлаар авч болно: (8)-аас (9) тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг олж авна.

,

үүнийг анхаарч үзье

,

тэгвэл бидэнд байна:

(10)

Ижил аргументын утгатай холбоотой одгүй өөрчлөлтүүд нь цаг хугацааны ялгаагаар солигддог.

,

Харин одтой хувилбаруудын хувьд энэ нь ерөнхийдөө үнэн биш юм.

Энэ хэсэгт өмнөх бүлгүүдэд олж авсан хадгалалтын хуулиудын хоорондын холбоог тогтоохын тулд механикийн асуудалд вариацын хандлагыг, ялангуяа § 4-т олж авсан функциональ өөрчлөлтийн ерөнхий томъёог ашиглана. болон ерөнхий шинж чанаруудЛавлах системийн хувиргалттай холбоотой механикийн хуулиудын өөрчлөгдөөгүй байдалд илэрхийлэгддэг орон зай, цаг хугацаа. Энэхүү холболтыг бий болгосноор байгаль хамгаалах хуулиудын дотоод мөн чанар, эдгээр хуулиуд яагаад оршин тогтнож байгааг ойлгох боломжийг олгоно. Энэ ойлголт нь ялангуяа эхний интегралуудыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог бөгөөд ингэснээр хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн тэгшитгэлийг судлахад хялбар болгодог тул онцгой ач холбогдолтой юм.

Энэхүү холболтыг бий болгосон Эмма Ноетерийн теоремыг томъёолоход шаардагдах материалыг бэлдэж эхэлснээр жишиг системийн хувиргалтуудын нэг параметрийн бүлгийг, тухайлбал координат ба цагийг авч үзье.

Энд индексийг "шинэ" координат ба "шинэ" цагт хуваарилдаг бөгөөд энэ нь тодорхой параметр юм. Хувиргах (66) нь дараах хоёр нөхцлийг хангасан гэж үзье.

1° Энэ хувиргалт нь , i.e.-тэй ижил байна.

2° Энэ хувиргалтанд урвуу байна:

Одоо бид Эмма Ноетерийн теоремыг томъёолж болно. Ноетерийн теорем. Потенциал талбарт хөдөлж буй материаллаг цэгүүдийн системийг Лагранжийн утгатай өгөөд 1° ба 2°-ын нөхцлийг хангасан нэг параметрт хувиргалтын бүлгийг (66) өгье. Цаашилбал, ийм хувиргалтуудын хувьд Лагранжийн L нь өөрчлөгддөггүй, өөрөөр хэлбэл "шинэ" Лагранж (томъёо ашиглан тооцоолсон) нь хамааралгүй бөгөөд функцийн хувьд "хуучин" Лагранжийн L-тэй яг ижил хэлбэртэй байна. функц. Дараа нь энэ системийн хөдөлгөөний явцад өөрчлөгддөггүй функц байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь хөдөлгөөний анхны интеграл юм. Энэ функц нь иймэрхүү харагдаж байна

Энд H нь авч үзэж буй системийн Гамильтониан байна.

Баталгаа. Хоёр өргөтгөсөн координатын орон зайг авч үзье; тэдгээрийн нэг нь "хуучин", нөгөө нь "шинэ" координат, хувирлын үр дүнд олж авсан цаг хугацаатай тохирч байна (66). Эдгээр орон зайн эхний хэсэгт (q, t зайд) бид дурын хоёр цэгийг сонгож, эдгээр цэгүүдийн хооронд муруй зурна. Дараа нь хувиргалтуудын нэг параметрийн гэр бүл (66) хоёр дахь өргөтгөсөн координатын орон зайд нэг параметрийн гэр бүлийн муруйг үүсгэдэг (Зураг. VII.5). Энэ нь тэгшитгэлээс (66) олддог.

оруулахгүй.

Эхний нөхцлийн улмаас, өөрөөр хэлбэл (67) томъёоны дагуу параметр нь анхны муруйтай тохирч байна, өөрөөр хэлбэл.

Муруйны эхлэл ба төгсгөл, өөрөөр хэлбэл сансар огторгуйн цэгүүд нь томъёогоор параметрийн (параметр) тодорхойлсон муруйтай орон зайд тохирч байна.

Хэрэв бид t-г зохих ёсоор орлуулах юм бол эдгээр томъёог (70) томъёоноос олж авна.

-ээс хүртэлх сегментийг муруй болгон авъя шулуун зам Lagrangian L-тэй системүүд. Энэ зам дээрх Гамильтоны үйлдлийг авч үзье.

Интеграл (72) дахь t хувьсагчийг -ээр орлуулснаар бид олж авна (281-р хуудсыг үз)

Энд функцийг (64) томъёоны дагуу байгуулна. Шинэ тэмдэглэгээг харгалзан (нөхцөлийг үзнэ үү):

Теоремын нөхцлөөс шалтгаалан Э.Нотер түүний аргументуудын функц L-тэй хэрхэн давхцаж байгаагаас хамаарахгүй.

Хэрэв Ноетер теоремын нөхцөл хангагдсан бол интеграл (72)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.

Одоо интеграл (74)-ийг нэг параметртэй муруйн бүлэгт тодорхойлсон функц гэж үзье. Тэгш тэгш байдлын хувьд (74) зүүн тал нь a-аас хамаарахгүй. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь интеграцийн хувьсагчийг солих үед утга тодорхой интегралөөрчлөгддөггүй. Тиймээс авч үзэж байгаа тохиолдолд интеграл (74) нь гэр бүлийн бүх муруй дээр ижил утгатай байна, тиймээс бүх

Интеграл (74) нь нэг параметрийн муруйн гэр бүлд тодорхойлсон Гамильтон үйлдлийн хэлбэртэй тул үйлдлийг өөрчлөхийн тулд ерөнхий томъёог (60) ашиглаж болно. (60)-ын ачаар бид байна

(75)

Тэгш байдал (75) нь ямар ч хувьд үнэн боловч бид үүнийг зөвхөн -д ашиглах болно. 1°-ын нөхцлийн дагуу тэгш байдал (66) нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл t-ээс хамаардагтай яг адилхан хамааралтай байдаг. Гэхдээ үүн дээр шулуун зам бий

Иймээс (75) томъёоны интеграл тэмдгийн доорх хаалтанд байгаа бүх илэрхийллүүд мөн алга болно.

Эхлээд та хязгаарыг орлуулах, дараа нь үйлдлүүд, өөрөөр хэлбэл параметрийн хувьд ялгах хэрэгтэй гэдгийг сануулъя. Гэхдээ хэзээ

болон хувиргах томъёоны дагуу (66)

Хязгаарыг орлуулахдаа эдгээр тэгш байдлыг харгалзан үзээд бие даасан өсөлтөөр бууруулсны дараа тэгшитгэлээс (76) олж авна.

Энд дээд тэмдэг нь харгалзах функцийг эсвэл дээр авсан эсэхийг заана

Шулуун зам, түүн дээрх цэгүүдийг дур зоргоороо сонгосон гэдгийг санацгаая. Эндээс (69) функц нь муруй дагуу, өөрөөр хэлбэл ямар ч шулуун зам дээр огт өөрчлөгддөггүй гэсэн үг.

Эмма Ноетерийн теорем батлагдсан.

Зөвхөн Ноетерийн теоремыг ашиглан дээр дурдсан бүх хадгалалтын хуулиудыг (эхний интеграл) бусад үндэслэлээс хэрхэн олж авч болохыг одоо харуулъя.

Хамгаалалтын хууль механик энергиконсерватив тогтолцооны хувьд. Консерватив (эсвэл ерөнхийдөө консерватив) системийг авч үзье. Өөрчлөлтийн гэр бүлийн хувьд (66) бид "цаг хугацааны өөрчлөлт"-ийг авдаг:

Хувиргах (78) нь 1° ба 2°-ын нөхцлийг хангаж байгаа нь шууд тодорхой болно. Консерватив системийн лагранж (мөн Гамильтон) нь цаг хугацаанаас шууд хамаардаггүй, гэхдээ энэ тохиолдолд функц нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү байна. Тиймээс хувиргалт (66) нь Лагранжийн хэлбэрийг (мэдээж Гамильтоны) өөрчлөхгүй бөгөөд Ноетерийн теоремоос үзэхэд консерватив систем нь (69) хэлбэрийн эхний интегралтай байх ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ тохиолдолд хувиргалтаас (78) үүссэн бүх функцүүд нь ижил тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь -аас хамаардаггүй, тиймээс a параметрийн дериватив нь тэгтэй тэнцүү ба томъёо (69) байна. ) хэлбэрийг авдаг

Ийнхүү ерөнхий консерватив систем хөдөлж байх үед түүний ерөнхий энерги H өөрчлөгддөггүй нь Ноетерийн теоремоос гарч байна. Консерватив систем хөдлөхөд түүний нийт механик энерги өөрчлөгддөггүй.

Циклийн координатын импульс хадгалагдах хууль. Одоо мөчлөгийн координат бүхий системийг авч үзье

Энэхүү хувиргалт нь 1° ба 2°-ын нөхцлийг хангаж байгаа нь шууд тодорхой байна. Системийн лагранж (мөн иймээс Гамильтон) нь мөчлөгийн координатаас хамаардаггүй тул хувиргах үед эдгээр функцүүдийн хэлбэр өөрчлөгддөггүй (79). Иймээс Ноетерийн теоремын дагуу (69) хэлбэрийн эхний интеграл биелнэ. Гэхдээ хөрвүүлсний дараа бусад нь. Иймээс энэ тохиолдолд томъёо (69) хэлбэрийг авна

Дараа нь бид хаалттай системийг авч үзэхэд хэрэглэгдэх хоёр хамгааллын хуулийг олж авах болно. Үүнтэй холбогдуулан бид дараах ерөнхий тайлбарыг хийж байна. Системийг хаах шаардлага нь бүх хүч үйлчилж байна гэсэн үг юм материаллаг цэгүүдсистем нь зөвхөн цэгүүдийн харьцангуй байрлал ба тэдгээрийн хоорондох зайнаас хамаарна. Үүнтэй холбогдуулан цэгүүдийн харьцангуй байрлал ба тэдгээрийн хоорондын зайг хадгалсан аливаа координатын хувиргалт нь хөдөлгөөний тэгшитгэлийг өөрчилдөггүй, өөрөөр хэлбэл тэд Лагранжийн хэлбэрийг өөрчилдөггүй.

Хаалттай системийн импульс хадгалагдах хууль. Одоо боломжит талбарт хөдөлж буй хаалттай системийг авч үзье. Бид ерөнхий координатуудыг авдаг Декарт координатуудоноож, "координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгнийх нь дагуу" шилжих хөдөлгөөнийг, жишээлбэл тэнхлэгийн дагуу:

(энд N нь системийн онооны тоо).

Аливаа тэнхлэгийн дагуу координатын гарал үүслийг шилжүүлэхэд системийн цэгүүдийн хоорондох зай өөрчлөгдөхгүй тул системийн потенциал энерги, улмаар Лагранжийн функц өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, хувиргалт (80) нь 1 ° ба 2 ° нөхцлийг хангадаг. Ийнхүү нэг параметрийн гэр бүлийн хувиралд Ноетерийн теорем ногдуулдаг бүх нөхцөл хангагдсан байна. Энэ теоремын ачаар эхний интеграл (69) биелнэ. Энэ тохиолдолд бүх координатууд , түүнчлэн , тэгтэй тэнцүү байх ба координатын функцууд нь .

Тиймээс (69) томъёонд Гамильтоныг агуулсан нэр томъёо алга болж, баруун талд үлдсэн нийлбэр нь тэнцүү байна.

гэхдээ эхний интеграл (69) хэлбэртэй байна

(81)

Тэгш байдал (81) нь тэнхлэгт проекцын импульс хадгалагдах хуулиас өөр зүйл биш юм.

Яг үүнтэй адилаар (80) гэх мэт хувиргалтыг х тэнхлэгийн дагуу биш, харин y ба z тэнхлэгийн дагуу шилжүүлснээр y ба z тэнхлэг дээрх импульсийн проекцын хадгалалтыг тус тус тогтооно. Ийнхүү битүү систем потенциал талбарт шилжих үед импульс хадгалагдах хууль бүрэн нотлогддог.

Хаалттай системийн өнцгийн импульс хадгалагдах хууль. Системийн цэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн үр дүнд олж авсан боломжит талбарт хөдөлж буй хаалттай системийг дахин авч үзье. Өмнөх нэгэн адил бид цэгүүдийн декарт координатыг ерөнхий координат болгон авч, координатын системийн эргэлтийн өөрчлөлтийг, жишээлбэл, z тэнхлэгийн эргэн тойронд авч үзэх болно.

Өөрчлөлт (82) нь 1°-ийн нөхцлийг хангаж байгаа нь нэн даруй тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл ижил хувиргалт болж хувирах үед. Энэ нь 2-р нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн систем (82) нь "хуучин" координатуудын хувьд шийдэгдэх боломжтой, учир нь энэ системийн тодорхойлогч нь -тэй тэнцүү байна. Координатын системийг эргүүлэхэд системийн цэгүүдийн хоорондын зай, харьцангуй байрлал өөрчлөгдөхгүй тул боломжит талбар өөрчлөгддөггүй, энэ нь энэ тохиолдолд Noether-ийн теоремын дагуу L нь өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм эхний интеграл (69) байна. Системийн бүх цэгийн координатын хувьд хувиргах (82) тохиолдолд хамаарал нь биелнэ

Бүх координатын хувьд мөн адил

Нөгөө талаас, тиймээс энэ тохиолдолд

өөрөөр хэлбэл, z тэнхлэг дээрх кинетик моментийн проекц хадгалагдана.

Яг үүнтэй адилаар, координатын системийг x ба y тэнхлэгийн эргэн тойронд эргүүлэхийг харгалзан бид хөдөлгөөний явцад х ба у тэнхлэг дээрх кинетик импульсийн проекцуудын хадгалалтыг тогтоодог, өөрөөр хэлбэл, бид хуулиудыг бүрэн нотолж байна. боломжит талбарт хөдөлж буй хаалттай системийн кинетик импульсийн хадгалалт.

Тиймээс, хөдөлгөөн хийх тохиолдолд боломжит талбаруудБид дээр дурдсан бүх хадгалалтын хуулиудыг Ноетерийн теоремоос олж авсан. Ноетерийн теорем нь координат ба цаг хугацааны янз бүрийн хувиргалтуудын үед хөдөлгөөний тэгшитгэлийн өөрчлөгдөөгүй байдалтай холбоотой тэдгээрийн үүсэх мөн чанарыг илчилсэн. Эрчим хүч хадгалагдах хууль нь цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу шилжилттэй консерватив системийн тэгшитгэлийн инвариантын үр дагавар, импульс хадгалагдах хууль нь хаалттай циклийн системийн тэгшитгэлүүдийн харилцан адилгүй байдлын үр дүн юм. координатын тэнхлэгийн дагуу шилжих ба өнцгийн импульс хадгалагдах хууль нь тэнхлэгийн координатыг тойрон эргэхтэй холбоотой хаалттай гогцооны системийн тэгшитгэлүүдийн өөрчлөгдөөгүй байдлын үр дүн юм.

Ноетерийн теоремыг мөн Лагранжийг хадгалсан бусад хувиргалтыг олох боломжтой онцгой тохиолдлуудад ашиглаж болно.

Нэг хэмжээгээр хүн бүр тэгш хэмийн тухай ойлголттой байдаг. Энэ өмч нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг олон төрлийн объектуудыг эзэмшдэг өдөр тутмын амьдрал. Хүний гараар хийсэн олон бүтээлүүд нь гоо зүйн болон практик шалтгааны улмаас тэгш хэмтэй хэлбэртэй байдаг. Магадгүй хүний ​​хамгийн тэгш хэмтэй бүтээгдэхүүн бол бөмбөгийг яаж эргүүлсэн ч үргэлж ижилхэн харагддаг бөмбөг юм. Тэгш хэм нь байгальд өргөн тархсан байдаг - цасан ширхгүүдийн зургаан өнцөгт хэлбэр, янз бүрийн геометрийн хэлбэрүүдталстууд, ойролцоогоор толин тусгал тэгш хэмтэй хүний ​​биегэх мэт.

Өгөх ерөнхий тодорхойлолт"Тэгш хэм" гэсэн ойлголт нь нэлээд хэцүү байдаг. Тэгш хэм нь ихэвчлэн гоо сайхантай холбоотой байдаг. "Тэгш хэмт гэдэг нь сайн харьцаатай зүйлийг хэлдэг бөгөөд тэгш хэм гэдэг нь ийм тогтвортой байдал юм бие даасан хэсгүүд, энэ нь тэднийг бүхэлд нь нэгтгэдэг. Гоо сайхан нь тэгш хэмтэй нягт холбоотой” гэж Г.Вейл бичжээ. Оксфордын товч тайлбар толь бичигт тэгш хэмийг “...биеийн хэсгүүдийн эсвэл аливаа бүхэл хэсгийн пропорциональ байдал, тэнцвэр, ижил төстэй байдал, зохицол, тууштай байдлаас үүдэлтэй гоо үзэсгэлэн” гэж тодорхойлсон байдаг.

Зураг 5 - Байгаль дахь тэгш хэмийн жишээ

Тэгш хэм нь чухал үүрэг гүйцэтгэдэг байгалийн шинжлэх ухаанЭнэ нь дэлхийн дүр төрхийг олон тооны хялбаршуулж, түүний янз бүрийн талбаруудын ижил төстэй байдлыг бий болгоход хүргэдэг.

Тэгш хэм(физикийн хувьд) -физик хэмжигдэхүүнүүдийн тодорхой өөрчлөлтийн үед өөрчлөгдөөгүй (инвариант) үлдэх шинж чанар. Эдгээр хувиргалтыг гэж нэрлэдэг тэгш хэмийн үйлдлүүд .

Тэгш хэмийн үйлдлүүд нь жишээ нь толинд тусгах, шилжих, эргүүлэх үйлдлүүд орно. Талстууд нь огтлох тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд энэ нь гурван хэмжээст үе үе давтагдах хэсгүүдийн тогтмол зохион байгуулалтаар тодорхойлогддог. Зөв нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй байдаг геометрийн хэлбэрүүд. Тиймээс квадратыг хавтгайдаа перпендикуляр төвийг нь дайран өнгөрөх тэнхлэгтэй харьцуулахад 90 ° эргүүлэх нь квадратыг өөртэй нь тэгшлэнэ.

Тэгш хэмийг шинж чанарыг тодорхойлдог орон зай-цаг (гадаад) ба дотоод гэж хуваадаг энгийн бөөмс.

Орон зай, цаг хугацаа нь нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл. шилжилтийн тэгш хэмтэй байна: координатын системийн зэрэгцээ шилжилт ба цаг хугацааны гарал үүслийн шилжилт нь байгалийн хуулийг өөрчлөхгүй. Орон зайн изотропи гэдэг нь тэнхлэгийн тэгш хэмтэй гэсэн үг юм: координатын тэнхлэгүүдийг дурын өнцгөөр эргүүлэх нь байгалийн хуулийг өөрчлөхгүй.

Орчин үеийн физикт тэгш хэмийн тодорхой шатлалыг олж илрүүлсэн. Дээрх тэгш хэм нь аливаа харилцан үйлчлэлд тохиолддог. Зөвхөн хүчтэй ба цахилгаан соронзон харилцан үйлчлэлийн үед хангагдсан тэгш хэмүүд байдаг. Ийм тэгш хэмд жишээлбэл толин тусгал тэгш хэм, цэнэгийн нэгдэл, изотопын инварианц гэх мэт орно, эдгээр тэгш хэмийг дотоод гэж нэрлэдэг. Толин тусгал тэгш хэм (координатыг солихоос бүрдэх орон зайн урвуу байдал x,y,zдээр - x,-y,-z) толинд тусах нь физикийн хуулийг өөрчлөхгүй гэсэн үг юм. Бүх бөөмсийг эсрэг бөөмсөөр солихыг цэнэглэх үйл ажиллагаа гэж нэрлэдэг. Изотопын инвариант байдал нь протон ба нейтроны ижил төстэй байдалтай холбоотой (тэдгээр нь зөвхөн протон дээр цахилгаан цэнэг байгаа тохиолдолд л ялгаатай байдаг бөгөөд энэ нь цөмийн процесст нөлөөлдөггүй).

1918 онд Амали Эмми НотерОрон зай-цаг хугацаанд, элементийн бөөмсийн чөлөөт байдлын зэрэг, физик талбайн хувьд аливаа тодорхой тэгш хэмийн оршихуй нь харгалзах хадгалалтын хууль руу хөтөлдөг үндсэн теоремыг нотолсон бөгөөд энэ теоремоос хадгалагдсан хэмжигдэхүүний тодорхой бүтэц гарч ирдэг. Цагийн шилжилтийн хувьд өөрчлөгдөөгүй байдлаас эхлээд энерги хадгалагдах хууль гарч ирнэ; орон зайн шилжилтийн хувьд тэгш хэмээс импульс хадгалагдах хуулийг дагаж мөрддөг; Орон зайн эргэлтийн хувьд өөрчлөгдөөгүй байдлаас эхлээд өнцгийн импульс хадгалагдах хуулийг дагаж мөрддөг. Янз бүрийн инерцийн лавлагааны систем дэх координат ба цаг хугацааны утгыг холбосон Лоренцын хувиргалтаар физик хуулиуд өөрчлөгддөггүй (харьцангуйн зарчим). Харьцангуйн зарчмаас тусгаарлагдсан системийн массын төвийн хөдөлгөөний хурдыг хадгалах хуулийг дагаж мөрддөг.

Дотоод тэгш хэмийн оршихуй нь тодорхой хадгалалтын хуулиудтай холбоотой байдаг. Толин тусгал тэгш хэм нь онцгой байдлыг хадгалахад хүргэдэг квант тоо– бөөм бүрт оноох ёстой паритет. Паритетийг хадгалах гэдэг нь баруун зүүн болон эсрэгээр солигдохтой холбоотой байгалийн өөрчлөгдөөгүй байдлыг хэлнэ; Өмнө дурьдсанчлан сул харилцан үйлчлэлд орон зайн паритет хадгалагдахгүй. Орон зайг нэгэн зэрэг эргүүлэх, бөөмсийг эсрэг бөөмсөөр солихоос бүрдэх цогц хувирлыг хосолсон инверси гэж нэрлэдэг. Бүх харилцан үйлчлэлд хосолсон паритетыг хадгалах хууль хангагдсан байдаг. Изотопын инвариант байдал нь хүчтэй харилцан үйлчлэлийн үед изотопын эргэлтийг хадгалахад хүргэдэг (сул харилцан үйлчлэл нь дүрмээр бол изотопын эргэлтийн өөрчлөлттэй холбоотой байдаг). Долгионы функцийн тусгай тэгш хэмийг илэрхийлдэг цахилгаан, барион ба лептоны цэнэгийг хадгалах хуулиуд байдаг. Орчин үеийн үзэл баримтлалын дагуу энгийн бөөмсийн бүх өөрчлөлтийн үед цахилгаан цэнэгийг үргэлж хадгалах ёстой. Барион ба лептоны цэнэгийг хатуу хадгалахгүй байж болох ч эдгээр цэнэгийн хадгалалтын хуулийг туршилтаар зөрчсөн тохиолдол хараахан тогтоогдоогүй байна. Хамгаалалтын хуулиудын аль нэгийг дагаж мөрдөхгүй байх нь энэ харилцан үйлчлэлийн тэгш хэмийн тохирох төрлийг зөрчсөн гэсэн үг юм.

Хамгаалалтын хууль бол судалгааны хүчирхэг хэрэгсэл юм. Хөдөлгөөний тэгшитгэлийн нарийн шийдэл нь маш нарийн төвөгтэй эсвэл ажиллах хүч нь тодорхойгүй байх тохиолдол олонтаа тохиолддог. Хамгаалалтын хууль нь шинж чанараас хамаардаггүй тул идэвхтэй хүчнүүд, дараа нь тэдний тусламжтайгаар та зан байдлын талаархи хэд хэдэн чухал мэдээллийг олж авах боломжтой механик системүүдхүч нь тодорхойгүй болсон тохиолдолд ч гэсэн. Хамгаалалтын хуулиудын тусламжтайгаар хэд хэдэн энгийн бөөмсийг нээсэн. Иймд β задралын явцад энерги болон өнцгийн импульс хадгалагдах хуулиудыг хангахын тулд В.Паули (1932) тухайн үед үл мэдэгдэх бөөмс байгааг санал болгосон.

Амалиа (Эмми) Ноетер, титэмгүй хатан хаан

Амьд байгаа хамгийн алдартай математикчдын үзэж байгаагаар, Эмми НотерДээд боловсрол эмэгтэйчүүдэд нээлттэй болсноос хойш дэлхийд гарч ирсэн хамгийн агуу бүтээлч математикийн суут ухаантан байв.

Альберт Эйнштейн

Эйнштейн зөв байсан ба Эмми Нотер (1882–1935) Хүрээлэнд түүнтэй хамт ажиллах боломж хэзээ ч байгаагүй дэвшилтэт судалгааПринстонд (хэдийгээр тэр үүнийг хэнээс ч илүү хүртэх эрхтэй байсан ч) гайхалтай математикч байсан - магадгүй бүх цаг үеийн хамгийн агуу эмэгтэй математикч юм. Зөвхөн Эйнштейн ийм үзэл бодолтой байсангүй: Норберт Винер Нотерийг хоёр ялагчтай эн зэрэгцүүлсэн. Нобелийн шагналуудМари Кюри бол маш сайн математикч байсан.

Түүнчлэн Эмми Ноетер хэд хэдэн муу онигооны бай болсон - ядаж л эелдэг зантай Эдмунд Ландаугийн үхэшгүй мөнхийн хэллэгийг эргэн санацгаая: "Би түүний математикийн авьяастай гэдэгт итгэж болно, гэхдээ энэ бол эмэгтэй хүн гэж тангараглаж чадахгүй." Эмми үнэхээр эрэгтэйлэг төрхөөрөө бусдаас ялгардаг байсан бөгөөд үүнээс гадна тэрээр хэрхэн харагдах талаар огт боддоггүй байсан, ялангуяа хичээл эсвэл шинжлэх ухааны мэтгэлцээний үеэр.

Гэрчүүдийн ярьснаар тэрээр үсээ янзлах, хувцас хунараа цэвэрлэх, хоолоо сайтар зажлахаа мартсан бөгөөд бусад олон шинж чанараараа бусдаас ялгардаг байсан нь олигтойхон германчуудынхаа нүдээр түүнийг тийм ч эмэгтэйлэг биш болгожээ. Эмми бас миопийн хүнд өвчтэй байсан тул зузаан линзтэй муухай шил зүүж, шар шувуу шиг харагддаг байв. Энд бид даатгалын төлөөлөгчийнх шиг цаасаар дүүргэсэн эрэгтэй малгай, савхин чемодан (тохь тухтай байх үүднээс) өмсөх зуршлыг нэмэх хэрэгтэй. Эммигийн шавь, түүний математикийн авъяас чадварыг биширдэг Герман Вейл өөрөө багшийнхаа талаархи ерөнхий бодлоо "Грэйсүүд өлгийд нь зогссонгүй" гэсэн үгээр нэлээд тэнцвэртэй илэрхийлсэн.

Хөрөг зураг Эмми Нотерзалуу насандаа.

Сайхан хун болж хувирах

Эмми Ноетер эмэгтэйчүүдийг гар, хөлөөрөө дөнгөлдөг нийгэмд төрсөн. Тэр үед Германыг ёслол, хүлээн авалтад дуртай, бүхнийг чадагч Кайзер II Вильгельм захирч байв. Тэрээр хотод ирж, галт тэрэгнээс ёслол төгөлдөр бууж, дараа нь орон нутгийн захирагч үг хэлэв. Төмөр канцлер Бисмарк бүх бохир ажлыг хийсэн. Тэрээр төр, нийгмийн жинхэнэ тэргүүн, эмэгтэйчүүдийн боловсролд саад болж байсан (бүх нийтийн боловсролыг үзэн ядсан социализмын шинж тэмдэг гэж үздэг байсан) түүний консерватив бүтцийн сүнслэг нөлөө бүхий хүн байв. Эмэгтэйн загвар өмсөгч нь Кайзерын эхнэр, хатан хаан Августа Виктория байв. Түүний амьдралын итгэл үнэмшил нь дөрвөн Ks байсан: Кайзер, Kinder(хүүхдүүд), Кирче(сүм), К"уче(гал тогоо) - ардын гурвалсан гурван К-ийн өргөтгөсөн хувилбар " Киндер, Кирче, Куче" Ийм орчинд эмэгтэйчүүдэд тодорхой үүрэг даалгавар өгсөн: нийгмийн шатанд тэд эрчүүдээс доогуур, гэрийн тэжээвэр амьтдаас нэг шатаар дээгүүр байв. Тиймээс эмэгтэйчүүд боловсрол эзэмшиж чадахгүй байв. Үнэндээ эмэгтэйчүүдийн боловсролыг бүрэн хориглоогүй - Гёте, Бетховен нарын эх орны хувьд энэ нь хэтэрхий их байх байсан. Олон саад бэрхшээлийг даван туулсны дараа эмэгтэйчүүд суралцах боломжтой байсан ч албан тушаал хаших эрхгүй байв. Үр дүн нь адилхан байсан ч тоглоом илүү нарийн байсан. Үзэл суртлын онцгой идэвх зүтгэлийг харуулсан зарим багш нар ядаж нэг эмэгтэй үзэгчдийн дунд байсан бол хичээл эхлэхээс татгалзав. Эрх чөлөө, либерализм ноёрхож байсан Францад байдал огт өөр байсан.

Эмми Эрланген хэмээх жижиг хотод дундаас дээш түвшний багш нарын гэр бүлд төржээ. Эрланген математикийн түүхэнд ер бусын байр суурийг эзэлдэг - энэ нь синтетик геометр гэж нэрлэгддэг бүтээгчийн төрсөн жижиг газар байв. Кристиан фон Штаудт (1798–1867) Түүгээр ч үл барам залуу суут Феликс Клейн (1849-1925) Эрлангэнд геометрийг бүлгийн онолын үүднээс ангилсан алдарт Эрланген хөтөлбөрөө хэвлүүлжээ.

Эммигийн аав Макс Ноетер Эрлангений их сургуульд математикийн хичээл заадаг байжээ. Түүний оюун ухааныг түүний хүү Фриц өвлөн авсан бөгөөд тэрээр амьдралаа зориулжээ хэрэглээний математик, Андерсений үлгэрээс гардаг муухай дэгдээхэйтэй төстэй охин Эмми - түүнийг шинжлэх ухааны ямар өндөр оргилд хүрэхийг хэн ч төсөөлөөгүй. Хүүхэд, өсвөр насандаа Эмми үе тэнгийнхнээсээ ялгаагүй байсан: тэр бүжиглэх үнэхээр дуртай байсан тул бүх баяр ёслолд дуртайяа оролцдог байв. Үүний зэрэгцээ охин хөгжимд тийм ч их сонирхолгүй байсан нь түүнийг ихэвчлэн хөгжимд дуртай, тэр байтугай янз бүрийн хөгжмийн зэмсэг тоглодог бусад математикчдаас ялгаруулдаг. Эмми иудаизмыг хүлээн зөвшөөрсөн - тэр үед энэ нөхцөл байдал тийм ч чухал биш байсан ч түүнд нөлөөлсөн ирээдүйн хувь заяа. Ховор суут ухаантнуудыг эс тооцвол Эммигийн боловсрол нь үе тэнгийнхнээсээ ялгаатай байсангүй: тэрээр хоол хийж, гэр барьж, франц, англи хэл сурахдаа амжилтанд хүрч, хэлний багш болно гэж таамаглаж байсан. Эмми математикийг сонгосон нь хүн бүрийг гайхшруулсан.

Коллегиенхаусын фасад - Эрлангений их сургуулийн хамгийн эртний барилгуудын нэг.

Эцэс төгсгөлгүй уралдаан

Эмми сонгосон мэргэжлээрээ өөрийгөө зориулахад шаардлагатай бүх зүйлтэй байсан: тэр математикийг мэддэг, гэр бүл нь түүнд амьдрах мөнгө (маш өчүүхэн ч гэсэн) өгч чаддаг байсан бөгөөд аавынхаа хамт ажиллагсадтай биечлэн танилцсан нь түүнд их сургуульд суралцдаг гэдэгт итгэх боломжийг олгосон. их сургууль тэвчихийн аргагүй болно. Үргэлжлүүлэн суралцахын тулд Эмми оюутан болох ёстой байсан - түүнийг бүтэн оюутан байхдаа хичээлд суухыг хориглов. Тэрээр сургуулиа амжилттай дүүргэж, шалгалтанд тэнцсэнээр докторын зэрэг хамгаалах эрх олгосон. Эмми диссертацийн сэдэв болгон гурвалсан квадрат хэлбэрийн алгебрийн инвариантуудыг сонгосон. Энэ хичээлийн багш байсан Пол Гордан (1837–1912) , түүний үеийнхэн түүнийг өөрчлөгдөөгүй онолын хаан гэж нэрлэдэг; тэрээр Ноетерийн эцгийн эртний найз бөгөөд бүтээлч математикийг дэмжигч байсан. Гордан алгебрийн инвариантуудыг хайхдаа жинхэнэ бульдог болж хувирав: тэрээр инварианттай зууралдаж, заримдаа эцэс төгсгөлгүй мэт санагдах тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлаас ялгах хүртлээ эрүүгээ тайлсангүй. Алгебрийн инвариант ба хэлбэр гэж юу болохыг тайлбарлах нь тийм ч хэцүү биш боловч эдгээр ойлголтууд орчин үеийн алгебрийг сонирхдоггүй тул бид тэдгээрийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярихгүй.

IN докторын диссертаци“Гурвалсан биквадрат хэлбэрийн албан ёсны тогтолцооны тодорхойлолтын тухай” нэртэй Эммигийн олсон гурвалсан биквадрат хэлбэрийн 331 инвариантыг өгсөн. Энэ ажил нь түүнд докторын зэрэг хамгаалж, математикийн гимнастикаар хичээллэх боломжийг олгосон. Эмми өөрөө хожим өөрийгөө шүүмжилж, энэ шаргуу ажлыг дэмий зүйл гэж нэрлэжээ. Тэрээр София Ковалевскаягийн дараа Германы хоёр дахь эмэгтэй шинжлэх ухааны доктор болсон.

Эмми Эрлангэнд багшийн албан тушаалд очсон бөгөөд тэнд найман жил ямар ч цалин авалгүй ажилласан. Заримдаа тэр аавыгаа солих нэр хүндтэй байсан - тэр үед түүний эрүүл мэнд суларсан байв. Пол Гордан зодог тайлж, түүний оронд орчин үеийн үзэл бодолтой, Эммитэй сайн харьцдаг Эрнст Фишер ирсэн. Фишер түүнийг Гильбертийн бүтээлүүдтэй танилцуулсан юм.

Аз болоход, Ноетерийн зөн билэг, оюун ухаан, мэдлэгийг "дэлхийн хамгийн математикийн их сургууль" болох Гёттингений их сургуулийн хоёр нэрт зүтгэлтэн анзаарчээ. Эдгээр гэрэлтүүлэгчид Феликс Клейн нар байв Дэвид Гилберт (1862–1943) . Энэ бол 1915 он, анхных дэлхийн дайнид эрч хүчтэй байсан. Клейн, Хилберт хоёр эмэгтэйчүүдийн боловсролын асуудалд (мөн тэдний оролцоо) туйлын либерал байсан. судалгааны ажил) болон мэргэжилтнүүд байсан хамгийн дээд түвшин. Тэд Эммиг Эрлангенийг орхин Гёттингенд нэгдэхийг ятгасан хамтын ажиллагаа. Тухайн үед Альберт Эйнштейний физикийн хувьсгалт санаанууд эргэлдэж байсан бөгөөд Эмми бол Эйнштейний онолын нэн хэрэгтэй математик аппаратыг бүрдүүлсэн алгебрийн болон бусад инвариантуудын шинжээч байсан (бид инвариантуудын тухай ярианд хэсэг хугацааны дараа эргэн орох болно).

Хэрэв ийм гунигтай биш байсан бол энэ бүхэн инээдтэй байх болно - тэр ч байтугай ийм эрх баригчдын дэмжлэг ч Эмми Гёттингений их сургуулийн эрдмийн зөвлөлийн эсэргүүцлийг даван туулахад тусалсангүй, гишүүдээс нь "Юу болох вэ" гэсэн үгсийг сонсох боломжтой байв. Манай баатарлаг дайчид эх орондоо ирээд хичээлийн танхимд индэр дээрээс үг хэлэх эмэгтэйн өмнө суух ёстой гэж ярьдаг? Ийм ярианд оролцсон Гилберт дургүйцсэн байдалтай: "Нэр дэвшигчийн хүйс нь түүнийг хувийн туслах профессороор сонгогдоход хэрхэн саад болж байгааг би ойлгохгүй байна. Эцсийн эцэст энэ бол их сургууль болохоос эрэгтэйчүүдийн халуун усны газар биш!"

Гэвч Эмми хэзээ ч хувийн туслах профессороор сонгогдоогүй. Эрдмийн зөвлөл түүний эсрэг жинхэнэ дайн зарлав. Мөргөлдөөн удалгүй дуусч, Веймарын Бүгд Найрамдах Улсыг тунхаглаж, эмэгтэйчүүдийн байдал сайжирч: тэд сонгох эрхээ авч, Эмми профессорын зэрэг авах боломжтой болсон (гэхдээ цалингүй), гэхдээ маш их хүчин чармайлт гаргасны дараа л 1922 онд болсон. , тэр эцэст нь ажлынхаа төлөө мөнгө авч эхэлсэн. Эмми Математикийн Анналс сэтгүүлийн редакторын хувьд цаг хугацаа шаардсан ажлыг нь үнэлээгүйд бухимдаж байв.

1918 онд Ноетерийн сенсаацын теорем хэвлэгджээ. Эмми бусад олон теоремууд, тэр дундаа маш чухал теоремуудыг нотолсон ч олон хүн түүнийг ингэж дууддаг байв. Нотер 1918 онд энэ теоремыг нийтэлсний маргааш нь нас барсан ч гэсэн гурван жилийн өмнө нотлох баримтаа олсон ч үхэшгүй мөнх амьдрах байсан. Энэ теорем нь хийсвэр алгебртай холбоогүй бөгөөд физик, математикийн уулзвар дээр байрладаг, илүү нарийвчлалтайгаар механикт хамаардаг. Харамсалтай нь уншигчдад ойлгомжтой хэлээр, бүр хялбаршуулсан хэлбэрээр тайлбарлахын тулд бид дээд математик, физикгүйгээр хийж чадахгүй.

Энгийнээр тайлбарлавал, ямар ч тэмдэг, тэгшитгэлгүйгээр Ноетерийн теорем нь хамгийн ерөнхий томъёололд: "Хэрэв физик систем тасралтгүй тэгш хэмтэй байвал цаг хугацааны явцад утгыг нь хадгалах зохих хэмжигдэхүүнүүдийг агуулна."

Үргэлжилсэн тэгш хэмийн тухай ойлголт дээд физик Lie бүлгүүдийг ашиглан тайлбарлав. Бид нарийн ширийн зүйлийг ярихгүй бөгөөд физикийн хувьд тэгш хэмийг физик системийн аливаа өөрчлөлт гэж ойлгодог. физик хэмжигдэхүүнүүдсистемд өөрчлөгддөггүй. Математикийн тасралтгүй хувиргалтаар дамжуулан энэхүү өөрчлөлт нь системийн координатуудад нөлөөлөх ёстой бөгөөд тухайн утга нь хувиргалтаас өмнө болон дараа өөрчлөгдөхгүй байх ёстой.

"Тэгш хэм" гэсэн нэр томъёо хаанаас ирсэн бэ? Энэ нь цэвэр физик хэлэнд хамаарах бөгөөд утга нь математикийн "тэгш хэм" гэсэн нэр томъёотой төстэй байдаг тул үүнийг ашигладаг. Орон зайн эргэлтүүд нь тэгш хэмийн бүлгийг үүсгэдэг гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв бид эдгээр эргэлтүүдийн аль нэгийг координатын системд хэрэглэвэл өөр координатын системтэй болно. Координатын өөрчлөлтийг тасралтгүй тэгшитгэлээр тодорхойлно. Ноетерийн теоремын дагуу хэрэв систем нь ийм тасралтгүй тэгш хэмийн хувьд өөрчлөгддөггүй бол (энэ тохиолдолд эргэлт) нэг буюу өөр физик хэмжигдэхүүн хадгалагдах хууль автоматаар оршин тогтнодог. Манай тохиолдолд шаардлагатай тооцоог хийсний дараа бид энэ утга нь өнцгийн импульс байх болно гэдгийг шалгаж болно.

Бид энэ сэдвийн талаар ярихгүй бөгөөд зарим төрлийн тэгш хэм, тэгш хэмийн бүлгүүд болон хадгалагдах зохих физик хэмжигдэхүүнүүдийг танилцуулах болно.

Энэ теорем нь Гильберт бичсэн Эйнштэйнээс маш их магтаал хүртсэн.

« Өчигдөр би хатагтай Ноетерийн инвариантуудын тухай маш сонирхолтой нийтлэлийг хүлээн авлаа. Ийм зүйлийг ингэж харж болдогт их сэтгэгдэл төрж байна нийтлэг цэгалсын хараа. Тэднийг хатагтай Ноетерт суралцахаар явуулсан бол Гёттингений хуучин харуулд ямар ч хор хөнөөл учруулахгүй. Тэр ур чадвараа сайн мэддэг бололтой».

Магтаал хүртэх ёстой: Ноетерийн теорем асуудлыг шийдвэрлэхэд өчүүхэн үүрэг гүйцэтгэсэн. ерөнхий онолхарьцангуйн онол. Олон шинжээчдийн үзэж байгаагаар энэ теорем нь суурь бөгөөд зарим нь үүнийг Пифагорын теоремтой ижил түвшинд тавьдаг.

Тайлбарласан туршилтуудын энгийн бөгөөд ойлгомжтой ертөнц рүү шилжье Карл Поппер (1902–1994) , мөн бид бүтээсэн гэж бодъё шинэ онол, тодорхой физик үзэгдлийг дүрсэлсэн. Ноетерийн теоремоор хэрэв манай онолын хүрээнд тодорхой төрлийн тэгш хэм байгаа бол (ийм зүйл гэж үзэх нь нэлээд үндэслэлтэй) системд хэмжиж болох тодорхой хэмжигдэхүүн хадгалагдах болно. Ингэж байж бидний онол зөв эсэхийг тодорхойлж чадна.

ТЕОРЕМ ТАЙЛБАР

Механик дахь физик системийг ялгарсан энерги, түүнийг шингээхэд зарцуулсан цаг хугацааны бүтээгдэхүүн гэж үзэж болох үйлдэл гэх мэт ойлголтыг багтаасан нэлээд төвөгтэй нэр томъёог ашиглан тодорхойлдог. Математикийн хэлээр физик системийн зан төлөвийг түүний Лагранжаар дүрсэлсэн байдаг Л, энэ нь хэлбэрийн функциональ (функцуудын функц) юм

Хаана q- албан тушаал, q- хурд (Ньютоны тэмдэглэгээний дээд талд байгаа цэг нь деривативыг илэрхийлдэг q), т- цаг. гэдгийг анхаарна уу q- координатын систем дэх байрлал ерөнхий үзэл, энэ нь заавал декарт байх албагүй.

Үйлдэл АМатематикийн хэлээр үүнийг системийн сонгосон зам дагуух интегралаар илэрхийлнэ.

Ноетерийн теоремыг нарийн томъёолж, баталцгаая.

Лагранжийн функцээр тодорхойлсон зарим системийг авч үзье

Ийм Лагранж функцтэй вариацын зарчмаар олж авсан Лагранж-Эйлерийн тэгшитгэлийн хэлбэр нь хэлбэрийн хувиргалт, түүнчлэн ерөнхий хувиргалтуудын үед өөрчлөгддөггүй.

бие даасан хувьсагчийг орлуулахтай холбоотой. Гэсэн хэдий ч шинэ цаг хугацаанаас хамааран шинэ координатын функцын хувьд үйлдлийн шинэ илэрхийлэлд зориулсан тусгай хэлбэр нь ийм өөрчлөлттэй холбоотой аливаа өөрчлөлтийг авч болно.

Ноетерийн теорем нь зөвхөн ийм өөрчлөлт гарахгүй тохиолдолд л сонирхолтой байдаг.

(4) -ийг ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Өөрчлөлтүүд ийм байгаасай

тэдгээр. нэг параметрийн бүлгийг бүрдүүлэх. Параметрт тохирох хязгааргүй жижиг хувиргалтыг авч үзье.

Үнэн хэрэгтээ, авч үзэж буй хувиргах явцад тохиолддог ерөнхий координатын өөрчлөлтүүд нь шинэ цагийн зарим нэг мөчид шинэ координатын утгууд болон хуучин цаг хугацааны харгалзах агшин дахь хуучин координатын утгуудын хоорондох зөрүү юм. , өөрөөр хэлбэл

Тэдгээрийн хамт маягтын хувилбаруудыг харгалзан үзэх нь тохиромжтой

Бидний хувиргалт нь координатад бус зөвхөн цаг хугацаанд нөлөөлж байсан ч гэсэн тэгээс ялгаатай координатуудын цаг хугацааны хамаарал.

Аливаа функцийн хувьд дараах хамаарал хүчинтэй байна.

Дараа нь танилцуулсан хоёр төрлийн өөрчлөлтийн хооронд хамаарал байгаа бөгөөд үүнийг дараах байдлаар авч болно: (8)-аас (9) тэгшитгэлийг хасвал бид дараахь зүйлийг олж авна.

үүнийг анхаарч үзье

тэгвэл бидэнд байна:

Ижил аргументын утгатай холбоотой одгүй өөрчлөлтүүд нь цаг хугацааны ялгаагаар солигддог.

Харин одтой хувилбаруудын хувьд энэ нь ерөнхийдөө үнэн биш юм.

Аливаа динамик хувьсагчийн хувьд тохирох хоёр төрлийн өөрчлөлтийг оруулж болно. Жишээлбэл, Лагранж функцын хувьд

Үүнд: тодорхой оруулсан хугацаа болон далд оруулсан цаг хугацааны хувьд координат ба хурдаар ялгах.

Одоо бид хувиргах үед үйлдлийн интеграл өөрчлөгдөхгүй байхыг шаардаж байна - энэ бол теоремын нөхцлөөр шаардагдах онцгой тохиолдол юм - өөрөөр хэлбэл. байгаа болохоор

Хаана Т"- интеграцийн ижил домэйн Тхоёр дахь интегралд, гэхдээ шинэ хувьсагчаар илэрхийлэгдэнэ. Дараа нь (11)-ийг (13) орлуулснаар бид олж авна

Бид (15)-аас (11)-д илэрхийлж, хамаарлыг харгалзан интеграцид шилжинэ торонд нь т", бид авах:

Үүнийг харгалзан үзвэл

Бид авах: (15)

Дифференциалыг олъё

(16)-д (17)-г орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Эхний нийлбэрийн тэмдгийн дор Лагранжийн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл.