Физикийн нүүлгэн шилжүүлэлтийн модулийг хэрхэн олох вэ? (Магадгүй бүх нийтийн томъёо байдаг уу?). Вектор ба вектор дээрх үйлдлүүд Векторын вектор гэж юу вэ

Нэгж вектор- Энэ вектор, үнэмлэхүй утга (модуль) нь нэгтэй тэнцүү. Нэгж векторыг тэмдэглэхийн тулд хэрэв вектор өгөгдсөн бол бид e дэд тэмдгийг ашиглана А, тэгвэл түүний нэгж вектор нь вектор болно А e. Энэ нэгж вектор нь вектортой ижил чиглэлд чиглэнэ А, түүний модуль нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a e = 1 байна.

Мэдээжийн хэрэг, А= a Ад (а - вектор модуль A). Энэ нь скалярыг вектороор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмээс гардаг.

Нэгж векторуудихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Эдгээрийн чиглэл векторуудхаргалзах тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдтэй давхцдаг бөгөөд тэдгээрийн гарал үүсэл нь ихэвчлэн координатын системийн гарал үүсэлтэй нийлдэг.

Үүнийг сануулъя Декартын координатын системорон зайд координатын гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг цэг дээр огтлолцдог харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийн гурвалыг уламжлалт байдлаар нэрлэдэг. Координатын тэнхлэгүүдихэвчлэн X, Y, Z үсгээр тэмдэглэдэг ба абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэг, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Декарт өөрөө зөвхөн нэг тэнхлэгийг ашигласан бөгөөд түүн дээр абсциссуудыг зурсан байв. Ашиглалтын ач тус системүүдсүх нь түүний шавь нарынх. Тиймээс хэллэг Декартын координатын системтүүхэн буруу. Ярилцсан нь дээр тэгш өнцөгт координатын системэсвэл ортогональ координатын систем. Гэсэн хэдий ч бид уламжлалаа өөрчлөхгүй бөгөөд ирээдүйд декарт ба тэгш өнцөгт (ортогональ) координатын системүүд нэг бөгөөд ижил байна гэж үзэх болно.

Нэгж вектор, X тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна би, нэгж вектор, Y тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна j, А нэгж вектор, Z тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна к. Векторууд би, j, кгэж нэрлэдэг орц(Зураг 12, зүүн талд), тэдгээр нь нэг модультай, өөрөөр хэлбэл
i = 1, j = 1, k = 1.

Тэнхлэг ба нэгж векторууд тэгш өнцөгт координатын системзарим тохиолдолд өөр өөр нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг. Тиймээс абсцисса тэнхлэгийг X шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэж болох бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв τ (Грек жижиг үсэг tau), ординатын тэнхлэг нь хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгжийн нэгжийг тэмдэглэв n, хэрэглээний тэнхлэг нь хоёр хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв б. Хэрэв мөн чанар нь хэвээр байвал яагаад нэрийг солих ёстой вэ?

Жишээлбэл, механикийн хувьд биеийн хөдөлгөөнийг судлахдаа тэгш өнцөгт координатын системийг ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс хэрэв координатын систем өөрөө хөдөлгөөнгүй бөгөөд хөдөлж буй объектын координатын өөрчлөлтийг энэ суурин системд хянадаг бол ихэвчлэн тэнхлэгүүдийг X, Y, Z гэж тэмдэглэдэг. нэгж векторуудтус тус би, j, к.

Гэхдээ ихэнхдээ объект ямар нэгэн муруй шугамын дагуу (жишээлбэл, тойрог хэлбэрээр) хөдөлж байх үед энэ объекттой хөдөлж буй координатын систем дэх механик процессуудыг авч үзэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Ийм хөдөлгөөнт координатын системд тэнхлэгийн бусад нэр, тэдгээрийн нэгж векторуудыг ашигладаг. Байгаагаараа л байна. Энэ тохиолдолд X тэнхлэг нь тухайн цэгийн траектор руу шүргэгчээр чиглэнэ одоогоорэнэ объект байрладаг. Дараа нь энэ тэнхлэгийг X тэнхлэг гэж нэрлэхээ больсон, харин шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэгдэхээ больсон бөгөөд түүний нэгж векторыг тодорхойлохоо больсон. би, А τ . Y тэнхлэг нь траекторийн муруйлтын радиусын дагуу (тойрог доторх хөдөлгөөнтэй бол тойргийн төв рүү) чиглэнэ. Мөн радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байдаг тул тэнхлэгийг хэвийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (перпендикуляр ба хэвийн нь ижил зүйл). Энэ тэнхлэгийн нэгж векторыг тэмдэглэхээ больсон j, А n. Гурав дахь тэнхлэг (хуучин Z) нь өмнөх хоёртой перпендикуляр байна. Энэ нь ортой хоёр хэвийн үзэгдэл юм б(Зураг 12, баруун талд). Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд ийм тэгш өнцөгт координатын системихэвчлэн "байгалийн" эсвэл байгалийн гэж нэрлэдэг.

Геометрийн хувьд вектор нь Евклидийн орон зайд чиглэсэн сегмент эсвэл цэгцлэгдсэн хос цэг юм. Ортом векторнормчлогдсон вектор орон зай эсвэл норм (урт) нь нэгтэй тэнцүү векторын нэгж вектор юм.

Танд хэрэгтэй болно

• Геометрийн мэдлэг.

Заавар

Эхлээд та уртыг тооцоолох хэрэгтэй вектор. Мэдэгдэж байгаагаар урт (модуль) векторкоординатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү. А(3, 4) координаттай векторыг өгье. Тэгвэл түүний урт |a| байна = (9 + 16)^1/2 эсвэл |a|=5.

Ордыг олохын тулд вектор a, та тус бүрийг уртаар нь хуваах хэрэгтэй. Үр дүн нь орто буюу нэгж вектор гэж нэрлэгддэг вектор болно. Учир нь вектор a(3, 4) ort нь a(3/5, 4/5) вектор болно. a` вектор нь нэгж болно векторА.

Орыг зөв олсон эсэхийг шалгахын тулд та дараахь зүйлийг хийж болно: хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү бол бүх зүйл зөв олдсон бол тооцоололд алдаа гарсан болно; Ort a` зөв олдсон эсэхийг шалгая. Урт вектор a` тэнцүү байна: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Тэгэхээр урт вектор a` нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь нэгж векторыг зөв олсон гэсэн үг.

Эцэст нь би энэ өргөн хүрээтэй бөгөөд удаан хүлээсэн сэдвийг олж авлаа. аналитик геометр. Нэгдүгээрт, дээд математикийн энэ хэсгийн талаар бага зэрэг ... Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "График шийдлийн арга" ба "График шийдлийн арга" гэсэн хоёр математикийн хэллэг тэр даруй санаанд орж ирдэг. аналитик аргашийдлүүд." График арга, мэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикадилхан аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлоналгебрийн үйлдлээр дамжуулан. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг бөгөөд ихэвчлэн шаардлагатай томъёог анхааралтай хэрэглэхэд хангалттай байдаг - хариулт бэлэн байна! Үгүй, мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг зураггүйгээр хийх боломжгүй, үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг шаардлагагүйгээр иш татахыг хичээх болно.

Шинээр нээгдсэн геометрийн хичээл нь онолын хувьд бүрэн дүүрэн мэт дүр эсгэдэггүй, энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд хэсэгт илүү бүрэн тусламж хэрэгтэй бол би дараах нэлээд хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.

1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ гогцоо аль хэдийн 20 (!) дахин хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.

2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол уран зохиол юм ахлах сургууль, танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тохиолддог ажлууд миний нүднээс далд орж магадгүй, мөн сургалтын гарын авлагаүнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно.

Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Нэмж дурдахад та миний архивыг хуудаснаас олж болох бэлэн шийдлүүдийн хамт ашиглаж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах .

Хэрэгслийн дунд би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багц аналитик геометрийн чиглэлээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.

Уншигчид геометрийн үндсэн ойлголт, дүрсүүдийг мэддэг гэж үздэг: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, давтагчдад сайн уу)

Одоо бид дараалсан байдлаар авч үзэх болно: векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат. Би цааш нь уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр , мөн түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог үржвэр . Орон нутгийн даалгавар нь илүүц байх болно - Үүнтэй холбогдуулан сегментийг хуваах. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та эзэмшиж чадна хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл -тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээ , энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг шийдэж сурах . Дараах нийтлэлүүд бас хэрэгтэй. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл , Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл , Шулуун ба хавтгай дээрх үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад салбарууд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.

Вектор ойлголт. Чөлөөт вектор

Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:

Энэ тохиолдолд сегментийн эхлэл нь цэг, сегментийн төгсгөл нь цэг юм. Вектор нь өөрөө . Чиглэлчухал бөгөөд хэрвээ та сумыг сегментийн нөгөө төгсгөл рүү зөөвөл вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн байна тэс өөр вектор. Физик биеийн хөдөлгөөнтэй векторын тухай ойлголтыг тодорхойлох нь тохиромжтой: та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, хүрээлэнгийн хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалганаас гарах нь огт өөр зүйл юм.

Онгоц эсвэл орон зайн бие даасан цэгүүдийг гэж нэрлэх нь тохиромжтой тэг вектор. Ийм векторын хувьд төгсгөл ба эхлэл нь давхцдаг.

!!! Жич: Энд, цаашлаад векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай болон орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.

Тэмдэглэл:Олон хүн сумгүй савааг шууд анзаарч, дээд талд нь сум байгаа гэж хэлэв! Үнэн, та үүнийг сумаар бичиж болно: , гэхдээ энэ нь бас боломжтой миний ирээдүйд ашиглах оруулга. Яагаад? Энэ зуршил нь практик шалтгаанаар бий болсон нь миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий өөр хэмжээтэй, сэвсгэр байсан бололтой. IN боловсролын уран зохиолЗаримдаа тэд дөрвөлжин бичээстэй огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор гэдгийг илтгэнэ.

Энэ бол стилистик байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:

1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно.
гэх мэт. Энэ тохиолдолд эхний үсэг Заавалвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.

2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа товчхон байхын тулд манай векторыг жижиг гэж дахин тодорхойлж болно Латин үсэг.

Уртэсвэл модультэг биш векторыг сегментийн урт гэнэ. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логик.

Векторын уртыг модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ: ,

Хэсэг хугацааны дараа бид векторын уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно (эсвэл бид үүнийг хэнээс хамаарч давтах болно).

Энэ бол бүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторуудын талаархи үндсэн мэдээлэл байв. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.

Энгийнээр хэлэхэд - векторыг дурын цэгээс зурж болно:

Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэж заншсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл тэдгээр нь АДИЛ ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдэх явцад та энэ эсвэл өөр "сургуулийн" векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш гайхалтай онцлог юм! Дурын урт, чиглэлтэй чиглэсэн сегментийг төсөөлөөд үз дээ - үүнийг хязгааргүй олон удаа "клончлох" боломжтой бөгөөд огторгуйн аль ч цэгт, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм нэгэн оюутны хэлсэн үг байдаг: Лектор бүр векторын талаар санаа тавьдаг. Эцсийн эцэст, энэ нь зүгээр л нэг хийсвэр шүлэг биш, бүх зүйл бараг зөв - чиглүүлсэн сегментийг тэнд нэмж оруулах боломжтой. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө ихэвчлэн зовж байдаг =)

Тэгэхээр, үнэгүй вектор- Энэ олон ижил чиглэсэн сегментүүд. Догол мөрний эхэнд өгөгдсөн векторын сургуулийн тодорхойлолт нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай. тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт холбогдсон өгөгдсөн багцаас авсан чиглэсэн сегмент.

Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт нь ерөнхийдөө буруу бөгөөд хэрэглээний цэг нь чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, эрх чөлөөгүйвекторууд уулзахмөн та вишматыг мэддэг (тэнд очиж болохгүй :)).

Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал

IN сургуулийн курсгеометр, вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг авч үздэг. гурвалжны дүрмээр нэмэх, параллелограммын дүрмээр нэмэх, векторын ялгах дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, векторын скаляр үржвэр гэх мэт.Эхлэх цэг болгон аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтан хэлье.

Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан вектор нэмэх дүрэм

Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба:

Та эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойш тавих болно төгсгөлвектор:

Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг оруулахыг зөвлөж байна физик утга: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу явуулна. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь эхлэл нь явах цэг, төгсгөл нь хүрэх цэгтэй, үүссэн замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр бие нь зигзаг дагуу, эсвэл автомат нисгэгчээр - нийлбэрийн үр дүнд бий болсон векторын дагуу маш хазайж болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв векторыг хойшлуулсан бол эхэлсэнвектор, тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.

Нэгдүгээрт, векторуудын коллинеарын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "зэрэгцээ" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.

Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтран найруулсан. Хэрэв сумнууд өөр өөр чиглэлд чиглүүлбэл векторууд нь байх болно эсрэг чиглэлүүд.

Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизм тэмдгээр бичнэ: , харин дэлгэрэнгүй тайлбарлах боломжтой: (векторууд хамтран чиглэсэн) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).

ажилТоон дээрх тэгээс ялгаатай вектор нь урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -т хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургийн тусламжтайгаар ойлгоход хялбар болно.

Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье:

1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлээ өөрчилдөгэсрэгээр.

2) урт. Хэрэв үржүүлэгч нь эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тиймээс векторын урт нь векторын уртын хагас юм. Хэрэв үржүүлэгчийн модуль нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгзаримдаа.

3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг вектор нь нөгөө вектороор илэрхийлэгддэг бол жишээлбэл, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Тиймээс: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.

4) Векторууд хамтран чиглэгддэг. Векторууд мөн хамтран найруулдаг. Эхний бүлгийн дурын вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч векторын эсрэг чиглэсэн байна.

Аль векторууд тэнцүү вэ?

Хоёр вектор нь ижил чиглэлд байгаа бол тэнцүү байна ижил урт . Хамтарсан чиглэл нь векторуудын коллинеар байдлыг илэрхийлдэг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, нэгдмэл чиглэлтэй, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлбэл энэ тодорхойлолт буруу (илүүдэл) байх болно.

Чөлөөт векторын үзэл баримтлалын үүднээс авч үзвэл тэнцүү векторууд нь өмнөх догол мөрөнд дурдсанчлан ижил векторууд юм.

Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд

Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг дүрсэлж, координатын гарал үүслээс нь зурцгаая. ганц биевекторууд ба:

Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би таныг нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооТэгээд ортогональ байдал.

Зориулалт:Векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикулярын тэмдгээр бичнэ, жишээ нь: .

Харж байгаа векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьонгоцонд. Үндэслэл гэж юу вэ гэдэг нь олон хүнд ойлгомжтой байх гэж бодож байна дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэс Энгийнээр хэлбэл, координатын үндэс, гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэг төрлийн суурь юм.

Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн үндэс: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн үг нь нэгж гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн хаалтанд бичигдсэн байдаг, дотор нь хатуу дарааллаарсуурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойдахин зохион байгуулах.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн:
, Хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатэнэ үндсэн дээр. Мөн илэрхийлэл нь өөрөө дуудсан вектор задралүндсэн дээр .

Оройн хоол:

Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг суурь болгон задлахдаа сая авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .

Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаар зур. Түүний ялзрал нь "түүнийг уйгагүй дагах" нь ойлгомжтой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг өөртөө авч явдаг". Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг эхнээс нь зурах шаардлагагүй, жишээлбэл, зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "зээл" авах болно.

Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг таг харуулж байна, вектор нь үндсэн вектортой кодиректортой, вектор нь үндсэн векторын эсрэг чиглэсэн байна. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү байна, та үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.


Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).

Тэгээд эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би хасах дүрмийн талаар яриагүй юм бэ? Хаа нэгтээ шугаман алгебр, Би хаана санахгүй байна, би хасах нь нэмэх онцгой тохиолдол гэдгийг тэмдэглэсэн. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр хялбархан бичдэг: , . Гурвалжны дүрмийн дагуу хуучин векторуудыг нэмэх нь эдгээр нөхцөл байдалд хэр тодорхой ажиллаж байгааг харахын тулд зургийг дагана уу.

Маягтын задралыг авч үзсэн заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг ort системд(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш юм:

Эсвэл тэнцүү тэмдэгтэй:

Үндсэн векторууд нь өөрөө дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба

Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Практик бодлогод тэмдэглэгээний гурван хувилбарыг бүгдийг нь ашигладаг.

Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би хэлэх болно: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатууБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. хатуу хоёрдугаарт ордогБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.

Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг харцгаая, энд бараг бүх зүйл ижил байна! Энэ нь дахиад нэг координат нэмэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би зөвхөн нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд үүнийг хялбарчлах үүднээс гарал үүслийг нь авч үзэх болно.

Ямар чвектор гурван хэмжээст орон зайЧадах цорын ганц арга замортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх:
, энэ суурь дээрх векторын (тоо) координатууд хаана байна.

Зураг дээрх жишээ: . Энд векторын дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Нэгдүгээрт, векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (бөөрөлзгөнө сум). Хоёрдугаарт, хэд хэдэн, энэ тохиолдолд гурван вектор нэмэх жишээ энд байна: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх анхны цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусна.

Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг, векторыг өөр ямар ч цэгээс салгах гэж оролдох бөгөөд та түүний задрал "үүнтэй хамт үлдэх болно" гэдгийг ойлгох болно.

Бичихээс гадна хавтгай хайрцагтай төстэй хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .

Хэрэв өргөтгөлд нэг (эсвэл хоёр) координатын вектор байхгүй бол оронд нь тэгийг тавина. Жишээ нь:
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай) - бичих;
вектор (нямбай ) - бичье.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ нь магадгүй хамгийн бага зүйл юм онолын мэдлэг, аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай. Маш олон нэр томьёо, тодорхойлолт байж болох тул цайны савнууд энэ мэдээллийг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. Материалыг илүү сайн шингээхийн тулд үндсэн хичээлийг үе үе унших нь ямар ч уншигчдад ашигтай байх болно. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг ирээдүйд ихэвчлэн ашиглах болно. Би бүх теоремуудыг (мөн нотлох баримтгүйгээр) сайтар шифрлэдэг тул онолын шалгалт эсвэл геометрийн коллоквиумыг давахад сайтын материал хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. шинжлэх ухааны хэв маягтанилцуулга, гэхдээ энэ сэдвийг ойлгоход тань нэмэр болно. Нарийвчилсан онолын мэдээллийг авахын тулд профессор Атанасянд бөхийлгөнө үү.

Тэгээд бид практик хэсэг рүү шилжлээ:

Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд

Бүрэн автоматаар авч үзэх даалгавар, томъёог хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахыг зөвлөж байна цээжлэх, зориуд санах ч шаардлагагүй, тэд өөрсдөө санаж байх болно =) Аналитик геометрийн бусад бодлогууд нь хамгийн энгийн энгийн жишээн дээр үндэслэсэн тул энэ нь маш чухал бөгөөд ломбард идэж нэмэлт цаг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно. . Цамцныхаа дээд товчийг бэхлэх шаардлагагүй;

Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томьёо... та өөрөө харах болно.

Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Энэ нь, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй векторын эхлэл.

Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.

Жишээ 1

Онгоцны хоёр цэг өгөгдсөн ба . Вектор координатыг ол

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Эсвэл дараах оруулгыг ашиглаж болно.

Үүнийг гоо зүйчид шийднэ.

Би хувьдаа бичлэгийн эхний хувилбарт дассан.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч даммигийн зарим зүйлийг тодруулахын тулд би залхуурахгүй.

Та мэдээж ойлгох хэрэгтэй цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:

Цэгийн координат- Эдгээр нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх энгийн координатууд юм. Оноо тавь координатын хавтгай 5-6-р ангиасаа эхлэн хүн бүр хийж чадна гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.

Векторын координатууд– энэ бол энэ тохиолдолд суурийн дагуу түүний өргөтгөл юм. Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул хэрэв хүсвэл эсвэл шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан холдуулж болно. Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд тэнхлэг эсвэл тэгш өнцөгт координатын системийг огт барих шаардлагагүй, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй болно.

Цэгүүдийн координат ба векторуудын координатуудын бичлэгүүд ижил төстэй юм шиг байна: , ба координатын утгатуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэдэж байх ёстой. Энэ ялгаа нь мэдээжийн хэрэг орон зайд ч хамаатай.

Ноёд хатагтай нар аа, гараа дүүргэцгээе:

Жишээ 2

a) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг Мөн . векторуудыг олох ба .
в) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх. Эдгээр нь жишээ юм бие даасан шийдвэр, тэднийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?“Хоёр нэмэх нь хоёр тэг” гэсэн гайхалтай алдаа гаргахгүйн тулд ОНЦ БОЛОМЖТОЙ байх нь чухал. Хаа нэгтээ алдаа гаргасан бол шууд уучлалт гуйя =)

Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?

Уртыг аль хэдийн дурдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм

Жишээ 3

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Хариулт:

Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно

Сегмент - энэ вектор биш, мөн мэдээж та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та масштабаар зурвал: 1 нэгж. = 1 см (хоёр дэвтэр нүд), дараа нь үр дүнгийн хариултыг сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар ердийн захирагчаар шалгаж болно.

Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ үүнээс хэд хэдэн зүйл бий чухал цэгүүдБи тодруулах гэсэн юм:

Нэгдүгээрт, хариултанд бид "нэгж" хэмжигдэхүүнийг тавьдаг. Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс математикийн хувьд зөв шийдэл нь ерөнхий томъёолол байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.

Хоёрдугаарт, зөвхөн авч үзсэн даалгаварт хэрэг болохуйц сургуулийн материалыг давтан хэлье.

Анхаарна уу чухал техникийн техник – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнд хүрсэн бөгөөд математикийн сайн хэв маяг нь хүчин зүйлийг үндэснээс (боломжтой бол) хасах явдал юм. Үйл явц нь илүү дэлгэрэнгүй дараах байдлаар харагдаж байна. . Мэдээжийн хэрэг, хариултыг байгаагаар нь үлдээх нь алдаа биш, гэхдээ энэ нь багшийн хувьд дутуу дулимаг, нухацтай маргаан болно.

Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна:

Ихэнхдээ үндэс нь хангалттай байдаг их тоо, Жишээ нь . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Тооцоологч ашиглан тухайн тоо 4-т хуваагдах эсэхийг шалгана: . Тиймээ, энэ нь бүрэн хуваагдсан тул: . Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Тиймээс: . Тооны сүүлийн орон сондгой тул гурав дахь удаагаа 4-т хуваахад бүтэхгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг хичээцгээе: . Үүний үр дүнд:
Бэлэн.

Дүгнэлт:хэрэв язгуур дор бид бүхэлд нь гаргаж авах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг арилгахыг оролддог - тооцоолуур ашиглан энэ тоо дараахь байдлаар хуваагдах эсэхийг шалгана: 4, 9, 16, 25, 36, 49 гэх мэт.

Шийдвэр гаргах явцад янз бүрийн даалгаварҮндэс нь нийтлэг байдаг тул багшийн тайлбар дээр тулгуурлан шийдлээ эцэслэн гаргахад бага үнэлгээ, шаардлагагүй асуудлаас зайлсхийхийн тулд үндэснээс хүчин зүйлийг гаргаж авахыг хичээ.

Мөн квадрат үндэс болон бусад хүчийг давтъя:

зэрэгтэй үйлдлийн дүрэм ерөнхий үзэл-ээс олж болно сургуулийн сурах бичигалгебр, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.

Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 4

Оноо ба өгөгдсөн. Хэсгийн уртыг ол.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгай вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв орон зайн вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно .

Эсвэл нэгж вектор (нормчилсан вектор орон зайн нэгж вектор) нь норм (урт) нь нэгтэй тэнцүү вектор юм. Нэгж вектор ... Википедиа

- (ort) вектор, урт нь сонгосон масштабын нэгжтэй тэнцүү... Том Нэвтэрхий толь бичиг

- (ort), урт нь сонгосон масштабын нэгжтэй тэнцүү вектор. * * * НЭГЖ ВЕКТОР НЭГЖ ВЕКТОР (ort), урт нь сонгосон масштабын нэгжтэй тэнцүү вектор... Нэвтэрхий толь бичиг

Ort, урт нь сонгосон масштабын нэгжтэй тэнцүү вектор. Ямар ч а векторыг зарим коллинеар e.v-ээс авч болно. e тоогоор (скаляр) үржүүлснээр λ, өөрөөр хэлбэл a = λe. Мөн Вектор тооцооллыг үзнэ үү... Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг

- (ort), вектор, урт нь сонгосон хуваарийн нэгжтэй тэнцүү... Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Orth: Wiktionary-д "orth" гэсэн өгүүлэл бий. Орт ... Википедиа

A; м [Герман] Орт] 1. Эвэр. Газрын гадарга руу шууд гарах боломжгүй хэвтээ хэлбэрийн далд уурхайн нээлхий. 2. Математик. Урт нь нэгтэй тэнцүү вектор. * * * нэгж вектор I (Грекийн ortós шулуунаас), нэгж вектортой ижил. II (Герман ... ... Нэвтэрхий толь бичиг