Комплекс тоонуудын үржүүлгийг хэрхэн шийдэх вэ. Нарийн төвөгтэй тоо. Комплекс тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах. Тригонометрийн дүрслэлийн хэлбэр, Мойврийн томьёо ба комплекс тооны n-р үндэс. Асуулт. Нарийн төвөгтэй онгоц. Модуль

Хоёр нийлмэл тооны үржвэр нь хоёр бодит тооны үржвэртэй төстэй, тухайлбал: үржвэрийг нэгжээс бүрдэх хүчин зүйлтэй адил үржүүлэгчээс бүтсэн тоо гэж үздэг. Модуль r ба аргумент j бүхий комплекс тоонд харгалзах векторыг урт нь нэгтэй тэнцүү, чиглэл нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байгаа нэгж векторыг r дахин уртасгаж, r дахин уртасгах замаар авч болно. j өнцгөөр эерэг чиглэл. Тодорхой a 1 векторыг a 2 вектороор үржвэрлэх нь векторыг уртасгах ба эргүүлэхэд a 1 векторыг хэрэглэснээр олж авах вектор бөгөөд үүний тусламжтайгаар а 2 векторыг нэгж вектороос гаргаж авдаг бөгөөд сүүлчийнх нь вектор юм. бодит нэгжтэй тохирч байгаа нь ойлгомжтой. Хэрэв (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) нь a 1 ба a 2 векторуудад харгалзах комплекс тоонуудын модуль ба аргументууд байвал эдгээр векторуудын үржвэр нь модультай комплекс тоотой тохирч байх нь ойлгомжтой. r 1 r 2 ба аргумент (j 1 + j 2). Ийнхүү хоёр комплекс тооны үржвэр нь модуль нь хүчин зүйлсийн модулиудын үржвэртэй тэнцүү, аргумент нь хүчин зүйлсийн аргументуудын нийлбэртэй тэнцүү комплекс тоо юм.

Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр бичсэн тохиолдолд бидэнд байна

r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi тохиолдолд модулиудын тэмдэглэгээ, хүчин зүйлийн аргументуудыг ашиглан бид дараах зүйлийг бичиж болно.

a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 нүгэл үү? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 гэм нүгэл үү? 2 ;

үржүүлэх тодорхойлолтын дагуу:

x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 нүгэл(? 1 + ? 2),

x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - нүгэл? 1 нүгэл? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - 1 нүгэл үү? 1 р 2 нүгэл үү? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2

y = r 1 r 2 (нүгэл? 1 cos? 2 + cos? 1 нүгэл? 2) = = r 1 нүгэл? 1 r 2 cos? 2 + r 1 учир нь? 1 р 2 нүгэл үү? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,

эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.

b 1 = b 2 = 0 тохиолдолд хүчин зүйлүүд нь a 1 ба a 2 бодит тоо бөгөөд үржвэрийг эдгээр тоонуудаас a 1 a 2 үржвэр болгон бууруулна. тохиолдолд

a 1 = a 2 = 0 ба b 1 = b 2 = 1,

тэгш байдал (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) Би өгнө: i???i = i 2 = -1, өөрөөр хэлбэл. төсөөллийн нэгжийн квадрат нь -1 байна. i эерэг бүхэл тоог дэс дараалан тооцоолсноор бид дараахь зүйлийг олж авна.

би 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; би 5 = би; i 6 = -1; ...

ба ерөнхийдөө аливаа эерэг k хувьд:

би 4к = 1; би 4к+1 = би; би 4к+2 = -1; i 4k+3 = -i

(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх үржүүлэх дүрэм дараах байдлаар томъёолсон: i 2 = -1 гэж тоолох, нийлмэл тоог цагаан толгойн олон гишүүнтүүд шиг үржүүлэх ёстой.

Дээрх томъёоноос харахад нийлмэл тоог нэмэх, үржүүлэх нь солих хуульд захирагддаг, өөрөөр хэлбэл. нийлбэр нь нэр томъёоны дарааллаас хамаарахгүй, бүтээгдэхүүн нь хүчин зүйлийн дарааллаас хамаарахгүй. Дараах шинж тэмдгээр илэрхийлэгдсэн хослолын болон хуваарилалтын хуулиудын үнэн зөвийг шалгах нь тийм ч хэцүү биш юм.

(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .

Хэд хэдэн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн нь модультай байх болно бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнахүчин зүйлсийн модуль ба хүчин зүйлсийн аргументуудын нийлбэртэй тэнцүү аргумент. Тиймээс ядаж нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд нийлмэл тоонуудын үржвэр тэгтэй тэнцүү байх болно.

Жишээ: өгөгдсөн нийлмэл тоо z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Хай:

a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; в) z 1 z 2 .

a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; б) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; в) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (энд i 2 = - 1 гэдгийг харгалзан үзнэ).

Жишээ нь: дараах алхмуудыг дагана уу:

a) (2 + 3i) 2 ; б) (3 - 5i) 2 ; в) (5 + 3i) 3 .

a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; б) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; i 2 = - 1, i 3 = - i тул бид (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i-ийг авна.

Жишээ нь: үйлдэл хийх

a) (5 + 3i)(5 - 3i); б) (2 + 5i)(2 - 5i); в) (1 + i)(1 - i).

a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; б) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; в) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.

Комплекс тоонуудыг нэмэх, хасах нь алгебрийн хэлбэрээр хийхэд илүү тохиромжтой байдаг бол үржүүлэх, хуваах нь тригонометрийн нийлмэл тоон хэлбэрийг ашиглан хийхэд хялбар байдаг.

Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн дурын хоёр комплекс тоог авч үзье.

Эдгээр тоог үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ тригонометрийн томъёоны дагуу

Тиймээс нийлмэл тоонуудыг үржүүлэхдээ тэдгээрийн модулиуд болон аргументуудыг үржүүлдэг

нугалах. Энэ тохиолдолд модулиудыг тусад нь, аргументуудыг тусад нь хөрвүүлдэг тул тригонометрийн хэлбэрээр үржүүлэх нь алгебрийн хэлбэрээс илүү хялбар байдаг.

Тэгш байдал (1)-ээс дараах харилцаа үүснэ.

Хуваах нь үржүүлэхийн урвуу үйлдэл учраас бид үүнийг олж авдаг

Өөрөөр хэлбэл, хувийн модуль харьцаатай тэнцүү байнаногдол ашиг ба хуваагчийн модулиуд ба хуваагчийн аргумент нь ногдол ашиг ба хуваагчийн аргументуудын ялгаа юм.

Одоо энэ талаар ярилцъя геометрийн мэдрэмжнийлмэл тоог үржүүлэх. Формула (1) - (3) үржвэрийг олохын тулд эхлээд аргументыг нь өөрчлөхгүйгээр тооны модулийг нэмэгдүүлэх, дараа нь модулийг нь өөрчлөхгүйгээр үүссэн тооны аргументыг нэмэгдүүлэх шаардлагатайг харуулж байна. Эдгээр үйлдлүүдийн эхнийх нь геометрийн хувьд коэффициент бүхий О цэгтэй ижил төстэй байдлыг илэрхийлдэг бол хоёр дахь нь О цэгтэй тэнцүү өнцгөөр эргэхийг хэлнэ Энд нэг хүчин зүйл тогтмол, нөгөө хувьсагч байна гэж үзвэл үр дүнг томъёолж болно. дараах байдлаар: томъёо

Нарийн төвөгтэй тоо- Энэ бол бидний мэддэг олон зүйлийн хамгийн бага өргөтгөл юм бодит тоо. Тэдний үндсэн ялгаа нь квадрат нь -1 өгдөг элемент гарч ирэх явдал юм. би, эсвэл .

Аливаа комплекс тоо нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ. бодит ба төсөөлөл:

Тиймээс бодит тооны олонлог нь тэг төсөөллийн хэсэгтэй нийлмэл тооны олонлогтой давхцаж байгаа нь тодорхой байна.

Комплекс тоонуудын хамгийн алдартай загвар бол энгийн хавтгай юм. Цэг бүрийн эхний координат нь түүний бодит хэсэг, хоёр дахь нь түүний төсөөллийн хэсэг байх болно. Дараа нь цогцолбор тоонуудын үүрэг нь (0,0) цэгээс эхлэлтэй векторууд байх болно.

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Чухамдаа нийлмэл тоонуудын олонлогийн загварыг авч үзвэл хоёр нийлмэл тоог нэмэх (хасах), үржүүлэх нь вектор дээрх харгалзах үйлдлүүдтэй ижил аргаар хийгдэх нь ойлгомжтой юм. Мөн энэ нь гэсэн үг юм вектор бүтээгдэхүүнвекторууд, учир нь энэ үйлдлийн үр дүн нь дахин вектор болно.

1.1 Нэмэлт.

(Таны харж байгаагаар энэ үйлдэл нь яг тохирч байна)

1.2 ХасахҮүний нэгэн адил дараах дүрмийн дагуу үйлдвэрлэнэ.

2. Үржүүлэх.

3. Хэсэг.

Үржүүлэхийн урвуу үйлдэл гэж энгийнээр тодорхойлсон.

Тригонометрийн хэлбэр.

z цогцолбор тооны модуль нь дараах хэмжигдэхүүн юм.

,

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь (a,b) векторын зөвхөн модуль (урт) юм.

Ихэнх тохиолдолд комплекс тооны модулийг дараах байдлаар тэмдэглэдэг ρ.

Энэ нь харагдаж байна

z = ρ(cosφ+isinφ).

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэрээс шууд дараах зүйл гарч ирнэ. томъёо :

Сүүлчийн томъёог гэж нэрлэдэг Мойврын томъёо. Томъёо нь үүнээс шууд гардаг нийлмэл тооны n-р үндэс:

Тиймээс z цогцолбор тооны n-р үндэс байна.

Комплекс тоонуудыг нэмэх, хасах нь алгебрийн хэлбэрээр хийхэд илүү тохиромжтой байдаг бол үржүүлэх, хуваах нь тригонометрийн нийлмэл тоон хэлбэрийг ашиглан хийхэд хялбар байдаг.

Тригонометрийн хэлбэрээр өгөгдсөн дурын хоёр комплекс тоог авч үзье.

Эдгээр тоог үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ тригонометрийн томъёоны дагуу

Тиймээс нийлмэл тоонуудыг үржүүлэхдээ тэдгээрийн модулиуд болон аргументуудыг үржүүлдэг

нугалах. Энэ тохиолдолд модулиудыг тусад нь, аргументуудыг тусад нь хөрвүүлдэг тул тригонометрийн хэлбэрээр үржүүлэх нь алгебрийн хэлбэрээс илүү хялбар байдаг.

Тэгш байдал (1)-ээс дараах харилцаа үүснэ.

Хуваах нь үржүүлэхийн урвуу үйлдэл учраас бид үүнийг олж авдаг

Өөрөөр хэлбэл хуваагчийн модуль нь ногдол ашиг ба хуваагчийн модулиудын харьцаатай тэнцүү байх ба хуваагчийн аргумент нь ногдол ашиг ба хуваагчийн аргументуудын зөрүү юм.

Одоо нийлмэл тоог үржүүлэхийн геометрийн утгын талаар ярилцъя. Формула (1) - (3) үржвэрийг олохын тулд эхлээд аргументыг нь өөрчлөхгүйгээр тооны модулийг нэмэгдүүлэх, дараа нь модулийг нь өөрчлөхгүйгээр үүссэн тооны аргументыг нэмэгдүүлэх шаардлагатайг харуулж байна. Эдгээр үйлдлүүдийн эхнийх нь геометрийн хувьд коэффициент бүхий О цэгтэй ижил төстэй байдлыг илэрхийлдэг бол хоёр дахь нь О цэгтэй тэнцүү өнцгөөр эргэхийг хэлнэ Энд нэг хүчин зүйл тогтмол, нөгөө хувьсагч байна гэж үзвэл үр дүнг томъёолж болно. дараах байдлаар: томъёо

Нарийн нийлмэл тоо гэдэг нь бодит тоо гэж нэрлэгддэг хэлбэр бүхий тоо юм төсөөллийн нэгж. дугаарыг дуудаж байна бодит хэсэг() нийлмэл тоо, тоо гэж нэрлэдэг төсөөллийн хэсэг () нийлмэл тоо.

Цогцолбор тоог дараах байдлаар илэрхийлнэ нарийн төвөгтэй хавтгай:

Дээр дурдсанчлан үсэг нь ихэвчлэн бодит тоонуудын багцыг илэрхийлдэг. Олонадилхан нийлмэл тооихэвчлэн "том" эсвэл өтгөрүүлсэн үсгээр тэмдэглэдэг. Тиймээс, үсэг нь бидний нарийн төвөгтэй хавтгайтай болохыг харуулсан зураг дээр байрлуулсан байх ёстой.

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр. Комплекс тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах

Комплекс тоонуудын нэмэх

Хоёр нийлмэл тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн бодит болон төсөөлөл хэсгүүдийг нэмэх хэрэгтэй.

z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).

Комплекс тоонуудын хувьд эхний ангиллын дүрэм хүчинтэй байна: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – нөхцөлүүдийг дахин цэгцлэхээс нийлбэр өөрчлөгдөхгүй.

Цогцолбор тоонуудыг хасах

Үйлдэл нь нэмэхтэй төстэй бөгөөд цорын ганц онцлог нь хасалтыг хаалтанд хийж, дараа нь хаалтуудыг тэмдгийн өөрчлөлттэй стандарт аргаар нээх ёстой.

z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)

Комплекс тоонуудыг үржүүлэх

Комплекс тоонуудын үндсэн тэгш байдал:

Комплекс тоонуудын үржвэр:

z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).

Нийлбэрийн нэгэн адил нийлбэр тоонуудын үржвэр нь солигддог, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн: .

Комплекс тоонуудын хуваагдал

Тоо хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг хуваагч болон хуваагчийг хуваагчийн хавсарсан илэрхийллээр үржүүлэх замаар.

2 Асуулт. Нарийн төвөгтэй онгоц. Комплекс тоонуудын модуль ба аргументууд

z = a + i*b нийлмэл тоо бүр нь координаттай (a;b) цэгтэй, харин эсрэгээр (c;d) координаттай цэг бүр w = c + i* цогцолбор тоотой холбоотой байж болно. г. Тиймээс онгоцны цэгүүд болон цогцолбор тоонуудын хооронд нэгээс нэг захидал харилцаа тогтоогддог. Тиймээс комплекс тоонуудыг хавтгай дээрх цэгүүдээр илэрхийлж болно. Комплекс тоонуудыг дүрсэлсэн хавтгайг ихэвчлэн нэрлэдэг нарийн төвөгтэй хавтгай.

Гэсэн хэдий ч ихэвчлэн нийлмэл тоонуудыг О цэгээс эхлэлтэй вектор хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг, тухайлбал z = a + i*b цогцолбор тоог координаттай (a;b) цэгийн радиус вектор хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Энэ тохиолдолд өмнөх жишээн дэх комплекс тоонуудын зураг дараах байдалтай байна.

Хоёр комплекс тооны нийлбэрийн дүрс нь ба тоог илэрхийлэх векторуудын нийлбэртэй тэнцүү вектор юм. Өөрөөр хэлбэл нийлмэл тоог нэмэхэд тэдгээрийг төлөөлөх векторууд мөн нэмэгддэг.

z = a + i*b комплекс тоог радиус вектороор илэрхийлье. Дараа нь энэ векторын уртыг дуудна модуль z тоо бөгөөд |z|-ээр тэмдэглэнэ .

Тэнхлэгтэй тооны радиус векторын үүсгэсэн өнцгийг гэнэ маргаантоонуудыг arg z гэж тэмдэглэнэ. Тооны аргументыг дангаар нь биш, харин -ийн олон тооны дотор тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч, ихэвчлэн аргументыг 0-ээс эсвэл -т хүртэлх мужид зааж өгдөг. Үүнээс гадна тоо нь тодорхойгүй аргументтай.

Энэ хамаарлыг ашиглан та комплекс тооны аргументыг олж болно.

Түүгээр ч зогсохгүй эхний томъёо нь тухайн тооны дүрс нь эхний эсвэл дөрөвдүгээр улиралд, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь хэсэгт байгаа бол хүчинтэй байна. Хэрэв бол нийлмэл тоог Oy тэнхлэг дээрх вектороор илэрхийлэх ба аргумент нь /2 эсвэл 3*/2-тэй тэнцүү байна.

Өөр нэг ашигтай томьёог авч үзье. z = a + i*b гэж үзье. Дараа нь,