Квадрат - тодорхойлолт ба шинж чанарууд. Геометрийн хэлбэрүүд. Холбоонд суурилсан квадрат эвристик аргууд

"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудУлсын нэгдсэн шалгалтын шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, хөгжүүлэлт орон зайн төсөөлөл. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдвэрлэх үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.

Сонирхолтой асуултууд. Гурав квадрат тэнцүү 9. Дөрөв квадрат тэнцүү 16. Өнцөг квадрат гэж юу вэ? (90?) Хоёр тал нь тэнцүү гурвалжингийн нэр юу вэ? (исс өнцөгт) Гурвалжин хоёр мохоо өнцөгтэй байж болох уу? (үгүй) Өнцгийг хэмжих төхөөрөмжийг юу гэж нэрлэдэг вэ? (протектор) Гурвалжны өнцгийн нийлбэр хэд вэ? (180?) Хавтгайд огтлолцдоггүй шулууныг юу гэж нэрлэдэг вэ? (зэрэгцээ) Бүх талууд тэнцүү, өнцөг нь зөв байх параллелограммыг юу гэж нэрлэдэг вэ? (дөрвөлжин) Сегментийг хэмжих төхөөрөмжийг юу гэж нэрлэдэг вэ? (захирагч) Зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ? (180?) Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг юу гэж нэрлэдэг вэ? (перпендикуляр).

Слайд 14танилцуулгаас "Геометр яагаад хэрэгтэй вэ?".

Танилцуулга бүхий архивын хэмжээ 665 KB байна.

Геометр 7-р ангихураангуй

“Геометрийн үндсэн ойлголтууд” - Өнцөг гэдэг нь цэг ба хоёр цацрагаас бүрдэх геометрийн дүрс юм. Дүгнэлт. Гурвалжинг бүлэгт хувааж болно. Медианууд. Оргилууд. Зэрэгцээ шугамын тодорхойлолтыг өг. Хоёр шугамын зэрэгцээ байдлын шинж тэмдэг. Хэрэв хоёр шугам гуравны нэгтэй зэрэгцээ байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Тэнцүү сегментүүд ижил урттай байна. Сегмент нь шулуун шугамын нэг хэсэг юм. Шугамууд зэрэгцээ байна. Үр дагавар. Оройтой гурвалжин. Цэг. Галилео.

"Анхны геометрийн мэдээлэл" - Зураг дээр шулуун шугамын нэг хэсгийг хоёр цэгээр хязгаарласан байна. Нэг цэгээр дамжуулан та ямар ч тооны янз бүрийн шулуун шугам зурж болно. Геометрийн үндсэн мэдээлэл. Зориулалт. Аль цэг нь шугаманд хамаарах вэ. Газар дээр шулуун шугам өлгөх. Евклид. Платон (МЭӨ 477-347) - эртний Грекийн гүн ухаантан, Сократын шавь. Геометрийн танилцуулга. Родосын Евдемус (МЭӨ IV зуун) энэ нэр томъёоны гарал үүслийг тайлбарлав.

"Цэг, шулуун шугам, сегмент" - Шинэ материалыг засах. Сурсан зүйлээ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах. Сегмент. Оюутнуудад зарим баримтыг танилцуул. Зааврын дагуу дэвтэр дээр ажиллах. Оюутнууддаа мэндчилж байна. Шинэ материалыг судлахад бэлтгэж байна. Шинэ материал сурах. Цэг, шугам, сегмент. Шулуун шугам барих. Геометр хэрхэн үүссэн бэ. Хоёр цэгээр дамжуулан та шулуун шугам зурж болно, зөвхөн нэг. Нэг цэгээр олон шугам зурж болно.

"Дууссан зураг дээрх даалгавар" - Олно: FM. Зэрэгцээ шугамын шинж тэмдэг. Таны өнцөг. Баталгаажуулах: FB ll AC. Зэрэгцээ шугамыг ол. Биссектрис. Зэрэгцээ шугамын шинж чанарууд. Өнцөг. AB ll DC байх нөхцөлийг ол. Баталгаажуулах: AC ll ВD. Зэрэгцээ шугамыг заана уу. Секант. Шууд. Баталгаажуулах: АК бол биссектриса юм. Баталгаажуулах: AB ll CD. FB ll CM ямар нөхцөлд байгааг ол. Нөхцөл байдал. Cf-биссектрис. Баталгаажуулах: AB ll CD. Зэрэгцээ шугамууд. Дууссан зураг дээрх даалгавар.

“Барилгын асуудлыг шийдвэрлэх” - Перпендикуляр шугам барих. Геометрийн хувьд барилгын ажил нь ялгагдана. Гурван талыг ашиглан гурвалжин байгуулах. Луужингийн байршлыг харцгаая. Өнцөг A. Рэй AB ​​нь биссектриса юм. Өнцгийн биссектрисийг байгуулах. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан гурвалжин байгуулах. Сегментийн дунд цэгийг байгуулах. PO сегмент нь биссектрис, тиймээс медиан юм. Өгөгдсөн өнцөгтэй тэнцүү өнцөг байгуулах. Барилгын даалгавар.

“Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанар, шинж тэмдэг” - Гурвалжны биссектриса. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр. Өөрийн сэтгэл санааны гурвалжинг дуусга. Өндөр. Гурвалжны оройг эсрэг талын голд холбосон сегмент. Луужин ба захирагчтай барилгын ажил. Өндөр. Өнцгийн биссектрисын сегмент. Онцлог шинж чанартай. Талууд. Чанартай. Судалгааны ажил. Бидний хичээлийн уриа. Гурвалжны шинж чанарууд. "Өмч" гэсэн ойлголт. Өнцгийг ол. Тэгш талт гурвалжин.

Дөрвөлжиннь дөрвөлжин хэлбэртэй байна тэнцүү талуудболон булангууд.

Дөрвөлжингийн диагональнь түүний эсрэг талын хоёр оройг холбосон сегмент юм.

Параллелограмм, ромб, тэгш өнцөгт нь тэгш өнцөгт, талуудын урт, диагональ нь ижил байвал дөрвөлжин болно.

Дөрвөлжингийн шинж чанарууд

1. Талбайн талуудын урт нь тэнцүү байна.

AB=BC=CD=DA

2. Дөрвөлжингийн бүх өнцөг зөв байна.

\ өнцөг ABC = \ өнцөг BCD = \ өнцөг CDA = \ өнцөг DAB = 90 ^ (\ тойрог)

3. Талбайн эсрэг талууд нь хоорондоо параллель байна.

AB\зэрэгцээ CD, BC\зэрэгцээ AD

4. Квадратын бүх өнцгийн нийлбэр 360 градус байна.

\angle ABC + \angle BCD + \өнцөг CDA + \өнцөг DAB = 360^(\circ)

5. Диагональ ба хажуугийн хоорондох өнцөг нь 45 градус байна.

\ өнцөг BAC = \ өнцөг BCA = \ өнцөг CAD = \ өнцөг ACD = 45 ^ (\ тойрог)

Баталгаа

Квадрат нь ромб \Баруун тийш AC нь А өнцгийн биссектриса бөгөөд 45^(\circ)-тэй тэнцүү байна. Дараа нь АС нь \angle A ба \angle C-ийг 45^(\circ) 2 өнцөгт хуваана.

6. Квадратын диагональууд нь ижил, перпендикуляр ба огтлолцлын цэгээр хуваагдсан байна.

AO = BO = CO = DO

\өнцөг AOB = \өнцөг BOC = \өнцөг COD = \өнцөг AOD = 90^(\цирк)

AC = BD

Баталгаа

Квадрат нь тэгш өнцөгт тул \Баруун сум диагональ нь тэнцүү; оноос хойш - rhombus \Баруун сум диагональууд перпендикуляр байна. Мөн энэ нь параллелограмм учраас \Баруун сум диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана.

7. Диагональ бүр нь квадратыг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана.

\triangle ABD = \triangle CBD = \гурвалжин ABC = \гурвалжин ACD

8. Хоёр диагональ нь квадратыг 4 тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана.

\ гурвалжин AOB = \ гурвалжин BOC = \ гурвалжин ТБХ = \ гурвалжин AOD

9. Хэрэв квадратын тал нь a-тай тэнцүү бол диагональ нь a \sqrt(2) -тай тэнцүү байна.

Холбоонд суурилсан эвристик аргууд

2. Байшин шатаж байсан. Галыг унтрааж чадахгүй байна. Гэвч тэр хүн шатаж буй байшин руу орсон бөгөөд хэн ч түүнийг зогсоосонгүй. Яагаад?

3. Өрөөнд хоёр хүн орж ирээд алуурчин, түүний цуст хохирогчийг хараад, харсан зүйлээ ярилцаж, тайван орхив. Яагаад?

4. Зохиолч өгүүлбэрээ дуусгаад цэг тавив. "Бага аялсан зам" романыг дуусгасан. Гэнэт тэр гар бичмэлийг шүүрэн авч, "Хийгдээгүй зам" алга болжээ ... Юу болсон бэ?

Холбоонууд- эдгээр нь ямар нэгэн нөлөөллийн хариуд, жишээлбэл, үгэнд хариу үйлдэл үзүүлэхийн тулд хүний ​​​​оюун санаанд үүсдэг дүр зураг юм. Холбооны мөн чанар нь үзэгдэл, үзэл баримтлалын хооронд, заримдаа бие биенээсээ маш хол харилцаа холбоо тогтоох явдал юм.

Хамгийн энгийн техникхолбоо үүсгэх - нэг өдөөгч үгэнд хурдан хариу үйлдэл үзүүлэх. Энэ аргыг ихэвчлэн нэг хүн эсвэл хэсэг хүмүүс тодорхой хугацааны (жишээлбэл, нэг минут) ижил үгийн холбоог хайж байх үед ашигладаг. Энэ тохиолдолд анхдагч холбоод гэж нэрлэгддэг бөгөөд нэг үгэнд хариулах тоо нь ихэвчлэн 10 дотор хэлбэлздэг. Цаг алдалгүй илэрхийлсэн анхдагч холбоодоос гадна хүн олон тооны нэмэлт холбоог үүсгэж болно. Эдгээр холбоо нь авч үзэж буй ойлголт эсвэл объектын гэнэтийн, өчүүхэн бус шинж чанарыг олж илрүүлэх боломжийг олгодог.

Аль ч хоёр ойлголтын хооронд та ассоциатив шилжилтийг 4-5 алхамаар хийж болно. Жишээлбэл, "гал" гэсэн ойлголтоос бие биенээсээ маш хол байдаг "туулай" гэсэн ойлголт руу шилжих нь "гал - дулаан - зуух - түлээ - ой - туулай" шиг харагдаж болно. Хоёр ойлголтын хооронд янз бүрийн үргэлжлэх хугацаатай хэд хэдэн ассоциатив шилжилтийг олж болно: 5-аас 50 алхам хүртэл. Хүний төсөөлөл хэдий чинээ хөгжих тусам ассоциатив шилжилтийг төдий чинээ хол олдог.

Бусдад үр дүнтэй аргахөгжил ассоциатив сэтгэлгээнь бүрэн бие даасан эсвэл эсрэг тэсрэг хоёр мэдэгдэл (мэдэгдэл) хооронд ассоциатив шилжилтийг бий болгох явдал юм. Жишээлбэл, "Аянга дуугарах үед ..." ба "Таны үзэг цүнхнээсээ гарлаа" гэсэн хэллэгүүдийн хооронд ассоциатив шилжилтийг олох хэрэгтэй. Эхлээд харахад тэдний хооронд ямар ч холбоо байхгүй. Гэхдээ бид тэдгээрийг жишээ болгон авсан тул шилжилтийг олохыг хичээцгээе. Боломжит шилжилтүүдийн нэг нь иймэрхүү байж болно: "Аянга дуугарах үед хүн бүр удахгүй бороо орно гэдгийг ойлгодог - бороо орно, та гэртээ хурдан харих хэрэгтэй - та автобусаар хурдан очих боломжтой - бүгд автобус руу гүйж байна, мөн Та ч мөн адил - автобусны үүдэнд "Чиний бариул цүнхнээсээ салдаг" гэсэн сэтгэл хөдлөл үүсдэг. Таны харж байгаагаар энэ нь зургаан алхамын богино шилжилт болж хувирсан. Ассоциатив сэтгэлгээг хөгжүүлэхийн тулд та хамгийн хол замыг олохыг хичээх хэрэгтэй хамгийн том тооалхам.

Тэдгээр нь ижил урттай диагональ, тал ба тэгш өнцөгтэй байх үед.

Дөрвөлжингийн шинж чанарууд.

Талбайн бүх 4 тал ижил урт, өөрөөр хэлбэл квадратын талууд тэнцүү байна:

AB = BC = CD = AD

Талбайн эсрэг талууд параллель байна:

AB|| CD, МЭӨ|| МЭ

Бүх диагональууд нь дөрвөлжингийн буланг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг тул квадратын булангийн биссектрис болж хувирдаг.

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

∠ ACB =∠ ACD =∠ BDC =∠ BDA =∠ CAB =∠ CAD =∠ DBC =∠ DBA = 45 °

Диагональууд нь квадратыг 4 ижил гурвалжинд хуваадаг бөгөөд үүнээс гадна үүссэн гурвалжин нь тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Дөрвөлжингийн диагональ.

Дөрвөлжингийн диагональквадратын эсрэг талын булангийн 2 оройг холбосон дурын сегмент юм.

Аливаа квадратын диагональ нь энэ квадратын талаас √2 дахин их байна.

Квадрат диагональ уртыг тодорхойлох томъёо:

1. Квадратын хажуугийн хувьд квадратын диагональыг тодорхойлох томъёо:

2. Квадратын талбайн диагональыг тодорхойлох томъёо:

3. Дөрвөлжингийн периметрээр дамжин өнгөрөх квадратын диагональыг тодорхойлох томъёо:

4. Квадрат өнцгийн нийлбэр = 360°:

5. Ижил урттай квадратын диагональ:

6. Дөрвөлжингийн бүх диагональууд нь квадратыг тэгш хэмтэй 2 ижил дүрс болгон хуваана.

7. Квадратын диагональуудын огтлолцлын өнцөг нь 90°, хоорондоо огтлолцсон, диагональууд нь хоёр тэнцүү хэсэгт хуваагдана.

8. Сегментийн уртыг ашиглан квадратын диагональыг тодорхойлох томъёо би:

9. Дөрвөлжингийн диагональыг бичээстэй тойргийн радиусаар тодорхойлох томъёо:

Р- бичээстэй тойргийн радиус;

Д- бичээстэй тойргийн диаметр;

г- квадратын диагональ.

10. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусаар квадратын диагональыг тодорхойлох томъёо:

Р- хүрээлэгдсэн тойргийн радиус;

Д- хязгаарлагдсан тойргийн диаметр;

г- диагональ.

11. Дөрвөлжингийн хажуугийн булангаас дунд хүртэл үргэлжилсэн шугамаар дөрвөлжингийн диагональыг тодорхойлох томъёо:

C- талбайн хажуугийн булангаас дунд хүртэл үргэлжилсэн шугам;

г- диагональ.

Дөрвөлжин дотор бичээстэй тойрог- энэ бол дөрвөлжингийн талуудын дунд цэгүүдтэй зэргэлдээх тойрог бөгөөд дөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцол дээр төвтэй байдаг.

Бичсэн тойргийн радиус- талбайн тал (хагас).

Дөрвөлжин дотор бичсэн тойргийн талбайквадратын талбайгаас π/4 дахин бага.

Квадратыг тойруулан тойрсон тойрог- энэ бол дөрвөлжингийн 4 оройг дайран өнгөрч, дөрвөлжингийн диагональуудын огтлолцол дээр төвтэй тойрог юм.

Эргэн тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус дөрвөлжинбичээстэй тойргийн радиусаас √2 дахин их байна.

Квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус 1/2 диагональтай тэнцүү.

Дөрвөлжингийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбай том талбайижил квадратыг π/2 дахин нэмэгдүүлнэ.