Нуманыг олох. Тойргийн секторын талбай ба түүний нумын уртын томъёо

Тойрог, түүний хэсгүүд, тэдгээрийн хэмжээ, харилцаа холбоо нь үнэт эдлэлийн хүн байнга тулгардаг зүйл юм. Бөгж, бугуйвч, каст, хоолой, бөмбөлөг, спираль - маш олон дугуй хэлбэртэй зүйлийг хийх хэрэгтэй. Та энэ бүхнийг яаж тооцоолох вэ, ялангуяа сургуульдаа геометрийн хичээл алгасах аз тохиосон бол?..

Эхлээд тойрог ямар хэсгүүдтэй, юу гэж нэрлэгддэгийг харцгаая.

• Тойрог нь тойрог доторх шугам юм.
• Нуман бол тойргийн нэг хэсэг юм.
• Радиус нь тойргийн төвийг тойргийн дурын цэгтэй холбосон хэрчм юм.
• Хөвч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент юм.
• Сегмент нь хөвч ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.
• Сектор гэдэг нь хоёр радиус ба нумаар хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.

Бидний сонирхож буй тоо хэмжээ, тэдгээрийн тэмдэглэгээ:

Одоо тойргийн хэсгүүдтэй холбоотой ямар асуудлыг шийдэх ёстойг харцгаая.

• Бөгжний (бугуйвч) аль ч хэсгийн хөгжлийн уртыг ол. Диаметр ба хөвчийг (сонголт: диаметр ба төв өнцөг) өгөгдсөн бол нумын уртыг ол.
• Онгоц дээр зураг байгаа тул та нуман хэлбэрээр нугасны дараа түүний хэмжээг проекцоор олж мэдэх хэрэгтэй. Нумын урт ба диаметрийг өгснөөр хөвчний уртыг ол.
• Хавтгай бэлдэцийг нуман хэлбэрээр нугалахад олж авсан хэсгийн өндрийг олоорой. Өгөгдлийн оролтын сонголтууд: нумын урт ба диаметр, нумын урт ба хөвч; сегментийн өндрийг ол.

Амьдрал танд өөр жишээ өгөх болно, гэхдээ би зөвхөн бусад бүх зүйлийг олохын тулд зарим хоёр параметрийг тохируулах шаардлагатайг харуулахын тулд эдгээрийг өгсөн. Энэ бол бидний хийх зүйл юм. Тухайлбал, бид сегментийн таван параметрийг авдаг: D, L, X, φ ба H. Дараа нь тэдгээрээс бүх боломжит хосуудыг сонгоод тэдгээрийг анхны өгөгдөл гэж үзэх болно. тархины шуургабусад бүгдийг ол.

Уншигчдад дэмий ачаалал өгөхгүйн тулд нарийвчилсан шийдлүүдБи тэдэнд өгөхгүй, харин зөвхөн үр дүнг томъёо хэлбэрээр өгөх болно (албан ёсны шийдэл байхгүй тохиолдолд би энэ талаар ярилцах болно).

Бас нэг тэмдэглэл: хэмжлийн нэгжийн тухай. Төв өнцгөөс бусад бүх хэмжигдэхүүнийг ижил хийсвэр нэгжээр хэмждэг. Энэ нь жишээлбэл, хэрэв та нэг утгыг миллиметрээр зааж өгсөн бол нөгөөг нь сантиметрээр зааж өгөх шаардлагагүй бөгөөд үр дүнгийн утгыг ижил миллиметрээр (мөн квадрат миллиметрээр) хэмжинэ гэсэн үг юм. Инч, фут, далайн милийн талаар мөн адил хэлж болно.

Бүх тохиолдолд зөвхөн төв өнцгийг градусаар хэмждэг бөгөөд өөр юу ч биш. Яагаад гэвэл дугуй хэлбэртэй ямар нэг зүйлийг зохион бүтээдэг хүмүүс өнцгийг радианаар хэмжих хандлагатай байдаггүй. "Өнцөг пи дөрөв" гэсэн хэллэг нь олныг төөрөлдүүлдэг бол "дөчин таван градусын өнцөг" нь ердийнхөөс ердөө таван градусаар илүү байдаг тул хүн бүрт ойлгомжтой байдаг. Гэсэн хэдий ч бүх томъёонд завсрын утга болох өөр нэг өнцөг - α байх болно. Энэ нь радианаар хэмжигддэг төв өнцгийн хагас нь гэсэн утгыг илэрхийлдэг боловч та энэ утгыг сайтар судалж чадахгүй.

1. D диаметр ба нумын урт L өгөгдсөн

; хөвчний урт ;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

2. Өгөгдсөн D диаметр ба хөвчний урт X

; нумын урт;
сегментийн өндөр ; төв өнцөг .

Хөвч нь тойргийг хоёр сегмент болгон хуваадаг тул энэ асуудал нэг биш, хоёр шийдэлтэй байна. Хоёрдахь өнцгийг авахын тулд дээрх томьёо дахь α өнцгийг өнцгөөр солих хэрэгтэй.

3. D диаметр ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

4. H сегментийн D диаметр ба өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт;
хөвчний урт ; төв өнцөг .

6. Өгөгдсөн нумын урт L ба төвийн өнцөг φ

; диаметр;
хөвчний урт ; сегментийн өндөр .

8. Хөвчний урт X ба төвийн өнцөг φ өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; сегментийн өндөр .

9. Х хөвчний урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

; нумын урт ;
диаметр; төв өнцөг .

10. Төвийн өнцөг φ ба H сегментийн өндрийг өгөв

; диаметр ;
нумын урт; хөвчний урт .

Анхааралтай уншигч намайг хоёр сонголтыг алдсаныг анзаарахгүй байж чадсангүй.

5. Өгөгдсөн нумын урт L ба хөвчний урт X

7. L нумын урт ба H сегментийн өндрийг өгөгдсөн

Эдгээр нь асуудалд томъёо хэлбэрээр бичиж болох шийдэлгүй хоёр таагүй тохиолдол юм. Мөн даалгавар нь тийм ч ховор биш юм. Жишээлбэл, та L урттай хавтгай хэсэгтэй бөгөөд урт нь X (эсвэл өндөр нь H) болохын тулд нугалахыг хүсч байна. Би ямар диаметртэй мандал (хөндлөвч) авах ёстой вэ?

Энэ асуудал нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг.
; - 5-р хувилбарт
; - 7-р хувилбарт
мөн тэдгээрийг аналитик аргаар шийдвэрлэх боломжгүй ч программын аргаар хялбархан шийдэж болно. Мөн би ийм програмыг хаанаас авахаа мэддэг: яг энэ сайт дээр, нэрийн дор. Миний энд урт удаан хэлж байгаа бүх зүйлийг тэр микросекундэд хийдэг.

Зургийг дуусгахын тулд бидний тооцооллын үр дүнд тойрог, талбайн гурван утгыг нэмнэ үү - тойрог, салбар, сегмент. (Бүх дугуй ба хагас дугуй хэсгүүдийн массыг тооцоолоход талбайнууд бидэнд маш их туслах болно, гэхдээ энэ талаар тусдаа өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.) Эдгээр бүх хэмжигдэхүүнийг ижил томъёогоор тооцоолно.

тойрог;
тойргийн талбай ;
салбарын бүс ;
сегментийн талбай ;

Эцэст нь хэлэхэд туйлын оршин тогтнох тухай дахин сануулъя үнэгүй програм, дээрх бүх тооцооллыг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь арктангенс гэж юу болох, түүнийг хаанаас хайхаа санахаас чөлөөлнө.

"A авах" видео хичээл нь амжилтанд хүрэхэд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно Улсын нэгдсэн шалгалтанд тэнцсэнматематикийн хичээлээр 60-65 оноо авсан. 1-13 хүртэлх бүх асуудлыг бүрэн гүйцэд Профайл Улсын нэгдсэн шалгалтматематикт. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудУлсын нэгдсэн шалгалтын шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. онол, лавлах материал, Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэх хуудас, хөгжүүлэлт орон зайн төсөөлөл. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шийдвэрлэх үндэс нарийн төвөгтэй даалгаварУлсын нэгдсэн шалгалтын 2 хэсэг.

Та тойрогтой холбоотой бүх нэрийг хэр сайн санаж байна вэ? Ямар ч тохиолдолд бид танд сануулъя - зургуудыг хараарай - мэдлэгээ сэргээгээрэй.

За, юуны түрүүнд - Тойргийн төв нь тойрог дээрх бүх цэгүүдийн хоорондох зай нь ижил цэг юм.

Хоёрдугаарт - радиус - төв ба тойрог дээрх цэгийг холбосон шугамын хэсэг.

Маш олон радиусууд байдаг (тойрог дээр хэдэн цэг байгаа бол), гэхдээ Бүх радиус ижил урттай байна.

Заримдаа богинохон радиустэд үүнийг яг дууддаг сегментийн урт"Төв нь тойрог дээрх цэг бөгөөд сегмент нь өөрөө биш".

Тэгээд юу болох нь энд байна Хэрэв та тойрог дээрх хоёр цэгийг холбовол? Бас сегмент үү?

Тиймээс энэ сегментийг нэрлэдэг "хкорд".

Радиусын хувьд голч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон, төвийг дайран өнгөрөх сегментийн урт юм. Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг радиус нь диаметрийн хагастай тэнцүү байна.

Аккордуудаас гадна бас байдаг секантууд.

Хамгийн энгийн зүйлийг санаж байна уу?

Төвийн өнцөг нь хоёр радиусын хоорондох өнцөг юм.

Тэгээд одоо - бичээстэй өнцөг

Бичсэн өнцөг - тойрог дээрх цэг дээр огтлолцох хоёр хөвчний хоорондох өнцөг.

Энэ тохиолдолд тэд бичээстэй өнцөг нь нуман (эсвэл хөвч) дээр байрладаг гэж хэлдэг.

Зургийг харна уу:

Нуман ба өнцгийн хэмжилт.

Тойрог. Нуман ба өнцгийг градус, радианаар хэмждэг. Нэгдүгээрт, градусын тухай. Өнцгийн хувьд ямар ч асуудал байхгүй - та нумыг градусаар хэрхэн хэмжих талаар сурах хэрэгтэй.

Зэрэглэлийн хэмжүүр (нумын хэмжээ) нь харгалзах төв өнцгийн утга (градусаар) юм

Энд "тохиромжтой" гэдэг үг ямар утгатай вэ? Анхааралтай харцгаая:

Та хоёр нум, хоёр төв өнцгийг харж байна уу? За ингээд, том нумантом өнцөгтэй тохирч (мөн энэ нь том байх нь зүгээр юм), жижиг нум нь жижиг өнцөгт тохирно.

Тиймээс бид тохиролцсон: нуман нь харгалзах төвийн өнцөгтэй ижил тооны градусыг агуулна.

Тэгээд одоо аймшигтай зүйлийн тухай - радианы тухай!

Энэ “радиан” ямар араатан бэ?

Төсөөлөөд үз: Радиан бол өнцгийг хэмжих арга юм... радиус!

Радианы өнцөг нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

Дараа нь асуулт гарч ирнэ - шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ?

Өөрөөр хэлбэл: хагас тойрогт хэдэн радиус "тохих" вэ? Эсвэл өөр аргаар: хагас тойргийн урт нь радиусаас хэд дахин их вэ?

Эрдэмтэд энэ асуултыг дахин асуув Эртний Грек.

Тиймээс тэд удаан хайсны эцэст тойргийн радиустай харьцуулсан харьцааг "хүний" тоо гэх мэтээр илэрхийлэхийг хүсэхгүй байгааг олж мэдэв.

Энэ хандлагыг язгуураар илэрхийлэх ч боломжгүй. Өөрөөр хэлбэл, хагас тойрог нь радиусаас дахин эсвэл дахин том гэж хэлэх боломжгүй юм! Хүмүүс үүнийг анх удаа олж мэдсэн нь ямар гайхалтай байсныг та төсөөлж байна уу?! Хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулахын тулд "хэвийн" тоонууд хангалтгүй байв. Би захидал оруулах ёстой байсан.

Тэгэхээр, - энэ нь хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулсан харьцааг илэрхийлсэн тоо юм.

Одоо бид асуултанд хариулж чадна: шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ? Энэ нь радианыг агуулдаг. Учир нь тойргийн тал нь радиусаас хэд дахин том байдаг.

Олон зууны туршид эртний (мөн тийм ч эртний биш) хүмүүс (!) Энэ нууцлаг тоог илүү нарийвчлалтай тооцоолохыг хичээж, үүнийг "ердийн" тоогоор (ядаж ойролцоогоор) илүү сайн илэрхийлэхийг оролдсон. Одоо бид үнэхээр залхуу байна - завгүй өдрийн дараах хоёр шинж тэмдэг бидэнд хангалттай, бид дассан

Бодоод үз дээ, энэ нь жишээлбэл, нэг радиустай тойргийн урт нь ойролцоогоор тэнцүү гэсэн үг боловч яг энэ уртыг "хүний" тоогоор бичих боломжгүй юм - танд үсэг хэрэгтэй. Тэгээд энэ тойрог тэнцүү байх болно. Мэдээжийн хэрэг, радиусын тойрог тэнцүү байна.

Радиан руу буцаж орцгооё.

Шулуун өнцөг нь радиануудыг агуулна гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн.

Бидэнд байгаа зүйл:

Тиймээс, баяртай, өөрөөр хэлбэл баяртай байна. Үүнтэй адилаар хамгийн алдартай өнцөг бүхий хавтанг олж авдаг.

Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.

Гайхалтай баримт бий:

Бичсэн өнцөг нь харгалзах төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.

Зураг дээр энэ мэдэгдэл хэрхэн харагдаж байгааг хараарай. "Харгалзах" төв өнцөг нь төгсгөлүүд нь бичээстэй өнцгийн төгсгөлүүдтэй давхцаж, орой нь төвд байрладаг өнцөг юм. Үүний зэрэгцээ "харгалзах" төв өнцөг нь бичээстэй өнцөгтэй ижил хөвчийг () "харах" ёстой.

Яагаад ийм байна вэ? Эхлээд энгийн нэгэн тохиолдлыг авч үзье. Нэг хөвчийг голоор нь дамжуулаарай. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог, тийм ээ?

Энд юу болдог вэ? Ингээд авч үзье. Эцсийн эцэст энэ нь isosceles ба радиус юм. Тиймээс, (тэдгээрийг шошгосон).

Одоо харцгаая. Энэ бол гадна талын булан юм! Гадаад өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид санаж, бичнэ үү.

Энэ нь! Гэнэтийн нөлөө. Гэхдээ бичээсийн хувьд төв өнцөг бас байдаг.

Энэ нь энэ тохиолдолд тэд төв өнцөг нь бичээстэй өнцгөөс хоёр дахин их болохыг нотолсон гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ бол үнэхээр онцгой тохиолдол юм: хөвч үргэлж голоор дамждаггүй гэдэг нь үнэн биш гэж үү? Гэхдээ зүгээр, одоо энэ тохиолдол бидэнд маш их тус болно. Хараарай: хоёр дахь тохиолдол: төвийг дотор нь хэвтүүлнэ.

Үүнийг хийцгээе: диаметрийг зур. Тэгээд ... бид эхний тохиолдолд аль хэдийн дүн шинжилгээ хийсэн хоёр зургийг харж байна. Тиймээс бидэнд энэ нь аль хэдийн бий

Энэ нь (зураг дээр, a) гэсэн үг юм.

За, энэ нь сүүлчийн тохиолдлыг үлдээдэг: төв нь булангийн гадна талд байна.

Бид ижил зүйлийг хийдэг: голчийг цэгээр нь зур. Бүх зүйл адилхан, гэхдээ нийлбэрийн оронд ялгаа байдаг.

Ингээд л болоо!

Одоо бичээстэй өнцөг нь төвийн өнцгийн хагас байна гэсэн мэдэгдлээс хоёр үндсэн бөгөөд маш чухал үр дагаврыг бий болгоё.

Дүгнэлт 1

Нэг нуман дээр суурилсан бүх бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.

Бид харуулж байна:

Нэг нуман дээр үндэслэсэн тоо томшгүй олон тооны бичээстэй өнцөгүүд байдаг (бидэнд энэ нум байгаа), тэдгээр нь огт өөр харагдаж магадгүй, гэхдээ бүгд ижил төв өнцөгтэй () бөгөөд энэ нь эдгээр бүх бичээстэй өнцөгүүд хоорондоо тэнцүү гэсэн үг юм.

Дүгнэлт 2

Диаметрт хамаарах өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Хараач: аль өнцөгт төвлөрдөг вэ?

Мэдээж, . Гэхдээ тэр тэнцүү! За, тиймээс (түүнчлэн өөр олон бичээстэй өнцөгүүд дээр тулгуурласан) ба тэнцүү байна.

Хоёр хөвч ба секантын хоорондох өнцөг

Гэхдээ бидний сонирхож буй өнцөг нь бичээсгүй, төвлөрсөн биш, жишээ нь дараах байдалтай байвал яах вэ?

эсвэл ийм үү?

Үүнийг ямар нэгэн төв өнцгөөр илэрхийлэх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болох нь харагдаж байна. Хараач: бид сонирхож байна.

a) (гадна булан болгон). Гэхдээ - бичээстэй, нуман дээр тулгуурладаг -. - бичээстэй, нуман дээр тулгуурласан - .

Гоо сайхны хувьд тэд:

Хөвчний хоорондох өнцөг нь энэ өнцөгт бэхлэгдсэн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Тэд үүнийг товчхон бичихийн тулд бичдэг, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, энэ томъёог ашиглахдаа төв өнцгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй

б) Одоо - "гадаа"! Энэ яаж байж болох вэ? Тийм ээ, бараг адилхан! Зөвхөн одоо (бид гадаад өнцгийн шинж чанарыг дахин ашигладаг). Яг одоо.

Энэ нь ... гэсэн үг юм. Тэмдэглэл, үг хэллэгт гоо үзэсгэлэн, товчлолыг оруулцгаая:

Секантын хоорондох өнцөг нь энэ өнцгөөр бэхлэгдсэн нумануудын өнцгийн утгын зөрүүний хагастай тэнцүү байна.

За, одоо та тойрогтой холбоотой өнцгийн талаархи бүх үндсэн мэдлэгээр зэвсэглэсэн байна. Үргэлжлүүл, сорилтуудыг даван туул!

ТОЙРОГ БА ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ДУНД ТҮВШИН

Таван настай хүүхэд хүртэл тойрог гэж юу байдгийг мэддэг биз дээ? Математикчид үргэлж энэ сэдвээр бүдүүлэг тодорхойлолттой байдаг, гэхдээ бид үүнийг өгөхгүй (харна уу), харин тойрогтой холбоотой цэг, шугам, өнцгийг юу гэж нэрлэдэгийг санацгаая.

Чухал нөхцөлүүд

За, юуны түрүүнд:

тойргийн төв- тойрог дээрх бүх цэгүүд ижил зайтай байх цэг.

Хоёрдугаарт:

Өөр нэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн илэрхийлэл байдаг: "Хөвч нумыг агшаадаг." Энд зураг дээр, жишээлбэл, хөвч нь нумын дэд хэсэг юм. Хэрэв хөвч гэнэт төвөөр дамжин өнгөрвөл "диаметр" гэсэн тусгай нэртэй болно.

Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг

Одоо - булангийн нэрс.

Байгалийн, тийм үү? Өнцгийн талууд нь төвөөс сунадаг - энэ нь өнцөг нь төв гэсэн үг юм.

Эндээс заримдаа хүндрэл гардаг. Анхаар - Тойрог дотор ямар ч өнцгийг бичээгүй,гэхдээ зөвхөн орой нь тойрог дээр "сууж" байдаг.

Зурган дээрх ялгааг харцгаая:

Өөр нэг арга бол тэд ингэж хэлдэг:

Энд нэг төвөгтэй зүйл бий. "Харгалзах" эсвэл "өөрийн" төв өнцөг гэж юу вэ? Зөвхөн тойргийн төв хэсэгт оройтой өнцөг, нумын төгсгөлд байгаа төгсгөлүүд үү? Үнэхээр биш. Зургийг хар.

Гэсэн хэдий ч тэдний нэг нь булан шиг харагдахгүй байна - энэ нь илүү том юм. Гэхдээ гурвалжин илүү олон өнцөгтэй байж болохгүй, гэхдээ тойрог нь сайн байж болно! Тиймээс: жижиг AB нум нь жижиг өнцөгт (улбар шар), том нум нь том хэмжээтэй тохирч байна. Яг л тийм биз дээ?

Бичсэн болон төв өнцгийн хэмжээ хоорондын хамаарал

Энэ маш чухал мэдэгдлийг санаарай:

Сурах бичигт тэд энэ баримтыг дараах байдлаар бичих дуртай байдаг.

Төв өнцгөөр найруулга нь илүү хялбар байдаг нь үнэн биш гэж үү?

Гэсэн хэдий ч хоёр томъёоны хоорондох захидал харилцааг олж, зурган дээрээс "харгалзах" төв өнцөг болон бичээстэй өнцөг "байдаг" нумыг олж сурцгаая.

Хараач: энд тойрог ба бичээстэй өнцөг байна:

Түүний "харгалзах" төв өнцөг хаана байна вэ?

Дахин харцгаая:

Дүрэм гэж юу вэ?

Гэхдээ! Энэ тохиолдолд бичээстэй болон төв өнцөг нь нумыг нэг талаас нь "харах" нь чухал юм. Энд жишээ нь:

Хачирхалтай нь, цэнхэр! Учир нь нуман урт, тойргийн хагасаас илүү урт! Тиймээс хэзээ ч бүү андуур!

Бичсэн өнцгийн "хагас" байдлаас ямар үр дагавар гарах вэ?

Гэхдээ жишээ нь:

Диаметрээр багассан өнцөг

Математикчид ижил зүйлийн талаар ярих дуртай байдгийг та аль хэдийн анзаарсан байх. өөр үгээр? Тэдэнд яагаад энэ хэрэгтэй байна вэ? Та харж байна уу, математикийн хэл хэдийгээр албан ёсны боловч амьд, тиймээс үүнтэй адил юм энгийн хэл, би үүнийг илүү тохиромжтой байдлаар хэлэхийг хүсч байна. "Нум дээр тулгуурласан өнцөг" гэж юу болохыг бид аль хэдийн үзсэн. Үүнтэй ижил зургийг "өнцөг хөвч дээр тогтдог" гэж төсөөлөөд үз дээ. Аль нь вэ? Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нумыг чангалж байгаа хүнд!

Хэзээ нумаас илүү хөвч дээр найдах нь илүү тохиромжтой вэ?

За, ялангуяа энэ хөвч нь диаметртэй үед.

Ийм нөхцөл байдалд гайхалтай энгийн, үзэсгэлэнтэй, хэрэгтэй мэдэгдэл байдаг!

Хараач: энд тойрог, диаметр, түүн дээр тулгуурласан өнцөг байна.

ТОЙРОГ БА ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

1. Үндсэн ойлголтууд.

3. Нуман ба өнцгийн хэмжилт.

Радианы өнцөг нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.

Энэ нь хагас тойргийн уртыг түүний радиустай харьцуулсан тоо юм.

Радиусын тойрог нь тэнцүү байна.

4. Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та эцсээ хүртэл уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ бол гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - Сурах бичиг худалдаж аваарай - 499 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

ТойрогХаалттай хавтгай муруй гэж нэрлэгддэг бөгөөд нэг хавтгайд байрлах бүх цэгүүд нь төвөөс ижил зайд арилдаг.

Цэг ТУХАЙ тойргийн төв, Р нь тойргийн радиус - тойргийн аль ч цэгээс төв хүртэлх зай. Тодорхойлолтоор бол хаалттай бүх радиусууд

будаа. 1

муруйнууд ижил урттай байна.

Тойрог дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг хөвч гэж нэрлэдэг. Тойргийнхоо төвийг дайран хоёр цэгийг холбосон хэрчимийг диаметр гэнэ. Диаметрийн дунд цэг нь тойргийн төв юм. Тойрог дээрх цэгүүд нь битүү муруйг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд хэсэг бүрийг дугуй нум гэж нэрлэдэг. Хэрэв нумын төгсгөлүүд нь диаметртэй байвал ийм тойргийг хагас тойрог гэж нэрлэдэг бөгөөд уртыг нь ихэвчлэн тэмдэглэдэг. π . Нийтлэг төгсгөлтэй хоёр тойргийн хэмжүүр нь 360 градус байна.

Төвлөрсөн тойрог нь нийтлэг төвтэй тойрог юм. Ортогональ тойрог нь 90 градусын өнцгөөр огтлолцсон тойрог юм.

Тойргоор хүрээлэгдсэн онгоцыг тойрог гэнэ. Хоёр радиус ба нумаар хязгаарлагдсан тойргийн нэг хэсэг нь дугуй хэлбэртэй салбар юм. Салбарын нум нь салбарыг хязгаарлах нум юм.

Цагаан будаа. 2

Тойрог ба шулуун шугамын харьцангуй байрлал (Зураг 2).

Шулуун шугамаас тойргийн төв хүртэлх зай нь тойргийн радиусаас бага байвал тойрог ба шулуун шулуун хоёр нийтлэг цэгтэй байна. Энэ тохиолдолд тойрогтой холбоотой шугамыг секант гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамаас тойргийн төв хүртэлх зай нь тойргийн радиустай тэнцүү бол тойрог ба шулуун шугам нь нэг нийтлэг цэгтэй байна. Энэ тохиолдолд тойрогтой холбоотой шугамыг тойрогтой шүргэгч гэж нэрлэдэг. Тэдний нийтлэг цэгтойрог ба шулуун шугамын хоорондох шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг.

Тойргийн үндсэн томъёо:

• C = 2πR , Хаана C - тойрог
• R = С/(2π) = D/2 , Хаана С/(2π) - тойргийн нумын урт
• D = C/π = 2R , Хаана Д - диаметр
• S = πR2 , Хаана С - тойргийн талбай
• S = ((πR2)/360)α , Хаана С - дугуй секторын талбай

Тойрог ба тойрог нь эртний Грекд нэрээ авчээ. Эрт дээр үед хүмүүс дугуй хэлбэртэй биеийг сонирхож байсан тул тойрог нь төгс төгөлдөр байдлын титэм болжээ. Юу дугуй биеөөрөө хөдөлж чаддаг байсан нь дугуйг зохион бүтээхэд түлхэц болсон. Энэ шинэ бүтээлийн онцлог нь юу юм шиг санагдаж байна уу? Гэхдээ дугуйнууд бидний амьдралаас хоромхон зуур алга болно гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ шинэ бүтээл хожим нь төрүүлсэн математикийн ойлголттойрог.

Тойрог бол геометрийн гол дүр бөгөөд түүний шинж чанарыг 8-р ангид сургуульд сурдаг. Тойрогтой холбоотой ердийн асуудлуудын нэг нь дугуй сектор гэж нэрлэгддэг түүний зарим хэсгийн талбайг олох явдал юм. Нийтлэлд тухайн салбарын талбайн хэмжээ, нумын уртын томъёо, түүнчлэн тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах жишээг өгсөн болно.

Тойрог ба тойрог гэсэн ойлголт

Тойргийн секторын талбайн томъёог өгөхөөс өмнө заасан дүрс нь юу болохыг авч үзье. Математикийн тодорхойлолтоор тойрог нь бүх цэгүүд нь тодорхой цэгээс (төв) ижил зайд байрладаг хавтгай дээрх дүрсийг ойлгодог.

Тойрог авч үзэхдээ дараахь нэр томъёог ашигладаг.

• Радиус нь төвийн цэгээс тойргийн муруй хүртэл зурсан сегмент юм. Үүнийг ихэвчлэн R үсгээр тэмдэглэдэг.
• Диаметр гэдэг нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугамын хэсэг боловч зургийн төвийг дайран өнгөрдөг. Үүнийг ихэвчлэн D үсгээр тэмдэглэдэг.
• Нуман бол муруй тойргийн нэг хэсэг юм. Үүнийг уртын нэгжээр эсвэл өнцгийг ашиглан хэмждэг.

Тойрог бол геометрийн өөр нэг чухал дүрс бөгөөд энэ нь тойргийн муруйгаар хязгаарлагдах цэгүүдийн цуглуулга юм.

Тойргийн талбай ба тойрог

Зүйлийн гарчигт тэмдэглэсэн утгыг хоёрыг ашиглан тооцоолно энгийн томъёонууд. Тэдгээрийг доор өгөв.

• Тойрог: L = 2*pi*R.
• Тойргийн талбай: S = pi*R 2.

Эдгээр томъёонд pi нь Pi тоо гэж нэрлэгддэг тодорхой тогтмол юм. Энэ нь үндэслэлгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг энгийн бутархай хэлбэрээр зөв илэрхийлэх боломжгүй юм. Pi-ийн ойролцоо утга нь 3.1416 байна.

Дээрх илэрхийллээс харахад талбай ба уртыг тооцоолохын тулд зөвхөн тойргийн радиусыг мэдэхэд хангалттай.

Тойргийн секторын талбай ба түүний нумын урт

Холбогдох томъёог авч үзэхээсээ өмнө геометрийн өнцөг нь ихэвчлэн хоёр үндсэн аргаар илэрхийлэгддэг гэдгийг санацгаая.

• тэнхлэгийн эргэн тойронд бүрэн эргэлт нь 360 o;
• радианаар, эдгээр нь pi тооны бутархайгаар илэрхийлэгдэж, градустай дараах тэгшитгэлээр холбогддог: 2*pi = 360 o.

Тойргийн салбар нь гурван шугамаар хүрээлэгдсэн дүрс юм: тойргийн нум ба энэ нумын төгсгөлд байрлах хоёр радиус. Дугуй хэлбэртэй секторын жишээг доорх зурагт үзүүлэв.

Тойргийн салбар гэж юу болох талаар ойлголттой болсны дараа түүний талбай, харгалзах нумын уртыг хэрхэн тооцоолохыг ойлгоход хялбар болно. Дээрх зургаас секторын нум нь θ өнцөгтэй тохирч байгааг харж болно. Бүрэн тойрог нь 2*pi радиантай тохирч байгааг бид мэднэ, энэ нь дугуй секторын талбайн томъёо нь S 1 = S*θ/(2*pi) = pi*R 2 * хэлбэртэй байна гэсэн үг. θ/(2*pi) = θ*R 2 /2. Энд θ өнцгийг радианаар илэрхийлнэ. Хэрэв θ өнцгийг градусаар хэмжвэл салбарын талбайн ижил төстэй томьёо нь дараах байдалтай байна: S 1 = pi*θ*R 2 /360.

Секторыг бүрдүүлж буй нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно: L 1 = θ*2*pi*R/(2*pi) = θ*R. Хэрэв θ нь градусаар мэдэгдэж байвал: L 1 = pi*θ*R/180.

Асуудлыг шийдэх жишээ

Энгийн асуудлыг жишээ болгон ашигласнаар бид тойргийн секторын талбай ба нумын уртын томъёог хэрхэн ашиглахыг харуулах болно.

Дугуй нь 12 хигээстэй гэдгийг мэддэг. Дугуй нэг бүтэн эргэлт хийхэд 1.5 метрийн зайг туулдаг. Дугуйны зэргэлдээ хоёр хигээсийн хооронд ямар талбай хүрээлэгдсэн бэ, тэдгээрийн хоорондох нумын урт хэд вэ?

Харгалзах томъёоноос харахад тэдгээрийг ашиглахын тулд та тойргийн радиус ба нумын өнцөг гэсэн хоёр хэмжигдэхүүнийг мэдэх хэрэгтэй. Дугуйны тойргийн талаархи мэдлэг дээр үндэслэн радиусыг тооцоолж болно, учир нь түүний нэг эргэлтийн зай нь үүнтэй яг тохирч байна. Бидэнд: 2*R*pi = 1.5, эндээс: R = 1.5/(2*pi) = 0.2387 метр. Хамгийн ойрын хигээсийн хоорондох өнцгийг тэдгээрийн тоог мэдэх замаар тодорхойлж болно. Бүх 12 хигээс нь тойргийг тэнцүү секторт хуваадаг гэж үзвэл бид 12 ижил салбарыг авна. Үүний дагуу хоёр хигээсийн хоорондох нумын өнцгийн хэмжээ нь: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0.5236 радиантай тэнцүү байна.

Бид шаардлагатай бүх хэмжигдэхүүнийг олсон тул одоо тэдгээрийг томъёонд орлуулж, асуудлын нөхцөл байдалд шаардагдах утгыг тооцоолж болно. Бид авна: S 1 = 0.5236 * (0.2387) 2 /2 = 0.0149 м 2, эсвэл 149 см 2; L 1 = 0.5236*0.2387 = 0.125 м буюу 12.5 см.