Бөмбөгний эзэлхүүн литрээр. Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ: үндсэн томъёо, тэдгээрийн хэрэглээний жишээ. Бөмбөгний массыг хэрхэн тодорхойлох вэ

Бидний амьдралд тааралддаг эсвэл бидний сонссон олон бие нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг, жишээлбэл, хөл бөмбөгийн бөмбөг, борооны үеэр унах усны дусал эсвэл манай гараг. Үүнтэй холбогдуулан бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэх нь зүйтэй юм.

Геометрийн бөмбөгний дүрс

Бөмбөгний тухай асуултанд хариулахаасаа өмнө энэ биеийг нарийвчлан авч үзье. Зарим хүмүүс үүнийг бөмбөрцөгтэй андуурдаг. Гаднах байдлаараа тэд үнэхээр адилхан боловч бөмбөг бол дотор нь дүүрсэн объект, харин бөмбөрцөг бол хязгааргүй жижиг зузаантай бөмбөгний зөвхөн гаднах бүрхүүл юм.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл бөмбөгийг цэгүүдийн цуглуулгаар дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн гадаргуу дээр байрладаг (тэдгээр нь бөмбөрцөг үүсгэдэг) нь зургийн төвөөс ижил зайд байрладаг. Энэ зайг радиус гэж нэрлэдэг. Үнэн хэрэгтээ радиус нь бөмбөгний гадаргуугийн талбай, эзэлхүүн зэрэг ямар ч шинж чанарыг тодорхойлоход ашиглаж болох цорын ганц параметр юм.

Доорх зураг нь бөмбөгний жишээг харуулж байна.

Хэрэв та энэхүү төгс дугуй объектыг анхааралтай ажиглавал түүнийг энгийн тойргоос хэрхэн яаж авахыг тааж чадна. Үүнийг хийхийн тулд үүнийг эргүүлэхэд л хангалттай хавтгай дүрстүүний диаметртэй давхцаж буй тэнхлэгийг тойрон.

Эртний алдартай хүмүүсийн нэг уран зохиолын эх сурвалжуудЭнэхүү гурван хэмжээст дүрсийн шинж чанарыг хангалттай нарийвчлан авч үзсэн нь Грекийн гүн ухаантан Евклидийн бүтээл болох "Элементүүд" юм.

Гадаргуугийн талбай ба эзэлхүүн

Бөмбөгний эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэхдээ энэ утгаас гадна түүний талбайн томъёог өгөх хэрэгтэй, учир нь хоёр илэрхийлэл нь хоорондоо холбоотой байж болох тул доор харуулав.

Тиймээс бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд та дараах хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглах хэрэгтэй.

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

Энд R нь зургийн радиус юм. Өгөгдсөн эхний томьёо үнэн зөв боловч үүний давуу талыг ашиглахын тулд та pi-д тохирох аравтын орны тоог ашиглах ёстой. Хоёрдахь илэрхийлэл нь эхнийхээс ердөө 0.03% -иар ялгаатай нэлээд сайн үр дүнг өгдөг. Хэд хэдэн практик даалгаврын хувьд энэ нарийвчлал нь хангалттай юм.

Бөмбөрцгийн хувьд энэ утгатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл S = 4 * pi * R2 томъёогоор илэрхийлнэ. Хэрэв бид радиусыг эндээс илэрхийлж, дараа нь эзэлхүүний эхний томъёонд орлуулж байвал бид дараахийг авна: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 *) pi)).

Тиймээс бид бөмбөгний эзэлхүүнийг радиус ба түүний гадаргуугийн талбайгаар хэрхэн олох тухай асуултуудыг судалж үзсэн. Эдгээр илэрхийллийг практикт амжилттай ашиглаж болно. Дараа нь өгүүлэлд бид тэдгээрийн хэрэглээний жишээг өгөх болно.

Борооны дуслангийн асуудал

Ус жингүйдэхэд бөмбөрцөг дусал хэлбэртэй байдаг. Энэ нь гадаргуугийн талбайг багасгах хандлагатай гадаргуугийн хурцадмал хүч байгаатай холбоотой юм. Бөмбөг нь эргээд ижил масстай бүх геометрийн дүрсүүдийн дунд хамгийн бага утгатай байна.

Борооны үеэр унаж буй усны дусал жингүйдэлтэй байдаг тул түүний хэлбэр нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байдаг (энд бид агаарын эсэргүүцлийн хүчийг үл тоомсорлодог). Хэрэв масс нь 0.05 грамм бол энэ дуслын эзэлхүүн, гадаргуугийн талбай, радиусыг тодорхойлох шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд эзлэхүүнийг тодорхойлоход хялбар байдаг, та хуваах хэрэгтэй мэдэгдэж буй масс H 2 O (ρ = 1 г/см 3) нягт дээр. Дараа нь V = 0.05 / 1 = 0.05 см 3.

Бөмбөлөгний эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг мэдсэнийхээ дараа бид радиусыг томъёогоор илэрхийлж, үр дүнгийн утгыг орлуулах хэрэгтэй: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) * 3.1416)) = 0.2285 см.

Одоо бид радиусын утгыг зургийн гадаргуугийн талбайн илэрхийлэлд орлуулж, бид дараахийг авна: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 см 2.

Тиймээс бөмбөгний эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг мэдсэнээр бид асуудлын бүх асуултын хариултыг авсан: R = 2.285 мм, S = 0.6561 см 2, V = 0.05 см 3.

WikiHow нь нийтлэл бүрийг манай стандартад нийцэж байгаа эсэхийг шалгахын тулд редакторуудынхаа ажлыг сайтар хянадаг. өндөр стандартуудчанар.

Бөмбөгний радиус (r эсвэл R гэж тэмдэглэсэн) нь бөмбөгний төвийг гадаргуу дээрх дурын цэгтэй холбосон сегмент юм. Тойрогтой адил бөмбөгний радиус нь бөмбөгний диаметр, тойрог, гадаргуугийн талбай ба/эсвэл эзэлхүүнийг олоход шаардлагатай чухал хэмжигдэхүүн юм. Гэхдээ бөмбөгний радиусыг мөн диаметр, тойрог болон бусад хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгаас олж болно. Эдгээр утгыг орлуулах томъёог ашиглана уу.

Алхам

Радиусыг тооцоолох томъёо

Диаметрээс радиусыг тооцоол.Радиус нь диаметрийн хагастай тэнцүү тул томъёог ашиглана g = D/2. Энэ нь тойргийн радиус ба диаметрийг тооцоолоход ашигладаг ижил томъёо юм.

• Жишээлбэл, 16 см-ийн диаметртэй бөмбөг өгөгдсөн Энэ бөмбөгний радиус: r = 16/2 = 8 см. Хэрэв диаметр нь 42 см бол радиус нь байна 21 см (42/2=21).

1. Тойрогоос радиусыг тооцоол.Томъёог ашиглана уу: r = C/2π. Тойргийн тойрог C = πD = 2πr тул тойргийг тооцоолох томъёог 2π-д хувааж, радиусыг олох томъёог гарга.

   • Жишээлбэл, 20 см-ийн тойрог бүхий бөмбөгийг өгсөн бол энэ бөмбөгний радиус нь: r = 20/2π = 3.183 см.
   • Тойргийн радиус ба тойргийг тооцоолоход ижил томъёог ашигладаг.

2. Бөмбөрцгийн эзэлхүүнээс радиусыг тооцоол.Томъёог ашиглана уу: r = ((V/π)(3/4)) 1/3. Бөмбөгний эзэлхүүнийг V = (4/3)πr 3 томъёогоор тооцоолно. Тэгшитгэлийн нэг талд r-г тусгаарласнаар та ((V/π)(3/4)) 3 = r томъёог авна, өөрөөр хэлбэл радиусыг тооцоолохын тулд бөмбөгний эзэлхүүнийг π-д хувааж, үр дүнг үржүүлнэ. 3/4, үр дүнг 1/3 хүртэл өсгөнө (эсвэл шоо үндсийг авна).

   • Жишээлбэл, 100 см 3 хэмжээтэй бөмбөг өгсөн. Энэ бөмбөгний радиусыг дараах байдлаар тооцоолно.
     • ((V/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((100/π)(3/4)) 1/3 = r
     • ((31.83)(3/4)) 1/3 = r
     • (23.87) 1/3 = r
     • 2.88 см= r

3. Гадаргуугийн талбайгаас радиусыг тооцоол.Томъёог ашиглана уу: g = √(A/(4 π)). Бөмбөгний гадаргуугийн талбайг A = 4πr 2 томъёогоор тооцоолно. Тэгшитгэлийн нэг талд r-г тусгаарласнаар та √(A/(4π)) = r томъёог авна, өөрөөр хэлбэл радиусыг тооцоолохын тулд та гаргаж авах хэрэгтэй. квадрат язгуур 4π-д хуваагдсан гадаргуугаас. Үндэс авахын оронд (A/(4π)) илэрхийлэлийг 1/2-ын хэмжээнд өсгөж болно.

   • Жишээлбэл, 1200 см 3 гадаргуутай бөмбөрцөг өгсөн. Энэ бөмбөгний радиусыг дараах байдлаар тооцоолно.
     • √(A/(4π)) = r
     • √(1200/(4π)) = r
     • √(300/(π)) = r
     • √(95.49) = r
     • 9.77 см= r

   Үндсэн хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох

   1. Бөмбөгний радиусыг тооцоолоход хамаарах үндсэн хэмжигдэхүүнүүдийг санаарай.Бөмбөгний радиус нь бөмбөгний төвийг гадаргуугийн аль ч цэгтэй холбосон сегмент юм. Бөмбөгний радиусыг диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайн өгөгдсөн утгуудаас тооцоолж болно.

      Радиусыг олохын тулд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг ашиглана уу.Диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайн өгөгдсөн утгуудаас радиусыг тооцоолж болно. Түүнчлэн, заасан утгыг өгөгдсөн радиусын утгаас олж болно. Радиусыг тооцоолохын тулд үзүүлсэн утгыг олохын тулд томъёог хөрвүүлэхэд л хангалттай. Диаметр, тойрог, эзэлхүүн, гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёог (радиусыг багтаасан) доор харуулав.

   Хоёр цэгийн хоорондох зайнаас радиусыг олох

   1. Бөмбөгний төвийн координатыг (x,y,z) ол.Бөмбөгний радиус нь түүний төв ба бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах аливаа цэгийн хоорондох зайтай тэнцүү байна. Бөмбөгний төвийн координатууд болон түүний гадаргуу дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох замаар тусгай томъёогоор бөмбөгний радиусыг олох боломжтой. Эхлээд бөмбөгний төвийн координатыг ол. Бөмбөг нь гурван хэмжээст дүрс тул цэг нь хоёр (x, y) биш харин гурван координат (x, y, z) байх болно гэдгийг санаарай.

      • Нэг жишээ авч үзье. Төвийн координат бүхий бөмбөг өгөгдсөн (4,-1,12) . Бөмбөгний радиусыг олохын тулд эдгээр координатуудыг ашиглана уу.

   2. Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатыг ол.Одоо бид координатуудыг (x,y,z) олох хэрэгтэй. ямар чбөмбөгний гадаргуу дээр хэвтэж буй цэг. Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах бүх цэгүүд нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байрладаг тул та бөмбөгний радиусыг тооцоолохдоо дурын цэгийг сонгож болно.

      • Бидний жишээн дээр бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах зарим цэг координаттай гэж үзье (3,3,0) . Энэ цэг ба бөмбөгний төвийн хоорондох зайг тооцоолсноор та радиусыг олох болно.

   3. d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) томъёог ашиглан радиусыг тооцоол.Бөмбөгний төв ба түүний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатыг олж мэдээд тэдгээрийн хоорондох зайг олох боломжтой бөгөөд энэ нь бөмбөгний радиустай тэнцүү юм. Хоёр цэгийн хоорондох зайг томьёогоор тооцоолно d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2), энд d нь цэгүүдийн хоорондох зай юм. , (x 1, y 1 ,z 1) – бөмбөгний төвийн координат, (x 2 , y 2 , z 2) – бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах цэгийн координатууд.

      • Харж буй жишээн дээр (x 1 ,y 1 ,z 1)-ийн оронд (4,-1,12), (x 2 ,y 2 ,z 2)-ын оронд (3,3,0) орлуулна:
        • d = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2)
        • d = √((3 - 4) 2 + (3 - -1) 2 + (0 - 12) 2)
        • d = √((-1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
        • d = √(1 + 16 + 144)
        • d = √(161)
        • d = 12.69. Энэ бол бөмбөгний хүссэн радиус юм.

   4. Ерөнхий тохиолдолд r = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2) гэдгийг санаарай.Бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах бүх цэгүүд нь бөмбөгний төвөөс ижил зайд байрладаг. Хэрэв хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёонд "d" -ийг "r" -ээр сольсон бол та бөмбөрцгийн төвийн мэдэгдэж буй координатаас (x 1,y 1,z 1) бөмбөгний радиусыг тооцоолох томъёог авна. бөмбөг ба координатууд (x 2,y 2,z 2 ) бөмбөгний гадаргуу дээр байрлах дурын цэг.

      • Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болговол r 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 болно. Энэ тэгшитгэл нь төв нь (0,0,0) координаттай r 2 = x 2 + y 2 + z 2 бөмбөрцгийн тэгшитгэлтэй тохирч байгааг анхаарна уу.
   • Математикийн үйлдлийг гүйцэтгэх дарааллын талаар бүү мартаарай. Хэрэв та энэ дарааллыг санахгүй байгаа бөгөөд таны тооцоолуур хаалттай ажиллах боломжтой бол тэдгээрийг ашиглана уу.
   • Энэ нийтлэлд бөмбөгний радиусыг тооцоолох тухай өгүүлдэг. Гэхдээ хэрэв та геометр сурахад асуудалтай байгаа бол мэдэгдэж буй радиусын утгыг ашиглан бөмбөгтэй холбоотой хэмжигдэхүүнийг тооцоолох замаар эхлэх нь дээр.
   • π (Pi) нь үсэг юм Грек цагаан толгойтогтмолыг илэрхийлдэг , харьцаатай тэнцүү байнатойргийн диаметрийг түүний тойрогтой харьцуулна. Пи бол харьцаа хэлбэрээр бичигдээгүй иррационал тоо юм бодит тоо. Олон тооны ойролцоо тооцоолол байдаг, жишээлбэл, 333/106 харьцаа нь дөрвөн аравтын орон дотор Pi-г олох боломжийг танд олгоно. Дүрмээр бол тэд Pi-ийн ойролцоо утгыг ашигладаг бөгөөд энэ нь 3.14 юм.

Бөмбөлөг нь тойрог эсвэл хагас тойргийг диаметрийнхээ эргэн тойронд эргүүлснээр үүссэн геометрийн эргэлтийн бие юм. Мөн бөмбөг бол бөмбөрцөг гадаргуугаар хязгаарлагдсан орон зай юм. Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тодорхойлох шаардлагатай олон бодит бөмбөрцөг биетүүд болон түүнтэй холбоотой асуудлууд байдаг.

Бөмбөг ба бөмбөрцөг

Тойрог бол хамгийн эртний геометрийн дүрс бөгөөд эртний эрдэмтэд түүнд ариун нандин утгыг илэрхийлдэг байв. Тойрог бол төгсгөлгүй цаг хугацаа, орон зайн бэлгэдэл, Орчлон ертөнц, оршихуйн бэлгэдэл юм. Пифагорын хэлснээр тойрог бол хамгийн үзэсгэлэнтэй дүрс юм. IN гурван хэмжээст орон зайтойрог нь тойрог шиг хамгийн тохиромжтой, сансар огторгуй, үзэсгэлэнтэй бөмбөрцөг болж хувирдаг.

Бөмбөрцөг гэдэг нь эртний Грек хэлээр "бөмбөг" гэсэн утгатай. Бөмбөрцөг нь зургийн төвөөс ижил зайд орших хязгааргүй тооны цэгүүдээс үүссэн гадаргуу юм. Бөмбөрцөгөөр хүрээлэгдсэн орон зай нь бөмбөг юм. Бөмбөг бол хамгийн тохиромжтой геометрийн дүрс бөгөөд түүний хэлбэрийг олон бодит объект авдаг. Жишээлбэл, in бодит амьдралих буу, холхивч эсвэл бөмбөг нь бөмбөг хэлбэртэй, байгальд - усны дусал, модны титэм эсвэл жимс, сансарт - од, солир эсвэл гариг.

Бөмбөгний хэмжээ

Бөмбөрцөг хэлбэрийн эзэлхүүнийг тодорхойлох - хэцүү даалгавар, учир нь ийм геометрийн биеийг эзэлхүүний томьёо нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа шоо эсвэл гурвалжин призмд хувааж болохгүй. Орчин үеийн шинжлэх ухаанашиглан бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоолох боломжийг танд олгоно тодорхой интеграл, гэхдээ эзлэхүүний томьёо яаж байсан бэ Эртний ГрекИнтегралын талаар хэн ч сонсож байгаагүй юм уу? Архимед конус ба цилиндрийг ашиглан бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоолсон, учир нь эдгээр тоонуудын эзлэхүүний томъёог аль хэдийн тодорхойлсон байсан. эртний Грекийн гүн ухаантанболон математикч Демокрит.

Архимед нь ижил конус ба цилиндрийг ашиглан хагас бөмбөрцөг дүрсэлсэн бөгөөд зураг бүрийн радиус нь R = h өндөртэй тэнцүү байв. Эртний эрдэмтэн конус ба цилиндрийг хязгааргүй тооны жижиг цилиндрт хуваасан гэж төсөөлдөг. Архимед хэрэв конусын Vк эзэлхүүнийг цилиндрийн Vc эзэлхүүнээс хасвал нэг хагас бөмбөрцгийн Vsh эзэлхүүнийг олж авна гэдгийг ойлгосон.

0.5 Vsh = Vc - Vk

Конусын эзэлхүүнийг энгийн томъёогоор тооцоолно.

Vk = 1/3 × Тэгэхээр × h,

Гэхдээ энэ тохиолдолд тойргийн талбай нь h = R гэдгийг мэдэж байвал томъёог дараах байдлаар хувиргана.

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Цилиндрийн эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Vc = pi × R 2 × h,

Гэхдээ цилиндрийн өндрийг түүний радиустай тэнцүү гэж үзвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Vc = pi × R 3 .

Эдгээр томъёог ашиглан Архимед дараахь зүйлийг олж авсан.

0.5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 эсвэл Vsh = 4/3 pi × R 3

Бөмбөгний эзэлхүүний томъёоны орчин үеийн тодорхойлолт нь бөмбөрцөг гадаргуугийн талбайн интегралаас гаралтай боловч үр дүн нь ижил хэвээр байна.

Vsh = 4/3 pi × R 3

Бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолох нь бодит амьдрал болон хийсвэр асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай байж болно. Онлайн тооцоолуур ашиглан бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд та зөвхөн нэг параметрийг мэдэх хэрэгтэй: бөмбөрцгийн диаметр эсвэл радиус. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Амьдралаас авсан жишээнүүд

Их бууны бөмбөг

Та зургаан фут калибрын их бууны сумыг цутгахад хэр их цутгамал төмөр хэрэгтэйг мэдэхийг хүсч байна гэж бодъё. Ийм цөмийн диаметр нь 9.6 сантиметр гэдгийг та мэднэ. Тооны машины "Диаметр" нүдэнд энэ тоог оруулаад хариултыг дараах байдлаар хүлээн авна

Тиймээс өгөгдсөн калибрын их бууны сум хайлуулахын тулд танд 463 шоо см буюу 0.463 литр цутгамал төмөр хэрэгтэй болно.

Бөмбөлөг

Шахахад хэр их агаар хэрэгтэйг сонирхож үзээрэй халуун агаарын бөмбөлөгхамгийн тохиромжтой бөмбөрцөг хэлбэр. Сонгосон бөмбөгний радиус нь 10 см гэдгийг мэдэж байгаа бөгөөд энэ утгыг "Радиус" тооцоологч нүдэнд оруулаад үр дүн гарна

Энэ нь нэг ийм бөмбөлөг хийлэхэд 4188 шоо см буюу 4.18 литр агаар хэрэгтэй болно гэсэн үг юм.

Дүгнэлт

Бөмбөгний эзэлхүүнийг тодорхойлох хэрэгцээ хамгийн их гарч ирж магадгүй юм өөр өөр нөхцөл байдал: хийсвэрээс сургуулийн даалгаваршинжлэх ухааны судалгаа, үйлдвэрлэлийн асуудалд. Аливаа нарийн төвөгтэй асуултуудыг шийдэхийн тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглан яг үр дүн, шаардлагатай математик тооцооллыг танд үзүүлэх болно.

БөмбөгЭнэ бол диаметрийнхээ тэнхлэг дээр хагас тойргийн эргэлтийн үр дүнд үүссэн геометрийн бие юм.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоол

Бөмбөгний хэмжээтомъёог ашиглан тооцоолж болно:

R - бөмбөгний радиус

V - бөмбөгний хэмжээ

Сантиметрийн радиустай бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг ол.

Бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд дараахь томъёог ашиглана.

Бөмбөгний шаардагдах эзэлхүүн хаана байна, – , радиус.

Тиймээс, сантиметр радиустай бөмбөгний эзэлхүүн нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

В

3.14×103

= 4186,7

шоо см.

Геометрийн хувьд бөмбөгБөмбөгний радиус гэж нэрлэгддэг төвөөс өгөгдсөн цэгээс илүүгүй зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдийн цуглуулга болох тодорхой бие гэж тодорхойлогддог.

Бөмбөгний гадаргууг бөмбөрцөг гэж нэрлэдэг бөгөөд бөмбөг өөрөө диаметрийг тойрон хагас тойргийг эргүүлж, хөдөлгөөнгүй хэвээр үлддэг.

Энэхүү геометрийн биетэй дизайны инженер, архитекторууд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд тэд ихэвчлэн үүнийг хийх шаардлагатай болдог бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцоолох. Жишээлбэл, орчин үеийн автомашины дийлэнх хэсгийн урд түдгэлзүүлэлтийн дизайнд бөмбөлөг холбоосыг ашигладаг бөгөөд нэрнээс нь харахад бөмбөг нь гол элементүүдийн нэг юм.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар жолоодлоготой дугуй ба хөшүүргийн зангилаа холбогдсон байна. Энэ нь хэр зөв байх бол тооцоолсонТэдний эзэлхүүн нь эдгээр нэгжийн бат бөх чанар, тэдгээрийн ашиглалтын зөв эсэхээс гадна хөдөлгөөний аюулгүй байдлаас ихээхэн хамаардаг.

Технологийн хувьд бөмбөлөг холхивч гэх мэт эд ангиудыг өргөн ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар янз бүрийн эд анги, угсралтын бэхэлгээний хэсгүүдэд тэнхлэгүүдийг бэхэлж, тэдгээрийн эргэлтийг хангадаг.

Тэдгээрийг тооцоолохдоо дизайнерууд бөмбөгний эзэлхүүнийг (эсвэл торонд байрлуулсан бөмбөг) олох хэрэгтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. өндөр зэрэгтэйнарийвчлал. Холхивчийн металл бөмбөлөг үйлдвэрлэх тухайд тэдгээрийг цогцолбор ашиглан металл утсаар хийдэг технологийн процесс, үүнд хэлбэржүүлэх, хатууруулах, барзгар нунтаглах, өнгөлгөөний нунтаглах, цэвэрлэх үе шатууд багтана.

Дашрамд хэлэхэд, бүх бал үзэгний загварт багтсан бөмбөгийг яг ижил технологиор хийдэг.

Бөмбөгийг архитектурт ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь ихэвчлэн байдаг гоёл чимэглэлийн элементүүдбарилга байгууламж болон бусад байгууламж.

Ихэнх тохиолдолд тэдгээрийг боржин чулуугаар хийдэг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн их хэмжээний гар ажиллагаа шаарддаг. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр бөмбөгийг үйлдвэрлэхэд янз бүрийн нэгж, механизмд ашигладаг шиг өндөр нарийвчлалтай байх шаардлагагүй.

Бильярд гэх мэт сонирхолтой, алдартай тоглоомыг бөмбөггүйгээр төсөөлөхийн аргагүй юм. Тэдгээрийг үйлдвэрлэхэд янз бүрийн материалыг (яс, чулуу, металл, хуванцар) ашигладаг бөгөөд янз бүрийн технологийн процессуудыг ашигладаг.

Биллиардын бөмбөгөнд тавигдах гол шаардлагуудын нэг бол өндөр хүч чадал, механик ачаалал ихтэй (ялангуяа цохилт) тэсвэрлэх чадвар юм. Үүнээс гадна, усан сангийн ширээний гадаргуу дээр жигд, жигд өнхрөхийг хангахын тулд тэдгээрийн гадаргуу нь яг бөмбөрцөг хэлбэртэй байх ёстой.

Эцэст нь нэг ч шинэ жил эсвэл зул сарын гацуур мод бөмбөг шиг геометрийн биетгүйгээр хийж чадахгүй. Эдгээр чимэглэлийг ихэнх тохиолдолд үлээх аргыг ашиглан шилээр хийдэг бөгөөд тэдгээрийг үйлдвэрлэхдээ хэмжээсийн нарийвчлалд бус, харин бүтээгдэхүүний гоо зүйд хамгийн их анхаарал хандуулдаг.

Технологийн процесс нь бараг бүрэн автоматжуулсан бөгөөд Христийн Мэндэлсний Баярын бөмбөгийг зөвхөн гараар савладаг.

Бөмбөрцөг бол гадаргуу дээрх бүх цэгүүд нь зургийн төвөөс ижил зайд байрладаг хамгийн энгийн геометрийн биетүүдийн нэг юм. Бөмбөрцгийн төвөөс түүний гадаргуугийн аль ч цэг хүртэлх зайг радиус гэнэ.

Бөмбөгний хэмжээ

Бөмбөгний диаметрийг хоёр дахин радиус гэж нэрлэдэг.

Түүний радиусын эргэн тойронд бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ

Хэрэв бид бөмбөрцгийн радиусыг мэддэг бол түүний хэмжээг хялбархан тооцоолж чадна. Үүнийг хийхийн тулд кубыг радиус болон дөрөв дахин Pi тоогоор үржүүлсний дараа үр дүн нь гуравт хуваагдана. Бөмбөлөгний эзэлхүүнийг түүний радиус дээр үндэслэн тодорхойлох томъёо нь дараах байдалтай байна. .
Мартсан хүмүүсийн хувьд Pi нь тогтмол утга бөгөөд 3.14-тэй тэнцүү гэдгийг бид санаж байна.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг диаметрээр хэрхэн олох вэ

Бөмбөрцгийн диаметрийг асуудлын нөхцлөөс мэдэж байвал түүний эзэлхүүнийг дараах томъёогоор тооцоолно. , тэр нь.

Pi тоог диаметрийн диаметрээр үржүүлээд үр дүнг 6-д хуваана.

Бөмбөгний массыг хэрхэн тодорхойлох вэ

Биеийн жин физик хэмжигдэхүүн, түүний инерцийн зэргийг заана. Физик биеийн масс нь эзэлсэн орон зайн хэмжээ болон угсрах материалын нягтаас хамаарна. Биеийн хэмжээ зөв хэлбэр(хэлье цохих) тооцоолоход хэцүү биш бөгөөд хэрэв хийсэн материал нь мэдэгдэж байвал бөөнөөрЭнэ нь маш энгийн байхыг зөвшөөрдөг.

зааварчилгаа

эхлээдХэмжээг оруулна уу цохих .

Бөмбөгний эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ

Үүнийг хийхийн тулд радиус, диаметр, гадаргуу гэх мэт параметрүүдийн аль нэгийг мэдэхэд хангалттай. Хэрэв та диаметрийг мэддэг бол надад хэлээрэй цохих(г), түүний эзэлхүүнийг (V) Pi тоотой шоо дөрвөлжин диаметртэй бүтээгдэхүүний зургааны нэгээр тодорхойлохыг зөвшөөрнө: V = π * d? / 6. Радиусаар дамжин цохих(r) эзлэхүүнийг Pi-ийн үржвэрийн гуравны нэгээр илэрхийлсэн бөгөөд энэ нь шоонд байрлуулсан радиусаар дөрөв дахин нэмэгддэг: V = 4 * π * r? / 3.

хоёрдугаарттоолох бөөнөөрцохих(м), түүний эзлэхүүнийг материйн гайхалтай нягтралаар үржүүлнэ (p): m = p * V.

Хэрэв энэ материал бол цохихнэгэн төрлийн биш бол бид дундаж нягтыг авах ёстой. Энэ томъёонд бид эзлэхүүнийг солино цохихмэдэгдэж буй параметрүүдээр дамжуулан мэдэгдэж буй диаметрийг авахыг зөвшөөрнө цохихтомьёо m = p * π * d? / 6 ба үндсэн радиусын хувьд m = p * 4 * π * r? / 3.

гурав дахьТооцоолол хийхдээ, жишээлбэл, үндсэн Windows үйлдлийн системтэй хамт ирдэг ердийн программ хангамжийн тооцоолуур, өнөөдөр ашиглагдаж байгаа ямар ч хүчирхэг хувилбарыг ашиглана уу.

Эхлэх хамгийн хялбар арга бол win + r товчийг дарж програмыг ажиллуулах ердийн харилцах цонхыг нээж, дараа нь calc командыг бичээд OK дээр дарна уу.

"Тооцоолуур" цэсэнд "Харах" хэсгийг өргөжүүлж, "Инженер" эсвэл "Эрдэмтэн" мөрийг сонгоно уу (таны ашиглаж буй үйлдлийн системийн хувилбараас хамаарч) - энэ горимын интерфейс нь Pi тоог нэгээр оруулах товчлууртай. дарна уу. Энэхүү тооцоолуур дахь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нь асуулт үүсгэх шаардлагагүй, харин массыг тооцоолохдоо тодорхойлогддог. цохих x^2 ба x^3 тэмдэг бүхий хэд хэдэн товчлуурууд байх болно.

УС, АРИУН ЦЭВЭРИЙН ЗАСАГ

Имэйл: [имэйлээр хамгаалагдсан]

Ажлын цаг: Даваа-Баасан 9-00-18-00 (үдийн хоолгүй)

Бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг радиус эсвэл диаметр ашиглан тооцоолох

Бөмбөрцөг бол төвөөс тодорхой зайд байрлах орон зайн бүх цэгүүдийн цуглуулга болох геометрийн бие юм.

Бөмбөгний эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолох вэ

Бөмбөгний математикийн гол шинж чанар нь түүний радиус юм.

Бөмбөгний тоо тоон шинж чанарЭнэ тоо Орчлон ертөнцөд байдаг.

Бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r нь бөмбөрцгийн радиус;
d нь бөмбөрцгийн диаметр юм.

Мөн хүн бүрийн тухай нийтлэлийг үзнэ үү геометрийн хэлбэрүүд(шугаман 1D, хавтгай 2D ба 3D 3D).

Энэ хуудас нь бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг радиус эсвэл диаметрээр тооцоолох хамгийн энгийн вэб тооцоолуур юм.

Бөмбөгний тухай ойлголтыг судалж, бөмбөгний эзэлхүүн гэж юу болох, түүний параметрүүдийг тооцоолох томъёог авч үзэхээсээ өмнө геометрийн хичээл дээр судалж байсан тойрог гэсэн ойлголтыг санаж байх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, гурван хэмжээст орон зай дахь ихэнх үйлдлүүд нь хоёр хэмжээст геометртэй төстэй эсвэл дагаж мөрддөг бөгөөд гурав дахь координат ба гуравдугаар зэргийн харагдах байдалд тохируулсан байдаг.

Тойрог гэж юу вэ?

Тойрог нь дээрх дүрс юм Декарт онгоц(1-р зурагт үзүүлэв); Ихэнхдээ энэ тодорхойлолт нь "хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн геометрийн байршил, тэдгээрийн хоорондох зай" шиг сонсогддог өгсөн оноо(төв) нь радиус гэж нэрлэгддэг сөрөг бус тодорхой тооноос хэтрэхгүй байна.

Зургаас харахад О цэг нь зургийн төв бөгөөд тойргийг дүүргэх бүх цэгүүдийн багц, жишээлбэл, A, B, C, K, E нь өгөгдсөн радиусаас цаашгүй байрладаг. (Зураг .2-т үзүүлсэн тойргоос хэтэрч болохгүй).

Хэрэв радиус нь тэг бол тойрог цэг болж хувирна.

Ойлголттой холбоотой асуудлууд

Оюутнууд эдгээр ойлголтыг ихэвчлэн андуурдаг. Үүнийг зүйрлэлээр санахад хялбар байдаг. Хүүхдүүдийн ангид ээрдэг цагираг биеийн тамир, - тойрог. Үүнийг ойлгосноор эсвэл хоёр үгийн эхний үсэг нь "O" гэдгийг санах нь хүүхдүүд энэ ялгааг санах ойн аргаар ойлгох болно.

"Бөмбөлөг" гэсэн ойлголтын танилцуулга

Бөмбөлөг нь тодорхой бөмбөрцөг гадаргуугаар хязгаарлагдсан бие юм (Зураг 3). "Бөөрөнхий гадаргуу" гэж юу болох нь түүний тодорхойлолтоос тодорхой болно: энэ нь гадаргуу дээрх бүх цэгүүдийн геометрийн байршил бөгөөд өгөгдсөн цэгээс (төв) хүртэлх зай нь радиус гэж нэрлэгддэг тодорхой сөрөг бус тооноос хэтрэхгүй байна. Таны харж байгаагаар тойрог ба бөмбөрцөг гадаргуугийн тухай ойлголтууд ижил төстэй бөгөөд зөвхөн тэдгээрийн байрлах орон зай нь ялгаатай байдаг. Хэрэв бид бөмбөгийг хоёр хэмжээст орон зайд дүрсэлсэн бол бид тойрог нь тойрог юм (бөмбөгний хил нь бөмбөрцөг гадаргуу юм). Зураг дээр бид OA = OB радиустай бөмбөрцөг гадаргууг харж байна.

Бөмбөг хаалттай, нээлттэй

Вектор ба метрийн орон зайд бөмбөрцөг гадаргуутай холбоотой хоёр ойлголтыг мөн авч үздэг. Хэрэв бөмбөг нь энэ бөмбөрцгийг багтаасан бол түүнийг хаалттай гэж нэрлэдэг, гэхдээ хэрэв үгүй ​​бол бөмбөг нээлттэй байна. Эдгээр нь илүү "дэвшилтэт" ойлголтууд бөгөөд тэдгээрийг шинжлэх ухааны танилцуулгын нэг хэсэг болгон хүрээлэнгүүдэд судалдаг. Энгийн, тэр ч байтугай өдөр тутмын хэрэглээний хувьд 10-11-р ангийн стереометрийн курст судлагдсан томъёонууд хангалттай байх болно. Эдгээр нь бараг бүх дундаж хүмүүст хүртээмжтэй байдаг. боловсролтой хүнүзэл баримтлалыг цаашид авч үзэх болно.

Дараах тооцоог хийхдээ мэдэх шаардлагатай ойлголтууд

Радиус ба диаметр.

Бөмбөгний радиус ба диаметрийг тойрогтой адилаар тодорхойлно.

Радиус гэдэг нь бөмбөгний хил дээрх дурын цэг ба бөмбөгний төв цэгийг холбосон сегмент юм.

Диаметр гэдэг нь бөмбөгний хил дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг нь дайран өнгөрөх сегмент юм. Зураг 5а нь аль сегментүүд нь бөмбөгний радиус болохыг тодорхой харуулсан ба Зураг 5b нь бөмбөрцгийн диаметрийг (О цэгээр дамжин өнгөрөх сегментүүдийг) харуулж байна.

Бөмбөрцөг дэх хэсгүүд (бөмбөг)

Бөмбөрцгийн аль ч хэсэг нь тойрог юм. Бөмбөгний төвөөр дамжин өнгөрвөл том тойрог (АВ диаметртэй тойрог), үлдсэн хэсгүүдийг жижиг тойрог (ДС диаметртэй тойрог) гэж нэрлэдэг.

Эдгээр тойргийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Энд S нь талбайн тэмдэглэгээ, R нь радиус, D нь диаметр юм. Мөн 3.14-тэй тэнцүү тогтмол байна. Гэхдээ том тойргийн талбайг тооцоолохын тулд бөмбөгний (бөмбөрцөг) радиус эсвэл диаметрийг өөрөө ашигладаг бөгөөд талбайг тодорхойлохын тулд жижиг тойргийн радиусын хэмжээс шаардлагатай байдаг тул андуурч болохгүй.

Бөмбөгний хил дээр байрлах ижил диаметртэй хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх хязгааргүй тооны ийм хэсгүүдийг зурж болно. Жишээ нь, манай гараг: хойд ба хоёр цэг Өмнөд туйл, дэлхийн тэнхлэгийн төгсгөлүүд ба дотор геометрийн мэдрэмж- диаметрийн төгсгөлүүд ба эдгээр хоёр цэгээр дамждаг голчид (Зураг 7). Өөрөөр хэлбэл, бөмбөрцөг дээрх том тойргийн тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.

Бөмбөгний хэсгүүд

Хэрэв та тодорхой хавтгайг ашиглан бөмбөрцөгөөс "хэсэг" -ийг таслав (Зураг 8), үүнийг бөмбөрцөг эсвэл бөмбөрцөг сегмент гэж нэрлэнэ. Энэ нь өндөртэй байх болно - бөмбөрцөг гадаргуу нь огтлох хавтгай төвөөс перпендикуляр O 1 K. Өндөр нь ирдэг бөмбөрцөг гадаргуу дээр цэг K бөмбөрцөг сегментийн орой гэж нэрлэдэг. Мөн O 1 T радиустай жижиг тойрог (энэ тохиолдолд зурагны дагуу онгоц нь бөмбөрцгийн төвийг өнгөрөөгүй, гэхдээ хэрэв хэсэг нь төвөөр дамжин өнгөрвөл хөндлөн огтлолын тойрог болно. том), бөмбөрцөг сегментийг таслах замаар үүссэн, бидний хэсэг бөмбөгний суурь - бөмбөрцөг сегмент гэж нэрлэгдэх болно.

Хэрэв бид бөмбөрцөг сегментийн суурь цэг бүрийг бөмбөрцгийн төвтэй холбовол "бөмбөрцөг сектор" гэж нэрлэгддэг дүрс гарч ирнэ.

Хэрэв хоёр хавтгай бөмбөрцөг дамжин өнгөрч, хоорондоо параллель байвал тэдгээрийн хооронд хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн тэр хэсгийг бөмбөрцөг давхарга гэж нэрлэдэг (Зураг 9, хоёр хавтгай, тусдаа бөмбөрцөг давхаргатай бөмбөрцгийг харуулсан).

Бөмбөрцгийн энэ хэсгийн гадаргууг (баруун талд байгаа 9-р зурагт тодруулсан хэсэг) бүс гэж нэрлэдэг (дахин илүү сайн ойлгохын тулд аналогийг зурж болно. бөмбөрцөг, тухайлбал түүний цаг уурын бүсүүдтэй - арктик, халуун орны, сэрүүн, гэх мэт), хөндлөн огтлолын тойрог нь бөмбөрцөг давхаргын суурь болно. Давхаргын өндөр нь суурийн төвүүдээс огтлох хавтгайд перпендикуляр зурсан диаметрийн нэг хэсэг юм. Бөмбөрцөг хэлбэртэй бөмбөрцөг гэсэн ойлголт бас бий. Энэ нь хоорондоо параллель байрладаг онгоцууд бөмбөрцөгтэй огтлолцохгүй, харин тус бүр нэг цэгт хүрэх үед үүсдэг.

Бөмбөгний эзэлхүүн ба түүний гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёо

Бөмбөлөг нь хагас тойрог эсвэл тойргийн тогтмол диаметрийг тойрон эргэх замаар үүсдэг. Тооцооллын хувьд өөр өөр параметрүүд энэ объектынНэг их мэдээлэл хэрэггүй.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүн буюу дээр дурдсан тооцоолох томъёог интегралчлалаар гаргаж авдаг. Үүнийг цэг тус бүрээр нь авч үзье.

Бид хоёр хэмжээст хавтгайд тойрог гэж үздэг, учир нь дээр дурьдсанчлан, энэ нь бөмбөгийг бүтээхэд тулгуурласан тойрог юм. Бид зөвхөн дөрөв дэх хэсгийг ашигладаг (Зураг 10).

Бид нэгжийн радиустай тойрог, гарал үүсэл нь төвийг авдаг. Ийм тойргийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна: X 2 + Y 2 = R 2. Бид эндээс Y-г илэрхийлнэ: Y 2 = R 2 - X 2.

Үүссэн функц нь X (0; R) сегмент дээр сөрөг биш, тасралтгүй, буурч байгааг анхаарна уу, учир нь тойргийн дөрөвний нэгийг авч үзэх тохиолдолд X-ийн утга тэгээс -ийн утга хүртэл байна. радиус, өөрөөр хэлбэл нэгдмэл байдал.

Бидний хийх дараагийн зүйл бол х тэнхлэгийн эргэн тойронд дөрөвний нэгийг эргүүлэх явдал юм. Үүний үр дүнд бид хагас бөмбөрцгийг олж авдаг. Түүний эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд бид нэгтгэх аргуудыг ашиглах болно.

Энэ нь зөвхөн хагас бөмбөрцгийн эзэлхүүн тул бид үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлж, бөмбөгний эзэлхүүн дараах байдалтай тэнцүү болохыг олж мэдэв.

Жижиг нюансууд

Хэрэв та бөмбөгний эзэлхүүнийг диаметрээр нь тооцоолох шаардлагатай бол радиус нь хагас диаметртэй гэдгийг санаарай, энэ утгыг дээрх томъёонд орлуулна уу.

Та мөн бөмбөгний эзэлхүүний томъёог түүний хилийн гадаргуугийн талбайгаар - бөмбөрцөгөөр дамжуулж болно. Бөмбөрцгийн талбайг S = 4πr 2 томъёогоор тооцдог бөгөөд үүнийг нэгтгэн бид бөмбөрцгийн эзэлхүүний дээрх томъёонд хүрдэг гэдгийг санацгаая. Хэрэв асуудлын мэдэгдэлд эзлэхүүний утгыг агуулж байгаа бол ижил томъёоноос та радиусыг илэрхийлж болно.