Пифагорын тоо. Пифагорын гурвалсан Пифагорын гурав дахин томьёог ашиглан олж болно

Пифагорын гурвалсан тоо

Бүтээлч ажил

оюутан 8 "А"анги

МАОУ "1-р биеийн тамирын заал"

Саратовын Октябрский дүүрэг

Панфилов Владимир

Дарга - дээд зэрэглэлийн математикийн багш

Гришина Ирина Владимировна

Агуулга

Танилцуулга…………………………………………………………………………………3

Онолын хэсэгажил

Пифагорын үндсэн гурвалжинг олох

(эртний Хиндучуудын томъёолол)………………………………………………………………4

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурвалсан бүтээлийг янз бүрийн аргаар зохиох ……………………………………………………………………………………………….6

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар………………………………………………………8

Дүгнэлт………………………………………………………………………………….9

Уран зохиол………………………………………………………………………………………………10

Танилцуулга

Үүнд хичээлийн жилМатематикийн хичээл дээр бид геометрийн хамгийн алдартай теоремуудын нэг болох Пифагорын теоремыг судалсан. Пифагорын теоремыг геометрт алхам тутамд ашигладаг бөгөөд энэ нь практик болон өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг. Гэхдээ бид теоремоос гадна Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг бас судалсан. Энэхүү теоремыг судлахтай холбогдуулан бид Пифагорын гурвалсан тоонуудтай танилцсан, өөрөөр хэлбэл. 3 натурал тооны олонлогтойа , б Тэгээдв , үүнд хамаарал хүчинтэй байна: = + . Ийм багцад, жишээлбэл, дараах гурвалсанууд орно.

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Надад тэр даруй асуулт гарч ирэв: та хэдэн Пифагор гурвыг гаргаж чадах вэ? Тэднийг хэрхэн зохиох вэ?

Манай геометрийн сурах бичигт Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг танилцуулсны дараа нэгэн чухал тайлбарыг хийсэн: хөл нь хөл гэдгийг баталж болно.А Тэгээдб ба гипотенуз-тай Талуудын уртыг натурал тоогоор илэрхийлсэн тэгш өнцөгт гурвалжинг дараах томъёогоор олж болно.

А = 2км b = k( - ) c = k( + , (1)

Хаанак , м , n – дурын натурал тоо, бам > n .

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: эдгээр томъёог хэрхэн батлах вэ? Зөвхөн эдгээр томъёог ашиглан Пифагорын гурвалсан гурвыг зохиож болох уу?

Ажил дээрээ би өөрт үүсээд буй асуултуудад хариулахыг оролдсон.

Ажлын онолын хэсэг

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох (эртний Хинду томъёо)

Эхлээд бид томъёог (1) баталж байна:

Хөлийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэеX Тэгээдцагт , болон дамжин өнгөрөх гипотенузын уртz . Пифагорын теоремын дагуу бид тэгш эрхтэй байна:+ = .(2)

Энэ тэгшитгэлийг Пифагорын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Пифагорын гурвалжныг судлах нь тэгшитгэлийг (2) натурал тоогоор шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Хэрэв тодорхой Пифагор гурвалжны тал бүрийг ижил тоогоор нэмэгдүүлбэл бид үүнтэй ижил төстэй талуудыг натурал тоогоор илэрхийлсэн шинэ тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авна. дахин Пифагорын гурвалжин.

Бүх ижил төстэй гурвалжнуудын дунд хамгийн жижиг нь байдаг бөгөөд энэ нь талууд нь гурвалжин болно гэдгийг таахад хялбар байдаг.X Тэгээдцагт харилцан анхны тоогоор илэрхийлнэ

(GCD (x,y )=1).

Үүнийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэегол .

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох.

гурвалжин (x , y , z ) нь Пифагорын үндсэн гурвалжин юм. ТоонуудX Тэгээдцагт харьцангуй анхдагч тул хоёулаа тэгш байх боломжгүй. Тэд хоёулаа хачирхалтай байж болохгүй гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна ууСондгой тооны квадратыг 8-д хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэнэ. Үнэн хэрэгтээ ямар ч сондгой натурал тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно2 к -1 , Хаанак харьяалагддагН .

Эндээс: = -4 к +1 = 4 к ( к -1)+1.

Тоонууд( к -1) Тэгээдк – дараалсан, тэдгээрийн нэг нь заавал тэгш байх ёстой. Дараа нь илэрхийлэлк ( к -1) хуваасан2 , 4 к ( к -1) 8-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь тоо гэсэн үг 8-д хуваагдвал үлдэгдэл нь 1 болно.

Хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь 8-д хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гардаг тул хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгш тоо боловч 4-ийн үржвэр биш тул энэ тоодөрвөлжин байж болохгүй натурал тоо.

Тэгэхээр, хэрэв тэгш байдал (2) явагдах боломжгүйx Тэгээдцагт хоёулаа хачин.

Тиймээс хэрэв Пифагорын гурвалжин (x, y, z ) - үндсэн, дараа нь тоонуудын дундX Тэгээдцагт нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстой. y тоог тэгш байг. ТоонуудX Тэгээдz сондгой (сонинz тэгшитгэлээс (2) үүснэ).

Eq-аас.+ = бид үүнийг ойлгодог= ( z + x )( z - x ) (3).

Тоонуудz + x Тэгээдz - x хоёр сондгой тооны нийлбэр ба зөрүү нь тэгш тоо тул (4):

z + x = 2 а , z - x = 2 б , ХаанаА Тэгээдб харьяалагддагН .

z + x =2 а , z - x = 2 б ,

z = a+b , x = а - б. (5)

Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэа Тэгээдб харилцан анхны тоонууд юм.

Зөрчилдөөнөөр маргаж үүнийгээ баталъя.

GCD (а , б )= г , Хаанаг >1 .

Дараа ньг z Тэгээдx , улмаар тоонуудz + x Тэгээдz - x . Дараа нь тэгш байдал дээр үндэслэн (3) тоо хуваагч болно . Энэ тохиолдолдг тоонуудын нийтлэг хуваагч байх болноцагт ТэгээдX , гэхдээ тоонуудцагт ТэгээдX харьцангуй анхдагч байх ёстой.

Тооцагт , мэдэгдэж байгаагаар, тэгш байна, тиймээсy = 2c , Хаана-тай - натурал тоо. Тэгш байдал (4) дээр үндэслэсэн тэгш байдал (3) нь дараах хэлбэртэй байна. =2a*2 б , эсвэл =ab.

Арифметикээс үүнийг мэддэгхэрэв хоёрын үржвэр нь харилцан анхны тоонууднь натурал тооны квадрат бол эдгээр тоо бүр нь натурал тооны квадрат болно.

гэсэн үг,a = Тэгээдб = , Хаанам Тэгээдn харьцангуй анхны тоонууд учир нь тэдгээр нь анхны тоон хуваагч юмА Тэгээдб .

Тэгш байдал (5) дээр үндэслэн бид:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Дараа ньy = 2 mn .

Тоонуудм Тэгээдn , учир нь харьцангуй анхдагч бөгөөд нэгэн зэрэг байж болохгүй. Гэхдээ тэд нэгэн зэрэг хачин байж чадахгүй, учир нь энэ тохиолдолдx = - жигд байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой. Мэдээжийн хэрэг,y = 2 mn 4-т хуваагддаг. Иймээс үндсэн Пифагор гурвалжин бүрт ядаж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг. Үүнээс үзэхэд бүх тал нь анхны тоо байх Пифагор гурвалжин байдаггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг дараах теорем хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Бүх үндсэн гурвалжингуудцагт тэгш тоо, томъёоноос олж авсан

x = - , y =2 mn , z = + ( м > n ), Хаанам Тэгээдn – нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх бүх хос хос тоо (аль нь хамаагүй). Пифагорын үндсэн гурвалсан бүр (x, y, z ), Хаанацагт – тэр ч байтугай, хоёрдмол утгагүй байдлаар ийм байдлаар тодорхойлогддог.

Тоонуудм Тэгээдn хоёулаа тэгш эсвэл хоёулаа сондгой байж болохгүй, учир нь эдгээр тохиолдолд

x = тэгш байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой (y = 2 mn 4-т хуваагддаг).

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурван ихэрийг янз бүрийн аргаар зохиох

Хиндучуудын томъёололдм Тэгээдn – нь харьцангуй энгийн боловч дурын паритын тоо байж болох ба тэдгээрийг ашиглан Пифагорын гурвалсан дүрс үүсгэх нь нэлээд хэцүү байдаг. Тиймээс, Пифагорын гурвалсан бүтээлийг зохиох өөр арга замыг олохыг хичээцгээе.

= - = ( z - y )( z + y ), ХаанаX - хачин,y - тэгш,z - хачин

v = z - y , у = z + y

= uv , Хаанау - хачин,v - сондгой (харилцан анхны)

Учир нь хоёр сондгой анхны тооны үржвэр нь натурал тооны квадрат юму = , v = , Хаанак Тэгээдл – харьцангуй энгийн, сондгой тоо.

z - y = z + y = к 2 , Эндээс тэгшитгэлийг нэмж, нэгээс нөгөөг нь хасвал бид дараахь зүйлийг олж авна.

2 z = + 2 y = - тэр нь

z = у = x = kl

к

л

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (стэг)*(100…0 (стэг) +1)+1 =200…0 (с-1тэг) 200…0 (с-1тэг) 1

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар

Теорем

Пифагорын үндсэн гурвалжны хувьд нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой, нэг хөл нь 3-т хуваагдах ёстой бөгөөд Пифагорын гурвалжны талбай нь 6-ын үржвэртэй байх ёстой.

Баталгаа

Бидний мэдэж байгаагаар Пифагорын гурвалжин бүрт дор хаяж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг.

Нэг хөл нь 3-т хуваагддаг болохыг баталцгаая.

Үүнийг батлахын тулд Пифагорын гурвалжинд (x , y , z x эсвэлy 3-ын олон.

Одоо бид Пифагор гурвалжны талбай 6-д хуваагддаг болохыг баталж байна.

Пифагорын гурвалжин бүр 6-д хуваагдах натурал тоогоор илэрхийлэгдсэн талбайтай байдаг. Энэ нь хамгийн багадаа нэг хөл нь 3-т хуваагдаж, хамгийн багадаа нэг хөл нь 4-т хуваагддаг гэсэн үг юм. Гурвалжны талбай , хөлний хагас үржвэрээр тодорхойлогддог нь 6-д хуваагдах тоогоор илэрхийлэгдэх ёстой.

Дүгнэлт

Ажиллаж байна

- Эртний Хиндучуудын томъёолол батлагдсан

- Пифагорын гурван ихэрүүдийн тоог судалсан (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг)

- Пифагорын гурвалсан тоог олох аргуудыг зааж өгсөн болно

- Пифагорын гурвалжны зарим шинж чанарыг судалсан

Миний хувьд маш их байсан сонирхолтой сэдэвмөн миний асуултуудын хариултыг олох нь маш их болсон сонирхолтой үйл ажиллагаа. Ирээдүйд би Пифагорын гурвалжны Фибоначчийн дараалал, Фермагийн теоремтой холбох талаар авч үзэх, Пифагорын гурвалжны олон шинж чанарыг судлахаар төлөвлөж байна.

Уран зохиол

Л.С. Атанасян "Геометр 7-9-р анги" М.: Боловсрол, 2012.

В.Сиерпинский “Пифагорын гурвалжингууд” М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Бескровный I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Ажлын зорилго нь a2+b2=c2 хэлбэрийн Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолох арга, алгоритмыг боловсруулах явдал юм. Шинжилгээний үйл явц зарчмын дагуу явагдсан системчилсэн хандлага. Математик загваруудын зэрэгцээ Пифагорын гурвалсан гишүүн бүрийг нийлмэл квадрат хэлбэрээр харуулсан график загваруудыг ашигласан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь нэгж квадратуудын багцаас бүрддэг. Пифагорын гурвалсан хязгааргүй олонлогийг агуулж байгаа нь тогтоогдсон хязгааргүй тоо b–c утгын зөрүүгээр ялгагдах дэд олонлогууд. Энэ зөрүүг урьдчилан тодорхойлсон ямар ч утга бүхий Пифагорын гурвалсан хэлбэрийг бий болгох алгоритмыг санал болгож байна. 3≤a ямар ч утгын хувьд Пифагорын гурвалсан байдаг болохыг харуулсан

Пифагорын гурав дахин

системийн шинжилгээ

математик загвар

график загвар

1. Аносов Д.Н. Математик болон түүнээс ямар нэг зүйлийг харах. – М.: МЦНМО, 2003. – 24 х.: өвчтэй.

2. Эйерланд К., Розен М. Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.

3. Бескровный I.M. Системийн шинжилгээ ба мэдээллийн технологибайгууллагуудад: Заавар. – М.: РУДН, 2012. – 392 х.

4. Саймон Сингх. Их теоремФерм.

5. Фермат П. Тооны онол ба диофантийн шинжилгээний судалгаа. - М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, эндээс авах боломжтой: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Пифагорын гурвалсан тоонууд нь Пифагорын x2 + y2 = z2 харьцааг хангадаг гурван бүхэл тооны когорт юм. Ерөнхийдөө энэ нь диофантийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол, тухайлбал үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байдаг тэгшитгэлийн систем юм. Тэд Вавилоны эрин үеэс, өөрөөр хэлбэл Пифагороос эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Пифагор тэдний үндсэн дээр алдартай теоремоо нотолсоны дараа тэд нэрээ авсан. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан хүүхдийн асуудлыг аль нэг хэмжээгээр хөндсөн олон тооны эх сурвалжийн дүн шинжилгээнээс үзэхэд эдгээр гурвалсан хүүхдүүдийн одоо байгаа ангиуд, тэдгээрийн үүсэх боломжит арга замуудын талаархи асуулт хараахан бүрэн тайлагдаагүй байна.

Тиймээс Саймон Сингхийн номонд: - "Пифагорын шавь нар ба дагалдагчид ... Пифагорын гурван түлхүүр гэгдэх нууцыг дэлхийд хэлсэн" гэж бичсэн байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг дагаж бид уншдаг: - "Пифагорчууд өөр Пифагор гурвалсан гурвалсан, гурав дахь том квадратыг нэмж болох өөр квадратуудыг олохыг мөрөөддөг байв. …Тоо өсөхийн хэрээр Пифагорын гурван ихэр ховор болж, олоход улам хэцүү болж байна. Пифагорчууд ийм гурван ихрийг олох аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг ашиглан Пифагорын гурван ихэр хязгааргүй олон байдгийг баталжээ."

Дээрх ишлэлд төөрөгдөл үүсгэж буй үгсийг онцлон тэмдэглэв. Яагаад "Пифагорчууд ийм гурван ихрийг олох аргыг зохион бүтээсэн бол ... олохыг мөрөөддөг байсан" гэж юу вэ, яагаад их тоо"Тэднийг олох нь улам хэцүү болж байна ..."

Ажиллаж байна алдартай математикчД.В. Аносов, шаардлагатай хариултыг өгсөн бололтой. - “Х, y, z натурал (өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоонууд) гурвалсан тоонууд байдаг.

x2 + y2 = z2. (1)

… x2+y2=z2 тэгшитгэлийн бүх шийдийг натурал тоогоор олох боломжтой юу? …Тиймээ. Хариулт нь: ийм шийдэл бүрийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

Энд l, m, n нь натурал тоонууд, m>n-тэй, эсвэл x ба y-г сольсон ижил төстэй хэлбэрээр. Бүх боломжит натурал l ба m > n нь (2)-ын x, y, z нь (1) -ийн x ба y-ийн сэлгэлт хүртэлх бүх боломжит шийдлүүд гэдгийг бид арай товчхон хэлж болно. Жишээлбэл, гурвалсан (3, 4, 5) -ийг l=1, m=2, n=1 гэж авна. ... Вавилончууд энэ хариултыг мэддэг байсан бололтой, гэхдээ тэд хэрхэн яаж ирсэн нь тодорхойгүй байна.”

Математикчид ерөнхийдөө томъёоллынхоо нарийн ширийн талаар маш хатуу байдаг. Гэхдээ энэ ишлэлд тийм ноцтой байдал байхгүй. Тэгэхээр яг юу вэ: олох уу, төсөөлөх үү? Эдгээр нь огт өөр зүйл болох нь ойлгомжтой. Доорх нь "шинэ шатаасан" гурвалсан (доор тайлбарласан аргаар олж авсан) мөр юм.

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Эдгээр гурвалсан бүрийг (2) хамаарлын хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь l, m, n утгуудыг тооцоолж болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Гэхдээ энэ нь гурвалсан бүх утгыг олсны дараа юм. Үүнээс өмнө юу хийх вэ?

Эдгээр асуултын хариулт аль эрт тодорхой байгааг үгүйсгэх аргагүй. Гэвч зарим нэг шалтгааны улмаас тэд хараахан олдоогүй байна. Тиймээс энэхүү ажлын зорилго нь Пифагорын гурвалсан жишээнүүдийн багцад системчилсэн дүн шинжилгээ хийх, гурвалсан янз бүрийн бүлгүүдийн систем үүсгэгч харилцааг хайх, эдгээр бүлгүүдийн онцлог шинж чанарыг тодорхойлох, дараа нь тэдгээрийг хөгжүүлэх явдал юм. энгийн үр дүнтэй алгоритмуудурьдчилан тодорхойлсон тохиргоотой гурвалсан тоог тооцоолох. Тохиргоогоор бид гурвалсанд багтсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг ойлгодог.

Багаж хэрэгсэл болгон математикийн аппаратыг тус сургуульд заадаг математикийн хамрах хүрээнээс хэтрэхгүй түвшинд ашиглана. ахлах сургууль-д заасан аргууд дээр үндэслэн системийн шинжилгээ хийх.

Загварын барилга

Системийн шинжилгээний үүднээс авч үзвэл аливаа Пифагорын гурвалсан систем нь гурван тоо ба тэдгээрийн шинж чанаруудаас бүрддэг объектууд юм. Объектуудыг тодорхой харилцаанд байрлуулж, бие даасан объектууд эсвэл тэдгээрийн бусад багцад хамаарахгүй шинэ шинж чанартай системийг бүрдүүлдэг тэдгээрийн нэгдэл.

(1) тэгшитгэлд системийн объектууд нь энгийн алгебрийн харилцаагаар холбогдсон натурал тоонууд юм: тэгш байдлын тэмдгийн зүүн талд хоёр тооны нийлбэр нь 2-ын зэрэглэлд хүрсэн, баруун талд гурав дахь тоо, мөн өссөн байна. 2-ын хүч рүү. Хувь хүний ​​тоо, тэгш байдлын зүүн талд, 2-ын зэрэглэлд аваачиж, тэдгээрийн нийлбэрийн үйл ажиллагаанд ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй - үр дүнд нь нийлбэр нь юу ч байж болно. Гэхдээ нийлбэрийн үйлдлийн дараа тавьсан тэнцүү тэмдэг нь энэ нийлбэрийн утгад системчилсэн хязгаарлалт тавьдаг: нийлбэр нь квадрат язгуурыг задлах үйлдлийн үр дүн нь натурал тоо байх тийм тоо байх ёстой. Гэхдээ тэгш байдлын зүүн талд орлуулсан тоонуудын хувьд энэ нөхцөл хангагдахгүй. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр гишүүн ба гурав дахь гишүүний хооронд тэгш тэмдэг тавьсан нь гурван гишүүнийг систем болгон хувиргадаг. Энэхүү системийн шинэ онцлог нь анхны тоонуудын утгыг хязгаарлах явдал юм.

Тэмдэглэгээний хэлбэрт үндэслэн Пифагорын гурвалсан нь нийлбэр ба тэгш байдлын харьцаагаар холбогдсон гурван квадратаас бүрдэх геометрийн системийн математик загвар гэж үзэж болно. 1. Зураг. 1 нь авч үзэж буй системийн график загвар бөгөөд түүний аман загвар нь дараахь мэдэгдэл юм.

Хажуугийн урт c бүхий квадратын талбайг үлдэгдэлгүйгээр a ба b хажуугийн урттай хоёр квадрат болгон хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь анхны дөрвөлжингийн талбайтай, өөрөөр хэлбэл бүх талбайтай тэнцүү байна. a, b, c гэсэн гурван хэмжигдэхүүн нь хамаарлаар холбогдоно

Квадрат задралын график загвар

Системийн шинжилгээний хуулиудын хүрээнд хэрэв математик загвар нь тодорхой геометрийн системийн шинж чанарыг хангалттай тусгадаг бол энэ системийн шинж чанарын дүн шинжилгээ нь түүний математик загварын шинж чанарыг тодруулах боломжийг олгодог. тэдгээрийг илүү гүнзгий ойлгож, тодруулж, шаардлагатай бол сайжруулах. Энэ бол бидний дагаж мөрдөх зам юм.

Системийн шинжилгээний зарчмуудын дагуу нэмэх, хасах үйлдлийг зөвхөн нийлмэл объектууд, өөрөөр хэлбэл энгийн объектуудын багцаас бүрдэх объектууд дээр гүйцэтгэх боломжтой гэдгийг тодруулцгаая. Тиймээс бид ямар ч квадратыг энгийн буюу нэгж квадратуудын цуглуулгаас бүрдсэн дүрс гэж үзэх болно. Тэгвэл натурал тоогоор шийдийг олж авах нөхцөл нь нэгж квадрат хуваагдахгүй байх нөхцөлийг хүлээн зөвшөөрсөнтэй тэнцэнэ.

Тал бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү квадратыг нэгж квадрат гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, нэгж квадратын талбайг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

Квадратын тоон параметр нь тухайн талбайд байрлуулж болох нэгж квадратуудын тоогоор тодорхойлогддог талбай юм. Дурын утга бүхий дөрвөлжингийн хувьд x2 илэрхийлэл нь x урттай хэсгүүдээс үүссэн квадратын талбайг тодорхойлно. ганц сегментүүд. Энэ квадратын талбай нь x2 нэгж квадратыг багтааж болно.

Дээрх тодорхойлолтууд нь өчүүхэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж болох ч тийм биш юм. Д.Н. Аносов талбайн тухай ойлголтыг өөрөөр тодорхойлсон: - "... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид яагаад ийм гэдэгт итгэлтэй байна вэ? ...Бид ямар нэгэн нэгэн төрлийн материалаар хийсэн дүрсийг төсөөлөөд үзээд талбай нь агуулагдах бодисын хэмжээ буюу масстай пропорциональ байна. Цаашлаад биеийг хэд хэдэн хэсэгт хуваахад тэдгээрийн массын нийлбэр нь анхны биеийн масстай тэнцүү байна гэж ойлгодог. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь бүх зүйл атом, молекулуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн тоо өөрчлөгдөөгүй тул нийт масс нь ч өөрчлөгдөөгүй ... Эцсийн эцэст, нэг төрлийн материалын масс нь түүний эзэлхүүнтэй пропорциональ байна; Энэ нь өгөгдсөн дүрс хэлбэртэй "хуудас" -ын эзэлхүүн нь түүний талбайтай пропорциональ гэдгийг мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Нэг үгээр хэлбэл, ... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг геометрээр батлах ёстой. ...Киселевын сурах бичигт бидний одоо хэлэлцэж байгаа өмчтэй газар нутаг байгаа нь нэг төрлийн таамаглал гэж үнэнээр нь дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь үнэн хэрэгтээ үнэн байсан гэж хэлсэн боловч бид үүнийг батлахгүй. Тиймээс Пифагорын теорем нь хэрвээ талбараар нотлогдвол цэвэр логик утгаараа бүрэн батлагдаагүй хэвээр үлдэнэ."

Дээр дурдсан нэгж квадратын тодорхойлолтууд нь заасан D.N-ийг хассан мэт санагдаж байна. Аносовын тодорхойгүй байдал. Эцсийн эцэст, хэрэв дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн талбайг тэдгээрийг дүүргэх нэгжийн квадратуудын нийлбэрээр тодорхойлдог бол тэгш өнцөгтийг бие биетэйгээ зэргэлдээх дурын хэсгүүдэд хуваах үед тэгш өнцөгтийн талбай нь байгалийн байна. түүний бүх хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү.

Нэмж дурдахад, танилцуулсан тодорхойлолтууд нь хийсвэр геометрийн дүрстэй холбоотой "хуваах", "нэмэх" гэсэн ойлголтыг ашиглах эргэлзээг арилгадаг. Үнэн хэрэгтээ тэгш өнцөгт эсвэл бусад зүйлийг хуваах нь юу гэсэн үг вэ хавтгай дүрсхэсэг болгон? Хэрэв энэ нь цаасан хуудас бол хайчаар хайчилж болно. Хэрэв энэ нь газар бол хашаа тат. Өрөө - хуваалт тавих. Хэрэв энэ нь зурсан дөрвөлжин бол яах вэ? Хуваах шугам зурж, квадрат хуваагдсан гэж мэдэгдэнэ үү? Гэхдээ эцэст нь Д.И. Менделеев: “...Бүхнийг тунхаглаж болно, харин чи очоод жагсаа!

Санал болгож буй тодорхойлолтыг ашиглахдаа "Зураг хуваах" гэдэг нь энэ зургийг дүүргэх нэгж квадратуудын тоог хоёр (эсвэл түүнээс дээш) хэсэгт хуваахыг хэлнэ. Эдгээр хэсэг тус бүрийн нэгж квадратуудын тоо нь түүний талбайг тодорхойлно. Эдгээр хэсгүүдэд ямар ч тохиргоог өгч болно, гэхдээ тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь үргэлж анхны зургийн талбайтай тэнцүү байх болно. Математикчид эдгээр аргументыг буруу гэж үзэж магадгүй, тэгвэл бид тэдгээрийг таамаглал болгон хүлээн зөвшөөрөх болно. Хэрэв Киселевийн сурах бичигт ийм таамаглалыг хүлээн зөвшөөрвөл үүнтэй төстэй арга хэрэглэхгүй байх нь бидний хувьд нүгэл болно.

Системийн шинжилгээний эхний үе шат нь асуудлын нөхцөл байдлыг тодорхойлох явдал юм. Энэ үе шатны эхэнд хэдэн зуун Пифагор гурвалсан олддог янз бүрийн эх сурвалж. Үүний зэрэгцээ, хэвлэлд дурдсан Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн багцыг тохиргоондоо ялгаатай хэд хэдэн бүлэгт хувааж болох нь анхаарал татав. Тодорхой тохиргооны шинж тэмдэг болгон бид анхны болон хасагдсан квадратуудын талуудын уртын зөрүүг авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл, c-b утга. Жишээлбэл, хэвлэлд c-b=1 нөхцөлийг хангасан гурвалсан хүүхдүүдийг жишээ болгон харуулдаг. Ийм Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн цуглуулга нь "Ангилал c-1" гэж нэрлэгдэх олонлогийг бүрдүүлдэг гэж бодъё, мөн энэ ангийн шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

Зурагт үзүүлсэн гурван квадратыг авч үзье, үүнд c нь багасгаж буй квадратын хажуугийн урт, b нь хасагдсан квадратын хажуугийн урт, а нь тэдгээрийн ялгаанаас үүссэн квадратын хажуугийн урт юм. Зураг дээр. 1-ээс харахад хасагдсан квадратын талбайг багасгасан квадратын талбайгаас хасах үед үлдсэн хэсэг нь нэгж квадратын хоёр тууз хэвээр үлдэнэ.

Энэ үлдэгдэлээс квадрат үүсэхийн тулд нөхцөлийг хангасан байх ёстой

Эдгээр харилцаа нь нэг өгөгдсөн c тоог ашиглан гурвалсан бүх гишүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. (6) харьцааг хангадаг хамгийн бага c тоо нь c = 5. Тэгэхээр бүхний урт гурван тал(1) харьцааг хангасан квадратууд. Дундаж квадратын талын утгыг b гэдгийг санаарай

Бид анхны дөрвөлжингийн талыг нэгээр багасгаж дунд дөрвөлжин үүсгэхээр шийдсэн үед сонгосон. Дараа нь (5), (6) харилцаанаас. (7) бид дараах харьцааг олж авна.

Үүнээс үзэхэд c = 5 сонгосон утга нь b = 4, a = 3 утгуудыг өвөрмөц байдлаар тогтоодог.

Үүний үр дүнд "c - 1" ангиллын аль ч Пифагорын гурвалсан утгыг бүх гурван нэр томъёоны утгыг заасан нэг параметрээр - c-ийн утгаар тодорхойлдог хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг бидэнд олгодог харилцааг олж авав.

Дээрх жишээн дэх 5-ын тоо нь натурал тоон дээрх тэгшитгэл (6)-ийн шийдэлтэй c-ийн бүх боломжит утгуудын хамгийн бага нь байсан гэдгийг нэмж хэлье. Ижил шинж чанартай дараагийн тоо нь 13, дараа нь 25, дараа нь 41, 61, 85 гэх мэт. Энэ цуврал тоонуудад хөрш тоонуудын хоорондын зай маш хурдан нэмэгдэж байгааг харж болно. Жишээлбэл, хүчинтэй утгын дараа дараагийн хүчинтэй утга нь , дараа нь дараагийн хүчинтэй утга нь , өөрөөр хэлбэл хүчинтэй утга нь өмнөхөөсөө тавин саяас илүү зайтай байна!

Номонд энэ хэллэг хаанаас ирсэн нь тодорхой болсон: - "Тоо нэмэгдэх тусам Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд бага ба ховор тохиолддог бөгөөд тэдгээрийг олоход улам бүр хэцүү болж байна ...". Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэл үнэн биш юм. Зөвхөн c-ийн хөрш зэргэлдээх утгуудын дээрх хосуудад тохирох Пифагор гурвыг харах хэрэгтэй бөгөөд нэг онцлог шинж чанар нь нэн даруй анхаарлыг татдаг - хоёр хосын хувьд c-ийн утгууд нь ийм том интервалаар тусгаарлагдсан байдаг. эргэх утгууд нь хөрш сондгой тоонууд болно. Үнэхээр эхний хосын хувьд бидэнд байна

мөн хоёр дахь хосын хувьд

Тиймээс гурвалсан хүүхдүүд өөрсдөө "бага, түгээмэл болж" байгаа нь биш, харин c-ийн зэргэлдээх утгуудын хоорондын зай нэмэгдэж байна. Доор үзүүлсэн шиг Пифагорын гурвалсан тоо нь ямар ч натурал тоонд байдаг.

Одоо дараагийн ангийн гурван ихэр болох "С-2" ангиудыг харцгаая. Зураг дээрээс харж болно. 1, c талтай квадратаас талтай квадратыг (c - 2) хасах үед хоёр нэгж судлын нийлбэр хэлбэрээр үлдэгдэл үүсдэг. Энэ дүнгийн утгыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

(10) тэгшитгэлээс бид "c-2" ангиллын гурвалсан хязгааргүй багцын аль нэгийг тодорхойлох харилцааг олж авна.

(11) тэгшитгэлийн шийдэл натурал тоонд байх нөхцөл нь а нь натурал тоо болох c-ийн дурын утга юм. Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 5. Дараа нь энэ гурвалсан ангиллын "эхлэх" гурвалсан нь a = 4, b = 3, c = 5 олонлогоор тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, сонгодог Гурвалсан 3, 4, 5 үүссэн, зөвхөн одоо хасагдсан квадратын талбай нь үлдсэн хэсгийн талбайгаас бага байна.

Эцэст нь бид "s-8" ангийн гурвалсан хүүхдүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно. Гурвалсан энэ ангиллын хувьд квадратын талбайг анхны квадратын c2 талбайгаас хасахдаа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дараа нь (12) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 13 байна. Энэ утга дахь Пифагорын гурвалсан нь 12, 5, 13 хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд дахин хасагдсан квадратын талбай нь ​-ийн талбайгаас бага байна. үлдэгдэл. Тэмдэглэгээг дахин цэгцэлснээр бид "c - 1" ангилалд багтдаг гурвалсан 5, 12, 13-ыг авдаг. Бусад боломжит тохиргоонуудын цаашдын дүн шинжилгээ нь цоо шинэ зүйлийг илрүүлэхгүй байх шиг байна.

Тооцоолсон харьцааны гаралт

Өмнөх хэсэгт шинжилгээний логикийг системийн шинжилгээний шаардлагын дагуу түүний таван үндсэн үе шатын дөрөвт нь боловсруулсан: асуудлын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх, зорилгоо бүрдүүлэх, чиг үүргийг бүрдүүлэх, бүтцийг бий болгох. Одоо эцсийн, тав дахь шат руу шилжих цаг болжээ - ТЭЗҮ-ийг шалгах, өөрөөр хэлбэл зорилгодоо хэр хүрсэн эсэхийг шалгах. .

Хүснэгтийг доор үзүүлэв. "c - 1" ангилалд хамаарах Пифагорын гурвалсан утгыг харуулсан 1. Ихэнх гурвыг янз бүрийн хэвлэлд олдог боловч 999, 1001-тэй тэнцэх утгыг гурав дахин олдоггүй.

Хүснэгт 1

"c-1" зэрэглэлийн Пифагорын гурвалсан

Бүх гурвалсанууд (3) хамаарлыг хангаж байгааг баталж болно. Ийнхүү өмнөө тавьсан зорилтуудын нэг нь биеллээ. Өмнөх хэсэгт олж авсан (9), (11), (13) харьцаанууд нь нэг параметр c - багасгаж буй квадратын талыг зааж өгснөөр хязгааргүй гурвалсан багц үүсгэх боломжтой болгодог. Энэ нь мэдээжийн хэрэг (2) харьцаанаас илүү бүтээмжтэй хувилбар бөгөөд аль нэгийг нь дур мэдэн дурын утгатай l, m, n гэсэн гурван тоог зааж өгөөд эцэст нь Пифагорын гурвалсан гэдгийг мэдэж байж шийдлийг хайх хэрэгтэй. гарцаагүй олж авах болно, аль нь урьдчилж тодорхойгүй байна. Манай тохиолдолд үүсэж буй гурвалсан тохиргоог урьдчилан мэддэг бөгөөд зөвхөн нэг параметрийг зааж өгөх шаардлагатай. Гэвч харамсалтай нь энэ параметрийн утга бүрийн шийдэл байдаггүй. Мөн та түүний зөвшөөрөгдөх утгыг урьдчилан мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс олж авсан үр дүн нь сайн, гэхдээ хамгийн тохиромжтой зүйлээс хол байна. Дурын өгөгдсөн натурал тоогоор Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолж болохуйц шийдлийг олж авах нь зүйтэй юм. Энэ зорилгоор бид дөрөв дэх үе шат руу буцаж очих болно - олж авсан математик харилцааны бүтцийг бий болгох.

Гурвалсан хэсгийн үлдсэн гишүүдийг тодорхойлох үндсэн параметр болох c-г сонгох нь тохиромжгүй болсон тул өөр хувилбарыг туршиж үзэх хэрэгтэй. Хүснэгтээс харж болно. 1-д энэ параметрийн утгууд нь сондгой натурал тоонуудын цувралд дараалсан байдаг тул a параметрийг суурь болгон сонгох нь зүйтэй юм. Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид харилцааг (9) илүү бүтээлч хэлбэрт оруулдаг.

Харилцаа (14) нь a-ийн өгөгдсөн сондгой утгын хувьд Пифагорын гурвалсан тоог олох боломжийг бидэнд олгодог. Түүнчлэн b-ийн илэрхийллийн энгийн байдал нь тооцоолуургүйгээр ч тооцоолох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 13-ын тоог сонгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Мөн 99 дугаарын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

Харилцаа (15) нь n=1-ээс эхлэн өгөгдсөн n-ийн хувьд Пифагорын мөрийн бүх гурван гишүүний утгыг олж авах боломжийг олгодог.

Одоо "c - 2" ангийн Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг авч үзье. Хүснэгтэнд 2-т жишээ болгон ийм арван гурвыг харуулав. Түүгээр ч барахгүй, мэдэгдэж буй хэвлэлд зөвхөн гурван хос гурвалсан хүүхэд олдсон - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ба 16, 63, 65. Энэ нь тэдгээрийн үүссэн хэв маягийг тодорхойлоход хангалттай байсан. Үлдсэн долоо нь өмнө нь үүссэн харилцаанаас олдсон (11). Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс эдгээр харьцааг бүх параметрүүдийг a утгаар илэрхийлэхийн тулд өөрчилсөн. (11)-ээс харахад "c - 2" ангиллын бүх гурвалсан хүүхдүүд дараахь харьцааг хангаж байна.

Хүснэгт 2

Пифагорын гурвалсан "c-2"

Хүснэгтээс харж болно. 2, "c - 2" ангиллын хязгааргүй гурвалсан багцыг хоёр дэд ангилалд хувааж болно. a утга нь үлдэгдэлгүйгээр 4-т хуваагддаг гурвалсан хүмүүсийн хувьд b ба c утгууд сондгой байна. GCD = 1 байх ийм гурвалуудыг команд гэж нэрлэдэг. a утгууд нь бүхэл тоонд 4-т хуваагддаггүй гурвалсан тоонуудын хувьд a, b, c гурвалсан гурван гишүүн бүгд тэгш байна.

Одоо тодорхойлсон ангиудын гурав дахь - "c - 8" ангиллын шинжилгээний үр дүнг авч үзье. (13)-аас авсан энэ ангийн тооцоолсон хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.

Харилцаа (20), (21) нь үндсэндээ ижил байна. Цорын ганц ялгаа нь үйлдлийн дарааллыг сонгох явдал юм. Эсвэл (20) дагуу a-ийн хүссэн утгыг сонгоно (энэ тохиолдолд энэ утгыг 4-т хуваах шаардлагатай), дараа нь b ба c утгуудыг тодорхойлно. Эсвэл дурын тоог сонгоод дараа нь (21) харьцаанаас Пифагорын гурвалсан гурван гишүүнийг тодорхойлно. Хүснэгтэнд Зураг 3-т ийм аргаар тооцоолсон хэд хэдэн Пифагорын гурвыг харуулав. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан утгыг тооцоолох нь бүр ч хялбар байж болно. Хэрэв дор хаяж нэг утгыг мэддэг бол дараагийн бүх утгыг дараах хамаарлаар маш энгийнээр тодорхойлно.

Хүснэгт 3

(22) хамаарлын үнэн зөвийг хүснэгтээс гурвалсан тоог ашиглан шалгаж болно. 2, бусад эх сурвалжийн дагуу. Жишээлбэл, хүснэгтэд үзүүлэв. Налуу үсгээр бичсэн 4 нь Пифагорын гурвалсан (10,000 гурвалсан) дэлгэрэнгүй хүснэгтийн гурвалсан тоонууд юм. компьютерийн програмхамаарлаар (2) ба тодоор - (20) хамаарлаар тооцсон гурвалсан. Эдгээр утгууд нь заасан хүснэгтэд ороогүй болно.

Хүснэгт 4

"c-8" ангийн Пифагорын гурвалсан

Үүний дагуу гурвалсан хэлбэрийн хувьд дараахь харилцааг ашиглаж болно.

Мөн гурван ихэр хүүхдэд зориулсан<>, бид дараах харьцаатай байна:

Дээр дурдсан "c - 1", "c - 2", "c - 8" гурвалсан ангиуд нь өгөгдсөн хүснэгтээс эхний мянган гурвын 90 гаруй хувийг эзэлдэг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь эдгээр ангиудыг үндсэн гэж үзэх үндэслэл болж байна. (22), (23), (24) харилцааг гаргахдаа бид тооны онолд судлагдсан тооны тусгай шинж чанарыг (анхны, хоёрдогч тоо гэх мэт) ашиглаагүй гэдгийг нэмж хэлье. Пифагорын гурвалсан үүсэх илэрсэн хэв маягийг зөвхөн эдгээр гурвалсан гурвалсан геометрийн дүрсүүдийн системийн шинж чанараар тодорхойлдог - нэгж квадратуудын багцаас бүрдсэн квадратууд.

Дүгнэлт

Эндрю Уайлс 1993 онд хэлэхдээ: "Би энд зогсох ёстой гэж бодож байна." Зорилго бүрэн биеллээ. Бүтэц нь геометрийн дүрстэй холбоотой математик загваруудын шинж чанаруудын дүн шинжилгээ нь хэрэв шинжилгээний явцад цэвэр математик тооцоолол хийх юм бол мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан болохыг харуулж байна. геометрийн шинж чанаруудзагваруудыг судалж байна. Судлаач математикийн хувиргалт хийхгүйгээр хүссэн үр дүнгээ "хардаг" тул хялбарчлах боломжтой болсон.

Жишээлбэл, тэгш байдал

зүүн талд ямар ч өөрчлөлтгүйгээр тодорхой болно, та зүгээр л Зураг руу харах хэрэгтэй. 1, энэ тэгш байдлын график загварыг харуулсан.

Үүний үр дүнд дүн шинжилгээнд үндэслэн аль ч талтай квадратын хувьд b ба c талтай квадратуудыг олж, тэгш байдлыг хангаж, хамгийн бага тооцооллын үр дүнд хүрэх харьцааг олж авах боломжтой болохыг харуулж байна.

a-ийн сондгой утгуудын хувьд,

ба - тэгш утгын хувьд.

Ном зүйн холбоос

Бескровный I.M. Пифагорын гурвалсан шинж чанаруудын СИСТЕМИЙН ШИНЖИЛГЭЭ // Орчин үеийн өндөр технологи. – 2013. – No 11. – С. 135-142;
URL: http://site/ru/article/view?id=33537 (хандалтын огноо: 2020-03-20). "Байгалийн Шинжлэх Ухааны Академи" хэвлэлийн газраас эрхлэн гаргадаг сэтгүүлүүдийг та бүхэнд хүргэж байна.

Белотелов В.А. Пифагорын гурвалсан ба тэдгээрийн тоо // Нестеров нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нийтлэл нь нэг профессор - shchipach-ийн хариулт юм. Хараач, профессор аа, тэд манай тосгонд яаж үүнийг хийж байна.

Нижний Новгород муж, Заволжье.

Диофант тэгшитгэлийг (ARDE) шийдвэрлэх алгоритмын мэдлэг, олон гишүүнтийн прогрессийн мэдлэгийг шаарддаг.

IF бол анхны тоо юм.

SP нь нийлмэл тоо юм.

N сондгой тоо байг. Нэгээс бусад сондгой тооны хувьд та тэгшитгэл үүсгэж болно.

p 2 + N = q 2,

Энд р + q = N, q – р = 1 байна.

Жишээлбэл, 21 ба 23 тоонуудын хувьд тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Хэрэв N анхны бол энэ тэгшитгэл нь өвөрмөц юм. Хэрэв N тоо нь нийлмэл бол 1 x N гэх мэт энэ тоог илэрхийлэх хос хүчин зүйлийн тоог ашиглан ижил төстэй тэгшитгэлийг байгуулж болно.

N = 45 тоог авъя, -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

IF болон дунд түвшний хоорондох энэ ялгаанаас наалдсанаар тэдгээрийг тодорхойлох аргыг олох боломжтой болов уу гэж би бодлоо.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя;

Доод тэгшитгэлийг өөрчилье, -

N = in 2 – a 2 = (in – a)(in + a).

N-ийн утгыг b - a, i.e. шалгуурын дагуу бүлэглэе. Ширээ хийцгээе.

N тоонуудыг матрицад нэгтгэн харуулав, -

Энэ даалгаврын хувьд бид олон гишүүнтүүдийн прогресс болон тэдгээрийн матрицуудтай ажиллах шаардлагатай болсон. Бүх зүйл дэмий хоосон болж хувирав - IFs хамгаалалтаа хүчтэй барьж байв. Хүснэгт 1-д b - a = 1 (q - p = 1) байх баганыг оруулъя.

Бас дахин. IF болон MF-ийг тодорхойлох асуудлыг шийдвэрлэх оролдлого хийсний үр дүнд 2-р хүснэгтийг олж авсан. Хүснэгтээс үзэхэд дурын N тооны хувьд 2-д a 2 + N = хэлбэрийн олон тэгшитгэл байгаа бөгөөд N тоог хэдэн хос хүчин зүйлд хувааж болох бөгөөд үүнд 1 x N хүчин зүйл багтана. Үүнээс гадна N = ℓ 2 тоонууд, энд

ℓ - IF. ℓ нь давтамж хувиргагч N = ℓ 2-ын хувьд p 2 + N = q 2 өвөрмөц тэгшитгэл байна. Хүснэгтэнд N-ийг бүрдүүлэгч хос хүчин зүйлсээс нэгээс ∞ хүртэлх жижиг хүчин зүйлсийг тоочвол ямар төрлийн нэмэлт нотолгооны тухай ярьж болох вэ. Бид 2-р хүснэгтийг цээжинд байрлуулж, цээжийг шүүгээнд нууна.

Өгүүллийн гарчигт дурдсан сэдэв рүү буцъя.

Энэ нийтлэл нь нэг профессор - shchipach-ийн хариулт юм.

Би интернетээс олж чадаагүй хэд хэдэн дугаар хэрэгтэй байсан. Би “яагаад?”, “Надад аргаа үзүүлээч” гэх мэт асуултуудтай тулгарсан. Ялангуяа Пифагорын гурвалсан цуваа хязгааргүй эсэх, "Үүнийг хэрхэн батлах вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирэв. Тэр надад тусалсангүй. Хараач, профессор аа, тэд манай тосгонд яаж үүнийг хийж байна.

Пифагорын гурвалсан томьёог авч үзье, -

x 2 = y 2 + z 2. (1)

Үүнийг ARD-аар дамжуулъя.

Гурван нөхцөл байдал боломжтой:

I. x - сондгой тоо,

y бол тэгш тоо,

z бол тэгш тоо юм.

Мөн x > y > z гэсэн нөхцөл бий.

II. x бол сондгой тоо,

y бол тэгш тоо,

z бол сондгой тоо.

x > z > y.

III.x - тэгш тоо,

y бол сондгой тоо,

z бол сондгой тоо.

x > y > z.

I-ээс дарааллаар нь эхэлцгээе.

Шинэ хувьсагчдыг танилцуулъя

(1) тэгшитгэлд орлуулъя.

2γ-г бага хувьсагчаар бууруулъя.

(2α – 2γ + 2k + 1) 2 = (2β – 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

2β – 2γ хувьсагчийг жижиг хувьсагчаар багасгаж, нэгэн зэрэг шинэ параметр ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Дараа нь 2α – 2β = x – y – 1.

Тэгшитгэл (2) нь дараах хэлбэртэй байна.

(x – y + 2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Үүнийг квадрат болгоё -

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) + (2ƒ + 2k) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x – y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x – y) – (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDE нь параметрүүдээр дамжуулан тэгшитгэлийн тэргүүлэх гишүүдийн хоорондын хамаарлыг өгдөг тул бид (3) тэгшитгэлийг авна.

Шийдвэрүүдийг сонгох нь тийм ч сайн санаа биш юм. Гэхдээ нэгдүгээрт, явах газар байхгүй, хоёрдугаарт, эдгээр шийдлүүдийн хэд хэдэн нь шаардлагатай бөгөөд бид эцэс төгсгөлгүй цуврал шийдлүүдийг сэргээж чадна.

ƒ = 1, k = 1 үед бид x – y = 1 байна.

ƒ = 12, k = 16 бол бид x – y = 9 байна.

ƒ = 4, k = 32 бол бид x – y = 25 байна.

Сонголт хийхэд удаан хугацаа шаардагдах боловч эцэст нь цуврал нь дараах хэлбэртэй болно.

x – y = 1, 9, 25, 49, 81, ….

II хувилбарыг авч үзье.

(1) тэгшитгэлд шинэ хувьсагчдыг оруулъя.

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2.

2 β-г бага хувьсагчаар бууруулъя, -

(2α – 2β + 2к + 1) 2 = (2α – 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2.

2α – 2β, – бага хувьсагчаар бууруулъя.

(2α – 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α – 2γ = x – z ба (4) тэгшитгэлд орлуулна.

(x – z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2к) 2

(x – z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x – z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1)(x – z) – (2k) 2 = 0

ƒ = 3, k = 4 байхад бид x – z = 2 байна.

ƒ = 8, k = 14 бол бид x – z = 8 байна.

ƒ = 3, k = 24 бол бид x – z = 18 байна.

x – z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Трапец зурцгаая -

Томьёог бичье.

Энд n=1, 2,... ∞.

Бид III тохиолдлыг тайлбарлахгүй - тэнд шийдэл байхгүй.

II нөхцөлийн хувьд гурвалсан багц дараах байдалтай байна.

Тодорхой болгох үүднээс (1) тэгшитгэлийг x 2 = z 2 + y 2 гэж үзүүлэв.

I нөхцөлийн хувьд гурвалсан багц дараах байдалтай байна.

Нийтдээ гурвалсан 9 баганатай, тус бүрдээ таван ихэртэй. Мөн танилцуулсан багана бүрийг ∞ хүртэл бичиж болно.

Жишээ болгон сүүлийн баганын гурвалсан тоог авч үзье, энд x – y = 81.

x хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд бид трапец бичнэ, -

Томьёог бичье -

y хэмжигдэхүүний хувьд бид трапецийг бичнэ, -

Томьёог бичье -

z-ийн утгуудын хувьд бид трапец бичнэ, -

Томьёог бичье -

Энд n = 1 ÷ ∞ байна.

Амласан ёсоор, x – y = 81 үед гурвалсан цуваа ∞ руу ниснэ.

I ба II тохиолдлын хувьд x, y, z утгуудын хувьд матриц байгуулах оролдлого байсан.

Сүүлийн таван баганын дээд эгнээний х-ийн утгыг бичиж, трапецын хэлбэрийг байгуулъя.

Энэ нь бүтсэнгүй, гэхдээ загвар нь квадрат байх ёстой. Бүх зүйлийг эмх цэгцтэй байлгахын тулд I ба II баганыг нэгтгэх шаардлагатай болсон.

II тохиолдолд y ба z утгууд дахин солигдоно.

Бид нэг шалтгаанаар нэгдэж чадсан - картууд энэ ажилд сайн ажилласан - аз.

Одоо та x, y, z матрицуудыг бичиж болно.

Сүүлийн таван баганын дээд эгнээний x утгыг аваад трапецын хэлбэрийг байгуулъя.

Бүх зүйл хэвийн байна, бид матрицуудыг барьж чадна, тэгээд z-ийн матрицаас эхэлцгээе.

Цээжний шүүгээ рүү гүй.

Нийт: Нэгдмэл байдлаас гадна тооны шулуун дээрх сондгой тоо бүр нь өгөгдсөн N тоог бүрдүүлэгч хос хүчин зүйлийн тоотой тэнцэх Пифагорын гурвалсан бүрдэлд оролцдог бөгөөд үүнд 1 x N хүчин зүйл орно.

N = ℓ 2 тоо, энд ℓ нь давтамжийн хүчин зүйл бөгөөд хэрэв ℓ нь давтамжийн давтамж бол ℓxℓ хүчин зүйлүүд дээр гурвалсан байх ёсгүй.

x, y утгуудын матрицуудыг байгуулъя.

x матрицтай ажиллаж эхэлцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид давтамж хувиргагч ба давтамжийг тодорхойлох даалгавраас координатын сүлжээг сунгана.

Босоо эгнээний дугаарлалт нь илэрхийллээр хэвийн байна

Бид эхний баганыг арилгах болно, учир нь

Матриц нь дараах хэлбэртэй болно.

Босоо мөрүүдийг дүрсэлцгээе -

"a"-ын коэффициентүүдийг тайлбарлая.

Үнэгүй нөхцөлүүдийг тайлбарлая -

"x"-ийн ерөнхий томьёог бүтээцгээе -

Хэрэв бид "y" дээр ижил төстэй ажил хийвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Та энэ үр дүнд нөгөө талаас хандаж болно.

Тэгшитгэлийг авч үзье -

a 2 + N = 2-д.

Үүнийг бага зэрэг өөрчилье -

N = 2-д - a 2 .

Үүнийг квадрат болгоё -

N 2 = 4-т – 2-д 2 a 2 + a 4.

Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид 4в 2 а 2, - гэсэн утгыг нэмнэ.

N 2 + 4b 2 a 2 = b 4 + 2b 2 a 2 + a 4.

Тэгээд эцэст нь, -

(2 + a 2-д) 2 = (2ва) 2 + N 2.

Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд дараах байдлаар бүтсэн байна.

N = 117 тоотой жишээг авч үзье.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Хүснэгт 2-ын босоо багануудыг a – a гэсэн утгуудаар дугаарласан бол 3-р хүснэгтийн босоо багануудыг x – y утгуудаар дугаарласан.

x – y = (c – a) 2,

x = y + (c – a) 2.

Гурван тэгшитгэл хийцгээе.

(y + 1 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 = y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 = y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

3 ба 39-р хүчин зүйлүүд нь хоёрдогч тоо биш тул 9-ийн коэффициенттэй нэг гурвыг авсан.

Дээр бичсэн зүйлийг ерөнхий тэмдэгтээр дүрсэлцгээе -

Энэ ажлын бүх зүйл, түүний дотор Пифагорын гурвалсан тоог тоогоор тооцоолох жишээ

N = 117, жижиг хүчин зүйлтэй холбоотой - a. + a-д байгаа хүчин зүйлтэй холбоотой илт ялгаварлан гадуурхах. Энэ шударга бус байдлыг засъя - бид + a гэсэн хүчин зүйлтэй гурван тэгшитгэл зохиоё.

IF болон MF-ийг тодорхойлох асуудал руу буцъя.

Энэ чиглэлд маш их зүйл хийгдсэн бөгөөд өнөөдөр дараахь санаа гарч ирэв: таних тэгшитгэл, хүчин зүйлийг тодорхойлж чадах тэгшитгэл байхгүй байна.

F = a,b (N) хамаарлыг оллоо гэж бодъё.

Томьёо байдаг

Та F томьёо дахь b-ээс салж, a-тай холбоотой n-р зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авна, i.e. F = a(N).

Аливаа зэргийн хувьд n өгөгдсөн тэгшитгэл m хос хүчин зүйлтэй N тоо байна, m > n.

Үүний үр дүнд n зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь m үндэстэй байх ёстой.

Тийм ээ, ийм байж болохгүй.

Энэ ажилд N тоонууд тэгшитгэлийн z-ийн оронд байх үед x 2 = y 2 + z 2 тэгшитгэлийн хувьд авч үзсэн. N нь x-ийн оронд байвал энэ нь өөр асуудал юм.

Хүндэтгэсэн, Белотелов В.А.

"Бүсийн боловсролын төв"

Арга зүйн хөгжил

Шийдвэрлэхдээ Пифагорын гурвыг ашиглах

Улсын нэгдсэн шалгалтын геометрийн бодлого, тригонометрийн даалгавар

Калуга, 2016 он

I. Оршил

Пифагорын теорем бол геометрийн гол, тэр ч байтугай хамгийн чухал теоремуудын нэг юм. Үүний ач холбогдол нь геометрийн теоремуудын ихэнхийг үүнээс эсвэл түүний тусламжтайгаар гаргаж авах боломжтойд оршдог. Пифагорын теорем нь өөрөө огт илэрхий биш учраас бас гайхалтай юм. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны шинж чанарыг зураг дээрээс шууд харж болно. Гэхдээ та тэгш өнцөгт гурвалжинг хичнээн харсан ч түүний талуудын хооронд ийм энгийн харилцаа байгааг та хэзээ ч харахгүй. a2+b2=c2. Гэсэн хэдий ч түүний нэрийг авсан теоремыг Пифагор нээсэнгүй. Энэ нь бүр эрт мэдэгдэж байсан, гэхдээ магадгүй зөвхөн хэмжилтээс гарсан баримт юм. Пифагор үүнийг мэддэг байсан ч нотлох баримт олсон байх.

Тоолж баршгүй олон натурал тоо байдаг a, b, c, харилцааг хангаж байна a2+b2=c2.. Тэднийг дууддаг Пифагорын тоо. Пифагорын теоремын дагуу ийм тоонууд нь тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт болж чаддаг - бид тэдгээрийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэх болно.

Ажлын зорилго:Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын гурвыг ашиглах боломж, үр нөлөөг судлах сургуулийн курсматематик, Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар.

Ажлын зорилгод үндэслэн дараахь зүйлийг тогтооно. даалгавар:

Пифагорын гурван ихэрүүдийн түүх, ангиллыг судлах. Сургуулийн сурах бичигт байгаа, Улсын нэгдсэн шалгалтын тест, хэмжилтийн материалаас олдсон Пифагорын гурвалсан утгыг ашиглан асуудлыг шинжлэх. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд Пифагорын гурвалсан тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах үр нөлөөг үнэлэх.

Судалгааны объект: Пифагорын гурвалсан тоо.

Судалгааны сэдэв: Пифагорын гурвалсан тригонометр, геометрийн сургуулийн хичээлийн асуудлууд.

Судалгааны хамаарал. Пифагорын гурвалсан дүрсийг ихэвчлэн геометр, тригонометрт ашигладаг.

II. Үндсэн хэсэг. Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

2.1.Пифагорын тооны гурвалсан хүснэгт (Перелманы хэлснээр)

Пифагорын тоонууд нь хэлбэртэй байдаг а= m·n, , энд m ба n нь харьцангуй анхны сондгой тоонууд юм.

Пифагорын тоонууд нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

"Хөл" -ийн нэг нь гурвын үржвэр байх ёстой.

"Хөл" -ийн нэг нь дөрвийн үржвэр байх ёстой.

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой.

"Зөөлөн алгебр" номонд нийтлэг хүчин зүйлгүй зуу хүртэлх тоог агуулсан Пифагорын гурвалсан хүснэгтийг багтаасан болно.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Шустровын дагуу Пифагорын гурвалсан ангилал.

Шустров дараах хэв маягийг нээсэн: хэрэв бүгдээрээ Пифагорын гурвалжинБүлэгт хуваарилагдсан тохиолдолд x, тэгш у ба гипотенузын z-ийн сондгой хөлийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

x = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, энд N нь гэр бүлийн тоо, n нь гэр бүлийн гурвалжны серийн дугаар юм.

N ба n-ийн томьёонд нэгээс эхлэн дурын эерэг бүхэл тоог орлуулснаар та Пифагорын бүх үндсэн гурвалсан тоо, мөн тодорхой төрлийн үржвэрийг авч болно. Та бүх Пифагорын гурвалсан ширээг гэр бүл бүрт зориулж хийж болно.

2.3. Планиметрийн асуудлууд

Геометрийн янз бүрийн сурах бичгүүдийн бодлогуудыг харцгаая, эдгээр даалгавруудад Пифагорын гурвалсан тоо хэр олон удаа гарч ирдэг болохыг олж мэдье. Пифагорын гурвалсан хүснэгтээс гурав дахь элементийг олоход зориулсан өчүүхэн асуудлуудыг бид авч үзэхгүй, гэхдээ тэдгээр нь сурах бичигт байдаг. Өгөгдөл нь натурал тоогоор илэрхийлэгдээгүй асуудлын шийдлийг Пифагорын гурвалсан тоогоор хэрхэн багасгахыг бид харуулах болно.

7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгээс бодлого авч үзье.

№ 000. Хөлийг ашиглан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг ол А=, б=.

Шийдэл. Хөлний уртыг 7-оор үржүүлье, бид Пифагорын гурвалсан 3 ба 4-ээс хоёр элементийг авна. Алга болсон элемент нь 5, бид үүнийг 7-д хуваана. Хариулт.

№ 000. ABCD тэгш өнцөгт дээр CD=1.5, AC=2.5 бол BC-ийг ол.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" өргөн "240" өндөр "139 src=">

Шийдэл. ACD тэгш өнцөгт гурвалжинг шийд. Бид уртыг 2-оор үржүүлж, Пифагорын гурвалсан 3 ба 5-аас хоёр элементийг олж авдаг, алга болсон элемент нь 4, бид 2-оор хуваагдана. Хариулт: 2.

Дараагийн тоог шийдэхдээ харьцааг шалгана уу a2+b2=c2Энэ нь бүрэн сонголттой бөгөөд Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглахад хангалттай.

№ 000. Гурвалжин талуудыг тоогоор илэрхийлбэл зөв өнцөгтэй эсэхийг олж мэд.

a) 6,8,10 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм;

Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой. Хариулт: үгүй.

в) 9,12,15 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) – тийм;

d) 10,24,26 (Пифагорын гурвалсан 5,12.13) - тийм;

Пифагорын тоонуудын нэг нь тавын үржвэр байх ёстой. Хариулт: үгүй.

g) 15, 20, 25 (Пифагорын гурвалсан 3,4.5) - тийм.

Энэ хэсгийн гучин есөн даалгавраас (Пифагорын теорем) хорин хоёрыг нь Пифагорын тоо, тэдгээрийн шинж чанарын мэдлэгийг ашиглан амаар шийддэг.

000-р даалгаврыг авч үзье ("Нэмэлт даалгавар" хэсгээс):

AB=5см, BC=13см, CD=9см, DA=15см, AC=12см байх ABCD дөрвөн өнцөгтийн талбайг ол.

Асуудлын хувьд та харилцаа холбоог шалгах хэрэгтэй a2+b2=c2өгөгдсөн дөрвөлжин нь хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнаас тогтдогийг батална (эсрэг теорем). Мөн Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн тухай мэдлэг: 3, 4, 5 ба 5, 12, 13 нь таныг тооцооллоос аврах болно.

Бид 7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгээс хэд хэдэн асуудлын шийдлийг толилуулж байна.

Бодлого 156 (h). Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд нь 9 ба 40. Гипотенуз руу татсан медианыг ол.

Шийдэл . Гипотенуз руу татсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Пифагорын гурвалсан нь 9,40 ба 41. Тиймээс медиан нь 20.5 байна.

Асуудал 156 (i). Гурвалжны талууд тэнцүү байна: А= 13 см, b = 20 см ба өндөр hс = 12 см Суурийг ол -тай.

Даалгавар ( KIMS улсын нэгдсэн шалгалт). BH өндөр нь 12 бөгөөд энэ нь мэдэгдэж байгаа бол ABC хурц гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг ол. нүгэл А=,sin С=left">

Шийдэл.Бид тэгш өнцөгт ∆ ASK-ыг шийднэ: sin A=, BH=12, иймээс AB=13,AK=5 (Пифагорын гурвалсан 5,12,13). Бид тэгш өнцөгт ∆ ВСH: ВH =12, нүгэл С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9-ийг шийднэ. (Пифагорын гурвалсан 3,4,5).Радиусыг r ===4 томъёогоор олно.

2.4. Тригонометрт Пифагорын гурвалсан

Үндсэн мэдээлэл тригонометрийн ижилсэл– Пифагорын теоремын онцгой тохиолдол: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Иймд тригонометрийн зарим бодлогуудыг Пифагорын гурвалсан дүрсийг ашиглан амаар амархан шийдэж болно.

Функцийн өгөгдсөн утгыг ашиглан үлдсэн функцүүдийн утгыг олох шаардлагатай асуудлууд тригонометрийн функцууд, квадрат болон олборлохгүйгээр шийдэж болно квадрат язгуур. Мордковичийн (№ 000-№ 000) сургуулийн алгебрийн сурах бичигт (10-11) энэ төрлийн бүх ажлыг амаар шийдэж, хэдхэн Пифагорын гурвыг мэддэг: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Хоёр даалгаврын шийдлийг авч үзье.

дугаар 000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Шийдэл. Пифагорын гурвалсан: 3, 4, 5. Тиймээс cos t = -3/5; бор t = -4/3,

дугаар 000 b). tan t = 2.4, π< t < 3π/2.

Шийдэл. tg t = 2.4=24/10=12/5. Пифагорын гурвалсан 5,12,13. Шинж тэмдгүүдийг харгалзан бид sin t = -12/13, cos t = -5/13, cot t = 5/12-ыг авна.

3. Улсын нэгдсэн шалгалтын туршилт, хэмжих материал

a) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) нүгэл (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 тг (π–арксин (–3/5))= 4/3 тг (π+арксин 3/5)= 4/3 тг арксин 3/5=4/3 3/4=1

е) тэгш байдлыг шалгах:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Шийдэл. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

нүгэл (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = нүгэл (arсcos 16/65)

нүгэл (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

III. Дүгнэлт

IN геометрийн асуудлуудихэвчлэн шийдэх хэрэгтэй болдог зөв гурвалжин, заримдаа хэд хэдэн удаа. Даалгавруудад дүн шинжилгээ хийсний дараа сургуулийн сурах бичигТэгээд Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, бид гурвалсан хүүхдүүдийг голчлон ашигладаг гэж дүгнэж болно: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; санахад хялбар байдаг. Зарим тригонометрийн бодлого бодохдоо сонгодог шийдэлашиглан тригонометрийн томъёоолон тооны тооцоололд цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд Пифагорын гурвалсан байдлын талаархи мэдлэг нь тооцооллын алдааг арилгаж, Улсын нэгдсэн шалгалтанд илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хэмнэх болно.

Ном зүй

1. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 14 цагт 2-р хэсэг. Асуудлын ном боловсролын байгууллагууд/ [гэх мэт]; засварласан . – 8 дахь хэвлэл, устгасан. – М .: Mnemosyne, 2007. – 315 х. : өвчтэй.

2. Перелман алгебр. – Д.: VAP, 1994. – 200 х.

3. Рогановский: Сурах бичиг. 7-9-р ангийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн чиглэлээр суралцах. сургууль орос хэлнээс хэл сургалт, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. – 574 х.: өвчтэй.

4. Математик: Түүх, арга зүй, дидактикийн чиглэлээр уншигч. / Comp. . – М.: URAO хэвлэлийн газар, 2001. – 384 х.

5. “Сургууль дахь математик” сэтгүүл 1965 оны №1.

6. Улсын нэгдсэн шалгалтын туршилт, хэмжих материал.

7. Геометр, 7-9: Сурах бичиг. ерөнхий боловсролын байгууллагуудын хувьд / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

8. Геометр: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль/ гэх мэт – 2-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 1993, - 207 х.: өвчтэй.

Перелман алгебр. – Д.: VAP, 1994. – 200 х.

"Сургуулийн математик" сэтгүүл 1965 оны №1.

Геометр, 7-9: Сурах бичиг. ерөнхий боловсролын байгууллагуудын хувьд / гэх мэт - 13-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2003. – 384 х. : өвчтэй.

Рогановский: Сурах бичиг. 7-9-р ангийн хувьд. гүнтэй ерөнхий боловсролын математикийн чиглэлээр суралцах. сургууль орос хэлнээс хэл сургалт, - 3-р хэвлэл. - Mn.; Нар. Асвета, 2000. – 574 х.: өвчтэй.

Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 анги. 2 цагт 2-р хэсэг. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан асуудлын ном / [болон бусад]; засварласан . – 8 дахь хэвлэл, устгасан. – М .: Mnemosyne, 2007. – 315 х. : өвчтэй, х.18.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Eq. x 2 + y 2 = z 2 нэгэн төрлийн, үржих үед x , yТэгээд zижил тооны хувьд та өөр Пифагор гурвалсан болно. Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг анхдагч, хэрэв үүнийг ийм аргаар олж авах боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл, анхны тоонууд.

Жишээ

Зарим Пифагор гурвалсан (хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлсэн, анхдагчуудыг тодруулсан):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Фибоначчийн тоонуудын шинж чанарт үндэслэн тэдгээрээс жишээ нь дараах Пифагорын гурвалсан тоонуудыг зохиож болно.

.

Өгүүллэг

Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг маш удаан хугацаанд мэддэг байсан. Эртний Месопотамийн булшны чулууны архитектураас олдсон тэгш өнцөгт гурвалжин, 9, 12, 15 тохой талуудтай тэгш өнцөгт хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Фараон Снофругийн пирамидуудыг (МЭӨ XXVII зуун) 20, 21, 29 талтай гурвалжин, түүнчлэн 18, 24, 30 арван Египет тохой бүхий гурвалжин ашиглан барьсан.

Мөн үзнэ үү

Холбоосууд

• Е.А.ГоринПифагорын гурвалсан анхны тоонуудын зэрэглэл // Математикийн боловсрол. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Пифагорын тоо" гэж юу болохыг хараарай. Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5...

Том нэвтэрхий толь бичиг Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурав дахин, жишээ нь: 3, 4, 5 тоонуудын гурав дахин. тэр.........

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Пифагорын теоремтой эсрэг тэсрэг теоремын дагуу (Пифагорын теоремыг үзнэ үү) үүнд хангалттай ... ...

x2+y 2=z2 тэгшитгэлийг хангах x, y, z эерэг бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо. Энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд, тиймээс бүх хэсэгчилсэн тоонууд нь x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 томъёогоор илэрхийлэгдэх ба энд a ба b нь дурын эерэг бүхэл тоо (a>b). P.h... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5... Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд Пифагорын тоонууд (Пифагорын гурвалсан) нь Пифагорын харьцааг хангадаг гурван бүхэл тоонуудын багц юм: x2 + y2 = z2. Агуулга 1 Properties 2 Жишээ ... Википедиа

Дүрслэгдсэн тоонууд нь аль нэгтэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм геометрийн дүрс. Энэ түүхэн ойлголтПифагорчууд руу буцдаг. "Дөрвөлжин эсвэл шоо" гэсэн илэрхийлэл нь дүрслэгдсэн тоонуудаас үүссэн гэж таамаглаж байна. Агуулга... ...Википедиа

Дүрслэгдсэн тоо нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхтэй. Дараах төрлийн дүрслэгдсэн тоонуудыг ялгадаг: Шугаман тоонууд нь үржвэрлэх боломжгүй тоо, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн... ... Википедиа

- "Пи парадокс" бол 80-аад он хүртэл оюутнуудын дунд эргэлдэж байсан (үнэндээ микро тооцоолуурын массын тархалтаас өмнө) математикийн сэдвээр онигоо бөгөөд тригонометрийн функц, ..-ийн тооцооллын нарийвчлал хязгаарлагдмал холбоотой байв. . ... Википедиа

- (Грек арифметика, arithmys тоо гэсэн үг) тооны шинжлэх ухаан, үндсэндээ натурал (эерэг бүхэл тоо) тоо ба (рационал) бутархай, тэдгээрийн үйлдлүүдийн тухай. Натурал тооны тухай хангалттай хөгжсөн ойлголт, чадвартай байх....... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Архимед Зун буюу Залуу Математикчдын Хамтын Нөхөрлөлийн Түүх. Хоёртын тооллын систем, Бобров Сергей Павлович. Хоёртын тооллын систем, Ханойн цамхаг, баатар нүүдэл, шидэт квадратууд, арифметик гурвалжин, дүрст тоо, хослолууд, магадлалын тухай ойлголт, Мобиусын зурвас, Клейн сав.…