Байгаль бол төгс бүтээл бөгөөд бүтцийг олж илрүүлсэн эрдэмтэд итгэлтэй байна хүний ​​биеалтан харьцааны харьцаа, цэцэгт байцааны толгойд - фрактал дүрсүүд.

МЭӨ I зуунд Цицерон "Байгалийг судлах, ажиглах нь шинжлэх ухааныг төрүүлсэн" гэж бичжээ. Илүү их хожуу үеШинжлэх ухаан хөгжиж, байгалийг судлахаас алслагдсан тул бидний өвөг дээдсийн мэддэг байсан боловч шинжлэх ухааны аргаар батлагдаагүй зүйлийг эрдэмтэд гайхшруулж байна.

Бичил болон макрокосмоос ижил төстэй формацуудыг олох нь сонирхолтой бөгөөд шинжлэх ухаан эдгээр формацийн геометрийг дүрсэлж чаддаг нь урам зориг өгөх болно. Цусны эргэлтийн систем, гол мөрөн, аянга, модны мөчир... энэ бүгд ижил төстэй системүүд бөгөөд өөр өөр хэсгүүдээс бүрддэг, өөр өөр хэмжээтэй байдаг.

"Алтан харьцаа" -ын хувь хэмжээ

Эртний Грекчүүд, магадгүй Египетчүүд хүртэл "алтан хэсэг" -ийн эзлэх хувийг мэддэг байсан. Сэргэн мандалтын үеийн математикч Лука Пачиоли энэ харьцааг " бурханлаг хувь хэмжээ" Эрдэмтэд үүнийг хожим нь олж мэдсэн алтан харьцааХүний нүдийг баясгадаг, сонгодог уран барилга, урлаг, тэр байтугай яруу найрагт ч олонтаа байдаг , байгалийн хаа сайгүй тааралддаг.

Алтан харьцаа нь сегментийг тэгш бус хоёр хэсэгт хуваах бөгөөд урт хэсэг нь бүхэлдээ сегменттэй богино хэсэг нь урттай холбоотой байдаг. Урт хэсгийг бүхэлд нь сегментэд харьцуулсан харьцаа нь хязгааргүй тоо, иррационал бутархай нь 0.618..., богино хэсгийн харьцаа нь 0.382... байна.

Хэрэв та "алтан харьцаа"-ны харьцаатай тэнцүү талуудтай тэгш өнцөгтийг барьж, түүнд өөр "алтан тэгш өнцөгт" -ийг дотор нь өөр нэгийг, мөн гаднаас нь дотогшоо хязгааргүй байдлаар бичвэл спираль болно. тэгш өнцөгтүүдийн булангийн цэгүүдийн дагуу зурна. Ийм спираль нь наутилус бүрхүүлийн зүсэлт, мөн байгальд байдаг бусад спиральтай давхцах нь сонирхолтой юм.

Зураг: Homk/wikipedia.org

"Наутилус"-ын олдвор.
Зураг: Studio-Annika/Photos.com

Наутилус бүрхүүл.
Зураг: Крис 73/en.wikipedia.org

Алтан харьцааны харьцаа нь хүний ​​нүдээр үзэсгэлэнтэй, эв найртай гэж ойлгогддог. Мөн 0.618... хувь нь Фибоначчийн цувралын өмнөх тооноос дараагийн тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Фибоначчийн цувралын тоонууд нь байгальд хаа сайгүй гарч ирдэг: энэ нь ургамлын мөчрүүд иштэй нийлдэг спираль, нарсны боргоцой дээрх хайрс эсвэл наранцэцгийн үр тариа ургадаг спираль юм. Сонирхолтой нь, цагийн зүүний эсрэг болон цагийн зүүний дагуу эргэлдэж буй эгнээний тоо нь Фибоначчийн цувралын зэргэлдээ тоонууд юм.

Брокколи байцааны толгой, хуцны эвэр мушгиа мушгина... Тэгээд хүний ​​биед мэдээж эрүүл, хэвийн харьцаатай алтан харьцаа байдаг.

Витрувийн хүн. Леонардо да Винчигийн зурсан зураг.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... нь Фибоначчийн цувралын тоонууд бөгөөд дараагийн гишүүн бүрийг өмнөх хоёрын нийлбэрээс гаргаж авдаг. Хиймэл дагуулаар авсан алсын спираль галактикууд мөн Фибоначчийн спираль хэлбэрээр эргэлддэг.

Спираль галактик.
Зураг: НАСА

Гурван халуун орны циклон.
Зураг: НАСА

ДНХ молекул нь давхар мушгиа хэлбэрээр эргэлддэг.

Эрчилсэн хүний ​​ДНХ.
Зураг: Zephyris/en.wikipedia.org

Хар салхи нь спираль хэлбэрээр эргэлддэг, аалз нь спираль хэлбэрээр сүлждэг.

Загалмайн аалзны тор.
Зураг: Винсент де Гроот/video.net

"Алтан харьцаа" нь эрвээхэйний биеийн бүтэц, түүний биеийн цээж, хэвлийн хэсгүүд, мөн соно зэргээс харагдаж болно. Ихэнх өндөг нь алтан харьцааны тэгш өнцөгт биш бол түүний деривативт багтдаг.

Зураг: Адольф Миллот

Фракталууд

Байгалийн хаа сайгүй бидний харж болох бусад сонирхолтой хэлбэрүүд бол фракталууд юм. Фракталууд нь хэсгүүдээс бүрдэх хэлбэрүүд бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь бүхэл бүтэн хэлбэртэй төстэй байдаг - энэ нь алтан харьцааны зарчмыг санагдуулдаггүй гэж үү?

Мод, аянга, гуурсан хоолой, хүний ​​цусны эргэлтийн систем нь фрактал хэлбэртэй байдаг бөгөөд оймын болон цэцэгт байцааг фракталуудын хамгийн тохиромжтой байгалийн дүрслэл гэж нэрлэдэг. "Бүх зүйл маш төвөгтэй, бүх зүйл маш энгийн" гэж байгальд зохион байгуулдаг гэдгийг хүмүүс анзаарч, хүндэтгэлтэйгээр сонсдог.

"Байгаль хүнд үнэнийг олж мэдэх хүслийг хайрласан" гэж Цицерон бичсэн бөгөөд би байгалийн геометрийн тухай өгүүллийн эхний хэсгийг дуусгахыг хүсч байна.

Брокколи бол фракталын төгс байгалийн дүрслэл юм.
Фото: pdphoto.org

Оймын навчнууд нь фрактал хэлбэртэй байдаг - тэдгээр нь хоорондоо төстэй байдаг.
Фото: Stockbyte/Photos.com

Ногоон фракталууд: оймын навч.
Зураг: Жон Фокс/Photos.com

Шарласан навчны судлууд нь фрактал хэлбэртэй байдаг.
Зураг: Диего Баручко/Photos.com

Чулуун дээрх хагарал: макро дахь фрактал.
Зураг: Боб Бийл/Photos.com

Туулайн чихэнд цусны эргэлтийн тогтолцооны салбарууд.
Зураг: Lusoimages/Photos.com

Аянга цохих - фрактал салбар.
Фото: John R. Southern/flickr.com

Хүний биеийн артерийн судаснуудын салбар.

Эргэдэг гол ба түүний салбарууд.
Фото: Jupiteriimages/Photos.com

Шилэн дээр хөлдсөн мөс нь өөртэйгөө төстэй загвартай байдаг.
Зураг: Schnobby/en.wikipedia.org

Салбар судалтай иви навч - фрактал хэлбэртэй.
Фото: Wojciech Plonka/Photos.com

Сайн бүтээлээ мэдлэгийн санд оруулах нь амархан. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

Нийтэлсэн http://www.allbest.ru/

ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам

Сэдэв: Фракталууд- онцгойобъектуудамьдТэгээдамьгүйамар амгалан

Хабаровск ТОГУ 2015 он

• Агуулгын хүснэгт
• фрактал геометрийн фрактал график
• Фракталуудын түүх
• Фракталуудын ангилал
• Геометрийн фракталууд
• Алгебрийн фракталууд
• Фракталуудын хэрэглээ
• Фракталууд ба бидний эргэн тойрон дахь ертөнц
• Фрактал график
• Фракталуудын хэрэглээ
• Байгалийн шинжлэх ухаан
• Радио инженерчлэл
• Мэдээлэл зүй
• Эдийн засаг, санхүү

Фракталуудын түүх

Бид ихэвчлэн тусгай объектуудтай тулгардаг, гэхдээ цөөхөн хүн эдгээр нь фрактал гэдгийг мэддэг. Фракталууд бол эмх замбараагүй ертөнцийн урьдчилан тааварлашгүй хөдөлгөөнөөс үүссэн өвөрмөц объект юм. Эдгээр нь эсийн мембран гэх мэт жижиг биетүүд болон том биетүүдэд хоёуланд нь байдаг нарны системболон Галакси. IN өдөр тутмын амьдралБид фракталуудыг ханын цаас, даавуу, компьютер дээрх ширээний дэлгэц амраагч, байгаль дээр харж болно - эдгээр нь ургамал, далайн амьтад, байгалийн үзэгдэл юм.

Эрдэмтэд эрт дээр үеэс фракталуудыг сонирхож ирсэн бөгөөд програмистууд болон компьютер графикийн мэргэжилтнүүд ч эдгээр объектуудад дуртай байдаг. Фракталуудыг нээсэн нь хүн төрөлхтний ертөнцийг танин мэдэхэд гарсан хувьсгал, урлаг, шинжлэх ухааны шинэ гоо зүйн нээлт байв.

Тэгэхээр фрактал гэж юу вэ? Фрактал- өөртэйгөө ижил төстэй шинж чанартай геометрийн дүрс, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэлдээ дүрстэй төстэй.

Фрактал гэдэг нэр томъёог 1975 онд санал болгосон. Бенуа Манделброт түүний санаа зовж байсан жигд бус, өөртэйгөө төстэй бүтцийг тодорхойлох. Фрактал геометрийн төрөлт нь 1977 онд "Байгалийн фрактал геометр" номоо хэвлүүлсэн явдал юм. Түүний бүтээлийг 1875 онд ажиллаж байсан эрдэмтэн Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф нарын бүтээлүүд дээр үндэслэсэн байв? 1925 онд мөн адил нутагт. Харин бидний үед л ажлаа нэгтгэж нэг системд оруулж чадсан.

"Фрактал" гэсэн ойлголт нь Латин "фрактус" гэсэн үгнээс гаралтай юу? хэсгүүдээс бүрддэг. Тодорхойлолтуудын нэг нь: "Фрактал гэдэг нь зарим утгаараа бүхэлдээ төстэй хэсгүүдээс бүрдэх бүтэц юм."

Бенуа Манделброт бүтээлдээ зарим зүйлийг тайлбарлахын тулд фрактал ашиглах тод жишээг өгсөн байгалийн үзэгдлүүд. Тэрээр олон фракталд байдаг нэгэн сонирхолтой шинж чанарт ихээхэн анхаарал хандуулсан. Баримт нь ихэвчлэн фракталыг дур зоргоороо жижиг хэсгүүдэд хувааж болох тул хэсэг бүр нь бүхэлдээ жижигрүүлсэн хуулбар болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, фракталыг микроскопоор харвал микроскопгүйтэй ижил зургийг хараад гайхах болно. Өөртэйгөө ижил төстэй шинж чанар нь фракталуудыг сонгодог геометрийн объектуудаас эрс ялгадаг.

Орчин үеийн эрдэмтдийн хувьд фрактал судлах уу? зөвхөн шинэ мэдлэгийн талбар биш. Энэ бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг дүрсэлсэн геометрийн шинэ төрлийн нээлт бөгөөд үүнийг зөвхөн сурах бичигт төдийгүй байгаль, хязгааргүй ертөнцөөс харж болно. Одоо Манделброт болон бусад эрдэмтэд фрактал геометрийн салбарыг өргөжүүлж, хөрөнгийн зах зээлийн үнийг урьдчилан таамаглахаас эхлээд онолын физикт шинэ нээлт хийх хүртэл дэлхийн бараг бүх зүйлд ашиглах боломжтой болсон.

Фракталуудын ангилал

Фракталуудын янз бүрийн ангилал байдаг.

Фракталуудын үндсэн ангилал нь геометрийн болон алгебрийн хуваагдал юм.

Геометрийн фракталууд нь өөртэйгөө ижил төстэй, алгебрийн фракталууд нь ойролцоо байдаг.

Мөн байгалийн болон хүний ​​гараар бүтсэн фрактал гэж хуваагддаг.

Хүний гараар бүтсэн фракталууд нь эрдэмтдийн зохион бүтээсэн фрактал шинж чанартай байдаг. Байгалийн фракталууд нь оршин тогтнох талбайн хязгаарлалттай байдаг - өөрөөр хэлбэл объектын фрактал шинж чанарыг харуулдаг хамгийн их ба хамгийн бага хэмжээ.

Хамгийн энгийн фракталууд нь геометрийн фракталууд юм.

Геометрийн фракталууд

Геометрийн фракталуудыг сонгодог, детерминист эсвэл шугаман гэж нэрлэдэг. Хуваарь өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөггүй хатуу ижил төстэй байдал гэж нэрлэгддэг тул тэдгээр нь хамгийн харагдахуйц байдаг. Энэ нь та фракталыг хичнээн ойртуулахаас үл хамааран ижил хэв маягийг харсаар байна гэсэн үг юм.

Хоёр хэмжээст тохиолдолд генератор гэж нэрлэгддэг зарим тасархай шугамыг зааж өгснөөр ийм фракталуудыг олж авч болно. Алгоритмын нэг алхамд өгөгдсөн полилин (санаачлагч)-ын сегмент бүрийг тохирох масштабаар генераторын полилинээр солино. Энэхүү процедурын төгсгөлгүй давталтын үр дүнд фрактал муруйг олж авдаг. Энэ муруй нь илэрхий төвөгтэй хэдий ч түүний хэлбэр нь зөвхөн генераторын хэлбэрээр тодорхойлогддог.

Хамгийн алдартай геометрийн фракталууд: Кох муруй, Минковскийн муруй, Леви муруй, луугийн муруй, Сиерпинскийн салфетка ба хивс, Дюрер таван өнцөгт.

Зарим геометрийн фракталуудыг бүтээх

1). Кох муруй.

Үүнийг 1904 онд Германы математикч Хельге фон Кох зохион бүтээжээ. Үүнийг барихын тулд бид авдаг нэгж сегмент, гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдсан бөгөөд дунд холбоос нь энэ холбоосгүй тэгш талт гурвалжингаар солигдоно. Дараагийн алхамд бид үүссэн дөрвөн сегмент бүрийн үйлдлийг давтан хийнэ. Энэхүү процедурын төгсгөлгүй давталтын үр дүнд фрактал муруйг олж авдаг.

2). Сиерпинскийн салфетка.

1915 онд Польшийн математикч Вацлав Сиерпински нэгэн сонирхолтой зүйлийг бодож олжээ. Үүнийг бүтээхийн тулд бид хатуу хэсгийг авдаг тэгш талт гурвалжин. Эхний шатанд урвуу тэгш талт гурвалжинг төвөөс нь салгав. Хоёр дахь алхам нь гурван урвуу гурвалжинг үлдсэн гурван гурвалжингаас хасах гэх мэт. Онолоор бол энэ үйл явц дуусахгүй, гурвалжинд амьдрах орон зай үлдэхгүй, гэхдээ энэ нь бас нурж унахгүй - үр дүн нь зөвхөн нүхнээс бүрдэх объект болно.

3). Хартер-Хэйтвэйгийн луу.

Хартер-Хейтауэй луу гэгддэг Хартерын лууг НАСА-гийн физикчид анх судалж байсан уу? Жон Хэтвей, Уильям Хартер, Брюс Бэнкс нар. Үүнийг 1967 онд Мартин Гарднер Scientific American сэтгүүлийн Математикийн тоглоомын буланд дүрсэлсэн байдаг.

Дараагийн алхамд шулуун шугамын сегмент бүрийг тэгш өнцөгтийн хажуу талыг бүрдүүлдэг хоёр сегментээр солино. зөв гурвалжин, үүний хувьд анхны сегмент нь гипотенуз байх болно. Үүний үр дүнд сегмент нь зөв өнцгөөр нугалж байх шиг байна. Хазайлтын чиглэл ээлжлэн солигдоно. Эхний сегмент нь баруун тийшээ (зүүнээс баруун тийш шилжихэд), хоёр дахь нь зүүн тийш, гурав дахь нь дахин баруун тийш гэх мэт.

Геометрийн фракталуудын жишээ

МуруйКохСалфеткаСиерпински

ЛууХартер-Хэтхауэй

Фракталуудын хоёр дахь том бүлэг нь алгебр юм. Тэд алгебрийн томъёоны үндсэн дээр бүтээгдсэн тул нэрээ авсан.

Алгебрийн фракталууд

Компьютерийн тусламжгүйгээр нийлмэл (алгебрийн) фрактал үүсгэх боломжгүй. Өнгөлөг үр дүнд хүрэхийн тулд энэ компьютер нь хүчирхэг математикийн сопроцессор, дэлгэцтэй байх ёстой өндөр нарийвчлалтай. Тэд алгебрийн томъёоны үндсэн дээр бүтээгдсэн тул нэрээ авсан. Энэ томьёог математик боловсруулсны үр дүнд дэлгэцэн дээр тодорхой өнгөт цэг гарч ирнэ. Үүний үр дүнд шулуун шугамууд муруй болж хувирдаг хачирхалтай дүрс гарч ирдэг бөгөөд янз бүрийн масштабын түвшинд ижил төстэй эффектүүд гарч ирдэг боловч хэв гажилтгүй биш юм. Компьютерийн дэлгэц дээрх бараг бүх цэг нь тусдаа фракталтай адил юм.

Хамгийн алдартай алгебрийн фракталууд: Манделброт ба Жулиа багц, Ньютоны сан.

Алгебрийн фракталууд нь ойролцоогоор өөртэйгөө төстэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та аливаа нарийн төвөгтэй фракталын жижиг хэсгийг томруулж, дараа нь тэр хэсгийн жижиг хэсэгт ижил зүйлийг хийвэл хоёр томруулга нь бие биенээсээ эрс ялгаатай байх болно. Хоёр зураг нь нарийн ширийн зүйлээр маш төстэй байх боловч тэдгээр нь бүрэн ижил биш байх болно.

АЛГЕБРИК ФРАКТАЛ

Mandelbrot тогтоосон ойролцоо тоо

Фракталууд шинжлэх ухаанд улам олон хэрэглээг олж байна. Гол шалтгаан нь тэд уламжлалт физик, математикийн хичээлээс илүү бодит ертөнцийг дүрсэлдэг.

Фракталуудын хэрэглээ

1). Эмх замбараагүй байдлын онол: Фракталууд үргэлж хаос гэдэг үгтэй холбоотой байдаг. Эмх замбараагүй байдлын онол нь нарийн төвөгтэй шугаман бус динамик системийг судалдаг шинжлэх ухаан гэж тодорхойлогддог. Эмх замбараагүй байдал бол урьдчилан таамаглах боломжгүй байдал юм. Энэ нь маш ойрхон хоёр анхны утгын хувьд систем тэс өөрөөр ажиллах үед динамик системд тохиолддог. Эмх замбараагүй динамик системийн жишээ бол цаг агаар юм. Ийм тогтолцооны жишээ бол үймээн самуун, биологийн популяци, нийгэм, түүний дэд системүүд: эдийн засаг, улс төрийн болон бусад. нийгмийн тогтолцоо. Энэ онолын гол ойлголтуудын нэг бол системийн төлөв байдлыг нарийн урьдчилан таамаглах боломжгүй юм. Эмх замбараагүй байдлын онол нь системийн эмх замбараагүй байдал (системийн удамшлын урьдчилан таамаглах боломжгүй байдал) дээр биш, харин түүнийг өвлөн авах дараалалд (ижил төстэй тогтолцооны нийтлэг зан байдал) анхаарлаа хандуулдаг. Иймээс эмх замбараагүй байдлын шинжлэх ухаан нь санаа бодлын систем юм янз бүрийн хэлбэрүүддэг журам, энд санамсаргүй байдал нь зохион байгуулалтын зарчим болдог.

2). Эдийн засаг: үнэт цаасны зах зээлийн шинжилгээ.

3). Астрофизик: орчлон ертөнц дэх галактикийн бөөгнөрөлийн үйл явцын тодорхойлолт.

4). Геологи: ашигт малтмалын барзгаржилтыг судлах;

5). Зураг зүй: эргийн шугамын хэлбэрийг судлах; голын сувгийн өргөн сүлжээг судлах.

6). Шингэн ба хийн механик, гадаргуугийн физик:

- нарийн төвөгтэй урсгалын динамик ба үймээн самуун.

- галын загварчлал;

7). Биологи ба анагаах ухаан:

- амьтдын популяци, шувуудын нүүдлийн загварчлал;

- тахал өвчний загварчлал;

- цусны эргэлтийн тогтолцооны бүтцэд дүн шинжилгээ хийх;

- эсийн мембраны нарийн төвөгтэй гадаргууг авч үзэх;

- биеийн доторх үйл явцын тодорхойлолт, жишээлбэл, зүрхний цохилт.

8). Фрактал антен: Антенны төхөөрөмжийн загварт фрактал геометрийг ашиглах аргыг анх Америкийн инженер Натан Коэн ашигласан бөгөөд тэр үед Бостон хотын төвд амьдарч байсан бөгөөд барилга дээр гадна антен суурилуулахыг хориглодог байжээ. Тэрээр хөнгөн цагаан тугалган цааснаас Кох муруй хэлбэрийг хайчилж аваад цаасан дээр нааж, дараа нь хүлээн авагчид хавсаргав. Ийм антен нь ердийнхөөс муу ажилладаггүй нь тогтоогдсон. Хэдийгээр ийм антенны ажиллах физик зарчмуудыг хараахан судлаагүй байгаа ч энэ нь Коэнийг өөрийн компанийг байгуулж, цуврал үйлдвэрлэлээ эхлүүлэхэд нь саад болоогүй юм.

9). Зургийг шахах: Фрактал дүрсийг шахах алгоритмын давуу тал нь маш жижиг хэмжээтэй файлын хэмжээ, богино зургийг сэргээх хугацаа юм. Фрактал шахалтын өөр нэг давуу тал нь зургийг томруулсан үед пикселийн эффект байхгүй (цэгүүдийн хэмжээг томруулж, зургийг гажуудуулдаг хэмжээсүүд) юм. Фрактал шахалтын тусламжтайгаар томруулсаны дараа зураг өмнөхөөсөө илүү сайхан харагддаг.

10). Компьютер график: Компьютер график өнөөдөр эрчимтэй хөгжлийн үеийг туулж байна. Тэрээр дэлгэцийн дэлгэцэн дээр эцэс төгсгөлгүй олон янзын фрактал дүрс, ландшафтыг дахин бүтээж, үзэгчдийг гайхалтай виртуал орон зайд шингээж чадсан юм. Өнөө үед харьцангуй энгийн алгоритмуудын тусламжтайгаар гайхалтай ландшафт, дүрсийн гурван хэмжээст дүрсийг бүтээх боломжтой болсон бөгөөд үүнийг цаг хугацааны явцад бүр илүү сэтгэл хөдөлгөм зураг болгон хувиргаж болно. Фракталуудын уулс, цэцэгс, модтой төстэй хандлагыг зарим график редакторууд ашигладаг (жишээлбэл, 3D MAX студийн фрактал үүл, World Builder дахь фрактал уулс). Фрактал загварууд өнөөдөр компьютер тоглоомд өргөн хэрэглэгдэж байгаа нь бодит байдлаас ялгахад хэцүү орчинг бүрдүүлж байна.

20-р зууны төгсгөл нь фрактал гэж нэрлэгддэг гайхалтай үзэсгэлэнтэй, хязгааргүй олон янзын бүтцийг нээсэн төдийгүй байгалийн фрактал мөн чанарыг мэдсэнээр тэмдэглэгдсэн юм. Бидний эргэн тойрон дахь ертөнц маш олон янз бөгөөд түүний объектууд нь Евклидийн шугам, гадаргуугийн хатуу хүрээтэй нийцдэггүй.

Фракталууд ба бидний эргэн тойрон дахь ертөнц

« Гоо сайхан үргэлж харьцангуй байдаг... Далайн эрэг нь хэлбэр дүрсээрээ өөр учраас л үнэхээр хэлбэр дүрсгүй гэж бодож болохгүй. зөв хэлбэрбидний барьсан зогсоолууд; уулсын хэлбэр нь ердийн боргоцой эсвэл пирамид биш гэсэн үндэслэлээр жигд бус гэж үзэж болохгүй; Оддын хоорондох зай тэгш бус байгаа тул тэднийг чадваргүй гараар тэнгэрт тараасан гэсэн үг биш юм. Эдгээр алдаанууд зөвхөн бидний төсөөлөлд л байдаг , Үнэндээ тэд тийм биш бөгөөд ургамал, амьтны хаант улсад ч, хүмүүсийн дунд ч дэлхий дээрх амьдралын жинхэнэ илрэлүүдэд ямар ч байдлаар саад болохгүй." 17-р зууны англи эрдэмтний эдгээр үгс. Ричард Бентли далайн эрэг, уулс, селестиел биетүүдийн хэлбэрийг нэгтгэж, Евклидийн барилга байгууламжтай харьцуулах санаа хүмүүсийн оюун санаанд маш удаан хугацаанд үүссэн болохыг харуулж байна.

Галилео Галилей "Байгалийн тухай агуу ном нь геометрийн хэлээр бичигдсэн" гэж хэлсэн. Одоо бид үүнийг фрактал геометрийн хэлээр бичсэн гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Байгаль дээр бидний ажиглаж буй зүйл нь ихэвчлэн ижил хэв маягийн төгсгөлгүй давтагдах, хүссэн хэмжээгээрээ олон удаа нэмэгдэж, буурч байгаа нь бидний сонирхлыг татдаг. Эргийн шугамын хачирхалтай хэлбэрүүд, гол мөрний нарийн гулзайлт, нурууны эвдэрсэн гадаргуу, үүлсийн тойм, тархсан модны мөчир, шүрэн хад, лааны аймхай анивчих, уулын голын хөөстэй горхи зэрэг нь бүгд фрактал юм. Тэдгээрийн зарим нь, тухайлбал, үүл эсвэл шуургатай горхи нь хэлбэрээ байнга өөрчилдөг бол зарим нь мод, уулын нуруу гэх мэт бүтэц нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлддэг. Бүх төрлийн фрактал бүтцэд нийтлэг байдаг нь тэдгээрийн ижил төстэй байдал - фрактал дахь үндсэн хуулийн биелэлтийг баталгаажуулдаг гол шинж чанар - орчлон ертөнцийн олон янз байдлын нэгдмэл байдлын хууль.

Хүний систем, эрхтнүүд нь мөн фрактал бүтэц юм. Жишээлбэл, цусны судаснууд олон удаа салбарладаг, өөрөөр хэлбэл. фрактал шинж чанартай байдаг. Зүрхний цахилгаан үйл ажиллагаа нь фрактал процесс юм. Зүрхний цохилтын спектрийн шинж чанар нь газар хөдлөлт, эдийн засгийн үзэгдлийн нэгэн адил фрактал хуулинд захирагддаг болохыг зүрх судасны эмч нар олж мэдсэн. Хоол боловсруулах эрхтний эдэд нэг долгионы гадаргуу нөгөөд шигдсэн байдаг. Уушиг нь мөн яаж гэдгийг жишээ болгон өгдөг том талбайжижиг орон зайд "шахсан". Үнэн хэрэгтээ хүний ​​биеийн бүх бүтэц нь фрактал шинж чанартай байдаг; Үүнийг эрдэмтэд аль хэдийн хүлээн зөвшөөрсөн. Амьд организмын нэг эс нь бүхэл бүтэн организмын талаархи мэдээллийг агуулсан байх үед олон төрлийн цогцолборыг тодорхойлдог нэг энгийн зарчим нь хүний ​​геномд шингэсэн байдаг.

Байгаль дахь фрактал бүтэц

Энд хэдэн жишээ зураг байна:

Биологич Жон Халдений хэлсэнчлэн "Дэлхий бидний бодож байгаагаас ч хачирхалтай төдийгүй бидний төсөөлж байгаагаас ч хачин юм." Фракталууд нь Манделбротын шинэ бүтээл биш юм. Тэд объектив байдлаар оршин байдаг. Энэ ертөнцийг тусгаж, ойлгодог байгалийн хэлбэр, үйл явц, шинжлэх ухаан, урлагт. Бенуа Манделброт 1993 онд "Фрактал геометрийн санаануудын ачаар ертөнцийг үзэх үзлийг өөрчилсний төлөө" шагнал хүртсэн юм. хүндэт шагналФизикийн салбарт чоно.

Одоогийн байдлаар фрактал зураг маш их алдартай. Тэд үнэхээр гайхалтай сэтгэгдэл төрүүлдэг. Нэг зургийг бүхэлд нь бүрдүүлдэг олон нимгэн шугамууд эсвэл ер бусын элементүүд хоорондоо уялдаатай байдаг. Хурц гэрэл, дунд зэргийн гөлгөр шугамын анивчдаг. Фрактал амьд юм шиг байна. Тэр шатдаг, гэрэлтдэг, татдаг, хамгийн өчүүхэн, өчүүхэн нарийн ширийн зүйлийг ч судалж, нүдээ салгаж чадахгүй.

Фрактал график

Интерьер дэх фрактал зураг

Фракталуудын хэрэглээ

Байгалийн шинжлэх ухаан

Физикийн хувьд фрактал нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нарийн төвөгтэй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлах үед үүсдэг. Фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад ашигладаг, жишээлбэл, нефтийн химийн үйлдвэрт. Биологийн хувьд тэдгээрийг популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний системийг (систем цусны судаснууд). Кох муруйг үүсгэсний дараа эргийн шугамын уртыг тооцоолохдоо үүнийг ашиглахыг санал болгов.

Радио инженерчлэл

Антенны төхөөрөмжүүдийн дизайнд фрактал геометрийг ашиглахыг анх Америкийн инженер Натан Коэн ашигласан бөгөөд тэр үед Бостон хотын төвд амьдардаг байсан бөгөөд барилгад гаднах антен суурилуулахыг хориглодог байв. Натан хөнгөн цагаан тугалган цааснаас Кохын муруй хэлбэрийг хайчилж аваад цаасан дээр нааж, дараа нь хүлээн авагч руу залгав. Коэн өөрийн компанийг байгуулж, цуврал үйлдвэрлэлээ эхлүүлсэн.

Мэдээлэл зүй

Зураг шахах

Фрактал мод

Фрактал ашиглан дүрсийг шахах алгоритмууд байдаг. Эдгээр нь зургийн оронд энэ зураг (эсвэл үүнтэй ойролцоо зүйл) тогтмол цэг болох шахалтын газрын зургийг хадгалах боломжтой гэсэн санаан дээр суурилдаг. Энэ алгоритмын нэг хувилбарыг Майкрософт нэвтэрхий толь бичгээ гаргахдаа ашигласан боловч эдгээр алгоритмууд төдийлөн өргөн хэрэглэгддэггүй байв.

Компьютерийн график

Фракталуудыг компьютерийн графикт мод, бут, уулын ландшафт, далайн гадаргуу гэх мэт байгалийн объектын зургийг бүтээхэд өргөн ашигладаг. Фрактал зураг үүсгэх олон програмууд байдаг.

Төвлөрсөн буссүлжээнүүд

Netsukuku сүлжээнд IP хаяг хуваарилах систем (энэ сүлжээ нь төв процессор болон санах ойд хамгийн бага ачаалалтай асар олон тооны зангилааны харилцан үйлчлэлийг хангах чадвартай, өөрөө зохион байгуулалттай, тархсан сүлжээг бий болгох төсөл юм) ашигладаг. сүлжээний зангилааны талаарх мэдээллийг нягт хадгалахын тулд фрактал мэдээллийг шахах зарчим. Нэцүкүкү сүлжээний зангилаа бүр нь хөрш зэргэлдээх цэгүүдийн төлөв байдлын талаарх ердөө 4 KB мэдээлэл хадгалдаг бол аливаа шинэ зангилаа нь IP хаягийн хуваарилалтын төвлөрсөн зохицуулалт шаардлагагүйгээр нийтлэг сүлжээнд холбогддог бөгөөд энэ нь жишээлбэл, IP хаягийн хуваарилалтад ердийн зүйл юм. Интернет. Тиймээс фрактал мэдээллийг шахах зарчим нь бүрэн төвлөрсөн бус, улмаар бүх сүлжээний хамгийн тогтвортой ажиллагааг баталгаажуулдаг.

Эдийн засаг, санхүү

Алмазов "Фрактал онол" номондоо. Зах зээлийн талаарх үзэл бодлоо хэрхэн өөрчлөх вэ” номонд хувьцааны ханш, ялангуяа Форекс зах зээлд дүн шинжилгээ хийхдээ фрактал ашиглах аргыг санал болгосон.

Фракталуудыг харах бүртээ та бодит ертөнц, математикийн ертөнц ямар үзэсгэлэнтэй вэ, математик бол үнэхээр Орчлон ертөнцөд байгаа бараг бүх зүйлийг дүрсэлж чадах хэл юм гэж боддог.

Ном зүй

1. Mandelbrot B. Байгалийн фрактал геометр. М.: “Компьютерийн судалгааны хүрээлэн”, 2002. 656 х.

2. Морозов А.Д. Фракталын онолын танилцуулга. Н.Новгород: Нижний Новгород хэвлэлийн газар. Их сургууль, 1999, 140 х.

3. Peitgen H.-O., Richter P. H. Фракталуудын гоо үзэсгэлэн. М.: "Мир", 1993. - 176 х.

4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Эмх замбараагүй байдлын зохицол буюу фрактал бодит байдал. Санкт-Петербург: "Вес" хэвлэлийн газар, 2003. 340 х.

5. Feder E. Фракталууд. М: “Мир”, 1991. 254 х.

6. Шредер М.Фрактал, эмх замбараагүй байдал, хүчний хуулиуд. Төгсгөлгүй диваажингийн бяцхан зургууд. Ижевск: “РКхД”, 2001. 528 х.

Фракталуудын талаархи сайтуудын жагсаалт

1. http://www.fractals.nsu.ru.

2. http://www.fractalworld.xaoc.ru.

3. http://www.multifractal.narod.ru.

4. http://algolist.manual.ru.

Allbest.ru дээр нийтлэгдсэн

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Фрактал хэмжээсийг инженерийн гадаргуугийн шинж чанаруудын нэг болгон авч үзэх. Байгалийн фракталуудын тодорхойлолт. Гөлгөр бус (эвдэрсэн) шугамын уртыг хэмжих. Ижил төстэй байдал ба масштаб, өөртэйгөө ижил төстэй байдал, өөртэйгөө ойр дотно байдал. Периметр талбайн хамаарал.

тест, 2015 оны 12/23-нд нэмэгдсэн


Фракталын онол үүссэн түүх. Фрактал нь зураг нь масштабаас хамаардаггүй өөртэй төстэй бүтэц юм. Энэ бол рекурсив загвар бөгөөд хэсэг бүр нь бүхэл бүтэн загварын хөгжлийг давтдаг. Фракталын онолын практик хэрэглээ.

шинжлэх ухааны ажил, 2010 оны 05-р сарын 12-нд нэмэгдсэн


Сонгодог фракталууд. Өөртэйгөө төстэй байдал. Цасан ширхгүүд Кох. Сиерпински хивс. L-системүүд. Эмх замбараагүй динамик. Лоренц татагч. Манделброт ба Жулиа нарын багц. Фракталуудын хэрэглээ компьютерийн технологи.

курсын ажил, 2006 оны 05-р сарын 26-нд нэмэгдсэн


Зарим дөрвөлжингийн онцлог. Динамик геометрийн орчинд геометрийн нөхцөл байдлын загваруудыг хэрэгжүүлэх. "Амьд геометр" динамик орчны онцлог, дотор нь параллелограмм, ромб, тэгш өнцөгт, дөрвөлжин загваруудыг бүтээх онцлог.

курсын ажил, 2013/05/28 нэмэгдсэн


Дэлхийн геометрийн зураг ба фракталын онол үүсэх урьдчилсан нөхцөл. Детерминист L-системийн элементүүд: цагаан толгой, эхлүүлэх үг, үүсгэх дүрмийн багц. Нийгмийн үйл явцын фрактал шинж чанарууд: синергетик ба эмх замбараагүй динамик.

курсын ажил, 2014/03/22 нэмэгдсэн


Амьд байгаль дахь геометрийн хуулиудын илрэл, тэдгээрийг боловсролд ашиглах талаар судлах практик үйл ажиллагаа. Геометрийн хуулиудын тодорхойлолт, геометрийн байгууламжийн мөн чанар. График боловсролорчин үеийн ертөнцөд түүний байр суурь.

дипломын ажил, 2010 оны 06-р сарын 24-нд нэмэгдсэн


Загварын тухай ойлголтын тодорхойлолт, тэдгээрийг шинжлэх ухаан, өдөр тутмын амьдралд ашиглах хэрэгцээ. Материалын шинж чанар ба хамгийн тохиромжтой загварчлалын аргууд. Математик загваруудын ангилал (детерминист, стохастик), тэдгээрийг бүтээх үйл явцын үе шатууд.

хураангуй, 2015/08/20 нэмэгдсэн


Эд ангиудын байрлал дахь тэгш хэм, пропорциональ, пропорциональ, жигд байдлын тухай ойлголтуудын судалгаа. Геометрийн дүрсүүдийн тэгш хэмийн шинж чанаруудын шинж чанарууд. Архитектур, байгаль, технологи дахь тэгш хэмийн үүргийн тодорхойлолт, логик асуудлыг шийдвэрлэхэд.

танилцуулга, 12/06/2011 нэмэгдсэн


Шинжлэх ухааны математикчлалын түүх. Математикжуулалтын үндсэн аргууд. Математикжуулалтын хязгаарлалт ба асуудлууд. Төрөл бүрийн шинжлэх ухаанд математикийн аргыг хэрэглэх асуудал нь математик өөрөө (загваруудын математик судалгаа), загварчлалын салбартай холбоотой байдаг.

хураангуй, 05/24/2005 нэмсэн


Алтан харьцааны тухай ойлголт, судалгааны түүх. Математик, байгаль, архитектур, уран зурагт тусгах онцлог. Алтан зүсэлтийн дараалал, зарчим, бүтэц, практик хэрэглээний талбар, математик үндэслэл, утга.

Сайн бүтээлээ мэдлэгийн санд оруулах нь амархан. Доорх маягтыг ашиглана уу

Мэдлэгийн баазыг суралцаж, ажилдаа ашигладаг оюутнууд, аспирантууд, залуу эрдэмтэд танд маш их талархах болно.

http://www.allbest.ru сайтад нийтлэгдсэн

• Танилцуулга
• 1. Фракталын тухай ойлголт
• 2. Фракталуудын ангилал
• 4. Фракталуудын хэрэглээ
• Дүгнэлт
• Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Танилцуулга

Зуу ба түүнээс дээш жилийн өмнө өөртэйгөө төстэй математикийн объектуудын дүр төрх нь бараг хэнийг ч сонирхдоггүй байв. Түүгээр ч барахгүй зарим эрдэмтэд тэднийг "мангас" гэж нэрлэсэн бөгөөд тэд ямар ч холбоогүй гэдэгт итгэдэггүй байв бодит ертөнцболон шинжлэх ухаан.

Алгебрийн болон стохастик фракталуудын анхны зургууд гарч ирэхэд компьютер бий болсноор өөртэйгөө төстэй математик объектуудад хандах хандлага өөрчлөгдсөн. Үүний дараа тэд зөвхөн математикч төдийгүй физикч, биологич, акустикч, мөн байгалийн объекттой тааралдсан бүх хүмүүсийг сонирхож байв. Математикчдыг фракталуудыг дүрсэлсэн томъёоны энгийн байдлаар нь татдаг байв нарийн төвөгтэй бүтэц, физикчид - шинэ байр сууринаас физикийг дахин авч үзэх боломж, биологичид - янз бүрийн биологийн объектуудтай фрактал зургуудын захидал харилцаа.

Шинжлэх ухааны шинэ салбаруудад фракталууд хараахан дуусаагүй байна; Тэдгээрийг физикч, биологич, социологич, эдийн засагч болон бусад олон хүмүүс ашигладаг. Фракталууд бүрэн судлагдаагүй байгаа тул тэдгээрийн хувьд шинэ хэрэглээ олдож, фракталууд өөрсдөө болон байгальд хандах хандлагыг өөрчилдөг.

Ажлын объект нь фракталуудын үзэгдэл юм.

Ажлын сэдэв нь орчин үеийн шинжлэх ухаанд фракталуудын байр суурь юм.

Ажлын зорилго нь фракталуудыг энгийн ба нарийн төвөгтэй үзэгдэл гэж үзэх явдал юм.

Ажлын зорилго: Фракталуудын тухай ойлголт, фракталуудын төрлүүд, фрактал үүсэх, судлах түүх, фракталуудыг практикт хэрэглэх талаар авч үзэх.

1. Фракталын тухай ойлголт

70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 20-р зууны 80-аад оны дунд үеэс математикч, програмистуудын дунд бат бөх суурьшиж эхэлсэн. Фрактал гэдэг үг нь латин хэлнээс гаралтай fractus бөгөөд хэлтэрхийүүдээс бүрдсэн орчуулагдсан гэсэн үг юм. Энэ нь 1975 онд Benoit Mandelbrot санал болгосон, түүний судалсан жигд бус, харин өөртэйгөө төстэй бүтэц, 5 - M.: Компьютерийн судалгааны хүрээлэн, 2002. . Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Мандельбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой байдаг. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онд ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф Гэхдээ зөвхөн бидний цаг үед л тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой болсон.

Өнөөдөр компьютер график дахь фракталуудын үүрэг нэлээд том байна. Тэд аврах ажилд ирдэг, жишээлбэл, шаардлагатай үед хэд хэдэн коэффициент ашиглан маш нарийн төвөгтэй хэлбэрийн шугам, гадаргууг тодорхойлоход ирдэг. Компьютер графикийн үүднээс хиймэл үүл, уулс, далайн гадаргууг бий болгоход фрактал геометр зайлшгүй шаардлагатай байдаг. Үнэндээ олдсон хялбар аргаЕвклидийн бус нарийн төвөгтэй объектуудын дүрслэл, тэдгээрийн дүрс нь байгалийнхтай маш төстэй юм.

Фракталуудын гол шинж чанаруудын нэг бол өөртэйгөө төстэй байдал юм. Хамгийн энгийн тохиолдолд фракталын жижиг хэсэг нь бүхэл бүтэн фракталын талаархи мэдээллийг агуулдаг.

Манделбротын өгсөн фракталын тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: "Фрактал нь бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх бүтэц юм." Feder E. Fractals: World 1991, p.67.

"Фрактал" гэдэг үг нь математикийн нэр томъёо биш бөгөөд нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хатуу математикийн тодорхойлолтгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тухайн зураг нь дараах шинж чанаруудын аль нэгийг агуулсан тохиолдолд үүнийг ашиглаж болно.

1. Бүх хэмжүүрээр өчүүхэн бус бүтэцтэй. Энэ нь ердийн дүрсүүдээс (тойрог, эллипс, гөлгөр функцийн график гэх мэт) ялгаатай нь: хэрэв бид ердийн дүрсийн жижиг хэсгийг маш том хэмжээгээр авч үзвэл энэ нь шулуун шугамын хэлтэрхий мэт харагдах болно. Фракталын хувьд масштабыг нэмэгдүүлэх нь бүтцийг хялбарчлахад хүргэдэггүй;

2. Өөртэйгөө төстэй эсвэл ойролцоогоор өөртэйгөө төстэй.

3. Бутархай хэмжигдэхүүнтэй эсвэл топологийн хэмжээнээс хэтэрсэн хэмжигдэхүүнтэй.

4. Рекурсив процедурыг ашиглан байгуулж болно Feder E. Fractals: World 1991, p 133.

Байгаль дээрх олон объектууд фрактал шинж чанартай байдаг, тухайлбал эрэг, үүл, модны титэм, цусны эргэлтийн систем, хүн, амьтны цулцангийн систем.

Фракталууд, ялангуяа онгоцонд, компьютер ашиглан бүтээхэд хялбар, гоо үзэсгэлэнг хослуулсан тул түгээмэл байдаг.

Фракталууд нь үндсэндээ геометрийн хэл юм. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийн гол элементүүд нь шууд ажиглагддаггүй. Энэ утгаараа тэдгээр нь шулуун шугам эсвэл тойрог гэх мэт Евклидийн геометрийн ердийн объектуудаас үндсэндээ ялгаатай юм. Фракталууд нь анхдагч геометрийн хэлбэрээр биш, харин алгоритм, математикийн процедурын багц хэлбэрээр илэрхийлэгддэг.

Эдгээр алгоритмуудыг өөрчилдөг геометрийн хэлбэрүүдкомпьютер ашиглах. Алгоритмийн элементүүдийн репертуар нь шавхагдашгүй юм. Фракталуудын хэлийг эзэмшсэний дараа архитекторч уламжлалт геометрийн хэлийг ашигласан зураг ашиглан барилгыг дүрсэлсэн шиг үүлний хэлбэрийг тодорхой бөгөөд энгийнээр дүрсэлж болно.

2. Фракталуудын ангилал

Геометрийн фракталууд. Энэ ангийн фракталууд нь хамгийн харагдахуйц байдаг. Хоёр хэмжээст тохиолдолд тэдгээрийг генератор гэж нэрлэдэг зарим тасархай шугам (эсвэл гурван хэмжээст тохиолдолд гадаргууг) ашиглан олж авдаг. Алгоритмын нэг алхамд полилиныг бүрдүүлдэг сегмент бүрийг тохирох масштабаар генераторын полилинээр солино. Энэ процедурыг эцэс төгсгөлгүй давтсаны үр дүнд геометрийн фракталыг олж авдаг.

Алгебрийн фракталууд. Энэ бол фракталуудын хамгийн том бүлэг юм. Тэдгээрийг шугаман бус процессуудыг ашиглан олж авдаг n хэмжээст орон зай. Хоёр хэмжээст процессууд хамгийн их судлагдсан байдаг. Шугаман бус давталтын процессыг салангид динамик систем гэж тайлбарлахдаа эдгээр системийн онолын нэр томъёог ашиглаж болно: фазын хөрөг, тогтвортой төлөвийн процесс, татагч гэх мэт.

Шугаман бус динамик системүүд хэд хэдэн тогтвортой төлөвтэй байдаг нь мэдэгдэж байна. Динамик систем тодорхой тооны давталтын дараа өөрийгөө олох төлөв нь түүний анхны төлөвөөс хамаарна. Тиймээс тогтвортой төлөв бүр (эсвэл тэдний хэлснээр татагч) нь анхны төлөвүүдийн тодорхой мужтай байдаг бөгөөд үүнээс систем нь авч үзэж буй эцсийн төлөвт орох болно. Тиймээс системийн фазын орон зай нь татагчдыг татах хэсэгт хуваагддаг. Хэрэв фазын орон зай нь хоёр хэмжээст орон зай бол таталцлын хэсгүүдийг өөр өнгөөр ​​будах замаар энэ системийн өнгөт фазын хөрөг зургийг авах боломжтой (давталтын процесс). Өнгө сонгох алгоритмыг өөрчилснөөр та хачирхалтай олон өнгийн хээ бүхий нарийн төвөгтэй фрактал хэв маягийг авах боломжтой. Математикчдын хувьд гэнэтийн зүйл бол анхдагч алгоритмуудыг ашиглан маш нарийн төвөгтэй бус бүтцийг бий болгох чадвар байв.

Схоластик фракталууд. Байгалийн объектуудСанамсаргүй шинж чанартай нарийн төвөгтэй үйл явцын үр дүнд үүсдэг нь ихэвчлэн фрактал хэлбэртэй байдаг. Стохастик (санамсаргүй) фракталуудыг загварчлахад ашиглаж болно. Стохастик фракталуудын жишээ:

1. замнал Брауны хөдөлгөөнонгоц болон сансарт;

2. хавтгай дээрх Брауны хөдөлгөөний траекторийн хил. 2001 онд Лоулер, Шрамм, Вернер нар Манделбортын хэмжээс нь 4/3 гэсэн таамаглалыг баталжээ.

3. Schramm-Löwner evolutions - статистик механикийн чухал хоёр хэмжээст загварт, тухайлбал, Исинг загвар болон нэвчилтэд үүсдэг конформын инвариант фрактал муруйнууд.

4. янз бүрийн төрөлсанамсаргүй фракталдар, өөрөөр хэлбэл алхам бүрт санамсаргүй параметрийг нэвтрүүлсэн рекурсив процедурыг ашиглан олж авсан фракталууд. Плазма бол ийм фракталыг компьютерийн графикт ашиглах жишээ юм.

Фрактал монотипи буюу stochatypy - чиглэл дүрслэх урлаг, санамсаргүй фракталын дүрсийг олж авахаас бүрдсэн Шредер М. Фрактал, эмх замбараагүй байдал, хүчний хуулиуд. Төгсгөлгүй диваажингийн бяцхан зургууд. - Ижевск: RHD, 2001, p.26.

3. Фракталуудын түүх

Зуун жилийн өмнө математикийн уран зохиолд фракталууд (энэ нэрийг хараахан өгөөгүй) гарч ирсэн нь бусад математикийн санааг хөгжүүлэх түүхэнд тохиолдож байсан шиг харамсах дайсагналтай тулгарч байсан нь анхаарал татаж байна. Нэг алдартай математикч, Чарльз Эрмит тэднийг мангас гэж хүртэл нэрлэсэн. Наад зах нь ерөнхий зөвшилцөл нь бодит эрдэмтдийн сонирхлыг татахуйц биш, зөвхөн математикийн дэг журмыг буруугаар ашигладаг судлаачдын сонирхлыг татдаг эмгэг гэж хүлээн зөвшөөрсөн.

Бенуа Манделбротын хүчин чармайлтын үр дүнд энэ хандлага өөрчлөгдөж, фрактал геометр нь нэр хүндтэй хэрэглээний шинжлэх ухаан болжээ. Манделброт 1919 онд санал болгосон фрактал (бутархай) хэмжээсийн тухай Хаусдорфын онол дээр үндэслэн фрактал гэдэг нэр томъёог гаргажээ. Фрактал геометрийн тухай анхны номоо хэвлэгдэхээс олон жилийн өмнө Манделброт мангасуудын гадаад төрх байдал болон бусад эмгэг судлалын талаар судалж эхэлсэн. Тэрээр нэр хүндгүй Канторын багц, Пеано муруй, Вейерштрассын функцууд болон тэдгээрийн олон хувилбаруудыг дэмий хоосон зүйл гэж үздэг орон зайг олсон. Тэрээр болон түүний шавь нар ой, уулын ландшафтыг загварчлах, голын усны түвшний хэлбэлзэл, зүрхний цохилт зэрэг олон шинэ фракталуудыг нээсэн. Түүний номууд хэвлэгдсэнээр фрактал геометрийн хэрэглээ борооны дараах мөөг шиг харагдаж эхэлсэн. Энэ нь олон хэрэглээний шинжлэх ухаан, цэвэр математикийн аль алинд нь нөлөөлсөн. Кино урлагийг ч орхигдуулсангүй. Peitgen H.-O., Richter P. H. The beauty of fractal fractals ашиглан бүтээсэн "Оддын нүүдэл II: Хааны уур хилэн" киноны уулын ландшафтыг сая сая хүмүүс биширсэн. - М.: Мир 1993, х.45.

Францын математикч Анри Пуанкаре 1890 онд шугаман бус динамикийн судалгааг эхлүүлснээр орчин үеийн эмх замбараагүй байдлын онолыг бий болгосон. Шугаман бус цаг агаарын загварч Эдвард Лоренц 1963 онд урт хугацааны цаг агаарын урьдчилсан мэдээ гаргах боломжгүй гэдгийг олж мэдсэнээр энэ сэдвийг сонирхох нь эрс нэмэгдсэн. Цаг агаарын нөхцөл байдлын өнөөгийн байдлыг хэмжихэд гаргасан жижиг алдаа ч гэсэн ирээдүйн цаг агаарын төлөв байдлын талаар огт буруу таамаглахад хүргэж болзошгүйг Лоренц тэмдэглэв. Энэ нь анхны нөхцлөөс ихээхэн хамааралтай байдаг математикийн онолэмх замбараагүй байдал.

1828 онд Роберт Браун, 1905 онд Альберт Эйнштейн нар судалж байсан Брауны хөдөлгөөний бөөмийн траекторууд нь фрактал муруйнуудын жишээ боловч 1923 он хүртэл Норберт Винер математикийн тайлбарыг өгөөгүй байна. 1890 онд Пеано өөрийн алдартай муруйг бүтээжээ - сегментийг дөрвөлжин болгон хувиргаж, улмаар түүний хэмжээсийг нэгээс хоёр болгон нэмэгдүүлдэг тасралтгүй зураглал. Кох цасан ширхгийн хил (1904), хэмжээ нь d » 1.2618 нь хэмжээсийг нэмэгдүүлэх өөр нэг алдартай муруй юм.

Манделбротын тоос гэж нэрлэсэн муруйг санагдуулдаггүй фрактал бол сонгодог Cantor багц юм (1875 эсвэл түүнээс өмнөх). Энэ багц нь маш сийрэг тул интервал агуулаагүй боловч интервалтай ижил тооны цэгтэй байна. Манделброт ийм "тоос" -ыг утасны суурин дуу чимээг загварчлахад ашигласан. Нэг төрлийн фрактал тоос нь олон тохиолдолд гарч ирдэг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүх фрактал буюу давтагдсан функцүүдийн системийн аттрактор нь фрактал тоос юм уу, бага хэмжээстэй орон зайд түүний проекц юм Peitgen H.-O., Richter P., p. . 22.

Төрөл бүрийн модтой төстэй фракталуудыг зөвхөн модны ургамлыг загварчлахад төдийгүй гуурсан хоолойн мод (уушгинд агаар агуулсан мөчрүүд), бөөрний үйл ажиллагаа, цусны эргэлтийн систем гэх мэтийг ашигласан. Леонардо да Винчигийн Өгөгдсөн өндөрт байгаа модны бүх мөчрүүд нь их биетэй тэнцүү зузаантай (тэдгээрийн түвшнээс доогуур) байна гэсэн таамаглал. Энэ нь фрактал гадаргуу хэлбэрээр модны титэмтэй фрактал загварыг илэрхийлдэг.

Олон гайхалтай шинж чанаруудФракталууд болон эмх замбараагүй байдлыг давтагдсан зураглалыг судлах замаар олж илрүүлдэг. Энэ тохиолдолд тэд ямар нэг y = f(x) функцээр эхэлж, f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))),... дарааллын зан төлөвийг авч үзнэ. нарийн төвөгтэй хавтгайЭнэ төрлийн ажил нь Ньютоны язгуурыг олох аргыг зөвхөн бодит төдийгүй нарийн төвөгтэй функцүүдэд ашигласан Кэйлигийн нэрнээс авсан бололтой (1879). Давталтын судалгаанд гайхалтай ахиц дэвшил гарсан нарийн төвөгтэй зураглалГастон Жулиа, Пьер Фату нар (1919) хүрсэн. Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл компьютер графикийн тусламжгүйгээр хийгдсэн. Эдгээр өдрүүдэд *Julia sets, Mandelbrot set-ийг дүрсэлсэн өнгөлөг зурагт хуудас аль хэдийн харсан бөгөөд энэ нь тэдэнтэй нягт холбоотой юм. Эмх замбараагүй байдлын математик онолыг давтсан зураглалаар эзэмшиж эхлэх нь зүйн хэрэг.

Фрактал ба эмх замбараагүй байдлыг судлах нь судалгааны нэгэн адил гайхалтай боломжийг нээж өгдөг хязгааргүй тоохэрэглээ болон цэвэр математикийн салбарт. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн шинэ математик гэж нэрлэгддэг шинжлэх ухаанд ихэвчлэн тохиолддог шиг нээлтүүд нь өнгөрсөн үеийн агуу математикчдын анхдагч бүтээл дээр суурилдаг. Сэр Исаак Ньютон “Хэрвээ би бусдаас илүү холыг харсан бол аварга том хүмүүсийн мөрөн дээр зогссон учраас тэр” гэж хэлэхдээ үүнийг ойлгосон.

4. Фракталуудын хэрэглээ

Компьютерийн график

Фракталуудыг компьютерийн графикт мод, бут, уулын ландшафт, далайн гадаргуу гэх мэт байгалийн объектуудын зургийг бүтээхэд өргөн ашигладаг.

Физик болон бусад байгалийн шинжлэх ухаан

Физикт фракталууд нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нийлмэл санамсаргүй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлахад аяндаа үүсдэг. Фракталуудыг мөн сүвэрхэг материалыг загварчлахад, жишээлбэл, нефтийн химийн салбарт ашигладаг. Биологийн хувьд тэдгээр нь популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний системийг (цусны судасны систем) тодорхойлоход ашиглагддаг.

Уран зохиол

Уран зохиолын бүтээлүүдийн дунд текст, бүтцийн эсвэл семантик фрактал шинж чанартай байдаг. Текстийн фракталуудад текстийн элементүүд эцэс төгсгөлгүй давтагдах боломжтой:

1. Мөчиргүй хязгааргүй мод, ямар ч давталтаас өөртэйгөө адилхан (“Тахилч нохойтой байсан...”, “Өөрийгөө эрвээхэй гэж мөрөөддөг гүн ухаантны сургаалт зүйрлэл. ..”, “Мэдэгдэл үнэн, худал мэдүүлэг...”).

2. Салбаргүй төгсгөлгүй бичвэрүүд ("Пэгги инээдтэй галуутай байсан...") болон өргөтгөлтэй бичвэрүүд ("The House That Jack Built").

3. Бүтцийн фракталд текстийн зохион байгуулалт нь фрактал байж болно

4. Сонетуудын хэлхээ (15 шүлэг), сонетуудын хэлхээ (211 шүлэг), сонетуудын хэлхээ (2455 шүлэг).

5. “Өгүүллэг доторх түүхүүд” (“Мянган нэг шөнийн ном”, Ж.Потоцкий “Сарагосаас олдсон гар бичмэл”).

6. Зохиогчийн эрхийг нуусан өмнөх үг (У. Эко “Сарнайн нэр”).

Зохиогч семантик болон өгүүлэмжийн фракталуудад нэг хэсэг нь бүхэлдээ хязгааргүй ижил төстэй байдлын талаар ярьдаг.

Х.Л.Боргес "Багасны тойрогт"

Ж.Кортазар “Шар цэцэг”

Ж.Перек “Кунсткамера”

Фрактал антенууд.

Антенны төхөөрөмжийн загварт фрактал геометрийг ашиглахыг анх Америкийн инженер Натан Коэн ашигласан бөгөөд тэр үед Бостоны төвд амьдардаг байсан бөгөөд барилга дээр гаднах антен суурилуулахыг хориглодог байв. Натан хөнгөн цагаан тугалган цааснаас Кохын муруй хэлбэрийг хайчилж аваад цаасан дээр нааж, дараа нь хүлээн авагч руу залгав. Ийм антен нь ердийнхөөс муу ажилладаггүй нь тогтоогдсон. Хэдийгээр ийм антенны ажиллах физик зарчмуудыг хараахан судлаагүй байгаа ч энэ нь Коэнийг өөрийн компанийг байгуулж, цуврал үйлдвэрлэлээ эхлүүлэхэд нь саад болоогүй юм.

Зураг шахах.

Фрактал ашиглан зургийг шахах алгоритмууд байдаг. Эдгээр нь зургийн оронд зураг нь тогтсон цэг болох шахалтын зураглалыг хадгалах боломжтой гэсэн санаан дээр суурилдаг.

Төвлөрсөн бус сүлжээнүүд.

Netsukuku сүлжээнд IP хаяг хуваарилах систем нь сүлжээний зангилааны талаарх мэдээллийг нягт хадгалахын тулд фрактал мэдээллийг шахах зарчмыг ашигладаг. Нэцүкүкү сүлжээний зангилаа бүр нь хөрш зэргэлдээх цэгүүдийн төлөв байдлын талаарх ердөө 4 KB мэдээлэл хадгалдаг бол аливаа шинэ зангилаа нь IP хаягийн хуваарилалтын төвлөрсөн зохицуулалт шаардлагагүйгээр нийтлэг сүлжээнд холбогддог бөгөөд энэ нь жишээлбэл, IP хаягийн хуваарилалтад ердийн зүйл юм. Интернет. Тиймээс фрактал мэдээллийг шахах зарчим нь бүрэн төвлөрсөн бус, улмаар бүх сүлжээний хамгийн тогтвортой ажиллагааг баталгаажуулдаг.

Дүгнэлт

Ихэнх хүмүүс фракталуудыг зүгээр л нүдийг баясгадаг сайхан зураг гэж үздэг. Аз болоход энэ нь тийм биш бөгөөд фрактал нь хүний ​​үйл ажиллагааны олон салбарт ашиглагддаг. Өвчин оношлох, динамик нөлөөллийн үеийн эвдрэлийг урьдчилан таамаглах гэх мэт тэдгээрийн хэрэглээний шинэ чиглэлийг бий болгох онолын үндэслэл аль хэдийн бий болсон. Гэхдээ фракталуудыг ашиглах онолын хувьд шавхагдашгүй хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд тэдгээрийн хэрэглээний үндсэн чиглэлүүд гарч ирнэ гэж үзэж болно.

Бенуа Манделброт: "Байгалийн геометр бол фрактал юм!" гэж зарласнаас хойш хэдхэн арван жил өнгөрчээ.

Дүгнэлт:

1. Фракталуудын мөн чанарыг эрдэмтэд нарийн судалдаг

2. Ирээдүйд анагаах ухаан, компьютерийн үйлдвэрлэл, шинжлэх ухаан гэх мэт олон асуудлыг фракталын тусламжтайгаар шийдвэрлэх болно.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

фрактал байгалийн график

1. Mandelbrot B. Байгалийн фрактал геометр. - М.: Компьютерийн судалгааны хүрээлэн, 2002 он.

2. Peitgen H.-O., Richter P. H. Фракталуудын гоо үзэсгэлэн. - М.: Мир, 1993.

3. Федер Э.Фракталс-М.: Мир, 1991.

4. Шредер М.Фрактал, эмх замбараагүй байдал, хүчний хуулиуд. Төгсгөлгүй диваажингийн бяцхан зургууд. - Ижевск: RHD, 2001.

Allbest.ru дээр нийтлэгдсэн

Үүнтэй төстэй баримт бичиг

Фрактал нь ердийн хэмжээсээс ялгаатай олонлогийг топологи гэж нэрлэдэг. Манделбротын судалгааны дагуу зохих тогтолцоог бүрдүүлэх зарчим, нөхцөл. Фракталуудын төрөл ба утга, тэдгээрийн хувьслын үндсэн үе шатууд.

туршилт, 2015 оны 02-р сарын 19-нд нэмэгдсэн


Мөн чанар орчин үеийн ойлголтуудтусгай болон ерөнхий онол дахь орон зай, цаг хугацааны харьцангуйн. Гиперхронологийн түүхэн орон зай, түүхэн цаг хугацааны хурдатгал. Ангилал, фрактал, аттрактор, санамсаргүй байдлын хүчин зүйлсийн тухай ойлголтуудын тайлбар.

туршилт, 2009 оны 12-10-нд нэмэгдсэн


Хүмүүнлэгийн, техникийн, математикийн төрлийн мэдлэг, байгалийн шинжлэх ухаан орчин үеийн системмэдлэг. Дэлхий ертөнцийг танин мэдэхэд математик, физикийн үүрэг, ач холбогдол. Байгалийн хувьд байгальд хандах хандлага ба хүмүүнлэгийн ухаан. Шинжлэх ухаан ба шашны сөргөлдөөний асуудал.

хураангуй, 2011/11/26 нэмсэн


Дундад зууны үеийн байгалийн шинжлэх ухааны хөгжил, сүмийн төрд эзлэх байр суурь, үүрэг. Гаригийн загварт суурилсан атомын бүтцийн онолыг бүтээх. Одон орон судлалын хөгжил, галактикийн шинж чанар. Дэлхий дээрх амьдралын гарал үүслийн тухай онолууд. Арьс өнгөний гарал үүслийн талаархи таамаглал.

туршилт, 2009 оны 09-р сарын 14-нд нэмэгдсэн


Гиппократ бол орчин үеийн үндэслэгч клиник анагаах ухаан. Байгалийн шинжлэх ухааныг хөгжүүлэхэд эртний эрдэмтдийн гавьяа. Диалектикийн үндсэн хуулиудын агуулга, диалектик судалгааны аргуудын хэрэглээ. Тоо хэмжээ чанарт шилжих хууль.

туршилт, 2011 оны 04-р сарын 03-нд нэмэгдсэн


Синергетик нь орчин үеийн өөрийгөө зохион байгуулах тогтолцооны онол юм шинжлэх ухааны ертөнц. Байгалийн шинжлэх ухаанд синергетик хандлага үүссэн түүх, логик. Энэ хандлагын шинжлэх ухааны хөгжилд үзүүлэх нөлөө. Орчин үеийн шинжлэх ухаанд синергетикийн арга зүйн ач холбогдол.

хураангуй, 2016/12/27 нэмэгдсэн


Ерөнхий шинж чанарбактери. Тэдний бүтэц, нөхөн үржихүй, хоол тэжээл. Байгалийн нөөцийн тухай ойлголт, тэдгээрийн шинж чанар. Хоол боловсруулах тогтолцооны бүтэц, ач холбогдол. Эдийн засгийн ангилал байгалийн баялаг. Хоол боловсруулах сувгийн хананы бүтэц.

туршилт, 2012 оны 10-р сарын 09-нд нэмэгдсэн


Аж үйлдвэр, эрчим хүч, хөгжлийн чиг хандлага үндэсний эдийн засагодоогоор. Шинжлэх ухааны салбарт гарсан өөрчлөлтүүд. Биотехнологийн хөгжлийн үр дагавар, хөгжил байгалийн шинжлэх ухаан. Химийн процессуудболон эрчим хүч. Озоны давхаргыг хадгалах.

хураангуй, 2009 оны 11/18-нд нэмэгдсэн


Эмпирик өгөгдлийн үнэмлэхүй бодитой байдал, тодорхой байдлын зарчмыг ашиглах квант физик. Евклидийн геометрт луужин ба захирагч ашиглах. Шинжилгээ үечилсэн хүснэгт химийн элементүүдД.И. Менделеев. Салах цэгүүдийн шинж чанарууд.

туршилт, 2015 оны 06-р сарын 12-нд нэмэгдсэн


Био цахилгаан үзэгдлийн тухай ойлголт. Орчин үеийн мембраны өдөөх онол бий болсон. Биоэлектрик потенциалын үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн үүсэх механизм, анагаах ухаан, биологийн лабораторид, оношлогооны клиник практикт ашиглах.

Фрактал гэж юу болохыг ойлгохын тулд бид товчлолыг математикийн байр сууринаас эхлүүлэх хэрэгтэй, гэхдээ нарийн шинжлэх ухааныг судлахаасаа өмнө бид бага зэрэг философи хийх болно. Хүн бүр төрөлхийн сониуч зантай байдаг бөгөөд үүний ачаар тэр суралцдаг бидний эргэн тойрон дахь ертөнц. Ихэнхдээ мэдлэгийг эрэлхийлэхдээ тэрээр дүгнэлт хийхдээ логикийг ашиглахыг хичээдэг. Тиймээс түүний эргэн тойронд болж буй үйл явцыг шинжлэх замаар тэрээр харилцаа холбоог тооцоолж, тодорхой хэв маягийг гаргаж авахыг хичээдэг. Дэлхий дээрх хамгийн агуу оюун ухаантнууд эдгээр асуудлыг шийдвэрлэх завгүй байдаг. Бүдүүлэгээр хэлбэл, манай эрдэмтэд байхгүй, байх ёсгүй ч хэв маягийг хайж байна. Гэсэн хэдий ч эмх замбараагүй байдалд ч гэсэн тодорхой үйл явдлын хоорондын холбоо байдаг. Энэ холболт нь фрактал гэж юу вэ. Жишээлбэл, зам дээр хэвтэж буй эвдэрсэн мөчрийг авч үзье. Хэрэв бид үүнийг сайн ажиглавал бүх мөчрүүд, мөчрүүд нь мод шиг харагдах болно. Нэг бүхэл бүхий салангид хэсгийн энэхүү ижил төстэй байдал нь рекурсив өөрөө ижил төстэй байдлын зарчмыг харуулж байна. Фракталууд нь байгальд хаа сайгүй байж болно, учир нь олон органик бус болон органик хэлбэрүүд ижил төстэй байдлаар үүсдэг. Эдгээр нь үүл, далайн хясаа, эмгэн хумс, модны титэм, тэр ч байтугай цусны эргэлтийн систем юм. Энэ жагсаалтБид хязгааргүй үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх санамсаргүй хэлбэрийг фрактал алгоритмаар хялбархан дүрсэлдэг. Одоо бид фрактал гэж юу болохыг нарийн шинжлэх ухааны үүднээс авч үзэх болсон.

Зарим хуурай баримтууд

"Фрактал" гэдэг үгийг латин хэлнээс "хэсэгчилсэн", "хуваасан", "хуваагдсан" гэж орчуулсан бөгөөд энэ нэр томъёоны агуулгын хувьд ийм томъёолол байдаггүй. Энэ нь ихэвчлэн микро түвшинд өөрийн бүтцийг давтдаг бүхэл бүтэн нэг хэсэг, өөрөө ижил төстэй багц гэж тайлбарладаг. Энэ нэр томъёог 20-р зууны далаад онд фрактал геометрийн эцэг гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн Бенуа Манделброт бий болгосон. Өнөөдөр фрактал гэсэн ойлголт график дүрстомруулахад өөртэйгөө төстэй байх тодорхой бүтэц. Гэсэн хэдий ч энэ онолыг бий болгох математик үндэс нь Манделброт өөрөө төрөхөөс өмнө тавигдсан боловч электрон компьютер гарч ирэх хүртэл хөгжиж чадаагүй юм.

Түүхэн суурь буюу энэ бүхэн хэрхэн эхэлсэн тухай

19-20-р зууны зааг дээр фракталуудын мөн чанарыг судлах ажил үе үе байсан. Үүнийг математикчид судалж болох объектуудыг судлахыг илүүд үздэг байсантай холбон тайлбарлаж байна. ерөнхий онолуудболон аргууд. 1872 онд Германы математикч К.Вейерштрасс нэгэн жишээг бүтээжээ тасралтгүй функц, хаана ч ялгах боломжгүй. Гэсэн хэдий ч энэ барилга нь бүхэлдээ хийсвэр, ойлгоход хэцүү болсон. Дараа нь Швед Хельге фон Кох ирсэн бөгөөд 1904 онд хаана ч шүргэгчгүй тасралтгүй муруйг бүтээжээ. Энэ нь зурахад маш хялбар бөгөөд фрактал шинж чанартай байдаг. Энэхүү муруйн нэг хувилбарыг зохиогчийн нэрээр нэрлэсэн - "Кох цасан ширхгүүд". Цаашилбал, дүрүүдийн өөртэйгөө ижил төстэй санааг Б.Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч, Францын Пол Леви боловсруулсан. 1938 онд тэрээр "Хавтгай ба орон зайн муруй ба бүхэлдээ ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх гадаргуу" гэсэн өгүүлэл нийтлүүлсэн. Үүнд тэрээр дүрсэлсэн шинэ дүр төрх- Левигийн C муруй. Дээрх бүх тоонуудыг геометрийн фрактал гэж уламжлалт байдлаар ангилдаг.

Динамик эсвэл алгебрийн фракталууд

Mandelbrot багц нь энэ ангилалд багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судлаачид бол Францын математикч Пьер Фату, Гастон Жулиа нар юм. 1918 онд Жулиа оновчтой нийлмэл функцүүдийн давталтыг судалсны үндсэн дээр нийтлэл хэвлүүлсэн. Энд тэрээр Манделбротын олонлогтой нягт холбоотой фракталуудын гэр бүлийг дүрсэлсэн. Гэсэн хэдий ч энэ ажилМатематикчдын дунд зохиолчийг алдаршуулсан тэрээр хурдан мартагдсан. Хагас зуун жилийн дараа л компьютерийн ачаар Жулиягийн ажил хоёр дахь амьдралаа авчээ. Математикчдын “хардаг” фракталуудын ертөнцийн гоо үзэсгэлэн, баялгийг функцээр дамжуулан харуулах замаар компьютерууд хүн бүрт харагдах боломжтой болгосон. Манделброт компьютерийг анх удаа тооцоолол хийхдээ (ийм хэмжээг гараар хийх боломжгүй) ашигласан нь эдгээр тоонуудын дүрсийг бүтээх боломжийг олгосон юм.

Орон зайн төсөөлөлтэй хүн

Манделброт шинжлэх ухааны карьераа IBM судалгааны төвд эхлүүлсэн. Алсын зайд өгөгдөл дамжуулах боломжийг судлах явцад эрдэмтэд дуу чимээний хөндлөнгийн нөлөөллөөс болж их хэмжээний алдагдал хүлээсэн. Бенуа энэ асуудлыг шийдэх арга замыг хайж байв. Хэмжилтийн үр дүнг харахад тэрээр хачирхалтай хэв маягийг анзаарав, тухайлбал: дуу чимээний графикууд өөр өөр цагийн хуваарь дээр адилхан харагдаж байв. Үүнтэй төстэй зургийг нэг өдрийн турш, долоон өдөр эсвэл нэг цагийн турш ажигласан. Бенуа Манделброт өөрөө томьёотой ажилладаггүй, зургаар тоглодог гэдгээ байнга давтдаг байв. Энэ эрдэмтэн өөр байсан уран сэтгэмж, тэр ямар ч алгебрийн бодлогыг зөв хариулт нь тодорхой байгаа геометрийн муж руу хөрвүүлсэн. Тиймээс ийм хүн хөрөнгө чинээгээрээ ялгардаг нь гайхах зүйл биш юм орон зайн сэтгэлгээ, мөн фрактал геометрийн эцэг болсон. Эцсийн эцэст, та зургийг судалж, хэв маягийг бүрдүүлдэг эдгээр хачирхалтай эргүүлгүүдийн утгын талаар бодох үед л энэ дүрсийг мэддэг болно. Фрактал хэв маяг нь ижил элементгүй боловч ямар ч масштабаар ижил төстэй байдаг.

Жулиа-Манделброт

Энэ зургийн анхны зургуудын нэг бол Гастон Жулиагийн бүтээлээс үүссэн багцын график тайлбар бөгөөд Манделброт цаашид хөгжүүлсэн зураг юм. Гастон санал хүсэлтийн давталтаар давтагдсан энгийн томъёонд үндэслэн багц ямар байхыг төсөөлөхийг оролдсон. Хүний хэлээр, хуруугаараа ярьсныг тайлбарлахыг хичээцгээе. Тодорхой тоон утгын хувьд бид томъёог ашиглан шинэ утгыг олдог. Бид үүнийг томъёонд орлуулж дараахь зүйлийг олно. Үр дүн нь том юм тооны дараалал. Ийм багцыг төлөөлөхийн тулд энэ үйлдлийг маш олон удаа хийх шаардлагатай: хэдэн зуун, мянга, сая. Энэ бол Бенуагийн хийсэн зүйл юм. Тэрээр дарааллыг боловсруулж, үр дүнг график хэлбэрт шилжүүлэв. Дараа нь тэрээр үүссэн дүрсийг будсан (өнгө бүр тодорхой тооны давталттай тохирч байна). Энэхүү график дүрсийг "Манделбротын фрактал" гэж нэрлэсэн.

Л.Мужаан: байгалиас заяасан урлаг

Фрактал онол хурдан олдсон практик хэрэглээ. Энэ нь өөртэйгөө төстэй зургийг дүрслэхтэй маш нягт холбоотой тул уран бүтээлчид эдгээр ер бусын хэлбэрийг бий болгох зарчим, алгоритмыг анхлан нэвтрүүлсэн. Тэдний анхных нь Pixar-ийн ирээдүйн үүсгэн байгуулагч Лорен Карпентер байв. Онгоцны прототипийн танилцуулга дээр ажиллаж байхдаа тэрээр уулсын зургийг дэвсгэр болгон ашиглах санааг олжээ. Өнөөдөр бараг бүх компьютер хэрэглэгч ийм ажлыг даван туулж чадна, гэхдээ өнгөрсөн зууны далаад онд компьютерууд ийм процессыг гүйцэтгэх боломжгүй байсан, учир нь тэр үед гурван хэмжээст графикт зориулсан график засварлагч эсвэл програм байхгүй байсан. Дараа нь Лорен Манделбротын "Фракталууд: хэлбэр, санамсаргүй байдал ба хэмжээс" номтой танилцав. Үүнд Бенуа фрактууд байгальд (fyva) байдгийг харуулсан олон жишээ өгч, тэдгээрийн янз бүрийн хэлбэрийг дүрсэлж, тэдгээрийг математикийн илэрхийлэлээр хялбархан дүрсэлдэг болохыг нотолсон. Математикч энэ зүйрлэлийг хамтран ажиллагсдынхаа шүүмжлэлийн хариуд өөрийн боловсруулж буй онолын ашиг тусын аргумент гэж иш татав. Фрактал бол зүгээр л ямар ч үнэ цэнэгүй, ажлын дайвар бүтээгдэхүүн болох хөөрхөн зураг гэж тэд маргаж байв. электрон машинууд. Мужаан энэ аргыг практик дээр туршиж үзэхээр шийджээ. Номыг сайтар судалсны дараа ирээдүйн аниматор компьютер графикт фрактал геометрийг хэрэгжүүлэх арга замыг хайж эхлэв. Уулын ландшафтын дүр төрхийг бүрэн бодитойгоор компьютер дээрээ буулгахад ердөө гуравхан хоног зарцуулжээ. Өнөөдөр энэ зарчмыг өргөнөөр ашиглаж байна. Эндээс харахад фрактал үүсгэх нь их цаг хугацаа, хүчин чармайлт шаарддаггүй.

Мужааны шийдэл

Лоренийн ашигласан зарчим нь энгийн байсан. Энэ нь том геометрийн дүрсийг жижиг элементүүдэд хуваах, ижил төстэй жижиг хэсгүүдэд хуваах гэх мэтээс бүрдэнэ. Мужаан том гурвалжинг ашиглан тэдгээрийг 4 жижиг гурвалжинд хувааж, уулын ландшафтыг бодитой болгох хүртэл үргэлжлүүлэв. Ийнхүү тэрээр шаардлагатай дүрсийг бүтээхийн тулд компьютер графикт фрактал алгоритмыг ашигласан анхны зураач болжээ. Өнөөдөр энэ зарчмыг янз бүрийн бодит байгалийн хэлбэрийг дуурайхад ашигладаг.

Фрактал алгоритм ашиглан анхны 3D дүрслэл

Хэдэн жилийн дараа Лорен 1980 онд Сигграф дээр үзүүлсэн Vol Libre хүүхэлдэйн кино болох томоохон хэмжээний төсөлд өөрийн ажлыг ашигласан. Энэ бичлэг олныг цочирдуулж, бүтээгчийг Лукасфильмд урьсан. Энд аниматор "Оддын аялал" уран сайхны кинонд зориулж гурван хэмжээст ландшафтыг (бүхэл бүтэн гараг) бүтээсэн; Орчин үеийн аливаа программ ("Фрактал") эсвэл 3D график үүсгэх програм (Terragen, Vue, Bryce) нь бүтэц, гадаргууг загварчлахад ижил алгоритмыг ашигладаг.

Том Беддард

Урьд нь лазерын физикч, одоо дижитал зураач, зураач байсан Беддард маш олон сонирхолтой геометрийн дүрсүүдийг бүтээсэн бөгөөд түүнийг Фаберге фрактал гэж нэрлэжээ. Гаднах байдлаар тэд Оросын үнэт эдлэлийн гоёл чимэглэлийн өндөгнүүдтэй төстэй бөгөөд тэдгээр нь ижил гайхалтай, нарийн хээтэй байдаг. Беддард загваруудын дижитал дүрслэлийг бүтээхдээ загварын аргыг ашигласан. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь гоо үзэсгэлэнгээрээ гайхшруулдаг. Хэдийгээр олон хүн бүтээгдэхүүнийг харьцуулахаас татгалздаг өөрөө хийсэн-тай компьютерийн програмГэсэн хэдий ч үүссэн хэлбэрүүд нь маш үзэсгэлэнтэй гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Онцлох зүйл бол хэн ч WebGL программ хангамжийн санг ашиглан ийм фрактал бүтээх боломжтой юм. Энэ нь янз бүрийн фрактал бүтцийг бодит цаг хугацаанд судлах боломжийг танд олгоно.

Байгаль дахь фракталууд

Цөөхөн хүн анхаарлаа хандуулдаг ч эдгээр гайхалтай дүрүүд хаа сайгүй байдаг. Байгаль нь ижил төстэй дүрүүдээс бүтээгдсэн, бид үүнийг анзаардаггүй. Томруулдаг шилээр арьс эсвэл модны навчийг харахад хангалттай бөгөөд бид фракталуудыг харах болно. Жишээлбэл, хан боргоцой эсвэл тогос сүүлийг авч үзье - тэдгээр нь ижил төстэй дүрсээс бүрдэнэ. Романеску цэцэгт байцааны сорт нь ерөнхийдөө гадаад төрхөөрөө гайхалтай байдаг, учир нь үүнийг үнэхээр байгалийн гайхамшиг гэж нэрлэж болно.

Хөгжмийн завсарлага

Фракталууд нь зөвхөн геометрийн хэлбэрүүд төдийгүй дуу авиа ч байж болно. Тиймээс хөгжимчин Жонатан Колтон фрактал алгоритм ашиглан хөгжим бичдэг. Тэрээр ийм аялгуу нь байгалийн зохицолтой нийцдэг гэж мэдэгджээ. Хөгжмийн зохиолч өөрийн бүх бүтээлээ CreativeCommons Attribution-Арилжааны бус лицензийн дагуу хэвлүүлдэг бөгөөд энэ нь бүтээлийг үнэ төлбөргүй түгээх, хуулбарлах, бусдад шилжүүлэх боломжийг олгодог.

Фрактал үзүүлэлт

Энэ техник нь маш гэнэтийн хэрэглээг олсон. Үүний үндсэн дээр хөрөнгийн биржийн зах зээлд дүн шинжилгээ хийх хэрэгсэл бий болсон бөгөөд үүний үр дүнд Forex зах зээлд ашиглагдаж эхэлсэн. Өнөө үед фрактал индикатор нь бүх арилжааны платформ дээр байдаг бөгөөд үнийн эвдрэл гэж нэрлэгддэг арилжааны техникт ашиглагддаг. Энэ техникийг Билл Уильямс боловсруулсан. Зохиогч өөрийн шинэ бүтээлийн талаар тайлбарласнаар энэ алгоритм нь хэд хэдэн "лаа" -ын хослол бөгөөд төв хэсэг нь хамгийн их буюу эсрэгээр хамгийн бага туйлын цэгийг тусгасан байдаг.

Дүгнэж хэлэхэд

Тиймээс бид фрактал гэж юу болохыг харлаа. Бидний эргэн тойронд байгаа эмх замбараагүй байдалд үнэхээр тохиромжтой хэлбэрүүд байдаг нь харагдаж байна. Байгаль бол хамгийн сайн архитектор, хамгийн тохиромжтой барилгачин, инженер юм. Энэ нь маш логик байдлаар зохион байгуулагдсан бөгөөд хэрэв бид загварыг олж чадахгүй бол энэ нь байхгүй гэсэн үг биш юм. Магадгүй бид өөр өнцгөөс харах хэрэгтэй байх. Фракталууд бидний олж нээгээгүй олон нууцыг хадгалсаар байгааг бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Саяхан би фрактал гэх мэт математикийн ертөнцийн сонирхолтой объектуудын талаар олж мэдсэн. Гэхдээ тэд зөвхөн математикт байдаггүй. Тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Фракталууд нь байгалийн юм. Энэ нийтлэлд би фрактал гэж юу болох, фракталуудын төрлүүд, эдгээр объектуудын жишээ, тэдгээрийн хэрэглээний талаар ярих болно. Эхлээд би фрактал гэж юу болохыг товчхон хэлье.

Фрактал (Латин fractus - буталсан, хугарсан, хугарсан) нь өөрөө ижил төстэй шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн хэсгээс бүрдэх, тус бүр нь бүхэл бүтэн дүрстэй төстэй геометрийн цогц дүрс юм. Өргөн утгаараа фракталууд нь бутархай хэмжигдэхүүнтэй (Минковски эсвэл Хаусдорфын утгаараа) эсвэл топологийн хэмжээсээс ялгаатай хэмжигдэхүүнтэй Евклидийн орон зайн цэгүүдийн багц гэж ойлгогддог. Жишээ болгон би дөрвөн өөр фракталыг дүрсэлсэн зургийг оруулах болно.

Би фракталуудын түүхийн талаар бага зэрэг хэлье. 70-аад оны сүүлээр гарч ирсэн фрактал ба фрактал геометрийн тухай ойлголтууд 80-аад оны дунд үеэс математикч, програмистуудын дунд бат бөх суурьшиж эхэлсэн. "Фрактал" гэдэг үгийг Benoit Mandelbrot 1975 онд зохиосон бөгөөд түүний санаа зовдог жигд бус боловч өөртэйгөө төстэй бүтэцтэй холбоотой юм. Фрактал геометрийн төрөлт нь ихэвчлэн 1977 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдсэнтэй холбоотой юм. Түүний бүтээлүүдэд 1875-1925 онуудад ижил чиглэлээр ажиллаж байсан бусад эрдэмтдийн (Пуанкаре, Фату, Жулиа, Кантор, Хаусдорф) шинжлэх ухааны үр дүнг ашигласан. Гэхдээ бидний үед л тэдний ажлыг нэг системд нэгтгэх боломжтой болсон.

Фракталуудын олон жишээ байдаг, учир нь миний хэлсэнчлэн тэд биднийг хаа сайгүй хүрээлж байдаг. Миний бодлоор манай ертөнц бүхэлдээ нэг том фрактал юм. Эцсийн эцэст, атомын бүтцээс эхлээд Орчлон ертөнцийн бүтэц хүртэлх бүх зүйл бие биенээ давтдаг. Гэхдээ мэдээж илүү олон зүйл бий тодорхой жишээнүүдөөр өөр талбайн фракталууд. Жишээлбэл, фракталууд нь нарийн төвөгтэй динамикт байдаг. Тэд тэнд байна шугаман бусыг судлах үед байгалийн жамаар гарч ирдэг динамик системүүд. Хамгийн их судлагдсан тохиолдол бол динамик системийг олон гишүүнт эсвэл голоморфийн давталтаар тодорхойлсон тохиолдол юм. хувьсагчдын цогцолборын функцонгоцонд. Энэ төрлийн хамгийн алдартай фракталуудын зарим нь Julia set, Mandelbrot set, Newton pools юм. Доорх зургууд нь дээрх фрактал бүрийг дарааллаар нь дүрсэлсэн болно.

Фракталуудын өөр нэг жишээ бол фрактал муруй юм. Фрактал муруйн жишээн дээр фракталыг хэрхэн байгуулахыг тайлбарлах нь хамгийн сайн арга юм. Эдгээр муруйнуудын нэг нь Кох цасан ширхгүүд юм. Энгийн зүйл бийхавтгай дээр фрактал муруй авах журам. Генератор гэж нэрлэгддэг хязгаарлагдмал тооны холбоос бүхий дурын тасархай шугамыг тодорхойлъё. Дараа нь бид сегмент бүрийг генератороор солино (илүү нарийвчлалтай, генератортой төстэй эвдэрсэн шугам). Үүссэн эвдэрсэн шугам дээр бид сегмент бүрийг генератороор дахин солино. Хязгааргүй болтол бид фрактал муруйг авна. Доорх нь Кох цасан ширхгүүд (эсвэл муруй).

Мөн маш олон төрлийн фрактал муруй байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартай нь аль хэдийн дурдсан Кох цасан ширхгүүд, түүнчлэн Леви муруй, Минковскийн муруй, Луугийн тасархай шугам, Төгөлдөр хуурын муруй, Пифагорын мод юм. Хэрэв та хүсвэл эдгээр фракталуудын дүрс, түүхийг Википедиа дээрээс хялбархан олох боломжтой гэж бодож байна.

Гурав дахь жишээ буюу фракталуудын төрөл нь стохастик фракталууд юм. Ийм фракталууд нь Брауны хөдөлгөөний траекторийг агуулдаг хавтгай ба орон зайд Шрамм-Ловнерийн хувьсал, янз бүрийн төрлийн санамсаргүй фрактууд, өөрөөр хэлбэл алхам бүрт санамсаргүй параметрийг нэвтрүүлсэн рекурсив процедурыг ашиглан олж авсан фракталууд.

Мөн цэвэр математикийн фракталууд байдаг. Эдгээр нь жишээлбэл, Кантор багц, Менгер хөвөн, Сиерпинскийн гурвалжин болон бусад.

Гэхдээ хамгийн сонирхолтой фракталууд нь байгалийн фракталууд байж магадгүй юм. Байгалийн фракталууд нь фрактал шинж чанартай байгалийн объектууд юм. Мөн энд жагсаалт аль хэдийн том байна. Би бүгдийг жагсаахгүй, учир нь бүгдийг нь жагсаах боломжгүй байж магадгүй, гэхдээ би танд зарим талаар хэлэх болно. Жишээлбэл, амьд байгальд ийм фракталууд нь бидний цусны эргэлтийн систем, уушгийг агуулдаг. Мөн түүнчлэн модны титэм, навч. Үүнд мөн далайн од, далайн хорхой, шүрэн, далайн хясаа, байцаа, цэцэгт байцаа зэрэг зарим ургамал. Амьд байгалиас авсан хэд хэдэн ийм байгалийн фракталуудыг доор харуулав.

Хэрэв бид авч үзвэл амьгүй байгаль, дараа нь тэнд сонирхолтой жишээнүүдбодит амьдралаас хамаагүй илүү. Хүн бүрийн мэддэг аянга, цасан ширхгүүд, үүл, хүйтэн жавартай өдрүүдэд цонхны хээ, талстууд, уулсын нуруу - энэ бүхэн амьгүй байгалиас гаралтай байгалийн фракталуудын жишээ юм.

Бид фракталуудын жишээ, төрлийг авч үзсэн. Фракталуудын хэрэглээний хувьд тэдгээрийг янз бүрийн мэдлэгийн салбарт ашигладаг. Физикийн хувьд фракталууд нь шугаман бус үйл явц, тухайлбал, турбулент шингэний урсгал, нарийн төвөгтэй тархалт-шингээх процесс, дөл, үүл гэх мэтийг загварчлах үед үүсдэг. Фракталуудыг сүвэрхэг материалыг загварчлахад, жишээлбэл, нефтийн химийн салбарт ашигладаг. Биологийн хувьд тэдгээр нь популяцийг загварчлах, дотоод эрхтний системийг (цусны судасны систем) тодорхойлоход ашиглагддаг. Кох муруйг үүсгэсний дараа эргийн шугамын уртыг тооцоолоход ашиглахыг санал болгов. Фракталуудыг радио инженерчлэл, мэдээллийн шинжлэх ухаан, компьютерийн технологи, харилцаа холбоо, эдийн засагт ч идэвхтэй ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, фрактал алсын харааг идэвхтэй ашигладаг орчин үеийн урлагболон архитектур. Фрактал хэв маягийн нэг жишээ энд байна:

Тиймээс би фрактал гэх мэт ер бусын математик үзэгдлийн тухай түүхийг дуусгая гэж бодож байна. Өнөөдөр бид фрактал гэж юу болох, хэрхэн үүссэн, фракталуудын төрөл, жишээний талаар олж мэдсэн. Би мөн тэдгээрийн хэрэглээний талаар ярьж, зарим фракталуудыг нүдээр үзүүлэв. Гайхамшигтай, сэтгэл татам фрактал биетүүдийн ертөнцөд хийсэн энэхүү бяцхан аялал танд таалагдсан гэж найдаж байна.