Гармоник чичиргээний тэгшитгэлд хэмжигдэхүүн нь зогсож байна. Гармоник чичиргээний тэгшитгэл. Цахилгаан соронзон орны Максвеллийн онолын үндэс

Бид хэд хэдэн зүйлийг бие махбодийн хувьд бүрэн дүүрэн авч үзсэн янз бүрийн системүүд, мөн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг ижил хэлбэрт оруулахыг баталгаажуулсан

Физик системүүдийн ялгаа нь зөвхөн дотор л гарч ирдэг өөр тодорхойлолттоо хэмжээ болон янз бүрийн хэлбэрээр физик мэдрэмжхувьсагч x: Энэ нь координат, өнцөг, цэнэг, гүйдэл гэх мэт байж болно. Энэ тохиолдолд (1.18) тэгшитгэлийн бүтцээс харахад хэмжигдэхүүн нь үргэлж урвуу цагийн хэмжээстэй байдгийг анхаарна уу.

Тэгшитгэл (1.18) гэж нэрлэгддэг зүйлийг тодорхойлдог гармоник чичиргээ.

Гармоник чичиргээний тэгшитгэл (1.18) нь хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл юм (энэ нь хувьсагчийн хоёр дахь деривативыг агуулна. x). Тэгшитгэлийн шугаман байдал нь үүнийг илэрхийлнэ

хэрвээ зарим функц x(t)нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь функц Cx(t)бас түүний шийдэл байх болно ( C- дурын тогтмол);

хэрэв функцууд x 1(t)Тэгээд x 2(t)нь энэ тэгшитгэлийн шийд, дараа нь тэдгээрийн нийлбэр юм x 1 (t) + x 2 (t)мөн адил тэгшитгэлийн шийдэл байх болно.

Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл нь бие даасан хоёр шийдтэй байдаг математик теорем бас батлагдсан. Шугаман байдлын шинж чанарын дагуу бусад бүх шийдлүүдийг тэдгээрийн адилаар авч болно шугаман хослолууд. Бие даасан функцууд (1.18) тэгшитгэлийг хангаж байгааг шууд ялгах замаар шалгахад хялбар байдаг. гэсэн үг, ерөнхий шийдэлЭнэ тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Хаана C 1,C 2- дурын тогтмолууд. Энэ шийдлийг өөр хэлбэрээр танилцуулж болно. Утгыг оруулъя

өнцгийг харьцаагаар тодорхойлно:

Дараа нь ерөнхий шийдлийг (1.19) гэж бичнэ

Тригонометрийн томъёоны дагуу хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэнцүү байна

Бид эцэст нь хүрч ирлээ гармоник чичиргээний тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлхэлбэрээр:

Сөрөг бус утга Адуудсан чичиргээний далайц, - хэлбэлзлийн эхний үе шат. Косинусын аргументыг бүхэлд нь - хослол гэж нэрлэдэг хэлбэлзлийн үе шат.

(1.19) ба (1.23) илэрхийллүүд нь бүрэн дүйцэхүйц тул энгийн байдлын үүднээс тэдгээрийн аль нэгийг нь ашиглаж болно. Хоёр шийдэл хоёулаа үечилсэн функцуудцаг. Үнэн хэрэгтээ синус ба косинус нь үетэй үе үе байдаг . Иймээс гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг системийн янз бүрийн төлөвүүд тодорхой хугацааны дараа давтагддаг т*, энэ үед хэлбэлзлийн үе шат нь олон тооны өсөлтийг хүлээн авдаг :

Үүнийг дагадаг

Эдгээрээс хамгийн бага нь

дуудсан хэлбэлзлийн үе (Зураг 1.8), мөн - түүний дугуй (мөчлөг) давтамж.

Цагаан будаа. 1.8.

Тэд бас ашигладаг давтамж хэлбэлзэл

Үүний дагуу дугуй давтамж нь хэлбэлзлийн тоотой тэнцүү байна секунд

Тиймээс, хэрэв систем нь тухайн үед тхувьсагчийн утгаар тодорхойлогддог x(t),дараа нь хувьсагч тодорхой хугацааны дараа ижил утгатай байх болно (Зураг 1.9), өөрөөр хэлбэл

Цаг хугацаа өнгөрөх тусам ижил утга нь аяндаа давтагдах болно 2Т, ЗТгэх мэт.

Цагаан будаа. 1.9. Хэлбэлзлийн үе

Ерөнхий шийдэлд дурын хоёр тогтмол ( C 1, C 2эсвэл А, а), утгыг хоёроор тодорхойлох ёстой анхны нөхцөл. Ихэвчлэн (заавал биш) хувьсагчийн анхны утгууд нь тэдний үүргийг гүйцэтгэдэг x(0)ба түүний дериватив.

Нэг жишээ хэлье. Гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэлийн (1.19) шийд нь пүршний дүүжингийн хөдөлгөөнийг дүрсэлцгээе. Дурын тогтмолуудын утга нь бид дүүжинг тэнцвэрт байдлаас гаргах аргаас хамаарна. Жишээлбэл, бид пүршийг хол зайд татсан Тэгээд бөмбөгийг анхны хурдгүйгээр гаргав. Энэ тохиолдолд

Орлуулах t = 0(1.19)-д бид тогтмолын утгыг олно C 2

Тиймээс шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Бид ачааллын хурдыг цаг хугацааны хувьд ялгах замаар олдог

Энд орлуулж байна т = 0, тогтмолыг ол C 1:

Эцэст нь

(1.23)-тай харьцуулбал бид үүнийг олж мэднэ хэлбэлзлийн далайц бөгөөд түүний эхний үе нь тэг байна: .

Одоо савлуурыг өөр аргаар тэнцвэржүүлье. Анхны хурдыг олж авахын тулд ачааг цохицгооё, гэхдээ цохилтын үед бараг хөдөлдөггүй. Дараа нь бидэнд бусад анхны нөхцөлүүд бий:

бидний шийдэл иймэрхүү харагдаж байна

Ачааллын хурд нь хуулийн дагуу өөрчлөгдөнө.

Энд орлуулъя:

Хэлбэлзэл Эдгээр нь илүү их эсвэл бага давтамжтай систем тэнцвэрийн байрлалыг давтах үйл явц юм.

Хэлбэлзлийн ангилал:

A) угаасаа (механик, цахилгаан соронзон, концентрацийн хэлбэлзэл, температур гэх мэт);

б) хэлбэрийн дагуу (энгийн = гармоник; нийлмэл, энгийн гармоник чичиргээний нийлбэр);

V) давтамжийн зэргээр = үе үе (системийн шинж чанар нь хатуу тогтоосон хугацааны дараа давтагддаг (хугацаа)) ба хугацаатай;

G) цаг хугацаатай холбоотой (унтраагдаагүй = тогтмол далайц; уналттай = далайц буурах);

G) эрчим хүч дээр – үнэ төлбөргүй (гаднаас эрчим хүчийг системд нэг удаа оруулах = нэг удаагийн гадны нөлөөлөл); албадан (гаднаас системд эрчим хүчийг олон удаа (үе үе) оруулах = үе үе гадны нөлөө); өөрөө хэлбэлзэл (тогтмол эх үүсвэрээс эрчим хүчний хангамжийг зохицуулах системийн чадавхиас үүдэн үүсдэг саадгүй хэлбэлзэл).

Хэлбэлзэл үүсэх нөхцөл.

a) Тербеллийн систем байгаа эсэх (дүүжин дүүжин, пүршний дүүжин, хэлбэлзлийн хэлхээ гэх мэт);

б) системийг тэнцвэрт байдлаас дор хаяж нэг удаа гаргах чадвартай гадаад эрчим хүчний эх үүсвэр байгаа эсэх;

в) Хагас уян харимхай сэргээх хүчний системд харагдах байдал (жишээ нь шилжилт хөдөлгөөнтэй пропорциональ хүч);

d) Системд инерци (инерцийн элемент) байгаа эсэх.

Тодорхой жишээ болгон математик дүүжингийн хөдөлгөөнийг авч үзье. Математикийн дүүжинбиеийн масстай харьцуулахад жин нь үл тоомсорлодог нимгэн сунадаггүй утсан дээр дүүжлэгдсэн жижиг биеийг гэж нэрлэдэг. Тэнцвэрийн байрлалд савлуур өлгөөтэй байх үед таталцлын хүчийг утасны суналтын хүчээр тэнцвэржүүлнэ.
. Савлуур нь тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой өнцгөөр хазайх үед α хүндийн хүчний тангенциал бүрэлдэхүүн гарч ирнэ Ф=- мг sinα. Энэ томьёо дахь хасах тэмдэг нь шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь савлуурын хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм. Тэр бол буцах хүч юм. Жижиг өнцөгт α (ойролцоогоор 15-20 o) энэ хүч нь савлуурын шилжилттэй пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл. нь бараг уян харимхай бөгөөд дүүжингийн хэлбэлзэл нь гармоник юм.

Савлуур хазайх үед тодорхой өндөрт өсдөг, i.e. түүнд боломжит энергийн тодорхой нөөц өгөгдсөн ( Э хөлс = мгх). Савлуур тэнцвэрийн байрлал руу шилжих үед потенциал энерги нь кинетик энерги болж хувирдаг. Савлуур тэнцвэрийн байрлалыг давах үед потенциал энерги нь тэг, кинетик энерги нь хамгийн их байна. Масс байгаатай холбоотой м(масс нь материйн инерцийн болон таталцлын шинж чанарыг тодорхойлдог физик хэмжигдэхүүн юм) савлуур тэнцвэрийн байрлалыг дамжуулж, эсрэг чиглэлд хазайдаг. Хэрэв системд үрэлт байхгүй бол дүүжингийн хэлбэлзэл хязгааргүй үргэлжлэх болно.

Гармоник чичиргээний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

x(t) = x м учир нь(ω 0 t+φ 0 ),

Хаана X- биеийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх;

x м (А) - хэлбэлзлийн далайц, өөрөөр хэлбэл хамгийн их шилжилтийн модуль,

ω 0 - мөчлөгийн (эсвэл дугуй) хэлбэлзлийн давтамж;

т- цаг.

Косинусын тэмдгийн доорх хэмжигдэхүүн φ = ω 0 t + φ 0 дуудсан үе шатгармоник чичиргээ. Үе шат нь офсетийг тодорхойлдог одоогоорцаг хугацаа т. Фазыг өнцгийн нэгжээр (радиан) илэрхийлнэ.

At т= 0 φ = φ 0 , Тийм учраас φ 0 дуудсан эхний үе шат.

Тербеллийн системийн тодорхой төлөв давтагдах хугацааг нэрлэдэг хэлбэлзлийн үеТ.

Хэлбэлзлийн үетэй урвуу физик хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг хэлбэлзлийн давтамж:
. Хэлбэлзлийн давтамж ν нэгж хугацаанд хэдэн хэлбэлзэл болж байгааг харуулна. Давтамжийн нэгж - герц (Гц) -секундэд нэг чичиргээ.

Хэлбэлзлийн давтамж ν мөчлөгийн давтамжтай холбоотой ω ба хэлбэлзлийн үе Тхарьцаа:
.

Өөрөөр хэлбэл, дугуй давтамж нь 2π цагийн нэгжид тохиолддог бүрэн хэлбэлзлийн тоо юм.

Графикийн хувьд гармоник хэлбэлзлийг хамаарал хэлбэрээр илэрхийлж болно X-аас т ба вектор диаграмын арга.

Вектор диаграмын арга нь гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэлд багтсан бүх параметрүүдийг тодорхой харуулах боломжийг олгодог. Үнэхээр, хэрэв далайцын вектор бол А өнцөгт байрладаг φ тэнхлэг рүү X, дараа нь түүний тэнхлэг дээрх проекц Xтэнцүү байх болно: x = Acos(φ ) . Булан φ мөн эхний үе шат байна. Хэрэв вектор А-тэй эргэлтэнд оруулах өнцгийн хурдω 0 нь хэлбэлзлийн дугуй давтамжтай тэнцүү бол векторын төгсгөлийн проекц нь тэнхлэгийн дагуу хөдөлнө. Xхүртэлх утгыг авна -Аруу +А, мөн энэхүү төсөөллийн координат нь хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөнө. x(т) = Аcos(ω 0 т+ φ) . Далайцын вектор нэг бүтэн эргэлт хийхэд шаардагдах хугацаа нь хугацаатай тэнцүү байна Тгармоник чичиргээ. Секундэд векторын эргэлтийн тоо нь хэлбэлзлийн давтамжтай тэнцүү байна ν .

Гармоник хэлбэлзэл нь физик хэмжигдэхүүн нь гармоник (синус, косинус) хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг хэлбэлзэл юм. Гармоник чичиргээний тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
эсвэл
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - t цаг хугацааны тэнцвэрийн байрлалаас хазайлт
A - чичиргээний далайц, А хэмжээс нь X хэмжээстэй давхцдаг
ω - мөчлөгийн давтамж, рад/с (секундэд радиан)
φ - эхний үе шат, рад
t - цаг хугацаа, с
T - хэлбэлзлийн хугацаа, с
f - хэлбэлзлийн давтамж, Гц (Герц)
π нь ойролцоогоор 3.14, 2π=6.28-тай тэнцүү тогтмол юм

Хэлбэлзлийн хугацаа, герц дэх давтамж, мөчлөгийн давтамж нь харилцан хамааралтай байдаг.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Эдгээр харилцааг санахын тулд та дараахь зүйлийг ойлгох хэрэгтэй.
ω, f, T параметр бүр нь бусдыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Хэлбэлзлийг тайлбарлахын тулд эдгээр параметрүүдийн аль нэгийг ашиглахад хангалттай.

Т үе нь нэг хэлбэлзлийн хугацаа; хэлбэлзлийн графикийг зурахад тохиромжтой.
Циклийн давтамж ω - хэлбэлзлийн тэгшитгэлийг бичихэд ашигладаг бөгөөд математикийн тооцоо хийх боломжийг олгодог.
Давтамж f гэдэг нь хаа сайгүй хэрэглэгддэг нэгж хугацааны хэлбэлзлийн тоо юм. Герцээр бид радио хүлээн авагчийн тааруулах давтамж, түүнчлэн ажиллах хүрээг хэмждэг гар утаснууд. Хөгжмийн зэмсэг тааруулах үед утсан чичиргээний давтамжийг герцээр хэмждэг.

(ωt+φ) илэрхийллийг хэлбэлзлийн үе гэж нэрлэдэг ба φ утгыг t=0 үеийн хэлбэлзлийн үетэй тэнцүү тул эхний үе гэж нэрлэдэг.

Синус ба косинусын функцууд нь талуудын харьцааг тодорхойлдог зөв гурвалжин. Тиймээс эдгээр функцууд нь гармоник чичиргээтэй хэрхэн холбоотой болохыг олон хүн ойлгодоггүй. Энэ хамаарлыг жигд эргэдэг вектороор харуулав. Нэг жигд эргэдэг векторын проекц нь гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэдэг.
Доорх зурган дээр гурван гармоник хэлбэлзлийн жишээг үзүүлэв. Давтамжийн хувьд тэнцүү боловч фаз ба далайцын хувьд өөр.

Гармоник чичиргээний тэгшитгэл

Гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл нь биеийн координатуудын цаг хугацааны хамаарлыг тогтоодог

Анхны агшин дахь косинусын график нь хамгийн их утгатай, синус график нь эхний мөчид тэг утгатай байна. Хэрэв бид тэнцвэрийн байрлалаас хэлбэлзлийг судалж эхэлбэл хэлбэлзэл нь синусоидыг давтах болно. Хэрэв бид хэлбэлзлийг хамгийн их хазайлтын байрлалаас авч үзвэл хэлбэлзлийг косинусаар дүрслэх болно. Эсвэл ийм хэлбэлзлийг синусын томъёогоор эхний үе шаттайгаар тодорхойлж болно.

Гармоник хэлбэлзлийн үед хурд ба хурдатгалын өөрчлөлт

Зөвхөн биеийн координат нь синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөггүй. Гэхдээ хүч, хурд, хурдатгал зэрэг хэмжигдэхүүнүүд мөн адил өөрчлөгддөг. Хүч ба хурдатгал нь хэлбэлзэж буй бие нь хамгийн их шилжилттэй байх туйлын байрлалд байх үед хамгийн их байх ба тэнцвэрт байрлалаар дамжин өнгөрөх үед тэг болно. Эсрэгээр, хэт туйлширсан байрлал дахь хурд нь тэг бөгөөд бие нь тэнцвэрийн байрлалыг дамжин өнгөрөхөд хамгийн их утгад хүрдэг.

Хэрэв хэлбэлзлийг косинусын хуулиар тодорхойлсон бол

Хэрэв хэлбэлзлийг синусын хуулийн дагуу тайлбарлавал

Хамгийн их хурд ба хурдатгалын утгууд

V(t) ба a(t) хамаарлын тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа тригонометрийн хүчин зүйл 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх тохиолдолд хурд ба хурдатгал нь хамгийн их утгыг авна гэж таамаглаж болно. Томъёогоор тодорхойлно

« Физик - 11-р анги"

Хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд координатын хоёр дахь дериватив юм.

Цэгийн агшин зуурын хурд нь тухайн цэгийн координатын цаг хугацааны дериватив юм.
Цэгийн хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд түүний хурдны дериватив буюу координатын хоёр дахь дериватив юм.
Иймд дүүжингийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Энд x" нь цаг хугацааны хувьд координатын хоёр дахь дериватив юм.

Чөлөөт хэлбэлзлийн хувьд координат Xцаг хугацааны хувьд координатын хоёр дахь дериватив нь координаттай шууд пропорциональ байх ба тэмдгээр эсрэгээрээ байхаар цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг.

Гармоник чичиргээ

Математикаас: синус ба косинусын хоёрдахь деривативууд нь аргументуудаараа функцүүдтэй пропорциональ бөгөөд эсрэг тэмдгээр авсан бөгөөд бусад функцүүд ийм шинж чанартай байдаггүй.
Тийм учраас:
Чөлөөт хэлбэлзэл хийж буй биеийн координат нь синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг.

Тогтмол өөрчлөлтүүд физик хэмжигдэхүүнцаг хугацаанаас хамааран синус эсвэл косинусын хуулийн дагуу үүсэхийг нэрлэдэг гармоник чичиргээ.

Хэлбэлзлийн далайц

Далайцгармоник хэлбэлзэл нь биеийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилтийн модуль юм.

Далайц нь эхний нөхцлөөр тодорхойлогддог, эсвэл илүү нарийвчлалтай, биед өгч буй эрчим хүчээр тодорхойлогддог.

Биеийн координатын цаг хугацааны график нь косинусын долгион юм.

x = x m cos ω 0 t

Дараа нь дүүжингийн чөлөөт хэлбэлзлийг дүрсэлсэн хөдөлгөөний тэгшитгэл:

Гармоник хэлбэлзлийн үе ба давтамж.

Хэлбэлзэх үед биеийн хөдөлгөөн үе үе давтагддаг.
Систем нэг бүрэн хэлбэлзлийн мөчлөгийг дуусгах Т хугацааг дуудна хэлбэлзлийн үе.

Хэлбэлзлийн давтамж нь цаг хугацааны нэгж дэх хэлбэлзлийн тоо юм.
Хэрэв T хугацаанд нэг хэлбэлзэл тохиолдвол секундэд гарах хэлбэлзлийн тоо

IN Олон улсын системнэгж (SI) давтамжийн нэгж гэж нэрлэдэг герц(Гц) хүндэтгэл үзүүлэв Германы физикчГ.Герц.

2π сек дэх хэлбэлзлийн тоо нь дараахтай тэнцүү байна.

ω 0 хэмжигдэхүүн нь хэлбэлзлийн мөчлөгийн (эсвэл дугуй) давтамж юм.
Нэг үетэй тэнцэх хугацааны дараа хэлбэлзэл давтагдана.

Давтамж чөлөөт чичиргээдуудсан байгалийн давтамжхэлбэлзлийн систем.
Ихэнхдээ, товчхондоо, мөчлөгийн давтамжийг зүгээр л давтамж гэж нэрлэдэг.

Чөлөөт хэлбэлзлийн давтамж ба хугацааны системийн шинж чанараас хамаарах хамаарал.

1.хаврын савлуурын хувьд

Пүршний савлуурын байгалийн хэлбэлзлийн давтамж нь дараахтай тэнцүү байна.

Пүршний хөшүүн чанар k нь их байх тусам их байх ба бага байх тусам биеийн жин их байх болно m.
Хатуу пүрш нь биед илүү их хурдатгал өгч, биеийн хурдыг илүү хурдан өөрчилдөг бөгөөд бие нь их байх тусам хүчний нөлөөн дор хурдыг удаашруулдаг.

Хэлбэлзлийн хугацаа нь дараахтай тэнцүү байна.

Пүршний дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй.

2.утас дүүжинд зориулсан

Утасны босоо тэнхлэгээс хазайх жижиг өнцгөөр математик дүүжингийн хэлбэлзлийн байгалийн давтамж нь дүүжингийн урт ба таталцлын хурдатгалаас хамаарна.

Эдгээр хэлбэлзлийн хугацаа нь тэнцүү байна

Утасны дүүжингийн хазайлтын жижиг өнцгөөр хэлбэлзэх хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй.

Савлуурын урт нэмэгдэх тусам хэлбэлзлийн хугацаа нэмэгддэг. Энэ нь дүүжингийн массаас хамаардаггүй.

g нь бага байх тусам савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа урт байх ба иймээс дүүжин цаг удаан ажиллана. Тиймээс саваа дээрх жин хэлбэртэй дүүжинтэй цагийг Москвагийн их сургуулийн дээд давхарт (өндөр 200 м) хонгилоос өргөхөд өдөрт бараг 3 секундээр хоцрох болно. Энэ нь зөвхөн өндрөөр чөлөөтэй уналтын хурдатгал буурсантай холбоотой юм.