Интегралыг шийдэх нь хялбар ажил боловч зөвхөн сонгогдсон цөөхөн хүмүүст зориулагдсан. Энэ нийтлэл нь интегралуудыг ойлгож сурахыг хүсдэг боловч тэдгээрийн талаар юу ч мэдэхгүй эсвэл бараг юу ч мэдэхгүй хүмүүст зориулагдсан болно. Интеграл... Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Үүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Тодорхой ба тодорхойгүй интеграл гэж юу вэ?

Хэрэв интегралын хувьд таны мэддэг цорын ганц хэрэглээ бол хүрэхэд хэцүү газраас хэрэгтэй зүйл авахын тулд салшгүй дүрс хэлбэртэй зүүгээр дэгээ ашиглах явдал юм бол тавтай морилно уу! Математикийн хувьд хамгийн энгийн болон бусад интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, яагаад үүнгүйгээр хийж чадахгүй байгааг олж мэдээрэй.

Бид үзэл баримтлалыг судалж байна « интеграл »

Интеграци нь Эртний Египтэд мэдэгдэж байсан. Мэдээж орохгүй орчин үеийн хэлбэр, гэхдээ одоо ч гэсэн. Түүнээс хойш математикчид энэ сэдвээр олон ном бичсэн. Ялангуяа өөрсдийгөө онцолсон Ньютон Тэгээд Лейбниц , гэхдээ юмсын мөн чанар өөрчлөгдөөгүй.

Интегралыг эхнээс нь хэрхэн ойлгох вэ? Арга ч үгүй! Энэ сэдвийг ойлгохын тулд та үндсэн суурь ойлголттой хэвээр байх болно. математик шинжилгээ. Манай блог дээр интегралыг ойлгоход шаардлагатай -ын тухай мэдээлэл аль хэдийн бий.

Тодорхой бус интеграл

Бидэнд ямар нэгэн функцтэй байцгаая f(x) .

Тодорхой бус интеграл функц f(x) энэ функцийг дууддаг F(x) , түүний дериватив нь функцтэй тэнцүү байна f(x) .

Өөрөөр хэлбэл интеграл нь урвуу дериватив эсвэл эсрэг дериватив юм. Дашрамд хэлэхэд, хэрхэн яаж хийх талаар манай нийтлэлээс уншина уу.

Бүх тасралтгүй функцүүдэд эсрэг дериватив байдаг. Түүнчлэн, тогтмол тэмдэгтээр ялгаатай функцүүдийн деривативууд давхцдаг тул эсрэг дериватив дээр тогтмол тэмдэг нэмж өгдөг. Интегралыг олох үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг.

Энгийн жишээ:

Эсрэг деривативыг байнга тооцоолохгүй байхын тулд үндсэн функцууд, тэдгээрийг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэж, бэлэн утгыг ашиглах нь тохиромжтой.

Оюутнуудад зориулсан интегралын бүрэн хүснэгт

Тодорхой интеграл

Интеграл гэдэг ойлголттой харьцахдаа бид хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнтэй харьцаж байна. Интеграл нь зургийн талбай, нэгэн төрлийн бус биеийн масс, туулсан зайг тооцоолоход тусална. жигд бус хөдөлгөөнзам болон бусад олон. Интеграл бол хязгааргүй нийлбэр гэдгийг санах нь зүйтэй их хэмжээнийхязгааргүй жижиг нэр томъёо.

Жишээ болгон зарим функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ.

Функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох вэ? Интеграл ашиглах! Координатын тэнхлэгүүд болон функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг хязгааргүй жижиг хэрчмүүдэд хуваацгаая. Ингэснээр зургийг нимгэн багана болгон хуваах болно. Баганын талбайн нийлбэр нь трапецын талбай болно. Гэхдээ ийм тооцоолол нь ойролцоогоор үр дүнг өгөх болно гэдгийг санаарай. Гэсэн хэдий ч сегментүүд нь жижиг, нарийхан байх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно. Хэрэв бид тэдгээрийг урт нь тэг рүү чиглүүлэхээр багасгах юм бол сегментүүдийн талбайн нийлбэр нь зургийн талбай руу чиглэх болно. Энэ бол тодорхой интеграл бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичсэн болно.

a ба b цэгүүдийг интегралын хязгаар гэж нэрлэдэг.

« Интеграл »

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулан 10%-ийн хямдрал зарлалаа

Даммигийн интегралыг тооцоолох дүрэм

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Тодорхойгүй интегралыг хэрхэн шийдэх вэ? Энд бид шинж чанаруудыг авч үзэх болно тодорхой интеграл, энэ нь жишээг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

• Интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна:

• Тогтмолыг интеграл тэмдгийн доороос гаргаж болно.

• Нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь мөн ялгааны хувьд үнэн юм:

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

• Шугаман чанар:

• Интегралын хязгаарыг сольсон тохиолдолд интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

• At ямар чоноо а, бТэгээд -тай:

Тодорхой интеграл нь нийлбэрийн хязгаар гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Гэхдээ жишээг шийдэхдээ тодорхой утгыг хэрхэн авах вэ? Үүний тулд Ньютон-Лейбницийн томъёо байдаг:

Интегралыг шийдвэрлэх жишээ

Доор бид тодорхойгүй интеграл болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно. Бид танд шийдлийн нарийн ширийнийг өөрөө олж мэдэхийг санал болгож байна, хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сэтгэгдэл дээр асуулт асуугаарай.

Материалыг бататгахын тулд интегралыг практикт хэрхэн шийддэг тухай видеог үзээрэй. Хэрэв интегралыг нэн даруй өгөхгүй бол цөхрөл бүү зов. Оюутнуудад зориулсан мэргэжлийн үйлчилгээтэй холбоо бариарай, битүү гадаргуу дээрх гурвалсан эсвэл муруй интеграл нь таны хүчин чадалд багтах болно.

Энэхүү тооцоолуур нь тодорхой интегралыг онлайнаар шийдэх боломжийг олгодог. Үндсэндээ тодорхой интегралын тооцоофункцийн график доорх талбайтай тэнцүү тоог олох явдал юм. Шийдвэрлэхийн тулд интеграцийн хил хязгаар, интегралдах функцийг зааж өгөх шаардлагатай. Интеграл хийсний дараа систем нь өгөгдсөн функцийн эсрэг деривативыг олж, интегралын хил дээрх цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолж, тэдгээрийн ялгааг олох бөгөөд энэ нь тодорхой интегралын шийдэл болно. Тодорхой бус интегралыг шийдэхийн тулд үүнтэй төстэй зүйлийг ашиглах хэрэгтэй онлайн тооцоолуур, холбоосын доор манай вэбсайт дээр байрладаг - Тодорхой бус интегралыг шийд.

Бид зөвшөөрдөг тодорхой интегралыг онлайнаар тооцоолоххурдан бөгөөд найдвартай. Та үргэлж зөв шийдвэр гаргах болно. Түүнчлэн, хүснэгтэн интегралын хувьд хариултыг сонгодог хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл "pi", "экспонент" гэх мэт мэдэгдэж буй тогтмолуудаар илэрхийлнэ. Бүх тооцоолол нь бүрэн үнэ төлбөргүй бөгөөд бүртгүүлэх шаардлагагүй. Тодорхой интегралыг бидэнтэй хамт шийдсэнээр та өөрийгөө маш их хөдөлмөр, нарийн төвөгтэй тооцоолол, эсвэл интегралыг өөрөө шийдэх замаар - та хүлээн авсан шийдлээ шалгаж болно.

Бүлэг бүрт бие даан шийдвэрлэх асуудлууд байх бөгөөд та хариултыг нь харж болно.

Тодорхой интегралын тухай ойлголт ба Ньютон-Лейбницийн томъёо

Тодорхой интегралаар -аас тасралтгүй функц е(x) эцсийн сегмент дээр [ а, б] (энд ) нь энэ сегмент дээрх зарим эсрэг деривативуудын өсөлт юм. (Ерөнхийдөө тодорхойгүй интегралын сэдвийг давтвал ойлгоход мэдэгдэхүйц хялбар байх болно) Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана.

Доорх графикуудаас харж болно (эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг -ээр илэрхийлнэ), тодорхой интеграл эерэг эсвэл аль аль нь байж болно сөрөг тоо (Үүнийг дээд хязгаар дахь эсрэг деривативын утга ба доод хязгаар дахь утгын зөрүүгээр тооцно. Ф(б) - Ф(а)).

Тоонууд аТэгээд бинтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг ба сегмент [ а, б] – интеграцийн сегмент.

Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив функц е(x), дараа нь тодорхойлолтын дагуу,

(38)

Тэгш байдлыг (38) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо . Ялгаа Ф(б) – Ф(а) дараах байдлаар товч бичигдсэн байна.

Тиймээс бид Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

(39)

Тодорхой интеграл нь түүнийг тооцоолохдоо түүний эсрэг деривативыг авахаас хамаарахгүй гэдгийг баталъя. Болъё Ф(x) ба F( X) нь интегралын дурын эсрэг деривативууд юм. Эдгээр нь ижил функцийн эсрэг деривативууд тул тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай: Ф( X) = Ф(x) + C. Тийм ч учраас

Энэ нь сегмент дээр [ а, б] функцийн бүх эсрэг деривативуудын өсөлт е(x) таарч байна.

Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд интегралын аливаа эсрэг деривативыг олох шаардлагатай, i.e. эхлээд олох хэрэгтэй тодорхойгүй интеграл. Тогтмол ХАМТ дараагийн тооцооноос хассан. Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ: дээд хязгаарын утгыг эсрэг дериватив функцээр орлуулна. б , цааш нь - доод хязгаарын утга а мөн ялгааг тооцно F(b) - F(a) . Үр дүнгийн тоо нь тодорхой интеграл байх болно..

At а = бтодорхойлолтоор хүлээн зөвшөөрсөн

Жишээ 1.

Шийдэл. Эхлээд тодорхойгүй интегралыг олъё:

Ньютон-Лейбницийн томъёог эсрэг деривативт хэрэглэх

(цагт ХАМТ= 0), бид олж авна

Гэхдээ тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эсрэг деривативыг тусад нь олохгүй, харин интегралыг (39) хэлбэрээр нэн даруй бичих нь дээр.

Жишээ 2.Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдэл. Томъёог ашиглах

Тодорхой интегралыг өөрөө олоод шийдлийг хар

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

Теорем 2.Тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл

(40)

Болъё Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Учир нь е(т) эсрэг дериватив нь ижил функцтэй Ф(т), бие даасан хувьсагчийг зөвхөн өөрөөр тэмдэглэдэг. Тиймээс,

Томъёо (39) дээр үндэслэн сүүлчийн тэгшитгэл нь интегралуудын тэгш байдлыг илэрхийлнэ

Теорем 3.Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл

(41)

Теорем 4.Хязгаарлагдмал тооны функцын алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь эдгээр функцүүдийн тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл

(42)

Теорем 5.Хэрэв интегралын сегментийг хэсгүүдэд хуваасан бол бүх сегмент дэх тодорхой интеграл нь түүний хэсгүүдийн тодорхой интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл Хэрэв

(43)

Теорем 6.Интегралын хязгаарыг өөрчлөх үед тодорхой интегралын үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй, зөвхөн тэмдэг нь өөрчлөгддөг., өөрөөр хэлбэл

(44)

Теорем 7(дундаж утгын теорем). Тодорхой интеграл бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байнаИнтеграцийн сегментийн уртыг түүний доторх хэсэг дэх интегралын утга хүртэл, өөрөөр хэлбэл

(45)

Теорем 8.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хязгаараас их бөгөөд интеграл нь сөрөг биш (эерэг) байвал тодорхой интеграл нь мөн сөрөг биш (эерэг), өөрөөр хэлбэл. Хэрэв

Теорем 9.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хэмжээ ба функцүүдээс их бөгөөд тасралтгүй байвал тэгш бус байдал

нэр томьёогоор нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл

(46)

Тодорхой интегралын шинж чанарууд нь интегралын шууд тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.

Жишээ 5.Тодорхой интегралыг тооцоолох

4 ба 3-р теоремуудыг ашиглан эсрэг деривативуудыг олохдоо (7) ба (6) хүснэгтийн интегралуудыг олж авна.

Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл

Болъё е(x) – сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц, ба Ф(x) нь түүний эсрэг дериватив юм. Тодорхой интегралыг авч үзье

(47)

ба дамжуулан тИнтеграцийн хувьсагчийг дээд хязгаартай андуурахгүйн тулд тодорхойлсон. Өөрчлөх үед Xтодорхой интеграл (47) мөн өөрчлөгддөг, i.e. энэ нь интеграцийн дээд хязгаарын функц юм X, бид үүнийг тэмдэглэдэг Ф(X), i.e.

(48)

Функц гэдгийг баталцгаая Ф(X) нь эсрэг дериватив юм е(x) = е(т). Үнэхээр ялгаж салгаж байна Ф(X), бид авдаг

учир нь Ф(x) – эсрэг дериватив е(x), А Ф(а) нь тогтмол утга юм.

Чиг үүрэг Ф(X) – хязгааргүй тооны эсрэг деривативуудын нэг е(x), тухайлбал тэр x = атэг рүү очдог. Хэрэв бид (48) тэгш байдалд оруулбал энэ мэдэгдлийг олж авна x = амөн өмнөх догол мөрийн 1-р теоремыг ашигла.

Тодорхой интегралыг хэсгээр интегралчлах арга, хувьсагчийг өөрчлөх аргаар тооцоолох

хаана, тодорхойлолтоор, Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Хэрэв бид интеграл дахь хувьсагчийг өөрчилвөл

дараа нь (16) томъёоны дагуу бид бичиж болно

Энэ илэрхийлэлд

эсрэг дериватив функц

Үнэн хэрэгтээ, дагуу түүний дериватив нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм, тэнцүү байна

α ба β нь хувьсагчийн утгууд байг т, үүнд зориулсан функц

дагуу утгыг авдаг аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл

Гэхдээ Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу ялгаа Ф(б) – Ф(а) Байна

>> >> >> Интеграцийн аргууд

Интеграцийн үндсэн аргууд

Интеграл, тодорхой ба тодорхойгүй тодорхойлолт, интегралын хүснэгт, Ньютон-Лейбницийн томъёо, хэсэгчилсэн интеграл, интегралыг тооцоолох жишээ.

Тодорхой бус интеграл

u = f(x) ба v = g(x) функцуудыг тасралтгүй . Дараа нь ажлын дагуу

d(uv))= udv + vdu эсвэл udv = d(uv) - vdu.

d(uv) илэрхийллийн хувьд эсрэг дериватив нь uv байх нь ойлгомжтой тул томъёо нь дараах байдалтай байна.

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Энэ томъёо нь дүрмийг илэрхийлдэг хэсгүүдээр нэгтгэх. Энэ нь udv=uv"dx илэрхийллийг vdu=vu"dx илэрхийллийг нэгтгэхэд хүргэдэг.

Жишээлбэл, та ∫xcosx dx-г олохыг хүсч байна. u = x, dv = cosxdx гэж тавья, тэгэхээр du=dx, v=sinx. Дараа нь

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Хэсэгчилсэн интеграцийн дүрэм нь хувьсагчдыг орлуулахаас илүү хязгаарлагдмал хүрээтэй байдаг. Гэхдээ интегралын бүхэл ангиуд байдаг, тухайлбал, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax болон бусад ангиуд нь хэсгүүдээр интегралчлах аргыг ашиглан нарийн тооцдог.

Тодорхой интеграл

Интеграцийн аргууд, тодорхой интеграл гэсэн ойлголтыг дараах байдлаар оруулав. f(x) функцийг интервал дээр тодорхойлъё. [a,b] хэрчмийг a= x 0 цэгээр n хэсэгт хуваая< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. f(ξ i)Δ x i хэлбэрийн нийлбэрийг интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол λ = maxΔx i → 0 дахь хязгаарыг гэнэ. тодорхой интеграл a-аас b хүртэлх f(x) функцийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

F(ξ i)Δx i (8.5).

Энэ тохиолдолд f(x) функцийг дуудна интервал дээр интегралдах боломжтой, a ба b тоонуудыг дуудна интегралын доод ба дээд хязгаар.

Интеграцийн аргууддараах шинж чанаруудтай:

Сүүлийн үл хөдлөх хөрөнгө гэж нэрлэдэг дундаж утгын теорем.

f(x) дээр үргэлжилсэн байг. Дараа нь энэ сегмент дээр тодорхойгүй интеграл байна

∫f(x)dx = F(x) + C

ба явагддаг Ньютон-Лейбницийн томъёо, тодорхой интегралыг тодорхойгүй интегралтай холбох:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрийн тайлбар: y=f(x) муруй, x = a ба x = b шулуун шугамууд болон Ox тэнхлэгийн сегментээр дээрээс хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайг илэрхийлнэ.

Буруу интеграл

Хязгааргүй хязгаартай интеграл ба тасалдалгүй (хязгааргүй) функцүүдийн интегралыг зохисгүй гэж нэрлэдэг. Эхний төрлийн буруу интегралууд -Эдгээр нь хязгааргүй интервалын интеграл бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогддог.

(8.7)

Хэрэв энэ хязгаар байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал бол [a,+ ∞) интервал дээрх f(x)-ийн нийлсэн буруу интеграл, f(x) функцийг [a,+ ∞ хязгааргүй интервал дээр интегралчлах боломжтой гэж нэрлэдэг. ). Үгүй бол интеграл байхгүй эсвэл салж байна гэж хэлдэг.

(-∞,b] ба (-∞, + ∞) интервал дээрх зохисгүй интегралууд ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог.

Хязгааргүй функцийн интеграл гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё. Хэрэв f(x) нь хязгааргүй тасалдалтай c цэгээс бусад сегментийн бүх x утгуудад тасралтгүй байвал хоёр дахь төрлийн буруу интеграл f(x) а-аас б хүртэлхэмжээ гэж нэрлэдэг:

хэрэв эдгээр хязгаарууд байгаа бөгөөд хязгаарлагдмал бол. Зориулалт:

Интеграл тооцооллын жишээ

Жишээ 3.30.∫dx/(x+2)-ийг тооцоол.

Шийдэл. t = x+2 гэж тэмдэглэе, тэгвэл dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Жишээ 3.31. ∫ tgxdx-г ол.

Шийдэл: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx, тэгвэл ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Жишээ3.32 . ∫dx/sinx-г ол

Жишээ3.33. олох.

Шийдэл. =

.

Жишээ3.34 . ∫arctgxdx-г ол.

Шийдэл. Хэсэгээр нь нэгтгэе. u=arctgx, dv=dx гэж тэмдэглэе. Дараа нь du = dx/(x 2 +1), v=x, эндээс ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; учир нь
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Жишээ3.35 . ∫lnxdx-г тооцоол.

Шийдэл.Интеграцийг хэсэгчилсэн томъёогоор ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Дараа нь ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Жишээ3.36 . ∫e x sinxdx-ийг тооцоол.

Шийдэл. Интеграцийг хэсгүүдийн томъёогоор хэрэгжүүлье. u = e x, dv = sinxdx, тэгвэл du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx гэж тэмдэглэе.
∫e x cosxdx мөн хэсгүүдээр интегралддаг: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Бидэнд:

Жишээ 3.37. ∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Бид ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx хамаарлыг олж авсан бөгөөд үүнээс 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Шийдэл: dx/x = dlnx тул J= ∫cos(lnx)d(lnx) болно. lnx-г t-ээр сольсноор бид J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C интеграл хүснэгтэд хүрнэ.

Жишээ 3.38 . J =-г тооцоол.

Шийдэл. = d(lnx) гэж үзвэл lnx = t-г орлуулна. Дараа нь J = .

Жишээ 3.39 . J = тооцоол .

Шийдэл. Бидэнд: . Тийм ч учраас =

Ихэнх хэрэглээний асуудлуудад тодорхой интегралын яг утгыг тооцоолохыг зөвлөдөггүй бөгөөд энэ нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ тодорхой интегралын утгыг тодорхой нарийвчлалтайгаар, жишээлбэл, мянганы нэгийн нарийвчлалтайгаар мэдэх нь бидэнд хангалттай байдаг.

Тодорхой интегралын ойролцоо утгыг шаардлагатай нарийвчлалтайгаар олохын тулд тоон интегралчлалыг, жишээлбэл, Симпсоны арга (параболын арга), трапецын арга эсвэл тэгш өнцөгт аргыг ашигладаг. Гэхдээ зарим тохиолдолд тодорхой интегралыг яг таг үнэлэх боломжтой байдаг.

Энэ нийтлэлд бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын яг утгыг тооцоолоход анхаарлаа хандуулж, ердийн жишээнүүдийн нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Мөн бид тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг хэрхэн орлуулах, хэсгүүдээр интегралдах үед тодорхой интегралын утгыг хэрхэн олохыг ойлгохын тулд жишээг ашиглах болно.

Хуудасны навигаци.

Ньютон-Лейбницийн томъёо.

y = f(x) функц нь интервал дээр тасралтгүй байх ба F(x) нь энэ интервал дээрх функцийн эсрэг деривативуудын нэг бол: .

Ньютон-Лейбницийн томьёо гэж нэрлэдэг интеграл тооцооллын үндсэн томъёо.

Ньютон-Лейбницийн томьёог батлахын тулд хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэсэн ойлголт хэрэгтэй.

Хэрэв y = f(x) функц интервал дээр тасралтгүй байвал аргументийн хувьд хэлбэрийн интеграл нь дээд хязгаарын функц болно. Энэ функцийг тэмдэглэе , мөн энэ функц тасралтгүй бөгөөд тэгш байдал нь үнэн юм .

Үнэн хэрэгтээ, аргументийн өсөлтөд тохирох функцийн өсөлтийг бичиж, тодорхой интегралын тав дахь шинж чанар ба арав дахь шинж чанарын үр дүнг ашиглая.

Хаана.

Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье . Хэрэв бид санаж, хязгаарт хүрвэл бид авах болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь сегмент дээрх y = f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм. Тиймээс бүх эсрэг деривативуудын олонлогийг F(x) гэж бичиж болно , энд C нь дурын тогтмол юм.

Тодорхой интегралын эхний шинж чанарыг ашиглан F(a)-г тооцоолъё: , иймээс, . Энэ үр дүнг F(b) : ийг тооцоолохдоо ашиглая, өөрөөр хэлбэл . Энэ тэгшитгэл нь нотлох боломжтой Ньютон-Лейбницийн томъёог өгдөг.

Функцийн өсөлтийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг . Энэхүү тэмдэглэгээг ашиглан Ньютон-Лейбницийн томъёо хэлбэрийг авна .

Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэхийн тулд хэрчим дээрх y=f(x) функцийн интегралын y=F(x) эсрэг деривативуудын аль нэгийг мэдэж, энэ сегмент дээрх эсрэг деривативын өсөлтийг тооцоолоход хангалттай. . Уг нийтлэлд антидериватив олох үндсэн аргуудыг авч үзэх болно. Тодорхой болгох үүднээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолох хэдэн жишээг өгье.

Жишээ.

Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан тодорхой интегралын утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Эхлэхийн тулд интеграл нь интервал дээр тасралтгүй байдаг тул үүн дээр интегралдах боломжтой гэдгийг бид тэмдэглэж байна. (Бид тодорхой интеграл байдаг функцүүдийн тухай хэсэгт интегралдах функцүүдийн талаар ярьсан.)

Тодорхой болгохын тулд жишээг харцгаая.

Жишээ.

Тодорхой интегралын утгыг тооцоол .

Шийдэл.

Интегралын функц нь интегралын интервал дээр тасралтгүй байдаг тул тодорхой интеграл байдаг.

гэж тэмдэглэе . x=9-ийн хувьд бид , харин x=18-ийн хувьд , өөрөөр хэлбэл . Бид олж авсан үр дүнг томъёонд орлуулна :

Тодорхой бус интегралын хүснэгтээс харахад функцийн эсрэг деривативуудын нэг нь функц байдаг тул Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу бид

Томъёогүйгээр хийх боломжтой байсан .

Хэрэв бид хувьсагчийн өөрчлөлтийн аргыг ашиглан тодорхойгүй интегралыг авбал , дараа нь бид үр дүнд хүрнэ .

Тиймээс Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан бид тодорхой интегралыг тооцоолно.

Таны харж байгаагаар үр дүн нь ижил байна.

Тодорхой интегралыг тооцоолохдоо хэсэгчилсэн интеграл.

Чиг үүрэг тасралтгүй байдлын улмаас интервал дээр интегралдах боломжтой.

Болъё u(x) = x, ба , Дараа нь , А . Томъёоны дагуу бид авдаг

Энэ жишээг өөр аргаар шийдэж болно.

Функцийн эсрэг деривативуудын багцыг олох хэсэг хэсгээр нь нэгтгэж, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ.