Бөмбөрцгийн нийт талбай. Бөмбөрцгийн талбай ба эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ. Бөмбөрцгийн зүсэлт, хөвч, зүсэгч хавтгай ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Бид энд бөмбөрцөг гадаргуугийн талбайн томъёоны маш энгийн, гэхдээ бүрэн хатуу биш боловч гарал үүслийг өгдөг; үзэл санаагаараа интеграл тооцооллын аргуудтай маш ойр байдаг. Тиймээс бидэнд R радиустай тодорхой бөмбөлөг өгье. Түүний гадаргуу дээрх жижиг талбайг сонгон авч үзье (Зураг 412), орой нь О бөмбөгний төвд байрлах пирамид эсвэл конусыг авч үзье. ; Хатуухан хэлэхэд, суурь нь хавтгай биш, харин бөмбөрцөг хэлбэртэй тул бид конус эсвэл пирамидын тухай зөвхөн нөхцөлт байдлаар ярьж байна. Гэхдээ хэрэв суурийн хэмжээ нь бөмбөгний радиустай харьцуулахад бага бол энэ нь хавтгайгаас маш бага ялгаатай байх болно (жишээлбэл, тийм ч том биш талбайг хэмжихдээ тэд энэ нь газар дээр биш гэдгийг үл тоомсорлодог). онгоц, гэхдээ бөмбөрцөг дээр).

Дараа нь "пирамид" -ын суурийг энэ хэсгийн талбайгаар тэмдэглэж, бид түүний эзэлхүүнийг суурийн талбайн өндрийн гуравны нэгийн үржвэр гэж олдог (өндөр нь бөмбөгний радиус юм) :

Хэрэв одоо бөмбөгний бүх гадаргуу нь маш их задардаг их тоо N ийм жижиг талбайнууд, ингэснээр эдгээр хэсгүүдийг суурь болгон "пирамид" -ын N эзлэхүүнээр бөмбөгний эзэлхүүнийг нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Энд сүүлийн нийлбэр нь бөмбөгний нийт гадаргуутай тэнцүү байна:

Тиймээс бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь түүний радиус ба гадаргуугийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс гадаргуугийн талбайн хувьд бид томьёотой болно

Сүүлийн үр дүнг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний том тойргийн талбайгаас дөрөв дахин их байна.

Дээрх дүгнэлт нь бөмбөрцгийн салбарын гадаргуугийн талбайд бас тохиромжтой (бид зөвхөн суурь, өөрөөр хэлбэл бөмбөрцөг гадаргуу эсвэл "таг" гэсэн үг юм; 409-р зургийг үз). Мөн энэ тохиолдолд салбарын эзэлхүүн нь бөмбөгний радиус ба түүний бөмбөрцөг суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

малгайны талбайн томъёог эндээс олдог

Бөмбөрцөг давхаргын бөмбөрцөг гадаргууг бөмбөрцөг бүс гэж нэрлэдэг (408-р зургийг үз). Бөмбөрцөг туузны гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд бид хоёр бөмбөрцөг тагны гадаргуугийн ялгааг олно.

давхаргын өндөр хаана байна. Тиймээс, өгөгдсөн бөмбөгний бөмбөрцөг туузны гадаргуугийн талбай нь зөвхөн харгалзах давхаргын өндрөөс хамаарна, гэхдээ бөмбөг дээрх байрлалаас хамаардаггүй.

Даалгавар. Хажуугийн гадаргууБөмбөгийг тойрон хүрээлэгдсэн конус нь бөмбөгний гадаргуугаас нэг ба хагас дахин их талбайтай. Бөмбөгний радиус бол конусын өндрийг ол.

Шийдэл. Тохиромжтой болгохын тулд конусын өндөр ба үүсгэгчийн хоорондох өнцгийг танилцуулъя (Зураг 413). Конусын өндөр, суурийн радиус, генатриксийн илэрхийллүүдийг олцгооё

Бид энд бөмбөрцөг гадаргуугийн талбайн томъёоны маш энгийн, гэхдээ бүрэн хатуу биш боловч гарал үүслийг өгдөг; үзэл санаагаараа интеграл тооцооллын аргуудтай маш ойр байдаг. Тиймээс бидэнд R радиустай тодорхой бөмбөлөг өгье. Түүний гадаргуу дээрх жижиг талбайг сонгон авч үзье (Зураг 412), орой нь О бөмбөгний төвд байрлах пирамид эсвэл конусыг авч үзье. ; Хатуухан хэлэхэд, суурь нь хавтгай биш, харин бөмбөрцөг хэлбэртэй тул бид конус эсвэл пирамидын тухай зөвхөн нөхцөлт байдлаар ярьж байна. Гэхдээ хэрэв суурийн хэмжээ нь бөмбөгний радиустай харьцуулахад бага бол энэ нь хавтгайгаас маш бага ялгаатай байх болно (жишээлбэл, тийм ч том биш талбайг хэмжихдээ тэд энэ нь газар дээр биш гэдгийг үл тоомсорлодог). онгоц, гэхдээ бөмбөрцөг дээр).

Дараа нь "пирамид" -ын суурийг энэ хэсгийн талбайгаар тэмдэглэж, бид түүний эзэлхүүнийг суурийн талбайн өндрийн гуравны нэгийн үржвэр гэж олдог (өндөр нь бөмбөгний радиус юм) :

Хэрэв бид одоо бөмбөгний бүх гадаргууг маш олон тооны N ийм жижиг хэсгүүдэд задалж, улмаар бөмбөгний эзэлхүүнийг эдгээр хэсгүүдийг суурь болгон N ширхэг "пирамид" болгон хуваах юм бол бүх эзлэхүүнийг дараах байдлаар төлөөлнө. нийлбэр

Энд сүүлийн нийлбэр нь бөмбөгний нийт гадаргуутай тэнцүү байна:

Тиймээс бөмбөрцгийн эзэлхүүн нь түүний радиус ба гадаргуугийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс гадаргуугийн талбайн хувьд бид томьёотой болно

Сүүлийн үр дүнг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбай нь түүний том тойргийн талбайгаас дөрөв дахин их байна.

Дээрх дүгнэлт нь бөмбөрцгийн салбарын гадаргуугийн талбайд бас тохиромжтой (бид зөвхөн суурь, өөрөөр хэлбэл бөмбөрцөг гадаргуу эсвэл "таг" гэсэн үг юм; 409-р зургийг үз). Мөн энэ тохиолдолд салбарын эзэлхүүн нь бөмбөгний радиус ба түүний бөмбөрцөг суурийн талбайн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна.

малгайны талбайн томъёог эндээс олдог

Бөмбөрцөг давхаргын бөмбөрцөг гадаргууг бөмбөрцөг бүс гэж нэрлэдэг (408-р зургийг үз). Бөмбөрцөг туузны гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд бид хоёр бөмбөрцөг тагны гадаргуугийн ялгааг олно.

давхаргын өндөр хаана байна. Тиймээс, өгөгдсөн бөмбөгний бөмбөрцөг туузны гадаргуугийн талбай нь зөвхөн харгалзах давхаргын өндрөөс хамаарна, гэхдээ бөмбөг дээрх байрлалаас хамаардаггүй.

Даалгавар. Бөмбөгийг тойрон хүрээлэгдсэн конусын хажуугийн гадаргуу нь бөмбөгний гадаргуугийн нэг ба хагастай тэнцэх талбайтай байна. Бөмбөгний радиус бол конусын өндрийг ол.

Шийдэл. Тохиромжтой болгохын тулд конусын өндөр ба үүсгэгчийн хоорондох өнцгийг танилцуулъя (Зураг 413). Конусын өндөр, суурийн радиус, генатриксийн илэрхийллүүдийг олцгооё

Зөвхөн нэг томьёотой бөгөөд эхлээд диаметр эсвэл радиус гэж юу болохыг мэдсэнээр та бөмбөгний гадаргуугийн талбайг хялбархан тооцоолж болно. Томъёо нь иймэрхүү харагдах болно S =4πR2, энд pi-г 4-ээр үржүүлж, дараа нь бөмбөгний радиусыг квадрат хүчин чадалтай болгоно. Гэхдээ шууд тооцоо хийхээс өмнө нэр томъёог нэн даруй ойлгох хэрэгтэй.

Утгын тайлбар

Үүнийг та мэдэх ёстой:

• Бөмбөг- төвийн эргэн тойронд хагас дугуй хэлбэртэй эргэлтийн хөдөлгөөнөөс үүссэн геометрийн объект. Бөмбөгний гадаргуу дээрх аливаа цэг нь төвөөс ижил зайд байрладаг.
• Бөмбөрцөг- бөмбөгтэй адил биш. Хэрэв энэ нь эзэлхүүнтэй объект бөгөөд дотоод орон зайг багтаасан бол бөмбөрцөг нь зөвхөн гадаргуу юм энэ объектынзөвхөн өөрийн гэсэн талбайтай. Өөрөөр хэлбэл, бөмбөрцөг нь бөмбөг шиг ийм ийм эзэлхүүнтэй гэж хэлж болохгүй.
• Питогтмол тоо юм харьцаатай тэнцүү байнатойргийн тойргийг түүний диаметртэй харьцуулна. Товчилсон хэлбэрээр ихэвчлэн 3.14-тэй тэнцүү тоогоор тэмдэглэдэг. Гэхдээ үнэндээ гурвын дараа мянга гаруй тоо байдаг!
• Бөмбөгний радиус нь түүний диаметрийн ½-тэй тэнцүү байна. Тодорхой диаметрийг хэд хэдэн хавтгай ба түвшний объект ашиглан тооцоолж болно. Та зүгээр л бөмбөгийг хавчих, бие биентэйгээ перпендикуляр байрладаг эдгээр объектуудын хооронд бөмбөгийг хавчих хэрэгтэй бөгөөд дараа нь үүссэн диаметрийг хэмжих хэрэгтэй.
• Квадрат градус хоёр гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энэ тоог өөрөө нэг удаа үржүүлэх ёстой гэсэн үг юм. Хэрэв тооны хүч нь гурвын хэлбэртэй байсан бол өөрөө хоёр дахин үржүүлэх шаардлагатай болно. Илэрхийлэлийг цаасан дээр бичснээр та яагаад нэг ба хоёр биш, хоёр ба гурав ашиглагдсаныг ойлгож чадна.
• Эзлэхүүн– объектын эзэлсэн орон зайн хэмжээг харуулсан хэмжигдэхүүн. Бөмбөгний хэмжээ нь диаметрээс хамаарна. Томъёо нь 4/3-ийг pi-ээр үржүүлж, түүний радиустай дахин үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно.
• Дөрвөлжин– объектын гадаргуугийн хэмжээг харуулсан хэмжигдэхүүн, гэхдээ дотоод орон зай биш.

Сонирхолтой баримтууд

Энэ нь сонирхолтой юм:

1. "Пи" тоо дэлхий даяар өөрийн гэсэн фэн клубтэй. Нийгмийн гишүүд энэ тооноос аль болох олон шинж тэмдгийг санаж, тоонд нуугдаж буй бүх нийтийн нууцыг тайлахыг хичээдэг.
2. Дэлхийн хуурай газрын талбай нь түүний дөнгөж 29.2 хувийг эзэлдэг нийтлэг гадаргуу. Яг тооХотгор, уулс зэрэг дэлхийн тэгш бус газарзүйн байдлаас шалтгаалан энэ бүсийг нэрлэхэд хэцүү байдаг.
3. Бөмбөрцгийн талбайн томъёоны талаархи мэдлэгийг өдөр тутмын амьдралд ашиглаж болно. Мөн энэ мэдлэгээр та маргаанд өрсөлдөгчөө дарж чадна.

Геометрийн чиглэлээр өөрийн мэдлэгийн цар хүрээг харуулснаар та эхлээд хүндэтгэлийг олж авах боломжтой бөгөөд засварчин, худалдагчдад хууртагдах боломжгүй гэдгийг ойлгуулж чадна.

Томъёоны хэрэглээ

Жишээ авч үзье, талбайг хэрхэн тооцоолох дугуй бөмбөг , диаметр нь 50 см томьёоны дагуу та 50-ыг хоёроор хувааж (радиусыг авах), үр дүнгийн тоог квадрат болгож, бүх зүйлийг эхлээд 4, дараа нь 3.14-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Үүний үр дүнд бид 7850 квадрат см-ийн тоог авдаг.

Талбайг тооцоолох томъёоҮүнийг зөвхөн сургуулийн багш нар, лабораторийн судлаачдын дунд ашигладаггүй. Энэ томъёо нь энгийн зураачдад хэрэгтэй байж болно. Эцсийн эцэст, хэрэв бөмбөг том, хангалттай будаг байхгүй бол асуулт гарч ирнэ: энэ хольц нь объектыг бүхэлд нь будахад хангалттай байх уу? Энэ нь томъёо нь ашигтай байж болох цорын ганц өдөр тутмын тохиолдол биш юм.

Эзлэхүүнийг тооцоолох томъёоЭнэ нь засвар хийж байгаа барилгын багийнханд бас хэрэг болно. Энэ нь ямар төрлийн объект байх нь хамаагүй - үйлдвэрлэлийн барилга, жижиг байшин эсвэл энгийн орон сууц. Энэ бол мэргэжлийн хүмүүсийг ялгаж буй зүйл юм - тэд мэдлэгээ практикт хэрхэн ашиглахаа мэддэг.

Гэхдээ яах вэ хэрэв объектыг хэмжих боломжгүй бол?Энэ асуулт нь объектын асар том хэмжээ эсвэл түүнд хүрэх боломжгүй тохиолдолд гарч ирж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд электрон технологи нь тусалж чадна, үүний үндэс нь тодорхой давтамж, лазераар орон зайг сканнердах явдал юм. ХАМТ орчин үеийн технологиБүх томъёог цээжээр мэдэх шаардлагагүй. Интернет холболттой байх, ямар ч онлайн тооцоолуур руу очиход хангалттай.

Бөмбөрцгийн эзэлхүүн ба талбайн томьёог анх олж, гаргаж авсан хүн гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг , байсан Архимед. Энэ бол МЭӨ 300 жил амьдарч байсан эртний Грекийн хамгийн агуу эрдэмтэн юм. Тэр зөвхөн математикч төдийгүй физикч, инженер байсан. Тэр бол бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг "дижитал болгох" гэж оролдсон анхны хүмүүсийн нэг юм. Түүний теорем, бүтээлүүд өнөөг хүртэл ашиглагдаж байна.

"Пи" тооны хил хязгаарыг Архимед тодорхойлсон.ямар ч орчин үеийн хэрэгсэлгүйгээр тэдгээрийг тодорхойлсон. Архимед өөрөө бөмбөрцгийн эзэлхүүнийг тооцдог томьёогоор маш их бахархаж байсан. Үүнийг хүндэтгэн түүний үр удам булшны чулуун дээр цилиндр, бөмбөг дүрсэлсэн байна.

Хэрэв тэр ямар нэгэн гайхамшгаар бидний үед дахин төрсөн бол тэр даруй энэ ертөнцийг өөрчилж, шинэ түвшинд гаргах боломжтой болно.

Видео

Энэ видеог жишээ болгон ашигласнаар бөмбөгний гадаргуугийн талбайг хэрхэн олохыг ойлгоход хялбар байх болно.

Тодорхойлолт.

Бөмбөрцөг (бөмбөгний гадаргуу) нь нэг цэгээс ижил зайд байгаа гурван хэмжээст орон зайн бүх цэгүүдийн цуглуулга юм бөмбөрцгийн төв(ТУХАЙ).

Бөмбөрцөгийг диаметрийнхээ эргэн тойронд тойрог буюу хагас тойргийг 360 ° эргүүлснээр үүссэн гурван хэмжээст дүрс гэж тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт.

БөмбөгЭнэ нь гурван хэмжээст орон зайн бүх цэгүүдийн цуглуулга бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь тодорхой зайнаас хэтрэхгүй гэж нэрлэгддэг цэг юм. бөмбөгний төв(O) (бүх цэгүүдийн багц гурван хэмжээст орон зайбөмбөрцөгөөр хязгаарлагдсан).

Бөмбөлөг диаметрийг тойрон 180 ° эргүүлэх эсвэл хагас тойргийг 360 ° эргүүлэх замаар үүссэн гурван хэмжээст дүрс гэж тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт. Бөмбөрцгийн радиус (бөмбөг)(R) нь бөмбөрцгийн төвөөс (бөмбөг) хүртэлх зай юм. Обөмбөрцгийн аль ч цэг рүү (бөмбөгний гадаргуу).

Тодорхойлолт. Бөмбөрцөг (бөмбөг) диаметр(D) нь бөмбөрцгийн хоёр цэгийг (бөмбөгний гадаргуу) холбож, төвийг нь дайран өнгөрөх сегмент юм.

Томъёо. Бөмбөрцгийн хэмжээ:

V=	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Томъёо. Бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайрадиус эсвэл диаметрээр:

S = 4π R 2 = π D 2

Бөмбөрцгийн тэгшитгэл

1. Декартын координатын системийн эхэнд төв нь R радиустай бөмбөрцгийн тэгшитгэл:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Декартын координатын систем дэх координат (x 0, y 0, z 0) цэгийн төвтэй R радиустай бөмбөрцгийн тэгшитгэл:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Тодорхойлолт. Диаметрийн эсрэг цэгүүдБөмбөгний (бөмбөрцөг) гадаргуу дээрх диаметрээр холбогдсон дурын хоёр цэг.

Бөмбөрцөг ба бөмбөгний үндсэн шинж чанарууд

1. Бөмбөрцгийн бүх цэгүүд төвөөс ижил зайд байна.

2. Бөмбөрцгийг хавтгайгаар харгалзах дурын хэсэг нь тойрог юм.

3. Онгоцоор хийсэн бөмбөгний аль ч хэсэг нь тойрог юм.

4. Бөмбөрцөг нь ижил гадаргуугийн талбайтай бүх орон зайн дүрсүүдээс хамгийн том эзэлхүүнтэй.

5. Диаметрийн эсрэг хоёр цэгээр дамжуулан та бөмбөрцөгт зориулж олон том тойрог эсвэл бөмбөгний тойрог зурж болно.

6. Диаметрийн эсрэг цэгүүдээс бусад дурын хоёр цэгээр дамжуулан та бөмбөрцөгт зориулж зөвхөн нэг том тойрог эсвэл бөмбөгний хувьд том тойрог зурж болно.

7. Нэг бөмбөгний дурын хоёр том тойрог нь бөмбөгний төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцох ба тойрог нь диаметрийн эсрэг хоёр цэгээр огтлолцоно.

8. Хэрвээ дурын хоёр бөмбөлгийн төвүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн радиусуудын нийлбэрээс бага ба радиусын зөрүүний модулиас их байвал ийм бөмбөг огтлолцох, мөн огтлолцлын хавтгайд тойрог үүснэ.

Бөмбөрцгийн зүсэлт, хөвч, зүсэгч хавтгай ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Тодорхойлолт. Бөмбөрцөг зүсэгчнь бөмбөрцгийг хоёр цэгээр огтолж буй шулуун шугам юм. Уулзвар цэгүүд гэж нэрлэдэг цоолох цэгүүдгадаргуу эсвэл гадаргуу дээрх орох, гарах цэгүүд.

Тодорхойлолт. Бөмбөрцгийн хөвч (бөмбөг)- энэ бол бөмбөрцөг дээрх хоёр цэгийг холбосон сегмент (бөмбөгний гадаргуу).

Тодорхойлолт. Таслах онгоцбөмбөрцөгийг огтолж буй хавтгай юм.

Тодорхойлолт. Диаметрийн хавтгай- энэ бол бөмбөрцөг эсвэл бөмбөлөгний төвийг дайран өнгөрч буй таслагч хавтгай бөгөөд хэсэг нь үүний дагуу үүсдэг том тойрогТэгээд том тойрог. Их тойрогмөн том тойрог нь бөмбөрцгийн (бөмбөг) төвтэй давхцах төвтэй байдаг.

Бөмбөрцгийн (бөмбөг) төвөөр дамжин өнгөрөх аливаа хөвч нь диаметр юм.

Хөвч нь таслагч шугамын хэсэг юм.

Бөмбөрцгийн төвөөс секант хүртэлх зай d нь бөмбөрцгийн радиусаас үргэлж бага байдаг.

г< R

Зүсэх хавтгай ба бөмбөрцгийн төв хоорондын зай m нь R радиусаас үргэлж бага байдаг.

м< R

Бөмбөрцөг дээрх зүсэх онгоцны хэсгийн байрлал нь үргэлж байх болно жижиг тойрог, мөн бөмбөг дээр хэсэг байх болно жижиг тойрог. Жижиг тойрог ба жижиг тойрог нь бөмбөрцгийн төвтэй (бөмбөг) давхцдаггүй өөрийн гэсэн төвтэй байдаг. Ийм тойргийн r радиусыг дараах томъёогоор олж болно.

r = √R 2 - м 2,

R нь бөмбөрцгийн (бөмбөг) радиус, m нь бөмбөгний төвөөс огтлох хавтгай хүртэлх зай юм.

Тодорхойлолт. Бөмбөрцгийн хагас (хагас бөмбөрцөг)- энэ нь бөмбөрцөг (бөмбөлөг) -ийн хагас нь диаметрийн хавтгайгаар таслагдах үед үүсдэг.

Бөмбөрцөгт шүргэгч, шүргэгч хавтгай ба тэдгээрийн шинж чанарууд

Тодорхойлолт. Бөмбөрцөгт шүргэгч- Энэ бол бөмбөрцөгт зөвхөн нэг цэгт хүрч байгаа шулуун шугам юм.

Тодорхойлолт. Бөмбөрцөгт шүргэгч хавтгайбөмбөрцөгт зөвхөн нэг цэгт хүрч байгаа хавтгай юм.

Шүргэх шугам (хавтгай) нь контактын цэг рүү татсан бөмбөрцгийн радиустай үргэлж перпендикуляр байдаг.

Бөмбөрцгийн төвөөс шүргэгч шугам (хавтгай) хүртэлх зай нь бөмбөрцгийн радиустай тэнцүү байна.

Тодорхойлолт. Бөмбөг сегмент- энэ бол зүсэх онгоцоор бөмбөгөөс таслагдсан бөмбөгний хэсэг юм. Сегментийн үндэсхэсгийн талбайд үүссэн тойрог гэж нэрлэдэг. Сегментийн өндөр h - сегментийн суурийн дундаас сегментийн гадаргуу хүртэл татсан перпендикулярын урт.

Томъёо. Бөмбөрцгийн сегментийн гаднах гадаргуугийн талбай R бөмбөрцгийн радиусаар h өндөртэй:

S = 2πRh