Хэвийн вектор нь шулуун (хэвийн вектор). Онгоцонд шууд. Шулуун шугамын тэгшитгэлийн шугаман байдал ба түүний урвуу. Чиглэл ба хэвийн векторууд Хэвийн векторын тэгшитгэл

Шаардлагатай хэд хэдэн даалгавар байдаг хэвийн векторонгоцноос өөрөөс нь илүү. Тиймээс, энэ нийтлэлд бид жирийн векторыг тодорхойлох асуултын хариултыг жишээ, харааны зургуудаар авах болно. Тэгшитгэлүүдийг ашиглан гурван хэмжээст орон зай ба хавтгайн векторуудыг тодорхойлъё.

Материалыг амархан шингээхийн тулд юуны өмнө огторгуй дахь шулуун шугамын онол, түүний хавтгай, вектор дээрх дүрслэлийг судлах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 1

Онгоцны хэвийн векторӨгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр шулуун дээр байрлах ямар ч тэг биш векторыг авч үзнэ.

Үүнээс үзэхэд тэнд байдаг их хэмжээнийӨгөгдсөн хавтгай дахь хэвийн векторууд. Доорх зургийг харцгаая.

Хэвийн векторууд параллель шулуунууд дээр байрладаг тул тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, γ хавтгайд байрлах n → хэвийн вектортой бол t параметрийн тэгээс өөр утгатай t · n → вектор нь мөн γ хавтгайн хэвийн вектор болно. Аливаа векторыг энэ хавтгайд перпендикуляр шугамын чиглэлийн вектор гэж үзэж болно.

Аль нэгнийх нь перпендикуляр байдлаас шалтгаалан онгоцны хэвийн векторууд давхцах тохиолдол байдаг зэрэгцээ хавтгайнууд, шугам нь хоёр дахь хавтгайд перпендикуляр тул. Энэ нь хэвийн векторууд юм перпендикуляр хавтгайнуудперпендикуляр байх ёстой.

Хавтгай дээрх хэвийн векторын жишээг харцгаая.

Тэгш өнцөгт координатын систем өгөгдсөн O x y z in гурван хэмжээст орон зай. i →, j →, k → координатын векторуудыг O y z, O x z, O x y хавтгайнуудын хэвийн векторууд гэж үзнэ. i → , j → , k → нь тэг биш бөгөөд O x , O y ба O z координатын шулуунууд дээр байрладаг тул энэ дүгнэлт зөв юм. Эдгээр шугамууд перпендикуляр байна координатын хавтгайнууд O y z, O x z болон O x y.

Хавтгайн хэвийн векторын координат - хавтгайн тэгшитгэлээс хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох.

Уг нийтлэл нь O x y z тэгш өнцөгт координатын системийн мэдэгдэж буй хавтгай тэгшитгэлтэй хавтгайн хэвийн векторын координатыг хэрхэн олохыг заах зорилготой юм. Хавтгай дээрх n → = (A, B, C) хэвийн векторыг тодорхойлохын тулд A x + B y + C z + D = 0 хэлбэртэй хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлтэй байх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, хавтгайн тэгшитгэлтэй байхад л хангалттай, тэгвэл хэвийн векторын координатыг олох боломжтой болно.

Жишээ 1

2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0 хавтгайд хамаарах нормаль векторын координатыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид онгоцны тэгшитгэлтэй байна. Тухайн хавтгайн хэвийн векторын координат учраас коэффициентуудад анхаарлаа хандуулах шаардлагатай. Эндээс бид n → = (2, - 3, 7) нь хавтгайн хэвийн вектор болохыг олж мэднэ. Бүх хавтгай векторуудыг томъёогоор тодорхойлно t · n → = 2 · t, - 3 · t, 7 · t, t нь тэгтэй тэнцүү биш аливаа бодит тоо юм.

Хариулт: n → = (2, - 3, 7) .

Жишээ 2

Өгөгдсөн x + 2 z - 7 = 0 хавтгайн чиглэлийн векторуудын координатыг тодорхойл.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид үүнийг өгсөн бүрэн бус тэгшитгэлонгоц. Координатыг харахын тулд x + 2 z - 7 = 0 тэгшитгэлийг 1 x + 0 y + 2 z - 7 = 0 болгон хувиргах хэрэгтэй. Эндээс бид энэ хавтгайн хэвийн векторын координатууд (1, 0, 2) -тай тэнцүү байна. Тэгвэл векторуудын олонлог дараах хэлбэртэй байна (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

Хариулт: (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

Х a + y b + z c = 1 хэлбэртэй сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл, хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан координат нь 1 a, 1 b байх энэ хавтгайн хэвийн векторыг бичих боломжтой. , 1 в.

Ердийн векторын талаархи мэдлэг нь асуудлыг хялбархан шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Түгээмэл тулгардаг асуудал бол хавтгайн параллелизм эсвэл перпендикуляр байдлыг нотлох даалгавар юм. Өгөгдсөн хавтгайд тэгшитгэл зохиох асуудлыг шийдвэрлэх нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан болно. Хэрэв хавтгай эсвэл шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох тухай асуулт байвал хэвийн векторын томъёо, координатыг олоход тусална.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Онгоцыг тодорхойлох аргууд.

Онгоцны харилцан зохион байгуулалт.

Сансарт хоёр онгоц давхцаж болно. Энэ тохиолдолд тэд дор хаяж гурван нийтлэг зүйлтэй байна.

Сансар огторгуйн хоёр хавтгай огтлолцож болно. Хоёр хавтгайн огтлолцол нь аксиомоор тогтоогдсон шулуун шугам юм: хэрэв хоёр хавтгай нь нийтлэг цэгтэй бол эдгээр хавтгайн бүх нийтлэг цэгүүд байрладаг нийтлэг шулуун шугамтай байна.

Энэ тохиолдолд огтлолцох хавтгайн хоорондох өнцөг гэсэн ойлголт гарч ирнэ. Онгоц хоорондын өнцөг нь ерэн градус байх тохиолдолд онцгой анхаарал татаж байна. Ийм онгоцыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Эцэст нь сансар огторгуй дахь хоёр хавтгай зэрэгцээ байж болно, өөрөөр хэлбэл нийтлэг цэг байхгүй.

Нэг шулуун шугамын дагуу хэд хэдэн хавтгай огтлолцож, нэг цэг дээр хэд хэдэн хавтгай огтлолцох тохиолдол бас сонирхолтой юм.

Сансарт тодорхой хавтгайг тодорхойлох үндсэн аргуудыг жагсаацгаая.

Нэгдүгээрт, орон зайд нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг тогтоосноор хавтгайг тодорхойлж болно. Энэ арга нь аксиом дээр суурилдаг: нэг шулуун дээр оршдоггүй дурын гурван цэгээр дамжин нэг хавтгай байдаг.

Тэгш өнцөгт координатын системийг гурван хэмжээст орон зайд тогтоож, нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван өөр цэгийн координатыг нь зааж өгвөл өгөгдсөн гурвыг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг бичиж болно. оноо.

Онгоцыг тодорхойлох дараагийн хоёр арга нь өмнөх нэгний үр дагавар юм. Эдгээр нь гурван цэгийг дайран өнгөрч буй онгоцны тухай аксиомын үр дүнд тулгуурладаг.

· хавтгай ба зөвхөн нэг нь шулуун шугам ба түүн дээр хэвтээгүй цэгээр дамжин өнгөрөх;

Нэг хавтгай нь огтлолцсон хоёр шугамаар дамждаг.

Орон зай дахь хавтгайг тодорхойлох дөрөв дэх арга нь параллель шугамыг тодорхойлоход суурилдаг. Сансар огторгуйн хоёр шулуун нэг хавтгайд оршдог, огтлолцдоггүй бол тэдгээрийг параллель гэж нэрлэдэг гэдгийг санаарай. Тиймээс орон зайд хоёр зэрэгцээ шугамыг зааж өгснөөр бид эдгээр шугамууд байрлах цорын ганц хавтгайг тодорхойлох болно.

Хэрэв гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системтэй харьцуулахад хавтгайг заасан аргаар зааж өгсөн бол бид хоёр зэрэгцээ шугамаар дамжин өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэж болно.

Хоёр хавтгайн параллелизмын тэмдэг нь хавтгайг тодорхойлох өөр аргыг бидэнд өгдөг. Энэ шинж чанарын томъёоллыг эргэн санацгаая: хэрэв нэг хавтгайн огтлолцсон хоёр шулуун нь нөгөө хавтгайн хоёр шулуунтай параллель байвал ийм хавтгайнууд параллель байна. Иймд бид түүнийг дайран өнгөрөх цэг болон параллель байх хавтгайг зааж өгвөл тодорхой хавтгайг тодорхойлж болно.

Мэдэж байгаадаа ахлах сургуульГеометрийн хичээл дээр дараахь теорем батлагдсан: орон зайн тогтмол цэгээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр нэг хавтгай дамждаг. Тиймээс, хэрэв бид түүнийг дайран өнгөрөх цэг болон түүнд перпендикуляр шулууныг зааж өгвөл хавтгайг тодорхойлж болно.

Хэрэв тэгш өнцөгт координатын системийг гурван хэмжээст орон зайд тогтоож, заасан аргаар хавтгайг зааж өгсөн бол түүнийг дайран өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл үүсгэх боломжтой. өгсөн онооөгөгдсөн шулуунд перпендикуляр.

Хавтгайд перпендикуляр шугамын оронд та энэ хавтгайн хэвийн векторуудын аль нэгийг зааж өгч болно. Энэ тохиолдолд бичих боломжтой ерөнхий тэгшитгэлонгоц.

Шулуун шугамын тухай сайн ойлголт нь түүний дүрстэй хамт чиглүүлэгч болон хэвийн векторуудын дүрс нэгэн зэрэг гарч ирэх үеэс эхэлдэг. Үүний нэгэн адил, орон зай дахь хавтгайг дурдахад түүнийг ердийн векторын хамт дүрслэх ёстой. Яагаад ийм байна вэ? Тийм ээ, учир нь олон тохиолдолд онгоцны ердийн векторыг ашиглах нь онгоцноос илүү тохиромжтой байдаг.

Нэгдүгээрт, бид онгоцны хэвийн векторын тодорхойлолтыг өгч, хэвийн векторуудын жишээ, шаардлагатай график дүрслэлийг өгнө. Дараа нь бид хавтгайг гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын системд байрлуулж, тэгшитгэлээс нь хавтгайн хэвийн векторын координатыг тодорхойлж сурах болно.

2.1. Ердийн хавтгай вектор - тодорхойлолт, жишээ, чимэглэл.

Тодорхойлолт. Ердийн хавтгай векторнь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр шулуун дээр байрлах ямар ч тэг биш вектор юм.

Тодорхойлолтоос харахад өгөгдсөн хавтгайд хязгааргүй тооны хэвийн векторууд байдаг.

Өгөгдсөн хавтгайн бүх хэвийн векторууд параллель шулуунууд дээр байрладаг тул хавтгайн бүх хэвийн векторууд коллинеар байна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв хавтгайн хэвийн вектор бол тэгээс бусад бодит утгын t-ийн вектор нь мөн хавтгайн хэвийн вектор болно.

Хавтгайн аль ч хэвийн векторыг энэ хавтгайд перпендикуляр шулууны чиглэлийн вектор гэж үзэж болно гэдгийг бас тэмдэглэх хэрэгтэй.

Зэрэгцээ хавтгайнуудын аль нэгэнд перпендикуляр шугам нь хоёр дахь хавтгайд перпендикуляр байдаг тул параллель хавтгайн хэвийн векторуудын багц давхцдаг.

Перпендикуляр хавтгайн тодорхойлолт ба хавтгайн хэвийн векторын тодорхойлолтоос харахад перпендикуляр хавтгайн хэвийн векторууд перпендикуляр байна.

Ердийн хавтгай векторын жишээ.Тэгш өнцөгт координатын системийг Oxyz гурван хэмжээст орон зайд тогтооё. Координатын векторууд нь Oyz, Oxz, Oxy хавтгайнуудын хэвийн векторууд юм. Энэ нь үнэн юм, учир нь векторууд нь тэг биш бөгөөд Oyz, Oxz, Oxy координатын хавтгайд перпендикуляр байрлах Ox, Oy, Oz координатын шулуунууд дээр байрладаг.

2.2. Хавтгайн хэвийн векторын координат - хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглан хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох.

Тэгш өнцөгт координатын Oxyz систем дэх хавтгайн тэгшитгэлийг мэдэж байгаа бол хавтгайн хэвийн векторын координатыг олъё.

Хэлбэрийн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл нь тэгш өнцөгт координатын системд Oxyz хэвийн вектор нь вектор болох хавтгайг тодорхойлно. Тиймээс хавтгайн хэвийн векторын координатыг олохын тулд бидний нүдний өмнө энэ хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл байхад хангалттай.

Жишээ.Хавтгайн аль ч хэвийн векторын координатыг ол.

Шийдэл.Бидэнд хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд x, y, z хувьсагчдын коэффициентүүд нь энэ хавтгайн хэвийн векторын харгалзах координатуудыг илэрхийлдэг. Тиймээс энэ нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн векторуудын нэг юм. Энэ хавтгайн бүх хэвийн векторуудын олонлогийг t нь дурын байдлаар зааж өгч болно бодит тоо, тэгээс ялгаатай.

Жишээ.Хавтгайг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Түүний чиглэлийн векторуудын координатыг тодорхойл.

Шийдэл.Бидэнд онгоцны бүрэн бус тэгшитгэлийг өгсөн. Түүний чиглэлийн векторын координатыг харуулахын тулд бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Иймд энэ хавтгайн хэвийн вектор нь координаттай байх ба бүх хэвийн векторуудын олонлогийг гэж бичнэ.

Хэлбэрийн сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн нэгэн адил энэ хавтгайн хэвийн векторуудын аль нэгийг шууд бичих боломжийг олгодог - энэ нь координаттай байдаг.

Дүгнэж хэлэхэд, ердийн векторын тусламжтайгаар онгоцыг шийдэж болно гэж бид хэлж байна янз бүрийн даалгавар. Хамгийн түгээмэл нь хавтгайн параллелизм эсвэл перпендикуляр байдлыг нотлох бодлого, хавтгайн тэгшитгэл зохиох бодлого, түүнчлэн хавтгай хоорондын өнцгийг олох, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох бодлого юм.

Хавтгайн хэвийн вектор нь өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байх вектор юм. Аливаа хавтгайд хязгааргүй олон хэвийн векторууд байдаг нь ойлгомжтой. Гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд зөвхөн нэг л хэрэгтэй болно.

Хэрэв хавтгайг ерөнхий тэгшитгэлээр өгвөл , дараа нь вектор нь өгөгдсөн хавтгайн хэвийн вектор юм. Энэ нь зүгээр л жигшмээр юм. Та хийх ёстой зүйл бол хавтгай тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг "арилгах" юм.

Гурван дэлгэц амласан дэлгэцийг хүлээж байна, жишээ №1 рүү буцаж очоод шалгацгаая. Тэнд цэг ба хоёр векторыг ашиглан хавтгайн тэгшитгэл байгуулах шаардлагатай байсныг сануулъя. Шийдлийн үр дүнд бид тэгшитгэлийг хүлээн авлаа. Бид шалгаж байна:

Эхлээд үүссэн тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлъё.

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг үнэхээр энэ хавтгайд оршдог гэсэн үг юм.

Хоёрдугаарт, хавтгайн тэгшитгэлээс хэвийн векторыг хасна: . Векторууд нь хавтгайд параллель, вектор нь хавтгайд перпендикуляр байдаг тул дараахь баримтууд гарах ёстой. . Векторуудын перпендикуляр байдлыг ашиглан хялбархан шалгаж болно цэгийн бүтээгдэхүүн:

Дүгнэлт: онгоцны тэгшитгэл зөв олдсон.

Туршилтын үеэр би дараахь онолын мэдэгдлийг иш татсан. вектор хавтгайтай зэрэгцээ хэрвээ мөн л бол .

Шийдье чухал ажил, энэ нь бас хичээлтэй холбоотой:

Жишээ 5

Хавтгайн нэгж нормаль векторыг ол .

Шийдэл: Нэгж вектор нь урт нь нэг вектор юм. гэж тэмдэглэе өгөгдсөн вектордамжуулан. Үндсэндээ ландшафт дараах байдалтай байна.

Векторууд нь коллинеар байх нь туйлын тодорхой юм.

Эхлээд хавтгайн тэгшитгэлээс хэвийн векторыг хасна: .

Нэгж векторыг хэрхэн олох вэ? Нэгж векторыг олох , хэрэгтэй бүрвектор координат векторын уртаар хуваана .

Норматив векторыг дахин бичээд уртыг нь олъё.

Дээр дурдсанчлан:

Хариулт:

Баталгаажуулах: баталгаажуулахад юу шаардлагатай байсан.

Хичээлийн сүүлийн догол мөрийг анхааралтай судалж үзсэн уншигчид Векторуудын цэгийн үржвэрТа үүнийг анзаарсан байх нэгж вектор координат нь яг векторын чиглэлийн косинусууд юм :

Асуудлаасаа түр завсарлая: танд дурын тэг биш вектор өгөгдсөн үед, мөн нөхцөлийн дагуу түүний чиглэлийн косинусыг олох шаардлагатай (хичээлийн сүүлчийн даалгаварууд). Векторуудын цэгийн үржвэр), тэгвэл та үнэн хэрэгтээ үүнтэй коллинеар нэгж векторыг олно.

Үнэндээ нэг саванд хоёр даалгавар.

Нэгж хэвийн векторыг олох хэрэгцээ нь математик шинжилгээний зарим асуудалд үүсдэг.

Бид ердийн векторыг хэрхэн яаж загасчлахаа олж мэдсэн, одоо эсрэг асуултанд хариулъя.

Хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг судлахдаа бид вектор алгебр дээр тулгуурладаг. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын чиглүүлэх вектор ба шулуун шугамын хэвийн вектор онцгой ач холбогдолтой. Энэ нийтлэлд бид ердийн шугамын векторыг нарийвчлан авч үзэх болно. Шугамын хэвийн векторын тодорхойлолтоос эхлээд жишээ, график дүрслэл өгье. Дараа нь бид шулуун шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугамын хэвийн векторын координатыг олоход шилжиж, харуулах болно. нарийвчилсан шийдлүүддаалгавар.

Хуудасны навигаци.

Хэвийн шугамын вектор - тодорхойлолт, жишээ, чимэглэл.

Материалыг ойлгохын тулд та шулуун шугам, хавтгайн талаар тодорхой ойлголттой байхаас гадна вектортой холбоотой үндсэн тодорхойлолтуудыг мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс бид өгүүлэлд байгаа материалын талаар эхлээд санах ойгоо сэргээхийг зөвлөж байна: хавтгай дээрх шулуун шугам, орон зай дахь шулуун шугам, онгоцны санаа гэх мэт.

Ердийн шугамын векторын тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Ердийн шугамын векторнь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр ямар ч шулуун дээр байрлах тэгээс бусад вектор юм.

Шугамын хэвийн векторын тодорхойлолтоос харахад өгөгдсөн шулууны хэвийн вектор хязгааргүй олон байдаг.

Шугамын хэвийн векторын тодорхойлолт ба шугамын чиглэлийн векторын тодорхойлолт нь өгөгдсөн шулууны дурын хэвийн вектор нь энэ шугамын аль ч чиглэлийн вектортой перпендикуляр байна гэж дүгнэх боломжийг олгодог.

Ердийн шугамын векторын жишээг өгье.

Оксиг онгоцонд өгье. Ox координатын шугамын хэвийн векторуудын нэг нь координатын вектор юм. Үнэн хэрэгтээ вектор нь тэг биш бөгөөд Ox координатын шулуун дээр байрладаг бөгөөд энэ нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр байдаг. Тэгш өнцөгт координатын Oxy систем дэх Ox координатын шугамын бүх хэвийн векторуудын багцыг дараах байдлаар тодорхойлж болно. .

Гурван хэмжээст орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын Oxyz системд Oz шулуун шугамын хэвийн вектор нь вектор юм. Координатын вектор нь мөн Oz шугамын хэвийн вектор юм. Oz тэнхлэгт перпендикуляр ямар ч хавтгайд байрлах тэгээс бусад вектор нь Oz шулууны хэвийн вектор байх нь ойлгомжтой.

Шугамын хэвийн векторын координат - энэ шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан шулууны хэвийн векторын координатыг олох.

Хэрэв бид тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамыг Oxy гэж үзвэл энэ нь ямар нэгэн төрлийн хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлтэй тохирч, шугамын хэвийн векторуудыг тэдгээрийн координатаар тодорхойлно (өгүүллийг үзнэ үү). Энэ нь "энэ шугамын тэгшитгэлийг мэдэж байхад шугамын хэвийн векторын координатыг хэрхэн олох вэ" гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлээр хавтгай дээр тодорхойлогдсон шугамуудад тавьсан асуултын хариултыг хайцгаая.

Хэрэв хавтгай дээрх шулуун шугамыг хэлбэрийн ерөнхий шулуун шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлно , дараа нь A ба B коэффициентүүд нь энэ шугамын хэвийн векторын харгалзах координатыг илэрхийлнэ.

Жишээ.

Зарим хэвийн шулуун векторын координатыг ол .

Шийдэл.

Шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн тул бид түүний хэвийн векторын координатыг нэн даруй бичиж болно - тэдгээр нь x ба y хувьсагчдын өмнө харгалзах коэффициентүүд юм. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь координаттай байдаг.

Хариулт:

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн А эсвэл В тоонуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ нь танд төвөг учруулах ёсгүй. Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ.

Аливаа хэвийн шугамын векторыг зааж өгнө.

Шийдэл.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийг бидэнд өгсөн. Үүнийг маягтаар дахин бичиж болно , энэ шугамын хэвийн векторын координатууд шууд харагдах газраас: .

Хариулт:

Хэлбэрийн сегмент дэх шугамын тэгшитгэл эсвэл өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлийг энэ шугамын хэвийн векторын координатыг олох шугамын ерөнхий тэгшитгэлд хялбархан буулгаж болно.

Жишээ.

Шугамын хэвийн векторын координатыг ол.

Шийдэл.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэлээс шугамын ерөнхий тэгшитгэл рүү шилжих нь маш хялбар байдаг. . Иймээс энэ шугамын хэвийн вектор нь координаттай байна.

Хариулт:

Хэрэв шугамыг хэлбэрийн хавтгай дээрх шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл хэлбэрийн хавтгай дээрх шугамын параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлвол , тэгвэл хэвийн векторын координатыг олж авахад бага зэрэг хэцүү болно. Эдгээр тэгшитгэлээс шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг шууд харж болно - . Мөн энэ шугамын хэвийн векторын координатыг олох боломжийг танд олгоно.

Шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл шугамын параметрт тэгшитгэлийг ерөнхий тэгшитгэл болгон бууруулснаар та шугамын хэвийн векторын координатыг олж авч болно. Үүнийг хийхийн тулд дараах өөрчлөлтүүдийг хийнэ үү.

Аль аргыг илүүд үзэхийг та өөрөө шийднэ.

Шийдвэрүүдийг жишээн дээр харуулъя.

Жишээ.

Ердийн шугамын векторыг ол .

Шийдэл.

Чиглэлийн вектор шулуун байна вектор юм. Ердийн шугамын вектор векторт перпендикуляр байвал тэгтэй тэнцүү байна: . Энэ тэгшитгэлээс n x-д дурын тэгээс бусад бодит утгыг өгснөөр бид n y-г олно. n x =1 гэж үзье Тиймээс анхны шугамын хэвийн вектор координаттай байна.

Хоёр дахь шийдэл.

Шугамын каноник тэгшитгэлээс ерөнхий тэгшитгэл рүү шилжье: . Одоо энэ шугамын хэвийн векторын координатууд харагдах болсон.

Хариулт:

Онгоцонд шууд.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг танилцуулахаас өмнө танилцуулъя ерөнхий тодорхойлолтшугамууд.

Тодорхойлолт. Маягтын тэгшитгэл

F (x,y)=0 (1)

шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Лөгөгдсөн координатын системд хэрэв координатууд үүнийг хангаж байвал XТэгээд цагтшугаман дээр байрлах дурын цэг Л, мөн энэ шулуун дээр ороогүй аливаа цэгийн координатыг хангаж болохгүй.

Тэгшитгэлийн зэрэг (1) тодорхойлно шугамын дараалал. (1) тэгшитгэл нь шугамыг тодорхойлдог (тогтоодог) гэж бид хэлэх болно Л.

Тодорхойлолт. Маягтын тэгшитгэл

Ah+Bu+C=0 (2)

дурын коэффициентүүдийн хувьд А, IN, ХАМТ (АТэгээд INтэгтэй тэнцүү биш) тэгш өнцөгт координатын системд тодорхой шулуун шугамыг тодорхойлно. Энэ тэгшитгэлдуудсан шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тэгшитгэл (2) нь нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл тул шулуун шугам бүр нэгдүгээр эрэмбийн шугам бөгөөд эсрэгээр нэгдүгээр эрэмбийн мөр бүр шулуун байна.

(2) тэгшитгэл бүрэн бус байх гурван онцгой тохиолдлыг авч үзье. зарим коэффициентүүд нь тэг байна.

1) Хэрэв С=0, тэгвэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна Ah+Wu=0учир нь координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг тодорхойлно координатууд (0,0) Энэ тэгшитгэлийг ханга.

2) Хэрэв B=0 (A≠0), тэгвэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна Ах+С=0ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлно. Хувьсагчийн хувьд энэ тэгшитгэлийг шийдэж байна XБид хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна x=a, Хаана a=-C/A, А- абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамаар таслагдсан сегментийн хэмжээ. Хэрэв a=0 (С=0 Өө(Зураг 1а). Тиймээс шулуун x=0ординатын тэнхлэгийг тодорхойлно.

3) Хэрэв A=0 (B≠0), тэгвэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна Wu+C=0мөн x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлно. Хувьсагчийн хувьд энэ тэгшитгэлийг шийдэж байна цагтБид хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна у=б, Хаана b = -С/В, б- ордны тэнхлэг дээрх шулуун шугамыг таслах сегментийн хэмжээ. Хэрэв b =0 (С=0), дараа нь шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө(Зураг 1б). Тиймээс шулуун y=0 x тэнхлэгийг тодорхойлно.

A) б)

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийг өгье Ah+Bu+C=0итгэлцүүрүүдийн аль нь ч тэг биш тохиолдолд. Коэффициентийг шилжүүлье ХАМТВ баруун талболон хуваах -ХАМТхоёр хэсэг.

Эхний догол мөрөнд оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна " сегментүүдэд»:

Тоонууд учраас ийм нэртэй болсон АТэгээд бкоординатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамыг таслах сегментүүдийн утгууд юм.

Жишээ 2х-3у+6=0. Энэ мөрөнд "хэсгүүдээр" тэгшитгэл зохиож, энэ мөрийг байгуул.

Шийдэл

Энэ шулуун шугамыг барихын тулд тэнхлэг дээр зуръя Өөсегмент a=-3, мөн тэнхлэг дээр Өөсегмент b =2. Бид олж авсан цэгүүдээр шулуун шугам зурна (Зураг 2).

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тэгшитгэлийг өгье Ah+Bu+C=0коэффициент байгаа тохиолдолд INтэгтэй тэнцүү биш. Дараах хувиргалтыг хийцгээе

Тэгшитгэл (4), хаана k =-А/Б, налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг к.

Тодорхойлолт. Налалтын өнцөгөгсөн шуудтэнхлэг рүү Өөөнцөг гэж нэрлэе α , тэнхлэгийг эргүүлэх шаардлагатай Өөингэснээр түүний эерэг чиглэл нь шулуун шугамын аль нэг чиглэлтэй давхцдаг.

Шулуун шугамын тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенс Өөналуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. k =tgα. Үүнийг баталцгаая -А/Бүнэхээр тэнцүү к. -аас зөв гурвалжин ΔOAV(Зураг 3) бид илэрхийлж байна tga,Шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийж, дараахь зүйлийг авцгаая.

Q.E.D.

Хэрэв k =0, дараа нь шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өө, түүний тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна у=б.

Жишээ. Шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно 4x+2y-2=0. Энэ шулууны налуутай тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Дээр дурдсантай төстэй хувиргалтыг хийцгээе, бид дараахь зүйлийг авна.

Хаана k=-2, b=1.

Өгөгдсөн налуутай өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Нэг оноо өгье M 0 (x 0,y 0)шулуун шугам ба түүний налуу к. Шугамын тэгшитгэлийг (4) хэлбэрээр бичье б- одоохондоо үл мэдэгдэх дугаар. Гол нь М 0өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол түүний координат нь (4) тэгшитгэлийг хангана: . илэрхийллийг орлуулж байна б(4)-д бид шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна.

Жишээ. M(1,2) цэгийг дайран тэнхлэгт налуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Өө 45 0 өнцгөөр.

Шийдэл. k =tgα =тг 45 0 =1. Эндээс: .

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Хоёр оноо өгье М 1 (x 1,y 1)Тэгээд М 2 (х 2, у 2). Шугамын тэгшитгэлийг (5) хэлбэрээр бичье кОдоогоор тодорхойгүй коэффициент:

Гол цэгээс хойш М 2өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол координатууд нь (5) тэгшитгэлийг хангана: . Эндээс илэрхийлж, (5) тэгшитгэлд орлуулснаар бид шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна.

Хэрэв энэ тэгшитгэлийг цээжлэхэд илүү тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж чадвал:

Жишээ. M 1 (1,2) ба M 2 (-2,3) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. . Пропорциональ шинж чанарыг ашиглан шаардлагатай хувиргалтыг хийснээр бид шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна.

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хоёр шулуун шугамыг авч үзье л 1Тэгээд л 2:

л 1: , , Мөн

л 2: , ,

φ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг (). 4-р зурагнаас тодорхой байна: .

Эндээс, эсвэл

l 2 нь зэрэгцээ байна φ=0 Тэгээд tgφ =0. (7) томъёоноос , хаанаас гэсэн үг гарч байна k 2 =k 1. Тиймээс хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдал юм.

Хэрэв шулуун бол л 1Тэгээд л 2перпендикуляр байна φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Иймд хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициент нь хэмжээнээсээ урвуу, тэмдгээр эсрэг тэсрэг байх явдал юм.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн шугаман байдал ба түүний урвуу.


Шууд ба хэвийн векторууд.

Ердийн шугамын векторнь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр ямар ч шулуун дээр байрлах тэгээс бусад вектор юм.

Шууд векторнь өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл үүнтэй параллель шулуун дээр байрлах ямар ч тэг биш вектор юм.