Анхны тоо. Нийлмэл тоо. Тоонууд. Анхны тоо Анхны тоо ч биш, нийлмэл тоо ч биш

Теорем.

Хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг.

Баталгаа.

Энэ нь тийм биш гэж бодъё. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн n анхны тоо байна гэж бодъё, эдгээр анхны тоонууд нь p 1, p 2, ..., p n байна. Заасан тооноос өөр анхны тоог үргэлж олж чаддаг гэдгийг харуулъя.

p тоог p 1 ·p 2 ·…·p n +1-тэй тэнцүү гэж үзье. Энэ тоо нь p 1, p 2, ..., p n анхны тоо бүрээс ялгаатай нь тодорхой байна. Хэрэв p тоо анхны бол теорем батлагдсан болно. Хэрэв энэ тоо нийлмэл бол өмнөх теоремын дагуу энэ тооны анхны хуваагч байна (бид үүнийг p n+1 гэж тэмдэглэнэ). Энэ хуваагч нь p 1, p 2, ..., p n тоонуудын аль нь ч таарахгүй гэдгийг харуулъя.

Хэрэв тийм биш байсан бол хуваагдах шинж чанарын дагуу p 1 ·p 2 ·…·p n үржвэр нь p n+1-д хуваагдах байсан. Харин p тоо нь мөн p n+1-д хуваагддаг ба p 1 ·p 2 ·…·p n +1 нийлбэртэй тэнцүү. Үүнээс үзэхэд p n+1 нь энэ нийлбэрийн хоёр дахь гишүүнийг хуваах ёстой бөгөөд энэ нь нэгтэй тэнцүү боловч энэ нь боломжгүй юм.

Тиймээс урьдчилж тогтоосон анхны тоонуудын дунд ороогүй шинэ анхны тоо үргэлж олддог нь батлагдсан. Тиймээс хязгааргүй олон анхны тоо байдаг.

Тиймээс, анхны тоо нь хязгааргүй байдаг тул анхны тооны хүснэгтийг эмхэтгэхдээ та үргэлж дээрээс ямар нэг тоогоор, ихэвчлэн 100, 1,000, 10,000 гэх мэтийг хязгаарладаг.

Eratosthenes шигшүүр

Одоо бид анхны тоонуудын хүснэгт үүсгэх аргуудын талаар ярилцах болно. Бид 100 хүртэлх анхны тоонуудын хүснэгтийг хийх хэрэгтэй гэж бодъё.

Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн ойлгомжтой арга бол 2-оос эхлээд 100-аар төгссөн эерэг бүхэл тоонуудын эерэг хуваагч байгаа эсэхийг 1-ээс их ба шалгаж байгаа тооноос бага (бидний мэдэх хуваагдлын шинж чанаруудаас) шалгах явдал юм. хуваагчийн үнэмлэхүй утга нь ногдол ашгийн үнэмлэхүй утгаас хэтрэхгүй байх, тэгээс бусад). Хэрэв ийм хуваагч олдохгүй бол шалгагдаж буй тоо нь анхны тоо бөгөөд түүнийг анхны тооны хүснэгтэд оруулна. Хэрэв ийм хуваагч олдвол шалгаж буй тоо нь нийлмэл тоо байх болно. Үүний дараа дараагийн тоо руу шилжих шилжилт нь хуваагч байгаа эсэхийг шалгадаг.

Эхний хэдэн алхамыг тайлбарлая.

Бид 2 дугаараас эхэлдэг. 2 тоо нь 1 ба 2-оос өөр эерэг хуваагчгүй. Тиймээс, энэ нь энгийн тул бид үүнийг анхны тооны хүснэгтэд оруулна. Энд 2 бол хамгийн бага анхны тоо гэдгийг хэлэх хэрэгтэй. 3 дугаар руу шилжье. 1 ба 3-аас бусад эерэг хуваагч нь 2 тоо юм. Гэхдээ 3 нь 2-т хуваагддаггүй тул 3 нь анхны тоо бөгөөд үүнийг анхны тооны хүснэгтэд оруулах шаардлагатай. 4-р дугаар руу шилжье. 1 ба 4-өөс бусад эерэг хуваагч нь 2 ба 3 тоо байж болно, тэдгээрийг шалгая. 4 тоо нь 2-т хуваагддаг тул 4 нь нийлмэл тоо бөгөөд анхны тооны хүснэгтэд оруулах шаардлагагүй. 4 нь хамгийн жижиг нийлмэл тоо гэдгийг анхаарна уу. 5 дугаар руу шилжье. Бид 2, 3, 4 тоонуудын ядаж нэг нь хуваагч мөн эсэхийг шалгадаг. 5 нь 2, 3, 4-т хуваагддаггүй тул анхны тоо бөгөөд үүнийг анхны тооны хүснэгтэд бичих ёстой. Дараа нь 6, 7 гэх мэт 100 хүртэлх тоонууд руу шилжинэ.

Анхны тооны хүснэгтийг эмхэтгэх энэ арга нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Ямар ч байсан тэр оршин тогтнох эрхтэй. Бүхэл тоонуудын хүснэгтийг байгуулах энэ аргын тусламжтайгаар та хуваагдах шалгуурыг ашиглаж болох бөгөөд энэ нь хуваагчийг олох үйл явцыг бага зэрэг хурдасгах болно гэдгийг анхаарна уу.

Энгийн тоонуудын хүснэгтийг үүсгэх илүү тохиромжтой арга бий. Нэрэнд байгаа "шигшүүр" гэсэн үг нь санамсаргүй биш юм, учир нь энэ аргын үйлдэл нь энгийн тоонуудыг нийлмэлээс салгахын тулд бүхэл тоо, том нэгжийг Эратосфен шигшүүрээр "шилж" хийхэд тусалдаг.

50 хүртэлх анхны тоонуудын хүснэгтийг бүрдүүлэхдээ Эратосфенийн шигшүүрийг хэрхэн ажиллаж байгааг харуулъя.

Эхлээд 2, 3, 4, ..., 50 гэсэн тоонуудыг дарааллаар нь бич.

Эхний бичигдсэн 2 тоо нь анхны тоо юм. Одоо 2-р тооноос эхлэн бид дараалсан хоёр тоогоор баруун тийш шилжиж, эмхэтгэж буй тооны хүснэгтийн төгсгөлд хүрэх хүртлээ эдгээр тоонуудыг таслав. Энэ нь хоёрын үржвэр бүхий бүх тоог хасах болно.

2-ын дараах зураасгүй эхний тоо нь 3 байна. Энэ тоо нь анхны тоо юм. Одоо 3-р тооноос эхлэн бид гурван тоогоор баруун тийш (аль хэдийн таслагдсан тоонуудыг харгалзан) тогтмол хөдөлж, тэдгээрийг хасдаг. Энэ нь гурвын үржвэр бүхий бүх тоог хасах болно.

3-ын дараах эхний зураасгүй тоо нь 5 байна. Энэ тоо нь анхны тоо юм. Одоо 5-ын тооноос бид баруун тийш 5 тоогоор тогтмол шилжиж (бид өмнө нь зурсан тоонуудыг харгалзан үздэг) тэдгээрийг хасдаг. Энэ нь тавын үржвэр бүхий бүх тоог хасах болно.

Дараа нь бид 7-ын үржвэр, дараа нь 11-ийн үржвэр гэх мэт тоонуудыг таслана. Гаргах тоо байхгүй бол процесс дуусна. Eratosthenes шигшүүрээр олж авсан 50 хүртэлх анхны тоонуудын хүснэгтийг доор харуулав. Бүх хөндлөн огтлолцоогүй тоонууд анхдагч тоо, бүх зураастай тоо нь нийлмэл тоо байна.

Мөн Эратосфен шигшүүрээр анхны тоонуудын хүснэгтийг бүрдүүлэх үйл явцыг хурдасгах теоремыг томьёолж, баталъя.

Теорем.

Нэгээс өөр a нийлмэл тооны хамгийн бага эерэг хуваагч нь -ээс хэтрэхгүй, хаана нь a -аас байна.

Баталгаа.

Нэгээс ялгаатай нийлмэл a тооны хамгийн бага хуваагчийг b үсгээр тэмдэглэе (б тоо нь анхны догол мөрийн эхэнд батлагдсан теоремоос дараах байдлаар). Дараа нь a=b·q (энд q нь бүхэл тоог үржүүлэх дүрмээс үүсэлтэй эерэг бүхэл тоо), (b>q-ийн хувьд b нь a-ийн хамгийн бага хуваагч байх нөхцөл зөрчигдсөн) бүхэл q байна. , a=q·b ) тэгшитгэлийн улмаас q нь мөн a тооны хуваагч учраас ). Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг ба нэгээс их бүхэл тоогоор үржүүлснээр (бидэнд үүнийг хийхийг зөвшөөрдөг) бид , аль нь болон .

Эратосфен шигшүүрийн талаар батлагдсан теорем бидэнд юу өгдөг вэ?

Нэгдүгээрт, анхны b-ийн үржвэр болох нийлмэл тоог хасахдаа тэнцүү тоогоор эхлэх ёстой (энэ нь тэгш бус байдлаас үүдэлтэй). Жишээлбэл, хоёрын үржвэртэй тоог 4-ийн тоогоор, гурвын үржвэрийг 9-ээр, тавын үржвэрийг 25-ын тоогоор гэх мэтээр таслах хэрэгтэй.

Хоёрдугаарт, анхны тоонуудын үржвэр болох бүх нийлмэл тоо нь -ээс хэтрэхгүй байх үед Эратосфен шигшүүрээр n хүртэлх анхны тоонуудын хүснэгтийг эмхэтгэсэн гэж үзэж болно. Бидний жишээнд n=50 (бид 50 хүртэлх анхны тоонуудын хүснэгтийг хийж байгаа тул) Эратосфен шигшүүр нь 2, 3, 5, 7 анхны тоонуудын үржвэр бүхий бүх нийлмэл тоог хасах ёстой. арифметик квадрат язгуураас 50-аас хэтрэхгүй. Өөрөөр хэлбэл, 11, 13, 17, 19, 23 гэх мэт 47 хүртэлх анхны анхны тоонуудын үржвэр болох тоонуудыг хайж олох шаардлагагүй, учир нь тэдгээрийг аль хэдийн жижиг анхны тоо 2-ын үржвэр болгон таслах болно. , 3, 5 ба 7.

Энэ тоо анхны уу эсвэл нийлмэл тоо мөн үү?

Зарим даалгаварт өгөгдсөн тоо анхны эсвэл нийлмэл тоо эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай. Ерөнхийдөө энэ даалгавар нь энгийн зүйлээс хол байна, ялангуяа бичвэр нь нэлээд олон тэмдэгтээс бүрддэг тоонуудын хувьд. Ихэнх тохиолдолд та үүнийг шийдвэрлэх тодорхой арга замыг хайх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч бид энгийн тохиолдлуудад сэтгэлгээний галт тэрэг рүү чиглүүлэхийг хичээх болно.

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн тоог нийлмэл гэдгийг батлахын тулд хуваагдах тестийг ашиглаж болно. Жишээлбэл, хуваагдах чадварыг шалгах тест нь тухайн тоо нэгээс их эерэг бүхэл тоонд хуваагддаг болохыг харуулсан бол анхны тоо нь нийлмэл тоо юм.

Жишээ.

898,989,898,989,898,989 нь нийлмэл тоо гэдгийг батал.

Шийдэл.

Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 9·8+9·9=9·17. 9·17-той тэнцэх тоо 9-д хуваагддаг тул 9-д хуваагдах шалгуураар анхны тоо мөн 9-д хуваагддаг гэж үзэж болно. Тиймээс энэ нь нийлмэл юм.

Энэ аргын мэдэгдэхүйц сул тал бол хуваагдах шалгуур нь тооны анхны байдлыг батлах боломжийг олгодоггүй явдал юм. Тиймээс, тоо нь анхны эсвэл нийлмэл эсэхийг шалгахдаа өөрөөр үргэлжлүүлэх хэрэгтэй.

Хамгийн логик арга бол өгөгдсөн тооны бүх хуваагчийг оролдох явдал юм. Хэрэв боломжит хуваагчдын аль нь ч өгөгдсөн тооны жинхэнэ хуваагч биш бол энэ тоо анхны тоо байх болно, үгүй ​​бол нийлмэл болно. Өмнөх догол мөрөнд нотлогдсон теоремуудаас үзэхэд өгөгдсөн a тооны хуваагчийг -аас хэтрэхгүй анхны тоонуудаас хайх ёстой. Тиймээс, өгөгдсөн a тоог анхны тоонд (анхны тоон хүснэгтээс авах боломжтой) дараалан хувааж, а тооны хуваагчийг олохыг оролдож болно. Хэрэв хуваагч олдвол а тоо нийлмэл байна. -ээс ихгүй анхны тоонуудын дунд а тоог хуваагч байхгүй бол а тоо анхны байна.

Жишээ.

Тоо 11 723 энгийн эсвэл нийлмэл үү?

Шийдэл.

11723-ын хуваагч ямар анхны тоо хүртэл байж болохыг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид үнэлдэг.

Энэ нь маш ойлгомжтой , 200 оноос хойш 2 =40,000, мөн 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью тоонуудын харьцуулалт). Тиймээс 11,723-ын боломжит анхны хүчин зүйлүүд нь 200-аас бага байна. Энэ нь бидний даалгаврыг аль хэдийн илүү хялбар болгож байна. Хэрэв бид үүнийг мэдэхгүй байсан бол 200 хүртэл биш, харин 11,723 хүртэлх бүх анхны тоог давах хэрэгтэй болно.

Хэрэв хүсвэл илүү нарийвчлалтай үнэлж болно. 108 2 =11,664, 109 2 =11,881 тул 108 2 болно.<11 723<109 2 , следовательно, . Тиймээс 109-өөс бага анхны тоонуудын аль нэг нь өгөгдсөн 11,723 тооны анхны хүчин зүйл байж болзошгүй.

Одоо бид 11,723 тоог 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 гэсэн анхны тоонд хуваах болно. , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Хэрэв 11,723 тоог бичигдсэн анхны тоонуудын аль нэгэнд хуваавал нийлмэл тоо болно. Хэрэв энэ нь бичигдсэн анхны тоонуудын аль нэгэнд хуваагдахгүй бол анхны тоо нь анхны тоо болно.

Бид энэ бүхэл бүтэн, нэгэн хэвийн хуваагдах үйл явцыг дүрслэхгүй. 11723 гэж шууд хэлье

Ильягийн хариулт зөв боловч тийм ч нарийн биш. Дашрамд хэлэхэд 18-р зуунд нэгийг анхны тоо гэж үздэг байсан. Жишээлбэл, Эйлер, Голдбах зэрэг агуу математикчид. Голдбах бол мянганы долоон асуудлын нэг болох Голдбахын таамаглалын зохиогч юм. Анхны томъёололд тэгш тоо бүрийг хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно гэж заасан. Түүнээс гадна, анх 1-ийг анхны тоо болгон авч үзсэн бөгөөд бид үүнийг харж байна: 2 = 1+1. Энэ бол таамаглалын анхны томъёоллыг хангасан хамгийн жижиг жишээ юм. Дараа нь үүнийг засч, томъёолол нь орчин үеийн хэлбэрийг олж авсан: "4-өөс эхэлсэн тэгш тоо бүрийг хоёр анхны тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно."

Тодорхойлолтыг санацгаая. Анхны тоо гэдэг нь зөвхөн 2 өөр натурал хуваагчтай p натурал тоо юм: p өөрөө ба 1. Тодорхойлолтоос гарах үр дүн: p анхны тоо нь зөвхөн нэг анхны хуваагчтай - p өөрөө.

Одоо 1-ийг анхны тоо гэж үзье. Тодорхойлолтоор анхны тоо нь зөвхөн нэг анхны хуваагчтай байдаг - өөрөө. Дараа нь 1-ээс их анхны тоо нь түүнээс өөр анхны тоонд (1-ээр) хуваагддаг болох нь харагдаж байна. Гэхдээ хоёр өөр анхны тоог бие биендээ хувааж болохгүй, учир нь эс бөгөөс тэдгээр нь анхны тоо биш, харин нийлмэл тоо бөгөөд энэ нь тодорхойлолттой зөрчилддөг. Энэ аргын тусламжтайгаар зөвхөн 1 анхны тоо байдаг - нэгж өөрөө. Гэхдээ энэ бол утгагүй юм. Тиймээс 1 нь анхны тоо биш юм.

1, түүнчлэн 0 нь тоонуудын өөр анги - алгебрийн талбайн зарим дэд бүлэгт n-аритай үйлдлүүдтэй холбоотой төвийг сахисан элементүүдийн ангиллыг бүрдүүлдэг. Түүнээс гадна нэмэх үйлдлийн хувьд 1 нь бүхэл тоон цагираг үүсгэх элемент юм.

Үүнийг харгалзан үзвэл бусад алгебрийн бүтэц дэх анхны тооны аналогийг олоход хэцүү биш юм. Бид 1: 2, 4, 8, 16, ... гэх мэтээс эхлэн 2-ын зэрэглэлээс бүрдсэн үржүүлэх бүлэгтэй байна гэж бодъё. 2 нь энд үүсгэх элементийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ бүлгийн анхны тоо нь хамгийн жижиг элементээс их, зөвхөн өөртөө болон хамгийн жижиг элементэд хуваагддаг тоо юм. Манай бүлэгт ердөө 4 нь ийм шинж чанартай байдаг. Манай бүлэгт анхны тоо байхгүй болсон.

Хэрэв манай бүлэгт 2 нь анхны тоо байсан бол эхний догол мөрийг харна уу - дахиад л 2 нь анхны тоо болох нь тодорхой болно.

Нэг анхны тоо мөн үү? Үгүй ээ, нэг нь анхны тоо биш юм.

0 анхны тоо мөн үү? Үгүй, тэг бол анхны тоо биш.

2 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 2 бол анхны тоо. 2 бол цорын ганц тэгш анхны тоо юм.

3 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 3 бол анхны тоо.

5 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 5 бол анхны тоо.

7 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 7 бол анхны тоо.

9 анхны тоо мөн үү? Үгүй ээ, 9 бол анхны тоо биш. Эцсийн эцэст 9 нь өөрөө, нэг, гуравт хуваагддаг.

11 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 11 бол анхны тоо.

13 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 13 бол анхны тоо.

15 анхны тоо мөн үү? Үгүй ээ, 15 бол анхны тоо биш. Эцсийн эцэст 15 нь өөрөө, нэгд, гуравт, тавд хуваагддаг.

17 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 17 бол анхны тоо.

19 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 19 бол анхны тоо.

20 анхны тоо мөн үү? Үгүй ээ, 20 бол анхны тоо биш. Эцсийн эцэст 20 нь өөрөө, нэгд, хоёрт, дөрөвт, тавд, аравад хуваагдана.

777 анхны тоо мөн үү? Үгүй ээ, 777 бол анхны тоо биш. Эцсийн эцэст 777 нь өөртөө, нэгд, 3-т, 7-д, 37-д хуваагддаг.

997 анхны тоо мөн үү? Тийм ээ, 997 бол анхны тоо.

Анхны тоо гэдэг нь зөвхөн өөртөө болон нэгд хуваагддаг натурал тоо юм.

Одоогийн байдлаар факторингийн тоонуудын олон гишүүнт алгоритмууд тодорхойгүй байгаа ч ийм алгоритм байдаггүй нь нотлогдоогүй байна. RSA криптосистем болон бусад зарим нь хүчин зүйлчлэлийн асуудлын тооцооллын өндөр төвөгтэй байдал дээр суурилдаг. Шорын алгоритмыг ашиглан квант компьютер дээр олон гишүүнт нарийн төвөгтэй хүчин зүйлүүдийг онолын хувьд хийх боломжтой.

Анхны тоог хайх, таних алгоритмууд

Зарим утга хүртэлх анхны тоонуудын жагсаалтыг олох энгийн аргуудыг Эратосфенийн шигшүүр, Сундарамын шигшүүр, Аткины шигшүүрээр өгдөг.

Гэсэн хэдий ч практик дээр та анхны тоонуудын жагсаалтыг авахын оронд тухайн тоо нь анхны тоо эсэхийг шалгахыг хүсдэг. Энэ асуудлыг шийддэг алгоритмуудыг анхдагч байдлын тест гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт анхдагч байдлын тестүүд байдаг боловч ихэнх нь магадлалын шинж чанартай (Миллер-Рабин тест гэх мэт) бөгөөд криптографийн хэрэгцээнд ашиглагддаг. 2002 онд анхдагч байдлын тестийн бодлого нь ерөнхийдөө олон гишүүнт шийдэгддэг болох нь батлагдсан боловч санал болгож буй детерминист Агравал-Кажал-Саксена тест нь тооцооллын нэлээд төвөгтэй тул түүнийг практикт хэрэглэхэд хүндрэлтэй болгодог.

Зарим ангиллын тооны хувьд тусгай үр дүнтэй анхдагч байдлын тестүүд байдаг (доороос үзнэ үү).

Анхны тооны олонлогийн хязгааргүй байдал

Хязгааргүй тооны анхны тоо байдаг. Энэ баримтын хамгийн эртний мэдэгдэж буй нотолгоог Евклид элементүүдэд өгсөн (IX ном, мэдэгдэл 20). Түүний нотолгоог дараах байдлаар товчхон гаргаж болно.

Математикчид өөр нотолгоог санал болгов. Тэдгээрийн нэг нь (Эйлерийн өгсөн) эхнийх нь эсрэг талын нийлбэр болохыг харуулж байна nанхны тоо, өсөлтөөр хязгааргүй өсдөг n.

Мерсений тоонууд нь үр дүнтэй анхдагч тест болох Luc-Lemaire тест байдгаараа бусдаас эрс ялгаатай. Түүний ачаар Мерсенн праймерууд хамгийн томд тооцогдох дээд амжилтыг удаан хадгалсаар ирсэн.

100,000,000 ба 1,000,000,000-аас дээш тооны аравтын оронтой анхны тоог олоход EFF 150,000 ба 250,000 ам.долларын мөнгөн шагналыг тус тус олгосон. EFF өмнө нь 1,000,000 болон 10,000,000 аравтын оронтой анхны тоог олоход шагнал олгож байсан.

Тусгай төрлийн анхны тоо

Тусгай алгоритмуудыг ашиглан анхны байдлыг нь үр дүнтэй тогтоох боломжтой хэд хэдэн тоо байдаг.

Зориулалтын төрлүүдийн анхны тоог хайхын тулд GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen эсвэл Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home зэрэг тархсан тооцооллын төслүүдийг одоогоор ашиглаж байна.

Зарим шинж чанарууд

• Хэрэв p нь анхны бөгөөд p нь ab-г хуваавал p нь a эсвэл b-г хуваана. Энэ баримтын нотолгоог Евклид өгсөн бөгөөд үүнийг Евклидийн лемма гэж нэрлэдэг. Үүнийг арифметикийн үндсэн теоремыг батлахад ашигладаг.
• Суутгалын бөгж $\backslash mathbb(Z)\_n$талбар нь зөвхөн хэрэв байгаа бол $n$- энгийн.
• Талбар бүрийн шинж чанар нь тэг эсвэл анхны тоо юм.
• Хэрэв $х$- энгийн, гэхдээ $а$- байгалийн, тэгвэл $a^p-a$хуваасан $х$(Фермагийн жижиг теорем).
• Хэрэв $Г$дараалал нь хязгаарлагдмал бүлэг юм $|Г|$хуваасан $х$, Тэр $Г$дарааллын элементийг агуулдаг $х$(Кошигийн теорем).
• Хэрэв $Г$нь хязгаарлагдмал бүлэг бөгөөд $p^n$- дээд зэрэг $х$, хуваагддаг $|Г|$, Тэр $Г$захиалгын дэд бүлэгтэй $p^n$, Sylow дэд бүлэг гэж нэрлэгддэг, үүнээс гадна Sylow дэд бүлгүүдийн тоо тэнцүү байна $pk+1$бүхэлд нь $к$(Силоугийн теорем).
• Байгалийн $p\; >\; 1$энгийн бөгөөд зөвхөн хэрэв л бол $(p-1)!\; +\; 1$хуваасан $х$(Вилсоны теорем).
• Хэрэв $n\; >\; 1$- байгалийн, дараа нь энгийн зүйл байдаг $х$, ийм (Бертрангийн постулат).
• Анхны тооны урвуу тоонуудын цуваа зөрүүтэй байна. Түүнээс гадна, хэзээ $x\backslash to\backslash infty$
• Маягтын аливаа арифметик прогресс $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Хаана $a,\; q\; >\; 1$- бүхэл тоо нь анхны тоонуудын тоонд хязгааргүй олон тооны анхны тоог агуулдаг (Арифметик прогресс дахь анхны тоонуудын тухай Дирихлетийн теорем).
• 3-аас их анхны тоо бүрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно $6к+1$эсвэл $6к-1$, Хаана $к$- зарим натурал тоо. Эндээс, хэд хэдэн дараалсан анхны тоонуудын ялгаа (k>1-ийн хувьд) ижил байвал энэ нь заавал 6-ын үржвэр болно - жишээлбэл: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Хэрэв $p\; >\; 3$- тэгвэл энгийн $p^2-1$нь 24-ийн үржвэр (3-т хуваагддаггүй бүх сондгой тоонуудад мөн үнэн).
• Ногоон-Тао теорем. Анхны тооноос бүрдэх дурын урт төгсгөлтэй арифметик прогрессууд байдаг.
• $n^k-1$, Хаана n>2, к>1. Өөрөөр хэлбэл, анхны тоог дагаж буй тоо нь 2-оос их суурьтай дөрвөлжин эсвэл дээд зэрэглэл байж болохгүй. Үүнээс гадна хэрэв анхны тоо нь хэлбэртэй бол гэсэн үг юм. $2^k-1$, Тэр к- анхны тоо (Мерсений тоог үзнэ үү).
• Ямар ч анхны тоо маягттай байж болохгүй $n^(2к+1)+1$, Хаана n>1, к>0. Өөрөөр хэлбэл, анхны тооноос өмнөх тоо нь 1-ээс их суурьтай шоо буюу сондгой зэрэглэлийн өндөр байж болохгүй.

Анхны тоог олох томьёо

IN өөр өөр цаг хугацааХэзээ, утгыг нь илэрхийлэхийг зааж өгөхийг оролдсон өөр өөр утгатайҮүнд орсон хувьсагч нь анхны тоо байх болно. Л.Эйлер олон гишүүнтийг зааж өгсөн $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$энгийн утгыг авах n = 0, 1, 2, …, 40. Гэсэн хэдий ч хэзээ n = 41олон гишүүнтийн утга нь нийлмэл тоо юм. Бүх n бүхэл тоонуудын анхны утгыг авах нэг n хувьсагчид олон гишүүн байхгүй гэдгийг баталж болно. П.Фермат 2-р хэлбэрийн бүх тоонуудыг санал болгосон 2 к + 1энгийн; харин Эйлер энэ таамаглалыг няцааж, 2 тоо гэдгийг нотолсон 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - нэгдэл.

Гэсэн хэдий ч хувьсагчийн сөрөг бус утгатай эерэг утгуудын багц нь анхны тооны олонлогтой давхцдаг олон гишүүнт байдаг. Үүний нэг жишээ нь олон гишүүнт юм

• $\backslash эхлэх(зохицуулах)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \төгсгөл(зохицуулах) 26 хувьсагч агуулсан, 25 зэрэгтэй. Хамгийн бага зэрэгэнэ төрлийн мэдэгдэж буй олон гишүүнтүүдийн хувьд - 42 хувьсагчтай 5; хамгийн бага хувьсагч нь ойролцоогоор 1.6·10 45 зэрэгтэй 10 байна. Энэ үр дүн нь Юрий Матиясевичийн нотолсон аливаа тоолж болох олонлогийн Диофантийн шинж чанарын онцгой тохиолдол юм.

Нээлттэй асуултууд

Анхны тооны талаар олон асуулт нээлттэй байсаар байгаа бөгөөд эдгээрээс хамгийн алдартайг нь Эдмунд Ландау Олон улсын математикийн тавдугаар конгресс дээр дурдсан байдаг.

Нээлттэй асуудал бол Мерсений тоо, Фибоначчийн тоо, Фермагийн тоо гэх мэт олон бүхэл дараалалд хязгааргүй тооны анхны тоо байх явдал юм.

Хэрэглээ

Нийтийн түлхүүрийн криптографид том анхны тоог (10,300 дарааллаар) ашигладаг. Анхны тоог хэш хүснэгтэд мөн псевдо санамсаргүй тоо үүсгэхэд ашигладаг (ялангуяа Mersenne Twister PRNG-д).

Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт

• Ерөнхий алгебрийн нэг салбар болох цагирагийн онолд анхны элемент, анхны идеал гэсэн ойлголтыг тодорхойлсон байдаг.
• Зангилааны онолд энгийн зангилаа гэдэг ойлголтыг чухал биш зангилааны холболтын нийлбэр хэлбэрээр төлөөлөх боломжгүй зангилаа гэж тодорхойлдог.

Мөн үзнэ үү

"Эхний тоо" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй

Тэмдэглэл

Анхны тоог тодорхойлсон ишлэл

Наташа илүү тайван байсан ч илүү хөгжилтэй биш байв. Тэр зөвхөн баяр баясгалангийн бүх гадаад нөхцөл байдлаас зайлсхийж зогсохгүй: бөмбөг, тэшүүр, концерт, театр; гэхдээ тэр хэзээ ч түүний инээдээс нулимс гарахгүй болтлоо хүчтэй инээж байгаагүй. Тэр дуулж чадахгүй байсан. Тэр инээж эхлэх эсвэл ганцаараа дуулахыг оролдох үед нулимс нь түүнийг хахаж орхив: гэмшлийн нулимс, тэр эргэлт буцалтгүй, ариухан цаг үеийн дурсамжийн нулимс; дэндүү аз жаргалтай байж болох залуу насаа дэмий л сүйтгэсэндээ бухимдсан нулимс. Ялангуяа инээх, дуулах нь түүний уй гашууг доромжилсон мэт санагдаж байв. Тэр хэзээ ч хувцасны талаар бодож байгаагүй; тэр бүр татгалзах шаардлагагүй байсан. Тэр үед бүх эрчүүд түүний төлөө хошигногч Настася Ивановнатай яг адилхан байсан гэж тэр хэлж, мэдэрсэн. Дотоод хамгаалагч түүнд ямар ч баяр баясгаланг хатуу хориглов. Тэр охин шиг, хайхрамжгүй, итгэл найдвар төрүүлсэн амьдралын бүх хуучин сонирхол түүнд байгаагүй. Тэрээр намрын сарууд, ан агнуур, авга ах, Отрадное дахь Николастай хамт өнгөрүүлсэн зул сарын баярыг хамгийн олон удаа, хамгийн зовлонтой санаж байв. Тэр цагаас хойш ганцхан л өдөр авчрахын тулд тэр юу өгөх вэ! Гэвч энэ нь үүрд дууссан. Эрх чөлөө, бүх баяр баясгалангийн нээлттэй байдал дахин хэзээ ч эргэж ирэхгүй гэсэн урьдчилсан сэрэмжлэл түүнийг хуурсангүй. Гэхдээ би амьдрах ёстой байсан.
Тэр өөрийгөө урьд нь бодож байсан шигээ дээр биш, харин дэлхий дээр байгаа бүх хүнээс ч дор, хамаагүй муу гэж бодохдоо сэтгэл хангалуун байв. Гэхдээ энэ нь хангалтгүй байсан. Тэр үүнийг мэдээд өөрөөсөө "Дараа нь яах вэ?" гэж асуув. Амьдралд баяр баясгалан байсангүй, амьдрал өнгөрөв. Наташа зүгээр л хэнд ч дарамт болохгүй, хэнд ч саад болохгүйг хичээж байсан бололтой, гэхдээ түүнд юу ч хэрэггүй байв. Тэр гэртээ байгаа бүх хүмүүсээс холдсон бөгөөд зөвхөн ах Петятай л тайван байсан. Тэр бусадтай харьцуулахад түүнтэй хамт байх дуртай байсан; заримдаа түүнтэй нүүр тулан байхдаа инээдэг. Тэр бараг хэзээ ч гэрээсээ гардаггүй байсан бөгөөд тэдэн дээр ирсэн хүмүүсийн дунд тэр зөвхөн Пьертэй баяртай байв. Гүн Безухов түүнд хандсанаас илүү эелдэг, болгоомжтой, нэгэн зэрэг нухацтай хандах боломжгүй байв. Наташа Осс энэ эмзэглэлийг ухамсартайгаар мэдэрсэн тул компанидаа маш их таашаал авчээ. Гэвч тэр түүнд эелдэг зөөлөн хандсанд нь ч талархсангүй; Пьерийн хувьд сайн зүйл түүнд хүчин чармайлт мэт санагдсангүй. Пьерт хүн болгонд эелдэг харьцах нь жам ёсны юм шиг санагдсан тул түүний сайхан сэтгэлд ямар ч ач холбогдол байхгүй байв. Заримдаа Наташа Пьерийг түүний дэргэд, ялангуяа түүнд тааламжтай зүйл хийхийг хүссэн эсвэл яриандаа ямар нэгэн зүйл Наташад хэцүү дурсамж үлдээх вий гэж эмээх үед түүний ичгүүр, эвгүй байдлыг анзаардаг. Тэр үүнийг анзаарсан бөгөөд үүнийг түүний ерөнхий эелдэг байдал, ичимхий зантай холбон тайлбарлаж, түүний санаа бодлын дагуу түүнтэй адил хүн болгонд байх ёстой байв. Хэрэв эрх чөлөөтэй байсан бол өвдөг сөгдөн түүний гар, хайрыг хүсэх болно гэсэн гэнэтийн үгсийн дараа Пьер түүний төлөө маш их догдолж байсан тэр мөчид Наташад сэтгэлийнхээ талаар юу ч хэлсэнгүй; Тэр үед түүнийг маш их тайвшруулж байсан эдгээр үгс уйлж буй хүүхдийг тайвшруулахын тулд янз бүрийн утгагүй үгсийг хэлдэг байсан нь түүнд илт байв. Пьер гэрлэсэн хүн байсан учраас биш, харин Наташа өөртэйгөө болон түүний хооронд ёс суртахууны саад тотгорыг хамгийн дээд хэмжээнд мэдэрсэн тул Кирагинтай харьцдаггүй байсан тул Пьертэй харилцах харилцаанаасаа салж чадна гэж хэзээ ч санасангүй. зөвхөн түүний талаас, эсвэл бүр багадаа түүний талаас ч биш, тэр ч байтугай эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн хоорондох эелдэг, өөрийгөө хүлээн зөвшөөрдөг, яруу найргийн нөхөрлөл байдаг бөгөөд түүний хэд хэдэн жишээг мэддэг байсан.
Петрийн Лентийн төгсгөлд Ростовчуудын Отрадненскийн хөрш Аграфена Ивановна Белова Москвад ирж, Москвагийн гэгээнтнүүдэд мөргөв. Тэр Наташаг мацаг барихыг урьсан бөгөөд Наташа энэ санааг баяртайгаар хүлээн авав. Эмч нар өглөө эрт гарахыг хориглосон ч Наташа мацаг барьж, Ростовын гэрт мацаг барьдаг шигээ мацаг барьдаггүй, өөрөөр хэлбэл гэртээ гурван удаа мацаг барина, харин Аграфена Ивановна мацаг барьдаг шиг мацаг барихыг шаарджээ. , бүтэн долоо хоногийн турш ганц ч vespers, масс эсвэл матиныг алдалгүйгээр.
Наташагийн энэ хичээл зүтгэл гүнжид таалагдав; Амжилтгүй эмчилгээ хийсний дараа тэрээр залбирал нь түүнд илүү их эм өгөх болно гэж найдаж байсан бөгөөд эмчээс айж, нууж байсан ч Наташагийн хүслийг зөвшөөрч, Беловад даатгав. Аграфена Ивановна Наташаг өглөөний гурван цагт сэрээхээр ирсэн бөгөөд ихэнхдээ түүнийг унтаагүй байхыг олж мэдэв. Наташа дасгалын үеэр хэт унтахаас айдаг байв. Наташа нүүрээ яаран угааж, хамгийн муу даашинз, хуучин мантилаа өмсөж, шинэ сэргэг байдалдаа чичирч, өглөө үүрээр тунгалаг гэрэлтсэн эзгүй гудамжинд гарав. Аграфена Ивановнагийн зөвлөснөөр Наташа сүмдээ биш, харин сүсэгтэн Беловагийн хэлснээр маш хатуу чанд, өндөр амьдралтай тахилч байсан сүмд мацаг барьдаг байв. Сүмд үргэлж цөөхөн хүн байсан; Наташа, Белова нар зүүн найрал дууны арын хэсэгт байрлуулсан Бурханы эхийн дүрсний өмнө ердийн байраа эзэлж, өглөөний энэ ер бусын цагт Наташад агуу, үл ойлгогдохоос өмнө түүнийг бүрхэв. Бурханы эхийн хар царай, лаагаар гэрэлтэж, түүний өмнө шатаж, цонхноос унах өглөөний гэрлийг хараад тэр үйлчлэлийн дууг сонсож, тэднийг ойлгохыг хичээв. Тэр тэднийг ойлгох үед түүний хувийн мэдрэмж, нарийн ширийн зүйлс нь түүний залбиралд нэгдэв; Түүнийг ойлгохгүй байх үед бүх зүйлийг ойлгох хүсэл нь бардамнал, бүх зүйлийг ойлгох боломжгүй, зөвхөн Бурханд итгэж, бууж өгөх ёстой гэж бодох нь түүнд илүү амттай байв. түүний сэтгэлийг захирч байв. Тэр өөрийгөө хөндлөн тонгойж, бөхийж, ойлгохгүй байхдаа тэр жигшүүрт зүйлээсээ айж, бүх зүйл, бүх зүйлийн төлөө өршөөл үзүүлж, өршөөл үзүүлэхийг Бурханаас гуйв. Түүний өөрийгөө хамгийн их зориулсан залбирал бол наманчлалын залбирал байв. Өглөө эрт гэртээ харьж, зөвхөн өрлөгчид ажилдаа явж, жижүүрүүд гудамжийг шүүрдэж, байшинд байгаа бүх хүмүүс унтсаар байх үед Наташа түүнд муу муухай, муу муухай байдлаасаа өөрийгөө засах боломжтой гэсэн шинэ мэдрэмжийг мэдрэв. шинэ, цэвэр амьдрал, аз жаргалын боломж.
Түүний энэ амьдралыг туулсан долоо хоногийн туршид энэ мэдрэмж өдөр бүр нэмэгдсээр байв. Аграфена Ивановнагийн хэлсэнчлэн энэ үгээр баяр хөөртэй тоглож байгаад нэгдэх эсвэл харилцах аз жаргал түүнд үнэхээр агуу санагдсан тул түүнд энэ аз жаргалтай ням гарагийг харах хүртэл амьдрахгүй юм шиг санагдаж байв.
Гэвч аз жаргалтай өдөр ирж, Наташа энэ мартагдашгүй ням гарагт цугларалтаас буцаж ирэхдээ цагаан муслин даашинзтай олон сарын дараа анх удаа тайван, түүний өмнө хүлээгдэж буй амьдралд дарамт учруулахгүй байгаагаа мэдэрсэн.
Тэр өдөр ирсэн эмч Наташаг шалгаж үзээд хоёр долоо хоногийн өмнө өгсөн сүүлчийн нунтагаа үргэлжлүүлэхийг тушаав.
"Бид өглөө, оройдоо үргэлжлүүлэх ёстой" гэж тэр амжилтанд хүрсэндээ сэтгэл хангалуун байгаа бололтой. - Зүгээр л илүү болгоомжтой байгаарай. "Тайвшир, гүнж авхай" гэж эмч шоглонгуйгаар хэлээд гарынхаа нухаш дахь алтыг аван, "удалгүй тэр дахин дуулж, зугаацаж эхэлнэ." Сүүлийн эм нь түүнд маш сайн. Тэр маш их сэргэсэн.
Гүнж хумсаа хараад нулимж, баяр хөөртэй царайтайгаар зочны өрөөнд буцаж ирэв.

7-р сарын эхээр Москвад дайны явцын талаарх түгшүүртэй цуу яриа улам бүр тархаж байв: тэд тусгаар тогтнолын ард түмэнд хандсан уриалга, тусгаар тогтносон өөрөө армиас Москвад ирсэн тухай ярьж байв. Тунхаг бичиг, уриалгыг 7-р сарын 11-ээс өмнө хүлээж аваагүй тул тэдний талаар болон Оросын нөхцөл байдлын талаар хэтрүүлсэн цуу яриа тархав. Арми аюулд орсон тул тусгаар тогтнолоо орхиж байна, Смоленск бууж өгсөн, Наполеон сая цэрэгтэй, Оросыг гайхамшиг л аварч чадна гэж тэд хэлэв.
7-р сарын 11-ний бямба гарагт тунхаг бичиг хүлээн авсан боловч хараахан хэвлэгдээгүй байна; Ростовынхонд зочилж байсан Пьер маргааш буюу ням гарагт оройн хоолонд орж, гүн Растопчинээс хүлээн авах тунхаг бичиг, уриалга авчрахаа амлав.
Энэ ням гарагт Ростовчууд ердийнхөөрөө Разумовскийн гэр сүмд цугларахаар явав. Долдугаар сарын халуун өдөр байлаа. Аль хэдийн арван цагт Ростовчууд сүмийн өмнө сүйх тэрэгнээсээ бууж ирэхэд халуун агаарт, худалдаачдын хашгирах чимээнээр, цугларсан олны зуны гэрэл гэгээтэй, цайвар даашинзтай, тоос шороон навчис дээр. өргөн чөлөөний модод, хөгжмийн эгшиг, маршаар явж буй батальоны цагаан өмд, явган замын аянга, халуун нарны хурц туяанд зуны тэрхүү тайвшрал, сэтгэл ханамж, өнөөгийн байдалд сэтгэл дундуур байв. Энэ нь ялангуяа хотын цэлмэг халуун өдөр хүчтэй мэдрэгддэг. Разумовскийн сүмд Москвагийн бүх язгууртнууд, Ростовын бүх танилууд байсан (энэ жил ямар нэгэн зүйл хүлээж байгаа мэт олон баян гэр бүлүүд, ихэвчлэн тосгодоор аялж, хотод үлджээ). Наташа ээжийнхээ дэргэд цугларсан олныг салгаж байсан элэг бүтэн хөлчний ард өнгөрөхөд түүний тухай хэтэрхий чанга шивнэж буй залуугийн дууг сонсов.
- Энэ бол Ростов, мөн л ...
- Тэр маш их жин хассан, гэхдээ тэр сайн хэвээр байна!
Курагин, Болконский нарын нэрийг тэр сонссон эсвэл түүнд санагдав. Гэсэн хэдий ч энэ нь түүнд үргэлж тийм санагддаг байсан. Хүн бүр түүнийг хараад зөвхөн түүнд юу тохиолдсоныг л боддог юм шиг түүнд үргэлж санагддаг байв. Зүрх сэтгэлдээ зовж, бүдгэрч, үргэлж олны дунд байсан Наташа хар нэхсэн торгон даашинзтайгаа эмэгтэйчүүдийн алхаж чаддаг шиг алхаж байв - тэр илүү тайван, сүр жавхлантай байх тусам сэтгэл нь өвдөж, ичиж байв. Тэр өөрийгөө сайн гэдгээ мэдэж байсан бөгөөд андуураагүй ч энэ нь өмнөх шигээ түүнд таалагдаагүй. Харин ч энэ нь түүнийг хамгийн ихээр зовоож байсан сүүлийн үедтэр тусмаа хотын энэ гэрэл гэгээтэй зуны халуун өдөр. "Дахин нэг ням гариг, дахиад нэг долоо хоног" гэж тэр өөртөө хэлээд, тэр ням гарагт хэрхэн энд байснаа санаж, "бас амьдралгүй амьдрал, урьд өмнө нь амьдрахад маш хялбар байсан тэр л нөхцөл байдал хэвээрээ хэвээр байна. Тэр сайн, тэр залуу, одоо би сайн, муу байсан ч одоо сайн гэдгээ мэдэж байна, би мэднэ" гэж тэр бодлоо, "тиймээс хамгийн сайхан он жилүүд дэмий хоосон өнгөрдөг, хэн ч биш." Тэрээр ээжийнхээ хажууд зогсоод ойр хавийн танилуудтайгаа үг солилцов. Наташа зуршлаасаа болж эмэгтэйчүүдийн бие засах газрыг шалгаж, хажууд нь зогсож байсан нэг эмэгтэйн жижиг орон зайд гараараа завилах ёс суртахуунгүй байдлыг буруушааж, өөрийгөө шүүж байна гэж дахин эгдүүцэн бодлоо. Тэр ч бас шүүж байсан бөгөөд гэнэт үйлчлэлийн чимээг сонсоод тэр жигшүүрт зандаа айж, өмнөх цэвэр ариун байдал нь дахин алдагдсанаас айжээ.
Царайлаг, нам гүм өвгөн залбирч буй хүмүүсийн сэтгэлийг тайвшруулж, сүр жавхлант нөлөө үзүүлдэг эелдэг зөөлөн зан үйлээр үйлчилсэн. Хааны хаалга хаагдаж, хөшиг аажмаар хаагдсан; гэж нууцлаг намуухан хоолой тэндээс ямар нэг юм хэлэв. Наташагийн цээжинд үл ойлгогдох нулимс урсаж, баяр баясгалантай, өвдөлттэй мэдрэмж түүнд санаа зовов.
"Надад юу хийх ёстойг зааж өгөөч, би хэрхэн үүрд мөнхөд сайжрах вэ, би амьдралдаа юу хийх ёстойг зааж өгөөч ..." гэж тэр бодлоо.
Дикон индэр дээр гарч, эрхий хуруугаа өргөн барьж, урт үсээ засаж, цээжин дээрээ загалмай тавиад залбирлын үгсийг чанга чанга уншиж эхлэв:
- "Эзэнд амар амгалангаар залбирцгаая."
"Амар амгаланд - бүгдээрээ, ангиудын ялгаагүйгээр, дайсагналгүйгээр, ах дүүсийн хайраар нэгдвэл залбирцгаая" гэж Наташа бодлоо.
- Тэнгэрийн ертөнц ба бидний сүнсний авралын тухай!
Наташа "Тэнгэр элч нарын амар амгалангийн төлөө болон бидний дээр амьдардаг бүх биет бус амьтдын сүнсний төлөө" гэж залбирав.
Тэд армийн төлөө залбирахдаа тэр ах, Денисов хоёроо санав. Тэд дарвуулт болон аялж буй хүмүүсийн төлөө залбирахдаа тэр хунтайж Андрейг санаж, түүний төлөө залбирч, түүнд хийсэн бузар мууг нь Бурхан өршөөхийг залбирав. Тэд биднийг хайрладаг хүмүүсийн төлөө залбирах үед тэр гэр бүлийнхээ төлөө, аав, ээж Сонягийнхаа төлөө залбирч, тэдний өмнө бүх гэм буруугаа ойлгож, тэднийг хайрлах хайрын бүх хүчийг анх удаа мэдэрсэн юм. Тэд биднийг үзэн яддаг хүмүүсийн төлөө залбирах үед тэр тэдний төлөө залбирахын тулд дайснууд болон үзэн ядагчдыг өөртөө бий болгосон. Тэрээр зээлдүүлэгчид болон аавтайгаа харьцсан бүх хүмүүсийг дайснуудын тоонд тооцдог байсан бөгөөд дайснууд болон үзэн ядагчдыг бодох бүртээ өөрт нь маш их хор хөнөөл учруулсан Анатолийг санаж, үзэн ядагч биш байсан ч баяр хөөртэй залбирдаг байв. Түүний хувьд дайсны хувьд. Зөвхөн залбирлын үеэр тэрээр ханхүү Андрей, Анатол хоёрыг Бурханаас эмээх, хүндэтгэлтэй хандах мэдрэмжтэй харьцуулахад түүний мэдрэмж үгүй ​​болсон хүмүүс гэдгээ тодорхой, тайван санаж чаддаг байв. Тэдний төлөө залбирах үед хааны гэр бүлмөн Синодын төлөө тэрээр ялангуяа доош бөхийж, өөрийгөө загалмай, хэрвээ тэр ойлгохгүй бол тэр эргэлзэж чадахгүй бөгөөд эрх баригч Синодыг хайрлаж, түүний төлөө залбирдаг гэж өөртөө хэлэв.
Литани дуусаад дикон цээжиндээ орооныг гатлан ​​хэлэв:
- "Бид өөрсдийгөө болон амьдралаа Христ Бурханд даатгадаг."
"Бид өөрсдийгөө Бурханд даатгах болно" гэж Наташа сэтгэлдээ давтан хэлэв. "Бурхан минь, би чиний хүслээр өөрийгөө даатгаж байна" гэж тэр бодов. - Би юу ч хүсэхгүй байна, би юу ч хүсэхгүй байна; надад юу хийхийг, хүсэл зоригийг минь хаана ашиглахыг зааж өгөөч! Намайг ав, намайг ав! - гэж Наташа сэтгэлдээ тэвчээргүйхэн хэлэв, өөрийгөө огтолгүйгээр, нимгэн гараа доошлуулж, үл үзэгдэх хүч түүнийг өөрөөсөө, харамсал, хүсэл эрмэлзэл, зэмлэл, итгэл найдвар, муу муухай байдлаас нь аврах болно гэж хүлээж байгаа мэт хэлэв.
Үйлчлэлийн үеэр Countess охиныхоо эелдэг, гялалзсан нүд рүү эргэж хараад, түүнд туслахыг бурханд залбирав.

Энэ нь зөвхөн 2 өөр натурал хуваагчтай. Өөрөөр хэлбэл, тоо хДараа нь энэ нь нэгээс их байх үед энгийн байх болно, зөвхөн нэгээр нь хувааж болно - х.

Натурал тоо, том нэгж, анхны биш тоонуудыг дууддаг нийлмэл тоо. Тиймээс бүх натурал тоог 3 ангилалд хуваадаг: нэгж (1 хуваагчтай), анхны тоонууд(2 хуваагчтай) ба нийлмэл тоо(2-оос дээш хуваагчтай).

Эхлэх p анхны тоонуудын дараалалиймэрхүү харагдаж байна:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Хэрэв бид натурал тоог анхны тоонуудын үржвэр гэж төсөөлвөл үүнийг анхны задрал эсвэл гэж нэрлэнэ тооны хүчин зүйлчлэл.

Мэдэгдэж байгаа хамгийн том анхны тоо.

Мэдэгдэж буй хамгийн том анхны тоо нь 2,57885,161 - 1. Энэ тоо нь 17,425,170 аравтын оронтой бөгөөд анхны тоо гэж нэрлэгддэг. Мерсений дугаар(M 57885161).

Анхны тооны зарим шинж чанарууд.

гэж хэлье х- энгийн, мөн ххуваадаг ab, Дараа нь ххуваадаг аэсвэл б.

Суутгалын бөгж Znтохиолдолд л талбар гэж нэрлэгдэх болно n- энгийн.

Бүх талбаруудын шинж чанар нь тэг эсвэл анхны тоо юм.

Хэзээ х- энгийн, гэхдээ а- байгалийн, энэ нь гэсэн үг a p -aгэж хувааж болно х (Фермагийн жижиг теорем).

Хэзээ Гдараалал нь хязгаарлагдмал бүлэг юм |Г|хуваасан х, гэсэн үг Гдэг журмын элемент байдаг х (Кошигийн теорем).

Хэзээ Гнь хязгаарлагдмал бүлэг бөгөөд p n- дээд зэрэг х, хуваах |Г|, гэсэн үг Гзахиалгын дэд бүлэг байдаг p n, үүнийг Sylow дэд бүлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнээс гадна Sylow дэд бүлгүүдийн тоо тохирч байна pk+1бүхэлд нь к(Силоугийн теорем).

Байгалийн p > 1зөвхөн энгийн байх болно (p-1)! + 1чи үлээж болно х (Вилсоны теорем).

Хэзээ n > 1- байгалийн гэдэг нь энгийн гэсэн үг х: n< p < 2 n (Бертрангийн постулат).

Анхны тоонуудын урвуу тоонуудын цуваа салж байна. Үүнээс гадна хэзээ .

Төрөл бүрийн арифметик прогресс a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., Хаана a, q > 1- бүхэлд нь харьцуулах тоо, хязгааргүй тооны анхны тоог агуулдаг ( Арифметик прогресс дахь анхны тооны тухай Дирихлетийн теорем).

Гурваас их ямар ч анхны тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно 6к+1эсвэл 6к-1, Хаана к- натурал тоо. Үүний үндсэн дээр дараалсан хэд хэдэн анхны тоонуудын зөрүү ( k>1) нь адилхан бөгөөд энэ нь яг зургаад хуваагддаг гэсэн үг юм - жишээ нь: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

Хэзээ p > 3гэсэн утгатай анхны тоо юм х 2 -1хуваасан 24 (3-т хуваагддаггүй сондгой тоон дээр бас ажиллана).

Ногоон-Тао теорем. Эцэс төгсгөлгүй байдаг арифметик прогрессууд, анхны тооноос бүрдэнэ.

nk-1, Хаана n>2, k>1. Өөрөөр хэлбэл, анхны тоог дагаж байгаа тоо нь дөрвөлжин эсвэл хоёроос их суурьтай дээд зэрэглэл байж болохгүй. Анхны тоогоор илэрхийлэгдэх үед гэж дүгнэж болно 2 к -1, гэсэн үг к- энгийн.

Анхны тоогоор илэрхийлэх боломжгүй n 2к+1 +1, Хаана n>1, k>0. Өөрөөр хэлбэл, анхны тооноос өмнөх тоо нь нэгээс их суурьтай шоо эсвэл түүнээс дээш сондгой хүч байж болохгүй.

Хувьсагчдын эерэг утгуудын сөрөг бус утгуудын багц нь анхны тооны олонлогтой давхцдаг олон гишүүнт байдаг. Жишээ:

Энэ олон гишүүнт нь 26 хувьсагчтай, 25 хувьсагчтай. Өгөгдсөн төрлийн мэдэгдэж буй олон гишүүнтийн хувьд хамгийн бага зэрэг нь 42 хувьсагчтай тав; хамгийн бага хувьсагч нь ойролцоогоор 1.6 10 45 чадалтай арав.

Анхны тоо бүхий үйлдлүүд.

1. Анхны тооны үржвэр.

2. Анхны тоонуудын ялгаа.

3. Энгийн тоонуудын нийлбэр.

4. Анхны тооны хуваагдал.