Бичсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ? Дугуйг бичээд дугуйл. Жишээ бүхий визуал гарын авлага (2019)

Тойрог нь хилийн дотор бичигдсэн гэж үздэг ердийн олон өнцөгт, дотор нь хэвтэж байгаа тохиолдолд бүх талыг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг шүргэх. Тойргийн төв ба радиусыг хэрхэн олохыг харцгаая. Тойргийн төв нь олон өнцөгтийн булангийн биссектрис огтлолцох цэг болно. Радиусыг тооцоолно: R=S/P; S нь олон өнцөгтийн талбай, P нь тойргийн хагас периметр юм.

Гурвалжинд

Ердийн гурвалжинд зөвхөн нэг тойрог бичигдсэн бөгөөд түүний төвийг төв гэж нэрлэдэг; энэ нь бүх талаасаа ижил зайд байрладаг ба биссектрисын огтлолцол юм.

Дөрвөлжин хэлбэрээр

Ихэнхдээ та энэ геометрийн дүрс дээр бичээстэй тойргийн радиусыг хэрхэн олохоо шийдэх хэрэгтэй болдог. Энэ нь гүдгэр байх ёстой (хэрэв өөрөө огтлолцоогүй бол). Эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү байвал тойрог дотор нь бичнэ: AB+CD=BC+AD.

Энэ тохиолдолд бичээстэй тойргийн төв, диагональуудын дунд цэгүүд нь нэг шулуун дээр байрладаг (Ньютоны теоремын дагуу). Энгийн дөрвөлжингийн эсрэг талууд нь нэг шулуун дээр огтлолцох хэсэгт төгсгөлүүд нь байрладаг сегментийг Гауссын шулуун гэж нэрлэдэг. Тойргийн төв нь гурвалжны өндөр нь орой ба диагональуудтай огтлолцох цэг байх болно (Брокардын теоремын дагуу).

Ромб хэлбэрээр

Энэ нь ижил урттай талуудтай параллелограмм гэж тооцогддог. Түүнд бичигдсэн тойргийн радиусыг хэд хэдэн аргаар тооцоолж болно.

1. Үүнийг зөв хийхийн тулд ромбын талбай ба түүний хажуугийн уртыг мэддэг бол ромбын бичээстэй тойргийн радиусыг ол. r=S/(2Xa) томъёог ашиглана. Жишээлбэл, ромбын талбай нь 200 мм квадрат бол хажуугийн урт нь 20 мм, R = 200/(2X20), өөрөөр хэлбэл 5 мм байна.
2. Нэг оройн хурц өнцөг нь мэдэгдэж байна. Дараа нь r=v(S*sin(α)/4) томъёог ашиглах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 150 мм талбайтай ба мэдэгдэж байгаа нүүрс 25 градусын температурт R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0.423/4) ≈ v15.8625 ≈ 3.983 мм.
3. Ромбусын бүх өнцөг тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд ромб дээр бичсэн тойргийн радиус нь энэ зургийн нэг талын уртын хагастай тэнцүү байх болно. Хэрэв бид аливаа дөрвөн өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна гэж хэлсэн Евклидийн дагуу тайлбарлавал нэг өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх болно; тэдгээр. энэ нь дөрвөлжин болж хувирна.

Радиус нь тойрог дээрх дурын цэгийг төвтэй нь холбосон шугамын хэсэг юм. Энэ нь энэ зургийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг юм, учир нь түүний үндсэн дээр бусад бүх параметрүүдийг тооцоолж болно. Хэрэв та тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол түүний диаметр, урт, талбайг тооцоолж болно. Өгөгдсөн дүрсийг өөр дүрс дээр бичсэн эсвэл дүрсэлсэн тохиолдолд бусад олон асуудлыг шийдэж болно. Өнөөдөр бид үндсэн томъёо, тэдгээрийн хэрэглээний онцлогуудыг авч үзэх болно.

Мэдэгдэж буй тоо хэмжээ

Хэрэв та ихэвчлэн R үсгээр тэмдэглэгдсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол үүнийг нэг шинж чанарыг ашиглан тооцоолж болно. Эдгээр утгуудад:

• тойрог (C);
• диаметр (D) - төв цэгээр дамждаг сегмент (эсвэл хөвч);
• талбай (S) - өгөгдсөн зургаар хязгаарлагдсан орон зай.

Тойрог

Хэрэв асуудалд C-ийн утга мэдэгдэж байгаа бол R = C / (2 * P). Энэ томъёо нь дериватив юм. Хэрэв бид тойрог гэж юу болохыг мэддэг бол үүнийг санах шаардлагагүй болно. Бодлогод C = 20 м гэж бодъё. Энэ тохиолдолд тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ? Бид зүгээр л мэдэгдэж буй утгыг дээрх томъёонд орлуулна. Ийм асуудалд P тооны талаархи мэдлэг үргэлж байдаг гэдгийг анхаарна уу. Тооцоолоход хялбар байх үүднээс бид түүний утгыг 3.14 гэж авдаг. Энэ тохиолдолд шийдэл нь иймэрхүү харагдаж байна: бид ямар утгыг өгөгдсөнийг бичиж, томъёог гаргаж, тооцооллыг хийдэг. Хариултанд бид радиусыг 20 / (2 * 3.14) = 3.19 м гэж бичдэг бөгөөд бид юу тооцоолсоноо мартаж, хэмжилтийн нэгжийн нэрийг дурдах нь чухал юм.

Диаметрээр

Энэ бол тойргийн радиусыг хэрхэн олох талаар асуудаг хамгийн энгийн төрлийн бодлого гэдгийг нэн даруй онцолж хэлье. Хэрэв та тест дээр ийм жишээтэй тааралдсан бол та итгэлтэй байж болно. Энд тооны машин ч хэрэггүй! Өмнө дурьдсанчлан диаметр нь сегмент эсвэл илүү зөв бол төвөөр дамжин өнгөрдөг хөвч юм. Энэ тохиолдолд тойргийн бүх цэгүүд ижил зайд байна. Тиймээс энэ хөвч нь хоёр хагасаас бүрдэнэ. Тэд тус бүр нь радиус бөгөөд энэ нь тойрог дээрх цэг ба түүний төвийг холбосон сегмент гэсэн тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Хэрэв асуудалд диаметр нь мэдэгдэж байгаа бол радиусыг олохын тулд та энэ утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй. Томъёо нь дараах байдалтай байна: R = D / 2. Жишээлбэл, асуудлын голч нь 10 м бол радиус нь 5 метр байна.

Тойргийн талбайгаар

Энэ төрлийн асуудлыг ихэвчлэн хамгийн хэцүү гэж нэрлэдэг. Энэ нь юуны түрүүнд томъёог мэдэхгүйгээс үүдэлтэй юм. Хэрэв та энэ тохиолдолд тойргийн радиусыг хэрхэн олохыг мэддэг бол бусад нь техникийн асуудал юм. Тооцоологч дээр та квадрат язгуур тооцоолох дүрсийг урьдчилан олох хэрэгтэй. Тойргийн талбай нь P тоо ба радиусыг өөрөө үржүүлсэн үржвэр юм. Томъёо нь дараах байдалтай байна: S = P * R 2. Тэгшитгэлийн нэг талын радиусыг тусгаарласнаар та асуудлыг хялбархан шийдэж чадна. Энэ нь P тоонд хуваагдсан талбайн язгуурын квадрат язгууртай тэнцүү байх болно. Хэрэв S = 10 м бол R = 1.78 метр болно. Өмнөх асуудлуудын нэгэн адил ашигласан хэмжилтийн нэгжийг санах нь чухал юм.

Тойргийн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

a, b, c гурвалжны талууд гэж үзье. Хэрэв та тэдгээрийн утгыг мэддэг бол түүний эргэн тойронд дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд гурвалжны хагас периметрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг ойлгоход хялбар болгохын тулд жижиг p үсгээр тэмдэглэе. Энэ нь талуудын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх болно. Түүний томьёо: p = (a + b + c) / 2.

Бид мөн талуудын уртын үржвэрийг тооцоолно. Тохиромжтой болгох үүднээс үүнийг S үсгээр тэмдэглэе. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусын томъёо дараах байдлаар харагдах болно: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p) - в)).

Даалгаврын жишээг авч үзье. Бид гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог байна. Түүний хажуугийн урт нь 5, 6, 7 см байна. Эхлээд бид хагас периметрийг тооцоолно. Бидний асуудалд энэ нь 9 сантиметртэй тэнцүү байх болно. Одоо талуудын уртын үржвэрийг тооцоолъё - 210. Завсрын тооцооллын үр дүнг томъёонд орлуулж, үр дүнг олно. Хязгаарлагдсан тойргийн радиус нь 3.57 сантиметр юм. Бид хариултаа бичиж, хэмжилтийн нэгжийн талаар мартаж болохгүй.

Бичсэн тойргийн радиусыг хэрхэн олох вэ

a, b, c гурвалжны талуудын урт гэж үзье. Хэрэв та тэдгээрийн утгыг мэддэг бол дотор нь бичсэн тойргийн радиусыг олох боломжтой. Эхлээд та түүний хагас периметрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг ойлгоход хялбар болгохын тулд жижиг p үсгээр тэмдэглэе. Үүнийг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна: p = (a + b + c) / 2. Энэ төрлийн бодлого нь өмнөхөөсөө арай хялбар тул завсрын тооцоо хийх шаардлагагүй.

Бичсэн тойргийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Үүнийг харцгаая тодорхой жишээ. Асуудал нь 5, 7, 10 см талуудтай гурвалжинг дүрсэлсэн гэж бодъё. Эхлээд бид хагас периметрийг олно. Бидний асуудалд энэ нь 11 см-тэй тэнцүү байх болно. Радиус нь 1.65 сантиметртэй тэнцүү байх болно. Хариултаа бичээд бүү мартаарай зөв нэгжүүдхэмжилт.

Тойрог ба түүний шинж чанарууд

Геометрийн дүрс бүр өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Асуудлыг зөв шийдвэрлэх нь тэдний ойлголтоос хамаарна. Тойрог нь бас тэдгээртэй. Ийм нөхцөл байдлын талаар тодорхой дүр зургийг өгдөг тул тэдгээрийг дүрсэлсэн эсвэл бичээстэй жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Тэдний дунд:

• Шулуун шугам нь тойрогтой тэг, нэг эсвэл хоёр огтлолцох цэгтэй байж болно. Эхний тохиолдолд энэ нь түүнтэй огтлолцдоггүй, хоёр дахь нь шүргэгч, гурав дахь нь секант юм.
• Хэрэв бид нэг шулуун дээр ороогүй гурван цэгийг авбал тэдгээрийн дундуур зөвхөн нэг тойрог зурж болно.
• Шулуун шугам нь нэгэн зэрэг хоёр дүрст шүргэгч байж болно. Энэ тохиолдолд тойргийн төвүүдийг холбосон сегмент дээр байрлах цэгээр дамжин өнгөрөх болно. Түүний урт нь эдгээр тоонуудын радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
• Нэг эсвэл хоёр цэгээр хязгааргүй тооны тойрог зурж болно.

Энэ нийтлэлд дөрвөлжин дотор бичээстэй тойргийн радиусыг хэрхэн олох талаар олон нийтэд тайлбарласан болно. Онолын материал нь сэдэвтэй холбоотой бүх нарийн ширийн зүйлийг ойлгоход тусална. Энэ текстийг уншсаны дараа та ирээдүйд ижил төстэй асуудлуудыг хялбархан шийдвэрлэх боломжтой болно.

Үндсэн онол

Дөрвөлжин дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг шууд олохын өмнө зарим үндсэн ойлголттой танилцах нь зүйтэй. Тэд хэтэрхий энгийн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж болох ч асуудлыг ойлгоход зайлшгүй шаардлагатай.

Квадрат нь дөрвөн өнцөгт бөгөөд бүх талууд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд бүх өнцгийн хэмжүүр нь 90 градус байна.

Тойрог нь тодорхой цэгээс тодорхой зайд байрлах хоёр хэмжээст битүү муруй юм. Нэг төгсгөл нь тойргийн төвд, нөгөө нь аль ч гадаргуу дээр байрладаг сегментийг радиус гэж нэрлэдэг.

Бид нөхцөлтэй танилцсан, зөвхөн гол асуулт үлдсэн. Бид дөрвөлжин дотор бичээстэй тойргийн радиусыг олох хэрэгтэй. Гэхдээ сүүлчийн хэллэг нь юу гэсэн үг вэ? Энд бас төвөгтэй зүйл байхгүй. Хэрэв олон өнцөгтийн бүх талууд муруй шугамд хүрвэл түүнийг энэ олон өнцөгт бичээстэй гэж үзнэ.

Дөрвөлжин дотор бичээстэй тойргийн радиус

ХАМТ онолын материалдууссан. Одоо бид үүнийг хэрхэн практикт хэрэгжүүлэх талаар бодох хэрэгтэй. Үүний тулд зураг ашиглацгаая.

Радиус нь AB-д перпендикуляр байх нь ойлгомжтой. Энэ нь нэгэн зэрэг МЭ болон МЭӨ-тэй зэрэгцээ байна гэсэн үг юм. Ойролцоогоор уртыг тодорхойлохын тулд дөрвөлжингийн хажуу талд "давхуулж" болно. Таны харж байгаагаар BK сегмент нь түүнд тохирох болно.

Түүний нэг төгсгөл r нь тойргийн төвд байрладаг бөгөөд энэ нь диагональуудын огтлолцлын цэг юм. Сүүлийнх нь нэг шинж чанараараа бие биенээ хагасаар хуваадаг. Пифагорын теоремыг ашигласнаар тэд мөн зургийн талыг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг болохыг баталж чадна.

Эдгээр аргументуудыг авч үзвэл бид дүгнэлт гаргадаг.

Ромб бол бүх талууд тэнцүү параллелограмм юм. Тиймээс параллелограммын бүх шинж чанарыг өвлөн авдаг. Тухайлбал:

• Ромбын диагональууд нь харилцан перпендикуляр байна.
• Ромбын диагональууд нь түүний дотоод өнцгийн биссектрис юм.

Эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү байх тохиолдолд л дугуйг дөрвөлжин хэлбэрээр бичиж болно.
Тиймээс ямар ч ромб дээр тойрог бичиж болно. Бичсэн тойргийн төв нь ромбын диагональуудын огтлолцлын төвтэй давхцдаг.
Ромб дээрх бичээстэй тойргийн радиусыг хэд хэдэн аргаар илэрхийлж болно

1 арга зам. Ромб хэлбэрээр бичээстэй тойргийн радиус өндрөөр

Ромбын өндөр нь бичээстэй тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь бичээстэй тойргийн диаметр ба ромбын өндрөөс үүссэн тэгш өнцөгтийн шинж чанараас гардаг - тэгш өнцөгтийн эсрэг талууд тэнцүү байна.

Тиймээс ромб доторх бичээстэй тойргийн радиусын өндрийн хувьд томъёо:

Арга 2. Диагональуудаар дамжсан ромб хэлбэрээр бичээстэй тойргийн радиус

Ромбын талбайг бичээстэй тойргийн радиусаар илэрхийлж болно
, Хаана Р- ромбын периметр. Периметр нь дөрвөн өнцөгтийн бүх талуудын нийлбэр гэдгийг мэдэж байгаа тул бид байна P= 4×a.Дараа нь
Гэхдээ ромбын талбай нь диагональуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна
Талбайн томьёоны баруун талын талуудыг тэгшитгэвэл бид дараах тэгшитгэлтэй болно
Үүний үр дүнд бид диагональуудаар дамжуулан ромб дахь бичээстэй тойргийн радиусыг тооцоолох томъёог олж авдаг.

Диагональууд нь мэдэгдэж байгаа бол ромб дотор бичсэн тойргийн радиусыг тооцоолох жишээ
Диагональуудын урт нь 30 см ба 40 см байх нь мэдэгдэж байгаа бол ромб дотор бичсэн тойргийн радиусыг ол.
Болъё ABCD-Тэгвэл ромбо А.С.Тэгээд Б.Дтүүний диагональууд. AC= 30 см ,БД=40 см
Гол нь байя ТУХАЙ– нь ромб дээр бичээсний төв юм ABCDтойрог, дараа нь энэ нь мөн диагональуудын огтлолцлын цэг болж, тэдгээрийг хагасаар хуваана.


Ромбын диагональууд зөв өнцгөөр огтлолцдог тул гурвалжин AOBтэгш өнцөгт. Дараа нь Пифагорын теоремоор
, өмнө нь олж авсан утгыг томъёонд орлуулна

AB= 25 см
Ромбусын хүрээлэгдсэн тойргийн радиусын өмнө гаргаж авсан томъёог ашигласнаар бид олж авна.

3 арга зам. m ба n хэрчмүүдээр дамжсан ромб доторх бичээстэй тойргийн радиус

Цэг Ф– тойргийн ромбын талтай харьцах цэг нь түүнийг сегментүүдэд хуваана А.Ф.Тэгээд Б.Ф.. Болъё AF =m, BF=n.
Цэг О– ромбын диагональуудын огтлолцлын төв ба түүн дотор бичигдсэн тойргийн төв.
Гурвалжин AOB– тэгш өнцөгт, учир нь ромбын диагональууд зөв өнцгөөр огтлолцдог.
, учир нь нь тойргийн шүргэгч цэг рүү татсан радиус юм. Тиймээс OF- гурвалжны өндөр AOBгипотенуз руу. Дараа нь А.Ф.Тэгээд Б.Ф.гипотенуз руу хөлний төсөөлөл.
Өндөр зөв гурвалжин, гипотенуз руу буулгасан нь хөлний гипотенуз руу чиглэсэн проекцуудын дундаж пропорциональ юм.

Сегментээр дамжсан ромб доторх бичээстэй тойргийн радиусын томъёо нь тойргийн шүргэгч цэг нь ромбын талыг хуваах эдгээр сегментүүдийн үржвэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.