Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох: жишээ, шийдэл. Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой үйлдэл. Вектор координат. Вектортой холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд Сегментийн дунд цэгийн координатууд онлайн

Вектор гэдэг нь тоон утга ба чиглэлээрээ тодорхойлогддог хэмжигдэхүүн юм. Өөрөөр хэлбэл вектор нь чиглэсэн сегмент юм. Албан тушаал векторОрон зай дахь AB нь гарал үүслийн цэгийн координатаар тодорхойлогддог векторА ба төгсгөлийн цэгүүд вектор B. Дунд цэгийн координатыг хэрхэн тодорхойлохыг авч үзье вектор.

Заавар

Эхлээд эхлэл ба төгсгөлийн тэмдэглэгээг тодорхойлъё вектор. Хэрэв векторыг AB гэж бичсэн бол А цэг нь эхлэл болно вектор, мөн B цэг нь төгсгөл юм. Мөн эсрэгээр нь вектор BA цэг B нь эхлэл юм вектор, мөн А цэг нь төгсгөл юм. Бидэнд эхийн координат бүхий AB векторыг өгье вектор A = (a1, a2, a3) ба төгсгөл вектор B = (b1, b2, b3). Дараа нь координатууд вектор AB нь дараах байдалтай байна: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), i.e. төгсгөлийн координатаас векторхаргалзах гарал үүслийн координатыг хасах шаардлагатай вектор. Урт вектор AB (эсвэл түүний модуль) нь координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцогдоно: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Дунд нь байгаа цэгийн координатыг ол вектор. Үүнийг O = (o1, o2, o3) үсгээр тэмдэглэе. Дунд хэсгийн координатууд олддог векторДараах томъёоны дагуу жирийн сегментийн дунд хэсгийн координаттай ижил байна: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2. Координатуудыг олцгооё вектор AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Нэг жишээ авч үзье. АВ векторыг эхийн координатаар өгье вектор A = (1, 3, 5) ба төгсгөл вектор B = (3, 5, 7). Дараа нь координатууд вектор AB-г AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2) гэж бичиж болно. Модулийг олъё вектор AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Тодорхой уртын утга векторДунд цэгийн координатын зөв эсэхийг цаашид шалгахад бидэнд туслах болно вектор. Дараа нь бид О цэгийн координатыг олно: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Дараа нь координатууд вектор AO-ийг AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1) гэж тооцно.

Шалгацгаая. Урт вектор AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Анхны уртыг санаарай векторнь 2 * ?3-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. хагас векторүнэхээр эхийн уртын хагастай тэнцэнэ вектор. Одоо координатуудыг тооцоолъё вектор OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). AO ба OB векторуудын нийлбэрийг олъё: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Тиймээс дунд хэсгийн координатууд векторзөв олсон.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Векторын дунд хэсгийн координатыг тооцоолсны дараа дор хаяж хамгийн энгийн шалгалтыг хийхээ мартуузай - векторын уртыг тооцоолж, өгөгдсөн векторын урттай харьцуул.

Доорх нийтлэлд сегментийн координатууд нь анхны өгөгдөл болгон байгаа бол түүний дунд цэгийн координатыг олох асуудлыг авч үзэх болно. туйлын цэгүүд. Гэхдээ асуудлыг судалж эхлэхээсээ өмнө хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Сегмент– сегментийн төгсгөл гэж нэрлэгддэг дурын хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам. Жишээлбэл, эдгээр нь А ба В цэгүүд ба үүний дагуу А В сегмент байх болно.

Хэрэв А В сегментийг А ба В цэгээс хоёр чиглэлд үргэлжлүүлбэл бид А В шулуун шугамыг авна. Дараа нь А В сегмент нь А ба В цэгүүдээр хязгаарлагдсан шулуун шугамын нэг хэсэг юм. А В сегмент нь түүний төгсгөл болох А ба В цэгүүдийг, мөн тэдгээрийн хооронд байрлах цэгүүдийн багцыг нэгтгэдэг. Жишээлбэл, бид А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах дурын K цэгийг авбал К цэг нь А В сегмент дээр байрладаг гэж хэлж болно.

Тодорхойлолт 2

Хэсгийн урт– өгөгдсөн масштаб дахь сегментийн төгсгөлүүдийн хоорондох зай (нэгж урттай сегмент). А В сегментийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе: A B .

Тодорхойлолт 3

Сегментийн дунд цэг– сегмент дээр байрлах ба түүний төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг. Хэрэв A B сегментийн дунд хэсгийг C цэгээр тэмдэглэсэн бол тэгш байдал үнэн болно: A C = C B

Анхны өгөгдөл: координатын шугам O x ба түүн дээрх давхцахгүй цэгүүд: A ба B. Эдгээр цэгүүд хоорондоо тохирч байна бодит тоо x A ба х Б. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм: координатыг тодорхойлох шаардлагатай x C.

С цэг нь А В сегментийн дунд цэг тул тэгш байдал үнэн болно: | A C | = | C B | . Цэгүүдийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатын зөрүүний модулиар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Дараа нь хоёр тэнцүү байх боломжтой: x C - x A = x B - x C ба x C - x A = - (x B - x C)

Эхний тэгшитгэлээс бид C цэгийн координатын томъёог гаргаж авдаг: x C = x A + x B 2 (сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагас).

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: x A = x B, энэ нь боломжгүй, учир нь эх өгөгдөлд - давхцаагүй цэгүүд. Тиймээс, A (x A) ба төгсгөлтэй A B сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох томъёо B(xB):

Үүссэн томъёо нь хавтгай эсвэл огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох үндэс суурь болно.

Анхны өгөгдөл: O x y хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем, өгөгдсөн A x A, y A ба B x B, y B координатуудтай дурын давхцдаггүй хоёр цэг. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм. С цэгийн x C ба y C координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

А ба В цэгүүд давхцахгүй, нэг координатын шулуун эсвэл аль нэг тэнхлэгт перпендикуляр шугам дээр хэвтэхгүй байх тохиолдлыг шинжлэхдээ авч үзье. A x, A y; B x, B y ба C x, C y - координатын тэнхлэг дээрх A, B, C цэгүүдийн проекцууд (O x ба O y шулуунууд).

Барилгын дагуу A A x, B B x, C C x шугамууд зэрэгцээ байна; шугамууд нь мөн бие биетэйгээ зэрэгцээ байна. Үүнтэй хамт Фалесийн теоремын дагуу A C = C B тэгшитгэлээс дараахь тэгшитгэлүүд гарч ирдэг: A x C x = C x B x ба A y C y = C y B y бөгөөд тэдгээр нь эргээд C x цэг болохыг харуулж байна. A x B x сегментийн дунд, C y нь A y B y сегментийн дунд хэсэг юм. Тэгээд өмнө нь олж авсан томъёонд үндэслэн бид дараахь зүйлийг авна.

x C = x A + x B 2 ба y C = y A + y B 2

А ба В цэгүүд нь ижил координатын шугам эсвэл тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шугам дээр байрлах тохиолдолд ижил томъёог ашиглаж болно. Бид энэ хэргийн нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхгүй, бид үүнийг зөвхөн графикаар авч үзэх болно.

Дээр дурдсан бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэвэл, Төгсгөлийн координат бүхий хавтгай дээрх А В сегментийн дунд хэсгийн координатууд A (x A, y A) Тэгээд B(xB, yB) гэж тодорхойлсон:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Анхны өгөгдөл: координатын систем O x y z ба өгөгдсөн A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) координатуудтай дурын хоёр цэг. А В сегментийн дунд хэсэг болох С цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z and C x , C y , C z - бүх проекцууд оноо өгсөнкоординатын системийн тэнхлэг дээр.

Фалесийн теоремоор дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z.

Тиймээс C x , C y , C z цэгүүд нь A x B x , A y B y , A z B z хэрчмүүдийн дунд цэгүүд юм. Дараа нь, Орон зай дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлохын тулд дараах томьёо зөв байна.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Үүссэн томьёо нь координатын шугамын аль нэгэнд А ба В цэгүүд байрлах тохиолдолд мөн хамаарна; тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр; нэгд координатын хавтгайэсвэл координатын аль нэг хавтгайд перпендикуляр хавтгай.

Сегментийн дунд хэсгийн координатыг төгсгөлийн радиус векторуудын координатаар тодорхойлох

Сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог векторуудын алгебрийн тайлбарын дагуу гаргаж болно.

Оруулсан өгөгдөл: тэгш өнцөгт декартын координатын систем O x y, өгөгдсөн координат A (x A, y A) ба B (x B, x B) цэгүүд. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм.

дагуу геометрийн тодорхойлолтвекторууд дээрх үйлдлүүдийн хувьд дараах тэгш байдал үнэн болно: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Энэ тохиолдолд C цэг нь O A → ба O B → векторуудын үндсэн дээр баригдсан параллелограммын диагональуудын огтлолцох цэг юм, өөрөөр хэлбэл. диагональуудын дундын цэг нь цэгийн радиус векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай тэнцүү бол тэгшитгэлүүд нь үнэн болно: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Координат дахь векторууд дээр зарим үйлдлүүдийг хийцгээе:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Тиймээс C цэг нь координаттай байна:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Аналогийн дагуу огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог тодорхойлно.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Дээр олж авсан томьёог ашиглахтай холбоотой асуудлуудын дунд сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох шууд асуулт, өгөгдсөн нөхцөлийг энэ асуултад авчрахтай холбоотой асуудлууд байдаг: "медиан" гэсэн нэр томъёо. Энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг, зорилго нь сегментийн төгсгөлөөс нэг координатыг олох явдал бөгөөд тэгш хэмийн асуудлууд бас нийтлэг байдаг бөгөөд энэ сэдвийг судалсны дараа ерөнхийдөө шийдэл нь хүндрэл учруулах ёсгүй. Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл:хавтгай дээр - өгөгдсөн координаттай цэгүүд A (- 7, 3) ба B (2, 4). А В сегментийн дунд цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

А В сегментийн дунд хэсгийг С цэгээр тэмдэглэе. Түүний координатыг сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. А ба В цэгүүд.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Хариулах: сегментийн дунд хэсгийн координат A B - 5 2, 7 2.

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: A B C гурвалжны координатууд мэдэгдэж байна: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Дундаж A M уртыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

1. Асуудлын нөхцлийн дагуу A M нь медиан бөгөөд энэ нь M нь B C сегментийн дунд цэг гэсэн үг юм. Юуны өмнө B C сегментийн дунд хэсгийн координатыг олъё, өөрөөр хэлбэл. M оноо:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Бид одоо медианы хоёр төгсгөлийн координатыг (A ба M цэгүүд) мэдэж байгаа тул цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлж, A M медианы уртыг тооцоолохдоо томъёог ашиглаж болно.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Хариулт: 58

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл:тэгш өнцөгт координатын системд гурван хэмжээст орон зайөгөгдсөн параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . C 1 (1, 1, 0) цэгийн координатыг өгөгдсөн бөгөөд B D 1 диагональын дунд цэг болох М цэгийг мөн тодорхойлсон бөгөөд M (4, 2, - 4) координаттай байна. А цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Параллелепипедийн диагональууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь бүх диагональуудын дунд байдаг. Энэхүү мэдэгдэлд үндэслэн асуудлын нөхцлөөс мэдэгдэж буй M цэг нь A C 1 сегментийн дунд цэг гэдгийг бид санаж болно. Сансар огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёонд үндэслэн бид А цэгийн координатыг олно: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Хариулт:А цэгийн координат (7, 3, - 8).

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Эцэст нь би асар том бөгөөд удаан хүлээсэн сэдвийг олж авлаа аналитик геометр. Нэгдүгээрт, дээд математикийн энэ хэсгийн талаар бага зэрэг ... Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "График шийдлийн арга" ба "График шийдлийн арга" гэсэн хоёр математикийн хэллэг тэр даруй санаанд орж ирдэг. аналитик аргашийдлүүд." График арга, мэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикадилхан аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлоналгебрийн үйлдлээр дамжуулан. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг бөгөөд ихэвчлэн шаардлагатай томъёог анхааралтай хэрэглэхэд хангалттай байдаг - хариулт бэлэн байна! Үгүй, мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг зураггүйгээр хийх боломжгүй, үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг шаардлагагүйгээр иш татахыг хичээх болно.

Шинээр нээгдсэн геометрийн хичээл нь онолын хувьд бүрэн дүүрэн мэт дүр эсгэдэггүй, энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд хэсэгт илүү бүрэн тусламж хэрэгтэй бол би дараах нэлээд хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.

1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ гогцоо аль хэдийн 20 (!) дахин хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.

2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол уран зохиол юм ахлах сургууль, танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тохиолддог ажлууд миний нүднээс далд орж магадгүй, мөн сургалтын гарын авлагаүнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно.

Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Нэмж дурдахад та миний архивыг хуудаснаас олж болох бэлэн шийдлүүдийн хамт ашиглаж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах.

Хэрэгслийн дунд би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багцаналитик геометрийн чиглэлээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.

Уншигчид геометрийн үндсэн ойлголт, дүрсүүдийг мэддэг гэж үздэг: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, давтагчдад сайн уу)

Одоо бид дараалсан байдлаар авч үзэх болно: векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат. Би цааш нь уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр, мөн түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог бүтээгдэхүүн. Орон нутгийн даалгавар - Энэ чиглэлээр сегментийг хуваах нь илүүц байх болно. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та эзэмшиж чадна хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл-тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээ, энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг шийдэж сурах. Дараах нийтлэлүүд бас хэрэгтэй. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгайн үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад хэсгүүд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.

Вектор ойлголт. Чөлөөт вектор

Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:

Энэ тохиолдолд сегментийн эхлэл нь цэг, сегментийн төгсгөл нь цэг юм. Вектор нь өөрөө . Чиглэлчухал бөгөөд хэрвээ та сумыг сегментийн нөгөө төгсгөл рүү зөөвөл вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн болсон тэс өөр вектор. Физик биеийн хөдөлгөөнтэй векторын тухай ойлголтыг тодорхойлох нь тохиромжтой: та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, хүрээлэнгийн хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалганаас гарах нь огт өөр зүйл юм.

Онгоц эсвэл орон зайн бие даасан цэгүүдийг гэж нэрлэх нь тохиромжтой тэг вектор. Ийм векторын хувьд төгсгөл ба эхлэл нь давхцдаг.

!!! Жич: Энд, цаашлаад векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай болон орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.

Тэмдэглэл:Олон хүн сумгүй савааг шууд анзаарч, дээд талд нь сум байгаа гэж хэлэв! Үнэн, та үүнийг сумаар бичиж болно: , гэхдээ энэ нь бас боломжтой Миний ирээдүйд ашиглах оруулга. Яагаад? Энэ зуршил нь практик шалтгаанаар бий болсон нь миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий өөр хэмжээтэй, сэвсгэр байсан бололтой. IN боловсролын уран зохиолЗаримдаа тэд дөрвөлжин бичээстэй огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор гэдгийг илтгэдэг.

Энэ бол стилистик байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:

1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно.
гэх мэт. Энэ тохиолдолд эхний үсэг Заавалвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.

2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа товчхон байхын тулд манай векторыг жижиг гэж дахин тодорхойлж болно Латин үсэг.

Уртэсвэл модультэг биш векторыг сегментийн урт гэнэ. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логик.

Векторын уртыг модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ: ,

Хэсэг хугацааны дараа бид векторын уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно (эсвэл бид үүнийг хэнээс хамаарч давтах болно).

Энэ бол бүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторуудын талаархи үндсэн мэдээлэл байв. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.

Энгийнээр хэлэхэд - векторыг дурын цэгээс зурж болно:

Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэж заншсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл тэдгээр нь АДИЛ ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад та энэ эсвэл өөр "сургуулийн" векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш гайхалтай онцлог юм! Дурын урт, чиглэлтэй чиглэсэн сегментийг төсөөлөөд үз дээ - үүнийг хязгааргүй олон удаа "клончлох" боломжтой бөгөөд огторгуйн аль ч цэгт, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм нэгэн оюутны хэлсэн үг байдаг: Лектор бүр векторын талаар санаа тавьдаг. Эцсийн эцэст, энэ нь зүгээр л нэг хийсвэр шүлэг биш, бүх зүйл бараг зөв - чиглүүлсэн сегментийг тэнд нэмж оруулах боломжтой. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө ихэвчлэн зовж байдаг =)

Тэгэхээр, үнэгүй вектор- Энэ олон ижил чиглэсэн сегментүүд. Догол мөрний эхэнд өгөгдсөн векторын сургуулийн тодорхойлолт нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай. тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт холбогдсон өгөгдсөн багцаас авсан чиглэсэн сегмент.

Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт нь ерөнхийдөө буруу бөгөөд хэрэглээний цэг нь чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, эрх чөлөөгүйвекторууд нь вишматын явцад бас олддог (тэнд очиж болохгүй :)).

Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал

IN сургуулийн курсгеометр, вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг авч үздэг. гурвалжны дүрмээр нэмэх, параллелограммын дүрмээр нэмэх, векторын ялгах дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, векторын скаляр үржвэр гэх мэт.Эхлэх цэг болгон аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтан хэлье.

Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан вектор нэмэх дүрэм

Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба:

Та эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойш нь тавьдаг төгсгөлвектор:

Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд үүнийг оруулахыг зөвлөж байна физик утга: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу явуулна. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь эхлэл нь явах цэг, төгсгөл нь хүрэх цэгтэй, үүссэн замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр, бие нь зигзаг дагуу, эсвэл автомат нисгэгчээр - нийлбэрийн үр дүнд бий болсон векторын дагуу маш хазайж болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв векторыг хойшлуулсан бол эхэлсэнвектор, тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.

Нэгдүгээрт, векторуудын коллинеар байдлын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "зэрэгцээ" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.

Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтран найруулсан. Хэрэв сумнууд өөр өөр чиглэлд чиглүүлбэл векторууд нь байх болно эсрэг чиглэлүүд.

Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизм тэмдгээр бичнэ: , харин дэлгэрэнгүй тайлбарлах боломжтой: (векторууд хамтран чиглэсэн) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).

ажилТоон дээрх тэгээс ялгаатай вектор нь урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -т хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургийн тусламжтайгаар ойлгоход хялбар болно.

Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье:

1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлээ өөрчилдөгэсрэгээр.

2) урт. Хэрэв үржүүлэгч нь эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тэгэхээр векторын урт нь векторын уртын тал юм. Хэрэв үржүүлэгчийн модуль нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгзаримдаа.

3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлдэг бол жишээ нь, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Тиймээс: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.

4) Векторууд хамтран чиглэгддэг. Векторууд мөн хамтран найруулдаг. Эхний бүлгийн дурын вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч векторын эсрэг чиглэсэн байна.

Аль векторууд тэнцүү вэ?

Хоёр вектор нь ижил чиглэлд байгаа бол тэнцүү байна ижил урт . Хамтарсан чиглэл нь векторуудын коллинеар байдлыг илэрхийлдэг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, нэгдмэл чиглэлтэй, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлбэл энэ тодорхойлолт буруу (илүүдэл) байх болно.

Чөлөөт векторын үзэл баримтлалын үүднээс авч үзвэл тэнцүү векторууд нь өмнөх догол мөрөнд дурдсанчлан ижил векторууд юм.

Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд

Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг дүрсэлж, координатын гарал үүслээс нь зурцгаая. ганц биевекторууд ба:

Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би таныг нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооТэгээд ортогональ байдал.

Зориулалт:Векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикулярын тэмдгээр бичнэ, жишээ нь: .

Харж байгаа векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьонгоцонд. Үндэслэл гэж юу вэ гэдэг нь олон хүнд ойлгомжтой байх гэж бодож байна дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэсЭнгийнээр хэлбэл, координатын үндэс, гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэг төрлийн суурь юм.

Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн үндэс: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн үг нь нэгж гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн хаалтанд бичигдсэн байдаг, дотор нь хатуу дарааллаарсуурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойдахин зохион байгуулах.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн:
, Хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатэнэ үндсэн дээр. Мөн илэрхийлэл нь өөрөө дуудсан вектор задралүндсэн дээр .

Оройн хоол:

Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг суурь болгон задлахдаа сая авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .

Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаар зур. Түүний ялзрал нь "түүнийг уйгагүй дагах" нь ойлгомжтой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг өөртөө авч явдаг". Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг эхнээс нь зурах шаардлагагүй, жишээлбэл, зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "зээл" авах болно.

Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг таг харуулж байна, вектор нь үндсэн вектортой кодиректортой, вектор нь үндсэн векторын эсрэг чиглэсэн байна. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү байна, та үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.


Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).

Тэгээд эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би хасах дүрмийн талаар яриагүй юм бэ? Хаа нэгтээ шугаман алгебр, Би хаана санахгүй байна, би хасах нь нэмэх онцгой тохиолдол гэдгийг тэмдэглэсэн. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр хялбархан бичдэг: , . Гурвалжны дүрмийн дагуу хуучин векторуудыг нэмэх нь эдгээр нөхцөл байдалд хэр тодорхой ажиллаж байгааг харахын тулд зургийг дагана уу.

Маягтын задралыг авч үзсэн заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг ort системд(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш юм:

Эсвэл тэнцүү тэмдэгтэй:

Үндсэн векторууд нь дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба

Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Практик бодлогод тэмдэглэгээний гурван хувилбарыг бүгдийг нь ашигладаг.

Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би хэлэх болно: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатууБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. хатуу хоёрдугаарт ордогБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.

Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг харцгаая, энд бараг бүх зүйл ижил байна! Энэ нь дахиад нэг координат нэмэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би зөвхөн нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд үүнийг хялбарчлах үүднээс гарал үүслийг нь авч үзэх болно.

Ямар ч 3D сансрын вектор цорын ганц арга замортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх:
, энэ суурь дээрх векторын (тоо) координатууд хаана байна.

Зураг дээрх жишээ: . Энд векторын дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Нэгдүгээрт, векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (бөөрөлзгөнө сум). Хоёрдугаарт, хэд хэдэн, энэ тохиолдолд гурван вектор нэмэх жишээ энд байна: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх анхны цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусна.

Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг, векторыг өөр ямар ч цэгээс салгах гэж оролдох бөгөөд та түүний задрал "үүнтэй хамт үлдэх болно" гэдгийг ойлгох болно.

Бичихээс гадна хавтгай хайрцагтай төстэй хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .

Хэрэв өргөтгөлд нэг (эсвэл хоёр) координатын вектор байхгүй бол оронд нь тэгийг тавина. Жишээ нь:
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай ) - бичье.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ нь магадгүй хамгийн бага зүйл юм онолын мэдлэг, аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай. Маш олон нэр томьёо, тодорхойлолт байж болох тул цайны савнууд энэ мэдээллийг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. Материалыг илүү сайн шингээхийн тулд үндсэн хичээлийг үе үе унших нь ямар ч уншигчдад ашигтай байх болно. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг ирээдүйд ихэвчлэн ашиглах болно. Би бүх теоремуудыг (мөн нотлох баримтгүйгээр) сайтар шифрлэдэг тул онолын шалгалт эсвэл геометрийн коллоквиумыг давахад сайтын материал хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. шинжлэх ухааны хэв маягтанилцуулга, гэхдээ энэ сэдвийг ойлгоход тань нэмэр болно. Нарийвчилсан онолын мэдээллийг авахын тулд профессор Атанасянд бөхийлгөнө үү.

Тэгээд бид практик хэсэг рүү шилжлээ:

Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд

Бүрэн автоматаар авч үзэх даалгавар, томъёог хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахыг зөвлөж байна цээжлэх, зориуд санах ч шаардлагагүй, тэд өөрсдөө санаж байх болно =) Аналитик геометрийн бусад бодлогууд нь хамгийн энгийн энгийн жишээн дээр үндэслэсэн тул энэ нь маш чухал бөгөөд ломбард идэж нэмэлт цаг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно. . Цамцныхаа дээд товчийг бэхлэх шаардлагагүй;

Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томьёо... та өөрөө харах болно.

Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Энэ нь, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй векторын эхлэл.

Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.

Жишээ 1

Онгоцны хоёр цэг өгөгдсөн ба . Вектор координатыг ол

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Эсвэл дараах оруулгыг ашиглаж болно.

Үүнийг гоо зүйчид шийднэ.

Би хувьдаа бичлэгийн эхний хувилбарт дассан.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч даммигийн зарим зүйлийг тодруулахын тулд би залхуурахгүй.

Та мэдээж ойлгох хэрэгтэй цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:

Цэгийн координат- Эдгээр нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх энгийн координатууд юм. 5-6-р ангиасаа эхлэн координатын хавтгайд цэг зурах арга барилыг хүн бүр мэддэг байх гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.

Векторын координатууд– энэ бол энэ тохиолдолд суурийн дагуу түүний өргөтгөл юм. Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул хэрэв хүсвэл эсвэл шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан холдуулж болно (төөрөгдөлөөс зайлсхийхийн тулд үүнийг дахин тэмдэглэнэ, жишээлбэл, ). Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд тэнхлэг эсвэл тэгш өнцөгт координатын системийг огт барих шаардлагагүй, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй болно.

Цэгүүдийн координат ба векторуудын координатуудын бичлэгүүд ижил төстэй юм шиг байна: , ба координатын утгатуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэдэж байх ёстой. Энэ ялгаа нь мэдээжийн хэрэг орон зайд ч хамаатай.

Ноёд хатагтай нар аа, гараа дүүргэцгээе:

Жишээ 2

a) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг Мөн . векторуудыг олох ба .
в) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх. Эдгээр нь жишээ юм бие даасан шийдвэр, тэднийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?“Хоёр нэмэх нь хоёр тэг” гэсэн гайхалтай алдаа гаргахгүйн тулд ОНЦ БОЛОМЖТОЙ байх нь чухал. Хаа нэгтээ алдаа гаргасан бол шууд уучлалт гуйя =)

Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?

Уртыг аль хэдийн дурдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм

Жишээ 3

Шийдэл:зохих томъёоны дагуу:

Хариулт:

Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно

Сегмент - энэ вектор биш, мөн мэдээж та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та масштабаар зурвал: 1 нэгж. = 1 см (хоёр дэвтэр нүд), дараа нь үр дүнгийн хариултыг сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар ердийн захирагчаар шалгаж болно.

Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ үүнээс хэд хэдэн зүйл бий чухал цэгүүдБи тодруулах гэсэн юм:

Нэгдүгээрт, хариултанд бид "нэгж" хэмжигдэхүүнийг тавьдаг. Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс математикийн хувьд зөв шийдэл нь ерөнхий томъёолол байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.

Хоёрдугаарт, зөвхөн авч үзсэн даалгаварт хэрэг болохуйц сургуулийн материалыг давтан хэлье.

Анхаарна уу чухал техникийн техник – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнд хүрсэн бөгөөд математикийн сайн хэв маяг нь хүчин зүйлийг үндэснээс (боломжтой бол) хасах явдал юм. Илүү нарийвчилсан байдлаар процесс дараах байдалтай байна. . Мэдээжийн хэрэг, хариултыг байгаагаар нь үлдээх нь алдаа биш, гэхдээ энэ нь багшийн хувьд дутуу дулимаг, нухацтай маргаан болно.

Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна:

Ихэнхдээ үндэс нь хангалттай байдаг их тоо, Жишээ нь . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Тооцоологч ашиглан тухайн тоо 4-т хуваагдах эсэхийг шалгана: . Тиймээ, энэ нь бүрэн хуваагдсан тул: . Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Тиймээс: . Тооны сүүлийн орон сондгой тул гурав дахь удаагаа 4-т хуваахад бүтэхгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг хичээцгээе: . Үүний үр дүнд:
Бэлэн.

Дүгнэлт:хэрэв язгуур дор бид бүхэлд нь гаргаж авах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг арилгахыг оролддог - тооцоолуур ашиглан энэ тоо дараахь байдлаар хуваагдах эсэхийг шалгана: 4, 9, 16, 25, 36, 49 гэх мэт.

Шийдвэр гаргах явцад янз бүрийн даалгаварҮндэс нь нийтлэг байдаг тул багшийн тайлбар дээр тулгуурлан шийдлээ эцэслэн гаргахад бага үнэлгээ, шаардлагагүй асуудлаас зайлсхийхийн тулд үндэснээс хүчин зүйлийг гаргаж авахыг хичээ.

Мөн квадрат үндэс болон бусад хүчийг давтъя:

зэрэгтэй үйлдлийн дүрэм ерөнхий үзэл-ээс олж болно сургуулийн сурах бичигалгебр, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.

Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 4

Оноо ба өгөгдсөн. Хэсгийн уртыг ол.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгай вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв орон зайн вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно .

Эдгээр томъёог (мөн сегментийн уртын томъёог) сайн мэддэг Пифагорын теоремыг ашиглан амархан гаргаж авдаг.