Horner хэлхээ - олон гишүүнтийг шийдэх жишээ ба алгоритмууд. "Хорнер хэлхээ" сэдэвт илтгэл, олон гишүүнтийн чадлын өргөтгөл Хорнерийн хэлхээ онлайн

Безутын теорем, хэдийгээр илт энгийн бөгөөд ойлгомжтой боловч олон гишүүнт онолын үндсэн теоремуудын нэг юм. Энэ теоремд олон гишүүнтийн алгебрийн шинж чанарууд (тэдгээр нь олон гишүүнттэй бүхэл тоогоор ажиллах боломжийг олгодог) тэдгээрийн функциональ шинж чанаруудтай холбоотой байдаг (энэ нь олон гишүүнтийг функц гэж үзэх боломжийг олгодог).

Безутын теоремолон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваахад үлдэгдэл нь .

Олон гишүүнтийн коэффициентүүд нь нэгдмэл байдлаар солигдох цагирагт байрладаг (жишээлбэл, бодит эсвэл нийлмэл тоонуудын талбарт).

Безутын теорем - нотолгоо.

Олон гишүүнтийг үлдсэн хэсэгт хуваа P(x)олон гишүүнт рүү (х-а):

Үүний үндсэн дээр градус R(x)< deg (x-a) = 1 - тэгээс ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт. Авснаас хойш бид орлуулдаг .

Гэхдээ хамгийн чухал нь теорем биш, харин Безутын теоремын үр дагавар юм.

1. Тоо нь олон гишүүнтийн үндэс юм P(x)дараа нь, зөвхөн хэзээ P(x)үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваагддаг х-а.

Үүний үндсэн дээр олон гишүүнтийн язгуурын багц P(x)харгалзах тэгшитгэлийн язгуурын олонлогтой ижил байна х-а.

2. Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг бүхэл тоон коэффициенттэй олон гишүүнт аль ч бүхэл язгуурт хуваана (тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол бүх рационал язгуурууд бүхэл тоо болно).

3. Үүнийг багасгасан олон гишүүнт бүхэл язгуур гэж үзье P(x)бүхэл тооны коэффициентүүдтэй. Энэ нь аливаа бүхэл тоонд энэ тоо нь хуваагдана гэсэн үг юм.

Безоутын теорем нь олон гишүүнтийн нэг язгуурыг олсны дараа зэрэг нь аль хэдийн 1-ээс бага олон гишүүнтийн язгууруудыг хайх боломжийг олгодог: хэрэв , тэгвэл энэ олон гишүүнт P(x)иймэрхүү харагдах болно:

Безутын теоремын жишээнүүд:

Олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваахад үлдэгдлийг ол.

Безоутын теоремын шийдлийн жишээ:

Безутын теорем дээр үндэслэн шаардлагатай үлдэгдэл нь тухайн цэг дээрх олон гишүүнтийн утгатай тохирч байна. Дараа нь бид олох болно, үүний тулд бид олон гишүүнтийн илэрхийлэлд -ийн оронд утгыг орлуулна. Бид авах:

Хариулах: Үлдэгдэл = 5.

Хорнерын схем.

Хорнерын схемнь олон гишүүнт хуваах (Хорнерийн схемээр хуваах) алгоритм бөгөөд хэрэв хоёр гишүүнтэй тэнцүү бол тусгай тохиолдлоор бичигдэнэ.

Энэ алгоритмыг бүтээцгээе:

Үүнийг ногдол ашиг гэж үзье

Хэмжээ (түүний зэрэг нь нэгээр бага байх магадлалтай), r- үлдэгдэл (хуваалтыг олон гишүүнтээр гүйцэтгэдэг тул 1-рзэрэг, дараа нь үлдэгдэл зэрэг нь нэгээр бага байх болно, өөрөөр хэлбэл. тэг, тэгэхээр үлдэгдэл нь тогтмол).

Үлдэгдэлтэй хуваах тодорхойлолтоор P(x) = Q(x) (x-a) + r. Олон гишүүнт илэрхийллүүдийг орлуулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.

Бид хаалтуудыг нээж, коэффициентүүдийг ижил зэрэглэлээр тэнцүүлж, дараа нь ногдол ашиг ба хуваагчийн коэффициентээр дамжуулан хуваах коэффициентийг илэрхийлнэ.

Тооцооллыг дараах хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой.

Энэ нь дараагийн алхам дахь тооцоололд агуулагдах нүднүүдийг онцолж өгдөг.

Хорнер схемийн жишээ:

Бид олон гишүүнтийг хоёр гишүүнд хуваах хэрэгтэй гэж бодъё х-2.

Бид хоёр эгнээ бүхий хүснэгт үүсгэдэг. 1 мөрөнд бид олон гишүүнтийнхээ коэффициентийг бичнэ. Хоёрдахь мөрөнд бид бүрэн бус хэсгийн коэффициентийг дараах схемийн дагуу авна: юуны өмнө бид энэ олон гишүүнтийн тэргүүлэх коэффициентийг дахин бичиж, дараа нь дараагийн коэффициентийг олж авахын тулд хамгийн сүүлд олдсон коэффициентийг үржүүлнэ. a=2олон гишүүнтийн харгалзах коэффициентээр нэмнэ F(x). Хамгийн сүүлийн коэффициент нь үлдэгдэл байх ба өмнөх бүх коэффициентүүд нь бүрэн бус коэффицентийн коэффициентүүд байх болно.

1. Хуваах 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 дээр x − 1Хорнерын схемийг ашиглан.

Шийдэл:

Хоёр мөрийн хүснэгтийг хийцгээе: эхний мөрөнд 5 олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг бичнэ. x 4 +5x 3 +x 2 −11, хувьсагчийн градусын буурах дарааллаар байрлуулсан x. Энэ олон гишүүнт агуулаагүй гэдгийг анхаарна уу xэхний зэрэг, өөрөөр хэлбэл. өмнөх коэффициент xэхний зэрэглэл нь 0-тэй тэнцүү байна. Бид хуваах тул x−1, дараа нь хоёр дахь мөрөнд бид нэгийг бичнэ:

Хоёр дахь мөрөнд хоосон нүднүүдийг бөглөж эхэлцгээе. Хоёрдахь эгнээний хоёр дахь нүдэнд бид тоог бичнэ 5 , зүгээр л эхний мөрийн харгалзах нүднээс зөөнө:

Энэ зарчмын дагуу дараагийн нүдийг дүүргэцгээе. 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Хоёр дахь эгнээний дөрөв дэх нүдийг ижил аргаар бөглөцгөөе. 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Тав дахь нүдний хувьд бид дараахь зүйлийг авна. 1⋅ 11 + 0 = 11 :

Эцэст нь, сүүлийн зургаа дахь үүрэнд бид: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Асуудал шийдэгдсэн тул хариултаа бичих л үлдлээ.

Таны харж байгаагаар хоёр дахь мөрөнд байрлах тоонууд (нэг ба тэг хооронд) нь 5-д хуваагдсаны дараа олж авсан олон гишүүнтийн коэффициентүүд юм. x 4 +5x 3 +x 2 −11 тутамд x−1. Мэдээжийн хэрэг, анхны олон гишүүнтийн зэрэг нь 5 байна x 4 +5x 3 +x 2 −11 нь дөрөвтэй тэнцүү байсан бол үүссэн олон гишүүнтийн зэрэг нь 5 байна x 3 +10x 2 +11x+11 нь нэгээр бага, өөрөөр хэлбэл. гуравтай тэнцэнэ. Хоёрдахь эгнээний сүүлчийн тоо (тэг) нь олон гишүүнт 5-ын хуваагдлын үлдэгдлийг илэрхийлнэ x 4 +5x 3 +x 2 −11 тутамд x−1.
Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. олон гишүүнтүүд тэгш хуваагддаг. Энэ үр дүнг мөн дараах байдлаар тодорхойлж болно: олон гишүүнтийн утга 5 байна x 4 +5x 3 +x 2 −11 цагт x=1 нь тэгтэй тэнцүү.
Дүгнэлтийг мөн ийм хэлбэрээр томъёолж болно: олон гишүүнтийн утга 5 тул x 4 +5x 3 +x 2 −11 цагт x=1 нь тэгтэй тэнцүү бол нэгдэл нь 5 олон гишүүнтийн үндэс болно x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Олон гишүүнт хуваагдсан хэсгийн бүрэн бус хэсгийг ол

А(X) = X 3 – 2X 2 + 2X– нэг бином бүрт 1 X – 1.

Шийдэл:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Хариулт: Q(x) = X 2 – X + 1 , Р(x) = 0.

3. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоол А(X) цагт X = – 1 бол А(X) = X 3 – 2 X – 1.

Шийдэл:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Хариулт: А(– 1) = 0.

4. Олон гишүүнтийн утгыг тооцоолА(X) цагт X= 3, бүрэн бус хэсэг баүлдэгдэл, хаана

А(X)= 4 X 5 – 7X 4 + 5X 3 – 2 X + 1.

Шийдэл:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Хариулт: Р(x) = А(3) = 535, Q(x) = 4 X 4 + 5X 3 + 20X 2 + 60X +178.

5. Тэгшитгэлийн язгуурыг олX 3 + 4 X 2 + X – 6 = 0.

Шийдэл:

±1 чөлөөт гишүүний хуваагчийг ол; ± 2; ± 3; ± 6

Энд a = 1 (x – 1 = x – a) ба ногдол ашгийн олон гишүүнтийн коэффициентүүд тус тус тэнцүү байна.
1, 4, 1, – 6. Бид Хорнерын схемийг ашиглах хүснэгтийг бүтээдэг.

Чуваш улсын Боловсрол, залуучуудын бодлогын яам

BOU DP(PK)S "Чувашийн боловсролын институт" Чуваш улсын Боловсролын яам

Курсын ажил

Сонгон суралцах хичээл « "Дээд зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга, арга"

Математикийн багш гүйцэтгэсэн

MBOU "Гүнзгийрүүлсэн 49-р дунд сургууль

бие даасан хичээлүүдийг судлах"

Чебоксары

Румянцева Юлия Изосимовна

Чебоксары

Хичээлийн сэдэв: Олон гишүүнтийн үндэс. Хорнерын схем

Хичээлийн зорилго:

Безутын теорем ба Хорнерын схемийг ашиглан олон гишүүнтийн утга ба түүний язгуурыг хэрхэн олохыг заах;

олон гишүүнтийн үндсийг олох чадварыг хөгжүүлэх;

материалыг нэгтгэн дүгнэх, системчлэхийг заах;

тооцоолох чадвар, төвлөрөл, өөрийгөө хянах чадварыг хөгжүүлэх;

өөрийгөө шаардах, хичээл зүтгэлтэй болгох.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

I. Зохион байгуулалтын мөч

VI. Бие даасан ажил

VIII. Гэрийн даалгавар

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ

I. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн сэдвийг мэдээлэх, хичээлийн зорилгоо тодорхойлох.

II. Оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх

1. Гэрийн даалгавраа шалгах.

a) Евклидийн алгоритмыг ашиглан GCD ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) ол. (сурагч самбар дээр хоол хийдэг).

Шийдэл:

GCD ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Хариулах: x 2 – 1 .

б) Олон гишүүнт хуваагдах эсэхийг ол f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 дээр (x – 1), (x + 1), (x – 2) (урд талаас нь шалгана).

Шийдэл. Безоутын теоремоор, хэрэв f(1) = 0, Тэр f(x)хуваасан (x – 1). Үүнийг шалгаж үзье.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) нь (x – 1) -д хуваагдахгүй;
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x)-ийг (x – 2) хуваана.

Хариулах: (x – 2)-д хуваагдана.

в) P(x) олон гишүүнт (x – 1)-д хуваагдвал 3 үлдэгдэл, (x – 2)-д хуваагдвал үлдэгдэл 3 болно. үлдэгдэл өгнө 5. P(x) олон гишүүнтийг (x 2 – 3 x + 2) хуваахад үлдэгдлийг ол.

(Шийдвэрийг дэлгэцэн дээр төсөөлж эсвэл самбар дээр урьдчилан бичсэн).

Шийдэл.

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
(1) ба (2) -аас үүнийг дагаж болно P(1) = 3, P(2) = 5.
P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b буюу
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

(3)-д x = 1 ба x = 2-ыг дараалан орлуулснаар a = 2, b = 1 гэсэн тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Хариулах: 2 x + 1.

г) Ямар үед m ба nолон гишүүнт x 3 + m x + n аль ч x x 2 + 3 x + 10-д үлдэгдэлгүй хуваагдана.

Шийдэл. "Буланд" хуваахдаа бид x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x - 3) + ((m - 1) x + (n + 30)) авна.

Учир нь хуваах нь үлдэгдэлгүйгээр хийгдэх бөгөөд дараа нь (m – 1) x + (n + 30) = 0 байх ба энэ нь зөвхөн m = 1, n = -30 тохиолдолд боломжтой (ямар ч x хувьд).

Хариулах: m = 1, n = –30.

2. Онолын судалгаа

a) Теоремыг хэрхэн унших вэ

б) Безоутын теоремыг ашигладаг жишээг хэлнэ үү?

в) Хоёр олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмээс үржвэрийн тэргүүлэх коэффициентийг хэрхэн олох вэ?

г) Олон гишүүнт 0 зэрэгтэй юу?

III. Шинэ материалыг судлахад бэлтгэж байна

Олон гишүүнт, аливаа шууд илэрхийллийн нэгэн адил та хувьсагчийн оронд тоог орлуулж болох бөгөөд үр дүнд нь энэ нь тоон илэрхийлэл болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл тоо болж хувирдаг. Асуудлыг шийдвэрлэх хоёр чухал зүйлийг хэлье:

Утгаf(0)олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Утгаf(1)олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Олон гишүүнтийн утгыг олох нь үндсэн бэрхшээл үүсгэдэггүй боловч тооцоолол нь нэлээд төвөгтэй байж болно. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд 16-р зууны Английн математикчийн нэрэмжит Хорнерын схем гэж нэрлэгддэг техник байдаг. Энэ схем нь хоёр эгнээний зарим хүснэгтийг бөглөхөөс бүрдэнэ.

Жишээлбэл, олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 бол x = 7 (өөрөөр хэлбэл, Безоутын теоремыг ашиглан (х – 7) -д хуваагдах эсэхийг олж мэдэх) гэсэн тоог орлуулах хэрэгтэй. x 7 . Хэрэв f(7) = 0 бол f(x) болно. үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Хэрэв f(7 ) тэнцүү биш 0 бол f(x) нь (x – 7)-д үлдэгдэлтэй хуваагдана. f(7)-ийн утгыг олоход хялбар болгохын тулд бид Хорнерийн схемийг ашигладаг. Дараах алгоритмыг ашиглан хоёр эгнээтэй хүснэгтийг бөглөцгөөе.

1. Коэффицентийн шугамыг эхлээд бичнэ.
2. Тэргүүлэх коэффициентийг хоёр дахь мөрөнд давхардуулж, түүний өмнө хувьсагчийн утгыг (бидний тохиолдолд 7 дугаар) бичсэн бөгөөд энэ үед бид олон гишүүнтийн утгыг тооцоолно.

Үр дүн нь хоосон нүднүүдийг бөглөх ёстой хүснэгт юм.

Хүснэгт 1

3. Энэ нь нэг дүрмийн дагуу хийгддэг: баруун талд байгаа хоосон нүдний хувьд 2-ын тоог 7-оор үржүүлж, хоосон нүдний дээрх тоо дээр нэмнэ. Хариултыг эхний хоосон нүдэнд бичнэ. Энэ нь үлдсэн хоосон нүднүүдийг дүүргэхийн тулд хийгддэг. Тиймээс эхний хоосон нүдэнд 2 7 – 9 = 5, хоёр дахь хоосон нүдэнд 5 7 – 32 = 3, гуравдугаарт 3 7 + 0 = 21 гэсэн тоог байрлуулна. сүүлийн 21 7 – 57 = 90. Энэ хүснэгт бүхэлдээ дараах байдалтай байна.

Хүснэгт 2

Хоёр дахь мөрийн сүүлчийн дугаар нь хариулт юм.

Сэтгэгдэл:Компьютер дээрх олон гишүүнтийн утгыг тооцоолох програмыг Хорнерын схемийн дагуу эмхэтгэсэн.

IV. Сурсан материалыг бататгах

Хорнерын схемийн дагуу №1 (б) гэрийн даалгаварын шийдлийг авч үзье. Тиймээс Хорнерын схемийг ашиглан олон гишүүнт (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 нь (x – 1), (x + 1), (x) -д хуваагдах эсэхийг олж мэд. – 2) . Хэрэв та хэд хэдэн утгыг шалгах шаардлагатай бол тооцооллыг хадгалахын тулд нэг хосолсон схемийг байгуулаарай.

Хүснэгт 3

Сүүлийн баганад гурав, дөрөв, тав дахь мөрөнд хуваалтын үлдэгдэл байна. Дараа нь f(x) нь (х – 2) үлдэгдэлгүй хуваагдана, учир нь r = 0.

V. Олон гишүүнтийн үндсийг олох

Безутын теорем нь олон гишүүнтийн нэг язгуурыг олсны дараа зэрэг нь нэгээс бага олон гишүүнтийн язгуурыг цаашид хайх боломжийг олгодог. Заримдаа энэ аргыг ашиглан "зэрэг бууруулах" гэж нэрлэдэг - та олон гишүүнтийн бүх язгуурыг олох боломжтой.

Тодруулбал, куб тэгшитгэлийн нэг язгуурыг сонгосноор зэрэглэлийг бууруулснаар үүссэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар бүрэн шийдвэрлэх боломжтой юм.

Иймэрхүү асуудлыг шийдвэрлэхэд ижил Horner схем нь маш их ашиг тустай байдаг. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ Хорнерын схем нь илүү их зүйлийг өгдөг: хоёр дахь мөрөнд байгаа тоонууд (сүүлийнхийг тооцохгүй) нь (x - a) хэсэгчилсэн салбаруудын коэффициентүүд юм.

3-р хүснэгтэд:

Жишээ 1. f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3) олон гишүүнтийн язгуурыг ол.

Шийдэл. Чөлөөт гишүүний хуваагч: – 1, 1, – 3, 3 нь олон гишүүнтийн үндэс байж болно. x = 1 үед коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ нь x 1 = 1 нь үндэс гэсэн үг юм. Хорнерын схемийг ашиглан тооны язгуур - 1 болон чөлөөт нэр томъёоны бусад хуваагчийг шалгая.

Хүснэгт 4

x = –1 - үндэс
хоёр дахь удаагаа x = –1 нь үндэс биш
x = 3-ыг шалгая
x = 3 - үндэс.
f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

Сэтгэгдэл. Олон гишүүнтийн үндсийг олохдоо тодорхой бүдүүлэг тооцоолол нь хүссэн үр дүнд хүргэх тохиолдолд шаардлагагүй нарийн тооцоолол хийх ёсгүй.
Жишээлбэл, 31 ба – 31 утгыг x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 олон гишүүнтийн “нэр дэвшигч язгуур” болгон турших Хорнерын схем дараах байдалтай байж болно.

Хүснэгт 5

31 ба – 31 нь x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 олон гишүүнтийн үндэс биш юм.

Жишээ 2. f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55 олон гишүүнтийн язгуурыг ол.

Шийдэл. 55-ын хуваагч: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. – 1 ба 1 нь олон гишүүнтийн үндэс биш гэдгийг анхаарна уу. Үлдсэн хуваагчдыг шалгах хэрэгтэй.

Сэтгэгдэл. Оюутнууд "урт" Хорнер схемийг эзэмших нь маш чухал юм. Энэ жишээнд "урт" схем нь тохиромжтой.

Хүснэгт 6

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, үндэс байхгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

VI. Бие даасан ажил

Самбар дээр гурван хүн дараагийн шалгалтыг хийхээр шийддэг.

Хорнерийн схемийг ашиглан олон гишүүнтийн үндсийг ол.

a) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

Хариулт: – 1; 2; – 3.

б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

Хариулт: 1; 2; 3.

в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

Хариулт:

(Тестийг хосоор нь явуулдаг, үнэлгээ өгдөг).

VII. Оюутны судалгааны ажил

– Залуус аа, бид ангидаа аль олон гишүүнтийг голчлон судалж байсныг та анзаараагүй байна уу?

(Оюутны хариулт).

– Тиймээ, эдгээр нь бүхэл тооны коэффициенттэй, тэргүүлэгч k = 1 гишүүнтэй олон гишүүнтүүд юм.

– Хэдэн тоогоор хариу ирсэн бэ?

(Оюутны хариулт).

– Зөв, бүхэл тооны коэффициенттэй, тэргүүлэгч k = 1 гишүүнтэй олон гишүүнтийн үндэс нь бүхэл тоо, иррационал, бүхэл тоо, иррационал, эсвэл үндэсгүй байна. Дүгнэлтийг дэвтэртээ тэмдэглэ.

VIII. Гэрийн даалгавар

1. No 129 (1, 3, 5, 6) – Н.Я.Виленкин – 10, 78-р тал.
2. Энэ хичээлийн онолыг сур.

IX. Хичээлийг дүгнэж, оноо өгөх

Уран зохиол

М.Л. Галицки. Алгебр, математикийн анализыг гүнзгийрүүлэн судлах. // Гэгээрэл, 1997

Г.В. Дорофеев. Нэг хувьсагчтай олон гишүүнт. // Санкт-Петербург. Тусгай уран зохиол, 1997 он

Н.Я. Виленкин. Алгебр ба математикийн шинжилгээ. 10-р анги // Боловсролд

Тайлбар тэмдэглэл.

Уг хичээл нь математикийн бэлтгэл сайтай 10-р ангийн физик, математикийн ангийн сурагчдад зориулагдсан бөгөөд математикийн төрөл бүрийн уралдаан тэмцээн, олимпиадад бэлтгэх, математикийн ноцтой боловсролыг үргэлжлүүлэхэд хувь нэмэр оруулах зорилготой юм. Энэ нь математикийн үндсэн хичээлийг өргөжүүлж, хичээлийн онцлогтой бөгөөд оюутнуудад математикийн сонирхолтой, стандарт бус асуултууд, дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудтай танилцах боломжийг олгодог. Сургалт нь ялган суралцах боломжийг багтаасан болно.

Сургуулийн сурагчдыг дээд түвшний тэгшитгэлийн гоёмсог, гоёмсог шийдлийг эрэлхийлэхэд чиглүүлснээр багш нь сурагчдын гоо зүйн боловсролд хувь нэмэр оруулж, математикийн соёлыг сайжруулдаг. Энэхүү хичээл нь сургуулийн сурагчдад бие даан ажиллах, дээд түвшний тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар заах сурах бичгийн үргэлжлэл юм. Сургуулийн сурагчдад дээд зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг зориудаар заахдаа ажиглах, аналоги, индукц, харьцуулалт, зохих дүгнэлт гаргахад сургах хэрэгтэй. Өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлээр дамжуулан оюутнуудад логик сэтгэх чадвар төдийгүй эвристик сэтгэхүйн хүчтэй чадварыг бий болгох шаардлагатай.

Хичээлийн зорилго, зорилтууд.

Математикийн сонирхол, эвристик сэтгэлгээг хөгжүүлэх.

Математикийн ноцтой боловсролыг үргэлжлүүлэхийг дэмжинэ.

Асуудлыг шийдвэрлэх оновчтой аргыг хэрхэн сонгох, хийсэн сонголтыг зөвтгөхийг заах.

Шинжлэх ухааны сэтгэлгээний хэв маягийг бий болгоход хувь нэмэр оруулах.

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэ.

Энэхүү сонгон суралцах хичээл нь 34 сэдэвчилсэн хичээлээс бүрдэнэ.

Сонгон суралцах хичээлийн зорилго, зорилгыг оюутнуудад мэдээлнэ. Хичээлүүдэд онолын болон практик хэсгүүд - лекц, зөвлөгөө өгөх семинар, бие даасан болон судалгааны ажил орно.

Олон гишүүнтийн онолын үндсэн зарчмуудыг судлах нь Виетийн теоремыг ямар ч түвшний тэгшитгэлийн хувьд ерөнхийд нь гаргах боломжийг олгодог. Олон гишүүнт хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх чадвар нь ирээдүйд математикийн анализаас асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгоно.

Хорнерын схем болон олон гишүүнтийн рационал язгуурын теоремыг судлах нь аливаа алгебрийн илэрхийллийг хүчин зүйлээр тооцох ерөнхий аргыг өгдөг. Хариуд нь өндөр түвшний тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар нь экспоненциал, логарифм, тригонометр, иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлын хүрээг ихээхэн өргөжүүлнэ.

Уран зохиол

1. Галицкий М.Л., Голдман А.М., Звавич Л.И. 8-9-р ангийн алгебрийн бодлогын түүвэр.

2 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Математикийн асуудлууд. Алгебр.

3 Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх стандарт бус аргууд.

4 ..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

5. Шарыгин И.Ф. Математикийн нэмэлт хичээл.

Мэдээжийн зорилго, зорилтууд 1

Уран зохиол 4

Хавсралт 6

Маягтын олон гишүүнт
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ... + a 1 x + a 0
хүчин зүйлчилж болно Хорнерын схемийн дагуунаад зах нь 1 үндэс нь мэдэгдэж байгаа бол.

Хорнерын схемийн дагуу хуваалтыг жишээгээр харцгаая.

2х 4 + 9х 3 - 10х 2 - 27х - 10

Эхлээд та сонгох аргыг ашиглан нэг үндэс олох хэрэгтэй. Ихэнхдээ энэ нь чөлөөт нэр томъёоны хуваагч юм. Энэ тохиолдолд тооны хуваагч -10 байна ±1, ±2, ±5, ±10.Тэдгээрийг нэг нэгээр нь орлуулж эхэлцгээе:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ тоо 1

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ тоо -1 олон гишүүнтийн үндэс юм

Бид олон гишүүнтийн 1 язгуурыг олсон. Олон гишүүнтийн үндэс нь -1, Энэ нь анхны олон гишүүнт хуваагдах ёстой гэсэн үг юм x+1. Олон гишүүнт хуваагдлыг хийхийн тулд бид Хорнерын схемийг ашигладаг.

	2	9	-10	-27	-10
-1

Анхны олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг дээд мөрөнд харуулав. Бидний олсон үндсийг хоёр дахь эгнээний эхний нүдэнд байрлуулсан -1. Хоёрдахь мөрөнд хуваагдсаны үр дүнд бий болсон олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг агуулна. Тэдгээрийг дараах байдлаар тооцдог.

2 9 -10 -27 -10 -1 2	Хоёрдахь эгнээний хоёр дахь нүдэнд бид тоог бичнэ 2, зүгээр л эхний эгнээний харгалзах нүднээс зөөж болно.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7	-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17	-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10	-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0	-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Сүүлийн тоо нь хуваагдлын үлдэгдэл юм. Хэрэв энэ нь 0-тэй тэнцүү бол бид бүх зүйлийг зөв тооцоолсон болно.

2х 4 + 9х 3 - 10х 2 - 27х - 10 = (х + 1)(2х 3 + 7х 2 - 17х - 10)

Гэхдээ энэ бол төгсгөл биш. Та олон гишүүнтийг ижил аргаар өргөжүүлэхийг оролдож болно 2х 3 + 7х 2 - 17х - 10.

Дахин бид чөлөөт нэр томъёог хуваагчдын дунд үндсийг хайж байна. Тоон хуваагчдыг бид аль хэдийн олж мэдсэн -10 байна ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ тоо 1 олон гишүүнтийн үндэс биш

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ тоо -1 олон гишүүнтийн үндэс биш

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ тоо 2 олон гишүүнтийн үндэс юм

Олдсон үндсийг Horner схемдээ бичиж, хоосон нүднүүдийг бөглөж эхэлцгээе.

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2	Гурав дахь эгнээний хоёр дахь нүдэнд бид тоог бичнэ 2, зүгээр л хоёр дахь эгнээний харгалзах нүднээс зөөж болно.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11	2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5	2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0	2 ∙ 5 - 10 = 0

Тиймээс бид анхны олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгон хуваасан:

2x 4 + 9x 3 - 10x 2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x 2 + 11x + 5)

Олон гишүүнт 2х 2 + 11х + 5мөн хүчин зүйл ангилж болно. Үүнийг хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийг дискриминантаар шийдэж болно, эсвэл тоог хуваагчдаас үндсийг хайж болно. 5. Ямар нэг байдлаар бид энэ олон гишүүнтийн үндэс нь тоо гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ -5

2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2	Дөрөв дэх эгнээний хоёр дахь нүдэнд бид тоог бичнэ 2, зүгээр л гурав дахь эгнээний харгалзах нүднээс зөөж болно.
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1	-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10 -1 2 7 -17 -10 0 2 2 11 5 0 -5 2 1 0	-5 ∙ 1 + 5 = 0

Тиймээс бид анхны олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйл болгон задалсан.

Ихэвчлэн олон гишүүнтийг дараах байдлаар илэрхийлдэг.

$f(x)=\sum\limits_(k=0)^(n) a_k x^k$

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k

Хаана a kЭдгээр нь олон гишүүнтийн коэффициентийг төлөөлдөг бодит тоонууд ба
х кЭдгээр нь олон гишүүнтийн хувьсагчид юм.

Дээрх олон гишүүнтийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл deg(f(x)) = n, Хаана nхувьсагчийн хамгийн дээд зэргийг илэрхийлнэ.

Олон гишүүнтийг хуваах Хорнерийн схем нь олон гишүүнтийн утгын тооцоог хялбарчлах алгоритм юм. f(x)тодорхой үнэ цэнээр x = x 0олон гишүүнтийг нэг гишүүнт (1-р зэргийн олон гишүүнт) хуваах арга. Мономиал бүр хамгийн ихдээ нэг үржүүлэх, нэг нэмэх процессыг агуулдаг. Нэг мономиалаас олж авсан үр дүнг дараагийн мономиалаас олж авсан үр дүнд нэмэх гэх мэт хуримтлагдах байдлаар хийнэ. Энэхүү задралын процессыг мөн синтетик задрал гэж нэрлэдэг.

Дээрхийг тайлбарлахын тулд олон гишүүнтийг өргөтгөсөн хэлбэрээр дахин бичье;

f(x 0) = a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 0 2 + ... + a n x 0 n

Үүнийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + ... + (a n-1 + a n x 0))....)

Энэхүү схемийн санал болгож буй алгоритм нь дээр дурдсан мономиалуудын утгыг олоход суурилж, илүү олон хаалтанд орсоноос эхэлж, гадна талын хаалтанд байгаа мономиалуудын утгыг олохын тулд гадагш хөдөлнө.

Алгоритмыг дараах алхмуудыг дагаж мөрддөг.

1. Өгөгдсөн k = n
2. Болъё b k = a k
3. Байг b k - 1 = a k - 1 + b k x 0
4. Болъё k = k - 1
5. Хэрэв k ≥ 0, дараа нь 3-р алхам руу буцна уу
үгүй бол Төгсгөл

Энэ алгоритмыг 5-р зэргийн олон гишүүнтийг харгалзан графикаар дүрсэлж болно.

f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5

утга нь олддог x = x 0, үүнийг дараах байдлаар дахин зохион байгуулна:

f(x 0) = a 0 + x 0 (a 1 + x 0 (a 2 + x 0 (a 3 + x 0 (a 4 + a 5 x 0)))))

Энэ алгоритмыг ашиглан үр дүнг танилцуулах өөр нэг арга бол доорх хүснэгтийн хэлбэр юм.

Тиймээс f(2) = 83.

Бид яагаад үүнийг хийх хэрэгтэй байна вэ?

Ихэвчлэн хувьсагчийн тодорхой утгын олон гишүүнтийн утгыг олохдоо бид энэ утгыг олон гишүүнт орлуулж, тооцооллыг хийдэг. Мөн бид өндөр зэрэглэлийн нийлмэл олон гишүүнттэй ажиллахад зайлшгүй шаардлагатай математик тооцооллын компьютерийн программ боловсруулж болно.

Компьютерийн асуудлыг шийдвэрлэх арга нь программист та үүнийг компьютерт хэрхэн тайлбарлахаас ихээхэн шалтгаална. Та хувьсагчийн утгыг шууд орлуулах замаар олон гишүүнтийн утгыг олох програмаа боловсруулж эсвэл Хорнерын схемд өгөгдсөн синтетик хуваалтыг ашиглаж болно. Эдгээр хоёр аргын хоорондох цорын ганц ялгаа нь компьютер тухайн тохиолдлын шийдлийг олох хурд юм.

Хорнерын хэлхээний давуу тал нь үржүүлэх үйлдлүүдийн тоог багасгадаг. Үржүүлэх үйл явц бүрийн боловсруулалтын хугацаа нь нэмэх процессын боловсруулалтын хугацаанаас 5-20 дахин их байдаг тул Хорнерын схемийг ашиглан олон гишүүнтийн утгыг олох программ зохиох нь үржүүлэхэд зарцуулсан тооцоолох хугацааг мэдэгдэхүйц бууруулна гэж та маргаж болно. компьютер.