Тооны хүч: тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ. Тооны хүч: тодорхойлолт, тэмдэглэгээ, жишээ Натурал илтгэгчтэй хүч, тооны квадрат, тооны шоо

"Харьцуулсан зэрэг" - Нэг нүхэнд гарам амьдардаг байв. Н.ф. Ухаалаг + ИЛҮҮ - илүү ухаалаг N.f. Smart + LESS - бага ухаалаг. Өгүүлбэр дэх үүрэг. Манай бага овсгоотой ноход уралдаан дээр хулганыг дэмжихээр явдаг. Хотын захиргаа боловсролын байгууллага"Элгай гол дунд сургууль" Шишүүхэй нь гөлөгнөөс илүү уян хатан байдаг. Яаж ийгээд манай гутлыг овсгоо муутай хөршийн гөлөг чирээд явчихав.

“Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг” - Натурал болон бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг. (-1)2к=1, (-1)2к-1= -1. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд. Байгалийн үзүүлэлтээр зэрэг тодорхойлох. Аливаа чадлын 1 нь 1 1n=1-тэй тэнцүү байна. Эрдмийн зэрэг гэж юу вэ? Хэрхэн богинохон бичих вэ. Эрх мэдлийг үржүүлэх ижил үндэслэлээр. N нөхцөл. 10n=100000…0.

"Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг" - Тооцоолох. Илэрхийлэлийг хүч гэж илэрхийл. Нэг хүчин зүйл нь мэдэгдэж байгаа бол x-12 илэрхийллийг суурь х-тэй хоёр зэрэглэлийн үржвэрээр илэрхийл. Буурах дарааллаар байрлуул. Хялбаршуулах. x-ийн аль утгуудын хувьд тэгш байдал үнэн байна.

"Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл" - (Гурав дахь тохиолдолд - хамгийн бага, дөрөв дэх - хамгийн их). Эхний болон хоёр дахь тохиолдолд функц нь x = цэг дээр монотон байна гэж бид хэлдэг. Бидний томъёолол нь "Агуу урлаг" гэсэн үг юм. Тиймээс Тарталья өөрийгөө ятгахыг зөвшөөрөв. Лемма. Гурав, дөрөв дэх тохиолдолд функц нь x = цэг дээр экстремумтай байна гэж бид хэлдэг. Хаалт нээх.

“Зэрэглэлийн шинж чанар” - Зэрэглэлийн шинж чанарыг байгалийн үзүүлэлтээр хэрэглэх мэдлэг, ур чадварыг нэгтгэн дүгнэх. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд. Оюуны шуурга. Ямар тооны шоо 64 вэ? Тооцооллын түр зогсолт. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд. Тэвчээртэй байдал, сэтгэцийн үйл ажиллагаа, бүтээлч үйл ажиллагааг хөгжүүлэх.

“n-р зэргийн үндэс” - Тодорхойлолт 2: A). Тэгшитгэлийн хоёр талыг шоо болгоё: - Радикал илэрхийлэл. x тэгшитгэлийг авч үзье? = 1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрөв дэх зэрэгт шилжүүлье: y = x функцуудыг зуръя? ба у = 1. -ийн n-р язгуурын тухай ойлголт бодит тоо. Хэрэв n нь сондгой байвал нэг язгуур: y = x функцийн графикийг байгуулъя? ба y = 1.

Энэ хэсэгт үзэл баримтлалыг авч үзэхийг анхаарна уу Зөвхөн натурал илтгэгчтэй градусба тэг.

Рационал илтгэгч (сөрөг ба бутархай) бүхий хүч чадлын тухай ойлголт, шинж чанарыг 8-р ангийн хичээл дээр авч үзэх болно.

Ингээд тооны хүч гэж юу болохыг олж мэдье.Тооны үржвэрийг өөрөө бичихийн тулд товчилсон тэмдэглэгээг хэд хэдэн удаа ашигладаг.

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 гэсэн ижил зургаан хүчин зүйлийн үржвэрийн оронд 4 6 гэж бичээд “дөрвөөс зургаа дахь зэрэглэл” гэж хэл.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

4 6 илэрхийллийг тооны зэрэглэл гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд:

• 4 — зэрэглэлийн суурь;
• 6 — илтгэгч.

IN ерөнхий үзэл“a” суурьтай, “n” илтгэгчтэй зэрэг бичнэ:

Санаж байна уу!

1-ээс их байгалийн илтгэгч “n” “a” тооны хүч нь “n” ижил хүчин зүйлийн үржвэр юм. тоотой тэнцүү байна"а".

"a n" гэсэн оруулга нь "a-аас n-ийн зэрэглэлд" эсвэл "a тооны n-р зэрэглэлд" гэсэн утгатай байна.

Үл хамаарах зүйл нь дараах оруулгууд юм.

• a 2 - үүнийг "дөрвөлжин" гэж хэлж болно;
• a 3 - үүнийг "шоо" гэж хэлж болно.

• a 2 - "а хоёр дахь зэрэглэлд";
• a 3 - "a-аас гуравдагч зэрэглэлд".

Экспонент бол онцгой тохиолдол үүснэ нэгтэй тэнцүүэсвэл тэг (n = 1; n = 0).

Санаж байна уу!

n = 1 илтгэгчтэй “a” тооны хүчин чадал нь өөрөө энэ тоо юм.
a 1 = a

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна.
a 0 = 1

Ямар ч байгалийн хүчний тэг нь тэгтэй тэнцүү байна.
0 n = 0

Аль ч хүчинд нэг нь 1-тэй тэнцүү байна.
1 n = 1

Илэрхийлэл 0 0 ( тэгээс тэг хүртэл хүч) утгагүй гэж үздэг.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Жишээнүүдийг шийдвэрлэхдээ хүчийг өсгөх нь тоон эсвэл үсгийн утгыг хүчирхэг болгож өсгөсний дараа олох явдал гэдгийг санах хэрэгтэй.

Жишээ. Хүч чадалд хүрэх.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 2.5 = 6.25
• ( · = = 81

  256

Хүчин чадалд сөрөг тоог өсгөх

Суурь нь (хүч хүртэл өсгөсөн тоо) эерэг, сөрөг эсвэл тэг гэсэн ямар ч тоо байж болно.

Санаж байна уу!

Эерэг тоог хүчирхэг болгон өсгөхөд эерэг тоо гарна.

Тэгийг байгалийн хүчин чадал болгон өсгөхөд үр дүн нь тэг болно.

Хүч чадалд хүрэх үед сөрөг тооүр дүн нь эерэг тоо эсвэл сөрөг тоо байж болно. Энэ нь экспонент нь тэгш эсвэл сондгой тоо байсан эсэхээс хамаарна.

Сөрөг тоог хүч болгон өсгөх жишээг авч үзье.

Үзсэн жишээнүүдээс харахад сөрөг тоог сондгой хэмжээнд өсгөвөл сөрөг тоо гарах нь тодорхой байна. Сөрөг хүчин зүйлийн сондгой тооны бүтээгдэхүүн сөрөг байдаг тул.

Хэрэв сөрөг тоог тэгш түвшинд өсгөвөл эерэг тоо болно.

Санаж байна уу!

Тэгш тооны сөрөг хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн эерэг байдаг тул.

Тэгш зэрэглэлд хүргэсэн сөрөг тоо нь эерэг тоо юм.

Сөрөг тоо сондгой хэмжээнд нэмэгдүүлсэн нь сөрөг тоо юм.

Аливаа тооны квадрат нь эерэг тоо эсвэл тэг, өөрөөр хэлбэл:

• a 2 ≥ 0 аль ч a.
• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18

−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Анхаар!

Экспоентацийн жишээг шийдвэрлэхдээ (−5) 4 ба −5 4 оруулгууд нь өөр илэрхийлэл гэдгийг мартаж алдаа ихэвчлэн гардаг. Эдгээр илэрхийлэлийг эрх мэдэлд хүргэх үр дүн өөр байх болно.

(−5) 4-ийг тооцоолно гэдэг нь сөрөг тооны дөрөв дэх зэрэглэлийн утгыг олно гэсэн үг.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

1. "−5 4"-ийг олох нь жишээг 2 алхамаар шийдвэрлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.
   Эерэг тоог 5-ыг дөрөв дэх зэрэгт хүргэнэ.
2. 5 4 = 5 5 5 5 = 625
   −5 4 = −625

Хүлээн авсан үр дүнгийн өмнө хасах тэмдэг тавина (өөрөөр хэлбэл хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ).

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. Жишээ. Тооцоол: −6 2 − (−1) 4
2. −6 2 = −36
3. 6 2 = 6 6 = 36
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1

Зэрэг бүхий жишээн дэх журам

Санаж байна уу!

Утгыг тооцоолохыг экспонентацийн үйлдэл гэж нэрлэдэг. Энэ бол гурав дахь шатны арга хэмжээ юм. Хаалтгүй эрх бүхий илэрхийлэлд эхлээд хийнээкспонентаци , дараа ньүржүүлэх, хуваах , мөн төгсгөлд.

нэмэх ба хасах

Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг дээр дурдсан дарааллаар хийж, үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш ижил дарааллаар гүйцэтгэнэ.

Жишээ. Тооцоолох:

Жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд манай вэбсайтаас үнэгүй татаж авах боломжтой градусын хүснэгтийг мэдэж, ашиглах нь ашигтай байдаг.

Үр дүнг шалгахын тулд та манай вэбсайт дээрх тооны машиныг ашиглаж болно " Энэ нийтлэлд бид юу болохыг олж мэдэх болнотооны хүч

. Энд бид тооны чадлын тодорхойлолтыг өгөх бөгөөд байгалийн илтгэгчээс эхлээд иррациональ хүртэл бүх боломжит илтгэгчийг нарийвчлан авч үзэх болно. Материалаас та үүссэн бүх нарийн ширийн зүйлийг хамарсан зэрэглэлийн олон жишээг олох болно.

Хуудасны навигаци.

Натурал илтгэгчтэй хүч, тооны квадрат, тооны шоо -ээс эхэлье. Урагшаа харахад n натурал илтгэгчтэй a тооны чадлын тодорхойлолтыг бид гэж нэрлэх a-д өгсөн гэж үзье.зэрэглэлийн суурь , ба n, бид үүнийг дуудах болно. Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь бүтээгдэхүүнээр тодорхойлогддог тул доорх материалыг ойлгохын тулд та тоог үржүүлэх тухай ойлголттой байх хэрэгтэй гэдгийг бид бас тэмдэглэж байна.

Тодорхойлолт.

Натурал илтгэгч n-тэй тооны чадварнь a n хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд утга нь n хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү, тус бүр нь a-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .
Ялангуяа 1-р илтгэгчтэй а тооны хүчин чадал нь өөрөө а тоо, өөрөөр хэлбэл a 1 =a байна.

Эрдмийн зэрэг унших дүрмийн талаар нэн даруй дурдах нь зүйтэй. a n тэмдэглэгээг унших бүх нийтийн арга нь: "a-аас n-ийн зэрэглэлд". Зарим тохиолдолд "a-аас n-р зэрэглэл" ба "a-ийн n-р зэрэг" гэсэн сонголтуудыг бас хүлээн зөвшөөрдөг. Жишээлбэл, 8 12 хүчийг авъя, энэ нь "наймаас арван хоёрын хүч", эсвэл "наймаас арван хоёр дахь хүч", эсвэл "наймын арван хоёр дахь хүч" юм.

Тооны хоёр дахь зэрэг, мөн тооны гурав дахь зэрэг нь өөрийн гэсэн нэртэй байдаг. Тооны хоёр дахь хүчийг дуудна тооны квадратжишээлбэл, 7 2-ыг "долоон квадрат" эсвэл "долооны тооны квадрат" гэж уншина. Тооны гурав дахь хүчийг дуудна куб тоонууджишээлбэл, 5 3-ыг "таван шоо" гэж уншиж болно, эсвэл "5-ын тооны шоо" гэж хэлж болно.

авчрах цаг боллоо Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлийн жишээ. 5 7 зэрэгтэй эхэлье, энд 5 нь градусын суурь, 7 нь илтгэгч юм. Өөр нэг жишээ хэлье: 4.32 нь суурь, ба натурал тоо 9 – илтгэгч (4.32) 9 .

Сүүлчийн жишээнд 4.32-ын хүчийг хаалтанд бичсэнийг анхаарна уу: зөрүү гарахаас зайлсхийхийн тулд натурал тооноос ялгаатай бүх чадлын суурьуудыг хаалтанд хийнэ. Жишээ болгон бид байгалийн илтгэгчтэй дараах зэрэглэлүүдийг өгдөг , тэдгээрийн суурь нь натурал тоо биш тул хаалтанд бичнэ. Бүрэн тодорхой болгохын тулд энэ үед бид (−2) 3 ба −2 3 хэлбэрийн бичлэгт агуулагдах ялгааг харуулах болно. (−2) 3 илэрхийлэл нь натурал илтгэгч нь 3-тай −2-ын хүч бөгөөд −2 3 (үүнийг −(2 3) гэж бичиж болно) илэрхийлэл нь 2 3 зэрэглэлийн утгатай тоотой тохирч байна. .

a^n хэлбэрийн n илтгэгчтэй a тооны хүчийг илэрхийлэх тэмдэглэгээ байдгийг анхаарна уу. Түүнчлэн, хэрэв n нь олон утгатай натурал тоо бол илтгэгчийг хаалтанд авна. Жишээлбэл, 4^9 нь 49-ийн хүчийг илэрхийлэх өөр нэг тэмдэглэгээ юм. “^” тэмдгийг ашиглан градус бичих өөр хэдэн жишээ энд байна: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Дараах зүйлд бид үндсэндээ a n хэлбэрийн зэргийн тэмдэглэгээг ашиглана.

Байгалийн илтгэгчтэй зэрэглэлд хүрэх урвуу асуудлуудын нэг бол хүч чадлын суурийг олох асуудал юм. мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэзэрэг ба мэдэгдэж буй үзүүлэлт. Энэ даалгавар нь хүргэдэг.

Рационал тооны багц нь бүхэл ба бутархай тооноос бүрддэг бөгөөд бутархай тоо бүрийг эерэг эсвэл сөрөг байдлаар илэрхийлж болно. энгийн бутархай. Бид өмнөх догол мөрөнд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг тодорхойлсон тул рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг дуусгахын тулд m/n бутархай илтгэгчтэй a тооны зэрэгт утгыг өгөх шаардлагатай. m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо юм. Үүнийг хийцгээе.

Хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг авч үзье. Эрх мэдэл хүчинтэй байхын тулд эрх тэгш байх ёстой . Хэрэв бид үүссэн тэгш байдлыг харгалзан үзээд бид үүнийг хэрхэн тодорхойлсон бол m, n, a өгөгдсөн тохиолдолд илэрхийлэл нь утга учиртай байх тохиолдолд үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь логик юм.

Бүхэл илтгэгчтэй зэрэглэлийн бүх шинж чанарууд хүчинтэй эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (үүнийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанарууд хэсэгт хийсэн).

Дээрх үндэслэл нь дараахь зүйлийг хийх боломжийг бидэнд олгоно дүгнэлт: хэрэв m, n өгөгдсөн бөгөөд a илэрхийлэл нь утга учиртай бол m/n бутархай илтгэгчтэй а-ын хүчийг m-ийн n-р язгуур гэж нэрлэнэ.

Энэ мэдэгдэл нь бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтод ойртуулж байна. Үлдсэн зүйл бол m, n болон a илэрхийлэл ямар утгатай болохыг тайлбарлах явдал юм. m, n, a дээр тавигдсан хязгаарлалтаас хамааран хоёр үндсэн арга байдаг.

Хамгийн хялбар арга бол эерэг m-ийн хувьд a≥0, сөрөг m-ийн хувьд a>0-ийг авах замаар a-д хязгаарлалт тавих явдал юм (m≤0-ийн хувьд m-ийн 0 градус тодорхойлогдоогүй тул). Дараа нь бид бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн дараах тодорхойлолтыг авна.

Тодорхойлолт.

Бутархай илтгэгч m/n эерэг тооны a-ийн чадал, энд m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо бол m-ийн зэрэглэлд a тооны n-р үндэс гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл, .

Тэгийн бутархай хүчийг мөн индикатор эерэг байх ёстой гэсэн цорын ганц анхааруулгатайгаар тодорхойлно.

Тодорхойлолт.

Бутархай эерэг илтгэгч m/n-ийн хүчин чадал, энд m нь эерэг бүхэл тоо, n нь натурал тоо гэж тодорхойлогддог .
Зэрэг нь тодорхойлогдоогүй үед, өөрөөр хэлбэл бутархай сөрөг илтгэгчтэй тэг тооны зэрэг нь утгагүй болно.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод нэг анхааруулга байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй: зарим сөрөг а, зарим m ба n-ийн хувьд илэрхийлэл нь утга учиртай бөгөөд a≥0 нөхцөлийг оруулан бид эдгээр тохиолдлыг хассан. Жишээлбэл, оруулгууд нь утга учиртай эсвэл , мөн дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь хэлбэрийн бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийг хэлэхээс аргагүйд хүргэж байна суурь нь сөрөг байх ёсгүй тул утгагүй болно.

Бутархай илтгэгч m/n-тэй зэрэг тодорхойлох өөр нэг арга бол язгуурын тэгш, сондгой илтгэгчийг тусад нь авч үзэх явдал юм. Энэ арга нь шаарддаг нэмэлт нөхцөл: илтгэгч нь а тооны хүчийг илэрхийлэгч нь харгалзах бууруулж болохгүй бутархай (энэ нөхцлийн ач холбогдлыг доор тайлбарлах болно) тоон хүчин чадал гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв m/n нь бууруулж болшгүй бутархай бол аль ч натурал k тооны хувьд градусыг эхлээд -ээр солино.

Бүр n ба эерэг m-ийн хувьд илэрхийлэл нь сөрөг бус аливаа a (root жигд зэрэгтэйсөрөг тооноос авах нь утгагүй), сөрөг m-ийн хувьд a тоо тэгээс ялгаатай хэвээр байх ёстой (эсвэл тэгээр хуваагдах болно). Мөн сондгой n ба эерэг m-ийн хувьд а тоо дурын байж болно (сондгой зэрэглэлийн үндэс нь ямар ч бодит тоогоор тодорхойлогддог), сөрөг m-ийн хувьд а тоо тэгээс өөр байх ёстой (тэгэхээр хуваагдахгүй байх ёстой. тэг).

Дээрх үндэслэл нь биднийг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн энэхүү тодорхойлолтод хүргэж байна.

Тодорхойлолт.

m/n нь бууруулж болохгүй бутархай, m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо байг. Аливаа бууруулж болох бутархайн хувьд зэрэг нь -ээр солигдоно. Бутаршгүй бутархай илтгэгч m/n тооны хүчин чадал нь



Бутаршгүй илтгэгчтэй градусыг яагаад бууруулж болдоггүй илтгэгчтэй зэрэгтэй сольдогийг тайлбарлая. Хэрэв бид градусыг зүгээр л гэж тодорхойлж, m/n бутархайн бууралтгүй байдлын талаар тайлбар хийгээгүй бол бид дараахтай төстэй нөхцөл байдалтай тулгарах болно: 6/10 = 3/5 тул тэгш байдал дагах ёстой. , Гэхдээ , А.