Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш энгийн бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм цэгийн бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар ч цөөн байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтаад та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд цахилгаан цахих мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү их бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой, би ихэвчлэн олддог хамгийн бүрэн жишээнүүдийг цуглуулахыг хичээсэн практик ажил

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, бүр гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, ажилладаг гурван хэмжээст орон зай. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ямар ялгаа байна? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Төрөл бүрийн хэлбэрээр боловсролын уран зохиолтэмдэглэгээ нь бас өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглэгддэг:

Тодорхойлолтыг хэсэг хэсгээр нь задалцгаая, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Коллинеар векторуудын асуудлыг бага зэрэг дараа авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, "a"-тай "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвч бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Нэгийг нь санацгаая геометрийн томъёо: Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёрдахь нь авъя чухал томъёо. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь тийм чиглэгдсэн байна суурьбайна зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан онгоцны чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар . Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруувектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үүний үр дүнд эрхий хуруу– вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд болон зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь Үүнийг "эх"-тэй нэгтгэх боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг харах хэвээр байна. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж, бидний параллелограммыг нэг шулуун болгож "нугалж" болно. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томьёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл . Хатуухан хэлэхэд векторын бүтээгдэхүүн нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү боловч практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг зүгээр л тэгтэй тэнцүү гэж бичдэг.

Онцгой тохиолдол бол векторын вектор үржвэр юм:

Хөндлөн үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болно энэ даалгаварбусдын дунд бид дүн шинжилгээ хийх болно.

Шийдэхийн тулд практик жишээнүүдшаардлагатай байж болно тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

б) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хэрэв танаас уртын талаар асуусан бол хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулт:

Хариулт нь биднээс асуусан вектор бүтээгдэхүүний талаар огт яриагүй гэдгийг анхаарна уу зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь үгийн утга зохиол мэт санагдаж болох ч багш нарын дунд маш олон үг хэллэгчид байдаг бөгөөд сайн боломждахин хянан засварлах болно. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн ойлгохгүй байна гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. энгийн зүйлсба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

алдартай жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт гурвалжингууд нь таныг ерөнхийд нь зовоож чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй болно:

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараараа онцлон тэмдэглэдэггүй, гэхдээ практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) - ассоциатив эсвэл ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид тогтмолыг модулийн гадна талд шилжүүлж, модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулт:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлдэг. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Сайхан шинж чанараас шалтгаалан эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй (тэг вектор) тэнцүү байна. Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулт:

Үзэж буй асуудал нь нэлээд түгээмэл байдаг туршилтууд, энд бие даасан шийдлийн жишээ байна:

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

, ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Шалгалт нь энэ хичээлийн хэллэгүүдийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Вектор үржвэрийг ол:

Хариулт: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад асуудал цөөн тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолтоос хамаарна, геометрийн утгаболон хэд хэдэн ажлын томъёо.

Холимог хэсэгвекторууд юм гурвын бүтээгдэхүүнвекторууд:

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь арай өөр байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр тэмдэглэж, тооцоолсон үр дүнг тэмдэглэдэг.

Тодорхойлолтоор холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийн үгээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.

Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн өнцгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Нөхцөл байдал нь эдгээр векторуудын уртыг өгөх нь сайн хэрэг. Гэсэн хэдий ч векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайн томъёог координат ашиглан тооцоолсны дараа л хэрэглэж болно.
Хэрэв та азтай бөгөөд нөхцөл нь векторуудын уртыг өгдөг бол та өгүүлэлд аль хэдийн дэлгэрэнгүй авч үзсэн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Талбай нь модулиудын бүтээгдэхүүн ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.

Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.

Даалгавар:Параллелограммыг ба векторууд дээр байгуулна. Хэрэв талбайг ол, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30° байна.
Векторуудыг утгуудаар нь илэрхийлье.

Магадгүй танд асуулт байна - тэгүүд хаанаас гардаг вэ? Бид векторуудтай, тэдний төлөө ажилладаг гэдгийг санах нь зүйтэй . Хэрэв үр дүн гарсан бол түүнийг хувиргах болно гэдгийг мөн анхаарна уу. Одоо бид эцсийн тооцоог хийж байна:

Нөхцөлд векторуудын уртыг заагаагүй үед асуудал руугаа буцъя. Хэрэв таны параллелограмм декартын координатын системд байгаа бол та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй болно.

Координатаар өгөгдсөн зургийн талуудын уртыг тооцоолох

Эхлээд бид векторуудын координатыг олж, төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасна. a векторын координатыг (x1;y1;z1), b векторыг (x3;y3;z3) гэж үзье.
Одоо бид вектор бүрийн уртыг олно. Үүнийг хийхийн тулд координат бүрийг квадрат болгож, дараа нь олж авсан үр дүнг нэмж, эцсийн тооноос үндсийг гаргаж авах шаардлагатай. Бидний векторууд дээр үндэслэн дараахь тооцоог хийх болно.


Одоо бид векторуудынхаа скаляр үржвэрийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд тэдгээрийн харгалзах координатыг үржүүлж, нэмнэ.

Векторуудын урт ба тэдгээрийн скаляр үржвэртэй бол бид тэдгээрийн хооронд байрлах өнцгийн косинусыг олох боломжтой. .
Одоо бид ижил өнцгийн синусыг олж болно:
Одоо бидэнд шаардлагатай бүх хэмжигдэхүүн байгаа бөгөөд бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг хялбархан олох боломжтой.

Дөрвөлжин параллелограмм, дээр баригдсан векторууд, эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрээр тооцно. Хэрэв зөвхөн векторуудын координатууд мэдэгдэж байгаа бол тооцоололд координатын аргууд, тэр дундаа векторуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай.

Танд хэрэгтэй болно

• - векторын тухай ойлголт;
• - векторуудын шинж чанар;
• - Декарт координат;
• - тригонометрийн функцууд.

Заавар

• Хэрэв векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг олохын тулд параллелограмм, дээр баригдсан векторууд, тэдгээрийн модулиудын үржвэрийг (векторын урт) тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олоорой S=│a│ │ b│ sin(α).
• Хэрэв векторуудыг декартын координатын системд өгсөн бол талбайг олохын тулд параллелограммТэдгээр дээр тулгуурлан дараахь зүйлийг хий.
• Векторуудын координатыг нэн даруй өгөөгүй бол векторуудын төгсгөлийн харгалзах координатаас эхлэлээс координатыг хасаж ол. Жишээлбэл, хэрэв координатууд байвал эхлэх цэгвектор (1;-3;2), эцсийнх нь (2;-4;-5) байвал векторын координатууд (2-1;-4+3;-5-2)=(1) болно. ;-1;-7). a(x1;y1;z1) векторын координатууд, b(x2;y2;z2) векторууд байг.
• Вектор тус бүрийн уртыг ол. Вектор координат бүрийг квадрат болгож, x1²+y1²+z1² нийлбэрийг ол. Үр дүнгийн квадрат язгуурыг авна. Хоёр дахь векторын хувьд ижил процедурыг хий. Тиймээс бид │a│ба│b│-г авна.
• Векторуудын цэгэн үржвэрийг ол. Үүний тулд тэдгээрийн харгалзах координатыг үржүүлээд │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2 үржвэрүүдийг нэмнэ.
• 3-р алхамд олж авсан векторуудын скаляр үржвэрийг 2-р алхамд тооцсон векторуудын уртын үржвэрт хуваах тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусыг тодорхойлно уу (Cos(α)= │a b│/(│a) │ │ b│)).
• Үүссэн өнцгийн синус нь 4-р алхамд (1-Cos²(α)) тооцсон 1-ийн тоо ба ижил өнцгийн косинусын квадратын зөрүүний квадрат язгууртай тэнцүү байна.
• Талбайг тооцоолох параллелограмм, дээр баригдсан векторууд 2-р алхамд тооцоолсон уртын үржвэрийг олоод үр дүнг 5-р алхамд тооцоолсны дараа олж авсан тоогоор үржүүлнэ.
• Векторуудын координатыг хавтгайд өгсөн тохиолдолд тооцооллын явцад z координатыг зүгээр л хаядаг. Энэ тооцоо нь хоёр векторын вектор үржвэрийн тоон илэрхийлэл юм.