Kaj se zgodi s površino pravokotnega lista. »Uporaba izpeljank pri reševanju problemov. Kvadrati iz štirih kosov

Khrestina Nadezhda Mikhailovna, učiteljica razvojnega dela z otroki, Nevladna izobraževalna ustanova "Center za otroke "Wonderland", Ryazan [e-pošta zaščitena]

Uporaba elementov TRIZ pri pouku matematike

Opomba. Članek obravnava uporabo pri pouku matematike elementov strukture ustvarjalnega pouka v inovativnem pedagoški sistem NFTMTRIZ. Avtor predlaga metodološki razvoj pouk matematike v 5. razredu, ki prikazuje, kako razvijati ustvarjalne sposobnosti učencev znotraj šolski kurikulum. Ključne besede: univerzalno učne dejavnosti, ustvarjalno mišljenje, sistemsko-dejavnostni pristop, ustvarjalni pouk, refleksija.

Matematika je veda, ki je pomembna za vsakogar. Otroka že od malih nog obdaja svet števil, oblik itd. In hkrati je ta svet zelo kompleksen in večplasten. Mnogi otroci, ki se soočajo s težavami pri učenju snovi, izgubijo zanimanje za snov in »neznanje« se kopiči kot snežna kepa. Zato se učitelj sooča s težavo: ne le poučevati, ampak tudi vzbuditi zanimanje in s tem dati otroku orodja za samostojno obvladovanje novega znanja (univerzalne učne dejavnosti) Naloga učitelja je narediti lekcijo zanimivo, vznemirljivo, z uporabo različnih učnih metod, sistematično razvijati otrokovo ustvarjalno mišljenje, sposobnost delati s problemom in ga reševati, sklepati, iskati nove izvirne pristope, videti lepoto rezultatov Zvezni državni izobraževalni standard (FSES) glavnega splošno izobraževanje z dne 17. 12. 2010. Temelji na sistemsko dejavnostnem pristopu, z vrednoto svobodne in odgovorne osebnosti dijaka. Standard narekuje, da se oddaljimo od učilnega sistema Johna Amosa Comeniusa, v katerem je učitelj »pripovedovalec«, učenci pa »ponavljalci« Nove vrste lekcij, kot so: » nevihta možganov", spor, projektne aktivnosti, bo pomagal otroku v nenehno spreminjajočem se svetu. Kakšne rezultate mora učitelj doseči kot rezultat svojega dela? odgovoren odnos do učenja, sposobnost samorazvoja in samoizobraževanja, ki temelji na motivaciji za učenje in spoznavanje, zavestna izbira poklici; razvijati komunikacijsko zmožnost; sposobnost postavljanja ciljev, iskanja načinov za njihovo doseganje, obvladovanje osnov samokontrole ipd. Prav tako mora študent imeti zadostna znanja in kompetence, biti sposoben odgovarjati za svoja dejanja in njihove posledice, spoštovati zakone, biti svoboden in odgovoren, strpen državljan, ki vodi k povečanju števila izumov in novih poklicev, mora biti študent pripravljen na nenehno spreminjajoče se zahteve trga dela Da bi dosegel vse te rezultate, mora učitelj ne samo prenašati znanja, temveč mora »učiti, kako se učiti«. oblikovati osebne in metapredmetne rezultate. Spremenila se je sama formulacija rezultatov, saj mora otrok sedaj obvladati načine delovanja, t.j. univerzalne učne dejavnosti, ki so metapredmetni rezultati. Samo totalnost univerzalna dejanja bo ponudil priložnost za razvoj učenčeve sposobnosti učenja kot sistema Eden od učiteljevih pomočnikov pri načrtovanju lekcije o zveznem državnem izobraževalnem standardu tehnološki zemljevid lekcija. Omogoča jasno sledenje, kako in na kateri stopnji se oblikujejo določena univerzalna vzgojna dejanja. Pri doseganju ciljev si učitelj lahko pomaga z uporabo elementov kreativnega pedagoškega sistema kontinuiranega izobraževanja kreativno razmišljanje(NFTM), ki vsebuje orodja iz teorije inventivnega reševanja problemov (TRIZ). To študentom omogoča razvoj ustvarjalna domišljija in domišljijo, sistematično in dialektično razmišljanje. Uporaba strukture ustvarjalnega pouka v šoli vam omogoča, da naredite pouk svetlejši, manj stresen za otroka, da otrok ostane osredotočen skozi pouk in, kar je najpomembneje, da mu ne zagotovite že pripravljenega. znanja, temveč mu dajte možnost, da ga pridobi tudi sam pomembno vprašanje je delni prehod od problemov zaprtega tipa do problemov odprtega tipa. Problemi odprtega tipa, ki vplivajo na vsakodnevno izkušnjo učencev, prisilijo učence k razmišljanju že ob branju pogoja, saj je premalo, »zamegljeno« in lahko vsebuje odvečne informacije. Različne metode reševanja vodijo do uničenja psihološke vztrajnosti - navada standardnih dejanj v znani situaciji ali želja po razmišljanju in delovanju v skladu z nabranimi izkušnjami pomaga otroku učiti refleksijo in samospoštovanje. O popolni opustitvi zaprtih nalog ne moremo govoriti. Dobri so v majhnih količinah, ko morate samo dobiti določeno formulo ali lastnost. Toda razlaga nove snovi ne more biti brez težav. Navsezadnje je prvo vprašanje v glavah otrok po branju teme v razredu: "Zakaj mi je to treba?" ali “Kje mi bo to koristilo?” Vse našteto nam daje sistem NFTM - nenehno oblikovanje kreativnega mišljenja in razvoja ustvarjalnost Predstavljam učno uro matematike v 5. razredu z elementi strukture kreativnega pouka v inovativnem pedagoškem sistemu NFTMTRIZ na temo »Ploščina pravokotnika. Enote površine" Vrsta lekcije: Lekcija o učenju novega materiala. Cilji lekcije: 1. Predmet: oblikovati pri študentih predstavo o površini figure, vzpostaviti povezave med merskimi enotami površine, uvesti študente na formule za ploščino pravokotnika in kvadrata. Osebno: razviti sposobnost določanja načinov delovanja v okviru predlaganih pogojev in zahtev, prilagoditi svoja dejanja v skladu s spreminjajočo se situacijo.3. Metapredmet: razvijati sposobnost videnja matematična težava v kontekstu problemske situacije, v okoliškem življenju Načrtovani rezultati:

učenci bodo spoznali ploščino likov in njene lastnosti, naučili se bodo povezovati med ploščinskimi enotami, uporabljati formule za ploščino pravokotnika in kvadrata; in sklepati; učenci bodo razvijali kognitivni interes skozi igralne trenutke »mali čudež«; pridobivali komunikacijske veščine dela v skupinah in parih: A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Matematika 5. razred. Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov. 2014.

Faze lekcije Cilji stopnje Dejavnosti učitelja Dejavnosti učencev UUD 1. Motivacija Ustvarite ugodno psihološko razpoloženje za delo, motivirajte učence za lekcijo, preverjanje pripravljenosti za usposabljanje, organiziranje pozornosti otrok: najprej je 1 velika kocka v prozornem ohišju, po udarcu v ohišje se v njem pojavi 8 malih - Kako se je to zgodilo? zadnja lekcija? - Danes bomo nadaljevali z delom s pravokotniki. Vključite se v poslovni ritem lekcije.

Fantje poskušajo rešiti trik. Aktivirajo svoje znanje iz prejšnje lekcije.

Osebni: samoorganiziranje Komunikacijski: kognitivno: raziskovalne sposobnosti. na multimedijskem projektorju so prikazane slike. Da pride do svojega vrta, mora lastnik modre parcele skozi sosedovo rdečo parcelo. Kaj storiti? Vstop na spletna mesta

Slika 1 Iz izkušenj vemo, da imajo enake parcele enake površine – kakšen sklep lahko potegnemo? Težava: Moški se je odločil pobarvati tla v svoji dači. Toda tla imajo nenavadno obliko. Vendar ne ve, koliko barve je potrebno; v pločevinki piše 100 g na 1 m2. Površina manjše figure je 12m2, površina večje pa 20m2. Kaj storiti?

Predlagajo različice, kako rešiti spor. Skupaj z učiteljem izberejo pravega: modri mora rdečemu vzeti kos zemlje, v zameno pa mu dati enakovredno.

Ugotovijo: enake figure imajo enake površine, skupaj izberemo pravilno: moramo sešteti ploščini dveh številk in ugotoviti porabo barve. Učenci sami izpeljejo drugo lastnost lik je enak vsoti površin figur, iz katerih je sestavljen izobraževalne dejavnosti.Komunikativnost: sposobnost timskega dela, sposobnost zagovarjanja lastnega stališča, razvoj kreativnega mišljenja.

Slika 2 Hevristični pogovor z elementi metode poskusov in napak. Na učiteljevi mizi so ravnilo, šestilo in kotomer. Govorili smo o ploščini, a kako jo lahko izmerimo? Izmerimo ploščino naše plošče. – Kaj imamo za merjenje kotov? segment enote. Kako imenujemo tak kvadrat? Če želite izmeriti površino, morate prešteti, koliko enotskih kvadratov se prilega vanjo?

Fantje preletijo vsa možna orodja in pridejo do zaključka, da niso dovolj.

– Ravnilo, enotski kot – Eden od učencev izračuna s pomočjo vnaprej pripravljenega enotskega kvadrata s stranico 1 m enota kvadrata se prilega dvari, kar pomeni, da je površina plošče 2 m 2. Zapišemo temo lekcije v zvezku: "Območje pravokotnika." 3. Dajte študentom možnost spremembe vrsto dejavnosti. Težave za razvoj ustvarjalnih sposobnosti 1. Par konj je pretekel 20 km. Koliko kilometrov je pretekel vsak konj? (20 km) 2. V kletki so bili 4 zajci. Štirje fantje so kupili enega od teh zajcev in en zajec je ostal v kletki. Kako se je to lahko zgodilo? (Kupljen je bil en zajec skupaj s kletko) 3. V dveh denarnicah sta dva kovanca, v eni denarnici pa dvakrat več kovancev kot v drugi. Kako je to mogoče? (Ena denarnica leži v drugi) Razred je razdeljen v skupine po 6 ljudi, v skupinah učitelj izbere kapitana, ki po pogovoru o problemu izbere pravilen odgovor. Za razpravo je na voljo 1 minuta.

Osebno: samoodločanje.. Komunikativno: interakcija s partnerji v skupnih dejavnostih.

4. Dva sinova in dva očeta sta pojedla 3 jajca. Koliko jajc je pojedel vsak? (Vsak po eno jajce). Igra: »S komolcem leve roke se dotakni desnega ušesa soseda na levi.« 4. Uganka.

Predstavljajte si sistem vse bolj zapletenih ugank, utelešenih v realnih predmetih 1. Koliko centimetrov v: 1 dm, 5 m 5 cm; m, 800 cm 3. Čoln je prevozil v 5 urah 40 km. V koliko urah bo pretekel 24 km z isto hitrostjo 4. Katero številko je treba postaviti namesto zvezdic 1*+3*+5*=111 5. Vpiši magični kvadrat10?

Pravilni odgovori.

Slika 3 V zvezek si zapišejo le odgovore, nato si s sošolcem izmenjajo zvezke in se med seboj preverjajo. Na koncu se na ekranu izpišejo pravilni odgovori Regulativni: samoregulacija čustvenih in funkcionalnih stanj Komunikativni: sposobnost iskanja rešitev za probleme. Razvoj ustvarjalnega mišljenja.

5.Intelektualno ogrevanje.Razvoj logično razmišljanje in ustvarjalnost.1.Stranica pravokotnega lista papirja ima celo število dolžine (v centimetrih), površina lista pa je 12 cm2. Koliko kvadratov s površino 4 cm2 lahko izrežete iz tega pravokotnika 2. Naslednja risba je prikazana na tabli skozi projektor. Slika 4. V pravokotniku ABCD je bila izrezana pravokotna luknja. Kako dobljeno figuro razdeliti na dve ploskvi z enim ravnim rezom, ostali delajo s svojega mesta. veščine sodelovanja z učiteljem in vrstniki: veščine raziskovalne dejavnosti.

Vsebuje programsko gradivo tečaj usposabljanja in zagotavlja oblikovanje sistematičnega razmišljanja in razvoj ustvarjalnih sposobnosti. Ali nam je bilo težko izračunati površino stadiona, pojdimo in se vrnimo k problem s ploščo. Če je ena stran plošče 2 m in druga stranica 1 m, je plošča pravokotne oblike, potem jo lahko razdelimo na 2 × 1 kvadrata. Torej, kakšna je površina plošče? Če sta a in b sosednji stranici pravokotnika, izraženi v enakih enotah. Kako najti območje takšnega pravokotnika?

Problem: Kako najti ploščino pravilnega štirikotnika, v katerem so vse stranice in koti enaki?

Uvajajo se nove merske enote za površino: ar (površina), hektar.1 a = 10 m * 10 m = 100 m2

1 ha = 100 m* 100 m = 10000 m2

Katere meritve zahtevajo tako velike enote površine?

S= a b Zapišite formulo v zvezek. Dijaki razpravljajo o problemu v skupinah, ki so jih predhodno oblikovali na psihološkem ogrevanju, le ena skupina postane strokovnjak (po poslušanju predloženih verzij jih obdela in ponudi tisto, ki je po njihovem mnenju pravilna). Sledi razprava o rešitvi problema. Nato v zvezke zapišemo dobljeno formulo za površino kvadrata S = a 2

– Izmeriti površino zemljišč, vasi, stadionov itd. Osebno: samoodločba: razvoj ureditve izobraževalnih dejavnosti: sposobnost timskega dela, slišati in spoštovati mnenja drugih. sposobnost zagovarjanja svojega stališča Kognitivne: raziskovalne sposobnosti .Razvoj kreativnega mišljenja.

7. Računalniško intelektualno ogrevanje Zagotavljanje motivacije in razvoja mišljenja.

Test na računalniku kontrolira število napak, slika 5.

Učenci delajo na računalniku v paru, opravljajo test. Regulativni: razvoj regulacije izobraževalnih dejavnosti: sposobnost poslušanja in spoštovanja mnenj drugih. Kognitivno: iskanje rešitve problema. Povzetek Povzemite lekcijo. Učitelj predlaga tiste, ki jim je bila lekcija všeč, če se jim je lekcija zdela dolgočasna.

Domača naloga: Podan je kvadrat s stranico 8 cm. Z večbarvnimi kosi razloži in nato ovrži mojo hipotezo: 8 * 8 = 65 Slika 6 Učenci ocenjujejo lekcijo, svoja dejanja pri lekciji in dejanja svojih vrstnikov.

– Formula za ploščino pravokotnika, kvadrata, enota za merjenje površine Učenci izvedejo poskus z deli kvadrata Sq = 8 * 8 = 64 cm2 Sestavimo pravokotnik iz kosov. Slika 7 Sp = (8+5) * 5 = 65 cm2

Takšni izračuni nastanejo med deli pri sestavljanju pravokotnika. Osebni: samorazvoj moralne zavesti in usmerjenosti učencev na področju moralnih in etičnih odnosov sposobnost izražanja svojih misli z zadostno popolnostjo in natančnostjo Kognitivna: refleksija.

Povezave do virov1.Zvezna država izobrazbeni standard osnovna splošna izobrazba. Zvezni zakon Ruske federacije z dne 17. decembra 2010 št. 1897FZ.2.M.M.Zinovkina. NFTMTRIZ: kreativna vzgoja XXI stoletja. Moskva, 2007. –313s.

Primer 1 . Iz žice dolžine 20 cm morate narediti pravokotnik z največjo površino. Poiščite njegove dimenzije.

rešitev: Označimo eno stran pravokotnika z x cm, potem bo druga (10-x) cm, površina S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 ;

S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5;

Glede na pogoje problema x (0;10)

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;5) in na intervalu (5;10). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “-”. Torej: x=5 največja točka, S(5)=25cm 2 – najvišjo vrednost. Zato je ena stranica pravokotnika 5cm, druga 10x=10-5=5cm;

Primer 2. Zemljišče s površino 2400 m2 mora biti razdeljeno na dva pravokotna dela, tako da je dolžina ograje minimalna. Poiščite velikosti ploskev.

rešitev: Eno stran ploskve označimo z x m, potem bo druga m, dolžina ograje je P(x) = 3x+;

P/(x) = 3-; P / (x) = 0; 3 x 2 = 4800; x=40. Vzamemo le pozitivno vrednost glede na pogoje problema.

Glede na pogoje problema x (0; )

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;40) in na intervalu (40; ?). Izpeljanka spremeni predznak iz “-” v “+”. Zato je x=40 najmanjša točka, torej P(40)=240m najmanjša vrednost, kar pomeni, da je ena stran 40 m, druga = 60 m.

Primer 3. Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. pri dane velikosti obsega 1 m, je potrebno območje ograditi tako, da je površina čim večja.

rešitev:

Označimo eno stran pravokotne ploskve z x m, potem bo druga (-2x)m, ploskev S(x)= (-2x)x = x -2x 2;

S/(x)= -4x; S/(x)=0; -4x; x = ;

Glede na pogoje problema x (0; )

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0; ) in na intervalu ( ; ). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “-”. Zato je x = največja točka. Zato je ena stran ploskve = m, druga -2x = m;

Primer 4. Iz pravokotnega lista kartona s stranicami 80 cm in 50 cm morate narediti pravokotno škatlo, tako da na robovih izrežete kvadrate in zložite nastale robove. Kako visoka naj bo škatla, da bo imela največjo prostornino?

rešitev: Označimo višino škatle (to je stranica izrezanega kvadrata) z x m, potem bo ena stran podstavka (80-2x) cm, druga (50-2x) cm, prostornina V(x) = x(80-2x)(50-2x) =4x 3 -260x 2 +4000x;

V / (x)=12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; x 1 =10; x 2 =

Glede na pogoje problema x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0; 10) in na intervalu (10; 25). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “-”. Zato je x = 10 največja točka. Zato je višina škatle = 10 cm.

Primer 5. Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. Pri podanem obodu 20 m je potrebno območje ograditi tako, da je območje čim večje.

rešitev:

Označimo eno stran pravokotnika z x m, potem bo druga (20 -2x) m, površina S(x)= (20-2x)x=20x -2x 2;

S / (x) = 20 -4x; S/(x)=0; 20 -4x =0; x = =5;

Glede na pogoje problema x (0; 10)

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0; 5) in na intervalu (5; 10). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “-”. Zato je x = 5 največja točka. Zato je ena stran ploskve = 5 m, druga 20 -2x = 10 m;

Primer 6 . Da bi zmanjšali trenje tekočine ob stene in dno kanala, je potrebno čim manjše območje, ki ga zmoči. Potrebno je najti dimenzije odprtega pravokotnega kanala s površino prečnega prereza 4,5 m 2, pri katerem bo mokra površina najmanjša.

rešitev:

Označimo globino jarka z x m, potem bo širina m, P(x)=2x+;

P/(x) = 2-; P / (x) = 0; 2x 2 = 4,5; x=1,5. Vzamemo le pozitivno vrednost glede na pogoje problema.

Glede na pogoje problema x (0; )

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;1,5) in na intervalu (1,5;?). Izpeljanka spremeni predznak iz “-” v “+”. Torej je x=1,5 najmanjša točka, zato je P(1,5)=6m najmanjša vrednost, kar pomeni, da je ena stran jarka 1,5m, druga =3m.

Primer 7. Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. Pri danem obsegu 200 m je potrebno območje ograditi tako, da je območje čim večje.

Oddelki: Matematika

Cilj lekcije:

• Posploševanje in sistematizacija pridobljenega znanja.
• Razširitev študentovega razumevanja reševanja problemov, ki vključujejo iskanje največjih in najmanjših vrednosti.

Napredek lekcije

1. stopnja lekcije

Uvod učitelja: Vsak človek se od časa do časa znajde v situaciji, ko mora najti najboljši način za rešitev težave.

Na primer: procesni inženirji poskušajo organizirati proizvodnjo tako, da pridobijo čim več izdelkov, konstruktorji želijo načrtovati naprave za vesoljska ladja tako da je masa naprave minimalna itd.

Lahko rečemo, da obstajajo težave pri iskanju največjih in najmanjših vrednosti praktična uporaba.

Da bi dokazal svoje besede, želim citirati zgodbo L.N. Tolstojev "Koliko zemlje potrebuje človek" o kmetu Pakhomu, ki je kupil zemljo od Baškirjev.

- Kakšna bo cena? - pravi Pakhom.
- Imamo eno ceno: 1000 rubljev. na dan.
Pakhom ni razumel.
- Kakšna mera je dan? Koliko desetin bo?
"Ne vemo, kako naj to preštejemo," pravi. In prodamo v enem dnevu; Koliko stanete na dan, je vaše, cena pa je 1000 rubljev.
Pakhom je bil presenečen.
"Toda to," pravi, "bo pokrilo veliko tal v enem dnevu."
Delovodja se je zasmejal.
"Vse tvoje," pravi. - Samo en dogovor: če se še isti dan ne vrnete na kraj, kjer ste začeli, je vaš denar izginil.
"Toda kako," pravi Pakhom, "lahko označim, kje bom šel mimo?"
- In stali bomo na mestu, ki ga izberete; Mi bomo stali, vi pa pojdite, naredite krog in vzemite s seboj strgalo in, kjer je treba, opazite, na vogalih luknje postavite roj trate; Potem bomo šli s plugom od luknje do luknje. Vzemite katerikoli krog, ki ga želite, le vrnite se na mesto, od koder ste začeli pred sončnim zahodom. Karkoli greš okoli, je vse tvoje.

Številka, ki si jo je zamislil Pakhom, je prikazana na sliki. Kakšna figura je to? (Pravokotni trapez)

vprašanje: Mislite, da je Pakhom prejel največjo površino? (glede na to, da so parcele praviloma pravokotne oblike)? Danes v razredu bomo izvedeli.

Za rešitev tega problema se moramo spomniti, katere faze so vključene v reševanje ekstremnih problemov?

1. Naloga je prevedena v funkcijski jezik.
2. Orodja za analizo iščejo največjo ali najmanjšo vrednost.
3. Ugotovite, kakšen praktični pomen ima dobljeni rezultat.

Naloga št. 1 (Odločimo se kot razred)

Obseg pravokotnika je 120 cm. Koliko naj bodo stranice pravokotnika, da bo ploščina največja.

Vrnimo se k problemu, s katerim smo začeli lekcijo. Ali je Pakhom prejel največjo površino (glede na to, da so parcele običajno pravokotne oblike)? Z učenci se pogovorimo, kakšno največjo površino bi lahko pridobili s Pakhomom.

2. stopnja lekcije

Vnaprej zapisane naloge na tabli so opremljene z razlago (dve sta).

Naloga št. 1

Ugotovite, pod kakšnimi pogoji je poraba kositra za proizvodnjo pločevinke cilindrična oblika dane kapacitete bo najmanjša.
Fantje bi rad opozoril na dejstvo, da se v naši državi proizvaja na stotine milijonov pločevink, prihranek porabe kositra za vsaj 1% pa nam bo omogočil dodatno proizvodnjo milijonov pločevink.

Naloga št. 2

Čolni se nahajajo 3 km od najbližje točke A na obali. Na točki B, ki se nahaja 5 km od A, gori. Čolnar želi priskočiti na pomoč, zato mora priti v najkrajšem možnem času. Čoln se giblje s hitrostjo 4 km/h, potnik pa 5 km/h. Na kateri točki obale naj čolnar pristane?

3. stopnja lekcije

Delo v skupinah z naknadno zaščito nalog.

Naloga št. 1

Eden od obrazov pravokotni paralelopiped- kvadrat. Vsota dolžin robov, ki izhajajo iz ene oglišča paralelopipeda, je enaka 12. Poiščite njegovo največjo možno prostornino.

Naloga št. 2

Za namestitev opreme je potrebno stojalo s prostornino 240 dm 3 v obliki pravokotnega paralelopipeda. Osnova stojala, ki ga bomo vgradili v tla, je pravokotnik. Dolžina pravokotnika je trikrat večja od širine. Zadnja daljša stena stojala bo vgrajena v steno delavnice. Pri namestitvi stojala so njegove stene, ki niso vgrajene v tla ali steno, med seboj povezane z varjenjem. Določite mere stojala, pri katerih bo skupna dolžina zvara najkrajša.

Naloga št. 3

Iz okroglega hloda je izrezan tram s pravokotnim prečnim prerezom največje površine. Poiščite mere preseka trama, če je polmer preseka hloda 30 cm.

Naloga št. 4

Iz pravokotnega lista kartona s stranicami 80 cm in 50 cm morate narediti pravokotno škatlo, tako da na robovih izrežete kvadrate in zložite nastale robove. Kako visoka naj bo škatla, da bo imela največjo prostornino? Poiščite ta zvezek.

4. stopnja lekcije

Reševanje nalog izbirnega ocenjevanja.

Naloga št. 1

Iz žice dolžine 80 cm morate narediti pravokotnik z največjo površino. Poiščite njegove dimenzije.

Naloga št. 2

Vsota dolžin robov pravilne trikotne prizme je 18√3. Poiščite največjo možno prostornino takšne prizme.

Naloga št. 3

Diagonala pravokotnega paralelopipeda, katerega ena stranska ploskev je kvadrat, je enaka 2√3. Poiščite največjo možno prostornino takega paralelepipeda.

5. stopnja lekcije

Stran 6 od 8

peto poglavje.

IZGINOTJE FIGUR. ODDELEK I

V tem in naslednjem poglavju bomo spremljali razvoj številnih izjemnih geometrijskih paradoksov. Vsi se začnejo z rezanjem figure na kose in končajo s sestavljanjem nove figure iz teh kosov. V tem primeru se zdi, da je del originalne figure (to je lahko del površine figure ali ena od več risb, upodobljenih na njej) izginil brez sledu. Ko se kosi vrnejo na svoja prvotna mesta, se izginuli del območja ali dizajna spet skrivnostno pojavi.

Geometrična narava teh nenavadnih izginotij in ponovnih pojavov upravičuje razvrstitev teh paradoksov kot matematične uganke.

Paradoks s črtami

Vsi številni paradoksi, ki jih bomo tukaj obravnavali, temeljijo na istem principu, ki ga bomo poimenovali "načelo prikrite redistribucije". Tukaj je en zelo star in zelo elementaren paradoks, ki takoj pojasni bistvo tega načela.

Na pravokoten list papirja narišite deset navpičnih črt enake dolžine in narišite diagonalo s pikčasto črto, kot je prikazano na sl. 50.

Oglejmo si segmente teh črt nad in pod diagonalo; zlahka opazimo, da se dolžina prvega zmanjšuje, drugega pa ustrezno povečuje.

Odrežite pravokotnik vzdolž črtkane črte in premaknite spodnji del navzdol v levo, kot je prikazano na sl. 51.

Ko preštejete število navpičnih črt, boste ugotovili, da jih je zdaj devet. Katera vrstica je izginila in kam? Premaknite levi del nazaj v prvotni položaj in izginila črta se bo znova pojavila.

Toda katera linija je padla na svoje mesto in od kod prihaja?

Sprva se ta vprašanja zdijo skrivnostna, a po kratkem razmisleku postane jasno, da nobena ločena vrstica ne izgine ali se pojavi. Zgodi se, da je teh osem prirastkov popolnoma enakih dolžini vsake prvotne črte.

Morda bo bistvo paradoksa še jasneje razvidno, če ga ponazorimo s kamenčki.

Vzemimo pet kupčkov kamenčkov, štiri kamenčke na kupček. Prestavimo en kamenček iz drugega kupčka v prvega, dva kamenčka iz tretjega v drugega, tri iz četrtega v tretjega in nazadnje vse štiri kamenčke iz petega v četrtega. riž. 52 pojasnjuje naša dejanja.

Po takem premiku se izkaže, da so le štirje kupčki. Na vprašanje, kateri kup je izginil, je nemogoče odgovoriti, saj so bili kamenčki prerazporejeni tako, da je bil vsakemu od štirih kupčkov dodan kamenček. Popolnoma isto se zgodi v paradoksu črte. Ko se deli lista premaknejo diagonalno, se segmenti linij reza prerazporedijo in vsaka nastala črta postane nekoliko daljša od prvotne.

Izginotje obraza

Nadaljujmo z opisom načinov, kako lahko paradoks črte naredimo bolj zanimiv in zabaven. To lahko na primer dosežemo z zamenjavo izginotja in pojava linij z enakim izginotjem in videzom ravnih likov. Tu so še posebej primerne podobe svinčnikov, cigaret, opek, visokih klobukov, kozarcev vode in drugih navpično razširjenih predmetov, katerih narava podobe ostaja enaka pred in po premiku. Z nekaj umetniške iznajdljivosti se lahko lotite bolj zapletenih predmetov. Poglejte na primer izginjajoči obraz na sl. 53.
Če spodnji trak na vrhu dizajna premaknete v levo, ostanejo vsi klobuki nedotaknjeni, en obraz pa popolnoma izgine! (glej spodnji del slike). Nima smisla spraševati, kateri obraz, saj premik štiri obraze razdeli na dva. Ti deli se nato prerazporedijo, pri čemer vsak obraz dobi več dodatnih funkcij: eno, na primer, več dolg nos, drugo - bolj podolgovata brada itd. Vendar pa so te majhne prerazporeditve spretno skrite in izginotje celotnega obraza je seveda veliko bolj presenetljivo kot izginotje koščka črte.

"Izginjajoči bojevnik"

V tej uganki ima paradoks črte krožno obliko, ravne segmente pa nadomestijo figure 13 bojevnikov (slika 54).
Velika puščica kaže proti severovzhodu. Če se risba razreže vzdolž kroga, nato pa se notranji del začne obračati v nasprotni smeri urinega kazalca, se figure najprej razdelijo na dele, nato spet povežejo, vendar na drugačen način. velika puščica bo puščica kazala proti severozahodu SZ, bo na sliki 12 bojevnikov (sl. 55).
Ko se krog vrti v nasprotni smeri, dokler velika puščica spet ne stoji na SV, se bo izginuli bojevnik znova pojavil.

Če sl. 54 Če pogledate natančneje, boste opazili, da sta dva vojščaka v spodnjem levem delu slike nameščena na poseben način: stojita drug nasproti drugega, medtem ko so vsi ostali postavljeni v verigi. Ti dve sliki ustrezata skrajnima črtama v paradoksu segmenta črte. Glede na zahteve risbe bi morala vsaka od teh figur manjkati del noge, in da bi bila ta napaka v obrnjenem položaju kolesa manj opazna, bi bilo bolje, da bi jih prikazali drug ob drugem.

Omenimo še, da so bojevniki na sliki upodobljeni z veliko večjo iznajdljivostjo, kot se morda zdi na prvi pogled. Torej, na primer, da bi številke ostale v navpičnem položaju na vseh mestih na svetu, je treba v enem primeru imeti desno nogo namesto leve, v drugem pa, nasprotno, namesto desna noga, leva noga.

Pogrešani zajec

Paradoks navpičnih črt je očitno mogoče prikazati na bolj zapletenih predmetih, na primer človeških obrazih, živalskih figurah itd. Na sl. Slika 56 prikazuje eno možnost.
Ko po rezanju po debeli črti pravokotnika A in B zamenjata, en zajec izgine, na njegovem mestu pa ostane velikonočno jajce. Če namesto prerazporeditve pravokotnikov A in B desno polovico slike prerežete po črtkani črti in desne dele zamenjate, se število zajcev poveča na 12, a en zajec izgubi ušesa in pojavijo se druge smešne podrobnosti.

Šesto poglavje.

IZGINOTJE FIGUR. ODDELEK I jaz

Paradoks šahovnice

S paradoksi, obravnavanimi v prejšnjem poglavju, je tesno povezan drug razred paradoksov, v katerem »načelo skrite prerazporeditve« pojasnjuje skrivnostno izginotje ali videz kvadratov. Eden najstarejših in najbolj preprosti primeri Paradoksi te vrste so prikazani na sl. 57.
Šahovnica je prerezana diagonalno, kot je prikazano na levi polovici slike, nato pa se del B premakne navzdol v levo, kot je prikazano na desni polovici slike. Če trikotnik, ki štrli v zgornjem desnem kotu, odrežemo s škarjami in ga postavimo na prosti prostor, ki izgleda kot trikotnik v spodnjem levem kotu slike, dobimo pravokotnik 7x9 kvadratnih enot.

Prvotna površina je bila 64 kvadratnih enot, zdaj pa je 63. Kam je izginila ena manjkajoča kvadratna enota?

Odgovor je, da naša diagonalna črta poteka nekoliko pod spodnjim levim kotom polja, ki se nahaja v zgornjem desnem kotu plošče.

Zahvaljujoč temu ima izrezan trikotnik višino, ki ni enaka 1, ampak 1 1/7. In tako višina ni 9, ampak 9 1/7 enot. Povečanje višine za 1/7 enote je skoraj neopazno, vendar ob upoštevanju povzroči zahtevano površino pravokotnika 64 kvadratnih enot.

Paradoks postane še bolj presenetljiv, če namesto šahovnice vzamemo samo kvadratni list papirja brez celic, saj se v našem primeru ob natančnem preučevanju razkrije površno zaprtje celic vzdolž linije reza.

Povezava med našim paradoksom in paradoksom navpičnih črt, o katerem smo govorili v prejšnjem poglavju, postane jasna, če sledimo celicam blizu črte reza. Pri premikanju navzgor vzdolž črte reza ugotovimo, da se deli celic reza nad črto (na sliki so zatemnjeni) postopoma zmanjšujejo, pod črto pa se postopoma povečujejo. Na šahovnici je bilo petnajst zatemnjenih polj, na pravokotniku, ki je nastal po preurejanju figur, pa jih je bilo le štirinajst. Navidezno izginotje ene zatemnjene celice je preprosto še ena oblika zgoraj obravnavanega paradoksa. Ko izrežemo in nato premešamo mali trikotnik, dejansko razrežemo del A šahovnice na dva dela, ki ju nato po diagonali zamenjamo.

Za sestavljanko so pomembne le celice, ki mejijo na linijo reza, ostale nimajo pomena in igrajo vlogo oblikovanja. Vendar njihova prisotnost spremeni naravo paradoksa. Namesto izginotja ene od več majhnih celic (ali nekoliko bolj zapletene figure, recimo igralne karte, človeškega obraza ipd., ki bi jo lahko narisali znotraj vsake celice), se soočamo s spremembo območja velik geometrijski lik.

Paradoks s površino

Tukaj je še en paradoks s površino. S spreminjanjem položaja delov A in C, kot je prikazano na sl. 58, lahko pravokotnik s 30 kvadratnimi enotami spremenite v dva manjša pravokotnika z skupna površina 32 kvadratnih enot, s čimer dobimo "dobiček" dveh kvadratnih enot. Tako kot v prejšnjem paradoksu tudi tukaj igrajo vlogo le celice, ki mejijo na linijo reza. Ostali so potrebni le kot okras.
V tem paradoksu sta bistvena dva različne načine rezanje figure na kose.

Začnete lahko z velikim pravokotnikom, ki meri 3x10 enot (zgornji del slike 58), vanj previdno narišete diagonalo, nato dva manjša pravokotnika ( spodnji del riž. 58) bodo za 1/5 enote krajši od njihovih navideznih dimenzij.

Začnete pa lahko tudi s figuro, sestavljeno iz dveh lepo narisanih manjših pravokotnikov, ki merita 2x6 in 4x5 enot; potem segmenti, ki povezujejo točko X s točko Y in točko Y s točko Z, ne bodo tvorili ravne črte. In samo zato, ker je top kot, ki ga tvorita z vrhom v točki Y, zelo blizu raztegnjenega, se zdi, da je lomljena črta XYZ ravna črta. Zato figura, sestavljena iz delov majhnih pravokotnikov, dejansko ne bo pravokotnik, saj se bodo ti deli rahlo prekrivali po diagonali. Tudi paradoks šahovnice, tako kot večino drugih paradoksov, ki jih bomo obravnavali v tem poglavju, lahko predstavimo v dveh različicah. V enem od njih se paradoks pojavi zaradi rahlega zmanjšanja ali povečanja višine (ali širine) figur, v drugem pa zaradi povečanja ali izgube površine vzdolž diagonale, ki jo povzroči prekrivanje figure, kot v pravkar obravnavanem primeru, ali s pojavom praznih prostorov, s katerimi se bomo kmalu srečali.

S spreminjanjem velikosti figur in naklona diagonale lahko ta paradoks dobi različne oblike. Lahko dosežete izgubo ali pridobitev površine 1 kvadratne enote ali 2, 3, 4, 5 enot itd.

Možnost s kvadratom

V eni čedni različici izvirna pravokotnika 3x8 in 5x8, ko sta postavljena drug poleg drugega, tvorita navadno šahovnico 8x8. Ti pravokotniki so razrezani na kose, ki po prerazporeditvi tvorijo nov velik pravokotnik z navideznim povečanjem površine za eno kvadratno enoto (slika 59).
Bistvo paradoksa je naslednje. Pri skrbnem sestavljanju risbe kvadrata se stroga diagonala velikega pravokotnika ne izide. Namesto tega se pojavi figura v obliki diamanta, ki je tako podolgovata, da se zdi, da se njene stranice skoraj zlijejo. Po drugi strani pa, če natančno narišete diagonalo velikega pravokotnika; višina vrha obeh pravokotnikov, ki sestavljata kvadrat, bo nekoliko večja, kot bi morala biti, spodnji pravokotnik pa bo nekoliko širši. Upoštevajte, da je netočno zapiranje delov figure pri drugi metodi rezanja bolj presenetljivo kot netočnosti vzdolž diagonale pri prvi; zato je prva metoda boljša. Kot v prejšnjih primerih lahko znotraj celic, razrezanih diagonalno, narišete kroge, obraze ali neke vrste figure; pri preurejanju komponente pravokotniki teh figur bodo postali en več ali manj.

Fibonaccijeva števila

Izkazalo se je, da so dolžine stranic štirih delov, ki sestavljajo številke (sliki 59 in 60), člani Fibonaccijeve vrste, to je serije števil, ki se začne z dvema enotama: 1, 1, vsaka od ki je, začenši s tretjim, vsota dveh prejšnjih. Naša serija izgleda kot 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...
Razporeditev delov, ki smo jih izrezali v kvadrat v obliki pravokotnika, ponazarja eno od lastnosti Fibonaccijeve vrste, in sicer tole: pri kvadriranju kateregakoli člena te vrste se zmnožek dveh sosednjih členov serije plus oz. dobimo minus ena. V našem primeru je stranica kvadrata 8, ploščina pa 64. Osmica v Fibonaccijevem nizu se nahaja med 5 in 13. Ker števili 5 in 13 postaneta dolžini strani pravokotnika, je njegova ploščina mora biti enako 65, kar pomeni povečanje površine za eno enoto.

Zahvaljujoč tej lastnosti niza je mogoče sestaviti kvadrat, katerega stranica je katero koli Fibonaccijevo število, večje od ena, in ga nato razrezati glede na dve predhodni številki tega niza.

Če na primer vzamete kvadrat 13x13 enot, potem je treba njegove tri stranice razdeliti na segmente dolžine 5 in 8 enot in jih nato razrezati, kot je prikazano na sl. 60. Površina tega kvadrata je 169 kvadratnih enot. Stranici pravokotnika, ki ga tvorijo deli kvadratov, bosta 21 in 8, kar daje površino 168 kvadratnih enot. Tukaj zaradi prekrivanja delov vzdolž diagonale ena kvadratna enota ni dodana, ampak izgubljena.

Če vzamete kvadrat s stranico 5, boste prav tako izgubili eno kvadratno enoto. Možno je oblikovati splošno pravilo: če za stranico kvadrata vzamemo poljubno število iz "prvega" podzaporedja nadomestnih Fibonaccijevih števil (3, 8 ...) in iz delov tega kvadrata naredimo pravokotnik, bomo dobili vrzel vzdolž njegove diagonale in, posledično navidezno povečanje površine za eno enoto. Če za stranico kvadrata vzamemo neko število iz “drugega” podzaporedja (2, 5, 13 ...), dobimo prekrivajoče se površine vzdolž diagonale pravokotnika in izgubo ene kvadratne enote ploščine.

Paradoks lahko sestavite celo na kvadratu s stranico dveh enot. Toda potem je v pravokotniku 3x1 tako očitno prekrivanje, da se učinek paradoksa popolnoma izgubi.

Z uporabo drugih Fibonaccijevih nizov za paradoks lahko dobite nešteto možnosti. Tako na primer kvadrati, ki temeljijo na seriji 2, 4, 6, 10, 16, 26 itd., povzročijo izgubo ali dobiček 4 kvadratnih enot. Velikost teh izgub ali dobičkov je mogoče ugotoviti tako, da za določen niz izračunate razliko med kvadratom katerega koli od njegovih členov in produktom njegovih dveh sosednjih členov na levi in ​​desni. Vrstice 3, 4, 7, 11, 18, 29 itd. dajejo dobiček ali izgubo petih kvadratnih enot. T. de Mulidar je dal risbo kvadrata, ki temelji na seriji 1, 4, 5, 9, 14 itd. Stran tega kvadrata je vzeta za 9, in po pretvorbi v pravokotnik se izgubi 11 kvadratnih enot . Vrstica 2, 5, 7, 12, 19 ... prav tako daje izgubo ali dobiček 11 kvadratnih enot. V obeh primerih so prekrivanja (oz. vrzeli) vzdolž diagonale tako velika, da jih takoj opazimo.

Če poljubna tri zaporedna Fibonaccijeva števila označimo z A, B in C, z X pa izgubo ali pridobitev površine, dobimo naslednji dve formuli:

A + B = C

B 2 = AC ± X

Če zamenjate želeni dobiček ali izgubo namesto X in namesto B številko, ki je vzeta kot dolžina stranice kvadrata, lahko sestavite kvadratna enačba, iz katerega je mogoče najti dve drugi Fibonaccijevi števili, čeprav ti seveda ne bosta nujno racionalni števili. Izkaže se na primer, da z razdelitvijo kvadrata na številke z racionalnimi stranicami ni mogoče dobiti dobička ali izgube dveh ali treh kvadratnih enot. To je seveda mogoče doseči s pomočjo iracionalnih števil. Tako Fibonaccijeva serija 2 1/2, 2 2 1/2, 3 2 1/2, 5 2 1/2 daje dobiček ali izgubo dveh kvadratnih enot, serija 3 1/2, 2 3 1/2 pa , 3 3 1/2, 5 3 1/2 pomeni dobiček ali izgubo treh kvadratnih enot.

Možnost pravokotnika

Obstaja veliko načinov, kako lahko pravokotnik razrežemo na manjše število kosov in nato zložimo v drug pravokotnik večje ali manjše površine. Na sl. 61 prikazuje paradoks, ki prav tako temelji na Fibonaccijevem nizu.
Podobno kot v primeru kvadrata, o katerem smo pravkar razpravljali, izbira Fibonaccijevega števila iz "drugega" podzaporedja kot širine prvega pravokotnika (v tem primeru 13) povzroči povečanje površine drugega pravokotnika za eno kvadratno enoto.

Če za širino prvega pravokotnika vzamemo katero koli Fibonaccijevo število iz "dodatnega" podzaporedja, se bo površina v drugem pravokotniku zmanjšala za eno enoto. Izgube in pridobitve površine so razložene z majhnimi prekrivanjem ali vrzelmi vzdolž diagonalnega dela drugega pravokotnika. Druga različica takšnega pravokotnika, prikazana na sl. 62 pri konstruiranju drugega pravokotnika povzroči povečanje površine za dve kvadratni enoti.

Če je osenčen del območja drugega pravokotnika postavljen nad neosenčen del, se bosta dva diagonalna reza združila v eno večjo diagonalo. Če zdaj preuredimo dele A in B (kot na sliki 61), dobimo drugi pravokotnik večje površine.

Druga različica paradoksa

Pri seštevanju površin delov, preurejanju trikotnikov B in C v zgornjem delu sl. 63 povzroči navidezno izgubo ene kvadratne enote.
Kot bo bralec opazil, je to posledica območij senčenih delov: na vrhu slike je 15 senčenih kvadratov, na dnu - 16. Zamenjava senčenih kosov z dvema figurama, ki ju pokrivata posebna vrsta, pridemo do nove, osupljive oblike paradoksa. Zdaj imamo pred seboj pravokotnik, ki ga lahko razrežemo na 5 delov, nato pa, zamenjamo njihova mesta, ustvarimo nov pravokotnik in kljub dejstvu, da njegove linearne dimenzije ostanejo enake, luknjo s površino ​v notranjosti se pojavi ena kvadratna enota (slika 64).
Možnost preoblikovanja ene figure v drugo, z enakimi zunanjimi dimenzijami, vendar z luknjo znotraj oboda, temelji na naslednjem. Če vzamete točko X natanko tri enote od osnove in pet enot od stranice pravokotnika, potem diagonala ne bo potekala skozi to. Vendar bo lomljena črta, ki povezuje točko X z nasprotnima ogliščema pravokotnika, tako malo odstopala od diagonale, da bo skoraj neopazna.

Po prerazporeditvi trikotnikov B in C na spodnji polovici risbe se bodo deli figure rahlo prekrivali po diagonali.

Po drugi strani pa, če v zgornjem delu slike upoštevamo črto, ki povezuje nasprotni oglišči pravokotnika, kot natančno narisano diagonalo, potem bo črta XW nekoliko daljša od treh enot. In kot posledica tega bo drugi pravokotnik nekoliko višji, kot se zdi. V prvem primeru se manjkajoča enota površine lahko šteje za porazdeljeno od kota do kota in tvori prekrivanje vzdolž diagonal. V drugem primeru se manjkajoči kvadrat porazdeli po širini pravokotnika. Kot vemo že iz prejšnjega, lahko vse tovrstne paradokse pripišemo eni od teh dveh konstrukcijskih možnosti. V obeh primerih so netočnosti številk tako majhne, ​​da so popolnoma neopazne.

Najbolj elegantna oblika tega paradoksa so kvadrati, ki po prerazporeditvi delov in ustvarjanju luknje ostanejo kvadrati.

Takšni kvadri so znani v neštetih različicah in z luknjami poljubnega števila kvadratnih enot. Nekaj ​​najbolj zanimivih med njimi je prikazano na sl. 65 in 66.

Lahko pokažete na preprosta formula, ki povezuje velikost luknje s proporci velikega trikotnika. Tri velikosti, o katerih se bomo pogovorili, označimo z A, B do C (slika 67).
Površina luknje v kvadratnih enotah je enaka razliki med produktom A in C ter najbližjim večkratnikom velikosti B. Torej je v zadnjem primeru produkt A in C 25. Najbližji večkratnik velikosti velikost B do 25 je 24, tako da je luknja ena kvadratna enota. To pravilo velja ne glede na to, ali je narisana prava diagonala ali točka X na sl. 67 je lepo nameščen na presečišču kvadratnih črt mreže.

Če je diagonala, kot bi morala biti, narisana kot strogo ravna črta ali če je točka X vzeta točno na enem od oglišč kvadratne mreže, potem ne pride do paradoksa. V teh primerih formula daje luknjo velikosti nič kvadratnih enot, kar seveda pomeni, da luknje sploh ni.

Možnost s trikotnikom

Vrnimo se k prvemu primeru paradoksa (glej sliko 64). Upoštevajte, da veliki trikotnik A ne spremeni svojega položaja, medtem ko se preostali deli premikajo. Ker ta trikotnik v paradoksu ne igra bistvene vloge, ga lahko v celoti zavržemo in pustimo samo pravokotni trikotnik, razrezan na štiri dele. Te dele je mogoče nato prerazporediti in tako pridobiti pravokotni trikotnik z luknjico (sl. 68), navidezno enaka prvotnemu.
Če sestavite dva taka pravokotna trikotnika s krakoma, lahko sestavite veliko variant enakokrakih trikotnikov, podobnih tistim, prikazanim na sl. 69.
Kot v prej obravnavanih paradoksih lahko te trikotnike sestavimo na dva načina: bodisi narišemo njihove stranice strogo premočrtno, potem točka X ne bo padla na presečišče črt kvadratne mreže, ali postavimo točko X točno na presečišče, nato stranice bodo rahlo konveksne ali konkavne. Zdi se, da slednja metoda bolje prikrije netočnosti risbe. Paradoks se bo zdel še bolj presenetljiv, če bodo na dele, ki sestavljajo trikotnik, nanesene kvadratne mreže, s čimer bo poudarjeno, da so bili deli izdelani s potrebno skrbnostjo.

Če našim enakokrakim trikotnikom dodelimo različne velikosti, lahko pridobimo ali izgubimo poljubno sodo število kvadratnih enot.

Več tipičnih primerov je podanih na sl. 70, 71 in 72.

Izdelava baz dveh enakokraki trikotnik katere koli od teh vrst lahko zgradite različne rombične možnosti; vendar našemu paradoksu ne dodajajo ničesar bistveno novega.

Kvadrati iz štirih kosov

Vse vrste paradoksov s spremembami površine, ki smo jih do sedaj obravnavali, so med seboj tesno povezane po načinu gradnje. Vendar pa obstajajo paradoksi, pridobljeni s popolnoma drugačnimi metodami. Kvadrat lahko na primer razrežete na štiri dele enake oblike in velikosti (slika 73) in jih nato znova sestavite na nov način, kot je prikazano na sliki. 74. Tako nastane kvadrat, katerega mere se zdijo nespremenjene in hkrati z luknjo v sredini.
Na podoben način lahko izrežete pravokotnik s poljubnim razmerjem stranic. Zanimivo je, da je točka A, kjer se sekata, videti nespremenjena in ima hkrati luknjo na sredini.

Na podoben način lahko izrežete pravokotnik s poljubnim razmerjem stranic. Zanimivo je, da se lahko točka A, v kateri se sekata dve medsebojno pravokotni rezni črti, nahaja kjerkoli znotraj pravokotnika. V vsakem primeru, ko se deli prerazporedijo, se pojavi luknja, njena velikost pa je odvisna od velikosti kota, ki ga tvorijo rezane črte s stranicami pravokotnika.

Ta paradoks je sorazmerno preprost, vendar veliko izgubi zaradi dejstva, da je že pri površnem preučevanju jasno, da morajo biti stranice drugega pravokotnika nekoliko večje od stranic prvega.

Bolj zapletena metoda rezanja kvadrata na štiri dele, ki proizvaja notranjo luknjo, je prikazana na sl. 75.

Temelji na paradoksu šahovnice, ki odpira to poglavje. Upoštevajte, da je treba pri prerazporeditvi delov dva od njih obrniti hrbtna stran gor. Upoštevajte tudi, da ko del A zavržemo, dobimo pravokotni trikotnik, sestavljen iz treh delov, znotraj katerega se lahko oblikuje luknja.

Tridelni kvadrati

Ali obstaja način, da kvadrat razrežete na tri dele, ki jih je mogoče preurediti, da ustvarite kvadrat z luknjo v notranjosti? Odgovor bo pritrdilen. Ena od elegantnih rešitev temelji na paradoksu, obravnavanem v prejšnjem poglavju.

Namesto, da bi slike posebej razporedili v robove in rezali v ravni liniji (vodoravno), so slike postavljene v eno ravno linijo in je rez narejen v robovih. Rezultat je neverjeten: ne samo, da slika izgine, ampak se na mestu, kjer je izginila, pojavi luknja.

Dvodelni kvadrati

Ali je mogoče enako narediti z dvema deloma?

Mislim, da v tem primeru ni mogoče na noben način dobiti notranje luknje v kvadratu z neopaznim povečanjem njegove višine ali širine. Pokazalo pa se je, da je paradoks z luknjo v kvadratu, razrezanem na dva dela, mogoče zgraditi na principu, ki je uporabljen v paradoksu izginjajočega bojevnika. V tem primeru, namesto da bi figure postavili v spiralo ali korak, so postavljene strogo v krogu, medtem ko je rez narejen v spirali ali koraku; v slednjem primeru ima videz zobnika z različno velikimi zobmi. Ko se to kolo vrti, ena figura izgine in na njenem mestu se pojavi luknja.

Fiksni in vrtljivi deli so lepo pritrjeni drug na drugega le na mestu, kjer se pojavi luknja. V začetnem položaju so pri vsakem zobu vidne majhne vrzeli, če je bil rez stopničast, oziroma ena neprekinjena krožna špranca, če je bil rez v spirali.

Če prvotni pravokotnik ni kvadrat, ga je mogoče razrezati na dva dela in nato v notranjosti dobiti luknjo z zelo malo opazno spremembo zunanjih dimenzij. Na sl. 76 prikazuje eno možnost.

Oba dela sta enaka tako po obliki kot po velikosti. Ta paradoks najlažje prikažemo takole: iz kartona izrežemo kose, jih prepognemo v pravokotnik brez luknje, položimo na list papirja in po obodu obrišemo s svinčnikom. Če dele zložite drugače, lahko vidite, da še vedno ne presegajo narisane črte, čeprav je na sredini pravokotnika nastala luknja.

Našima dvema deloma lahko seveda dodamo še tretjega, izdelanega v obliki traku, ki ga, če ga nanesemo na eno od stranic pravokotnika, spremeni v kvadrat; tako imamo še en način rezanja kvadrata na tri dele, ki dajejo notranjo luknjo.

Curvilinearne in tridimenzionalne možnosti

Primeri, ki smo jih navedli, jasno kažejo, da se področje paradoksov s spremembami površine šele začenja razvijati. Ali obstajajo kakšne ukrivljene oblike, kot so krogi ali elipse, ki jih je mogoče razrezati na kose in nato prerazporediti tako, da nastanejo notranje luknje brez opaznega popačenja oblike?

Ali obstajajo tridimenzionalne figure, ki so specifične za tri dimenzije, to je, ki niso trivialna posledica dvodimenzionalnih figur? Saj je jasno, da vsakemu ravna figura, s katerim smo se srečali v tem poglavju, lahko »dodate dimenzijo« tako, da ga preprosto izrežete iz precej debelega kartona, katerega višina je enaka »dolžini tretje dimenzije«).

Ali je mogoče kocko ali, recimo, piramido slabo razrezati? na zapleten način na dele, tako da s sestavljanjem na nov način v notranjosti dobite opazne praznine?

Odgovor bo naslednji: če ne omejite števila delov, potem takšnih prostorskih figur sploh ni težko navesti. To je povsem jasno v primeru kocke.

Tukaj je mogoče doseči notranjo praznino, težje pa je vprašanje najmanjšega števila delov, s katerimi je to mogoče doseči. Vsekakor je lahko sestavljen iz šestih delov; možno je, da se to doseže z manjšim številom.

Takšno kocko je mogoče učinkovito prikazati na naslednji način: vzemite jo iz škatle, narejene natanko tako kot kocka, jo razstavite na dele, pri čemer se v notranjosti pokaže krogla, dele postavite nazaj v trdno kocko in pokažite, da (brez krogle) ) še vedno tesno zapolni škatlo. Predlagali bomo, da mora biti takih figur veliko, tako ravnih kot prostorskih, poleg tega pa jih odlikuje preprostost in milost oblike. Prihodnji raziskovalci tega zanimivega področja jih bodo z veseljem odkrivali.

"Uporaba izpeljanke pri reševanju problemov"

(10. razred)

Metodološki sistem učiteljevih dejavnosti v tej lekciji predvideva oblikovanje sposobnosti učencev za samostojno načrtovanje in izvajanje korak za korakom. raziskovalno delo. Učenec ima pravico posvetovati se z učiteljem, razpravljati, prejemati nasvete ali nasvete od učitelja, da bi otrok razumel raznolikost rešitev in ugotovil pravo.

V razredu poteka razprava teoretično gradivo, razred razdelimo v skupine, da zagotovimo raznolikost metod sklepanja, ki jih ponujajo, nato pa izberemo najbolj sprejemljive med njimi.

Poleg samostojnih dejavnosti je pri pouku priporočljivo uporabljati diferencirane naloge različnih stopenj in jih ustrezno vrednotiti.

Analiza rezultatov učencev, ki opravljajo te naloge, poleg informacij o njihovem obvladovanju daje učitelju sliko o glavnih težavah učencev, njihovih glavnih vrzeli, kar pomaga orisati glavne načine reševanja težav.

Cilj lekcije: obvladovanje spretnosti za samostojno kompleksno uporabo znanja, veščin in zmožnosti ter njihovo prenašanje v nove razmere z uporabo raziskovalne metode.

Naloge:

Izobraževalno in kognitivno: utrjevanje, sistematizacija in posploševanje znanja in spretnosti, povezanih z obvladovanjem pojma »največja in najmanjša vrednost funkcije«; praktično uporabo spretnosti in sposobnosti, ki se razvijajo.

Razvojni: razvoj sposobnosti za samostojno delo, jasno izražanje idej in samoocenjevanje učnih dejavnosti v razredu.

Komunikacija: sposobnost sodelovanja v razpravi, poslušanja in slišanja.

Napredek lekcije

Organizacijski trenutek

1. Vsak človek se od časa do časa znajde v situaciji, ko mora najti najboljši način za rešitev problema, matematika pa postane sredstvo za reševanje problemov organizacije proizvodnje in iskanja optimalnih rešitev. Pomemben pogoj povečanje učinkovitosti proizvodnje in izboljšanje kakovosti izdelkov je razširjena uvedba matematične metode v tehnologijo.

Ponavljanje

Med problemi matematike imajo pomembno vlogo problemi o ekstremih, tj. naloge najti največjo in najmanjšo vrednost, najboljše, najdonosnejše, najbolj ekonomično. Predstavniki najrazličnejših specialnosti se srečujejo s takšnimi težavami: procesni inženirji skušajo organizirati proizvodnjo tako, da se proizvede čim več izdelkov, konstruktorji želijo načrtovati napravo na vesoljskem plovilu tako, da bo masa naprave minimalna, ekonomisti poskušajo načrtovati vezavo tovarn na vire surovin tako, da bodo transportni stroški čim manjši. Lahko rečemo, da imajo problemi iskanja najmanjših in največjih vrednosti veliko praktično uporabo. Danes se bomo v razredu ukvarjali z reševanjem takšnih problemov.

Utrjevanje naučene snovi

2. Dva »močna« učenca sta povabljena k tabli, da rešujeta naloge (10 min.).

1. učenec: Podan je rezervoar brez pokrova v obliki pravokotnega paralelepipeda, katerega osnova je kvadrat in katerega prostornina je 108 cm 3 . Kakšna velikost rezervoarja bo za izdelavo zahtevala najmanj materiala?

rešitev: Označimo stranico osnove z x cm in izrazimo višino paralelepipeda. Poiščimo predznak odvoda na intervalih. Izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+". Zato je x=6 najmanjša točka, zato je S(6)=108 cm 2 najmanjša vrednost. To pomeni, da je stranica podstavka 6 cm, višina 12 cm.

2. študent: V krog s polmerom 30 cm je vpisan pravokotnik z največjo ploščino. Poiščite njegove dimenzije.

rešitev: Eno stran pravokotnika označimo z x cm, nato izrazimo površino pravokotnika. Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;30) in na intervalu (30;60). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”. Zato je x=30 največja točka. Zato je ena stranica pravokotnika 30, druga pa 30.

3.V tem času tiIzvaja se medsebojno preverjanje znanja na temo »Uporaba derivatov« (za vsak pravilen odgovor se dodeli 1 točka). Vsak učenec odgovori in svoj odgovor posreduje sosedu po mizi, da ga preveri.

Vprašanja so zapisana na prenosni tabli, podan je samo odgovor:

Pravimo, da funkcija narašča v danem intervalu, če ...

Za funkcijo pravimo, da pada na danem intervalu, če ...

Točka x 0 se imenuje minimalna točka, če ...

Točka x 0 se imenuje največja točka, če ...

Stacionarne točke funkcije imenujemo točke...

Pišite splošni pogled tangentne enačbe

Fizični pomen izpeljanke

Oblikovanje zaključkov

4. Razred je razdeljen v skupine. Skupine izvajajo naloge, da najdejo minimum in maksimum funkcije.

5. Besedo imajo »močni« učenci. Učenci v razredu preverijo svoje rešitve (10 min.).

6. Za vsako skupino so podane izbirne naloge (10 min.).

1 skupina.

Za oznako "3"

Za funkcijo f(x)=x 2 *(6-x) poiščite najmanjšo vrednost na segmentu.

Rešitev: f(x)=x 2 *(6-x)=6x 2 +x 3; f / (x) = 12x-3x 2; f/(x)=0; 12x-3x 2 =0; x 1 =0; x 2 =4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-maks.

Do oznake "4".

Iz žice dolžine 20 cm morate narediti pravokotnik z največjo površino. Poiščite njegove dimenzije.

Rešitev: Označimo eno stran pravokotnika z x cm, potem bo druga (10-x) cm, ploščina S(x)=(10-x)*x=10x-x 2 ; S/(x)=10-2x; S/(x)=0; x=5. Glede na pogoje problema x (0;10). Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;5) in na intervalu (5;10). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”. Torej: x=5 je največja točka, S(5)=25 cm 2 je največja vrednost. Zato je ena stranica pravokotnika 5 cm, druga pa 10x=10-5=5 cm.

Pri oznaki "5".

Parcelo velikosti 2400 m2 je treba razdeliti na dva pravokotna dela tako, da je dolžina ograje najkrajša. Poiščite velikosti ploskev.

Rešitev: Eno stran ploskve označimo z x m, zapišemo dolžino ograje in poiščemo odvod P / (x) = 0; 3x 2 =4800; x 2 = 1600; x=40. Vzamemo le pozitivno vrednost glede na pogoje problema.

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;40) in na intervalu (40;?). Izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+". Torej je x=40 najmanjša točka, zato je P(40)=240 najmanjša vrednost, kar pomeni, da je ena stranica 40 m, druga 60 m.

2. skupina.

Za oznako "3"

Za funkcijo f(x)=x 2 +(16-x) 2 poiščite najmanjšo vrednost na segmentu.

Rešitev: f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; f/(x)=0; 4x-32=0; x=8; f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min.

Do oznake "4".

Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. Glede na obseg oboda v metrih je potrebno površino ograditi tako, da bo površina največja.

Pri oznaki "5".

Iz pravokotnega lista kartona s stranicami 80 cm in 50 cm morate narediti pravokotno škatlo, tako da na robovih izrežete kvadrate in zložite nastale robove. Kako visoka naj bo škatla, da bo imela največjo prostornino?

Označimo višino škatle (to je stran izrezanega kvadrata) z x m, potem bo ena stran osnove (80-2x) cm, druga - (50-2x) cm, prostornina V (x )=x(80-2x)(50-2x) )=4x 3, 260x 2 +4000x; V / (x)=12x 2 -520x+4000; V/(x)=0; 12x 2 -520x+4000=0.

Glede na pogoje problema x (0;25); x 1 (0;25), x 2 (0;25).

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;10) in na intervalu (10;25). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”. Zato je x=10 največja točka. Zato je višina škatle = 10 cm.

3. skupina.

Za oznako "3"

Za funkcijo f(x)=x*(60's) poiščite največjo vrednost na segmentu.

Rešitev: f(x)=x*(60-x)=60x-x 2; f / (x) = 60-2x; f/(x)=0; 60-2x=0; x=30; f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-maks.

Do oznake "4".

Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. Pri podanem obodu 20 m je potrebno območje ograditi tako, da je območje čim večje.

Označimo eno stran pravokotnika z x m, potem bo druga (20-2x) m, površina S(x)=(20-2x)x=20x-2x 2; S/(x)=20-4x; S/(x)=0; 20-4x=0; x=5. Glede na pogoje problema x € (0;10). Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;5) in na intervalu (5;10). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”. Zato je x=5 največja točka. Zato je ena stran ploskve = 5 m, druga - 20-2*5 = 10 m.

Pri oznaki "5".

Da bi zmanjšali trenje tekočine ob stene in dno kanala, je potrebno čim manjše območje, ki ga zmoči. Potrebno je najti dimenzije odprtega pravokotnega kanala s površino prečnega prereza 4,5 m 2, pri katerem bo mokra površina najmanjša.

Označimo globino jarka z x m, P / (x) = 0; 2x 2 =4,5; x=1,5. Vzamemo le pozitivno vrednost glede na pogoje problema. Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;1,5) in na intervalu (1,5;?). Izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+". Torej je x=1,5 najmanjša točka, zato je P(1,5)=6 m najmanjša vrednost, kar pomeni, da je ena stran jarka 1,5 m, druga 3 m.

4. skupina.

Za oznako "3"

Za funkcijo f(x)=x 2 (18-x) poiščite največjo vrednost na segmentu.

f(x)=x 2 (18-x)=18x 2 -x 3; f / (x) = (18x 2 - x 3) / ; f/(x)=0; 36x-3x 2 =0; x 1 =0; x 2 =12 f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-maks.

Pri oznaki "4".

Pravokotna parcela z ene strani meji na objekt. Pri danem obsegu 200 m je potrebno območje ograditi tako, da je območje čim večje.

Označimo eno stran pravokotne ploskve z x m, potem bo druga (200-2x) m, ploskev S(x)=(200-2x)x=200x-2x 2; S/(x)=200-4x; S/(x)=0; 200-4x=0; x=200/4=50. Glede na pogoje problema x (0;100). Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;50) in na intervalu (50;100). Izpeljanka spremeni predznak iz “+” v “–”. Zato je x=50 največja točka. Zato je ena stran ploskve = 50 m, druga - 200-2x = 100 m.

Pri oznaki "5".

Potrebno je izdelati odprto škatlo v obliki pravokotnega paralelopipeda s kvadratno osnovo, z najmanjšo prostornino, če je za njeno izdelavo mogoče porabiti 300 cm 2.

Označimo eno stran baze z x cm in izrazimo prostornino, potem je V / (x) = 0 300-3x 2 = 0; x 2 =100; x=10. Vzamemo le pozitivno vrednost glede na pogoje problema.

Poiščimo predznak odvoda na intervalu (0;10) in na intervalu (10;0). Izpeljanka spremeni predznak iz "–" v "+". Zato je x=10 najmanjša točka, zato je V(10)=500cm 3 najmanjša vrednost, kar pomeni, da je stranica podnožja 10 cm, višina 50 cm.

Vprašanja za razred

7. Delegati iz skupin pojasnijo rešitev izbranih problemov (10 min.).

8. Ob upoštevanju točk pri ogrevanju in skupinskem delu se dodelijo ocene za lekcijo.

Povzetek lekcije

domača naloga

Rešitev problema eno točko višje; Učenci, ki nalogo opravijo s petico, so oproščeni domače naloge.

Analiza rezultatov učencev, ki opravljajo te naloge, poleg informacij o njihovem obvladovanju daje učitelju sliko o glavnih težavah učencev, njihovih glavnih vrzeli, kar pomaga orisati glavne načine za njihovo odpravo.

	FOMKINA TATJANA FEDOROVNA
VIZITKA
Naziv delovnega mesta	Učiteljica ruskega jezika in književnosti
kraj dela	Občinski izobraževalna ustanova"Povprečje srednja šolašt. 9" mesta Orenburg
Delovne izkušnje v pisarni
Rezultat tekmovanja
Tema pedagoških izkušenj	Oblikovanje jezikovne kompetence študentov na podlagi dejavnosti-sistemskega pristopa k poučevanju ruskega jezika v skladu z izobraževalnim kompleksom S.I. Lvovoy
Bistvo učiteljevega metodološkega sistema, ki odraža vodilne ideje izkušenj	Bistvo učiteljevega metodičnega sistema je v organizaciji izobraževalnih dejavnosti kot gibanja od vprašanja jezikovne narave (ki omogoča učencem, da opozorijo učence na smiselno jezikovno bistvo določenega črkovanja) k metodi delovanja (ki temelji na na pravilo, dostop do slovarja), nato pa do rezultata (prosto upravljanje s pravili med pisanjem ali uporabo pravopisnega slovarja).
Delo na širjenju lastnih izkušenj, predstavitev metodološkega sistema na različnih ravneh (obrazci, intelektualni izdelki)	Delovne izkušnje Fomkina T.F. povzeto leta 2009 na ravni občinske izobraževalne ustanove "Srednja šola št. 9" in odobreno s strani metodološkega sveta. V letih 2009 in 2010 zastopana med učitelji v mestu Orenburg na občinski ravni. Tatyana Fedorovna je nastopila na okrožju metodična združenja o vprašanjih: »Uporaba IKT pri pouku ruskega jezika in književnosti kot sredstvo za razvoj jezikovne kompetence«, »Dejavnostni pristop k oblikovanju izobraževalnih standardov«.
Učinkovitost izvajanja metodološkega sistema	Oblikovanje trajne pozitivne motivacije in povečanje zanimanja študentov za predmet; Pozitivna dinamika odnosa učencev do učitelja, pouka ruskega jezika in književnosti, razvoj sposobnosti učencev za izvajanje napovednih dejavnosti in aktiviranje kognitivnih procesov; Znatno povečanje kakovosti ustvarjalna dela, eseji, kar potrjujejo rezultati zaključni izpiti: leta 2007 je bil po rezultatih GIA akademski uspeh 100 %, število tistih, ki so opravili naloge na “4” in “5” je bilo 87 %; leta 2008 Rezultati enotnega državnega izpita akademska uspešnost - 100%, število tistih, ki so opravili naloge na "4" in "5" - 92%, najvišja ocena - 87; leta 2009 je bil po rezultatih enotnega državnega izpita akademski uspeh 100%, število tistih, ki so opravili naloge s "4" in "5", je bilo 58%, najvišja ocena je bila 96; Povečanje števila študentov, ki se udeležujejo znanstvenih in praktičnih konferenc, tekmovanj in olimpijad: X regionalna znanstvena in praktična konferenca študentov "Ti si Orenburžan" (III mesto), XV. mestna konferenca študentov »Intelektualci 21. stoletja« (diploma za »Različne družinske raziskave«), Vserusko dopisno tekmovanje "Spoznanje in ustvarjalnost", 2010 (III mesto, nagrajenec), regijsko šolsko in dopisno tekmovanje »Očevina«, 2009 (III. mesto), VI Mednarodna olimpijada v temeljnih znanostih, 2010 (diplome I. in II. stopnje), Mednarodna igra-tekmovanje "Ruski medvedji mladič", 2010 (15. mesto v regiji). Spremljanje izobraževalne dejavnosti kaže visoki ravni stopnja učenja učencev Tatjane Fedorovne Fomkine: ruski jezik - 69% (2009), literatura - 77% (2009).

GRADIVA IZ DELOVNIH IZKUŠENJ

Lekcija učenja novega znanja

z večstopenjsko diferenciacijo usposabljanja

"NE s samostalniki"

(5. razred)

Predstavljene lekcije so sestavljene v skladu s programom ruskega jezika za 5.-6. razred S.I. Lvovoy (M.; "Mnemosyne", 2008). Pouk je namenjen razvijanju jezikovne, jezikovne in govorne kompetence učencev. Gradivo, vključeno v lekcijo, je izobraževalne, razvijajoče in izobraževalne narave.

Cilji lekcije:

1) razvijati komunikacijske sposobnosti: oblikovati vprašanje in dati odgovor na slovnično temo; izvajati govorno interakcijo v mobilni skupini; ustvarjanje lastnih besedil na dano temo;

2) oblikovati jezikovno in jezikovno zmožnost: poznati pravopisna pravila NE s samostalnikom ;znati uporabiti to pravilo v praksi z uporabo algoritma; ponovite črkovanje « NE z glagolom" , pravilo samostalnika;

3) gojiti skrben odnos do besede kot duhovne vrednote ljudi.

Oprema: multimedijska oprema, video predstavitev, referenčne kartice, test, datoteke z raziskovalno nalogo.

Napredek lekcije

Organizacijski trenutek

Pozdravljeni, dragi kolegi! Ja, ja, točno kolegi. Nisem vaju poklical tako po naključju. Danes bomo opravili skupno nalogo: rešili jezikovne probleme, odkrili skrivnosti črkovanja besed. Konec koncev, po Levu Nikolajeviču Tolstoju, "Beseda je velika stvar ... Z besedo lahko služiš ljubezni, z besedo pa lahko služiš sovraštvu in sovraštvu" (epigraf k lekciji).

Jezikovno ogrevanje "Da - ne"

To je veščina obvladovanja besed, ki vam bo pomagala obvladati jezikovno ogrevanje, ki se imenuje "Da - Ne". Pravila tega ogrevanja so naslednja: jaz bom uganil pravilo, vi pa ga boste poskušali uganiti z navajajočimi vprašanji, ki naj bodo oblikovana tako, da bom jaz lahko odgovoril z "da" ali "ne". Danes bom vaše odgovore ocenil z uporabo žetonov. Zastavljaj mi vprašanja.

Učenci postavljajo učitelju vprašanja. Na primer:

1. To pravilo smo učili v 5. razredu? (Da)

2. Ali je to pravilo o črkovanju besed? (ne)

3. Ali je to pravilo o delih govora? (Da)

4. Ali je to pravilo o samostalnikih? (Da)

- Bravo! Uganili ste!

Posodabljanje znanja

Zdaj pa se spomnimo, kaj je samostalnik. A pogovarjajmo se o tem drug za drugim in si predajajmo palice, kot športniki na tekmovanju. Kdor želi, ga lahko uporabi pri odgovarjanju kartice pomoči. Vaše odgovore bom ovrednotil z žetoni ( študentski odgovori).

Odlično delo! Poznavanje pravil o samostalnikih potrebujemo, da lahko samostalnike ločimo od drugih delov govora.

To spretnost bomo preizkusili z delom ustni razdelilni narek.

Pozorno preberi besede (klik z miško na platnu projektorja zbledi sliko).

Toda kaj je to? Kaj se je zgodilo s sliko? Fantje, prišlo je do napake!

Ujemite jo! (Tehnika ujemi napako)

"Ogorčenje" je treba pisati skupaj. Zakaj?

To je glagol, ki se brez njega ne uporablja NE.

(Klik z miško)

Vaja: razdeli besede v dve skupini glede na dele govora. (Učenci opravijo nalogo)

1. Na katere dele govora ste naleteli? (samostalniki in glagoli)

2. Poimenuj samostalnike.

3. Poimenuj glagole.

4. Kako se piše NE z glagolom?

Postavljanje ciljev

Torej, poznavanje pravil o samostalnikih in črkovanju NE z glagoli nam bo pomagalo pri obravnavi nova tema, ki zveni takole: "NE s samostalniki".Zapiši v zvezek.

Zapisal sem najin tok misli "Razmišljanjelist", ki je sestavljen iz treh stolpcev: “Vem”, “Želim vedeti”, “Ugotovil sem”.

V kolumni "vem" podano je bilo pravilo, na katerega se bomo danes zanašali. To je pravilo o pisanju NE z glagolom .

V kolumni "Rad bi vedel" Vprašanje dneva je bilo oblikovano: "Ugotovite, kdaj je NE napisano skupaj s samostalnikom in kdaj - ločeno."

V kolumni "Ugotovil sem" bomo zapisali odgovor na to vprašanje.

Ampak najprej naredimo to delo z besediščem.

Fantje, kdo so? nevedni in nevedni? Kakšni ljudje temu pravimo? (Odgovori učencev)

Napiši te besede in njihove leksikalni pomeni. Zdaj sestavite besedne zveze ali stavke z njimi (neobvezno).

Učenje nove snovi

Kaj menite, zakaj sta besedi nevednež in nevednež napisani skupaj? (Ker se ne uporabljajo brez NE)Poročilo

Zmagovalci prioritetanacionalniprojekt « izobraževanje". Prinesene izkušnje, pridobljene pri samoanalizi in primerjavi lastnih dosežkov z dosežki kolegov novopedagoško ...

Izkušnje pri ustvarjanju internetnih virov s strani učiteljev iz regije Orenburg

Povzetek disertacije

Sistemi izobraževanje V izobraževalna ustanova; določitev območja distribucije naprednopedagoškoizkušnje... splošno izobraževanje šola" postal zmagovalec tekmovalnega izbora v okviru Prioritetanacionalniprojekt « izobraževanje". V...