Kaj je a v grafu funkcije. Linearna funkcija. Osnovne lastnosti funkcije

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate zahtevo, lahko zbiramo razne informacije, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom e-pošta itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Zbrano pri nas osebni podatki omogoča, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, akcijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Osnovne elementarne funkcije, njihove inherentne lastnosti in ustrezni grafi so nekatere od osnov matematično znanje, ki je po pomembnosti podobna tabeli množenja. Elementarne funkcije so osnova, opora za študij vseh teoretičnih vprašanj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Spodnji članek ponuja ključno gradivo na temo osnovnih elementarnih funkcij. Predstavili bomo pojme, jih opredelili; Podrobno preučimo vsako vrsto elementarnih funkcij in analiziramo njihove lastnosti.

Razlikujemo naslednje vrste osnovnih elementarnih funkcij:

Definicija 1

• konstantna funkcija (konstanta);
• n-ti koren;
• funkcija moči;
• eksponentna funkcija;
• logaritemska funkcija;
• trigonometrične funkcije;
• bratske trigonometrične funkcije.

Konstantna funkcija je definirana s formulo: y = C (C je določeno realno število) in ima tudi ime: konstanta. Ta funkcija določa ujemanje katere koli realne vrednosti neodvisne spremenljivke x z isto vrednostjo spremenljivke y - vrednost C.

Graf konstante je premica, ki je vzporedna z abscisno osjo in poteka skozi točko s koordinatami (0, C). Zaradi jasnosti predstavljamo grafe konstantnih funkcij y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na risbi označene s črno, rdečo in modro barvo).

Definicija 2

Ta osnovna funkcija je definirana s formulo y = x n (n – naravno število večji od ena).

Razmislimo o dveh različicah funkcije.

1. n-ti koren, n – sodo število

Zaradi jasnosti navajamo risbo, ki prikazuje grafe takšnih funkcij: y = x, y = x 4 in y = x8. Te lastnosti so barvno kodirane: črna, rdeča in modra.

Funkcijski grafi imajo podoben videz celo stopnjo za druge vrednosti indikatorja.

Definicija 3

Lastnosti n-te korenske funkcije, n je sodo število

• domena definicije – množica vseh nenegativnih realna števila [ 0 , + ∞) ;
• ko je x = 0, funkcija y = x n ima vrednost enako nič;
• dano funkcija-funkcija splošni pogled(ni niti sodo niti liho);
• območje: [ 0 , + ∞) ;
• to funkcijo y = x n za sode korenske eksponente narašča skozi celotno domeno definicije;
• funkcija ima konveksnost s smerjo navzgor skozi celotno domeno definicije;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• gre graf funkcije za sodo n skozi točki (0; 0) in (1; 1).

1. n-ti koren, n – liho število

Takšna funkcija je definirana na celotni množici realnih števil. Za jasnost upoštevajte grafe funkcij y = x 3 , y = x 5 in x 9 . Na risbi so označeni z barvami: črna, rdeča in modra oziroma krivulje.

Druge čudne vrednosti korenskega eksponenta funkcije y = x n bodo dale graf podobne vrste.

Definicija 4

Lastnosti n-te korenske funkcije, n je liho število

• domena definicije – množica vseh realnih števil;
• ta funkcija je čudna;
• obseg vrednosti - množica vseh realnih števil;
• funkcija y = x n za lihe korenske eksponente narašča na celotnem področju definicije;
• funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] in konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0);
• ni asimptot;
• Graf funkcije za liho n poteka skozi točke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) in (1 ; 1).

Funkcija moči

Definicija 5

Funkcija moči je definirana s formulo y = x a.

Videz grafov in lastnosti funkcije so odvisni od vrednosti eksponenta.

• ko ima potenčna funkcija celoštevilski eksponent a, je graf videti takole funkcija moči njegove lastnosti pa so odvisne od tega, ali je eksponent sod ali lih, pa tudi od tega, kakšen predznak ima eksponent. Oglejmo si vse te posebne primere podrobneje spodaj;
• eksponent je lahko ulomek ali iracionalen - glede na to se razlikujejo tudi vrste grafov in lastnosti funkcije. Posebne primere bomo analizirali tako, da bomo postavili več pogojev: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• potenčna funkcija ima lahko eksponent nič; tudi ta primer bomo podrobneje analizirali v nadaljevanju.

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, ko je a liho pozitivno število, na primer a = 1, 3, 5 ...

Zaradi jasnosti navajamo grafe takšnih funkcij moči: y = x (grafična barva črna), y = x 3 (modra barva grafa), y = x 5 (rdeča barva grafa), y = x 7 (grafična barva zelena). Ko je a = 1, dobimo linearno funkcijo y = x.

Opredelitev 6

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent liho pozitiven

• funkcija narašča za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] in konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (razen linearne funkcije);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0) (brez linearne funkcije);
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, ko je a sodo pozitivno število, na primer a = 2, 4, 6 ...

Zaradi jasnosti navajamo grafe takšnih funkcij moči: y = x 2 (grafična barva črna), y = x 4 (modra barva grafa), y = x 8 (rdeča barva grafa). Ko je a = 2, dobimo kvadratna funkcija, katere graf je kvadratna parabola.

Opredelitev 7

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent celo pozitiven:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• padajoča za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Spodnja slika prikazuje primere grafov funkcij moči y = x a, ko je a liho negativno število: y = x - 9 (grafična barva črna); y = x - 5 (modra barva grafa); y = x - 3 (rdeča barva grafa); y = x - 1 (grafična barva zelena). Ko je a = - 1, dobimo obratno sorazmernost, katere graf je hiperbola.

Opredelitev 8

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent liho negativen:

Ko je x = 0, dobimo diskontinuiteto druge vrste, saj je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Tako je premica x = 0 navpična asimptota;

• območje: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je liha, ker je y (- x) = - y (x);
• funkcija je padajoča za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) in konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ko je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• točke prehoda funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Spodnja slika prikazuje primere grafov potenčne funkcije y = x a, ko je a sodo negativno število: y = x - 8 (grafična barva črna); y = x - 4 (modra barva grafa); y = x - 2 (rdeča barva grafa).

Opredelitev 9

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent celo negativen:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ko je x = 0, dobimo diskontinuiteto druge vrste, saj je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Tako je premica x = 0 navpična asimptota;

• funkcija je soda, ker je y(-x) = y(x);
• funkcija je naraščajoča za x ∈ (- ∞ ; 0) in padajoča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost pri x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0, ker:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ko je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• točke prehoda funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Že na samem začetku bodite pozorni na naslednji vidik: v primeru, ko je a pozitiven ulomek z lihim imenovalcem, nekateri avtorji za definicijsko področje te potenčne funkcije vzamejo interval - ∞; + ∞ , kar določa, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Vklopljeno v tem trenutku avtorji mnogih izobraževalne publikacije v algebri in načelih analize NE DOLOČAJO potenčne funkcije, kjer je eksponent ulomek z lihim imenovalcem pri negativnih vrednostih argumenta. Nadalje se bomo držali točno tega stališča: vzeli bomo množico [ 0 ; + ∞). Priporočilo študentom: poiščite učiteljev pogled na to točko, da se izognete nesoglasjem.

Torej, poglejmo funkcijo moči y = x a , kadar je eksponent racionalno ali iracionalno število, pod pogojem, da je 0< a < 1 .

Potenčne funkcije ponazorimo z grafi y = x a, ko je a = 11 12 (grafična barva črna); a = 5 7 (rdeča barva grafa); a = 1 3 (modra barva grafa); a = 2 5 (zelena barva grafa).

Druge vrednosti eksponenta a (pod pogojem 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Opredelitev 10

Lastnosti potenčne funkcije pri 0< a < 1:

• območje: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija narašča za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, kadar je eksponent necelo racionalno ali iracionalno število, pod pogojem, da je a > 1.

Z grafi ponazorimo potenčno funkcijo y = x a pod danimi pogoji z uporabo naslednjih funkcij kot primera: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (črni, rdeči, modri, zeleni grafi).

Druge vrednosti eksponenta a, če je a > 1, bodo dale podoben graf.

Opredelitev 11

Lastnosti potenčne funkcije za a > 1:

• domena definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• območje: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• funkcija narašča za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) (ko je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Prosimo, upoštevajte! Kadar je a negativni ulomek z lihim imenovalcem, v delih nekaterih avtorjev obstaja mnenje, da je domena definicije v tem primeru interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) z opozorilom, da je eksponent a nezmanjšani ulomek. Trenutno avtorji izobraževalno gradivo v algebri in načelih analize funkcije moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta NISO DOLOČENE. Nadalje se držimo točno tega stališča: vzamemo množico (0 ; + ∞) kot domeno definicije potenčnih funkcij z delno negativnimi eksponenti. Priporočilo študentom: Na tej točki razjasnite učiteljevo vizijo, da se izognete nesoglasjem.

Nadaljujmo temo in analizirajmo potenčno funkcijo y = x a pod pogojem: - 1< a < 0 .

Predstavimo risbo grafov naslednjih funkcij: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (črna, rdeča, modra, zelena barva vrstice).

Opredelitev 12

Lastnosti potenčne funkcije pri - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ko je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• območje: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• ni prevojnih točk;

Spodnja risba prikazuje grafe funkcij moči y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (črna, rdeča, modra, zelena barva krivulj).

Opredelitev 13

Lastnosti potenčne funkcije za a< - 1:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ko je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• funkcija je padajoča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• vodoravna asimptota – premica y = 0;
• točka prehoda funkcije: (1; 1) .

Ko je a = 0 in x ≠ 0, dobimo funkcijo y = x 0 = 1, ki določa premico, iz katere je izvzeta točka (0; 1) (dogovorjeno je bilo, da izraz 0 0 ne bo imel nobenega pomena ).

Eksponentna funkcija ima obliko y = a x, kjer je a > 0 in a ≠ 1, graf te funkcije pa je videti drugače glede na vrednost osnove a. Razmislimo o posebnih primerih.

Najprej si poglejmo situacijo, ko ima osnova eksponentne funkcije vrednost od nič do ena (0< a < 1) . Dober primer sta grafa funkcij za a = 1 2 (modra barva krivulje) in a = 5 6 (rdeča barva krivulje).

Grafi eksponentne funkcije bodo imeli podoben videz za druge vrednosti baze pod pogojem 0< a < 1 .

Opredelitev 14

Lastnosti eksponentne funkcije, ko je osnova manjša od ena:

• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• eksponentna funkcija, katere osnova je manjša od ena, je padajoča na celotnem definicijskem področju;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0 s spremenljivko x, ki teži k + ∞;

Zdaj razmislite o primeru, ko je osnova eksponentne funkcije večja od ena (a > 1).

Ta poseben primer ponazorimo z grafom eksponentnih funkcij y = 3 2 x (modra barva krivulje) in y = e x (rdeča barva grafa).

Druge osnovne vrednosti, večje enote, bodo dale podoben videz grafu eksponentne funkcije.

Opredelitev 15

Lastnosti eksponentne funkcije, ko je osnova večja od ena:

• domena definicije – celotna množica realnih števil;
• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• eksponentna funkcija, katere osnova je večja od ena, narašča kot x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost pri x ∈ - ∞; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0 s spremenljivko x, ki teži k - ∞;
• točka prehoda funkcije: (0; 1) .

Logaritemska funkcija ima obliko y = log a (x), kjer je a > 0, a ≠ 1.

Takšna funkcija je definirana samo za pozitivne vrednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Urnik logaritemska funkcija ima drugačne vrste, glede na vrednost osnove a.

Najprej razmislimo o situaciji, ko je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge osnovne vrednosti, ne večje enote, bodo dale podobno vrsto grafa.

Opredelitev 16

Lastnosti logaritemske funkcije, ko je osnova manjša od ena:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Ko se x nagiba k ničli z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k +∞;
• območje vrednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• logaritemski
• funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;

Zdaj pa poglejmo poseben primer, ko je osnova logaritemske funkcije večja od ena: a > 1 . Spodnja risba prikazuje grafe logaritemskih funkcij y = log 3 2 x in y = ln x (modra in rdeča barva grafov).

Druge vrednosti baze, večje od ena, bodo dale podoben tip grafa.

Opredelitev 17

Lastnosti logaritemske funkcije, ko je osnova večja od ena:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Ko x teži k ničli z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k - ∞;
• območje vrednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celoten niz realnih števil);
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• logaritemska funkcija narašča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točka prehoda funkcije: (1; 0) .

Trigonometrične funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Oglejmo si lastnosti vsakega od njih in ustrezne grafike.

Na splošno je za vse trigonometrične funkcije značilna lastnost periodičnosti, tj. ko se vrednosti funkcije ponavljajo pri različne pomene argumenti, ki se med seboj razlikujejo za periodo f (x + T) = f (x) (T – perioda). Tako je na seznam lastnosti trigonometričnih funkcij dodan element "najmanjše pozitivno obdobje". Poleg tega bomo navedli vrednosti argumenta, pri katerih ustrezna funkcija postane nič.

1. Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf te funkcije se imenuje sinusni val.

Opredelitev 18

Lastnosti sinusne funkcije:

• domena definicije: celotna množica realnih števil x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija izgine, ko je x = π · k, kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• funkcija narašča za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z in padajoče za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinusna funkcija ima lokalne maksimume v točkah π 2 + 2 π · k; 1 in lokalni minimumi v točkah - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinusna funkcija je konkavna, ko je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z in konveksna, ko je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ni asimptot.

1. Kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf te funkcije se imenuje kosinusni val.

Opredelitev 19

Lastnosti kosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• najmanjša pozitivna perioda: T = 2 π;
• območje vrednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ta funkcija je soda, ker je y (- x) = y (x);
• funkcija narašča za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z in padajoče za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinusna funkcija ima lokalne maksimume v točkah 2 π · k ; 1, k ∈ Z in lokalni minimumi v točkah π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinusna funkcija je konkavna, ko je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z in konveksna, ko je x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• prevojne točke imajo koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• ni asimptot.

1. Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf te funkcije se imenuje tangenta.

Opredelitev 20

Lastnosti funkcije tangente:

• domena definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• Obnašanje funkcije tangente na meji definicijskega področja lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Tako so premice x = π 2 + π · k k ∈ Z navpične asimptote;
• funkcija izniči, ko je x = π · k za k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• območje vrednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija narašča kot - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z in konveksno za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• prevojne točke imajo koordinate π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Funkcija kotangens: y = c t g (x)

Graf te funkcije se imenuje kotangentoid. .

Opredelitev 21

Lastnosti funkcije kotangens:

• domena definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);

Obnašanje kotangensne funkcije na meji definicijskega področja lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Tako so premice x = π · k k ∈ Z navpične asimptote;

• najmanjša pozitivna perioda: T = π;
• funkcija izniči, ko je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• območje vrednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je padajoča za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• funkcija kotangens je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z in konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• prevojne točke imajo koordinate π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Ni poševnih ali vodoravnih asimptot.

Inverzne trigonometrične funkcije so arksinus, arkosinus, arktangens in arkotangens. Pogosto se zaradi prisotnosti predpone "lok" v imenu inverzne trigonometrične funkcije imenujejo ločne funkcije .

1. Arkus sinusna funkcija: y = a r c sin (x)

Opredelitev 22

Lastnosti funkcije arkusina:

• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija arkusina ima konkavnost za x ∈ 0; 1 in konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
• prevojne točke imajo koordinate (0; 0), ki je tudi ničla funkcije;
• ni asimptot.

1. Arkus kosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Opredelitev 23

Lastnosti ark kosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
• območje: y ∈ 0 ; π;
• ta funkcija je splošne oblike (niti soda niti liha);
• funkcija je padajoča po celotni definicijski domeni;
• funkcija ark kosinusa ima konkavnost pri x ∈ - 1; 0 in konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
• prevojne točke imajo koordinate 0; π 2;
• ni asimptot.

1. Funkcija arc tangensa: y = a r c t g (x)

Opredelitev 24

Lastnosti funkcije arktangenta:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• območje vrednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija narašča po celotni domeni definicije;
• funkcija arktangensa ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] in konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0), ki je tudi ničla funkcije;
• horizontalne asimptote so ravne črte y = - π 2 pri x → - ∞ in y = π 2 pri x → + ∞ (na sliki so asimptote zelene črte).

1. Arkus tangens funkcija: y = a r c c t g (x)

Opredelitev 25

Lastnosti funkcije arkotangensa:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• obseg: y ∈ (0; π) ;
• ta funkcija je splošne oblike;
• funkcija je padajoča po celotni definicijski domeni;
• funkcija arc kotangens ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) in konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• prevojna točka ima koordinate 0; π 2;
• horizontalne asimptote so ravne črte y = π pri x → - ∞ (zelena črta na risbi) in y = 0 pri x → + ∞.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

znanje osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi nič manj pomembno kot poznavanje množilne tabele. So kot temelj, vse temelji na njih, vse se gradi iz njih in vse se spušča nanje.

V tem članku bomo našteli vse glavne osnovne funkcije, podali njihove grafe in podali brez zaključkov ali dokazov lastnosti osnovnih elementarnih funkcij po shemi:

• obnašanje funkcije na mejah definicijskega področja, navpične asimptote (po potrebi glej članek klasifikacija diskontinuitetnih točk funkcije);
• sodo in liho;
• intervali konveksnosti (konveksnost navzgor) in konkavnosti (konveksnost navzdol), prevojne točke (po potrebi glej članek konveksnost funkcije, smer konveksnosti, prevojne točke, pogoji konveksnosti in prevoja);
• poševne in vodoravne asimptote;
• singularne točke funkcije;
• posebne lastnosti nekaterih funkcij (npr. najmanjša pozitivna perioda trigonometričnih funkcij).

Če vas zanima ali, potem lahko obiščete te dele teorije.

Osnovne elementarne funkcije so: konstantna funkcija (konstanta), n-ti koren, potenčna funkcija, eksponentna, logaritemska funkcija, trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije.

Navigacija po straneh.

Stalna funkcija.

Konstantno funkcijo definiramo na množici vseh realnih števil s formulo , kjer je C neko realno število. Konstantna funkcija vsako realno vrednost neodvisne spremenljivke x poveže z enako vrednostjo odvisne spremenljivke y - vrednostjo C. Konstantno funkcijo imenujemo tudi konstanta.

Graf konstantne funkcije je ravna črta, vzporedna z osjo x in poteka skozi točko s koordinatami (0,C). Kot primer bomo prikazali grafe konstantnih funkcij y=5, y=-2 in, ki na spodnji sliki ustrezajo črni, rdeči in modri črti.

Lastnosti konstantne funkcije.

• Domena: celoten niz realnih števil.
• Konstantna funkcija je soda.
• Območje vrednosti: niz, sestavljen iz ednina Z .
• Konstantna funkcija je nenaraščujoča in nepadajoča (zato je konstantna).
• O konveksnosti in konkavnosti konstante nima smisla govoriti.
• Ni asimptot.
• Funkcija poteka skozi točko (0,C) koordinatne ravnine.

Koren n-te stopnje.

Oglejmo si osnovno elementarno funkcijo, ki je podana s formulo , kjer je n naravno število, večje od ena.

Koren n-te stopnje, n je sodo število.

Začnimo z n-to korensko funkcijo za sode vrednosti korenskega eksponenta n.

Kot primer je tukaj slika s slikami funkcijskih grafov in ustrezajo črnim, rdečim in modrim črtam.

Grafi korenskih funkcij sode stopnje imajo podoben videz za druge vrednosti eksponenta.

Lastnosti n-te korenske funkcije za sodo n.

Koren n, n je liho število.

Korenska funkcija n z lihim korenskim eksponentom n je definirana na celotni množici realnih števil. Na primer, tukaj so funkcijski grafi in ustrezajo črni, rdeči in modri krivulji.

Za druge lihe vrednosti korenskega eksponenta bodo grafi funkcij imeli podoben videz.

Lastnosti n-te korenske funkcije za liho n.

Funkcija moči.

Funkcija moči je podana s formulo oblike .

Oglejmo si obliko grafov potenčne funkcije in lastnosti potenčne funkcije v odvisnosti od vrednosti eksponenta.

Začnimo s potenčno funkcijo s celim eksponentom a. V tem primeru je videz grafov potenčnih funkcij in lastnosti funkcij odvisen od parnosti ali lihosti eksponenta, pa tudi od njegovega predznaka. Zato bomo najprej obravnavali potenčne funkcije za lihe pozitivne vrednosti eksponenta a, nato za sode pozitivne eksponente, nato za lihe negativne eksponente in na koncu za sode negativne a.

Lastnosti potenčnih funkcij z delnimi in iracionalnimi eksponenti (kot tudi vrsta grafov takšnih potenčnih funkcij) so odvisne od vrednosti eksponenta a. Upoštevali jih bomo, prvič, za a od nič do ena, drugič, za večje od ena, tretjič, za a od minus ena do nič, četrtič, za manj kot minus ena.

Na koncu tega razdelka bomo zaradi popolnosti opisali potenčno funkcijo z ničelnim eksponentom.

Potenčna funkcija z lihim pozitivnim eksponentom.

Oglejmo si potenčno funkcijo z lihim pozitivnim eksponentom, to je z a = 1,3,5,....

Spodnja slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta, – zelena črta. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Lastnosti potenčne funkcije z lihim pozitivnim eksponentom.

Potenčna funkcija s sodim pozitivnim eksponentom.

Oglejmo si potenčno funkcijo s sodim pozitivnim eksponentom, to je za a = 2,4,6,....

Kot primer podajamo grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta. Za a=2 imamo kvadratno funkcijo, katere graf je kvadratna parabola.

Lastnosti potenčne funkcije s sodim pozitivnim eksponentom.

Potenčna funkcija z lihim negativnim eksponentom.

Oglejte si grafe potenčne funkcije za lihe negativne vrednosti eksponenta, to je za a = -1, -3, -5,....

Slika prikazuje grafe funkcij moči kot primere - črna črta, - modra črta, - rdeča črta, - zelena črta. Za a=-1 imamo obratno sorazmernost, katerega graf je hiperbola.

Lastnosti potenčne funkcije z lihim negativnim eksponentom.

Potenčna funkcija s sodim negativnim eksponentom.

Preidimo na potenčno funkcijo za a=-2,-4,-6,….

Slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta.

Lastnosti potenčne funkcije s sodim negativnim eksponentom.

Potenčna funkcija z racionalnim ali iracionalnim eksponentom, katerega vrednost je večja od nič in manjša od ena.

Pozor!Če je a pozitiven ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval. Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo ravno tega stališča, to je, da bomo množico obravnavali kot domene definicije potenčnih funkcij z delnimi pozitivnimi eksponenti. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.

Razmislite o potenčni funkciji z racionalnimi oz iracionalni indikator a , in .

Predstavimo grafe potenčnih funkcij za a=11/12 (črna črta), a=5/7 (rdeča črta), (modra črta), a=2/5 (zelena črta).

Potenčna funkcija z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom, večjim od ena.

Vzemimo potenčno funkcijo z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom a in .

Predstavimo grafe potenčnih funkcij, podanih s formulami (črne, rdeče, modre in zelene črte).

>

Za druge vrednosti eksponenta a bodo grafi funkcije imeli podoben videz.

Lastnosti potenčne funkcije pri .

Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki je večji od minus ena in manjši od nič.

Pozor!Če je a negativen ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval . Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo natanko tega stališča, to je, da bomo domene definicije potenčnih funkcij z delno delno negativnimi eksponenti obravnavali kot množico oz. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.

Preidimo k funkciji moči, kgod.

Da bi imeli dobro predstavo o obliki grafov funkcij moči za , podajamo primere grafov funkcij (črna, rdeča, modra in zelena krivulja).

Lastnosti potenčne funkcije z eksponentom a, .

Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki ni celo število in je manjši od minus ena.

Navedimo primere grafov funkcij moči za , so upodobljene s črno, rdečo, modro in zeleno črto.

Lastnosti potenčne funkcije z necelim negativnim eksponentom, manjšim od minus ena.

Ko je a = 0, imamo funkcijo - to je ravna črta, iz katere je točka (0;1) izključena (dogovorjeno je bilo, da izrazu 0 0 ne pripisujemo nobenega pomena).

Eksponentna funkcija.

Ena glavnih elementarnih funkcij je eksponentna funkcija.

Graf eksponentne funkcije, kjer in ima različne oblike glede na vrednost osnove a. Ugotovimo to.

Najprej razmislite o primeru, ko ima osnova eksponentne funkcije vrednost od nič do ena, to je .

Kot primer podajamo grafe eksponentne funkcije za a = 1/2 – modra črta, a = 5/6 – rdeča črta. Grafi eksponentne funkcije imajo podoben videz za druge vrednosti baze iz intervala.

Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, manjšo od ena.

Preidimo na primer, ko je osnova eksponentne funkcije večja od ena, to je .

Za ponazoritev podajamo grafe eksponentnih funkcij - modra črta in - rdeča črta. Za druge vrednosti baze, večje od ena, bodo grafi eksponentne funkcije imeli podoben videz.

Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, večjo od ena.

Logaritemska funkcija.

Naslednja osnovna elementarna funkcija je logaritemska funkcija, kjer je , . Logaritemska funkcija je definirana samo za pozitivne vrednosti argumenta, to je za.

Graf logaritemske funkcije ima različne oblike, odvisno od vrednosti osnove a.

Nacionalna raziskovalna univerza

Oddelek za uporabno geologijo

Povzetek o višji matematiki

Na temo: “Osnovne elementarne funkcije,

njihove lastnosti in grafi"

Dokončano:

Preverjeno:

učiteljica

Opredelitev. Pokliče se funkcija, definirana s formulo y=a x (kjer je a>0, a≠1). eksponentna funkcija z osnovo a.

Formulirajmo glavne lastnosti eksponentne funkcije:

1. Definicijsko področje je množica (R) vseh realnih števil.

2. Območje - množica (R+) vseh pozitivnih realnih števil.

3. Pri a > 1 funkcija narašča vzdolž celotne številske premice; ob 0<а<1 функция убывает.

4. Je funkcija splošne oblike.

, na intervalu xО [-3;3]
, na intervalu xО [-3;3]

Funkcijo oblike y(x)=x n, kjer je n število ОR, imenujemo potenčna funkcija. Število n lahko zavzame različne vrednosti: tako celo kot delno, tako sodo kot liho. Odvisno od tega bo imela funkcija moči drugačno obliko. Oglejmo si posebne primere, ki so potenčne funkcije in odražajo osnovne lastnosti te vrste krivulje v naslednjem vrstnem redu: potenčna funkcija y=x² (funkcija s sodim eksponentom - parabola), potenčna funkcija y=x³ (funkcija z lihim eksponentom - kubična parabola) in funkcija y=√x (x na potenco ½) (funkcija z delnim eksponentom), funkcija z negativnim celim eksponentom (hiperbola).

Funkcija moči y=x²

1. D(x)=R – funkcija je definirana na celotni numerični osi;

2. E(y)= in narašča na intervalu

Funkcija moči y=x³

1. Graf funkcije y=x³ imenujemo kubična parabola. Funkcija moči y=x³ ima naslednje lastnosti:

2. D(x)=R – funkcija je definirana na celotni numerični osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcija zavzame vse vrednosti v svoji definicijski domeni;

4. Ko je x=0 y=0 – gre funkcija skozi izhodišče koordinat O(0;0).

5. Funkcija narašča po celotni domeni definicije.

6. Funkcija je liha (simetrična glede na izvor).

, na intervalu xО [-3;3]

Odvisno od numeričnega faktorja pred x³ je lahko funkcija strma/ravna in naraščajoča/padajoča.

Potenčna funkcija z negativnim celim eksponentom:

Če je eksponent n lih, se graf takšne potenčne funkcije imenuje hiperbola. Potenčna funkcija s celim negativnim eksponentom ima naslednje lastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) za poljuben n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), če je n liho število; E(y)=(0;∞), če je n sodo število;

3. Funkcija pada čez celotno domeno definicije, če je n liho število; funkcija narašča na intervalu (-∞;0) in pada na intervalu (0;∞), če je n sodo število.

4. Funkcija je liha (simetrična glede na izvor), če je n liho število; funkcija je soda, če je n sodo število.

5. Funkcija gre skozi točki (1;1) in (-1;-1), če je n liho število, in skozi točki (1;1) in (-1;1), če je n sodo število.

, na intervalu xО [-3;3]

Potenčna funkcija z delnim eksponentom

Potenčna funkcija z ulomljenim eksponentom (slika) ima graf funkcije, prikazane na sliki. Potenčna funkcija z ulomljenim eksponentom ima naslednje lastnosti: (slika)

1. D(x) ОR, če je n liho število in je D(x)=
, na intervalu xO
, na intervalu xО [-3;3]

Logaritemska funkcija y = log a x ima naslednje lastnosti:

1. Domena definicije D(x)О (0; + ∞).

2. Območje vrednosti E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcija ni niti soda niti liha (splošne oblike).

4. Funkcija narašča na intervalu (0; + ∞) za a > 1, pada na (0; + ∞) za 0< а < 1.

Graf funkcije y = log a x lahko dobimo iz grafa funkcije y = a x z uporabo simetrične transformacije glede na premico y = x. Slika 9 prikazuje graf logaritemske funkcije za a > 1, Slika 10 pa za 0< a < 1.

; na intervalu xO
; na intervalu xO

Funkcije y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x imenujemo trigonometrične funkcije.

Funkcije y = sin x, y = tan x, y = ctg x so lihe, funkcija y = cos x pa soda.

Funkcija y = sin(x).

1. Domena definicije D(x) ОR.

2. Razpon vrednosti E (y) О [ - 1; 1].

3. funkcija je periodična; glavna perioda je 2π.

4. Funkcija je liha.

5. Funkcija narašča na intervalih [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] in pada na intervalih [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkcije y = sin (x) je prikazan na sliki 11.