Najprej poskusite najti domeno funkcije:

Vam je uspelo? Primerjajmo odgovore:

Je vse v redu? Bravo!

Zdaj pa poskusimo najti obseg vrednosti funkcije:

Ste ga našli? Primerjajmo:

razumeš Bravo!

Ponovno delajmo z grafi, le da je zdaj malo bolj zapleteno - poiščite tako domeno definicije funkcije kot obseg vrednosti funkcije.

Kako najti domeno in obseg funkcije (napredno)

Evo, kaj se je zgodilo:

Mislim, da ste razumeli grafe. Zdaj pa poskusimo najti domeno definicije funkcije v skladu s formulami (če ne veste, kako to storiti, preberite razdelek o):

Vam je uspelo? Preverimo odgovori:

1. , ker mora biti radikalni izraz večji ali enak nič.
2. , ker ne morete deliti z nič in radikalni izraz ne more biti negativen.
3. , saj za vse.
4. , ker ne morete deliti z nič.

Vendar pa imamo še eno neodgovorjeno točko ...

Še enkrat bom ponovil definicijo in jo poudaril:

Ste opazili? Beseda "samski" je zelo, zelo pomemben element naše definicije. Poskušal vam bom razložiti s prsti.

Recimo, da imamo funkcijo, definirano z ravno črto. . At, to vrednost nadomestimo v naše "pravilo" in dobimo to. Ena vrednost ustreza eni vrednosti. Lahko celo naredimo tabelo različnih vrednosti in to funkcijo narišemo v graf, da se o tem prepričamo sami.

"Glej! - pravite, "" se pojavi dvakrat!" Torej morda parabola ni funkcija? Ne, je!

Dejstvo, da se » « pojavi dvakrat, ni razlog, da bi paraboli očitali dvoumnost!

Dejstvo je, da smo pri preračunu za prejeli eno igro. In pri računanju z smo dobili en igrik. Tako je, parabola je funkcija. Poglej graf:

razumeš Če ne, je tukaj življenjski primer, ki je zelo daleč od matematike!

Recimo, da imamo skupino prosilcev, ki so se srečali med oddajo dokumentov, od katerih je vsak v pogovoru povedal, kje živi:

Strinjam se, da je povsem mogoče, da več fantov živi v enem mestu, vendar je nemogoče, da ena oseba živi v več mestih hkrati. To je kot logična predstavitev naše "parabole" - Več različnih X-jev ustreza isti igri.

Zdaj pa poglejmo primer, kjer odvisnost ni funkcija. Recimo, da so nam ti isti fantje povedali, za katere specialnosti so se prijavili:

Tukaj imamo popolnoma drugačno situacijo: ena oseba lahko enostavno predloži dokumente za eno ali več smeri. To je en element kompleti so dani v korespondenco več elementov množice. Oziroma to ni funkcija.

Preizkusimo vaše znanje v praksi.

Iz slik ugotovi, kaj je funkcija in kaj ne:

razumeš In tukaj je odgovori:

• Funkcija je - B, E.
• Funkcija ni - A, B, D, D.

Sprašujete zakaj? Da, tukaj je razlog:

Na vseh slikah razen IN) in E) Več jih je za enega!

Prepričan sem, da lahko zdaj preprosto ločite funkcijo od ne-funkcije, poveste, kaj je argument in kaj je odvisna spremenljivka, ter določite obseg dovoljenih vrednosti argumenta in obseg definicije funkcije . Pojdimo na naslednji razdelek – kako nastaviti funkcijo?

Metode za določanje funkcije

Kaj mislite, kaj pomenijo besede? "nastavi funkcijo"? Tako je, to pomeni vsem pojasniti, kakšna je funkcija v tem primeru. govorimo o. In razloži tako, da te vsi prav razumejo in da so grafi funkcij, ki jih narišejo ljudje na podlagi tvoje razlage, enaki.

Kako je to mogoče storiti? Kako nastaviti funkcijo? Najenostavnejša metoda, ki je bila že večkrat uporabljena v tem članku, je z uporabo formule. Napišemo formulo in tako, da vanjo vstavimo vrednost, izračunamo vrednost. In kot se spomnite, je formula zakon, pravilo, po katerem nam in drugemu postane jasno, kako se X spremeni v Y.

Običajno počnejo točno to - v nalogah vidimo že pripravljene funkcije, določene s formulami, vendar obstajajo tudi drugi načini za nastavitev funkcije, na katere vsi pozabijo, zato se vprašanje "kako drugače lahko nastavi funkcija?" pregrade. Razmislimo po vrsti in začnimo z analitično metodo.

Analitična metoda določanja funkcije

Analitična metoda je podajanje funkcije s formulo. To je najbolj univerzalna, celovita in nedvoumna metoda. Če imate formulo, potem veste absolutno vse o funkciji - iz nje lahko naredite tabelo vrednosti, lahko zgradite graf, določite, kje funkcija narašča in kje se zmanjšuje, na splošno jo preučite v celoti.

Razmislimo o funkciji. Kakšna je razlika?

"Kaj to pomeni?" - vprašate. Zdaj bom razložil.

Naj vas spomnim, da se v zapisu izraz v oklepaju imenuje argument. In ta argument je lahko katerikoli izraz, ne nujno preprost. V skladu s tem, karkoli je argument (izraz v oklepajih), ga bomo namesto tega zapisali v izraz.

V našem primeru bo videti takole:

Oglejmo si še eno nalogo, povezano z analitično metodo podajanja funkcije, ki jo boste imeli na izpitu.

Poiščite vrednost izraza pri.

Prepričan sem, da ste bili sprva prestrašeni, ko ste videli tak izraz, vendar v tem ni popolnoma nič strašnega!

Vse je enako kot v prejšnjem primeru: karkoli je argument (izraz v oklepaju), ga bomo namesto tega zapisali v izraz. Na primer za funkcijo.

Kaj je treba storiti v našem primeru? Namesto tega morate napisati in namesto tega -:

skrajšajte nastali izraz:

To je to!

Samostojno delo

Zdaj poskusite sami poiskati pomen naslednjih izrazov:

1. , Če
2. , Če

Vam je uspelo? Primerjajmo naše odgovore: Navajeni smo, da ima funkcija obliko

Tudi v naših primerih definiramo funkcijo natanko tako, analitično pa je mogoče funkcijo definirati v implicitni obliki npr.

Poskusite zgraditi to funkcijo sami.

Vam je uspelo?

Takole sem ga zgradil.

Kakšno enačbo smo na koncu izpeljali?

prav! Linearno, kar pomeni, da bo graf ravna črta. Naredimo tabelo, da ugotovimo, katere točke pripadajo naši premici:

Točno o tem smo govorili ... Eno ustreza več.

Poskusimo narisati, kaj se je zgodilo:

Je to, kar imamo, funkcija?

Tako je, ne! Zakaj? Poskusite odgovoriti na to vprašanje s pomočjo risbe. Kaj si dobil?

"Ker ena vrednost ustreza več vrednostim!"

Kakšen sklep lahko potegnemo iz tega?

Tako je, funkcije ni vedno mogoče eksplicitno izraziti in kar je »prikrito« kot funkcija, ni vedno funkcija!

Tabelarni način določanja funkcije

Kot že ime pove, je ta metoda preprost znak. ja, ja. Kot tistega, ki sva ga ti in jaz že naredila. Na primer:

Tukaj ste takoj opazili vzorec - Y je trikrat večji od X. In zdaj naloga, da "zelo dobro premislite": ali menite, da je funkcija, podana v obliki tabele, enakovredna funkciji?

Ne govoriva dolgo, ampak narišiva!

torej. Funkcijo, ki jo določa ozadje, narišemo na naslednje načine:

Ali vidite razliko? Ni vse v označenih točkah! Poglejte si pobližje:

Ste ga zdaj videli? Ko definiramo funkcijo tabelarično, na grafu prikažemo le tiste točke, ki jih imamo v tabeli in premica (kot v našem primeru) poteka samo skozi njih. Ko funkcijo definiramo analitično, lahko vzamemo poljubne točke in naša funkcija ni omejena nanje. To je posebnost. Ne pozabite!

Grafična metoda konstruiranja funkcije

Grafična metoda konstruiranja funkcije ni nič manj priročna. Mi narišemo svojo funkcijo, drugi zainteresirani pa lahko ugotovi, čemu je enak y pri določenem x in tako naprej. Med najpogostejšimi sta grafična in analitična metoda.

Tu pa se morate spomniti, o čem smo govorili na samem začetku - ni vsaka v koordinatnem sistemu narisana vijuga funkcija! se spomniš Za vsak slučaj bom tukaj kopiral definicijo funkcije:

Praviloma ljudje običajno imenujejo točno tri načine določanja funkcije, o katerih smo razpravljali - analitično (z uporabo formule), tabelarično in grafično, pri čemer popolnoma pozabimo, da je funkcijo mogoče opisati verbalno. Kako je to? Da, zelo preprosto!

Besedni opis funkcije

Kako ustno opisati funkcijo? Vzemimo naš nedavni primer - . To funkcijo lahko opišemo kot "vsaka realna vrednost x ustreza njegovi trojni vrednosti." To je vse. Nič zapletenega. Seveda boste ugovarjali - "obstajajo tako zapletene funkcije, ki jih je preprosto nemogoče določiti ustno!" Da, obstajajo takšne, vendar obstajajo funkcije, ki jih je lažje opisati ustno kot definirati s formulo. Na primer: "vsaka naravna vrednost x ustreza razliki med števkami, iz katerih je sestavljena, medtem ko se največja cifra v zapisu števila vzame kot minuend." Zdaj pa poglejmo, kako se naš besedni opis funkcije izvaja v praksi:

Največja številka v danem številu je minuend, potem:

Glavne vrste funkcij

Zdaj pa preidimo na najbolj zanimiv del - poglejmo glavne tipe funkcij, s katerimi ste delali/delate in jih boste delali v tečaju matematike v šoli in na fakulteti, torej jih tako rekoč spoznajmo , in jim dajte kratek opis. Preberite več o vsaki funkciji v ustreznem razdelku.

Linearna funkcija

Funkcija obrazca, kjer, - realna števila.

Graf te funkcije je ravna črta, zato konstrukcija linearna funkcija gre za iskanje koordinat dveh točk.

Položaj premice na koordinatni ravnini je odvisen od kotnega koeficienta.

Obseg funkcije (tudi obseg veljavnih vrednosti argumentov) je .

Razpon vrednosti - .

Kvadratna funkcija

Funkcija oblike, kjer

Graf funkcije je parabola, ko so veje usmerjene navzdol, ko so veje usmerjene navzgor.

Veliko lastnosti kvadratna funkcija odvisno od vrednosti diskriminatorja. Diskriminant se izračuna po formuli

Položaj parabole na koordinatni ravnini glede na vrednost in koeficient je prikazan na sliki:

Domena definicije

Razpon vrednosti je odvisen od ekstrema dane funkcije (vrh parabole) in koeficienta (smer vej parabole)

Inverzna sorazmernost

Funkcija, podana s formulo, kjer je

Število imenujemo koeficient obratne sorazmernosti. Odvisno od vrednosti so veje hiperbole v različnih kvadratih:

Obseg opredelitve - .

Razpon vrednosti - .

POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

1. Funkcija je pravilo, po katerem je vsak element množice povezan z enim samim elementom množice.

• - to je formula, ki označuje funkcijo, to je odvisnost ene spremenljivke od druge;
• - vrednost spremenljivke ali argument;
• - odvisna količina - se spremeni, ko se argument spremeni, to je v skladu s katero koli specifično formulo, ki odraža odvisnost ene količine od druge.

2. Veljavne vrednosti argumentov ali domena funkcije je tisto, kar je povezano z možnostmi, v katerih je funkcija smiselna.

3. Obseg funkcij- to so vrednosti, ki jih sprejme glede na sprejemljive vrednosti.

4. Funkcijo lahko nastavite na 4 načine:

• analitično (z uporabo formul);
• tabelarni;
• grafični
• besedni opis.

5. Glavne vrste funkcij:

• : , kjer so realna števila;
• : , Kje;
• : , Kje.

dano metodološko gradivo je samo za referenco in velja za širok spekter tem. Članek podaja pregled grafov osnovnih elementarnih funkcij in jih obravnava najpomembnejše vprašanje – kako pravilno in HITRO zgraditi graf. Pri študiju višje matematike brez znanja osnovnih grafov elementarne funkcije Težko bo, zato je zelo pomembno, da si zapomnite, kako izgledajo grafi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., in si zapomnite nekatere vrednosti funkcij. tudi se bomo pogovorili o nekaterih lastnostih osnovnih funkcij.

Ne zahtevam popolnosti in znanstvene temeljitosti gradiva; poudarek bo predvsem na praksi - tistih stvareh, s katerimi srečamo dobesedno na vsakem koraku, v kateri koli temi višje matematike. Grafi za telebane? Lahko bi se tako reklo.

Zaradi številnih prošenj bralcev klikljivo kazalo vsebine:

Poleg tega je na to temo izjemno kratek sinopsis
– Obvladajte 16 vrst grafikonov tako, da preučite ŠEST strani!

Resno, šest, celo jaz sem bil presenečen. Ta povzetek vsebuje izboljšano grafiko in je na voljo za simbolično ceno; Datoteko je priročno natisniti, tako da so grafi vedno pri roki. Hvala za podporo projektu!

In začnimo takoj:

Kako pravilno sestaviti koordinatne osi?

Teste v praksi učenci skoraj vedno opravljajo v ločenih zvezkih, črtanih v kvadrat. Zakaj potrebujete kariraste oznake? Navsezadnje je delo načeloma mogoče opraviti na listih A4. In kletka je potrebna samo za kakovostno in natančno oblikovanje risb.

Vsaka risba funkcijskega grafa se začne s koordinatnimi osemi.

Risbe so lahko dvodimenzionalne ali tridimenzionalne.

Najprej razmislimo o dvodimenzionalnem primeru Kartezični pravokotni koordinatni sistem:

1) Narišite koordinatne osi. Os se imenuje x-os , in os je y-os . Vedno jih poskušamo narisati čeden in ne ukrivljen. Puščice tudi ne smejo spominjati na brado Papa Carla.

2) Označite osi z velikimi tiskanimi črkami"X" in "Y". Ne pozabite označiti osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi: narišite ničlo in dve enici. Pri izdelavi risbe je najprimernejše in pogosto uporabljeno merilo: 1 enota = 2 celici (risba levo) – če je mogoče, se je držite. Vendar se od časa do časa zgodi, da risba ne sodi na zvezkov list – takrat zmanjšamo merilo: 1 enota = 1 celica (risba desno). Redko, vendar se zgodi, da je treba merilo risbe še bolj zmanjšati (ali povečati)

NI POTREBE po "mitraljezi" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Kajti koordinatna ravnina ni spomenik Descartesu in učenec ni golob. Postavili smo nič in dve enoti vzdolž osi. včasih namesto enote, je priročno "označiti" druge vrednosti, na primer "dve" na abscisni osi in "tri" na ordinatni osi - in ta sistem (0, 2 in 3) bo tudi enolično določil koordinatno mrežo.

Pred sestavo risbe je bolje oceniti predvidene dimenzije risbe. Tako na primer, če naloga zahteva risanje trikotnika z oglišči , , , potem je popolnoma jasno, da priljubljeno merilo 1 enota = 2 celici ne bo delovalo. Zakaj? Poglejmo bistvo - tukaj boste morali izmeriti petnajst centimetrov navzdol in očitno se risba ne bo prilegala (ali komaj prilegala) na list zvezka. Zato takoj izberemo manjše merilo: 1 enota = 1 celica.

Mimogrede, o centimetrih in celicah zvezkov. Ali drži, da 30 celic zvezka vsebuje 15 centimetrov? Za zabavo izmerite 15 centimetrov v zvezku z ravnilom. V ZSSR je to morda veljalo ... Zanimivo je, da če izmerite te iste centimetre vodoravno in navpično, bodo rezultati (v celicah) drugačni! Strogo gledano, sodobni zvezki niso karirasti, ampak pravokotni. To se morda zdi nesmiselno, vendar je risanje na primer kroga s kompasom v takih situacijah zelo neprijetno. Če sem iskren, v takih trenutkih začneš razmišljati o pravilnosti tovariša Stalina, ki je bil poslan v taborišča zaradi hekerskega dela v proizvodnji, da ne omenjam domače avtomobilske industrije, padajočih letal ali eksplozivnih elektrarn.

Ko smo že pri kvaliteti oz. kratko priporočilo glede pisarniškega materiala. Danes je večina zvezkov v prodaji milo rečeno popolna bedarija. Iz razloga, ker se zmočijo, in ne samo od gelskih svinčnikov, ampak tudi od kemičnih svinčnikov! Prihranijo denar na papirju. Za registracijo testi Priporočam uporabo zvezkov Arhangelske tovarne celuloze in papirja (18 listov, mreža) ali "Pyaterochka", čeprav je dražje. Priporočljivo je izbrati gelsko pisalo, tudi najcenejše kitajsko gelsko polnilo je veliko boljše od kemičnega svinčnika, ki bodisi razmaže ali raztrga papir. Edini "konkurenčni" kemični svinčnik, ki se ga spomnim, je Erich Krause. Piše jasno, lepo in dosledno – bodisi s polnim jedrom bodisi s skoraj praznim.

Dodatno: Vizija pravokotnega koordinatnega sistema skozi oči analitične geometrije je zajeta v članku. Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev, podrobne informacije o koordinatnih četrtinah najdete v drugem odstavku lekcije Linearne neenakosti.

3D etui

Tukaj je skoraj enako.

1) Narišite koordinatne osi. Standardno: aplicirati os – usmerjena navzgor, os – usmerjena v desno, os – usmerjena navzdol v levo strogo pod kotom 45 stopinj.

2) Označite osi.

3) Nastavite merilo vzdolž osi. Merilo vzdolž osi je dvakrat manjše od merila vzdolž ostalih osi. Upoštevajte tudi, da sem na desni risbi uporabil nestandardno "zarezo" vzdolž osi (ta možnost je bila že omenjena zgoraj). Z mojega vidika je to bolj natančno, hitreje in bolj estetsko - ni treba iskati sredine celice pod mikroskopom in "klesati" enote blizu izvora koordinat.

Pri izdelavi 3D risbe ponovno dajte prednost merilu
1 enota = 2 celici (risba na levi).

Čemu so vsa ta pravila? Pravila so narejena zato, da se jih krši. To bom zdaj naredil. Dejstvo je, da bom naslednje risbe artikla naredil jaz v Excelu, koordinatne osi pa bodo z vidika pravilnega oblikovanja videti napačne. Vse grafe bi lahko narisal ročno, vendar jih je pravzaprav strašljivo narisati, saj jih Excel ne želi narisati bolj natančno.

Grafi in osnovne lastnosti elementarnih funkcij

Linearna funkcija je podana z enačbo. Graf linearnih funkcij je neposredno. Da bi zgradili ravno črto, je dovolj poznati dve točki.

Primer 1

Zgradite graf funkcije. Poiščimo dve točki. Ugodno je izbrati nič kot eno od točk.

Če, potem

Vzemimo drugo točko, na primer 1.

Če, potem

Pri izpolnjevanju nalog so koordinate točk običajno povzete v tabeli:

In same vrednosti se izračunajo ustno ali na osnutku, kalkulatorju.

Najdeni sta bili dve točki, naredimo risbo:

Pri pripravi risbe vedno podpišemo grafiko.

Koristno bi bilo spomniti se posebnih primerov linearne funkcije:

Opazite, kako sem dal podpise, podpisi ne smejo dopuščati neskladij pri preučevanju risbe. V tem primeru je bilo zelo nezaželeno postaviti podpis poleg točke presečišča črt ali spodaj desno med grafi.

1) Linearna funkcija oblike () se imenuje direktna sorazmernost. Na primer,. Graf neposredne sorazmernosti vedno poteka skozi izhodišče. Tako je gradnja ravne črte poenostavljena - dovolj je najti samo eno točko.

2) Enačba oblike podaja ravno črto, vzporedno z osjo, zlasti os sama je podana z enačbo. Graf funkcije je zgrajen takoj, brez iskanja točk. To pomeni, da je treba vnos razumeti takole: "y je vedno enak –4 za katero koli vrednost x."

3) Enačba oblike podaja ravno črto, ki je vzporedna z osjo, še posebej, sama os je podana z enačbo. Takoj se izriše tudi graf funkcije. Vnos je treba razumeti takole: "x je vedno, za katero koli vrednost y, enak 1."

Nekateri se bodo vprašali, zakaj se spominjati 6. razreda?! Tako je, mogoče je res tako, ampak v letih vadbe sem srečal dober ducat študentov, ki jih je begala naloga sestaviti graf, kot je oz.

Konstruiranje ravne črte je najpogostejše dejanje pri risanju.

Ravna črta je podrobno obravnavana v tečaju analitične geometrije, zainteresirani pa se lahko obrnejo na članek Enačba premice na ravnini.

Graf kvadratne, kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Graf kvadratne funkcije () predstavlja parabolo. Razmislite o znamenitem primeru:

Spomnimo se nekaterih lastnosti funkcije.

Torej, rešitev naše enačbe: – na tej točki se nahaja vrh parabole. Zakaj je tako, izveste v teoretičnem članku o odvodu in lekciji o ekstremih funkcije. Medtem izračunajmo ustrezno vrednost "Y":

Tako je vrh v točki

Zdaj najdemo druge točke, medtem ko nesramno uporabljamo simetrijo parabole. Treba je opozoriti, da funkcija – ni niti, vendar kljub temu nihče ni preklical simetrije parabole.

V kakšnem vrstnem redu najti preostale točke, mislim, da bo jasno iz končne mize:

Ta konstrukcijski algoritem lahko figurativno imenujemo "shuttle" ali princip "naprej in nazaj" z Anfiso Čehovo.

Naredimo risbo:

Iz pregledanih grafov pride na misel še ena uporabna funkcija:

Za kvadratno funkcijo () drži naslednje:

Če , potem so veje parabole usmerjene navzgor.

Če , potem so veje parabole usmerjene navzdol.

Poglobljeno znanje o krivulji lahko pridobimo pri učni uri Hiperbola in parabola.

Kubična parabola je podana s funkcijo. Tukaj je risba, poznana iz šole:

Naštejmo glavne lastnosti funkcije

Graf funkcije

Predstavlja eno od vej parabole. Naredimo risbo:

Glavne lastnosti funkcije:

V tem primeru je os navpična asimptota za graf hiperbole pri .

VELIKA napaka bi bila, če bi pri risanju risbe malomarno dovolili, da se graf seka z asimptoto.

Tudi enostranske meje nam povedo, da hiperbola ni omejeno od zgoraj in ni omejeno od spodaj.

Oglejmo si funkcijo v neskončnosti: , to je, če se začnemo premikati vzdolž osi levo (ali desno) v neskončnost, potem bodo "igre" urejen korak neskončno blizu pristop k ničli in s tem veje hiperbole neskončno blizu približati osi.

Torej je os horizontalna asimptota za graf funkcije, če se "x" nagiba k plus ali minus neskončnosti.

Funkcija je liho, zato je hiperbola simetrična glede na izvor. To dejstvo je očitno iz risbe, poleg tega pa ga je enostavno analitično preveriti: .

Graf funkcije oblike () predstavlja dve veji hiperbole.

Če , potem se hiperbola nahaja v prvi in ​​tretji koordinatni četrtini(glej sliko zgoraj).

Če , potem se hiperbola nahaja v drugi in četrti koordinatni četrtini.

Navedeni vzorec prebivališča hiperbole je enostavno analizirati z vidika geometrijskih transformacij grafov.

Primer 3

Konstruiraj desno vejo hiperbole

Uporabljamo točkovno konstrukcijo, pri čemer je ugodno izbrati vrednosti tako, da so deljive s celoto:

Naredimo risbo:

Ne bo težko sestaviti leve veje hiperbole; tu bo pomagala nenavadnost funkcije. Grobo rečeno, v tabeli točkovne konstrukcije miselno dodamo minus vsaki številki, postavimo ustrezne točke in narišemo drugo vejo.

Podrobne geometrijske informacije o obravnavani premici najdete v članku Hiperbola in parabola.

Graf eksponentne funkcije

V tem razdelku bom takoj obravnaval eksponentno funkcijo, saj se pri problemih višje matematike v 95% primerov sreča z eksponentno funkcijo.

Naj vas spomnim, da je to iracionalno število: , to bo potrebno pri izdelavi grafa, ki ga bom pravzaprav zgradil brez slovesnosti. Tri točke, mogoče bo dovolj:

Pustimo za zdaj graf funkcije pri miru, o njem več kasneje.

Glavne lastnosti funkcije:

Funkcijski grafi itd. so v bistvu videti enaki.

Moram reči, da se drugi primer v praksi redkeje pojavlja, vendar se pojavlja, zato se mi je zdelo nujno, da ga vključim v ta članek.

Graf logaritemske funkcije

Razmislite o funkciji z naravnim logaritmom.
Naredimo risbo od točke do točke:

Če ste pozabili, kaj je logaritem, si oglejte šolske učbenike.

Glavne lastnosti funkcije:

Domena definicije:

Razpon vrednosti: .

Funkcija ni omejena od zgoraj: , čeprav počasi, vendar gre veja logaritma v neskončnost.
Oglejmo si obnašanje funkcije blizu ničle na desni: . Torej je os navpična asimptota za graf funkcije, ko se "x" nagiba k ničli z desne.

Nujno je poznati in zapomniti tipično vrednost logaritma: .

Načeloma je graf logaritma na osnovi enak: , , (decimalni logaritem na osnovi 10) itd. Poleg tega večja kot je osnova, bolj ploščat bo graf.

Primera ne bomo obravnavali, ne spomnim se kdaj zadnjič Na podlagi tega sem zgradil graf. In zdi se, da je logaritem zelo redek gost v problemih višje matematike.

Na koncu tega odstavka bom povedal še eno dejstvo: Eksponentna funkcija in logaritemska funkcija– to sta dve medsebojno inverzni funkciji. Če natančno pogledate graf logaritma, lahko vidite, da je to isti eksponent, le da se nahaja nekoliko drugače.

Grafi trigonometričnih funkcij

Kje se začnejo trigonometrične muke v šoli? Prav. Od sinusa

Narišimo funkcijo

Ta vrstica se imenuje sinusoid.

Naj vas spomnim, da je "pi" iracionalno število: , in v trigonometriji kar zaslepi oči.

Glavne lastnosti funkcije:

Ta funkcija je periodično z obdobjem. Kaj to pomeni? Poglejmo segment. Levo in desno od njega se neskončno ponavlja popolnoma isti del grafa.

Domena definicije: , kar pomeni, da za vsako vrednost "x" obstaja sinusna vrednost.

Razpon vrednosti: . Funkcija je omejeno: , torej vse "igre" so strogo v segmentu .
To se ne zgodi: oziroma, natančneje, zgodi se, vendar te enačbe nimajo rešitve.

Dolžina segmenta koordinatna os se najde po formuli:

Dolžino segmenta na koordinatni ravnini najdemo po formuli:

Če želite najti dolžino segmenta v tridimenzionalnem koordinatnem sistemu, uporabite naslednjo formulo:

Koordinate sredine segmenta (za koordinatno os se uporablja samo prva formula, za koordinatno ravnino - prvi dve formuli, za tridimenzionalni koordinatni sistem - vse tri formule) se izračunajo po formulah:

funkcija– to je korespondenca obrazca l= f(x) med spremenljivimi količinami, zaradi česar je vsaka obravnavana vrednost neke spremenljive količine x(argument ali neodvisna spremenljivka) ustreza določeni vrednosti druge spremenljivke, l(odvisna spremenljivka, včasih se ta vrednost preprosto imenuje vrednost funkcije). Upoštevajte, da funkcija predpostavlja to eno vrednost argumenta X lahko ustreza le ena vrednost odvisne spremenljivke pri. Vendar pa enaka vrednost pri mogoče dobiti z različnimi X.

Domena funkcije– to so vse vrednosti neodvisne spremenljivke (argument funkcije, običajno this X), za katerega je definirana funkcija, tj. njegov pomen obstaja. Označeno je območje definicije D(l). Na splošno ste s tem konceptom že seznanjeni. Domena definicije funkcije se drugače imenuje domena dopustnih vrednosti ali VA, ki ste jo že dolgo lahko našli.

Območje delovanja so vse možne vrednosti odvisne spremenljivke dane funkcije. Določeno E(pri).

Funkcija se poveča na intervalu, v katerem večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Funkcija se zmanjšuje na intervalu, v katerem večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Intervali konstantnega predznaka funkcije- to so intervali neodvisne spremenljivke, v katerih odvisna spremenljivka ohrani svoj pozitivni ali negativni predznak.

Funkcijske ničle– to so vrednosti argumenta, pri katerih je vrednost funkcije enaka nič. V teh točkah graf funkcije seka abscisno os (os OX). Zelo pogosto potreba po iskanju ničel funkcije pomeni potrebo po preprosti rešitvi enačbe. Prav tako pogosto potreba po iskanju intervalov konstantnosti predznaka pomeni potrebo preprosto rešiti neenakost.

funkcija l = f(x) se imenujejo celo X

To pomeni, da za katero koli nasprotni pomeni argument, so vrednosti sode funkcije enake. Graf sode funkcije je vedno simetričen glede na ordinatno os operacijskega ojačevalnika.

funkcija l = f(x) se imenujejo liho, če je definirana na simetrični množici in za poljubno X iz domene definicije velja enakost:

To pomeni, da so za vse nasprotne vrednosti argumenta tudi vrednosti lihe funkcije nasprotne. Graf lihe funkcije je vedno simetričen glede na izvor.

Vsota korenin sode in lihe funkcije (presečišča x-osi OX) je vedno enaka nič, ker za vsak pozitivni koren X ima negativen koren - X.

Pomembno je opozoriti: ni nujno, da je neka funkcija soda ali liha. Obstaja veliko funkcij, ki niso niti sode niti lihe. Takšne funkcije imenujemo funkcije splošni pogled , in zanje ni izpolnjena nobena od zgoraj navedenih enakosti ali lastnosti.

Linearna funkcija je funkcija, ki jo je mogoče podati s formulo:

Graf linearne funkcije je ravna črta in v splošnem primeru izgleda takole (podan je primer za primer, ko k> 0, v tem primeru funkcija narašča; za to priložnost k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratne funkcije (parabola)

Graf parabole je podan s kvadratno funkcijo:

Kvadratna funkcija, kot katera koli druga funkcija, seka os OX v točkah, ki so njene korenine: ( x 1 ; 0) in ( x 2 ; 0). Če ni korenin, potem kvadratna funkcija ne seka osi OX; če je samo ena korenina, potem na tej točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija se samo dotika osi OX, vendar je ne seka. Kvadratna funkcija vedno seka os OY v točki s koordinatami: (0; c). Graf kvadratne funkcije (parabole) je lahko videti takole (slika prikazuje primere, ki ne izčrpajo vseh možnih tipov parabol):

V tem primeru:

• če koeficient a> 0, v funkciji l = sekira 2 + bx + c, potem so veje parabole usmerjene navzgor;
• če a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinate vrha parabole lahko izračunamo z naslednjimi formulami. X vrhovi (str- na zgornjih slikah) parabole (ali točka, v kateri kvadratni trinom doseže največjo ali najmanjšo vrednost):

Vrhovi Igrek (q- na zgornjih slikah) parabole ali največ, če so veje parabole usmerjene navzdol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrednost kvadratni trinom:

Grafi drugih funkcij

Funkcija moči

Tu je nekaj primerov grafov funkcij moči:

Obratno sorazmerno je funkcija, podana s formulo:

Odvisno od predznaka števila k urnik nazaj proporcionalna odvisnost ima lahko dve temeljni možnosti:

Asimptota je premica, ki se ji graf funkcije približuje neskončno blizu, vendar je ne seka. Asimptote za grafe inverzne sorazmernosti, prikazane na zgornji sliki, so koordinatne osi, ki se jim graf funkcije približa neskončno blizu, vendar jih ne seka.

Eksponentna funkcija z bazo A je funkcija, podana s formulo:

a urnik eksponentna funkcija lahko ima dve temeljni možnosti (navajamo tudi primere, glejte spodaj):

Logaritemska funkcija je funkcija, podana s formulo:

Odvisno od tega, ali je število večje ali manjše od ena a urnik logaritemska funkcija ima lahko dve temeljni možnosti:

Graf funkcije l = |x| izgleda takole:

Grafi periodičnih (trigonometričnih) funkcij

funkcija pri = f(x) se imenuje periodično, če obstaja takšno število, ki ni nič T, kaj f(x + T) = f(x), za katero koli X iz domene funkcije f(x). Če funkcija f(x) je periodična s periodo T, potem funkcija:

kje: A, k, b so stalne številke in k ni enako nič, tudi periodično s periodo T 1, ki je določena s formulo:

Večina primerov periodične funkcije To so trigonometrične funkcije. Tukaj so grafi glavnega trigonometrične funkcije. Naslednja slika prikazuje del grafa funkcije l= greh x(celoten graf se nadaljuje v nedogled levo in desno), graf funkcije l= greh x klical sinusoid:

Graf funkcije l=cos x klical kosinus. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Ker se sinusni graf neomejeno nadaljuje vzdolž osi OX levo in desno:

Graf funkcije l= tg x klical tangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih funkcij se tudi ta graf neomejeno ponavlja vzdolž osi OX levo in desno.

In končno, graf funkcije l=ctg x klical kotangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih in trigonometričnih funkcij se tudi ta graf neomejeno ponavlja vzdolž osi OX levo in desno.

• Nazaj
• Naprej

Kako se uspešno pripraviti na CT pri fiziki in matematiki?

Za uspešno pripravo na CT pri fiziki in matematiki je med drugim treba izpolniti tri najpomembnejše pogoje:

1. Preučite vse teme in dokončajte vse teste in naloge v izobraževalnih gradivih na tem spletnem mestu. Za to ne potrebujete čisto nič, in sicer: tri do štiri ure vsak dan posvetite pripravi na CT iz fizike in matematike, študiju teorije in reševanju nalog. Dejstvo je, da je CT izpit, pri katerem ni dovolj le znanje fizike ali matematike, ampak moraš znati tudi hitro in brez napak reševati. veliko število naloge za različne teme in različne zahtevnosti. Slednjega se lahko naučimo le z reševanjem na tisoče problemov.
2. Naučite se vseh formul in zakonov v fiziki ter formul in metod v matematiki. Pravzaprav je tudi to zelo preprosto, v fiziki je le okoli 200 potrebnih formul, v matematiki pa še malo manj. Vsak od teh predmetov ima približno ducat standardnih metod za reševanje problemov osnovna raven težave, ki se jih lahko tudi naučijo in tako povsem samodejno in brez težav ob pravem času rešijo večino KT. Po tem boste morali razmišljati le o najtežjih nalogah.
3. Udeležite se vseh treh stopenj vadbenega preverjanja znanja iz fizike in matematike. Vsako RT lahko obiščete dvakrat, da se odločite za obe možnosti. Še enkrat, na CT morate poleg sposobnosti hitrega in učinkovitega reševanja problemov ter poznavanja formul in metod znati tudi pravilno načrtovati čas, razporediti moči in kar je najpomembneje, pravilno izpolniti obrazec za odgovore, ne da bi zamenjava številk odgovorov in nalog ali lastnega priimka. Prav tako se je med RT pomembno navaditi na stil zastavljanja vprašanj v problemih, ki se lahko nepripravljenemu človeku na DT zdi zelo nenavaden.

Uspešno, vestno in odgovorno izvajanje teh treh točk ter odgovorno preučevanje zaključnih testov usposabljanja vam bo omogočilo, da na CT pokažete odličen rezultat, največ, kar ste sposobni.

Ste našli napako?

Če menite, da ste našli napako v izobraževalno gradivo, potem prosim pišite o tem na e-pošta(). V pismu navedite predmet (fizika ali matematika), ime ali številko teme ali testa, številko naloge ali mesto v besedilu (stran), kjer je po vašem mnenju napaka. Opišite tudi, kaj je domnevna napaka. Vaše pismo ne bo ostalo neopaženo, napaka bo popravljena ali pa vam bo razloženo, zakaj ne gre za napako.

Funkcijski graf je vizualna predstavitev obnašanja funkcije na koordinatni ravnini. Grafi vam pomagajo razumeti različne vidike funkcije, ki jih ni mogoče določiti iz same funkcije. Gradite lahko grafe številnih funkcij in vsaki od njih bo dana posebna formula. Graf katere koli funkcije je zgrajen z uporabo določenega algoritma (v primeru, da ste pozabili natančen postopek grafa določene funkcije).

Koraki

Grafiranje linearne funkcije

Ugotovite, ali je funkcija linearna. Linearna funkcija je podana s formulo oblike F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) oz y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primer ), njegov graf pa je ravna črta. Tako formula vključuje eno spremenljivko in eno konstanto (konstanto) brez kakršnih koli eksponentov, predznakov za koren in podobno. Če je podana funkcija podobnega tipa, je zelo enostavno narisati graf takšne funkcije. Tu so še drugi primeri linearnih funkcij:

S konstanto označite točko na osi Y. Konstanta (b) je koordinata »y« točke, kjer graf seka os Y. To pomeni, da je to točka, katere koordinata »x« je enaka 0. Torej, če je x = 0 vstavljeno v formulo. , potem je y = b (konstanta). V našem primeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je enaka 5, to pomeni, da ima točka presečišča z osjo Y koordinate (0,5). Postavite to točko na koordinatna ravnina.

Poiščite naklon premice. Je enak množitelju spremenljivke. V našem primeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) pri spremenljivki “x” je faktor 2; tako je koeficient naklona enak 2. Koeficient naklona določa kot naklona ravne črte na os X, to je, večji ko je koeficient naklona, ​​hitreje se funkcija povečuje ali zmanjšuje.

Naklon zapiši kot ulomek. Faktor naklona enaka tangenti naklonski kot, to je razmerje med navpično razdaljo (med dvema točkama na ravni črti) in vodoravno razdaljo (med istima točkama). V našem primeru je naklon 2, tako da lahko trdimo, da je navpična razdalja 2 in vodoravna razdalja 1. To zapišite kot ulomek: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Če je naklon negativen, je funkcija padajoča.

1. Od točke, kjer ravna črta seka os Y, narišite drugo točko z uporabo navpične in vodoravne razdalje.

   Graf linearne funkcije je mogoče prikazati z uporabo dveh točk. V našem primeru ima presečišče z osjo Y koordinate (0,5); Od te točke se pomaknite za 2 presledki navzgor in nato 1 presledek v desno. Označite točko; imel bo koordinate (1,7). Zdaj lahko narišete ravno črto. Z ravnilom narišite ravno črto skozi dve točki.

   Da bi se izognili napakam, poiščite tretjo točko, vendar je v večini primerov graf mogoče narisati z uporabo dveh točk. Tako ste narisali linearno funkcijo.

   1. Izris točk na koordinatni ravnini Definirajte funkcijo.

      Funkcija je označena kot f(x). Vse možne vrednosti spremenljivke "y" se imenujejo domena funkcije, vse možne vrednosti spremenljivke "x" pa domena funkcije. Na primer, razmislite o funkciji y = x+2, in sicer f(x) = x+2. Narišite dve sekajoči se pravokotni črti.

      Vodoravna črta je os X, navpična črta je os Y. Označite koordinatne osi.

      Vsako os razdelite na enake segmente in jih oštevilčite. Presečišče osi je 0. Za X os: pozitivna števila so narisana desno (od 0), negativna števila pa levo. Za os Y: pozitivna števila so narisana zgoraj (od 0), negativna števila pa spodaj. Poiščite vrednosti "y" iz vrednosti "x".

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. V našem primeru je f(x) = x+2. V to formulo nadomestite določene vrednosti x, da izračunate ustrezne vrednosti y. Če je podana kompleksna funkcija, jo poenostavite tako, da na eni strani enačbe ločite »y«. Narišite točke na koordinatno ravnino.

      Za vsak par koordinat naredite naslednje: poiščite ustrezno vrednost na X osi in narišite navpično črto (črtkano); poiščite ustrezno vrednost na osi Y in narišite vodoravno črto (črtkano črto). Označite presečišče dveh črtkanih črt; tako ste na graf narisali točko. Izbrišite pikčaste črte.

   To naredite po tem, ko vse točke na grafu narišete na koordinatno ravnino. Opomba: graf funkcije f(x) = x je premica, ki poteka skozi koordinatno središče [točka s koordinatami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je premica, vzporedna s premico f(x) = x, vendar pomaknjena navzgor za dve enoti in zato poteka skozi točko s koordinatami (0,2) (ker je konstanta 2) .

   Grafiranje kompleksne funkcije Ničle funkcije so vrednosti spremenljivke x, kjer je y = 0, to so točke, kjer graf seka os X. Ne pozabite, da nimajo vse funkcije ničel, vendar so prve korak v procesu grafičnega prikazovanja katere koli funkcije. Če želite najti ničle funkcije, jo enačite z nič. Na primer:

   Poiščite in označite horizontalne asimptote. Asimptota je črta, ki se ji graf funkcije približa, vendar je nikoli ne seka (to pomeni, da v tem območju funkcija ni definirana, na primer pri deljenju z 0). Asimptoto označite s pikčasto črto. Če je spremenljivka "x" v imenovalcu ulomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavite imenovalec na nič in poiščite "x". V dobljenih vrednostih spremenljivke "x" funkcija ni definirana (v našem primeru narišite pikčaste črte skozi x = 2 in x = -2), ker ne morete deliti z 0. Toda asimptote ne obstajajo samo v primerih, ko funkcija vsebuje frakcijski izraz. Zato je priporočljivo uporabljati zdrav razum:

l (x) = e x, katerega odvod je enak sami funkciji.

Eksponent je označen kot , ali .

Številka e

Osnova stopnje eksponenta je številka e. To je iracionalno število. Je približno enako
e ≈ 2,718281828459045...

Število e je določeno preko limite zaporedja. To je t.i druga čudovita meja:
.

Število e lahko predstavimo tudi kot vrsto:
.

Eksponentni graf

Eksponentni graf, y = e x.

Graf prikazuje eksponent e do stopnje X.
l (x) = e x
Graf kaže, da eksponent monotono narašča.

Formule

Osnovne formule so enake kot za eksponentno funkcijo z osnovo stopnje e.

;
;
;

Izraz eksponentne funkcije s poljubno osnovo stopnje a skozi eksponento:
.

Zasebne vrednote

Naj y (x) = e x.
.

Potem

Lastnosti eksponenta e > 1 .

Eksponent ima lastnosti eksponentne funkcije s potenčno osnovo

Domena, niz vrednosti (x) = e x Eksponent y
definirana za vse x.
- ∞ < x + ∞ .
Njegova domena opredelitve:
0 < y < + ∞ .

Njegovi številni pomeni:

Ekstremi, naraščanje, zmanjševanje

Eksponent je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.

Inverzna funkcija
;
.

Inverz eksponenta je naravni logaritem.

Izpeljanka eksponenta e do stopnje X Izpeljanka e do stopnje X :
.
enako
.
Izpeljanka n-tega reda:

Izpeljava formul >>>

Integral

Kompleksna števila Dejanja z kompleksna števila izvajajo z uporabo:
,
Eulerjeve formule
.

kje je namišljena enota:

; ;
.

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

; ;
;
.

Izrazi z uporabo trigonometričnih funkcij

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.