Trenutek definicije impulza. Gibalna količina materialne točke togega telesa. Rešitev problema o ohranitvenem zakonu L¯

Kotni moment v klasični mehaniki

Razmerje med impulzom in navorom

Opredelitev

Kotna količina delca glede na določeno referenčno točko je določena z vektorskim produktom njegovega radijskega vektorja in gibalne količine:

kjer je polmer vektorja delca glede na izbrano referenčno točko, ki miruje v danem referenčnem sistemu, in je gibalna količina delca.

Za več delcev je kotna količina definirana kot (vektorska) vsota naslednjih členov:

kjer je radij vektor in gibalna količina vsakega delca, ki vstopa v sistem, katerega kotna gibalna količina je določena.

(V meji je lahko število delcev neskončno; na primer v primeru trdne snovi z zvezno porazdeljeno maso ali splošno porazdeljenega sistema lahko to zapišemo kot kje je gibalna količina neskončno majhnega točkastega elementa sistema ).

Iz definicije gibalne količine sledi, da gre za aditivnost: tako za sistem delcev posebej kot za sistem, sestavljen iz več podsistemov, velja:

• Opomba: načeloma je mogoče kotni moment izračunati glede na katero koli referenčno točko (nastale različne vrednosti so povezane na očiten način); vendar se najpogosteje (zaradi udobja in gotovosti) izračuna glede na središče mase ali fiksno točko vrtenja togega telesa itd.).

Izračun navora

Ker je kotna količina določena z vektorskim produktom, je psevdovektor, pravokoten na oba vektorja in. Vendar pa je v primerih vrtenja okoli konstantne osi priročno obravnavati kotni moment kot psevdovektor, temveč njegovo projekcijo na os vrtenja kot skalar, katerega znak je odvisen od smeri vrtenja. Če je izbrana takšna os, ki poteka skozi izvor, lahko za izračun projekcije vrtilne količine nanjo določite več receptov v skladu s splošnimi pravili za iskanje vektorskega produkta dveh vektorjev.

kjer je kot med in , določen tako, da se vrtenje od do izvede v nasprotni smeri urinega kazalca z vidika opazovalca, ki se nahaja na pozitivnem delu osi vrtenja. Smer vrtenja je pri izračunu pomembna, saj določa predznak želene projekcije.

Zapišimo ga v obliki , kjer je komponenta radijskega vektorja vzporedna z vektorjem gibalne količine in podobno pravokotna nanj. je v bistvu razdalja od osi vrtenja do vektorja, ki se običajno imenuje "krak". Podobno lahko vektor gibalne količine razdelite na dve komponenti: vzporedno z vektorjem radija in pravokotno nanj. Sedaj lahko z uporabo linearnosti vektorskega produkta in lastnosti, po kateri je produkt vzporednih vektorjev enak nič, dobimo še dva izraza za .

Ohranjanje gibalne količine

Simetrija v fiziki
Pretvorba	Dopisovanje invariantnost	Dopisovanje pravo ohranjanje
↕ Časovne oddaje	...energija
⊠ , , in -simetrije	... enakomernost
↔ Prostor za oddajanje	Enotnost prostora	... impulz
↺ Rotacije prostora	Izotropija prostora	...trenutka impulz
⇆ Lorentzova skupina	Relativnost Lorentzova invariantnost	…4-impulzni
~ Merilna transformacija	Merilna invariantnost	... napolniti

Tako lahko zahtevo, da je sistem zaprt, oslabimo na zahtevo, da je glavni (skupni) moment zunanjih sil enak nič:

kjer je moment ene od sil, ki deluje na sistem delcev. (Seveda, če zunanjih sil sploh ni, je tudi ta zahteva izpolnjena).

Matematično gledano zakon o ohranitvi vrtilne količine izhaja iz izotropnosti prostora, to je iz invariantnosti prostora glede na vrtenje za poljuben kot. Pri vrtenju za poljuben neskončno majhen kot se bo vektor polmera delca s številko spremenil za , hitrost pa za . Lagrangeova funkcija sistema se s takšno rotacijo ne bo spremenila zaradi izotropnosti prostora. zato

Ob upoštevanju , kjer je posplošena gibalna količina delca, lahko vsak člen v vsoti iz zadnjega izraza prepišemo kot

Zdaj z uporabo lastnosti mešanega produkta izvedemo ciklično preureditev vektorjev, zaradi česar dobimo, pri čemer izvzamemo skupni faktor:

kjer je momentna količina sistema. Zaradi poljubnosti izhaja iz enakosti.

V orbitah je kotni moment porazdeljen med lastno rotacijo planeta in kotni moment njegovega orbitalnega gibanja:

Kotni moment v elektrodinamiki

Pri opisovanju gibanja nabitega delca v elektromagnetnem polju kanonična gibalna količina ni invariantna. Posledično tudi kanonična kotna količina ni invariantna. Nato vzamemo pravi impulz, ki se imenuje tudi "kinetični impulz":

kjer je električni naboj, je svetlobna hitrost in je vektorski potencial. Tako je Hamiltonian (invariant) nabitega masnega delca v elektromagnetnem polju:

kje je skalarni potencial. Iz tega potenciala sledi Lorentzov zakon. Invariantni kotni moment ali "kinetični kotni moment" je opredeljen z:

Kotni moment v kvantni mehaniki

Operater trenutka

Izračun vrtilne količine v nerelativistični mehaniki

Če obstaja snovna točka mase , ki se giblje s hitrostjo in se nahaja v točki, ki jo opisuje vektor polmera, se kotni moment izračuna po formuli:

kjer je znak vektorskega produkta.

Da bi izračunali kotno količino telesa, ga moramo razdeliti na infinitezimalne kose in vektor seštejte njihove momente kot momente količine materialnih točk, to je vzemite integral:

To lahko prepišemo v smislu gostote:

Obstaja produkt njegove mase in hitrosti:

Analog gibalne količine pri rotacijskem gibanju je gibalna količina, ki je produkt vztrajnostnega momenta materialne točke in njene kotne hitrosti:

L = Iω, kg m 2 s -1

Kotna količina je vektorska količina, katere smer sovpada s smerjo vektorja kotne hitrosti.

Zakon o ohranitvi kotne količine

Kotna količina se ohrani, če je vsota vseh momentov zunanjih sil enaka nič.

Jasno uporabo kotnega momenta je mogoče opaziti med nastopom umetnostnih drsalcev, ko se začnejo vrteti s široko razmaknjenimi rokami, postopoma zapirajo roke, povečujejo hitrost vrtenja. Tako zmanjšajo svoj vztrajnostni moment in povečajo svojo kotno hitrost. Tako lahko ob poznavanju začetne kotne hitrosti vrtenja ω 0 in njegovega vztrajnostnega momenta z razmaknjenimi rokami I 0 in zaprtimi rokami I 1 z uporabo zakona o ohranitvi kotne količine najdemo končno kotno hitrost ω 1:

I 0 ω 0 = I 1 ω 1 ω 1 = (I 0 ω 0)/I 1

Z uporabo zakona o ohranitvi gibalne količine je mogoče povsem preprosto izračunati parametre orbitalnega gibanja planetov in vesoljskih plovil.

Na strani "Zakon univerzalne gravitacije" smo izračunali linearno hitrost gibanja Lune v orbiti s polmerom 392.500 km (povprečna vrednost). Toda, kot veste, se Luna giblje po eliptični orbiti, ki je v perigeju 356.400 km, v apogeju pa 406.700 km. S pomočjo pridobljenega znanja bomo izračunali hitrost Lune v perigeju in apogeju.

Začetni podatki:

• r av =392500 km;
• v av =3600 km/h;
• r p =356400 km;
• v p -?;
• r a =406700 km;
• v a -?

Po zakonu o ohranitvi gibalne količine imamo naslednje enakosti:

I avg ω av = I p ω p I avg ω av = I a ω a

Ker je premer Lune (3476 km) majhen v primerjavi z razdaljo do Zemlje, bomo Luno obravnavali kot materialno točko, kar bo bistveno poenostavilo izračune, ne da bi bistveno vplivalo na njihovo natančnost.

Vztrajnostni momenti materialne točke bodo enaki:

I av = mr av 2 I p = mr p 2 I a = mr a 2

Kotne hitrosti:

ω av = v av /r av ω p = v p /r p ω a = v a /r a

Naredimo ustrezne zamenjave v formuli za zakon o ohranitvi gibalne količine:

(mr avg 2)(v avg /r avg) = (mr p 2)(v p /r ap) (mr avg 2)(v avg /r ap) = (mr a 2)(v a /r a)

Po izvedbi preprostih algebraičnih transformacij dobimo:

V p = v avg (r avg /r p) v a = v avg (r avg /r a)

Nadomestne številske vrednosti:

V p = 3600·392500/356400 = 3964 km/h v а = 3600·392500/406700 = 3474 km/h

Zagon

Opredelitev

Kotna količina glede na fiksno os $z$ je skalarna količina $L_(z) $, ki je enaka projekciji vektorja kotne količine, definiranega glede na poljubno točko 0 te osi, na to os.

Vrednost kotne količine $L_(z) $ ni odvisna od položaja točke 0 na osi $z$. Ko se absolutno togo telo vrti okoli nepremične osi, se vsaka posamezna točka telesa giblje po krožnici konstantnega polmera $r_(i) $ z določeno hitrostjo $v_(i) $. Hitrost $v_(i) $ in gibalna količina $m_(i) v_(i) $ sta pravokotna na ta polmer, tj. polmer je krak vektorja $m_(i) v_(i) $. Zato lahko zapišemo, da je kotna količina posamezne točke glede na $z$ os enaka:

Kotna količina togega telesa glede na os je vsota vrtilnih količin njegovih posameznih točk:

Ob upoštevanju razmerja med linearno in kotno hitrostjo ($v_(i) =\omega r_(i) $) dobimo naslednji izraz za kotno količino telesa glede na fiksno os:

$L_(z) =\vsota _(i=1)^(n)m_(i) r_(i)^(2) \omega =\omega \vsota \meje _(i=1)^(n)m_ (i) r_(i)^(2) =J_(z) \omega $, (1)

tiste. kotna količina togega telesa glede na os je enaka produktu vztrajnostnega momenta telesa glede na isto os in kotne hitrosti. Če diferenciramo izraz (1) glede na čas, dobimo:

$\frac(dL_(z) )(dt) =J_(z) \frac(d\omega )(dt) =M_(z) $ (2)

To je druga oblika enačbe za dinamiko rotacijskega gibanja togega telesa glede na nepremično os: hitrost spremembe vrtilne količine telesa glede na nepremično os vrtenja je enaka nastalemu momentu glede na to os. os vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo.

Zakon ohranitve gibalne količine

Zakon o ohranitvi vrtilne količine izhaja iz osnovne enačbe dinamike rotacijskega gibanja telesa, pritrjenega na fiksni točki, in je sestavljen iz naslednjega: če je rezultantni moment zunanjih sil glede na fiksno točko identično enak nič, potem se kotna količina telesa glede na to točko s časom ne spreminja.

Velja, če:

$M=0$, potem $\frac(dL)(dt) =0$,

od koder: $\overline(L)=const$. (3)

Z drugimi besedami, kotna količina zaprtega sistema se s časom ne spreminja.

Iz osnovnega zakona dinamike telesa, ki se vrti okoli nepremične osi $z$ (enačba 2), sledi zakon o ohranitvi vrtilne količine telesa glede na os: če je moment zunanjih sil glede na nepremično os rotacije telesa identično enaka nič, potem se kotna količina telesa glede na to os ne spremeni v procesu gibanja, tj. če je $M_(z) =0$, potem je $\frac(dL_(z) )(dt) =0$, od koder je $\overline(L)_(z) =const,$ ali $J_(z) \omega =const$.(4)

Zakon o ohranitvi kotne količine je temeljni zakon narave. Veljavnost tega zakona določa lastnost simetrije prostora - njegova izotropnost, tj. z invariantnostjo fizikalnih zakonov glede izbire smeri koordinatnih osi referenčnega sistema.

Veljavni so naslednji izrazi:

• Vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os je fizikalna količina, ki je enaka vsoti zmnožkov mas n materialnih točk telesa s kvadrati njihovih razdalj do zadevne osi:
\
• Vztrajnostni moment telesa $J_(z) $ glede na katero koli vrtilno os je enak njegovemu vztrajnostnemu momentu $J_(c) $ glede na vzporedno os, ki poteka skozi središče mase C telesa, dodano zmnožku mase m telesa s kvadratom razdalje a med osema: $J_( z) =J_(c) +ma^(2) $;
• Ko se absolutno togo telo vrti okoli nepremične osi $z$, je njegova kinetična energija enaka polovici zmnožka vztrajnostnega momenta glede na vrtilno os in kvadrata kotne hitrosti:
\
• Iz primerjave formul $E_(k_(2@) ) =\frac(J_(z) \omega ^(2) )(2) $ in $E_(k) =\frac(mv^(2) ) (2) $ iz tega sledi, da je vztrajnostni moment merilo vztrajnosti telesa med rotacijskim gibanjem;
• Enačba za dinamiko rotacijskega gibanja togega telesa glede na fiksno os z (analog drugega Newtonovega zakona) ima obliko: $M_(z) =J_(z) \varepsilon =\frac(dL_(z) ) )(dt) $.

Primer

Breme, ki tehta 0,8 kg, je obešeno na tanko breztežno nit na višini 3 m nad tlemi. Navoj je navit na trdno homogeno valjasto gred s polmerom 30 cm z vztrajnostnim momentom 0,15 kg*m2. Z vrtenjem gred spusti tovor na tla. Določite: čas spuščanja bremena na tla, natezno silo niti, kinetično energijo bremena v trenutku, ko se breme dotakne tal.

$r$= 15 cm=0,15m

$J_(x) $= 0,18 kg*m2

Najdi: $t,N,E_(k) $-?

Zato je natezna sila niti: $N=\frac(J_(x) \varepsilon )(r) =\frac(0,18\cdot 4)(0,15) =4,8H$.

Kinetična energija bremena v trenutku, ko pade na tla:

Odgovor: $t=3,2A$, $N=4,8H$, $E_(k) =0,9J.$

Naj se neko telo pod vplivom sile F, ki deluje v točki A, vrti okoli osi OO" (slika 1.14).

Sila deluje v ravnini, pravokotni na os. Navpičnica p, spuščena iz točke O (leži na osi) na smer sile, se imenuje rama moči. Produkt sile z roko določa modul momenta sile glede na točko O:

M = Fp=Frsinα.

moment sileje vektor, določen z vektorskim produktom vektorja radija točke uporabe sile in vektorja sile:

(3.1)
Enota momenta sile je newton meter (N m).

Smer M je mogoče najti z uporabo pravila desnega vijaka.

trenutek impulza delec je vektorski produkt vektorja radija delca in njegove gibalne količine:

ali v skalarni obliki L = rPsinα

Ta količina je vektorska in po smeri sovpada z vektorji ω.

§ 3.2 Vztrajnostni moment. Steinerjev izrek

Merilo za vztrajnost teles pri translacijskem gibanju je masa. Vztrajnost teles pri rotacijskem gibanju ni odvisna samo od mase, ampak tudi od njene porazdelitve v prostoru glede na vrtilno os. Merilo za vztrajnost med rotacijskim gibanjem je količina, imenovana vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os.

Vztrajnostni moment materialne točke glede na vrtilno os se produkt mase te točke in kvadrata njene oddaljenosti od osi imenuje:

I i =m i r i 2 (3.2)

Vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os pokličite vsoto vztrajnostnih momentov materialnih točk, ki sestavljajo to telo:

(3.3)

Vztrajnostni moment telesa je odvisen od tega, okoli katere osi se vrti in kako je masa telesa porazdeljena po prostornini.

Najlažje je določiti vztrajnostni moment teles, ki imajo pravilno geometrijsko obliko in enakomerno porazdeljeno maso po prostornini.

· Vztrajnostni moment homogene palice glede na os, ki poteka skozi vztrajnostno središče in je pravokotna na palico

(3.6)

· Vztrajnostni moment homogenega valja glede na os, ki je pravokotna na njegovo osnovo in poteka skozi vztrajnostno središče,

(3.7)

· Vztrajnostni moment tankostenskega valja ali obroč glede na os, ki je pravokotna na ravnino njegove osnove in poteka skozi njeno središče,

(3.8)

· Vztrajnostni moment krogle glede na premer

(3.9)

Slika 3.2

Navedene formule za vztrajnostne momente teles so podane pod pogojem, da vrtilna os poteka skozi vztrajnostno središče. Če želite določiti vztrajnostne momente telesa glede na poljubno os, morate uporabiti Steinerjev izrek : vztrajnostni moment telesa glede na poljubno vrtilno os je enak vsoti vztrajnostnih momentov telesa glede na os, ki je vzporedna z dano osjo in poteka skozi središče mase telesa, in zmnožek telesne mase s kvadratom razdalje med osema:

(3.11)

Enota vztrajnostnega momenta je kilogram meter na kvadrat (kg m2).

Tako je vztrajnostni moment homogene palice glede na os, ki poteka skozi njen konec, po Steinerjevem izreku enak

(3.12)

§ 3.3 Enačba dinamike rotacijskega gibanja togega telesa

Najprej si oglejmo materialno točko A z maso m, ki se giblje v krožnici s polmerom r (slika 1.16). Naj nanj deluje konstantna sila F, ki je usmerjena tangencialno na krožnico. Po drugem Newtonovem zakonu ta sila povzroča tangencialni pospešek ali F = m a τ .

Uporaba relacije aτ = βr, dobimo F = m βr.

Pomnožimo obe strani zgornje enačbe z r.

Fr = m βr 2 . (3,13)

Leva stran izraza (3.13) je moment sile: M = Fr. Desna stran je produkt kotnega pospeška β in vztrajnostnega momenta materialne točke A: J= m r 2.

Kotni pospešek točke, ko se vrti okoli fiksne osi, je sorazmeren z navorom in obratno sorazmeren z vztrajnostnim momentom. (osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja materialne točke):

M = β J oz (3.14)

Pri konstantnem navoru bo kotni pospešek konstantna vrednost in se lahko izrazi z razliko v kotnih hitrostih:

(3.15)

Potem lahko osnovno enačbo za dinamiko rotacijskega gibanja zapišemo v obliki

oz (3.16)

[ - impulzni moment (ali kotni moment), МΔt - impulz momenta sil (ali impulz navora)].

Osnovno enačbo za dinamiko rotacijskega gibanja lahko zapišemo kot

(3.17)

§ 3.4 Zakon o ohranitvi kotne količine

Oglejmo si pogost primer rotacijskega gibanja, ko je skupni moment zunanjih sil enak nič. Pri rotacijskem gibanju telesa se vsak njegov delec giblje z linearno hitrostjo υ = ωr, .

Kotna količina rotacijskega telesa je enaka vsoti momentov

impulze njegovih posameznih delcev:

(3.18)

Sprememba vrtilne količine je enaka impulzu navora:

dL=d(Jω)=Jdω=Mdt (3.19)

Če je skupni moment vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem telesa glede na poljubno fiksno os, enak nič, tj. M=0, potem dL in vektorska vsota gibalnih količin teles sistema se s časom ne spreminja.

Vsota vrtilnih količin vseh teles v izoliranem sistemu ostane nespremenjena ( zakon o ohranitvi kotne količine):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Po zakonu o ohranitvi kotne količine lahko pišemo

J 1 ω 1 = J 2 ω 2 (3.21)

kjer sta J 1 in ω 1 vztrajnostni moment in kotna hitrost v začetnem trenutku časa, oba J 2 in ω 2 pa v trenutku t.

Iz zakona o ohranitvi vrtilne količine sledi, da ko je M = 0, mora med vrtenjem sistema okoli osi vsako spremembo razdalje od teles do osi vrtenja spremljati sprememba njihove hitrosti. vrtenje okoli te osi. Ko se razdalja povečuje, se hitrost vrtenja zmanjšuje; ko se razdalja zmanjšuje, se povečuje. Na primer, gimnastičar, ki izvaja salto, da bi imel čas narediti več vrtljajev v zraku, se med skokom zvije v žogo. Balerina ali umetnostna drsalka, ki se vrti v pirueti, razširi roke, če želi upočasniti vrtenje, in jih, nasprotno, stisne k telesu, ko se poskuša vrteti čim hitreje.

§ 3.5 Kinetična energija rotacijskega telesa

Določimo kinetično energijo togega telesa, ki se vrti okoli nepremične osi. Razdelimo to telo na n materialnih točk. Vsaka točka se giblje z linearno hitrostjo υ i =ωr i , potem je kinetična energija točke

oz

Skupna kinetična energija vrtečega se togega telesa je enaka vsoti kinetičnih energij vseh njegovih materialnih točk:

(3.22)

(J je vztrajnostni moment telesa glede na vrtilno os)

Če trajektorije vseh točk ležijo v vzporednih ravninah (kot valj, ki se kotali po nagnjeni ravnini, se vsaka točka premika v svoji ravnini, sl.), to ravno gibanje. Po Eulerjevem principu lahko ravninsko gibanje vedno razgradimo na translacijsko in rotacijsko gibanje na nešteto načinov. Če žoga pade ali drsi po nagnjeni ravnini, se giblje samo translacijsko; ko se krogla kotali, se tudi vrti.

Če telo izvaja translacijsko in rotacijsko gibanje hkrati, je njegova skupna kinetična energija enaka

(3.23)

Iz primerjave formul za kinetično energijo za translacijsko in rotacijsko gibanje je razvidno, da je merilo vztrajnosti med rotacijskim gibanjem vztrajnostni moment telesa.

§ 3.6 Delo zunanjih sil med vrtenjem togega telesa

Ko se togo telo vrti, se njegova potencialna energija ne spremeni, zato je elementarno delo zunanjih sil enako povečanju kinetične energije telesa:

ΔA = ΔE oz

Ob upoštevanju, da je Jβ = M, ωdr = dφ, imamo

ΔA =MΔφ (3,24)

Delo zunanjih sil pri vrtenju togega telesa za končni kot φ je enako

Ko se togo telo vrti okoli fiksne osi, je delo zunanjih sil določeno z delovanjem momenta teh sil glede na to os. Če je moment sil glede na os enak nič, te sile ne proizvajajo dela.

Preidimo na izpeljavo ohranitvenega zakona, katerega nastanek je povezan z izotropijo prostora.

Ta izotropija pomeni, da se mehanske lastnosti zaprtega sistema ne spreminjajo z nobenim vrtenjem sistema kot celote v prostoru. V skladu s tem upoštevamo infinitezimalno rotacijo sistema in zahtevamo, da se njegova Lagrangeeva funkcija ne spremeni.

Vstavimo vektor infinitezimalne rotacije, katerega absolutna vrednost je enaka kotu rotacije, smer pa sovpada z osjo rotacije (in to tako, da smer rotacije ustreza pravilu vijaka z upoštevanje smeri).

Najprej ugotovimo, kolikšen je prirastek radijnega vektorja, narisanega iz skupnega izhodišča koordinat (ki se nahaja na vrtilni osi) do katere koli od materialnih točk vrtečega sistema med takšno rotacijo.

Linearno gibanje konca radijnega vektorja je s kotom povezano z razmerjem

(slika 5). Smer vektorja je pravokotna na ravnino, ki poteka skozi. Zato je jasno, da

Ko se sistem vrti, se ne spremeni samo smer radijskih vektorjev, temveč tudi hitrosti vseh delcev, vsi vektorji pa se transformirajo po istem zakonu. Zato se hitrost poveča glede na fiksni koordinatni sistem

Zamenjava teh izrazov v pogoj, da se Lagrangeova funkcija med vrtenjem ne spreminja

nadomestiti izpeljanke

ali, ki izvaja ciklično preureditev faktorjev in vzame vsoto iz predznaka:

Zaradi svoje arbitrarnosti izhaja, da

pridemo do zaključka, da se vektorska količina pri gibanju zaprtega sistema ohrani

imenujemo kotna količina (ali preprosto kotna količina) sistema.

Aditivnost te količine je očitna in tako kot gibalna količina ni odvisna od prisotnosti ali odsotnosti interakcije med delci.

S tem so izčrpani aditivni integrali gibanja. Tako ima vsak zaprt sistem samo sedem takšnih integralov: energijo in tri komponente vektorjev gibalne količine in navora.

Ker definicija momenta vključuje radijske vektorje delcev, je njegova vrednost na splošno odvisna od izbire izvora koordinat. Radij vektorja in ta iste točke glede na izhodišča koordinat, zamaknjena za vektor a, sta povezana z relacijo a. Zato imamo:

Iz te formule je razvidno, da le v primeru, ko sistem kot celota miruje (tj. njegov moment ni odvisen od izbire izhodišča koordinat. Ta negotovost njegove vrednosti seveda ne vpliva na zakon o ohranitvi momenta, saj ima zaprti sistem tudi gibalno količino.

Izpeljali bomo tudi formulo, ki povezuje vrednosti vrtilne količine v dveh različnih inercialnih referenčnih sistemih K in K", od katerih se drugi giblje glede na prvega s hitrostjo V. Predpostavili bomo, da so izhodišča koordinat v sistemih K in K sovpadata v danem času. Potem sta vektorja radija v obeh sistemih enaka, vendar sta hitrosti povezani z .

Prva vsota na desni strani enačbe je moment M v sistemu. Če v drugo vsoto vnesemo radij vektorja vztrajnostnega središča po (8.3), dobimo:

Ta formula določa zakon transformacije gibalne količine pri prehodu iz enega referenčnega sistema v drugega, tako kot za gibalno količino in energijo podobne zakone podajata formuli (8.1) in (8.5).

Če je referenčni okvir K tisti, v katerem dani mehanski sistem kot celota miruje, potem je V hitrost vztrajnostnega središča slednjega in njegov skupni impulz P (glede na K).

Z drugimi besedami, kotni moment M mehanskega sistema je sestavljen iz njegovega "ustreznega momenta" glede na referenčni okvir, v katerem miruje, in momenta, povezanega z njegovim gibanjem kot celoto.

Čeprav zakon ohranitve vseh treh komponent momenta (glede na poljubni izvor) velja samo za zaprt sistem, lahko v bolj omejeni obliki ta zakon velja tudi za sisteme, ki se nahajajo v zunanjem polju. Iz zgornjega zaključka je očitno, da je projekcija momenta na os, glede na katero je dano polje simetrično, vedno ohranjena, zato se mehanske lastnosti sistema ne spremenijo z vrtenjem okoli te osi; v tem primeru je seveda treba trenutek določiti glede na neko točko (izhodišče), ki leži na isti osi.

Najpomembnejši primer te vrste je polje s centralno simetrijo, to je polje, v katerem je potencialna energija odvisna samo od razdalje do določene točke (središča) v prostoru. Očitno je, da se pri premikanju v takem polju ohrani projekcija trenutka na katero koli os, ki poteka skozi središče. Z drugimi besedami, vektor M trenutka se ohrani, vendar ni definiran glede na poljubno točko v prostoru, temveč glede na središče polja.

Drug primer: enakomerno polje vzdolž osi z, v katerem je ohranjena projekcija momenta, izhodišče koordinat pa je možno izbrati poljubno.

Upoštevajte, da je projekcijo trenutka na katero koli os (recimo ji ) mogoče najti z razlikovanjem Lagrangeove funkcije po formuli

kjer je koordinata vrtilni kot okoli osi z. To je jasno že iz narave zgornje izpeljave zakona o ohranitvi gibalne količine, vendar je isto mogoče preveriti z neposrednim izračunom. V cilindričnih koordinatah imamo (zamenjava

Po drugi strani pa ima Lagrangeova funkcija v teh spremenljivkah obliko

in njegova zamenjava v (9.7) vodi do istega izraza (9.8).

Naloge

1. Poiščite izraze za kartezične komponente in absolutno vrednost gibalne količine delca v cilindričnih koordinatah.