Območje enakokrakega trikotnika glede na nadmorsko višino in osnovo. Kako najti površino trikotnika (formule)

Glede na vrsto trikotnika obstaja več možnosti za iskanje njegovega območja. Na primer, za izračun površine pravokotni trikotnik uporablja se formula S= a * b / 2, kjer sta a in b njegova kraka. Če želite poznati območje enakokraki trikotnik, potem je treba produkt njegove osnove in višine razdeliti na dva. To pomeni, da je S= b*h / 2, kjer je b osnova trikotnika, h pa njegova višina.

Nato boste morda morali izračunati površino enakokrakega pravokotnega trikotnika. Tukaj na pomoč pride naslednja formula: S = a* a / 2, kjer morata imeti noge "a" in "a" enake vrednosti.

Prav tako moramo pogosto izračunati površino enakostranični trikotnik. Najdemo ga po formuli: S= a * h/ 2, kjer je a stranica trikotnika, h pa njegova višina. Ali po tej formuli: S= √3/ 4 *a^2, kjer je a stranica.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Ali morate najti območje pravokotnega trikotnika, vendar izjava o problemu ne označuje dimenzij dveh njegovih nog hkrati? Potem te formule (S= a * b / 2) ne moremo uporabiti neposredno.

Razmislimo o več možnih rešitvah:

• Če ne poznate dolžine ene noge, vendar so podane mere hipotenuze in druge noge, se obrnemo na velikega Pitagora in z uporabo njegovega izreka (a^2+b^2=c^2), izračunamo dolžino neznane noge, nato pa z njo izračunamo površino trikotnika.
• Če sta podana dolžina enega kraka in stopinjski naklon nasprotnega kota: dolžino drugega kraka najdemo po formuli - a=b*ctg(C).
• Podano: dolžina enega kraka in stopinjski naklon kota, ki meji nanj: za iskanje dolžine drugega kraka uporabimo formulo - a=b*tg(C).
• In nazadnje, glede na: kot in dolžino hipotenuze: izračunamo dolžino obeh njenih katet z naslednjima formulama - b=c*sin(C) in a=c*cos(C).

Kako najti območje enakokrakega trikotnika

Območje enakokrakega trikotnika je mogoče zelo enostavno in hitro najti s formulo S = b * h / 2, če pa eden od indikatorjev manjka, postane naloga veliko bolj zapletena. Navsezadnje je treba izvesti dodatna dejanja.

Možne možnosti naloge:

• Podano: dolžina ene od stranic in dolžina osnove. S pomočjo Pitagorovega izreka najdemo višino, to je dolžino drugega kraka. Pod pogojem, da je dolžina osnove, deljena z dvema, noga, prvotno znana stran pa je hipotenuza.
• Podano: osnovo in kot med stranico in osnovo. Višino izračunamo po formuli h=c*ctg(B)/2 (ne pozabimo deliti strani "c" z dva).
• Podano: višina in kot, ki ju tvorita osnova in stranica: uporabimo formulo c=h*tg(B)*2 za iskanje višine in rezultat pomnožimo z dva. Nato izračunamo površino.
• Znano: dolžina stranice in kot med njo in višino. Rešitev: s formulama - c=a*sin(C)*2 in h=a*cos(C) poiščemo osnovo in višino, nakar izračunamo ploščino.

Kako najti območje enakokrakega pravokotnega trikotnika

Če so znani vsi podatki, potem s standardno formulo S= a* a / 2 izračunamo površino enakokrakega pravokotnega trikotnika, če pa nekateri kazalniki v problemu niso navedeni, se izvedejo dodatna dejanja.

Na primer: ne poznamo dolžin obeh stranic (spomnimo se, da sta v enakokrakem pravokotnem trikotniku enaki), podana pa je dolžina hipotenuze. Uporabimo Pitagorov izrek, da poiščemo enaki stranici "a" in "a". Pitagorova formula: a^2+b^2=c^2. V primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika se spremeni v to: 2a^2 = c^2. Izkazalo se je, da morate za iskanje kraka "a" dolžino hipotenuze razdeliti s korenom iz 2. Rezultat rešitve bo dolžina obeh krakov enakokrakega pravokotnega trikotnika. Nato poiščemo območje.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Z uporabo formule S= √3/ 4*a^2 lahko preprosto izračunate ploščino enakostraničnega trikotnika. Če je polmer kroga, ki je opisan trikotniku, znan, je ploščino mogoče najti s formulo: S= 3√3/ 4*R^2, kjer je R polmer kroga.

Črkovne oznake stranic in kotov na zgornji sliki ustrezajo oznakam, navedenim v formulah. Tako jih boste lažje uskladili z elementi enakokrakega trikotnika. Iz pogojev naloge ugotovi, kateri elementi so znani, poišči njihove oznake na risbi in izberi ustrezno formulo.

Formula za območje enakokrakega trikotnika

Naslednje so formule za iskanje površine enakokrakega trikotnika: skozi stranice, stranico in kot med njima, skozi stranico, osnovo in temenski kot, skozi osnovo in osnovni kot itd. Samo poiščite najprimernejšega na sliki na levi. Za najbolj radovedne je v besedilu na desni razloženo, zakaj je formula pravilna in kako natančno jo je mogoče uporabiti za iskanje območja.

1. mogoče najti poznavanje njene plati in osnove. Ta izraz je bil pridobljen s poenostavitvijo bolj splošnega, univerzalna formula. Če za osnovo vzamemo Heronovo formulo in nato upoštevamo, da sta obe stranici trikotnika med seboj enaki, potem se izraz poenostavi na formulo, prikazano na sliki.
   Primer uporabe takšne formule je podan v spodnjem primeru reševanja naloge.
2. Druga formula vam omogoča, da najdete njegovo območje skozi stranice in kot med njima je polovica kvadrata stranice, pomnožene s sinusom kota med stranicama
   Če mentalno znižamo višino na stranico enakokrakega trikotnika, opazimo, da bo njegova dolžina enaka a * sin β. Ker nam je dolžina stranske stranice znana, je zdaj znana višina, spuščena nanjo, bo polovica njihovega produkta enaka ploščini danega enakokrakega trikotnika (Pojasnilo: popolno delo daje površino pravokotnika, kar je očitno. Višina deli ta pravokotnik na dva majhna pravokotnika, pri čemer sta stranici trikotnika njuni diagonali, ki ju delita točno na pol. Tako bo površina enakokrakega trikotnika enaka polovici produkta stranske stranice in višine). Glej tudi formulo 5
3. Tretja formula prikazuje iskanje območja skozi stranski, osnovni in vršni kot.
   Strogo gledano, če poznate enega od kotov enakokrakega trikotnika, lahko najdete druge, zato je uporaba te ali prejšnje formule stvar okusa (mimogrede, zato se lahko spomnite samo enega od njih).
   Tretja formula ima še eno zanimiva lastnost- delo greh α nam bo dal dolžino višine, spuščeno na podlago. Kot rezultat dobimo preprosto in očitno formulo 5.
4. Območje enakokrakega trikotnika mogoče najti tudi skozi stran podnožja in vogal pri dnu(kota pri dnu sta enaka) kot kvadrat baze, deljen s štirimi tangentami polovice kota, ki ga sestavljajo njene stranice. Če natančno pogledate, postane očitno, da polovica osnove (b/2), pomnožena s tan (β/2), daje višino trikotnika. Ker je višina v enakokrakem trikotniku hkrati simetrala in mediana, potem je tg(β/2) razmerje med polovico osnove (b/2) in višino - tg(β/2) = (b/2)/h. Od koder je h = b / (2 tan(β/2)). Posledično bo formula spet skrčena na enostavnejšo formulo 5, kar je povsem očitno.
5. seveda območje enakokrakega trikotnika lahko najdemo tako, da spustimo višino od vrha do baze, kar ima za posledico dva pravokotna trikotnika. Nadalje - vse je očitno. Polovica zmnožka višine in osnove in obstaja zahtevano območje. Za primer uporabe te formule glejte spodnji problem (2. način rešitve)
6. To formulo dobite, če poskušate najti območje enakokrakega trikotnika z uporabo Pitagorovega izreka. Da bi to naredili, izrazimo višino iz prejšnje formule, ki je hkrati krak pravokotnega trikotnika, ki ga tvorijo stranica, polovica njegove osnove in višina, skozi Pitagorov izrek. Stranska stran je hipotenuza, zato od kvadrata stranske strani (a) odštejemo kvadrat druge noge. Ker je enak polovici osnove (b/2), bo njegov kvadrat enak b 2 /4. Izvleček korena tega izraza nam bo dal višino. Kot je razvidno iz formule 6. Če števec in imenovalec pomnožimo z dve in nato dvojko števca vpišemo pod znak korena, dobimo drugo različico iste formule, ki je zapisana skozi znak enačaja.
   Mimogrede, najpametnejši lahko vidijo, da če odprete oklepaje v formuli 1, se bo spremenila v formulo 6. Ali obratno, razlika kvadratov dveh števil, faktorizirana, nam bo dala prvotnega, prvega.

Poimenovanja, ki so bile uporabljene v formulah na sliki:

a- dolžina ene od dveh enakih stranic trikotnika

b- osnovna dolžina

α - velikost enega od dveh enakih kotov na dnu

β - velikost kota med enake stranice trikotnik in njegovo nasprotno osnovo

h- dolžina višine, spuščena z vrha enakokrakega trikotnika na osnovo

Pomembno. Bodite pozorni na oznake spremenljivk! Naj vas ne zmede α in β, in tudi a in b!

Opomba. To je del lekcije z geometrijskimi problemi (področje odseka enakokrakega trikotnika). Tukaj so težave, ki jih je težko rešiti. Če morate rešiti geometrijski problem, ki ga ni tukaj, pišite o tem na forumu. Za označevanje dejanja pridobivanja kvadratnega korena v rešitvah problema se uporablja simbol √ ali sqrt(), pri čemer je radikalni izraz naveden v oklepaju.

Naloga

Stranica enakokrakega trikotnika je 13 cm, osnova pa 10 cm. Poiščite območje enakokraki trikotnik.

rešitev.

1. metoda. Uporabimo Heronovo formulo. Ker je trikotnik enakokrak, bo imel preprostejšo obliko (glejte formulo 1 na zgornjem seznamu formul):

kjer je a dolžina stranic, b pa dolžina osnove.
Če zamenjamo vrednosti dolžin strani trikotnika iz izjave o problemu, dobimo:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm 2

2. metoda. Uporabimo Pitagorov izrek
Predpostavimo, da se ne spomnimo formule, uporabljene v prvi rešitvi. Zato spustimo višino BK iz oglišča B na osnovo AC.
Ker višina enakokrakega trikotnika deli njegovo osnovo na pol, bo dolžina polovice osnovice enaka
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Višina s polovico osnovice in stranico enakokrakega trikotnika tvori pravokotni trikotnik ABK. V tem trikotniku poznamo hipotenuzo AB in krak AK. Izrazimo dolžino drugega kraka s Pitagorovim izrekom.

Da bi starši pomagali otroku pri domači nalogi, morajo marsikaj vedeti tudi sami. Kako najti površino enakokrakega trikotnika kot deležniška fraza drugačen od prislovnega deležnika, kaj je gravitacijski pospešek?

Vaš sin ali hčerka ima lahko težave s katerim od teh vprašanj in se bosta obrnila na vas za pojasnila. Da ne bi padli na obraz in ohranili svojo avtoriteto v očeh otrok, je vredno osvežiti nekatere elemente šolskega kurikuluma.

Vzemimo za primer vprašanje enakokrakega trikotnika. Geometrija v šoli je za marsikoga težka, po šoli pa je najhitreje pozabljena.

Toda ko vaši otroci vstopijo v 8. razred, se boste morali spomniti formul glede geometrijske oblike. Enakokraki trikotnik je eden najbolj preproste figure v smislu iskanja njegovih parametrov.

Če je vse, kar ste nekoč učili o trikotnikih, pozabljeno, se spomnimo. Enakokraki trikotnik je tisti, pri katerem imata dve stranici enake dolžine. Ti enaki robovi se imenujejo stranske stranice enakokrakega trikotnika. Tretja stran je njen temelj.

Obstaja možnost, da so vse 3 strani enake. Imenuje se enakostranični trikotnik. Vse formule, ki se uporabljajo za enakokrako, veljajo zanjo in po potrebi lahko katero koli njegovo stran imenujemo osnova.

Da bi našli ploščino, moramo osnovo razdeliti na pol. Ravna črta, ki se spusti do nastale točke od vrha, ki povezuje stranice, bo sekala osnovo pod pravim kotom.

To je lastnost takšnih trikotnikov: mediana, to je ravna črta od vrha do sredine nasprotne strani, v enakokrakem trikotniku je njegova simetrala (ravna črta, ki deli kot na pol) in njegova nadmorska višina (pravokotna na nasprotno stran).

Če želite najti površino enakokrakega trikotnika, morate njegovo višino pomnožiti z njegovo osnovo in nato ta produkt razdeliti na polovico.

Za iskanje površine trikotnika je formula preprosta: S=ah/2, kjer je a dolžina osnove, h je višina.

To je mogoče jasno razložiti na naslednji način. Iz papirja izrežite podobno obliko, poiščite sredino podlage, do te točke narišite višino in previdno odrežite po tej višini. Dobili boste dva pravokotna trikotnika.

Če jih s hipotenuzami (dolgimi stranicami) postavimo eno poleg druge, bo nastal pravokotnik, katerega ena stranica bo enaka višini našega lika, druga pa polovici njegove osnove. To pomeni, da bo formula potrjena.

Vizualna predstavitev je zelo pomembna. Če se vaš otrok ne nauči brezglavega pomnjenja formul, ampak razume njihov pomen, se mu geometrija ne bo več zdela težak predmet.

Najboljši učenec v razredu ni tisti učenec, ki si zapomni, ampak tisti učenec, ki razmišlja in, kar je najpomembneje, razume.

Kako najti območje figure, če je en kot pravi?

Lahko se izkaže, da je kot med stranicama danega trikotnika 90°. Potem se bo ta trikotnik imenoval pravokotni trikotnik, njegove stranice bodo imenovane noge, njegova osnova pa hipotenuza.

Območje takšne figure je mogoče izračunati z zgornjo metodo (poiščite sredino hipotenuze, ji narišite višino, jo pomnožite s hipotenuzo, razdelite na polovico). Toda težavo je mogoče rešiti veliko preprosteje.

Začnimo z jasnostjo. Pravilno enakokraki trikotnik je natanko polovica kvadrata, če ga prerežete diagonalno. In če površino kvadrata najdemo tako, da preprosto dvignemo njegovo stran na drugo potenco, bo površina figure, ki jo potrebujemo, pol manjša.

S=a 2 /2, kjer je a dolžina kraka.

Površina enakokrakega pravokotnega trikotnika je enaka polovici kvadrata njegove stranice. Izkazalo se je, da težava ni tako resna, kot se je zdelo na prvi pogled.

rešitev geometrijske težave ne zahteva nadčloveških naporov in je lahko koristno ne le za otroke, ampak tudi za vas pri iskanju odgovorov na kakršna koli praktična vprašanja.

Geometrija je eksaktna znanost. Če se poglobite v njegove osnove, bo z njim malo težav, logika dokazov pa lahko vašega otroka zelo očara. Le malo mu moraš pomagati. Karkoli že dober učitelj ne glede na to, kaj bo dobil, pomoč staršev ne bo odveč.

In v primeru preučevanja geometrije bo zgoraj omenjena metoda zelo koristna - jasnost in preprostost razlage.

Ob tem ne smemo pozabiti na natančnost formulacij, sicer lahko to znanost naredimo veliko bolj zapleteno, kot v resnici je.

Ugotovite, kako najti ploščino paralelograma. Kvadrati in pravokotniki so paralelogrami, kot vsaka druga štiristranska figura, pri kateri sta nasprotni stranici vzporedni. Površina paralelograma se izračuna po formuli: S = bh, kjer je "b" osnova (spodnja stranica paralelograma), "h" je višina (razdalja od zgornje do spodnje stranice; višina vedno seka osnovo pod kotom 90°).

• V kvadratih in pravokotnikih je višina enaka stranici, ker stranice sekajo vrh in dno pod pravim kotom.

1. Primerjaj trikotnike in paralelograme. Med temi številkami je preprosta povezava. Če kateri koli paralelogram prerežete diagonalno, dobite dva enaka trikotnika. Podobno, če seštejete dva enaka trikotnika, dobite paralelogram. Zato se površina katerega koli trikotnika izračuna po formuli: S = ½bh, kar je polovica ploščine paralelograma.

   Poiščite osnovo enakokrakega trikotnika. Zdaj poznate formulo za izračun površine trikotnika; Še vedno je treba ugotoviti, kaj sta "osnova" in "višina". Osnova (označena z "b") je stranica, ki ni enaka drugima dvema (enakima) stranema.

2. Spustite pravokotno na podlago. Naredite to iz vrha trikotnika, ki je nasproti osnove. Ne pozabite, da pravokotnik seka osnovo pod pravim kotom. Ta navpičnica je višina trikotnika (označena kot "h"). Ko najdete vrednost "h", lahko izračunate površino trikotnika.

   • V enakokrakem trikotniku višina seka osnovo točno na sredini.

3. Poglejte polovico enakokrakega trikotnika. Upoštevajte, da je višina razdelila enakokraki trikotnik na dva enaka pravokotna trikotnika. Poglejte enega od njih in poiščite njegove strani:

   • Krajša stranica je enaka polovici osnove: b 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • Druga stranica je višina "h".
   • Hipotenuza pravokotnega trikotnika je stranska stranica enakokrakega trikotnika; Označimo ga s "s".

4. Uporabite Pitagorov izrek.Če sta znani dve strani pravokotnega trikotnika, lahko njegovo tretjo stran izračunamo z uporabo Pitagorovega izreka: (stranica 1) 2 + (stranica 2) 2 = (hipotenuza) 2. V našem primeru bo Pitagorov izrek zapisan takole: .

   • Najverjetneje poznate Pitagorov izrek v naslednjem zapisu: a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Uporabljamo besede stran 1, stran 2 in hipotenuza, da preprečimo zamenjavo s primeri spremenljivk.

5. Izračunajte vrednost "h". Ne pozabite, da sta v formuli za izračun površine trikotnika spremenljivki "b" in "h", vendar vrednost "h" ni znana. Prepišite formulo za izračun "h":

   • (b 2) 2 + h 2 = s 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
     h 2 = s 2 − (b 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. Nadomestite v formulo znane vrednosti in izračunajte "h". To formulo lahko uporabimo za kateri koli enakokraki trikotnik, katerega stranice so znane. Nadomestite vrednost osnove za "b" in vrednost stranice za "s", da najdete vrednost "h".

   • V našem primeru: b = 6 cm; s = 5 cm.
   • Nadomestite vrednosti v formulo:
     h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
     h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
     h = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     h = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     h = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
     h = 4 (\displaystyle h=4) cm.

7. Vrednosti osnove in višine vstavite v formulo za izračun površine trikotnika. Formula: S = ½bh; Vanjo nadomestite vrednosti "b" in "h" in izračunajte površino. Ne pozabite zapisati v odgovoru kvadratnih enot meritve.

   • V našem primeru je osnova 6 cm, višina pa 4 cm.
   • S = ½bh
     S = ½ (6 cm) (4 cm)
     S = 12 cm 2.

8. Poglejmo bolj zapleten primer. V večini primerov boste dobili težjo nalogo od tiste, obravnavane v našem primeru. Če želite izračunati višino, morate izvleči kvadratni koren, ki praviloma ni v celoti ekstrahiran. V tem primeru vrednost višine zapišite kot poenostavljen kvadratni koren. Tukaj je nov primer:

   • Izračunaj ploščino enakokrakega trikotnika s stranicami 8 cm, 8 cm, 4 cm.
   • Za osnovo "b" izberite stran, ki je 4 cm.
   • Višina: h = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2)))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • Poenostavite kvadratni koren z uporabo faktorjev: h = 60 = 4 * 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
   • S = 1 2 b h (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • Odgovor lahko zapišemo s korenom ali pa koren izluščimo na kalkulatorju in odgovor zapišemo v obrazec decimalno(S ≈ 15,49 cm2).