Spletni kalkulator za izračun prisekanega stožca. Prostornina stožca, njegov izračun

Geometrija kot znanost se je oblikovala v starem Egiptu in dosegla visoki ravni razvoj. Slavni filozof Platon je ustanovil Akademijo, kjer je bila velika pozornost namenjena sistematizaciji obstoječega znanja. Stožec kot ena od geometrijskih figur je bil prvič omenjen v znani Evklidovi razpravi "Elementi". Evklid je poznal Platonova dela. Dandanes malo ljudi ve, da je beseda "stožec" prevedena iz grški jezik pomeni "borov storž". Grški matematik Evklid, ki je živel v Aleksandriji, upravičeno velja za ustanovitelja geometrijska algebra. Stari Grki niso le postali nasledniki znanja Egipčanov, ampak so teorijo tudi bistveno razširili.

Zgodovina definicije stožca

Geometrija kot znanost je nastala iz praktičnih zahtev gradnje in opazovanja narave. Postopoma so se eksperimentalna spoznanja posploševala in lastnosti enih teles dokazovali preko drugih. Stari Grki so predstavili koncept aksiomov in dokazov. Aksiom je izjava, pridobljena s praktičnimi sredstvi in ​​ne zahteva dokaza.

Evklid je v svoji knjigi podal definicijo stožca kot lika, ki ga dobimo z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od njegovih krakov. Ima tudi glavni izrek, ki določa prostornino stožca. Ta izrek je dokazal starogrški matematik Evdoks iz Knida.

Še en matematik antična Grčija, Apolonij iz Perge, ki je bil Evklidov učenec, je v svojih knjigah razvil in razložil teorijo stožčastih površin. Ima definicijo stožčaste ploskve in njene sekante. Šolarji se danes učijo evklidsko geometrijo, ki je ohranila osnovne izreke in definicije iz antičnih časov.

Osnovne definicije

Pravilni krožni stožec nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega kraka. Kot lahko vidite, se koncept stožca od Evklidovih časov ni spremenil.

Hipotenuza AS pravokotnega trikotnika AOS pri vrtenju okoli kraka OS nastane stransko površino stožca, zato ga imenujemo generator. Krak OS trikotnika se hkrati spremeni v višino stožca in njegovo os. Točka S postane vrh stožca. Krak AO, ki je opisal krog (osnovo), se je spremenil v polmer stožca.

Če narišemo ravnino od zgoraj skozi oglišče in os stožca, vidimo, da je dobljeni osni prerez enakokraki trikotnik, v katerem je os višina trikotnika.

kje C- obseg baze, l— dolžina generatrise stožca, R— polmer baze.

Formula za izračun prostornine stožca

Za izračun prostornine stožca uporabite naslednjo formulo:

kjer je S površina osnove stožca. Ker je osnova krog, se njegova ploščina izračuna na naslednji način:

Iz tega sledi:

kjer je V prostornina stožca;

n je število enako 3,14;

R je polmer osnove, ki ustreza segmentu AO na sliki 1;

H je višina, ki je enaka segmentu OS.

Prisekani stožec, volumen

Obstaja raven krožni stožec. Če odrežete zgornji del z ravnino, pravokotno na višino, dobite prisekan stožec. Njegovi osnovi imata obliko kroga s polmeroma R1 in R2.

Če pravi stožec nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika, potem prisekani stožec nastane z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli ravne stranice.

Prostornina prisekanega stožca se izračuna po naslednji formuli:

V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Stožec in njegov presek z ravnino

Starogrški matematik Apolonij iz Perge je napisal teoretično delo "Stožni prerezi". Zahvaljujoč njegovemu delu v geometriji so se pojavile definicije krivulj: parabola, elipsa, hiperbola. Poglejmo, kaj ima s tem stožec.

Vzemimo ravni krožni stožec. Če jo ravnina seka pravokotno na os, se v odseku oblikuje krog. Ko sekanta seka stožec pod kotom na os, dobimo v prerezu elipso.

Sekalna ravnina, pravokotna na osnovo in vzporedna z osjo stožca, tvori na površini hiperbolo. Ravnina, ki seka stožec pod kotom na osnovo in je vzporedna s tangento na stožec, ustvari krivuljo na površini, ki se imenuje parabola.

Rešitev problema

celo preprosta naloga kako narediti vedro določene prostornine zahteva znanje. Na primer, morate izračunati dimenzije vedra, tako da ima prostornino 10 litrov.

V=10 l=10 dm 3 ;

Oblika stožca je shematično prikazana na sliki 3.

L je generatrisa stožca.

Če želite izvedeti površino vedra, ki se izračuna po naslednji formuli:

S=n*(R 1 +R 2)*L,

potrebno je izračunati generator. Ugotovimo jo iz vrednosti volumna V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Zato je H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Z vrtenjem nastane prisekan stožec pravokotni trapez, pri katerem je stranska stranica generatrisa stožca.

L2=(R2-R1)2+H2.

Zdaj imamo vse podatke za izdelavo risbe vedra.

Zakaj so gasilska vedra stožčaste oblike?

Kdo se je kdaj spraševal, zakaj imajo gasilska vedra na videz čudno stožčasto obliko? In to ni kar tako. Izkazalo se je, da ima stožčasto vedro pri gašenju požara veliko prednosti pred navadnim, ki ima obliko prisekanega stožca.

Prvič, kot se je izkazalo, se požarno vedro hitreje napolni z vodo in se med prenašanjem ne razlije. Stožec z večjo prostornino kot navadno vedro vam omogoča, da pretočite več vode naenkrat.

Drugič, vodo iz njega lahko vržete na večjo razdaljo kot iz običajnega vedra.

Tretjič, če vam stožčasto vedro pade iz rok in pade v ogenj, se vsa voda zlije na vir ognja.

Vsi ti dejavniki prihranijo čas - glavni dejavnik pri gašenju požara.

Praktična uporaba

Šolarji imajo pogosto vprašanja, zakaj se morajo naučiti izračunati prostornino različnih geometrijskih teles, vključno s stožcem.

In inženirji se nenehno soočajo s potrebo po izračunu prostornine stožčastih delov strojnih delov. To so konice svedrov, deli stružnic in rezkalnikov. Stožčasta oblika bo omogočila, da svedri zlahka vstopijo v material, ne da bi morali začetno označevati s posebnim orodjem.

Prostornina stožca je kup peska ali zemlje, nasut na tla. Po potrebi lahko s preprostimi meritvami izračunate njegovo prostornino. Nekatere bo morda zmedlo vprašanje, kako ugotoviti polmer in višino kupa peska. Oboroženi z merilnim trakom izmerimo obseg gomile C. S formulo R=C/2n ugotovimo polmer. Če vržemo vrv (trak) čez oglišče, najdemo dolžino generatrixe. In izračun višine z uporabo Pitagorovega izreka in prostornine ni težko. Seveda je ta izračun približen, vendar vam omogoča, da ugotovite, ali ste bili prevarani, če ste namesto kocke prinesli tono peska.

Nekatere zgradbe imajo obliko prisekanega stožca. Na primer, televizijski stolp Ostankino se približuje obliki stožca. Lahko si ga predstavljamo kot sestavljenega iz dveh stožcev, postavljenih drug na drugega. Kupole starodavnih gradov in katedral predstavljajo stožec, katerega prostornino so starodavni arhitekti izračunali z neverjetno natančnostjo.

Če pozorno pogledate okoliške predmete, so mnogi od njih stožci:

• lijaki za točenje tekočin;
• hupa-zvočnik;
• parkirni stožci;
• senčnik za talno svetilko;
• običajno božično drevo;
• pihala.

Kot je razvidno iz navedenih primerov, je sposobnost izračuna prostornine stožca in njegove površine potrebna v poklicnem in vsakdanjem življenju. Upamo, da vam bo članek priskočil na pomoč.

• 22.09.2014

  Princip delovanja. Ko pritisnete tipko prve števke kode SA1, se sprožilec DD1.1 preklopi in na vhodu D sprožilca DD1.2 se pojavi visoka napetost. Ko torej pritisnete naslednji gumb s kodo SA2, sprožilec DD1.2 spremeni svoje stanje in pripravi naslednji prožilec za preklop. V primeru nadaljnjega pravilnega izbiranja se zadnji sproži sprožilec DD2.2 in...

• 03.10.2014

  Predlagana naprava stabilizira napetost do 24 V in tok do 2 A z zaščito pred kratkim stikom. V primeru nestabilnega zagona stabilizatorja je treba uporabiti sinhronizacijo iz avtonomnega generatorja impulzov (sl. 2. Stabilizatorsko vezje je prikazano na sliki 1. Na VT1 VT2 je sestavljen Schmittov sprožilec, ki krmili močan regulacijski tranzistor VT3. Podrobnosti: VT3 je opremljen s hladilnikom ...

• 20.09.2014

  Ojačevalnik (glej sliko) je izdelan po tradicionalnem vezju s samodejnimi cevmi: izhod - AL5, gonilniki - 6G7, kenotron - AZ1. Diagram enega od dveh kanalov stereo ojačevalnika je prikazan na sliki 1. Iz regulatorja glasnosti se signal dovaja v mrežo žarnice 6G7, ojača in od anode te svetilke skozi izolacijski kondenzator C4 do ...

• 15.11.2017

  NE555 je univerzalni časovnik - naprava za oblikovanje (generiranje) posameznih in ponavljajočih se impulzov s stabilnimi časovnimi značilnostmi. Gre za asinhroni RS prožilec s specifičnimi vhodnimi pragovi, natančno določenimi analognimi primerjalniki in vgrajenim delilnikom napetosti (precision Schmittov prožilec z RS prožilcem). Uporablja se za izdelavo različnih generatorjev, modulatorjev, časovnih relejev, pragovnih naprav in drugih...

V geometriji je prisekan stožec telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli njegove stranice, ki je pravokotna na osnovo. Kako izračunati prostornina prisekanega stožca, vsi vedo iz šolski tečaj geometrije, v praksi pa to znanje pogosto uporabljajo konstruktorji različnih strojev in mehanizmov, razvijalci nekaterih potrošnih dobrin, pa tudi arhitekti.

Izračun prostornine prisekanega stožca

Prostornina prisekanega stožca se izračuna po formuli:

V

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- višina stožca

r- polmer zgornje baze

R- polmer spodnje baze

V- prostornina prisekanega stožca

π - 3,14

S takimi geometrijskimi telesi, kot so prisekani stožci, v vsakdanjem življenju se vsak trči kar pogosto, če ne kar nenehno. Oblikovani so v najrazličnejše posode, ki se pogosto uporabljajo v vsakdanjem življenju: vedra, kozarci, nekatere skodelice. Ni treba posebej poudarjati, da so oblikovalci, ki so jih razvili, verjetno uporabili formulo, po kateri se izračuna prostornina prisekanega stožca, saj ima ta količina v tem primeru zelo velika vrednost, saj je to tisto, kar določa tako pomembno lastnost, kot je zmogljivost izdelka.

Inženirske konstrukcije, ki predstavljajo prisekani stožci, je pogosto mogoče videti v velikih industrijskih podjetjih, pa tudi v termalnih in jedrske elektrarne. Prav takšne oblike imajo hladilni stolpi - naprave, namenjene hlajenju velikih količin vode s prisilnim protitokom atmosferski zrak. Najpogosteje se ti modeli uporabljajo v primerih, ko je to potrebno kratki roki znatno znižati temperaturo velika količina tekočine. Razvijalci teh struktur morajo določiti prostornina prisekanega stožca formula za izračun, ki je precej preprosta in poznana vsem tistim, ki so se nekoč dobro učili v srednji šoli.

Deli, ki imajo to geometrijska oblika, pogosto najdemo pri oblikovanju različnih tehničnih naprav. Na primer, zobniški pogoni, ki se uporabljajo v sistemih, kjer je treba spremeniti smer kinetičnega prenosa, se najpogosteje izvajajo s stožčastimi zobniki. Ti deli so sestavni del najrazličnejših menjalnikov, pa tudi avtomatskih in ročnih menjalnikov, ki se uporabljajo v sodobnih avtomobilih.

Nekatera rezalna orodja, ki se pogosto uporabljajo v proizvodnji, na primer rezkarji, imajo obliko prisekanega stožca. Z njihovo pomočjo lahko obdelate nagnjene površine pod določenim kotom. Za ostrenje rezalnikov opreme za obdelavo kovin in lesa se pogosto uporabljajo abrazivna kolesa, ki so tudi prisekani stožci. Poleg tega prostornina prisekanega stožca Treba je določiti oblikovalce stružnih in rezkalnih strojev, ki vključujejo pritrditev rezalnih orodij, opremljenih s stožčastimi stebli (svedri, povrtala itd.).

Prisekani stožec
imenovan del
polni stožec
sklenjen med
osnova in sekans
ravno,
vzporedno
osnova. krogi,
ležanje v
vzporedno
letala,
se imenujejo
razlogov
prisekan stožec.

Formativno
prisekan stožec
imenovan del
generatrisa
polni stožec
sklenjen med
razlogov.
Višina prisekanega
stožec se imenuje
razdalja med
razlogov.

?
Naj bo v stožcu
katerih višina
znan
je bil izveden rez,
nahaja na
tri razdalje od
vrhovi. zakaj
generator je enak
nastala
prisekan stožec
če je znano
generatrisa
poln stožec?
8

prisekan stožec
Lahko
obravnavati kot
prejeto telo
pri vrtenju
pravokotne
trapezi okrog
stran,
pravokotno
osnova.

naravnost,
povezovanje
bazni centri,
imenovano os
prisekan stožec.
Prehod odseka
skozi os,
imenujemo aksialni.
Aksialni odsek
je
enakokraki
trapez.

Formula za prostornino prisekanega stožca.

Prostornina prisekanega stožca
enaka vsoti volumnov treh
stožci, ki imajo
enake višine kot
prisekan stožec in
razlogi: eden -
spodnja osnova tega
stožec, drugi je zgornji in
tretjina – krog, polmer
od tega je povprečje
geometrijsko med
polmeri zgornjega in
1 2 2
nižje baze.
V
H
R
r
Rr
3

Dokaz:

Postavite ga na vrh
osnova odsekanega
stožec majhen stožec,
ga dopolnjuje
dokončajte in upoštevajte
njegova prostornina je kot
razlika v volumnu dveh
stožci.
1
2 1
2
V
V
V
R
x
r
h
skrajšati
.
con
poln
dodatno
3 3

Dokaz:
Iz podobnosti izračunajmo višino polnega stožca
trikotniki.
SO1 B~AKB
x
H
R R r
R
xH
R r

10.

Dokaz:
SOA ~ SO1 B
h r
xR
12
rh 2
2
3
V
rh r r r
dodatno 3
2 2 3
1 2 R
V
x
R
R
R
poln
R
x
3
Prostornine polnih in dodatnih stožcev
so povezani kot kubi polmerov baz.

11.

Dokaz:
Od prostornine velikega stožca odštejte prostornino
3
majhen stožec.
r
V
V
V
V
V
skrajšati
poln
dodatno
poln
3po
R
3
1 2 r
R
x
1
3
3R
2
3
3
1R
HR
R
r
3
3R
r
R
2
2
1
R
r
R
Rr
r
H
3
R
r
1 2
2
R
H
Rr
r
3

12.

?
Poiščite glasnost
okrnjena
stožec če
znan po svojih
višina in polmeri
razlogov.
149π

13. Podobni valji in stožci.

Podobni cilindri
ali stožci lahko
obravnavati kot
telesa prejeli od
vrtenje podobnih
pravokotniki
ali pravokotne
trikotniki.

14.

Odsek, vzporedno z osnovo stožec,
od njega odreže majhen stožec, podoben
velik.
r h l
R H L
3
3
V
r
h
dodatno
.
3 3
V
R H
poln
.
2
2
S
2
rlr h
strani
.
dodatno
2
2
S
2
R.L.
RH
strani
.
poln

15.

Stranska območja
površine
podobno
cilindri in
stožci vključujejo
kot kvadrati
radiji ali višine,
in količine so kot kocke
polmeri ali višine.
2
2
s r
h
2 2
S R H
3
3
v r h
3 3
V R H

16.

?
V stožcu, viš
kar je znano
je bil izveden rez,
vzporedno
osnova. Znano
tudi razmerje
količine majhnih in
veliki stožci. Vklopljeno
od katere razdalje
temelj se nahaja
razdelek?
2

17.

Radiji baz
prisekan stožec
razmerje je 2:3.
Višina stožca
razdeljen na tri
enake dele in
skozi točke
se delajo delitve
letala,
vzporedno
razlogov.
Ugotovite, v kateri
spoštovanje
volumen razdeljen
prisekan stožec.
Naloga.

18.

rešitev:
Vedeti, da so polmeri osnov stožca
razmerja dva proti tri, označimo polmere
kot 2a in 3a in upoštevajte osni prerez
stožec

19.

rešitev:
1) S podobnostjo poiščemo polmere
izvedenih odsekov.
CH
3
A
2
A
A
4
1
A
n
V CH
2 2
4
3
3
2
2
A
n
IN
CH
33
4
3
3
a7
R
2
a
a
1
33
2
a8
R
2
a
a
2
3 3

20.

rešitev:
2) Po dokončanju prisekanega stožca do polnega,
poiščimo, kateri del polnega stožca
sestavite manjše stožce.
V – prostornina največjega stožca
3
3
3
V
2
a
2 6
SO
3 3 3
V
39
3
a
1
3
7
a
3
V
7
3
SO
3
3
V
3a 9
3
8
a
3
V
8
3
SO
3
3
V
3a 9
2
3

21.

rešitev:
3) Ugotovimo, kakšen del skupne prostornine
stožci so sestavljeni iz prisekanih stožcev,
ki se nahaja med sosednjimi odseki
in poiščite razmerje prostornin teh stožcev.
3 3
7
6 12
V
V
V
V
V
1
SO
SO
3
3
9 9
3 3
8
7 16
V
V
V
V
V
2
SO
SO
3
3
9 9
3 3
9
8 21
V
V
V
3V
V
3
SO
3
9
9
odgovor:
V1:V2:V3 = 127:168:217
2
3