C 14 geometrijska progresija.

ruski jezik Geometrijsko napredovanje ještevilčno zaporedje

, katerega prvi člen ni nič, vsak naslednji člen pa je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom, ki ni nič. Označena je geometrijska progresija

b1,b2,b3, …, bn, …. Razmerje katerega koli člena geometrijske napake in njegovega prejšnjega člena je enako istemu številu, to je b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. To izhaja neposredno iz definicije aritmetična progresija

. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije. Običajno je imenovalec geometrijske progresije označen s črko q.

Monotono in konstantno zaporedje

Eden od načinov za določitev geometrijske progresije je določitev njenega prvega člena b1 in imenovalca geometrijske napake q. Na primer, b1=4, q=-2. Ta dva pogoja določata geometrijsko progresijo 4, -8, 16, -32, …. Če je q>0 (q ni enak 1), potem je napredovanje. monotono zaporedje

Na primer, zaporedje 2, 4,8,16,32, ... je monotono naraščajoče zaporedje (b1=2, q=2). Če je imenovalec v geometrijski napaki q=1, bodo vsi členi geometrijske progresije med seboj enaki. V takih primerih pravijo, da je napredovanje

stalno zaporedje.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije
Da bi bilo številsko zaporedje (bn) geometrijska progresija, mora biti vsak njegov člen, začenši z drugim, geometrična sredina sosednjih členov. To pomeni, da je treba izpolniti naslednjo enačbo (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za vsak n>0, kjer n pripada množici naravna števila

n.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je:

bn=b1*q^(n-1),

kjer n pripada množici naravnih števil N.

Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije

Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije ima obliko:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kjer q ni enak 1.

Poglejmo preprost primer:

V geometrijski progresiji b1=6, q=3, n=8 poiščite Sn.

Za iskanje S8 uporabimo formulo za vsoto prvih n členov geometrijske progresije.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19.680.

Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.

Število s številko imenujemo n-ti član zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Najpogostejši vrsti progresije sta aritmetična in geometrijska. V tej temi bomo govorili o drugi vrsti - geometrijsko napredovanje.

Za kaj se uporablja geometrijska progresija in njena zgodovina?

Že v starih časih se je italijanski matematik menih Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci) ukvarjal s praktičnimi potrebami trgovine. Menih se je soočil z nalogo, da ugotovi, s katerim najmanjšim številom uteži lahko stehtamo izdelek? Fibonacci v svojih delih dokazuje, da je takšen sistem uteži optimalen: To je ena prvih situacij, v kateri so se ljudje morali soočiti z geometrijsko progresijo, za katero ste verjetno že slišali in ste vsaj splošni koncept. Ko popolnoma razumete temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?

Trenutno se v življenjski praksi geometrijsko napredovanje kaže pri vlaganju denarja v banko, ko se znesek obresti obračuna na znesek, nabran na računu za prejšnje obdobje. Z drugimi besedami, če položite denar na vezani depozit v hranilnici, se bo po enem letu depozit povečal za prvotni znesek, tj. nov znesek bo enak prispevku, pomnoženemu s. V drugem letu se bo ta znesek povečal za, t.j. takrat dobljeni znesek bo spet pomnožen z in tako naprej. Podobna situacija je opisana v problemih izračunavanja t.i obrestne mere– odstotek se vsakič vzame od zneska, ki je na računu, z upoštevanjem predhodnih obresti. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.

Obstaja veliko več preprostih primerov, kjer se uporablja geometrijska progresija. Na primer, širjenje gripe: ena oseba je okužila drugo osebo, ti so okužili drugo osebo in tako je drugi val okužbe oseba, ona pa je okužila drugo ... in tako naprej. .

Mimogrede, finančna piramida, ista MMM, je preprost in suh izračun, ki temelji na lastnostih geometrijskega napredovanja. zanimivo? Ugotovimo.

Geometrijsko napredovanje.

Recimo, da imamo številsko zaporedje:

Takoj boste odgovorili, da je to enostavno in ime takšnega zaporedja je z razliko njegovih članov. Kaj pa tole:

Če prejšnje število odštejete od naslednjega števila, boste videli, da vsakič dobite novo razliko (in tako naprej), a zaporedje vsekakor obstaja in ga je enostavno opaziti - vsako naslednje število je krat večje od prejšnjega!

Ta vrsta številskega zaporedja se imenuje geometrijsko napredovanje in je določen.

Geometrijsko napredovanje () je numerično zaporedje, katerega prvi člen je drugačen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.

Omejitve, da prvi člen ( ) ni enak in niso naključne. Predpostavimo, da jih ni in je prvi člen še vedno enak, q pa je enak, hmm.. naj bo, potem se izkaže:

Strinjajte se, da to ni več napredovanje.

Kot razumete, bomo dobili enake rezultate, če obstaja katero koli število, ki ni nič, a. V teh primerih preprosto ne bo napredovanja, saj bo celoten številski niz bodisi vse ničle bodisi eno število, vse ostalo pa so ničle.

Zdaj pa se podrobneje pogovorimo o imenovalcu geometrijskega napredovanja, to je o.

Ponovimo: - to je številka kolikokrat se spremeni vsak naslednji izraz? geometrijsko napredovanje.

Kaj mislite, da bi lahko bilo? Tako je, pozitivno in negativno, vendar ne nič (o tem smo govorili malo višje).

Predpostavimo, da je naš pozitiven. Naj v našem primeru a. Kakšna je vrednost drugega izraza in? Na to lahko enostavno odgovorite:

Tako je prav. V skladu s tem, če, potem imajo vsi nadaljnji izrazi napredovanja enak znak - oni so pozitivni.

Kaj če je negativno? Na primer, a. Kakšna je vrednost drugega izraza in?

To je povsem druga zgodba

Poskusite prešteti člene tega napredovanja. Koliko si dobil? imam. Če torej, se znaki členov geometrijske progresije izmenjujejo. To pomeni, da če vidite progresijo z izmeničnimi predznaki za njene člane, potem je njen imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga, da se preizkusite pri reševanju nalog na to temo.

Zdaj pa malo vadimo: poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so geometrijska in katera aritmetična progresija:

razumeš Primerjajmo naše odgovore:

• Geometrijsko napredovanje – 3, 6.
• Aritmetična progresija – 2, 4.
• To ni niti aritmetična niti geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vrnimo se k naši zadnji progresiji in poskusimo najti njen člen, tako kot pri aritmetiki. Kot ste morda uganili, ga lahko najdete na dva načina.

Vsak člen zaporedoma pomnožimo z.

Torej je th člen opisane geometrijske progresije enak.

Kot ste že uganili, boste zdaj sami izpeljali formulo, ki vam bo pomagala najti katerega koli člana geometrijskega napredovanja. Ali pa ste ga že razvili zase in opisali, kako korak za korakom najti člana? Če je tako, potem preveri pravilnost svojega razmišljanja.

Naj to ponazorimo s primerom iskanja th člena tega napredovanja:

Z drugimi besedami:

Sami poiščite vrednost člena dane geometrijske progresije.

Je uspelo? Primerjajmo naše odgovore:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo zaporedno pomnožili z vsakim prejšnjim členom geometrijskega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - postavimo jo v splošno obliko in dobimo:

Izpeljana formula velja za vse vrednosti - tako pozitivne kot negativne. To preverite sami z izračunom členov geometrijske progresije z naslednjimi pogoji: , a.

Ste šteli? Primerjajmo rezultate:

Strinjam se, da bi bilo možno najti člen progresije na enak način kot člen, vendar obstaja možnost napačnega izračuna. In če smo že našli th člen geometrijske progresije, potem je kaj preprostejšega od uporabe "okrnjenega" dela formule.

Neskončno padajoča geometrijska progresija.

Pred kratkim smo govorili o tem, da je lahko večja ali manjša od nič, vendar obstajajo posebne vrednosti, za katere se imenuje geometrijsko napredovanje neskončno padajoče.

Zakaj misliš, da je dobil to ime?
Najprej zapišimo geometrijsko progresijo, sestavljeno iz členov.
Recimo torej:

Vidimo, da je vsak naslednji člen manjši od prejšnjega za faktor, toda ali bo kakšno število? Takoj boste odgovorili z "ne". Zato je neskončno padajoča – manjša in manjša, a nikoli ne postane nič.

Da bi jasno razumeli, kako je to vizualno videti, poskusimo narisati graf našega napredovanja. Torej ima formula za naš primer naslednjo obliko:

Na grafih, od katerih smo navajeni risati odvisnosti, torej:

Bistvo izraza se ni spremenilo: v prvem vnosu smo prikazali odvisnost vrednosti člana geometrijskega napredovanja od njegovega rednega števila, v drugem vnosu pa smo vrednost člana geometrijskega napredovanja preprosto vzeli kot , in označil vrstno številko ne kot, ampak kot. Vse, kar je treba narediti, je zgraditi graf.
Poglejmo, kaj imaš. Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

vidiš Funkcija pada, teži k ničli, vendar je nikoli ne prečka, zato je neskončno padajoča. Označimo naše točke na grafu, hkrati pa kaj pomeni koordinata in:

Poskusite shematično prikazati graf geometrijskega napredovanja, če je tudi njegov prvi člen enak. Analizirajte, kakšna je razlika z našim prejšnjim grafom?

Vam je uspelo? Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

Zdaj, ko ste v celoti razumeli osnove teme geometrijske progresije: veste, kaj je, veste, kako najti njen člen, in veste tudi, kaj je neskončno padajoča geometrijska progresija, pojdimo k njeni glavni lastnosti.

Lastnost geometrijske progresije.

Ali se spomnite lastnosti členov aritmetične progresije? Da, da, kako najti vrednost določenega števila napredovanja, če obstajajo prejšnje in naslednje vrednosti pogojev tega napredovanja. se spomniš Tukaj je:

Zdaj se soočamo s popolnoma enakim vprašanjem za člene geometrijske progresije. Da bi izpeljali takšno formulo, začnimo risati in sklepati. Videli boste, zelo enostavno je, in če pozabite, ga lahko izvlečete sami.

Vzemimo še eno preprosto geometrijsko progresijo, v kateri poznamo in. Kako najti? Z aritmetično progresijo je lahko in preprosto, kaj pa tukaj? Pravzaprav tudi v geometriji ni nič zapletenega - samo zapisati morate vsako vrednost, ki nam je dana po formuli.

Lahko se vprašate, kaj naj storimo glede tega zdaj? Da, zelo preprosto. Najprej ponazorimo te formule na sliki in poskusimo z njimi izvesti različne manipulacije, da bi prišli do vrednosti.

Abstrahirajmo se od števil, ki so nam dana, osredotočimo se le na njihov izraz skozi formulo. Najti moramo poudarjeno vrednost oranžna, s poznavanjem sosednjih članov. Poskusimo z njimi izvesti različna dejanja, zaradi katerih lahko dobimo.

Dodatek.
Poskusimo sešteti dva izraza in dobimo:

Iz tega izraza, kot vidite, ga nikakor ne moremo izraziti, zato bomo poskusili drugo možnost - odštevanje.

Odštevanje.

Kot lahko vidite, tudi tega ne moremo izraziti, zato poskusimo te izraze pomnožiti drug z drugim.

Množenje.

Zdaj natančno poglejte, kaj imamo z množenjem pogojev geometrijske progresije, ki nam je bila dana v primerjavi s tem, kar je treba najti:

Uganete o čem govorim? Tako je, da bi našli, moramo vzeti kvadratni koren iz števil geometrijske progresije, ki mejijo na želeno, pomnoženih med seboj:

Izvolite. Sami ste izpeljali lastnost geometrijske progresije. Poskusite zapisati to formulo splošni pogled. Je uspelo?

Ste pozabili na pogoj? Pomislite, zakaj je pomembno, poskusite na primer sami izračunati. Kaj se bo zgodilo v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, ker je formula videti takole:

Zato ne pozabite na to omejitev.

Zdaj pa izračunajmo, čemu je enako

Pravilen odgovor je! Če pri izračunu niste pozabili druge možne vrednosti, potem ste super in lahko takoj nadaljujete s treningom, če pa ste pozabili, preberite, kaj je obravnavano spodaj, in bodite pozorni, zakaj morata biti oba korena zapisana v odgovor.

Narišimo obe naši geometrijski progresiji - eno z vrednostjo in drugo z vrednostjo in preverimo, ali imata obe pravico do obstoja:

Da bi preverili, ali taka geometrijska progresija obstaja ali ne, je treba videti, ali so vsi njeni dani členi enaki? Izračunajte q za prvi in ​​drugi primer.

Vidite, zakaj moramo napisati dva odgovora? Kajti predznak iskanega izraza je odvisen od tega, ali je pozitiven ali negativen! In ker ne vemo, kaj je, moramo oba odgovora napisati s plusom in minusom.

Zdaj, ko ste obvladali glavne točke in izpeljali formulo za lastnost geometrijske progresije, poiščite, poznate in

Primerjaj svoje odgovore s pravilnimi:

Kaj menite, kaj, če ne bi dobili vrednosti členov geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, ampak enako oddaljeni od njega. Na primer, najti moramo in glede na in. Ali lahko v tem primeru uporabimo formulo, ki smo jo izpeljali? Poskusite potrditi ali ovreči to možnost na enak način, tako da opišete, iz česa je posamezna vrednost, kot ste to storili, ko ste prvotno izpeljali formulo, pri.
Kaj si dobil?

Zdaj pa še enkrat pozorno poglejte.
in v skladu s tem:

Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo s sosednjimi z želenimi členi geometrijskega napredovanja, ampak tudi z enako oddaljena od tega, kar člani iščejo.

Tako ima naša začetna formula obliko:

Se pravi, če smo v prvem primeru to rekli, zdaj pravimo, da je lahko enako kateremu koli naravnemu številu, ki je manjše. Glavna stvar je, da je enaka za obe podani številki.

Vadite naprej konkretni primeri, samo bodite zelo previdni!

1. , . Najdi.
2. , . Najdi.
3. , . Najdi.

Odločen? Upam, da ste bili izredno pozorni in ste opazili droben ulov.

Primerjajmo rezultate.

V prvih dveh primerih mirno uporabimo zgornjo formulo in dobimo naslednje vrednosti:

V tretjem primeru po skrbnem pregledu serijskih številk številk, ki so nam dane, ugotovimo, da niso enako oddaljene od številke, ki jo iščemo: to je prejšnja številka, vendar je odstranjena na mestu, tako da je formule ni mogoče uporabiti.

Kako to rešiti? Pravzaprav ni tako težko, kot se zdi! Zapišimo, kaj vsebuje posamezno število, ki nam je dano, in število, ki ga iščemo.

Torej imamo in. Poglejmo, kaj lahko storimo z njimi? Predlagam delitev z. Dobimo:

Naše podatke nadomestimo s formulo:

Naslednji korak, ki ga lahko najdemo, je - za to moramo vzeti kubični koren dobljenega števila.

Zdaj pa poglejmo še enkrat, kaj imamo. Imamo ga, vendar ga moramo najti, in je posledično enak:

Našli smo vse potrebne podatke za izračun. Nadomestite v formulo:

Naš odgovor: .

Poskusite sami rešiti drugo podobno težavo:
Podano: ,
Najdi:

Koliko si dobil? Imam -.

Kot lahko vidite, v bistvu potrebujete spomnite se samo ene formule- . Vse ostalo lahko kadarkoli brez težav dvignete sami. Če želite to narediti, preprosto napišite najpreprostejše geometrijsko napredovanje na list papirja in zapišite, čemu je vsako od njegovih števil enako, v skladu z zgoraj opisano formulo.

Vsota členov geometrijske progresije.

Zdaj pa si poglejmo formule, ki nam omogočajo hiter izračun vsote členov geometrijske progresije v danem intervalu:

Za izpeljavo formule za vsoto členov končne geometrijske progresije pomnožimo vse dele zgornje enačbe z. Dobimo:

Poglejte pozorno: kaj imata skupnega zadnji dve formuli? Tako je, na primer običajni člani in tako naprej, razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo odšteti 1. od 2. enačbe. Kaj si dobil?

Sedaj izrazite člen geometrijske progresije s formulo in dobljeni izraz nadomestite z našo zadnjo formulo:

Združi izraz. Moral bi dobiti:

Vse, kar je treba storiti, je izraziti:

Skladno s tem v tem primeru.

Kaj če? Katera formula potem deluje? Predstavljajte si geometrijsko napredovanje pri. Kakšna je? Pravilna vrstica enake številke, zato bo formula videti takole:

Obstaja veliko legend o aritmetičnem in geometrijskem napredovanju. Eden od njih je legenda o Setu, ustvarjalcu šaha.

Marsikdo to ve igra šaha je bil izumljen v Indiji. Ko jo je hindujski kralj srečal, je bil navdušen nad njeno duhovitostjo in raznolikostjo možnih položajev v njej. Ko je izvedel, da ga je izumil eden od njegovih podanikov, se je kralj odločil, da ga bo osebno nagradil. Izumitelja je poklical k sebi in mu naročil, naj ga prosi za vse, kar hoče, in obljubil, da bo izpolnil še tako spretno željo.

Seta je prosil za čas za razmislek, in ko se je naslednji dan Seta pojavil pred kraljem, je kralja presenetil s skromnostjo svoje prošnje brez primere. Prosil je, naj da pšenično zrno za prvo polje na šahovnici, pšenično zrno za drugo, pšenično zrno za tretje, četrto itd.

Kralj je bil jezen in odgnal Setha, rekoč, da je služabnikova prošnja nevredna kraljeve radodarnosti, vendar je obljubil, da bo služabnik prejel svoje zrnje za vsa polja na deski.

In zdaj vprašanje: z uporabo formule za vsoto členov geometrijske progresije izračunajte, koliko zrn naj prejme Seth?

Začnimo sklepati. Ker je po pogoju Set zahteval pšenično zrno za prvo polje na šahovnici, za drugo, za tretje, za četrto itd., potem vidimo, da je v problemu govorimo o o geometrijskem napredovanju. Kaj je enako v tem primeru?
prav.

Skupno število kvadratov šahovnice. Oziroma,. Vse podatke imamo, ostane le še, da jih vtaknemo v formulo in izračunamo.

Da si vsaj približno predstavljamo “lestvico” dano številko, transformirajte z uporabo lastnosti stopnje:

Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, kakšno število dobite na koncu, in če ne, mi boste morali verjeti na besedo: končna vrednost izraza bo.
To je:

kvintilion kvadrilijon bilijon milijard milijonov tisoč.

Fuj) Če si želite predstavljati ogromno te številke, potem ocenite, kako velik skedenj bi bil potreben za celotno količino žita.
Če je skedenj m visok in m širok, bi morala njegova dolžina segati za km, tj. dvakrat več kot od Zemlje do Sonca.

Če bi bil kralj močan v matematiki, bi lahko znanstvenika sam povabil k štetju zrn, kajti za štetje milijona zrn bi potreboval vsaj en dan neutrudnega štetja, in glede na to, da je treba šteti kvintiljone, zrna bi morali šteti vse življenje.

Zdaj pa rešimo preprost problem, ki vključuje vsoto členov geometrijske progresije.
Učenec 5.A razreda Vasya je zbolel za gripo, vendar še naprej hodi v šolo. Vsak dan Vasya okuži dve osebi, ti pa še dve osebi in tako naprej. V razredu so samo ljudje. Čez koliko dni bo cel razred zbolel za gripo?

Torej, prvi člen geometrijske progresije je Vasya, to je oseba. Treti člen geometrijskega napredovanja sta dve osebi, ki ju je okužil prvi dan svojega prihoda. Skupni seštevek rokov napredovanja je enak številu učencev 5A. V skladu s tem govorimo o napredovanju, pri katerem:

Nadomestimo naše podatke v formulo za vsoto členov geometrijske progresije:

Ves razred bo zbolel v nekaj dneh. Ne verjamete formulam in številkam? Poskusite sami prikazati "okuženost" študentov. Je uspelo? Poglejte, kako izgleda pri meni:

Sami izračunajte, koliko dni bi trajalo, da bi učenci zboleli za gripo, če bi vsak okužil po eno osebo, v razredu pa bi bila samo ena oseba.

Kakšno vrednost ste dobili? Izkazalo se je, da so vsi začeli zbolevati po enem dnevu.

Kot lahko vidite, takšna naloga in risba zanjo spominjata na piramido, v kateri vsaka naslednja »prinese« nove ljudi. Vendar prej ali slej pride trenutek, ko slednji ne more nikogar pritegniti. V našem primeru, če si predstavljamo, da je razred izoliran, oseba iz zapre verigo (). Torej, če bi bila oseba vpletena v finančno piramido, v kateri je bil dan denar, če bi pripeljali še dva udeleženca, potem oseba (ali na splošno) ne bi pripeljala nikogar, zato bi izgubila vse, kar je vložila v to finančno prevaro.

Vse, kar je bilo povedano zgoraj, se nanaša na padajočo ali naraščajočo geometrijsko progresijo, vendar, kot se spomnite, imamo posebno vrsto - neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako izračunati vsoto njegovih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene značilnosti? Ugotovimo skupaj.

Torej, najprej si ponovno oglejmo to risbo neskončno padajoče geometrijske progresije iz našega primera:

Zdaj pa poglejmo formulo za vsoto geometrijske progresije, ki je bila izpeljana malo prej:
oz

Za kaj si prizadevamo? Tako je, graf kaže, da teži k ničli. To pomeni, da bo pri, skoraj enako, oziroma pri izračunu izraza, ki ga bomo dobili skoraj. V zvezi s tem menimo, da lahko pri izračunu vsote neskončno padajoče geometrijske progresije ta oklepaj zanemarimo, saj bo enak.

- formula je vsota členov neskončno padajoče geometrijske progresije.

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno določa, da moramo najti vsoto neskončnoštevilo članov.

Če je določeno določeno število n, potem uporabimo formulo za vsoto n členov, tudi če oz.

Zdaj pa vadimo.

1. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije z in.
2. Poiščite vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije z in.

Upam, da ste bili zelo previdni. Primerjajmo naše odgovore:

Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju in čas je, da preidete s teorije na prakso. Najpogostejši problemi geometrijske progresije, s katerimi se srečujemo na izpitu, so problemi izračuna obrestnih obresti. To so tisti, o katerih bomo govorili.

Težave pri izračunu obrestnih obresti.

Verjetno ste že slišali za tako imenovano formulo obrestnih obresti. Ali razumete, kaj to pomeni? Če ne, poglejmo, kajti ko boste razumeli sam proces, boste takoj razumeli, kaj ima z njim opraviti geometrijsko napredovanje.

Vsi gremo na banko in vemo, da obstajajo različni pogoji za depozite: to vključuje rok, dodatne storitve in obresti z dvema na različne načine njegove izračune – preproste in zapletene.

Z preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se obračunajo enkrat ob koncu roka depozita. To pomeni, da če rečemo, da položimo 100 rubljev za eno leto, potem bodo pripisani šele ob koncu leta. V skladu s tem bomo do konca depozita prejeli rublje.

Sestavljene obresti- to je možnost, v kateri se zgodi kapitalizacija obresti, tj. njihov dodatek k znesku depozita in naknadni izračun dohodka ne od začetnega, ampak od nabranega zneska depozita. Uporaba velikih začetnic se ne pojavlja nenehno, ampak z določeno pogostostjo. Ta obdobja so praviloma enaka in banke najpogosteje uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.

Predpostavimo, da letno položimo enake rublje, vendar z mesečno kapitalizacijo depozita. kaj počnemo

Razumeš vse tukaj? Če ne, poglejmo korak za korakom.

V banko smo prinesli rublje. Do konca meseca bi morali imeti na računu znesek, sestavljen iz naših rubljev in obresti nanje, to je:

Se strinjam?

Lahko ga vzamemo iz oklepajev in potem dobimo:

Strinjam se, ta formula je že bolj podobna tistemu, kar smo napisali na začetku. Vse, kar je ostalo, je ugotoviti odstotke

V predstavitvi problema so nam povedane letne stopnje. Kot veste, ne množimo s - pretvorimo odstotke v decimalke, to je:

prav? Zdaj se lahko vprašate, od kod številka? Zelo preprosto!
Ponavljam: izjava o problemu govori o LETNA obresti, ki nastanejo MESEČNO. Kot veste, nam bo banka v skladu s tem v letu mesecev zaračunala del letnih obresti na mesec:

Ste spoznali? Zdaj poskusite napisati, kako bi izgledal ta del formule, če bi rekel, da se obresti obračunavajo dnevno.
Vam je uspelo? Primerjajmo rezultate:

Bravo! Vrnimo se k naši nalogi: napišite, koliko bo v drugem mesecu pripisano na naš račun, ob upoštevanju, da se obresti obračunajo na zbrani znesek depozita.
Evo, kaj sem dobil:

Ali z drugimi besedami:

Mislim, da ste v vsem tem že opazili vzorec in videli geometrijsko napredovanje. Napiši, koliko bo njen član oziroma, z drugimi besedami, koliko denarja bomo prejeli na koncu meseca.
Ali? Preverimo!

Kot lahko vidite, če vložite denar v banko za eno leto po enostavni obrestni meri, boste prejeli rublje, če pa po sestavljeni obrestni meri, boste prejeli rublje. Korist je majhna, vendar se to zgodi le med letom, vendar je za daljše obdobje kapitalizacija veliko bolj donosna:

Oglejmo si drugo vrsto problema, ki vključuje obrestne obresti. Po tem, kar ste ugotovili, bo za vas osnovno. Torej naloga:

Družba Zvezda je v panogo začela vlagati leta 2000, z dolarskim kapitalom. Od leta 2001 vsako leto ustvari dobiček v višini kapitala prejšnjega leta. Koliko dobička bo imela družba Zvezda konec leta 2003, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

Kapital družbe Zvezda 2000.
- kapital družbe Zvezda v letu 2001.
- kapital družbe Zvezda 2002.
- kapital družbe Zvezda v letu 2003.

Lahko pa na kratko zapišemo:

Za naš primer:

2000, 2001, 2002 in 2003.

Oziroma:
rubljev
Upoštevajte, da v tem problemu nimamo delitve z ali z, saj je odstotek podan LETNO in se izračuna LETNO. To pomeni, da pri branju težave z obrestno mero bodite pozorni na to, kakšen odstotek je podan in v katerem obdobju je izračunan, in šele nato nadaljujte z izračuni.
Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju.

Usposabljanje.

1. Poiščite člen geometrijskega napredovanja, če je znano, da in
2. Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije, če je znano, in
3. Podjetje MDM Capital je začelo vlagati v industrijo leta 2003 s kapitalom v dolarjih. Od leta 2004 dalje vsako leto izkazuje dobiček v višini kapitala predhodnega leta. Podjetje MSK Cash Flows je začelo vlagati v industrijo leta 2005 v višini 10.000 $, leta 2006 pa je začelo ustvarjati dobiček v višini. Za koliko dolarjev je konec leta 2007 večji kapital enega podjetja od drugega, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?

odgovori:

1. Ker izjava o problemu ne pravi, da je napredovanje neskončno in je potrebno najti vsoto določenega števila njegovih členov, se izračun izvede po formuli:
2. 
   Kapitalska družba MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se poveča za 100%, to je 2-krat.
   Oziroma:
   rubljev
   Podjetje MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - poveča za, to je za krat.
   Oziroma:
   rubljev
   rubljev

Naj povzamemo.

1) Geometrijska progresija ( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.

2) Enačba členov geometrijske progresije je .

3) lahko sprejme poljubne vrednosti razen in.

• če, potem imajo vsi naslednji členi napredovanja enak predznak - oni so pozitivni;
• če, potem vsi naslednji pogoji napredovanja nadomestni znaki;
• ko – progresijo imenujemo neskončno padajoča.

4) , at – lastnost geometrijske progresije (sosednji členi)

oz
, pri (enako oddaljeni izrazi)

Ko ga najdete, tega ne pozabite morala bi biti dva odgovora.

na primer

5) Vsota členov geometrijske progresije se izračuna po formuli:
oz

oz

POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno določa, da moramo najti vsoto neskončno številočlani.

6) Težave z obrestnimi obrestmi se izračunajo tudi po formuli th člena geometrijske progresije, pod pogojem, da sredstva niso bila umaknjena iz obtoka:

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

Geometrijsko napredovanje( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Imenovalec geometrijske progresije lahko sprejme katero koli vrednost razen in.

• Če, potem imajo vsi naslednji členi napredovanja enak predznak - so pozitivni;
• če, potem vsi nadaljnji člani napredovanja izmenjujejo znake;
• ko – progresijo imenujemo neskončno padajoča.

Enačba členov geometrijske progresije - .

Vsota členov geometrijske progresije izračunano po formuli:
oz

Če napredovanje neskončno pada, potem:

PREOSTALI 2/3 IZDELKOV STA NA VOLJO SAMO ŠTUDENTOM YOUCLEVER!

Postanite študent YouClever,

Pripravite se na enotni državni izpit ali enotni državni izpit iz matematike za ceno "skodelice kave na mesec",

In pridobite tudi neomejen dostop do učbenika "YouClever", Pripravljalni program (delovni zvezek) "100gia", neomejen poskusni enotni državni izpit in OGE, 6000 problemov z analizo rešitev in druge storitve YouClever in 100gia.

22.09.2018 22:00

Geometrična progresija je skupaj z aritmetiko pomemben niz števil, ki se ga preučuje šolski tečaj algebra v 9. razredu. V tem članku si bomo ogledali imenovalec geometrijske progresije in kako njegova vrednost vpliva na njene lastnosti.

Opredelitev geometrijske progresije

Najprej definirajmo to številske serije. Geometrična progresija je niz racionalnih števil, ki nastane z zaporednim množenjem prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.

Na primer, števila v nizu 3, 6, 12, 24, ... so geometrijsko napredovanje, ker če pomnožite 3 (prvi element) z 2, dobite 6. Če pomnožite 6 z 2, dobite 12 in tako naprej.

Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje številko elementa v nizu.

Zgornjo definicijo napredovanja lahko v matematičnem jeziku zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem je an = b * a1 in spet pridemo do definicije zadevnega niza števil. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati za velike vrednosti n.

Imenovalec geometrijske progresije

Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen ali večji ali manjši od ena. Vse zgornje možnosti vodijo do različnih zaporedij:

• b > 1. Obstaja naraščajoča vrsta racionalnih števil. Na primer 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, se bo celotno zaporedje povečalo le v absolutni vrednosti, zmanjšalo pa se bo odvisno od predznaka števil.
• b = 1. Pogosto se ta primer ne imenuje progresija, saj obstaja običajna serija enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.

Formula za znesek

Preden preidemo na obravnavo specifičnih problemov z uporabo imenovalca vrste obravnavanega napredovanja, je treba dati pomembna formula za vsoto svojih prvih n elementov. Formula je videti takole: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje členov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj poznati samo prvi element in imenovalec, da bi našli vsoto poljubnega števila členov.

Neskončno padajoče zaporedje

Zgoraj je bilo razloženo, kaj je to. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to številsko vrsto. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, nagiba k ničli, ko je povišano na velike potence, to je b∞ => 0, če je -1

Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote neskončno padajoče geometrijske progresije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.

Zdaj pa si oglejmo več problemov, kjer bomo pokazali, kako pridobljeno znanje uporabiti na določenih številkah.

Problem št. 1. Izračun neznanih elementov progresije in vsote

Pri podani geometrijski progresiji je imenovalec progresije 2, njen prvi element pa 3. Čemu bosta enaka njen 7. in 10. člen in kakšna je vsota njenih sedmih začetnih elementov?

Pogoj problema je precej preprost in vključuje neposredno uporabo zgornjih formul. Torej, za izračun številke elementa n uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, če nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Uporabimo dobro znano formulo za vsoto in določimo to vrednost za prvih 7 elementov serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem št. 2. Določanje vsote poljubnih elementov progresije

Naj bo -2 enako imenovalcu geometrijske progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba vsoto od vključno 5. do 10. elementa te serije.

Zastavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Lahko se reši na 2 načina različne metode. Za popolnost predstavitve teme predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je preprosta: izračunati morate dve ustrezni vsoti prvih členov in nato od enega odšteti drugega. Izračunamo manjši znesek: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo večjo vsoto: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu sešteti samo 4 členi, saj je 5. že vključen v znesek, ki ga je treba izračunati glede na pogoje problema. Na koncu vzamemo razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. način. Pred zamenjavo števil in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med m in n členom zadevne serije. Nadaljujemo popolnoma enako kot pri metodi 1, le da najprej delamo s simboličnim prikazom zneska. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V nastali izraz lahko nadomestite znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Naloga št. 3. Kaj je imenovalec?

Naj bo a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, pod pogojem, da je njegova neskončna vsota 3, in vemo, da je to padajoča vrsta števil.

Na podlagi pogojev problema ni težko uganiti, katero formulo je treba uporabiti za njegovo rešitev. Seveda za vsoto progresije, ki neskončno pada. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Vse, kar ostane, je zamenjava znane vrednosti in dobimo zahtevano število: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ali -0,333(3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da pri tej vrsti zaporedja modul b ne sme presegati 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3|

Naloga št. 4. Obnovitev niza številk

Naj sta podana 2 elementa številske serije, na primer 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je treba rekonstruirati celotno vrsto, saj vemo, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.

Za rešitev naloge morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsak znani izraz. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tu določimo imenovalec tako, da vzamemo peti koren razmerja členov, znanih iz izjave problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo našli imenovalec progresije bn in geometrijsko progresijo bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.

Kje se uporabljajo geometrijske progresije?

Če ne bi bilo praktične uporabe te številske serije, bi bila njena študija zmanjšana na čisto teoretični interes. Toda takšna aplikacija obstaja.

Spodaj so 3 najbolj znani primeri:

• Zenonov paradoks, v katerem spretni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja števil.
• Če postavite pšenična zrna na vsako polje šahovnice, tako da na 1. polje postavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 in tako naprej, potem boste za zapolnitev vseh polj na plošči potrebovali 18446744073709551615 zrna!
• V igri "Hanojski stolp" je za premikanje diskov z ene palice na drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, kar pomeni, da njihovo število eksponentno raste s številom n uporabljenih diskov.

Kievyan Street, 16 0016 Armenija, Erevan +374 11 233 255

Na primer, zaporedje \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... je geometrijska progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za faktor dve (z drugimi besedami, lahko ga dobimo iz prejšnjega tako, da ga pomnožimo z dva):

Kot vsako zaporedje tudi geometrijsko napredovanje označujemo z malo latinično črko. Števila, ki tvorijo progresijo, imenujemo člani(ali elementi). Označeni so z isto črko kot geometrijsko napredovanje, vendar z numeričnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.

Na primer, je geometrijska progresija \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) sestavljena iz elementov \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) in tako naprej. Z drugimi besedami:

Če razumete zgornje informacije, boste že lahko rešili večino težav na to temo.

Primer (OGE):
rešitev:

Odgovori : \(-686\).

Primer (OGE): Podani so prvi trije členi napredovanja \(324\); \(-108\); \(36\)…. Poiščite \(b_5\).
rešitev:

	Za nadaljevanje zaporedja moramo poznati imenovalec. Poiščimo ga iz dveh sosednjih elementov: s čim moramo pomnožiti \(324\), da dobimo \(-108\)?
\(324·q=-108\)	Od tu lahko enostavno izračunamo imenovalec.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Zdaj zlahka najdemo element, ki ga potrebujemo.
	Odgovor je pripravljen.

Odgovori : \(4\).

primer: Napredovanje je podano s pogojem \(b_n=0,8·5^n\). Katero število je član te progresije:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

rešitev: Iz besedila naloge je razvidno, da je eno od teh števil zagotovo v našem napredovanju. Zato lahko preprosto izračunamo njene člene enega za drugim, dokler ne najdemo vrednosti, ki jo potrebujemo. Ker je naše napredovanje podano s formulo, izračunamo vrednosti elementov z zamenjavo različnih \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – te številke ni na seznamu. Nadaljujmo.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - in tudi tega ni.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – in tukaj je naš prvak!

odgovor: \(100\).

Primer (OGE): Podanih je več zaporednih členov geometrijske progresije...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Poiščite vrednost elementa z oznako \(x\).

rešitev:

odgovor: \(-20\).

Primer (OGE): Napredovanje določajo pogoji \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Poiščite vsoto prvih \(4\) členov tega napredovanja.

rešitev:

odgovor: \(105\).

Primer (OGE): Znano je, da je v geometrijski progresiji \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Poiščite imenovalec \(q\).

rešitev:

	Iz diagrama na levi lahko vidite, da za "priti" od \(b_6\) do \(b_9\) naredimo tri "korake", kar pomeni, da \(b_6\) trikrat pomnožimo z imenovalcem napredovanja. Z drugimi besedami, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Zamenjajmo vrednosti, ki jih poznamo.
\(704=(-11)q^3\)	Obrnimo enačbo in jo delimo z \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Katero število na kubik daje \(-64\)? Seveda \(-4\)!
	Odgovor je bil najden. To lahko preverite tako, da obnovite verigo številk od \(-11\) do \(704\).
	Vse se je poklopilo – odgovor je pravilen.

odgovor: \(-4\).

Najpomembnejše formule

Kot lahko vidite, je večino problemov geometrijske progresije mogoče rešiti s čisto logiko, preprosto z razumevanjem bistva (to je na splošno značilno za matematiko). Včasih pa poznavanje določenih formul in vzorcev pospeši in bistveno olajša rešitev. Preučili bomo dve takšni formuli.

Formula \(n\)-tega člena: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), kjer je \(b_1\) prvi člen napredovanja; \(n\) – številka zahtevanega elementa; \(q\) – imenovalec napredovanja; \(b_n\) – člen napredovanja s številko \(n\).

S to formulo lahko na primer rešite problem iz prvega primera dobesedno v enem dejanju.

Primer (OGE): Geometrijsko napredovanje določajo pogoji \(b_1=-2\); \(q=7\). Poiščite \(b_4\).
rešitev:

odgovor: \(-686\).

Ta primer je bil preprost, zato nam formula ni preveč olajšala izračunov. Poglejmo problem malo bolj zapleteno.

primer: Geometrična progresija je podana s pogoji \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Poiščite \(b_(12)\).
rešitev:

odgovor: \(10\).

Seveda povišanje \(\frac(1)(2)\) na \(11\) potenco ni zelo veselo, vendar je vseeno lažje kot \(11\) deljenje \(20480\) z dva.

Vsota \(n\) prvih členov: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , kjer je \(b_1\) prvi člen napredovanja; \(n\) – število seštetih elementov; \(q\) – imenovalec napredovanja; \(S_n\) – vsota \(n\) prvih členov napredovanja.

Primer (OGE): Podana je geometrijska progresija \(b_n\), katere imenovalec je \(5\), prvi člen pa \(b_1=\frac(2)(5)\). Poiščite vsoto prvih šestih členov tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(1562,4\).

In spet bi lahko rešili težavo neposredno - po vrsti poiskali vseh šest elementov in nato dodali rezultate. Vendar bi se število izračunov in s tem možnost naključne napake močno povečala.

Za geometrijsko progresijo obstaja več formul, ki jih tukaj nismo upoštevali zaradi njihove majhne praktične uporabnosti. Te formule lahko najdete.

Naraščajoče in padajoče geometrijske progresije

Progresija \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\), obravnavana na samem začetku članka, ima imenovalec \(q\), večji od ena, zato je vsak naslednji člen večji kot prejšnji. Takšna napredovanja se imenujejo povečevanje.

Če je \(q\) manjši od ena, vendar je pozitiven (to je, leži v območju od nič do ena), bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Na primer v napredovanju \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... imenovalec \(q\) je enak \(\frac(1)(2)\).

Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje. Upoštevajte, da nobeden od elementov takšnega napredovanja ne bo negativen, z vsakim korakom postajajo le manjši in manjši. To pomeni, da se bomo postopoma približali ničli, vendar je nikoli ne bomo dosegli in ne presegli. V takih primerih matematiki pravijo, da se "teži k ničli".

Upoštevajte, da bodo z negativnim imenovalcem elementi geometrijske progresije nujno spremenili znak. Na primer, y napredovanje \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... imenovalec \(q\) je \(-3\) in zaradi tega predznaki elementov »utripajo«.

Geometrična progresija je številsko zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak naslednji člen pa je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom, ki ni nič. Geometrijsko napredovanje je označeno z b1,b2,b3, …, bn, …

Lastnosti geometrijske progresije

Razmerje katerega koli člena geometrijske napake in njegovega prejšnjega člena je enako istemu številu, to je b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. To neposredno izhaja iz definicije aritmetične progresije. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije. Običajno je imenovalec geometrijske progresije označen s črko q.

Monotono in konstantno zaporedje

Če je q>0 (q ni enak 1), je napredovanje monotono zaporedje. Na primer, zaporedje 2, 4,8,16,32, ... je monotono naraščajoče zaporedje (b1=2, q=2).

Če je imenovalec v geometrijski napaki q=1, bodo vsi členi geometrijske progresije med seboj enaki. V takšnih primerih pravimo, da je napredovanje konstantno zaporedje.

Formula za n-ti člen napredovanja

Da bi bilo številsko zaporedje (bn) geometrijska progresija, mora biti vsak njegov člen, začenši z drugim, geometrična sredina sosednjih členov. To pomeni, da je treba izpolniti naslednjo enačbo - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za vsak n>0, kjer n pripada množici naravnih števil N.

n.

bn=b1*q^(n-1), kjer n pripada množici naravnih števil N.

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kjer q ni enak 1.

V geometrijski progresiji b1=6, q=3, n=8 poiščite bn.

Uporabimo formulo za n-ti člen geometrijske progresije.