Kroglica, obkrožena okoli piramide. Krogla, ki je opisana okrog valja in stožca, se imenuje a. Kombinacija žoge z okroglimi telesi

Tema " Razna opravila o poliedrih, valju, stožcu in krogli« je ena najtežjih pri predmetu geometrije v 11. razredu. Pred reševanjem geometrijskih problemov običajno preučijo ustrezne dele teorije, na katere se sklicujejo pri reševanju problemov. V učbeniku S. Atanasyana in drugih na to temo (str. 138) lahko najdemo samo definicije poliedra, opisanega okrog krogle, poliedra, včrtanega krogli, krogle, včrtane poliedru, in krogle, opisane okoli krogle. polieder. IN metodološka priporočila ta učbenik (glej knjigo »Proučevanje geometrije v razredih 10–11« S.M. Saakyana in V.F. Butuzova, str. 159) pravi, katere kombinacije teles se upoštevajo pri reševanju problemov št. 629–646, in opozarja na dejstvo, da » pri reševanju posameznega problema je treba najprej zagotoviti, da učenci dobro razumejo medsebojne položaje teles, navedenih v pogoju.« Sledi rešitev nalog št. 638(a) in št. 640.

Glede na vse navedeno in dejstvo, da je za študente najtežji problem kombinacija žoge z drugimi telesi, je potrebno sistematizirati ustrezna teoretična načela in jih posredovati študentom.

Definicije.

1. Kroglica je včrtana v polieder, polieder pa je okoli krogle obpisan, če se površina kroglice dotika vseh ploskev poliedra.

2. Kroglica je opisana okoli poliedra, polieder pa vanj včrtan, če gre ploskev krogle skozi vsa oglišča poliedra.

3. Za kroglo pravimo, da je vpisana v valj, prisekan stožec (stožec), za valj, prisekan stožec (stožec) pa pravimo, da je vpisana okoli krogle, če se površina krogle dotika osnov (baze) in vseh generatrise valja, prisekan stožec (stožec).

(Iz te definicije sledi, da lahko veliki krog krogle vpišemo v kateri koli osni odsek teh teles).

4. Kroglica je opisana okoli valja, prisekanega stožca (stožca), če krogi osnovnih (osnovni krog in vrh) pripadajo površini krogle.

(Iz te definicije sledi, da je okoli katerega koli osnega odseka teh teles mogoče opisati krog večjega kroga krogle).

Splošne opombe o položaju središča krogle.

1. Središče krogle, včrtane poliedru, leži na presečišču simetralnih ravnin vseh diedrskih kotov poliedra. Nahaja se le znotraj poliedra.

2. Središče krogle, ki je obkrožena poliedru, leži na presečišču ravnin, ki so pravokotne na vse robove poliedra in potekajo skozi njihova središča. Lahko se nahaja znotraj, na površini ali zunaj poliedra.

Kombinacija krogle in prizme.

1. Ravni prizmi včrtana krogla.

1. izrek. Krogla je lahko včrtana v ravno prizmo, če in samo če je v osnovo prizme mogoče včrtati krog, višina prizme pa je enaka premeru tega kroga.

Posledica 1. Središče krogle, včrtane v pravo prizmo, leži na sredini višine prizme, ki poteka skozi središče kroga, včrtanega v osnovico.

Posledica 2. Zlasti kroglo lahko vpišemo v ravne črte: trikotne, pravilne, štirikotne (kjer so vsote nasprotnih stranic osnove enake) pod pogojem H = 2r, kjer je H višina prizma, r je polmer kroga, včrtanega v osnovico.

2. Okoli prizme opisana krogla.

2. izrek. Kroglo lahko opišemo okoli prizme, če in samo če je prizma ravna in okoli njene osnove lahko opišemo krog.

Posledica 1. Središče krogle, ki je opisana okrog ravne prizme, leži na sredini višine prizme, ki je narisana skozi središče kroga, opisanega okoli baze.

Posledica 2.Žogo lahko opišemo zlasti: v bližini pravilne trikotne prizme, v bližini pravilne prizme, v bližini pravokotnega paralelepipeda, v bližini pravilne štirikotne prizme, pri kateri je vsota nasprotnih kotov baze enaka 180 stopinj.

Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) za kombinacijo krogle in prizme.

Kombinacija žoge s piramido.

1. Krogla, opisana v bližini piramide.

Izrek 3. Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če in samo če lahko opišemo krog okoli njene osnove.

Posledica 1. Središče krogle, ki je opisana okoli piramide, leži v presečišču ravne črte, pravokotne na osnovo piramide, ki poteka skozi središče kroga, urejenega okoli te baze, in ravnine, pravokotne na kateri koli stranski rob, narisan skozi sredino krogle. ta rob.

Posledica 2.Če so stranski robovi piramide enaki drug drugemu (ali enako nagnjeni na ravnino baze), potem lahko kroglo opišemo okoli takšne piramide v tem primeru leži središče te krogle na presečišču višina piramide (ali njenega podaljška) s simetrično osjo stranskega roba, ki leži v ravnini stranski rob in višina.

Posledica 3. Zlasti žogo lahko opišemo: približno trikotna piramida, blizu pravilne piramide, blizu štirikotne piramide, v kateri je vsota nasprotnih kotov 180 stopinj.

2. Piramidi včrtana krogla.

Izrek 4. Če so stranske ploskve piramide enako nagnjene na podlago, potem lahko v takšno piramido vpišemo kroglo.

Posledica 1. Središče krogle, včrtane v piramido, katere stranske ploskve so enako nagnjene na osnovo, leži na presečišču višine piramide s simetralo linearnega kota katerega koli diedričnega kota na dnu piramide, stranice od tega je višina stranske ploskve, potegnjena z vrha piramide.

Posledica 2.Žogo lahko vstavite v navadno piramido.

Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 za kombinacijo krogle s piramido.

Kombinacija krogle s prisekano piramido.

1. Kroglica, opisana okoli pravilne prisekane piramide.

Izrek 5. Okoli vsake pravilne prisekane piramide lahko opišemo kroglo. (Ta pogoj zadostuje, ni pa nujen)

2. Kroglica, včrtana v pravilno prisekano piramido.

Izrek 6. Kroglica je lahko včrtana v pravilno prisekano piramido, če in samo če je apotem piramide enak vsoti apotem osnov.

V učbeniku L.S. Atanasjana (št. 636) obstaja le ena težava za kombinacijo krogle s prisekano piramido.

Kombinacija žoge z okroglimi telesi.

Izrek 7. Kroglo lahko opišemo okoli valja, prisekanega stožca (ravne krožnice) ali stožca.

Izrek 8. Žogo lahko vpišemo v (ravni krožni) valj, če in samo če je valj enakostranični.

Izrek 9. Žogo lahko vstavite v kateri koli stožec (ravni krog).

Izrek 10. Kroglica je lahko včrtana v prisekani stožec (ravna krožnica), če in samo če je njen generator enak vsoti polmerov osnov.

Iz učbenika L.S. Atanasyana lahko predlagamo naloge št. 642, 643, 644, 645, 646 za kombinacijo žoge z okroglimi telesi.

Za uspešnejše preučevanje gradiva o tej temi je treba v lekcije vključiti ustne naloge:

1. Rob kocke je enak a. Poiščite polmera krogel: v kocko včrtanih in okrog nje obrobljenih. (r = a/2, R = a3).

2. Ali je mogoče opisati kroglo (kroglo) okoli: a) kocke; b) pravokotni paralelopiped; c) nagnjen paralelepiped s pravokotnikom na dnu; d) ravni paralelopiped; e) nagnjen paralelepiped? (a) da; b) da; c) ne; d) ne; d) ne)

3. Ali drži, da lahko okrog katere koli trikotne piramide opišemo kroglo? (Da)

4. Ali je mogoče opisati kroglo okoli katere koli štirikotne piramide? (Ne, ne v bližini nobene štirikotne piramide)

5. Katere lastnosti mora imeti piramida, da lahko opišemo kroglo okoli nje? (Na njegovem dnu naj bo mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)

6. Piramida je včrtana v kroglo, katere stranski rob je pravokoten na osnovo. Kako najti središče krogle? (Središče krogle je presečišče dveh geometrijskih lokusov točk v prostoru. Prvo je navpičnica, narisana na ravnino osnove piramide skozi središče kroga, ki je okrog nje opisan. Druga je ravnina pravokotno na dani stranski rob in narisano skozi njegovo sredino)

7. Pod kakšnimi pogoji lahko opišete kroglo okoli prizme, v osnovi katere je trapez? (Prvič, prizma mora biti ravna, in drugič, trapez mora biti enakokrak, da lahko okoli njega opišemo krog)

8. Katere pogoje mora izpolnjevati prizma, da je okoli nje opisana krogla? (Prizma mora biti ravna, njena osnova pa mora biti mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)

9. Okoli trikotne prizme je opisana krogla, katere središče leži zunaj prizme. Kateri trikotnik je osnova prizme? (Topokotni trikotnik)

10. Ali je mogoče opisati kroglo okoli nagnjene prizme? (Ne, ne moreš)

11. Pod kakšnim pogojem bo središče krogle, ki je opisana okrog prave trikotne prizme, na eni od stranskih ploskev prizme? (Osnova je pravokotni trikotnik)

12. Osnova piramide je enakokraki trapez, pravokotna projekcija vrha piramide na ravnino osnove je točka, ki se nahaja zunaj trapeza. Ali je mogoče okoli takega trapeza opisati kroglo? (Da, lahko. Dejstvo, da se pravokotna projekcija vrha piramide nahaja zunaj njenega vznožja, ni pomembno. Pomembno je, da na dnu piramide leži enakokraki trapez- mnogokotnik, okoli katerega je mogoče opisati krog)

13. O tem redna piramida krogla je opisana. Kako se nahaja njegovo središče glede na elemente piramide? (Središče krogle je na pravokotnici, ki poteka skozi njeno središče na ravnino osnove)

14. Pod katerim pogojem leži središče krogle, opisane okoli pravilne trikotne prizme: a) znotraj prizme; b) zunaj prizme? (Na dnu prizme: a) ostrokotni trikotnik; b) tupokotni trikotnik)

15. Okoli pravokotnega paralelepipeda, katerega robovi so 1 dm, 2 dm in 2 dm, je opisana krogla. Izračunaj polmer krogle. (1,5 dm)

16. V kateri prisekani stožec se lahko prilega krogla? (V prisekanem stožcu, v katerega osni izsek je mogoče vpisati krog. Osni izrez stožca je enakokraki trapez, mora biti vsota njegovih osnov enaka vsoti njegovih stranskih stranic. Z drugimi besedami, vsota polmerov osnov stožca mora biti enaka generatorju)

17. Prisekanemu stožcu je včrtana krogla. Pod katerim kotom je iz središča krogle vidna generatrisa stožca? (90 stopinj)

18. Kakšno lastnost mora imeti ravna prizma, da se vanjo prilega krogla? (Prvič, na dnu ravne prizme mora biti mnogokotnik, v katerega je mogoče vpisati krog, in drugič, višina prizme mora biti enaka premeru kroga, včrtanega v osnovi)

19. Navedite primer piramide, ki se ne prilega krogli? (Na primer štirikotna piramida s pravokotnikom ali paralelogramom na dnu)

20. Na dnu ravne prizme je romb. Ali je mogoče v to prizmo namestiti kroglo? (Ne, to je nemogoče, saj je na splošno nemogoče opisati krog okoli romba)

21. Pod kakšnim pogojem je lahko krogla včrtana v pravilno trikotno prizmo? (Če je višina prizme dvakrat večja od polmera kroga, včrtanega v osnovico)

22. Pod kakšnim pogojem je lahko krogla včrtana v pravilno štirikotno prisekano piramido? (Če je prečni prerez dane piramide ravnina, ki poteka skozi sredino stranice osnove pravokotno nanjo, je to enakokraki trapez, v katerega je mogoče vpisati krog)

23. V trikotno prisekano piramido je včrtana krogla. Katera točka piramide je središče krogle? (Središče krogle, včrtane v to piramido, je v presečišču treh simetralnih ravnin kotov, ki jih tvorijo stranske ploskve piramide z osnovo)

24. Ali je možno opisati kroglo okrog valja (pravega krožnika)? (Da, lahko)

25. Ali je mogoče opisati kroglo okoli stožca, prisekanega stožca (ravnega krožnika)? (Da, lahko, v obeh primerih)

26. Ali lahko kroglo vpišemo v kateri koli valj? Kakšne lastnosti mora imeti valj, da se vanj prilega krogla? (Ne, ne vsakič: osni prerez valja mora biti kvadraten)

27. Ali lahko kroglo vpišemo v katerikoli stožec? Kako določiti položaj središča krogle, včrtane v stožec? (Da, vsekakor. Središče včrtane krogle je v presečišču višine stožca in simetrale naklonskega kota generatrise na ravnino baze)

Avtor meni, da je od treh lekcij načrtovanja na temo "Različni problemi na poliedrih, valju, stožcu in krogli" priporočljivo dve lekciji nameniti reševanju problemov kombiniranja krogle z drugimi telesi. Dokazovanje zgornjih izrekov ni priporočljivo zaradi premalo časa pri pouku. Študente, ki imajo za to dovolj znanja, lahko povabite, da jih dokažejo tako, da navedejo (po učiteljevi presoji) potek ali načrt dokazovanja.

Ko je problemu podana piramida, včrtana v kroglo, bodo naslednje teoretične informacije koristne pri reševanju.

Če je piramida vpisana v kroglo, potem vse njene oglišča ležijo na površini te krogle (v skladu s tem so razdalje od središča krogle do oglišč enake polmeru krogle).

Vsaka ploskev piramide, včrtane v kroglo, je mnogokotnik, včrtan v določen krog. Osnovice navpičnic, spuščenih iz središča krogle na ravnino ploskev, so središča teh opisanih krogov. Središče krogle je torej presečišče pravokotnic na ploskvi piramide, narisanih skozi središča opisanih krogov.

Pogosteje se središče krogle, ki je obkrožena blizu piramide, šteje za presečišče navpičnice, narisane na osnovo skozi središče kroga, urejenega blizu dna, in simetrale pravokotnice na stranski rob (simetrala pravokotnice leži v ravnina, ki poteka skozi ta stranski rob in prvo navpično (narisano na osnovo) Če je nemogoče opisati krog blizu baze piramide, potem te piramide ni mogoče vpisati v kroglo vedno je mogoče opisati kroglo, vendar v kroglo včrtano. štirikotna piramida s paralelogramom na dnu ima lahko pravokotno ali kvadratno osnovo.

Središče krogle, opisane v bližini piramide, lahko leži znotraj piramide, na površini piramide (na stranski ploskvi, na dnu) in zunaj piramide. Če v izjavi o problemu ni navedeno, kje točno leži središče krogle, je priporočljivo razmisliti, kako lahko različne možnosti za njegovo lokacijo vplivajo na rešitev.

Okoli vsake pravilne piramide lahko opišemo kroglo. Njeno središče je točka presečišča premice, ki vsebuje višino piramide, in simetrale pravokotnice na stranski rob.

Pri reševanju nalog, ki vključujejo piramido, včrtano v kroglo, se najpogosteje upošteva nekaj trikotnikov.

Začnimo s trikotnikom SO1C. Je enakokraka, saj sta njeni stranici enaki kot polmera krogle: SO1=O1С=R. Zato je O1F njegova višina, mediana in simetrala.

Pravokotna trikotnika SOC in SFO1 sta si podobna v ostrem kotu S. Zato

SO=H je višina piramide, SC=b je dolžina stranskega roba, SF=b/2, SO1=R, OC=r je polmer kroga, ki je opisan okoli vznožja piramide.

IN pravokotni trikotnik OO1C g hipotenuza O1C=R, kraka OC=r, OO1=H-R. Po Pitagorovem izreku:

Če nadaljujemo višino SO, dobimo premer SM. Trikotnik SCM je pravokoten trikotnik (ker včrtani kot SCM temelji na premeru). V njej je OC višina, narisana na hipotenuzo, SO in OM sta projekciji krakov SC in CM na hipotenuzo. Glede na lastnosti pravokotnega trikotnika,

Kroglo lahko opišemo okoli piramide, če in samo če lahko opišemo krog okoli njene osnove.

Če želite zgraditi središče O te krogle, potrebujete:

1. Poiščite središče O kroga, ki je opisan okoli osnove.

2. Nariši premico skozi točko O, pravokotno na ravnino razlogov.

3. Skozi sredino poljubnega stranskega roba piramide nariši ravnino, pravokotno na ta rob.

4. Poiščite točko O presečišča zgrajene premice in ravnine.

Poseben primer: stranski robovi piramide so enaki. Nato:

žogo je mogoče opisati;

središče O kroglice leži na višini piramide;

Kje je polmer opisane krogle; - stransko rebro; H je višina piramide.

5.2. Kroglica in prizma

Kroglo lahko opišemo okoli prizme, če in samo če je prizma ravna in okoli njene osnove lahko opišemo krog.

Središče krogle je sredina segmenta, ki povezuje središča krogov, opisanih v bližini baz.

kjer je polmer opisane krogle; - polmer kroga, opisanega blizu baze; H je višina prizme.

5.3. Krogla in valj

Žogo lahko vedno opišemo okoli valja. Središče krogle je središče simetrije osnega prereza valja.

5.4. Žoga in stožec

Kroglo lahko vedno opišemo okoli stožca. Središče žoge; služi kot središče kroga, opisanega okoli osnega odseka stožca.

Svet okoli nas je kljub raznolikosti predmetov in pojavov, ki se pojavljajo z njimi, poln harmonije zaradi jasnega delovanja naravnih zakonov. Za navidezno svobodo, s katero narava riše obrise in ustvarja oblike stvari, se skrivajo jasna pravila in zakoni, ki nehote nakazujejo prisotnost neke višje sile v procesu ustvarjanja. Na meji pragmatične znanosti, ki opisuje dogajajoče se pojave s položaja matematičnih formul in teozofskih pogledov na svet, je svet, ki nam daje ves šopek čustev in vtisov iz stvari, ki ga napolnjujejo, in dogodkov, ki se nam dogajajo. njih.

Žoga je najpogostejša oblika fizičnih teles v naravi. Večina teles makrokozmosa in mikrokozmosa ima obliko krogle ali pa se ji približuje. V bistvu je žoga primer idealne oblike. Splošno sprejeta definicija krogle je naslednja: to je geometrijsko telo, niz (množica) vseh točk v prostoru, ki se nahajajo od središča na razdalji, ki ne presega dane. V geometriji se ta razdalja imenuje radij, v povezavi s to figuro pa polmer krogle. Z drugimi besedami, prostornina krogle vsebuje vse točke, ki se nahajajo na razdalji od središča, ki ne presega dolžine polmera.

Žogo obravnavamo tudi kot rezultat vrtenja polkroga okoli svojega premera, ki ostane negiben. V tem primeru se elementom in značilnostim, kot sta polmer in prostornina krogle, doda os krogle (fiksni premer), njeni konci pa se imenujejo poli krogle. Površina krogle se običajno imenuje krogla. Če imamo opravka z zaprto kroglo, potem vključuje to kroglo, če z odprto, pa jo izključuje.

Glede na dodatne definicije, povezane s kroglo, je treba povedati o rezalnih ravninah. Rezalna ravnina, ki poteka skozi središče krogle, se običajno imenuje veliki krog. Za druge ravne dele žoge se običajno uporablja ime "majhni krogi". Pri izračunu površin teh odsekov se uporablja formula πR².

Pri izračunu prostornine krogle so matematiki naleteli na precej zanimive vzorce in značilnosti. Izkazalo se je, da se ta vrednost v celoti ponavlja ali pa je po metodi določanja zelo blizu prostornini piramide ali valja, obkroženega okoli krogle. Izkaže se, da je prostornina krogle enaka, če ima njena osnova enako površino kot površina krogle, njena višina pa je enaka polmeru krogle. Če upoštevamo valj, ki je obkrožen okoli krogle, lahko izračunamo vzorec, po katerem je prostornina krogle eninpolkrat manjša od prostornine tega valja.

Metoda odstranjevanja žoge po principu Cavalieri izgleda privlačno in izvirno. Sestavljen je iz iskanja prostornine katere koli figure s seštevanjem površin, dobljenih z njenim prerezom v neskončnem številu. osnovi poloble in valja ležita v isti ravnini). V ta valj vstavimo stožec z vrhom v središču njegove spodnje baze. Ko smo dokazali, da sta prostornina poloble in delov valja zunaj stožca enaka, lahko enostavno izračunamo prostornino krogle. Njegova formula ima naslednjo obliko: štiri tretjine produkt kuba polmera in π (V= 4/3R^3×π). To zlahka dokažemo tako, da skozi poloblo in valj narišemo skupno sekalno ravnino. Ploščini kroga in kolobarja, ki ju na zunanji strani omejujejo stranice valja in stožca, sta enaki. In z uporabo Cavalierijevega principa ni težko priti do dokaza osnovne formule, s pomočjo katere določimo prostornino žoge.

Toda ne le problem preučevanja naravnih teles je povezan z iskanjem načinov za določanje njihovih različnih značilnosti in lastnosti. Stereometrična figura, kot je krogla, se zelo pogosto uporablja v praktične dejavnosti oseba. Veliko tehničnih naprav ima v svojih zasnovah dele ne samo sferične oblike, temveč tudi sestavljene iz sferičnih elementov. Prav kopiranje idealnih naravnih rešitev v procesu človekovega delovanja daje najkakovostnejše rezultate.

pozdravljena V tem članku si bomo ogledali težave z žogami. Natančneje, obstajala bo kombinacija teles: krogla ali drugače povedano okoli krogle opisan valj (kar je isto) in v kroglo včrtana kocka.

Blog je že obravnaval skupino težav z žogami, . V predstavljenih nalogah bomo govorili o iskanju prostornine in površine navedenih teles.kar morate vedeti!

Formula za prostornino krogle:

Formula za površino krogle:

Formula prostornine cilindra:

Formula za površino valja:

Več podrobnosti o bočni površini cilindra:

To je pravokotnik, "zvit" v valj, katerega ena stran je enaka obodu osnove - to je 2PiR, druga stran je enaka višini valja - to je N.

Kaj je pri predstavljenih nalogah vredno poudariti?

1. Če je krogla včrtana v valj, imata skupen polmer.

2. Višina valja, opisanega okoli krogle, je enaka dvema njenima polmeroma (ali premeru).

3. Če je v kroglo včrtana kocka, potem je diagonala te kocke enaka premeru krogle.

245348. Okoli žogice je opisan valj. Prostornina valja je 33. Poišči prostornino krogle.

Formula za prostornino krogle:

Najti moramo polmer krogle.

Krogla in valj imata skupni polmer. Osnova valja je krog s polmerom R, višina valja je enaka dvema polmeroma. To pomeni, da se prostornina valja izračuna po formuli:

V formulo nadomestimo prostornino, podano v pogoju, in izrazimo polmer:

Pustimo izraz v tej obliki; ni treba izraziti polmera (izluščimo tretji koren), saj bomo potrebovali točno R 3 .

Tako bo prostornina žoge enaka:

Odgovor: 22

245349. Okoli kroglice je opisan valj. Prostornina krogle je 24. Poišči prostornino valja.

Ta naloga je obratna od prejšnje.

Formula za prostornino krogle:

Prostornina valja se izračuna po formuli:

Ker je prostornina krogle znana, lahko izrazimo polmer in nato poiščemo prostornino valja:

Torej:

Odgovor: 36

316557. V valj je včrtana kroglica. Površina krogle je 111. Poiščite celotno površino valja.

Formula površine krogle:

Formula površine valja:

Poenostavimo:

Ker nam je dana površina krogle, lahko izrazimo polmer:

Odgovor: 166,5