Za Pitagoro so vse strani enake. Projekt na temo: Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh. Začasni ukrepi tako davčnih organov kot davkoplačevalcev

» Zaslužni profesor matematike na Univerzi v Warwicku, slavni popularizator znanosti Ian Stewart, posvečen vlogi števil v zgodovini človeštva in pomembnosti njihovega preučevanja v našem času.

Pitagorejska hipotenuza

Pitagorejski trikotniki imajo prave kote in cele stranice. Najpreprostejši med njimi ima najdaljšo stranico 5, drugi pa 3 in 4. Skupaj jih je 5 pravilni poliedri. Enačbe pete stopnje ni mogoče rešiti z uporabo petih korenin - ali katerih koli drugih korenin. Rešetke na ravnini in v tridimenzionalni prostor nimajo rotacijske simetrije petih cvetnih listov, zato takšne simetrije v kristalih ni. Lahko pa so v bližini rešetk štiridimenzionalni prostor in v zanimivih strukturah, znanih kot kvazikristali.

Hipotenuza najmanjše pitagorejske trojke

Pitagorov izrek pravi, da je najdaljša stranica pravokotnega trikotnika (zloglasna hipotenuza) povezana z drugima dvema stranicama tega trikotnika na zelo preprost in lep način: kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov drugi dve strani.

Tradicionalno imenujemo ta izrek z imenom Pitagora, vendar je v resnici njegova zgodovina precej nejasna. Glinene tablice nakazujejo, da so stari Babilonci poznali Pitagorov izrek veliko pred samim Pitagoro; Slavo odkritelja mu je prinesel matematični kult pitagorejcev, katerih zagovorniki so verjeli, da vesolje temelji na numeričnih zakonih. Starodavni avtorji so Pitagorejcem – torej tudi Pitagori – pripisovali najrazličnejše matematične izreke, pravzaprav pa nimamo pojma, s kakšno matematiko se je ukvarjal sam Pitagora. Sploh ne vemo, ali so Pitagorejci lahko dokazali Pitagorov izrek ali pa so preprosto verjeli, da je resničen. Ali pa so najverjetneje imeli prepričljive dokaze o njeni resničnosti, ki pa ne bi bili dovolj za to, kar imamo danes za dokaze.

Dokazi o Pitagori

Prvi znani dokaz Pitagorovega izreka najdemo v Evklidovih Elementih. To je dovolj kompleksen dokaz z uporabo risbe, ki bi jo viktorijanski šolarji takoj prepoznali kot "Pitagorejske hlače"; Risba res spominja na spodnjice, ki se sušijo na vrvici. Obstaja dobesedno na stotine drugih dokazov, ki večinoma naredijo trditev bolj očitno.

// Riž. 33. Pitagorejske hlače

Eden najpreprostejših dokazov je nekakšna matematična uganka. Vzemite katero koli pravokotni trikotnik, naredite štiri kopije in jih zberite znotraj kvadrata. V eni ureditvi vidimo kvadrat na hipotenuzi; z drugim - kvadrati na drugih dveh straneh trikotnika. Jasno je, da sta površini v obeh primerih enaki.

// Riž. 34. Levo: kvadrat na hipotenuzo (plus štirje trikotniki). Desno: vsota kvadratov na drugih dveh stranicah (plus isti štirje trikotniki). Zdaj odstranite trikotnike

Perigalova disekcija je še en dokaz uganke.

// Riž. 35. Perigalova disekcija

Obstaja tudi dokaz izreka z uporabo razporejanja kvadratov na ravnini. Morda so tako Pitagorejci ali njihovi neznani predhodniki odkrili ta izrek. Če pogledate, kako poševni kvadrat prekriva dva druga kvadrata, lahko vidite, kako velik kvadrat razrezati na kose in jih nato sestaviti v dva manjša kvadrata. Vidite lahko tudi pravokotne trikotnike, katerih stranice podajajo dimenzije treh vključenih kvadratov.

// Riž. 36. Dokaz s tlakovanjem

Obstajajo zanimivi dokazi, ki uporabljajo podobne trikotnike v trigonometriji. Znanih je vsaj petdeset različnih dokazov.

Pitagorejske trojke

V teoriji števil je Pitagorov izrek postal vir plodne ideje: najti celoštevilske rešitve algebrskih enačb. Pitagorejska trojka je niz celih števil a, b in c, tako da

Geometrijsko definira takšna trojka pravokotni trikotnik s celimi stranicami.

Najmanjša hipotenuza pitagorejske trojke je 5.

Drugi dve strani tega trikotnika sta 3 in 4. Tukaj

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Naslednja največja hipotenuza je 10 ker

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Vendar je to v bistvu isti trikotnik z dvojnimi stranicami. Naslednja največja in resnično drugačna hipotenuza je 13, za kar

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Evklid je vedel, da obstaja neskončno število različne možnosti Pitagorejske trojke, in dal tako imenovano formulo za iskanje vseh. Kasneje je Diofant iz Aleksandrije predlagal preprost recept, v osnovi enak evklidskemu.

Vzemite kateri koli dve naravni števili in izračunajte:

njihov dvojni produkt;

razlika njihovih kvadratov;

vsota njihovih kvadratov.

Tri nastale številke bodo stranice Pitagorejskega trikotnika.

Vzemimo za primer števili 2 in 1. Izračunajmo:

dvojni zmnožek: 2 × 2 × 1 = 4;

razlika kvadratov: 22 - 12 = 3;

vsota kvadratov: 22 + 12 = 5,

in dobili smo slavni trikotnik 3-4-5. Če namesto tega vzamemo številki 3 in 2, dobimo:

dvojni produkt: 2 × 3 × 2 = 12;

razlika kvadratov: 32 - 22 = 5;

vsota kvadratov: 32 + 22 = 13,

in dobimo naslednji najbolj znan trikotnik 5 - 12 - 13. Poskusimo vzeti števili 42 in 23 in dobiti:

dvojni produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;

razlika kvadratov: 422 - 232 = 1235;

vsota kvadratov: 422 + 232 = 2293,

nihče še ni slišal za trikotnik 1235–1932–2293.

Toda tudi te številke delujejo:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Obstaja še ena lastnost Diofantovega pravila, ki smo jo že nakazali: ko prejmemo tri števila, lahko vzamemo drugo poljubno število in jih vse pomnožimo z njim. Tako lahko trikotnik 3–4–5 spremenimo v trikotnik 6–8–10, če vse stranice pomnožimo z 2, ali v trikotnik 15–20–25, če vse pomnožimo s 5.

Če preidemo v jezik algebre, ima pravilo naslednjo obliko: naj bodo u, v in k naravna števila. Nato pravokotni trikotnik s stranicami

2kuv in k (u2 - v2) ima hipotenuzo

Obstajajo tudi drugi načini predstavitve glavne ideje, vendar se vsi skrčijo na zgoraj opisano. Ta metoda vam omogoča, da dobite vse pitagorejske trojke.

Pravilni poliedri

Pravilnih poliedrov je natanko pet. Pravilni polieder (ali polieder) je tridimenzionalna figura s končnim številom ravnih ploskev. Obrazi se srečajo na črtah, imenovanih robovi; robovi se srečajo v točkah, imenovanih oglišča.

Vrhunec Evklidskega načela je dokaz, da lahko obstaja samo pet pravilnih poliedrov, torej poliedrov, v katerih vsaka ploskev predstavlja pravilni mnogokotnik(enake stranice, enaki koti), vse ploskve so enake in vsa oglišča so obkrožena enako število enakomerno razmaknjeni robovi. Tukaj je pet pravilnih poliedrov:

tetraeder s štirimi trikotnimi ploskvami, štirimi oglišči in šestimi robovi;

kocka ali heksaeder s 6 kvadratnimi ploskvami, 8 oglišči in 12 robovi;

oktaeder z 8 trikotnimi ploskvami, 6 oglišči in 12 robovi;

dodekaeder z 12 peterokotnimi ploskvami, 20 oglišči in 30 robovi;

Ikozaeder z 20 trikotnimi ploskvami, 12 oglišči in 30 robovi.

// Riž. 37. Pet pravilnih poliedrov

Pravilne poliedre najdemo tudi v naravi. Leta 1904 je Ernst Haeckel objavil risbe drobnih organizmov, znanih kot radiolarji; veliko jih je oblikovanih kot istih pet pravilnih poliedrov. Morda pa je nekoliko popravil naravo in risbe ne odražajo v celoti oblike določenih živih bitij. Prve tri strukture opazimo tudi v kristalih. V kristalih ne boste našli dodekaedrov in ikozaedrov, čeprav se tam včasih najdejo nepravilni dodekaedri in ikozaedri. Pravi dodekaedri se lahko pojavijo kot kvazikristali, ki so v vseh pogledih podobni kristalom, le da njihovi atomi ne tvorijo periodične mreže.

// Riž. 38. Haecklove risbe: radiolarji v obliki pravilnih poliedrov

// Riž. 39. Razvoj pravilnih poliedrov

Zanimivo je lahko narediti modele pravilnih poliedrov iz papirja tako, da najprej izrežete niz medsebojno povezanih ploskev – to se imenuje razvijanje poliedra; razvoj zapognemo po robovih in pripadajoče robove zlepimo skupaj. Koristno je dodati dodatno lepilno blazinico na eno od reber vsakega takega para, kot je prikazano na sl. 39. Če takega območja ni, lahko uporabite lepilni trak.

Enačba pete stopnje

Algebraične formule za reševanje enačb 5. stopnje ni.

IN splošni pogled Enačba pete stopnje izgleda takole:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Težava je najti formulo za rešitve takšne enačbe (lahko ima do pet rešitev). Izkušnje s kvadratom in kubične enačbe, kot tudi z enačbami četrte stopnje, nakazuje, da bi morala taka formula obstajati za enačbe pete stopnje, v teoriji pa naj bi se v njej pojavili koreni pete, tretje in druge stopnje. Spet lahko varno domnevamo, da bo taka formula, če obstaja, zelo, zelo zapletena.

Ta predpostavka se je na koncu izkazala za napačno. Pravzaprav taka formula ne obstaja; vsaj ni formule, ki bi bila sestavljena iz koeficientov a, b, c, d, e in f, narejenih z uporabo seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja ter pridobivanja korenov. Na številu 5 je torej nekaj posebnega. Razlogi za to nenavadno vedenje peterice so zelo globoki in trajalo je veliko časa, da bi jih razumeli.

Prvi znak težave je bil, da ne glede na to, kako zelo so se matematiki trudili najti takšno formulo, ne glede na to, kako pametni so bili, jim vedno ni uspelo. Nekaj ​​časa so vsi verjeli, da so razlogi v neverjetni kompleksnosti formule. Veljalo je, da te algebre preprosto nihče ne more pravilno razumeti. Vendar so sčasoma nekateri matematiki začeli dvomiti, da takšna formula sploh obstaja, in leta 1823 je Niels Hendrik Abel uspel dokazati nasprotno. Te formule ni. Kmalu zatem je Évariste Galois našel način, kako ugotoviti, ali je enačba ene ali druge stopnje – 5., 6., 7., katere koli vrste – rešljiva z uporabo te vrste formule.

Sklep iz vsega tega je preprost: številka 5 je posebna. Algebraične enačbe lahko rešite (z uporabo n-te korenine stopinj za različne vrednosti n) za moči 1, 2, 3 in 4, vendar ne za 5. moč. Tu se očiten vzorec konča.

Nihče ni presenečen, da se enačbe stopenj, večjih od 5, obnašajo še slabše; zlasti z njimi je povezana enaka težava: ni splošnih formul za njihovo reševanje. To ne pomeni, da enačbe nimajo rešitev; To tudi ne pomeni, da je nemogoče najti zelo natančne numerične vrednosti za te rešitve. Vse se vrti okoli omejitev tradicionalnih algebrskih orodij. To spominja na nezmožnost trisekcije kota z uporabo ravnila in šestila. Odgovor obstaja, vendar so naštete metode nezadostne in nam ne omogočajo, da ugotovimo, kaj je.

Kristalografska omejitev

Kristali v dveh in treh dimenzijah nimajo 5-žarkovne rotacijske simetrije.

Atomi v kristalu tvorijo mrežo, to je strukturo, ki se periodično ponavlja v več neodvisnih smereh. Na primer, vzorec na tapeti se ponavlja po dolžini zvitka; poleg tega se običajno ponavlja v vodoravni smeri, včasih s premikom od enega kosa tapete do drugega. V bistvu je tapeta dvodimenzionalni kristal.

Obstaja 17 vrst vzorcev tapet na ravnini (glejte 17. poglavje). Razlikujejo se po vrstah simetrije, to je po načinih, kako togo premakniti vzorec, tako da leži točno na sebi v prvotnem položaju. Vrste simetrije vključujejo zlasti različne različice rotacijske simetrije, kjer je treba vzorec zasukati za določen kot okoli določene točke - središča simetrije.

Vrstni red rotacijske simetrije je, kolikokrat je mogoče telo zavrteti v polnem krogu, tako da se vse podrobnosti vzorca vrnejo v svoje prvotne položaje. Na primer, rotacija za 90° je rotacijska simetrija 4. reda*. Seznam možnih vrst rotacijske simetrije v kristalni mreži spet kaže na nenavadnost števila 5: ni ga. Obstajajo možnosti z rotacijsko simetrijo 2., 3., 4. in 6. reda, vendar nobena od zasnov ozadij nima rotacijske simetrije 5. reda. Rotacijska simetrija reda, večjega od 6, prav tako ne obstaja v kristalih, vendar se prva kršitev zaporedja vseeno pojavi pri številki 5.

Enako se dogaja s kristalografskimi sistemi v tridimenzionalnem prostoru. Tu se mreža ponavlja v treh neodvisnih smereh. Obstaja 219 različnih vrst simetrije oziroma 230, če štejemo zrcalno sliko dizajna kot ločeno različico – kljub temu, da v tem primeru zrcalne simetrije ni. Zopet opazimo rotacijske simetrije redov 2, 3, 4 in 6, ne pa tudi 5. To dejstvo imenujemo kristalografska omejitev.

V štiridimenzionalnem prostoru obstajajo mreže s simetrijo 5. reda; Na splošno je za rešetke dovolj velike dimenzije možen kateri koli vnaprej določen vrstni red rotacijske simetrije.

// Riž. 40. Kristalna mreža kuhinjske soli. Temne kroglice predstavljajo atome natrija, svetle kroglice predstavljajo atome klora

Kvazikristali

Čeprav rotacijska simetrija 5. reda ni mogoča v 2D ali 3D mrežah, lahko obstaja v nekoliko manj pravilnih strukturah, znanih kot kvazikristali. S pomočjo Keplerjevih skic je Roger Penrose odkril ploščate sisteme z več splošni tip petkratna simetrija. Imenujejo se kvazikristali.

Kvazikristali obstajajo v naravi. Leta 1984 je Daniel Shechtman odkril, da lahko zlitina aluminija in mangana tvori kvazikristale; Sprva so kristalografi njegovo sporočilo sprejeli z nekaj skepse, kasneje pa je bilo odkritje potrjeno in leta 2011 je bil Shekhtman nagrajen Nobelova nagrada v kemiji. Leta 2009 je skupina znanstvenikov, ki jo vodi Luca Bindi, odkrila kvazikristale v mineralu iz ruskega višavja Koryak – spojino aluminija, bakra in železa. Danes se ta mineral imenuje ikozaedrit. Znanstveniki so z merjenjem vsebnosti različnih izotopov kisika v mineralu z masnim spektrometrom dokazali, da ta mineral ne izvira iz Zemlje. Nastala je pred približno 4,5 milijarde let, v času, ko sončni sistem je bil šele v povojih in je večino svojega časa preživel v asteroidnem pasu, krožeč okoli Sonca, dokler neka motnja ni spremenila njegove orbite in jo sčasoma prinesla na Zemljo.

// Riž. 41. Levo: ena od dveh kvazikristalnih mrež z natančno petkratno simetrijo. Desno: Atomski model ikozaedričnega aluminij-paladij-manganovega kvazikristala

Ena stvar, o kateri ste lahko stoodstotno prepričani, je, da bo vsaka odrasla oseba na vprašanje, koliko je kvadrat hipotenuze, pogumno odgovorila: "Vsota kvadratov katet." Ta izrek je trdno zasidran v glavah vseh. izobražena oseba, a vse kar morate storiti je, da nekoga prosite, da to dokaže, in lahko se pojavijo težave. Zato se spomnimo in razmislimo o različnih načinih dokazovanja Pitagorovega izreka.

Kratka biografija

Pitagorov izrek je znan skoraj vsem, vendar iz nekega razloga biografija osebe, ki jo je prinesla na svet, ni tako priljubljena. To se da popraviti. Zato morate pred raziskovanjem različnih načinov dokazovanja Pitagorovega izreka na kratko spoznati njegovo osebnost.

Pitagora - filozof, matematik, mislec izvira iz leta Danes je zelo težko ločiti njegovo biografijo od legend, ki so se razvile v spomin na tega velikega človeka. Toda, kot izhaja iz del njegovih privržencev, je bil Pitagora iz Samosa rojen na otoku Samos. Njegov oče je bil navaden kamnosek, mati pa je izhajala iz plemiške družine.

Sodeč po legendi je rojstvo Pitagore napovedala ženska po imenu Pythia, v čast katere je bil deček imenovan. Po njenem predvidevanju naj bi rojen deček človeštvu prinesel veliko koristi in dobrega. Kar je točno to storil.

Rojstvo teorema

V mladosti se je Pitagora preselil v Egipt, da bi tam srečal znane egipčanske modrece. Po srečanju z njimi so mu omogočili študij, kjer je spoznal vse velike dosežke egipčanske filozofije, matematike in medicine.

Verjetno je bil Pitagora v Egiptu navdihnjen z veličastnostjo in lepoto piramid in je ustvaril svojo veliko teorijo. To lahko šokira bralce, a sodobni zgodovinarji verjamejo, da Pitagora ni dokazal svoje teorije. A svoje znanje je le posredoval svojim privržencem, ki so kasneje opravili vse potrebne matematične izračune.

Kakor koli že, danes ni znana ena metoda dokazovanja tega izreka, ampak več naenkrat. Danes lahko samo ugibamo, kako točno so stari Grki izvajali svoje izračune, zato si bomo tukaj ogledali različne načine dokazovanja Pitagorovega izreka.

Pitagorov izrek

Preden začnete z izračuni, morate ugotoviti, katero teorijo želite dokazati. Pitagorov izrek pravi takole: "V trikotniku, v katerem je eden od kotov 90°, je vsota kvadratov nog enaka kvadratu hipotenuze."

Obstaja skupno 15 različnih načinov za dokazovanje Pitagorovega izreka. To je dovolj velika številka, zato bodimo pozorni na najbolj priljubljene med njimi.

Prva metoda

Najprej opredelimo, kaj nam je dano. Ti podatki bodo veljali tudi za druge metode dokazovanja Pitagorovega izreka, zato se je vredno takoj spomniti vseh razpoložljivih zapisov.

Recimo, da imamo pravokotni trikotnik s katetama a, b in hipotenuzo, ki je enaka c. Prva metoda dokaza temelji na dejstvu, da morate iz pravokotnega trikotnika narisati kvadrat.

Če želite to narediti, morate kraku dolžine a dodati segment, ki je enak kraku b, in obratno. Rezultat bi morali biti dve enaki strani kvadrata. Ostaja le še narisati dve vzporedni črti in kvadrat je pripravljen.

Znotraj nastale figure morate narisati še en kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi prvotnega trikotnika. Če želite to narediti, morate iz tock as in sv narisati dva vzporedna segmenta, enaka s. Tako dobimo tri stranice kvadrata, od katerih je ena hipotenuza prvotnega pravokotnega trikotnika. Ostaja le še narisati četrti segment.

Na podlagi dobljene številke lahko sklepamo, da je površina zunanjega kvadrata (a + b) 2. Če pogledate v notranjost figure, lahko vidite, da so poleg notranjega kvadrata še štirje pravi trikotniki. Površina vsakega je 0,5 av.

Zato je površina enaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Zato je (a+c) 2 = 2ab+c 2

In torej c 2 =a 2 +b 2

Izrek je dokazan.

Druga metoda: podobni trikotniki

Ta formula za dokaz Pitagorovega izreka je bila izpeljana na podlagi izjave iz razdelka geometrije o podobnih trikotnikih. Pravi, da je krak pravokotnega trikotnika povprečje sorazmerno z njegovo hipotenuzo in odsekom hipotenuze, ki izhaja iz vrha kota 90°.

Začetni podatki ostajajo enaki, zato začnimo takoj z dokazom. Narišimo odsek CD pravokotno na stranico AB. Glede na zgornjo trditev so stranice trikotnikov enake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Za odgovor na vprašanje, kako dokazati Pitagorov izrek, je treba dokaz zaključiti s kvadriranjem obeh neenakosti.

AC 2 = AB * AD in CB 2 = AB * DV

Sedaj moramo nastale neenakosti sešteti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kjer je AD + DV = AB

Izkazalo se je, da:

AC 2 + CB 2 = AB * AB

In zato:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorovega izreka in različne metode njegovega reševanja zahtevajo vsestranski pristop k temu problemu. Vendar je ta možnost ena najpreprostejših.

Druga metoda izračuna

Opisi različnih metod dokazovanja Pitagorovega izreka morda ne bodo pomenili ničesar, dokler ne začnete vaditi sami. Številne tehnike ne vključujejo le matematičnih izračunov, ampak tudi konstrukcijo novih figur iz prvotnega trikotnika.

V tem primeru je potrebno dokončati še en pravokotni trikotnik VSD s strani BC. Tako sta zdaj dva trikotnika s skupnim krakom BC.

Če vemo, da imajo površine podobnih figur razmerje kot kvadrati njihovih podobnih linearnih dimenzij, potem:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Ker je med različnimi metodami dokazovanja Pitagorovega izreka za 8. razred ta možnost komaj primerna, lahko uporabite naslednjo metodo.

Najlažji način za dokaz Pitagorovega izreka. Ocene

Po mnenju zgodovinarjev je bila ta metoda prvič uporabljena za dokaz teorema že leta antična Grčija. Je najpreprostejši, saj ne zahteva nobenih izračunov. Če pravilno narišete sliko, bo jasno viden dokaz trditve, da je a 2 + b 2 = c 2.

Pogoji za to metodo bodo nekoliko drugačni od prejšnje. Za dokaz izreka predpostavimo, da je pravokotni trikotnik ABC enakokrak.

Za stranico kvadrata vzamemo hipotenuzo AC in mu narišemo tri stranice. Poleg tega je treba v nastalem kvadratu narisati dve diagonalni črti. Tako, da znotraj njega dobite štiri enakokrake trikotnike.

Prav tako morate krakoma AB in CB narisati kvadrat in v vsako od njih narisati eno diagonalno ravno črto. Prvo črto narišemo iz oglišča A, drugo iz C.

Zdaj morate natančno pogledati nastalo risbo. Ker so na hipotenuzi AC štirje trikotniki, enaki prvotnemu, na straneh pa sta dva, to kaže na resničnost tega izreka.

Mimogrede, zahvaljujoč tej metodi dokazovanja Pitagorejskega izreka se je rodil slavni stavek: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh."

Dokaz J. Garfielda

James Garfield je dvajseti predsednik Združenih držav Amerike. Poleg tega, da se je v zgodovino zapisal kot vladar Združenih držav, je bil tudi nadarjen samouk.

Na začetku kariere je bil navaden učitelj v javni šoli, a je kmalu postal direktor ene najvišjih izobraževalne ustanove. Želja po samorazvoju mu je omogočila ponudbo nova teorija dokaz Pitagorovega izreka. Izrek in primer njegove rešitve sta naslednja.

Najprej morate na list papirja narisati dva pravokotna trikotnika, tako da je krak enega od njih nadaljevanje drugega. Oglišča teh trikotnikov morajo biti povezana, da na koncu tvorijo trapez.

Kot veste, je površina trapeza enaka produktu polovice vsote njegovih baz in njegove višine.

S=a+b/2 * (a+b)

Če nastali trapez obravnavamo kot figuro, sestavljeno iz treh trikotnikov, potem lahko njegovo območje najdemo na naslednji način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Zdaj moramo izenačiti oba prvotna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorovem izreku in metodah njegovega dokazovanja bi lahko napisali več kot en zvezek. učna pomoč. Toda ali je smisel v tem, ko tega znanja ni mogoče uporabiti v praksi?

Praktična uporaba Pitagorovega izreka

Na žalost v moderni šolski programi Ta izrek je namenjen uporabi samo v geometrijske težave. Diplomanti bodo kmalu zapustili šolo, ne da bi vedeli, kako lahko svoje znanje in veščine uporabijo v praksi.

Pravzaprav uporabite Pitagorov izrek v svojem vsakdanjem življenju vsak lahko. Pa ne samo v poklicna dejavnost, temveč tudi pri običajnih gospodinjskih opravilih. Razmislimo o več primerih, ko so lahko Pitagorov izrek in metode dokazovanja zelo potrebni.

Povezava med teoremom in astronomijo

Zdi se, kako je mogoče povezati zvezde in trikotnike na papirju. Pravzaprav je astronomija znanstveno področje, ki v veliki meri uporablja Pitagorov izrek.

Na primer, upoštevajte gibanje svetlobnega žarka v prostoru. Znano je, da se svetloba giblje v obe smeri z enako hitrostjo. Imenujmo trajektorijo AB, po kateri se giblje svetlobni žarek l. In recimo polovica časa, ki ga potrebuje svetloba, da pride od točke A do točke B t. In hitrost žarka - c. Izkazalo se je, da: c*t=l

Če pogledate ta isti žarek z druge ravnine, na primer iz vesoljske ladje, ki se premika s hitrostjo v, potem se bo pri opazovanju teles na ta način njihova hitrost spremenila. V tem primeru se bodo tudi mirujoči elementi začeli premikati s hitrostjo v v nasprotni smeri.

Recimo, da komična ladja pluje v desno. Nato se bosta točki A in B, med katerima drvi žarek, začeli premikati v levo. Poleg tega, ko se žarek premakne od točke A do točke B, ima točka A čas za premikanje in v skladu s tem bo svetloba že prispela v novo točko C. Če želite najti polovico razdalje, za katero se je premaknila točka A, morate pomnožiti hitrost podloge za polovico časa potovanja žarka (t ").

In da bi ugotovili, kako daleč lahko potuje žarek svetlobe v tem času, morate polovico poti označiti z novo črko s in dobiti naslednji izraz:

Če si predstavljamo, da sta oglišči svetlobni točki C in B ter vesoljska pregrada enakokraki trikotnik, potem jo bo segment od točke A do podloge razdelil na dva pravokotna trikotnika. Zato lahko po zaslugi Pitagorovega izreka ugotovite razdaljo, ki bi jo lahko prepotoval žarek svetlobe.

Ta primer seveda ni najbolj uspešen, saj ga bodo le redki imeli srečo preizkusiti v praksi. Zato razmislimo o bolj vsakdanjih aplikacijah tega izreka.

Domet prenosa mobilnega signala

Sodobnega življenja si ne moremo več predstavljati brez obstoja pametnih telefonov. Toda koliko koristi bi imeli, če ne bi mogli povezati naročnikov prek mobilnih komunikacij?!

Kakovost mobilne komunikacije je neposredno odvisna od višine, na kateri se nahaja antena mobilnega operaterja. Če želite izračunati, kako daleč od mobilnega stolpa lahko telefon sprejme signal, lahko uporabite Pitagorov izrek.

Recimo, da morate najti približno višino stacionarnega stolpa, tako da lahko distribuira signal v polmeru 200 kilometrov.

AB (višina stolpa) = x;

BC (radij prenosa signala) = 200 km;

OS (polmer globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Z uporabo Pitagorovega izreka ugotovimo, da bi morala biti minimalna višina stolpa 2,3 kilometra.

Pitagorov izrek v vsakdanjem življenju

Nenavadno je, da je Pitagorov izrek lahko uporaben tudi v vsakdanjih zadevah, kot je na primer določanje višine garderobne omare. Na prvi pogled tega ni treba uporabljati zapleteni izračuni, saj lahko preprosto opravite meritve z merilnim trakom. Toda mnogi se sprašujejo, zakaj se med postopkom montaže pojavijo določene težave, če so bile vse meritve opravljene več kot natančno.

Dejstvo je, da se omara sestavi v vodoravnem položaju in šele nato dvigne in namesti ob steno. Zato se mora stran omare med postopkom dvigovanja konstrukcije prosto premikati po višini in diagonali prostora.

Predpostavimo, da obstaja garderobna omara z globino 800 mm. Razdalja od tal do stropa - 2600 mm. Izkušen izdelovalec pohištva bo rekel, da mora biti višina omare 126 mm manjša od višine prostora. Toda zakaj ravno 126 mm? Poglejmo si primer.

Pri idealnih dimenzijah omare preverimo delovanje Pitagorovega izreka:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - vse ustreza.

Recimo, da višina omare ni 2474 mm, ampak 2505 mm. Nato:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Zato ta omara ni primerna za namestitev v tem prostoru. Če ga dvignete v navpični položaj, lahko poškodujete njegovo telo.

Morda lahko po preučitvi različnih načinov dokazovanja Pitagorovega izreka s strani različnih znanstvenikov sklepamo, da je več kot resnična. Zdaj lahko prejete informacije uporabljate v vsakdanjem življenju in ste popolnoma prepričani, da bodo vsi izračuni ne le uporabni, ampak tudi pravilni.

Šaljiv dokaz Pitagorovega izreka; tudi kot šala o prijateljevih širokih hlačah.

• - trojčke pozitivnih celih števil x, y, z, ki zadoščajo enačbi x2+y 2=z2...

  Matematična enciklopedija

• - trije naravna števila da je na primer trikotnik, katerega dolžine stranic so sorazmerne s temi številkami, pravokoten. trojček števil: 3, 4, 5...

  Naravoslovje. Enciklopedični slovar

• - glej Reševalna raketa...

  Morski slovar

• - trojke naravnih števil, tako da je trikotnik, katerega dolžine stranic so sorazmerne s temi števili, pravokoten...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - mil. Unizem. Izraz, ki se uporablja pri naštevanju ali primerjanju dveh dejstev, pojavov, okoliščin ...

  Poučni frazeološki slovar

• - Iz distopijskega romana “Živalska farma” angleškega pisatelja Georgea Orwella...
• - Prvič najdemo v satiri "Dnevnik liberalca v Sankt Peterburgu" Mihaila Evgrafoviča Saltikova-Ščedrina, ki je tako figurativno opisal ambivalenten, strahopeten položaj ruskih liberalcev - njihove lastne ...

  Slovar krilate besede in izrazi

• - Rečeno je, ko je sogovornik poskušal nekaj sporočiti dolgo in nerazločno, pri čemer je glavno idejo zasul s stranskimi podrobnostmi ...

  Slovar ljudske frazeologije

• - Število gumbov je znano. Zakaj je tič tesen? - o hlačah in moškem spolnem organu. . Da bi to dokazali, je treba odstraniti in pokazati 1) približno Pitagorov izrek; 2) glede širokih hlač...

  Govor v živo. Slovar pogovorni izrazi

• - Sre. Ni nesmrtnosti duše, torej ni vrline, »to pomeni, da je vse dovoljeno« ... Zapeljiva teorija za barabe ... Bahavec, a bistvo je: po eni strani si človek ne more kaj, da ne priznati, po drugi strani pa si človek ne more kaj, da ne bi priznal...

  Mikhelsonov razlagalni in frazeološki slovar

• - Pitagorejske hlače menihov. o nadarjeni osebi. Sre To je nedvomno modrec. V starih časih bi verjetno izumil pitagorejske hlače ... Saltykov. Pestre črke...
• - Na eni strani - na drugi strani. Sre Ni nesmrtnosti duše, torej ni vrline, “to pomeni, da je vse dovoljeno”... Mamljiva teorija za barabe.....

  Mikhelsonov razlagalni in frazeološki slovar (izv. orf.)

• - Smešno ime za Pitagorov izrek, ki je nastal zaradi dejstva, da kvadrati, zgrajeni na straneh pravokotnika in se razhajajo v različnih smereh, spominjajo na kroj hlač ...
• - NA ENI STRANI... NA DRUGI STRANI. knjiga...

  besedni zvezek ruski knjižni jezik

• - Glej UČESTVANJE -...

  V.I. Dahl. Pregovori ruskega ljudstva

• - Zharg. šola šala Pitagora. ...

  Velik slovar Ruski pregovori

V knjigah so "Pitagorejske hlače enake v vseh smereh".

11. Pitagorejske hlače