Štiridimenzionalna kocka. Tesseract in n-dimenzionalne kocke na splošno. V tridimenzionalni prostor

Če ste oboževalec filmov Maščevalci, vam bo prva stvar, na katero pomislite, ko slišite besedo "Tesseract", prozorna kockasta posoda kamna neskončnosti, ki vsebuje neomejeno moč.

Za oboževalce Marvelovega vesolja je Tesseract svetleča modra kocka, ki obnori ljudi ne samo z Zemlje, ampak tudi z drugih planetov. Zato so se vsi Maščevalci zbrali, da bi zaščitili Zemljane pred izjemno uničujočo močjo Tesseracta.

Vendar je to treba povedati: Tesseract je dejanski geometrijski koncept, ali natančneje, oblika, ki obstaja v 4D. To ni le modra kocka iz Maščevalcev... je pravi koncept.

Tesseract je objekt v 4 dimenzijah. Toda preden to podrobno razložimo, začnimo od začetka.

Kaj je "merjenje"?

Vsakdo je že slišal za izraza 2D in 3D, ki predstavljata dvodimenzionalne ali tridimenzionalne predmete v prostoru. Toda kaj so to?

Dimenzija je preprosto smer, v katero lahko greste. Če na primer rišete črto na kos papirja, se lahko pomaknete levo/desno (os x) ali gor/dol (os y). Zato pravimo, da je papir dvodimenzionalen, ker lahko greš samo v dve smeri.

V 3D je občutek globine.

Zdaj noter resnični svet Poleg dveh zgoraj omenjenih smeri (levo/desno in gor/dol), lahko greste tudi »do/od«. Posledično je 3D prostoru dodan občutek globine. Zato pravimo, da resnično življenje 3-dimenzionalno.

Točka lahko predstavlja 0 dimenzij (ker se ne premika v nobeno smer), črta predstavlja 1 dimenzijo (dolžino), kvadrat predstavlja 2 dimenziji (dolžino in širino), kocka pa 3 dimenzije (dolžino, širino in višino). ).

Vzemite 3D kocko in zamenjajte vsako od njenih ploskev (ki so trenutno kvadrati) s kocko. In tako! Oblika, ki jo dobite, je teserakt.

Kaj je teserakt?

Preprosto povedano, teserakt je kocka v 4-dimenzionalnem prostoru. Lahko tudi rečemo, da gre za 4D različico kocke. To je 4D oblika, kjer je vsaka stran kocka.

3D projekcija teserakta, ki izvaja dvojno rotacijo okoli dveh pravokotnih ravnin.
Slika: Jason Hise

Tukaj je preprost način za konceptualizacijo dimenzij: kvadrat je dvodimenzionalen; zato ima vsak njen vogal 2 črti, ki segata od njega pod kotom 90 stopinj druga do druge. Kocka je 3D, tako da ima vsak njen kot 3 črte, ki izhajajo iz njega. Podobno je teserakt 4D oblika, tako da ima vsak kot 4 črte, ki segajo iz njega.

Zakaj si je težko predstavljati teserakt?

Ker smo se ljudje razvili za vizualizacijo predmetov v treh dimenzijah, vse, kar gre v dodatne dimenzije, kot so 4D, 5D, 6D itd., za nas nima velikega smisla, ker jih sploh ne moremo predstaviti. Naši možgani ne morejo razumeti 4. dimenzije v vesolju. Enostavno ne moremo razmišljati o tem.

Evolucija človeških možganov je potekala v tridimenzionalnem prostoru. Zato si težko predstavljamo prostore, katerih dimenzije so večje od treh. Pravzaprav si človeški možgani ne morejo predstavljati geometrijskih objektov z dimenzijami, večjimi od treh. In hkrati si zlahka predstavljamo geometrijske objekte z dimenzijami ne le tri, ampak tudi z dimenzijami dve in ena.

Razlika in analogija med enodimenzionalnimi in dvodimenzionalnimi prostori ter razlika in analogija med dvodimenzionalnimi in tridimenzionalnimi prostori nam omogočajo, da rahlo odpremo paravan skrivnosti, ki nas ograjuje od prostorov višjih dimenzij. Da bi razumeli, kako se ta analogija uporablja, razmislite o zelo preprostem štiridimenzionalnem predmetu - hiperkocki, to je štiridimenzionalni kocki. Če smo natančni, recimo, da želimo rešiti določen problem, in sicer prešteti število kvadratnih ploskev štiridimenzionalne kocke. Vsa nadaljnja obravnava bodo zelo ohlapna, brez kakršnih koli dokazov, zgolj po analogiji.

Da bi razumeli, kako je hiperkocka zgrajena iz navadne kocke, morate najprej pogledati, kako je navadna kocka zgrajena iz pravilnega kvadrata. Zaradi izvirnosti pri predstavitvi tega gradiva bomo navaden kvadrat imenovali SubCube (in ga ne bomo zamenjali s sukubom).

Če želite zgraditi kocko iz podkocke, morate podkocko podaljšati v smeri pravokotno na ravnino podkocke v smeri tretje dimenzije. V tem primeru bo z vsake strani začetne podkocke zrasla podkocka, ki je stranska dvodimenzionalna ploskev kocke, ki bo omejevala tridimenzionalni volumen kocke na štirih stranicah, po dve pravokotni na vsako smer v ravnina podkocke. In vzdolž nove tretje osi sta tudi dve podkocki, ki omejujeta tridimenzionalni volumen kocke. To je dvodimenzionalna ploskev, kjer se je prvotno nahajala naša podkocka, in tista dvodimenzionalna ploskev kocke, kjer je podkocka prišla na koncu konstrukcije kocke.

Kar ste pravkar prebrali, je predstavljeno pretirano podrobno in z veliko pojasnil. In z dobrim razlogom. Zdaj bomo naredili ta trik, nekatere besede v prejšnjem besedilu bomo formalno zamenjali na ta način:
kocka -> hiperkocka
podkocka -> kocka
ravnina -> volumen
tretji -> četrti
dvodimenzionalno -> tridimenzionalno
štiri -> šest
tridimenzionalno -> štiridimenzionalno
dva -> tri
ravnina -> prostor

Posledično dobimo naslednje pomenljivo besedilo, ki se ne zdi več pretirano podrobno.

Če želite zgraditi hiperkocko iz kocke, morate kocko raztegniti v smeri, ki je pravokotna na prostornino kocke v smeri četrta dimenzija. V tem primeru bo z vsake strani prvotne kocke zrasla kocka, ki je stranska tridimenzionalna ploskev hiperkocke, ki bo omejila štiridimenzionalni volumen hiperkocke na šestih stranicah, tri pravokotne na vsako smer v prostor kocke. In vzdolž nove četrte osi sta tudi dve kocki, ki omejujeta štiridimenzionalni volumen hiperkocke. To je tridimenzionalna ploskev, kjer se je prvotno nahajala naša kocka, in tista tridimenzionalna ploskev hiperkocke, kjer je kocka prišla na koncu konstrukcije hiperkocke.

Zakaj smo tako prepričani, da smo prejeli pravilen opis konstrukcije hiperkocke? Da, saj s popolnoma enako formalno zamenjavo besed dobimo opis konstrukcije kocke iz opisa konstrukcije kvadra. (Preverite sami.)

Zdaj je jasno, da če bi iz vsake strani kocke zrasla še ena tridimenzionalna kocka, bi morala iz vsakega roba začetne kocke zrasti obraz. Skupaj ima kocka 12 robov, kar pomeni, da se bo na tistih 6 kockah pojavilo dodatnih 12 novih ploskev (podkock), ki omejujejo štiridimenzionalni volumen po treh oseh tridimenzionalnega prostora. In ostali sta še dve kocki, ki omejujejo ta štiridimenzionalni volumen od spodaj in od zgoraj po četrti osi. Vsaka od teh kock ima 6 ploskev.

Skupaj ugotovimo, da ima hiperkocka 12+6+6=24 kvadratnih ploskev.

Naslednja slika prikazuje logično strukturo hiperkocke. To je kot projekcija hiperkocke na tridimenzionalni prostor. Tako nastane tridimenzionalni okvir reber. Na sliki seveda vidite projekcijo tega okvirja na ravnino.

Na tem okvirju je notranja kocka kot začetna kocka, iz katere se je začela gradnja in ki omejuje štiridimenzionalni volumen hiperkocke po četrti osi od spodaj. To začetno kocko raztegnemo navzgor po četrti merilni osi in gre v zunanjo kocko. Torej zunanja in notranja kocka s te slike omejujejo hiperkocko vzdolž četrte merilne osi.

In med tema dvema kockama lahko vidite še 6 novih kock, ki se dotikajo skupnih ploskev s prvima dvema. Teh šest kock povezuje našo hiperkocko vzdolž treh osi tridimenzionalnega prostora. Kot lahko vidite, nista le v stiku s prvima dvema kockama, ki sta notranja in zunanja kocka na tem tridimenzionalnem okvirju, ampak sta tudi v stiku med seboj.

Preštejete lahko neposredno na sliki in se prepričate, da ima hiperkocka res 24 ploskev. Vendar se postavlja to vprašanje. Ta okvir hiperkocke v tridimenzionalnem prostoru je zapolnjen z osmimi tridimenzionalnimi kockami brez vrzeli. Če želite iz te tridimenzionalne projekcije hiperkocke narediti pravo hiperkocko, morate ta okvir obrniti navzven, tako da vseh 8 kock omejuje 4-dimenzionalni volumen.

To se naredi takole. Na obisk povabimo prebivalca štiridimenzionalnega prostora in ga prosimo za pomoč. Zgrabi notranjo kocko tega okvirja in jo premakne v smeri četrte dimenzije, ki je pravokotna na naš tridimenzionalni prostor. V našem tridimenzionalnem prostoru ga zaznavamo, kot da je izginil celoten notranji okvir in ostal le okvir zunanje kocke.

Nadalje naš štiridimenzionalni asistent nudi svojo pomoč v porodnišnicah za neboleč porod, a naše nosečnice so prestrašene ob možnosti, da bo otrok preprosto izginil iz želodca in končal v vzporednem tridimenzionalnem prostoru. Zato je štiridimenzionalna oseba vljudno zavrnjena.

In bega nas vprašanje, ali je kakšna naša kocka razpadla, ko smo okvir hiperkocke obrnili navzven. Konec koncev, če se nekatere tridimenzionalne kocke, ki obkrožajo hiperkocko, s svojimi ploskvami dotikajo svojih sosedov na okvirju, ali se bodo dotikale z enakimi ploskvami tudi, če štiridimenzionalna kocka okvir obrne navzven?

Ponovno se obrnemo na analogijo s prostori nižjih dimenzij. Primerjaj sliko okvirja hiperkocke s projekcijo tridimenzionalne kocke na ravnino, prikazano na naslednji sliki.

Prebivalci dvodimenzionalnega prostora so na ravnini zgradili okvir za projekcijo kocke na ravnino in povabili nas, tridimenzionalne prebivalce, da ta okvir obrnemo navzven. Vzamemo štiri oglišča notranjega kvadrata in jih premaknemo pravokotno na ravnino. Dvodimenzionalni prebivalci vidijo popolno izginotje celotnega notranjega okvirja in jim ostane le okvir zunanjega kvadrata. Pri takšni operaciji se vsi kvadrati, ki so bili v stiku s svojimi robovi, še naprej dotikajo z istimi robovi.

Zato upamo, da logična shema hiperkocke ne bo porušena tudi pri obračanju okvirja hiperkocke navzven, število kvadratnih ploskev hiperkocke pa se ne bo povečalo in bo še vedno enako 24. To seveda , sploh ni dokaz, ampak zgolj ugibanje po analogiji.

Po vsem, kar ste tukaj prebrali, lahko preprosto narišete logični okvir petdimenzionalne kocke in izračunate število oglišč, robov, ploskev, kock in hiperkock, ki jih ima. Sploh ni težko.

Če se vam je zgodil nenavaden dogodek, ste videli nenavadno bitje ali nerazumljiv pojav, ste imeli nenavadne sanje, ste na nebu videli NLP ali postali žrtev ugrabitve vesoljcev, nam lahko pošljete svojo zgodbo in objavili jo bomo. na naši spletni strani ===> .

Nauki o večdimenzionalne prostore začeli pojavljati v sredi 19 stoletja. Zamisel o štiridimenzionalnem prostoru so si od znanstvenikov izposodili pisci znanstvene fantastike. V svojih delih so svetu povedali o neverjetni čudežičetrta dimenzija.

Junaki svojih del so lahko z uporabo lastnosti štiridimenzionalnega prostora pojedli vsebino jajca, ne da bi poškodovali lupino, in popili pijačo, ne da bi odprli pokrov steklenice. Tatovi so zaklad iz sefa odstranili skozi četrto dimenzijo. Kirurgi so opravili operacije notranji organi brez rezanja pacientovega telesnega tkiva.

Tesseract

V geometriji je hiperkocka n-dimenzionalna analogija kvadrata (n = 2) in kocke (n = 3). Štiridimenzionalni analog naše običajne tridimenzionalne kocke je znan kot teserakt. Teserakt je za kocko tako kot kocka za kvadrat. Bolj formalno lahko teserakt opišemo kot pravilen konveksen štiridimenzionalni polieder, katerega meja je sestavljena iz osmih kubičnih celic.

Vsak par nevzporednih 3D ploskev se seka in tvori 2D ploskve (kvadrate) itd. Končno ima teserakt 8 3D ploskev, 24 2D ploskev, 32 robov in 16 oglišč.
Mimogrede, glede na Oxfordski slovar je besedo teserakt leta 1888 skoval in uporabil Charles Howard Hinton (1853-1907) v svoji knjigi Nova doba misli. Kasneje so nekateri isto figuro poimenovali tetrakub (grško tetra - štiri) - štiridimenzionalna kocka.

Konstrukcija in opis

Poskusimo si predstavljati, kako bo izgledala hiperkocka, ne da bi zapustili tridimenzionalni prostor.
V enodimenzionalnem “prostoru” - na premici - izberemo odsek AB dolžine L. Na dvodimenzionalni ravnini na razdalji L od AB narišemo odsek DC vzporedno z njim in povežemo njuna konca. Rezultat je kvadratni CDBA. Če to operacijo ponovimo z ravnino, dobimo tridimenzionalno kocko CDBAGHFE. In s premikom kocke v četrti dimenziji (pravokotno na prve tri) za razdaljo L dobimo hiperkocko CDBAGHFEKLJIOPNM.

Podobno lahko nadaljujemo razmišljanje o hiperkockah več dimenzije, veliko bolj zanimivo pa je videti, kako bo štiridimenzionalna hiperkocka izgledala za nas, prebivalce tridimenzionalnega prostora.

Vzemimo žično kocko ABCDHEFG in jo poglejmo z enim očesom s strani roba. Na ravnini bomo videli in znali narisati dva kvadrata (njen bližnji in daljni rob), povezana s štirimi črtami - stranskimi robovi. Podobno bo štiridimenzionalna hiperkocka v tridimenzionalnem prostoru videti kot dve kubični "škatli", vstavljeni ena v drugo in povezani z osmimi robovi. V tem primeru bodo same "škatle" - tridimenzionalni obrazi - projicirane na "naš" prostor, črte, ki jih povezujejo, pa se bodo raztezale v smeri četrte osi. Lahko si tudi poskusite predstavljati kocko ne v projekciji, ampak v prostorski podobi.

Tako kot tridimenzionalno kocko tvori kvadrat, premaknjen za dolžino svoje ploskve, bo kocka, premaknjena v četrto dimenzijo, tvorila hiperkocko. Omejeno je z osmimi kockami, ki bodo v perspektivi videti kot precej zapletena figura. Samo štiridimenzionalno hiperkocko lahko razdelimo na neskončno število kock, tako kot lahko tridimenzionalno kocko »razrežemo« na neskončno število ravnih kvadratov.

Če razrežete šest ploskev tridimenzionalne kocke, jo lahko razstavite na ravna figura- skeniranje. Imel bo kvadrat na vsaki strani prvotnega obraza in še enega - obraz nasproti njega. In tridimenzionalni razvoj štiridimenzionalne hiperkocke bo sestavljen iz prvotne kocke, šestih kock, ki "rastejo" iz nje, in še ene - končne "hiperface".

Hiperkocka v umetnosti

Tesseract je tako zanimiv lik, da je že večkrat pritegnil pozornost pisateljev in filmskih ustvarjalcev.
Robert E. Heinlein je večkrat omenil hiperkocke. V The House That Teal Built (1940) je opisal hišo, ki je bila zgrajena kot neoviti teserakt in se je nato zaradi potresa v četrti dimenziji "zložila" v "pravi" teserakt. Heinleinov roman Glory Road opisuje hiperveliko škatlo, ki je bila znotraj večja kot zunaj.

Zgodba Henryja Kuttnerja "All Tenali Borogov" opisuje izobraževalno igračo za otroke iz daljne prihodnosti, ki je po zgradbi podobna teseraktu.

Zaplet Cube 2: Hypercube se osredotoča na osem tujcev, ujetih v "hiperkocko" ali mrežo povezanih kock.

Vzporedni svet

Matematične abstrakcije so povzročile idejo o obstoju vzporednih svetov. Te razumemo kot realnosti, ki obstajajo sočasno z našo, vendar neodvisno od nje. Vzporedni svet je lahko različnih velikosti: od majhnega geografskega območja do celega vesolja. V vzporednem svetu se dogodki odvijajo na svoj način, lahko se razlikuje od našega sveta, tako v posameznih podrobnostih kot v skoraj vsem. Poleg tega fizikalni zakoni vzporednega sveta niso nujno podobni zakonom našega vesolja.

Ta tema je plodna tla za pisce znanstvene fantastike.

Slika Salvadorja Dalija "Križanje" prikazuje teserakt. "Križanje ali hiperkubično telo" je slika španskega umetnika Salvadorja Dalija, naslikana leta 1954. Upodablja križanega Jezusa Kristusa na teserakti. Sliko hrani Metropolitanski muzej umetnosti v New Yorku

Vse se je začelo leta 1895, ko je H. G. Wells s svojo zgodbo "Vrata v zidu" odkril obstoj vzporednih svetov za znanstveno fantastiko. Leta 1923 se je Wells vrnil k ideji o vzporednih svetovih in v enega od njih postavil utopično deželo, kamor se odpravijo junaki romana Možje kot bogovi.

Roman ni ostal neopažen. Leta 1926 se je pojavila zgodba G. Denta »Cesar dežele »Če«« V Dentovi zgodbi se je prvič pojavila ideja, da bi lahko obstajale države (svetovi), katerih zgodovina bi lahko potekala drugače od zgodovine resničnih držav. v našem svetu in ti svetovi niso nič manj resnični od našega.

Leta 1944 je Jorge Luis Borges v svoji knjigi Izmišljene zgodbe objavil zgodbo "The Garden of Forking Paths". Tu je bila ideja o razvejanem času končno izražena z največjo jasnostjo.
Kljub pojavu zgoraj naštetih del se je začela resno razvijati ideja o mnogih svetovih znanstvena fantastikašele konec štiridesetih let 20. stoletja, približno v istem času, ko se je podobna ideja pojavila v fiziki.

Eden od pionirjev nove smeri v znanstveni fantastiki je bil John Bixby, ki je v zgodbi "Enosmerna ulica" (1954) predlagal, da se med svetovi lahko premikate le v eno smer - ko greste iz svojega sveta v vzporednega, ne boš se vrnil nazaj, ampak se boš preselil iz enega sveta v drugega. Ni pa izključena niti vrnitev v svoj svet - za to je potrebno, da je sistem svetov zaprt.

Roman Clifforda Simaka Obroč okoli sonca (1982) opisuje številne planete Zemljo, od katerih vsak obstaja v svojem svetu, vendar v isti orbiti, ti svetovi in ​​ti planeti pa se med seboj razlikujejo le z rahlim (mikrosekundnim) premikom v času. Številne Zemlje, ki jih je obiskal junak romana enoten sistem svetovi.

Alfred Bester je v svoji zgodbi »Človek, ki je ubil Mohameda« (1958) izrazil zanimiv pogled na razvejanost svetov. "S spreminjanjem preteklosti," je trdil junak zgodbe, "jo spremenite samo zase." Z drugimi besedami, po spremembi v preteklosti nastane veja zgodovine, v kateri ta sprememba obstaja samo za lik, ki je naredil spremembo.

Zgodba bratov Strugatski "Ponedeljek se začne v soboto" (1962) opisuje potovanja likov v različne možnosti prihodnost, ki jo opisujejo pisci znanstvene fantastike - v nasprotju s potovanji v različne različice preteklosti, ki so obstajala že v znanstveni fantastiki.

Vendar bi že preprosto naštevanje vseh del, ki se dotikajo tematike vzporednih svetov, vzelo preveč časa. In čeprav pisci znanstvene fantastike praviloma znanstveno ne utemeljijo postulata o večdimenzionalnosti, imajo prav glede nečesa - to je hipoteza, ki ima pravico do obstoja.
Četrta dimenzija teserakta nas še vedno čaka na obisk.

Viktor Savinov

Tesseract - štiridimenzionalna hiperkocka - kocka v štiridimenzionalni prostor.
Glede na Oxfordski slovar je besedo tesseract leta 1888 skoval in uporabil Charles Howard Hinton (1853-1907) v svoji knjigi Nova doba misli. Kasneje so nekateri isto figuro imenovali tetrakub (grško τετρα - štiri) - štiridimenzionalna kocka.
Navaden teserakt v evklidskem štiridimenzionalnem prostoru je definiran kot konveksna lupina točk (±1, ±1, ±1, ±1). Z drugimi besedami, lahko ga predstavimo kot naslednji niz:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakt je omejen z osmimi hiperravninami x_i= +- 1, i=1,2,3,4, katerih presečišče s samim teseraktom definira tridimenzionalne ploskve (ki so navadne kocke). Vsak par nevzporednih tridimenzionalnih ploskev se seka, da tvori dvodimenzionalne ploskve (kvadrate) in tako naprej ima teserakt 8 tridimenzionalnih ploskev, 24 dvodimenzionalnih ploskev, 32 robov in 16 oglišč.
Priljubljen opis
Poskusimo si predstavljati, kako bo izgledala hiperkocka, ne da bi zapustili tridimenzionalni prostor.
V enodimenzionalnem “prostoru” - na premici - izberemo odsek AB dolžine L. Na dvodimenzionalni ravnini na razdalji L od AB narišemo odsek DC vzporedno z njim in povežemo njuna konca. Rezultat je kvadratni CDBA. Če to operacijo ponovimo z ravnino, dobimo tridimenzionalno kocko CDBAGHFE. In s premikom kocke v četrti dimenziji (pravokotno na prve tri) za razdaljo L dobimo hiperkocko CDBAGHFEKLJIOPNM.
Enodimenzionalni segment AB služi kot stran dvodimenzionalnega kvadrata CDBA, kvadrat - kot stran kocke CDBAGHFE, ki bo posledično stran štiridimenzionalne hiperkocke. Odsek premice ima dve mejni točki, kvadrat štiri oglišča, kocka osem. V štiridimenzionalni hiperkocki bo tako 16 oglišč: 8 oglišč prvotne kocke in 8 zamaknjene v četrti dimenziji. Ima 32 robov - po 12 daje začetni in končni položaj prvotne kocke, nadaljnjih 8 robov pa "riše" njenih osem oglišč, ki so se premaknila v četrto dimenzijo. Enako lahko sklepamo za ploskve hiperkocke. V dvodimenzionalnem prostoru je le ena (sam kvadrat), kocka jih ima 6 (dve ploskvi iz premaknjenega kvadrata in še štiri, ki opisujejo njene stranice). Štiridimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratnih ploskev - 12 kvadratov prvotne kocke v dveh položajih in 12 kvadratov iz njenih dvanajstih robov.
Tako kot so stranice kvadrata 4 enodimenzionalni segmenti, stranice (ploskve) kocke pa 6 dvodimenzionalnih kvadratov, tako so za »štiridimenzionalno kocko« (teserakt) stranice 8 tridimenzionalnih kock. . Prostori nasprotnih parov teseraktnih kock (torej tridimenzionalnih prostorov, ki jim te kocke pripadajo) so vzporedni. Na sliki so to kocke: CDBAGHFE in KLJIOPNM, CDBAKLJI in GHFEOPNM, EFBAMNJI in GHDCOPLK, CKIAGOME in DLJBHPNF.
Na podoben način lahko nadaljujemo razmišljanje o večdimenzionalnih hiperkockah, veliko bolj zanimivo pa je videti, kako bo štiridimenzionalna hiperkocka videti nas, prebivalce tridimenzionalnega prostora. Za to bomo uporabili že znano metodo analogij.
Vzemimo žično kocko ABCDHEFG in jo poglejmo z enim očesom s strani roba. Na ravnini bomo videli in znali narisati dva kvadrata (njen bližnji in daljni rob), povezana s štirimi črtami - stranskimi robovi. Podobno bo štiridimenzionalna hiperkocka v tridimenzionalnem prostoru videti kot dve kubični "škatli", vstavljeni ena v drugo in povezani z osmimi robovi. V tem primeru bodo same "škatle" - tridimenzionalni obrazi - projicirane na "naš" prostor, črte, ki jih povezujejo, pa se bodo raztezale v smeri četrte osi. Lahko si tudi poskusite predstavljati kocko ne v projekciji, ampak v prostorski podobi.
Tako kot tridimenzionalno kocko tvori kvadrat, premaknjen za dolžino svoje ploskve, bo kocka, premaknjena v četrto dimenzijo, tvorila hiperkocko. Omejeno je z osmimi kockami, ki bodo v perspektivi videti kot precej zapletena figura. Sama štiridimenzionalna hiperkocka je sestavljena iz neskončnega števila kock, tako kot lahko tridimenzionalno kocko “razrežemo” na neskončno število ravnih kvadratov.
Z rezanjem šestih ploskev tridimenzionalne kocke jo lahko razstavite v ravno figuro - razvoj. Imel bo kvadrat na vsaki strani prvotnega obraza in še enega - obraz nasproti njega. In tridimenzionalni razvoj štiridimenzionalne hiperkocke bo sestavljen iz prvotne kocke, šestih kock, ki "rastejo" iz nje, in še ene - končne "hiperface".
Lastnosti teserakta so razširitev lastnosti geometrijske oblike manjšo dimenzijo v štiridimenzionalni prostor.

Hiperkocka in Platonova telesa

Modelirajte prisekani ikozaeder ("nogometna žoga") v sistemu "Vektor".
v kateri je vsak peterokotnik omejen s šesterokotniki

Prisekan ikozaeder lahko dobite tako, da odrežete 12 oglišč, da oblikujete ploskve v obliki pravilni peterokotniki. V tem primeru se število oglišč novega poliedra poveča 5-krat (12×5=60), 20 trikotnih ploskev se spremeni v pravilne šestkotnike (skupaj obrazi postanejo 20+12=32), A število robov se poveča na 30+12×5=90.

Koraki za konstrukcijo prisekanega ikozaedra v sistemu Vector

Številke v 4-dimenzionalnem prostoru.

--à

--à ?

Na primer, glede na kocko in hiperkocko. Hiperkocka ima 24 ploskev. To pomeni, da bo imel 4-dimenzionalni oktaeder 24 oglišč. Čeprav ne, ima hiperkocka 8 ploskev kock - vsaka ima središče na svojem vrhu. To pomeni, da bo imel 4-dimenzionalni oktaeder 8 oglišč, kar je še lažje.

4-dimenzionalni oktaeder. Sestavljen je iz osmih enakostraničnih in enakih tetraedrov,
povezanih s štirimi na vsakem oglišču.

riž. Poskus simulacije
hiperkrogla-hipersfera v sistemu "Vektor".

Sprednje - zadnje strani - kroglice brez popačenja. Drugih šest kroglic je mogoče definirati preko elipsoidov ali kvadratnih ploskev (skozi 4 konturne črte kot generatorje) ali skozi ploskve (prvo definirane skozi generatorje).

Več tehnik za "izgradnjo" hipersfere
- ista "nogometna žoga" v 4-dimenzionalnem prostoru

Dodatek 2

Za konveksne poliedre obstaja lastnost, ki povezuje število njegovih oglišč, robov in ploskev, ki jo je leta 1752 dokazal Leonhard Euler in se imenuje Eulerjev izrek.

Preden jo formuliramo, razmislimo o nam znanih poliedrih in izpolnimo naslednjo tabelo, v kateri je B število oglišč, P - robov in G - ploskev danega poliedra:

Ime poliedra
Trikotna piramida
Štirikotna piramida
Trikotna prizma
Štirikotna prizma
n-premogovna piramida	n+1	2n	n+1
n-karbonska prizma	2n	3n	n+2
n-premog okrnjen piramida	2n	3n	n+2

Iz te tabele je takoj razvidno, da za vse izbrane poliedre velja enakost B - P + G = 2. Izkaže se, da ta enakost ne velja samo za te poliedre, ampak tudi za poljuben konveksni polieder.

Eulerjev izrek. Enakost velja za vsak konveksni polieder

B - P + G = 2,

kjer je B število oglišč, P število robov in G število ploskev danega poliedra.

Dokaz. Da bi dokazali to enakost, si predstavljajte površino tega poliedra iz elastičnega materiala. Odstranimo (izrežemo) eno od njegovih ploskev in raztegnemo preostalo površino na ravnino. Dobimo poligon (ki ga tvorijo robovi odstranjene ploskve poliedra), razdeljen na manjše mnogokotnike (ki ga tvorijo preostale ploskve poliedra).

Upoštevajte, da lahko poligone deformirate, povečate, pomanjšate ali celo ukrivite stranice, če na straneh ni vrzeli. Število oglišč, robov in ploskev se ne bo spremenilo.

Dokažimo, da dobljena razdelitev mnogokotnika na manjše mnogokotnike izpolnjuje enakost

(*)B - P + G " = 1,

kjer je B – skupno število vozlišč, P je skupno število robov in Г " je število poligonov, vključenih v particijo. Jasno je, da je Г " = Г - 1, kjer je G število ploskev danega poliedra.

Dokažimo, da se enakost (*) ne spremeni, če v nekem mnogokotniku dane particije narišemo diagonalo (slika 5, a). Po risanju takšne diagonale bo imela nova particija B oglišč, P+1 robov in število poligonov se bo povečalo za enega. Zato imamo

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Z uporabo te lastnosti narišemo diagonale, ki razdelijo prihajajoče poligone na trikotnike, in za nastalo particijo pokažemo izvedljivost enakosti (*) (slika 5, b). Da bi to naredili, bomo zaporedno odstranili zunanje robove in zmanjšali število trikotnikov. V tem primeru sta možna dva primera:

a) odstraniti trikotnik ABC potrebno je odstraniti dve rebri, v našem primeru AB in B.C.;

b) odstraniti trikotnikMKNpotrebno je odstraniti en rob, v našem primeruMN.

V obeh primerih se enakost (*) ne bo spremenila. Na primer, v prvem primeru bo po odstranitvi trikotnika graf sestavljen iz B - 1 oglišč, P - 2 robov in G " - 1 poligona:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Razmislite o drugem primeru sami.

Tako odstranitev enega trikotnika ne spremeni enakosti (*). Če nadaljujemo s tem postopkom odstranjevanja trikotnikov, bomo na koncu prišli do particije, sestavljene iz enega samega trikotnika. Za takšno particijo velja B = 3, P = 3, Г " = 1 in torej B – Р + Г " = 1. To pomeni, da enakost (*) velja tudi za prvotno particijo, iz katere končno dobimo, da za to razdelitev poligona velja enakost (*). Tako za prvotni konveksni polieder velja enakost B - P + G = 2.

Primer poliedra, za katerega Eulerjeva relacija ne velja, prikazano na sliki 6. Ta polieder ima 16 oglišč, 32 robov in 16 ploskev. Tako za ta polieder velja enakost B – P + G = 0.

Dodatek 3.

Film Kocka 2: Hiperkocka je znanstvenofantastični film, nadaljevanje filma Kocka.

Osem tujcev se zbudi v sobah v obliki kocke. Sobe se nahajajo znotraj štiridimenzionalne hiperkocke. Sobe se nenehno premikajo skozi "kvantno teleportacijo" in če se povzpnete v naslednjo sobo, se verjetno ne boste vrnili v prejšnjo. Presek v hiperkocki vzporedni svetovi, v nekaterih sobah čas teče drugače, nekatere sobe pa so smrtonosne pasti.

Zaplet filma v veliki meri ponavlja zgodbo prvega dela, kar se odraža tudi v podobah nekaterih likov. Umre v sobah hiperkocke Nobelov nagrajenec Rosenzweig, ki je izračunal točen čas uničenje hiperkocke.

Kritika

Če so si v prvem delu ljudje, zaprti v labirintu, poskušali pomagati, je v tem filmu vsak zase. Veliko je nepotrebnih posebnih učinkov (aka pasti), ki tega dela filma logično ne povezujejo s prejšnjim. Se pravi, izkaže se, da je film Kocka 2 nekakšen labirint prihodnosti 2020-2030, ne pa 2000. V prvem delu lahko človek teoretično ustvari vse vrste pasti. V drugem delu so te pasti nekakšen računalniški program, tako imenovana »navidezna resničnost«.