Kaj je potenčna funkcija? Osnovne elementarne funkcije: njihove lastnosti in grafi. Lastnosti n-te korenske funkcije, n je sodo število

Ali poznate funkcije y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Vse te funkcije so posebni primeri potenčne funkcije, tj y=xp, kjer je p dano realno število.
Lastnosti in graf potenčne funkcije so bistveno odvisni od lastnosti potence z realnim eksponentom in zlasti od vrednosti, za katere x in str stopnja je smiselna x str. Nadaljujemo s podobnim obravnavanjem različnih primerov, odvisno od
eksponent str.

1. Indikator p=2n- sodo naravno število.

y=x2n, Kje n- naravno število, ima naslednje

lastnosti:

• domena definicije - vsa realna števila, tj. množica R;
• niz vrednosti - nenegativna števila, tj. y je večji ali enak 0;
• funkcijo y=x2n celo, ker x 2n=(- x) 2n
• funkcija pada na intervalu x<0 in narašča v intervalu x>0.

Graf funkcije y=x2n ima enako obliko kot na primer graf funkcije y=x 4.

2. Indikator p=2n-1- liho naravno število
V tem primeru funkcija moči y=x2n-1, kjer je naravno število, ima naslednje lastnosti:

• domena definicije - množica R;
• niz vrednosti - niz R;
• funkcijo y=x2n-1čudno, saj (- x) 2n-1=x2n-1;
• funkcija narašča na celotni realni osi.

Graf funkcije y=x 2n-1 ima enako obliko kot na primer graf funkcije y=x 3 .

3. Indikator p=-2n, Kje n- naravno število.

V tem primeru funkcija moči y=x -2n =1/x 2n ima naslednje lastnosti:

• domena definicije - niz R, razen x=0;
• niz vrednosti - pozitivna števila y>0;
• funkcija y =1/x2n celo, ker 1/(-x)2n=1/x 2n;
• funkcija narašča na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Graf funkcije y =1/x2n ima enako obliko kot na primer graf funkcije y =1/x 2.

Potenčna funkcija se imenuje funkcija oblike y=x n (beri kot y enako x na potenco n), kjer je n neko dano število. Posebni primeri potenčnih funkcij so funkcije oblike y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x in mnoge druge. Povejmo vam več o vsakem od njih.

Linearna funkcija y=x 1 (y=x)

Graf je ravna črta, ki poteka skozi točko (0;0) pod kotom 45 stopinj na pozitivno smer osi Ox.

Graf je predstavljen spodaj.

Osnovne lastnosti linearne funkcije:

• Funkcija je naraščajoča in definirana na celotni številski premici.
• Nima maksimalnih ali minimalnih vrednosti.

Kvadratna funkcija y=x 2

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Osnovne lastnosti kvadratne funkcije:

• 1. Pri x =0, y=0 in y>0 pri x0
• 2. Kvadratna funkcija doseže najmanjšo vrednost na svojem oglišču. Ymin pri x=0; Upoštevati je treba tudi, da funkcija nima največje vrednosti.
• 3. Funkcija pada na intervalu (-∞;0] in narašča na intervalu ter konveksnost na intervalu [0, + ∞);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0);
• ni asimptot;
• Graf funkcije za liho n poteka skozi točke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) in (1 ; 1).

Funkcija moči

Definicija 5

Funkcija moči je definirana s formulo y = x a.

Videz grafov in lastnosti funkcije so odvisni od vrednosti eksponenta.

• kadar ima potenčna funkcija celoštevilski eksponent a, potem je vrsta grafa potenčne funkcije in njene lastnosti odvisne od tega, ali je eksponent sod ali lih, pa tudi od tega, kakšen predznak ima eksponent. Oglejmo si vse te posebne primere podrobneje spodaj;
• eksponent je lahko ulomek ali iracionalen - glede na to se razlikujejo tudi vrste grafov in lastnosti funkcije. Posebne primere bomo analizirali tako, da bomo postavili več pogojev: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• potenčna funkcija ima lahko eksponent nič; tudi ta primer bomo podrobneje analizirali v nadaljevanju.

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, ko je a liho pozitivno število, na primer a = 1, 3, 5 ...

Zaradi jasnosti navajamo grafe takšnih funkcij moči: y = x (grafična barva črna), y = x 3 ( modra grafika), y = x 5 (rdeča barva grafa), y = x 7 (grafična barva zelena). Ko je a = 1, dobimo linearna funkcija y = x.

Opredelitev 6

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent liho pozitiven

• funkcija narašča za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] in konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (razen linearne funkcije);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0) (brez linearne funkcije);
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, ko je a sodo pozitivno število, na primer a = 2, 4, 6 ...

Zaradi jasnosti navajamo grafe takšnih funkcij moči: y = x 2 (grafična barva črna), y = x 4 (modra barva grafa), y = x 8 (rdeča barva grafa). Ko je a = 2, dobimo kvadratno funkcijo, katere graf je kvadratna parabola.

Opredelitev 7

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent celo pozitiven:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• padajoče za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Spodnja slika prikazuje primere grafov funkcij moči y = x a, ko je a liho negativno število: y = x - 9 (grafična barva črna); y = x - 5 (modra barva grafa); y = x - 3 (rdeča barva grafa); y = x - 1 (grafična barva zelena). Ko je a = - 1, dobimo obratno sorazmernost, katere graf je hiperbola.

Opredelitev 8

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent liho negativen:

Ko je x = 0, dobimo diskontinuiteto druge vrste, saj je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Tako je premica x = 0 navpična asimptota;

• območje: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je liha, ker je y (- x) = - y (x);
• funkcija je padajoča za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) in konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ko je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• točke prehoda funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Spodnja slika prikazuje primere grafov potenčne funkcije y = x a, ko je a sodo negativno število: y = x - 8 (grafična barva črna); y = x - 4 (modra barva grafa); y = x - 2 (rdeča barva grafa).

Opredelitev 9

Lastnosti potenčne funkcije, ko je eksponent celo negativen:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ko je x = 0, dobimo diskontinuiteto druge vrste, saj je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Tako je premica x = 0 navpična asimptota;

• funkcija je soda, ker je y(-x) = y(x);
• funkcija je naraščajoča za x ∈ (- ∞ ; 0) in padajoča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost pri x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0, ker:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ko je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• točke prehoda funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Že na začetku bodite pozorni na naslednji vidik: v primeru, ko je a pozitiven ulomek z lihim imenovalcem, nekateri avtorji vzamejo interval - ∞ kot domeno definicije te potenčne funkcije; + ∞ , kar določa, da je eksponent a nezmanjšani ulomek. Vklopljeno v tem trenutku avtorji mnogih izobraževalne publikacije v algebri in načelih analize NE DOLOČAJO potenčne funkcije, kjer je eksponent ulomek z lihim imenovalcem pri negativnih vrednostih argumenta. Nadalje se bomo držali točno tega stališča: vzeli bomo množico [ 0 ; + ∞). Priporočilo študentom: poiščite učiteljev pogled na to točko, da se izognete nesoglasjem.

Torej, poglejmo funkcijo moči y = x a , kadar je eksponent racionalno ali iracionalno število, pod pogojem, da je 0< a < 1 .

Potenčne funkcije ponazorimo z grafi y = x a, ko je a = 11 12 (grafična barva črna); a = 5 7 (rdeča barva grafa); a = 1 3 (modra barva grafa); a = 2 5 (zelena barva grafa).

Druge vrednosti eksponenta a (pod pogojem 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Opredelitev 10

Lastnosti potenčne funkcije pri 0< a < 1:

• območje: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija narašča za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;

Analizirajmo funkcijo moči y = x a, kadar je eksponent necelo racionalno ali iracionalno število, pod pogojem, da je a > 1.

Z grafi ponazorimo potenčno funkcijo y = x a pod danimi pogoji z uporabo naslednjih funkcij kot primera: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (črni, rdeči, modri, zeleni grafi).

Druge vrednosti eksponenta a, če je a > 1, bodo dale podoben graf.

Opredelitev 11

Lastnosti potenčne funkcije za a > 1:

• domena definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• območje: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• to funkcijo– funkcija splošni pogled(ni niti liho niti sodo);
• funkcija narašča za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) (ko je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točke prehoda funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Prosimo, upoštevajte! Kadar je a negativni ulomek z lihim imenovalcem, v delih nekaterih avtorjev obstaja mnenje, da je domena definicije v tem primeru interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) z opozorilom, da je eksponent a nezmanjšani ulomek. Trenutno avtorji izobraževalno gradivo v algebri in načelih analize NE DOLOČAJ potenčne funkcije z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Nadalje se držimo prav tega stališča: vzamemo množico (0 ; + ∞) kot domeno definicije potenčnih funkcij z delnimi negativnimi eksponenti. Priporočilo študentom: Na tej točki razjasnite učiteljevo vizijo, da se izognete nesoglasjem.

Nadaljujmo temo in analizirajmo potenčno funkcijo y = x a pod pogojem: - 1< a < 0 .

Predstavimo risbo grafov naslednjih funkcij: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (črna, rdeča, modra, zelena barva vrstice).

Opredelitev 12

Lastnosti potenčne funkcije pri - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ko je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• območje: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• ni prevojnih točk;

Spodnja risba prikazuje grafe funkcij moči y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (črna, rdeča, modra, zelena barva krivulj).

Opredelitev 13

Lastnosti potenčne funkcije za a< - 1:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ko je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• funkcija je padajoča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• vodoravna asimptota – premica y = 0;
• točka prehoda funkcije: (1; 1) .

Ko je a = 0 in x ≠ 0, dobimo funkcijo y = x 0 = 1, ki določa premico, iz katere je izvzeta točka (0; 1) (dogovorjeno je bilo, da izraz 0 0 ne bo imel nobenega pomena ).

Eksponentna funkcija ima obliko y = a x, kjer je a > 0 in a ≠ 1, graf te funkcije pa je videti drugače glede na vrednost osnove a. Razmislimo o posebnih primerih.

Najprej poglejmo situacijo, ko baza eksponentna funkcija ima vrednost od nič do ena (0< a < 1) . Dober primer sta grafa funkcij za a = 1 2 (modra barva krivulje) in a = 5 6 (rdeča barva krivulje).

Grafi eksponentne funkcije bodo imeli podoben videz za druge vrednosti baze pod pogojem 0< a < 1 .

Opredelitev 14

Lastnosti eksponentne funkcije, ko je osnova manjša od ena:

• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• eksponentna funkcija, katere osnova je manjša od ena, je padajoča na celotnem definicijskem področju;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0 s spremenljivko x, ki teži k + ∞;

Zdaj razmislite o primeru, ko je osnova eksponentne funkcije večja od ena (a > 1).

Ta poseben primer ponazorimo z grafom eksponentnih funkcij y = 3 2 x (modra barva krivulje) in y = e x (rdeča barva grafa).

Druge osnovne vrednosti, večje enote, bodo dale podoben videz grafu eksponentne funkcije.

Opredelitev 15

Lastnosti eksponentne funkcije, ko je osnova večja od ena:

• domena definicije – celoten sklop realna števila;
• območje: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• eksponentna funkcija, katere osnova je večja od ena, narašča kot x ∈ - ∞; + ∞ ;
• funkcija ima konkavnost pri x ∈ - ∞; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• horizontalna asimptota – premica y = 0 s spremenljivko x, ki teži k - ∞;
• točka prehoda funkcije: (0; 1) .

Logaritemska funkcija ima obliko y = log a (x), kjer je a > 0, a ≠ 1.

Takšna funkcija je definirana samo za pozitivne vrednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Urnik logaritemska funkcija ima drugačne vrste, glede na vrednost osnove a.

Najprej razmislimo o situaciji, ko je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge osnovne vrednosti, ne večje enote, bodo dale podobno vrsto grafa.

Opredelitev 16

Lastnosti logaritemske funkcije, ko je osnova manjša od ena:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Ko x teži k ničli z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k +∞;
• območje: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• logaritemski
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;

Zdaj pa poglejmo poseben primer, ko je osnova logaritemske funkcije večja od ena: a > 1 . Spodnja risba prikazuje grafe logaritemskih funkcij y = log 3 2 x in y = ln x (modra in rdeča barva grafov).

Druge vrednosti baze, večje od ena, bodo dale podobno vrsto grafa.

Opredelitev 17

Lastnosti logaritemske funkcije, ko je osnova večja od ena:

• domena definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Ko se x nagiba k ničli z desne, se vrednosti funkcije nagibajo k - ∞ ;
• območje: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celoten niz realnih števil);
• ta funkcija je funkcija splošne oblike (ni ne liha ne soda);
• logaritemska funkcija narašča za x ∈ 0; + ∞ ;
• funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
• ni prevojnih točk;
• ni asimptot;
• točka prehoda funkcije: (1; 0) .

Trigonometrične funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Oglejmo si lastnosti vsakega od njih in ustrezne grafike.

Na splošno je za vse trigonometrične funkcije značilna lastnost periodičnosti, tj. ko se vrednosti funkcije ponavljajo pri različne pomene argumenti, ki se med seboj razlikujejo za periodo f (x + T) = f (x) (T – perioda). Tako je na seznam lastnosti trigonometričnih funkcij dodan element "najmanjše pozitivno obdobje". Poleg tega bomo navedli vrednosti argumenta, pri katerih ustrezna funkcija postane nič.

1. Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf te funkcije se imenuje sinusni val.

Opredelitev 18

Lastnosti sinusne funkcije:

• domena definicije: celotna množica realnih števil x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• funkcija izniči, ko je x = π · k, kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• funkcija narašča za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z in padajoče za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• sinusna funkcija ima lokalne maksimume v točkah π 2 + 2 π · k; 1 in lokalni minimumi v točkah - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• sinusna funkcija je konkavna, ko je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z in konveksno, ko je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• ni asimptot.

1. Kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf te funkcije se imenuje kosinusni val.

Opredelitev 19

Lastnosti kosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• najmanjša pozitivna perioda: T = 2 π;
• območje vrednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
• ta funkcija je soda, ker je y (- x) = y (x);
• funkcija narašča za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z in padajoče za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• kosinusna funkcija ima lokalne maksimume v točkah 2 π · k ; 1, k ∈ Z in lokalni minimumi v točkah π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
• kosinusna funkcija je konkavna, ko je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z in konveksen, ko je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• prevojne točke imajo koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
• ni asimptot.

1. Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf te funkcije se imenuje tangenta.

Opredelitev 20

Lastnosti funkcije tangente:

• domena definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• Obnašanje funkcije tangente na meji definicijskega področja lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Tako so premice x = π 2 + π · k k ∈ Z navpične asimptote;
• funkcija izniči, ko je x = π · k za k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• območje: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija narašča kot - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z in konveksno za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• prevojne točke imajo koordinate π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Funkcija kotangens: y = c t g (x)

Graf te funkcije se imenuje kotangentoid. .

Opredelitev 21

Lastnosti funkcije kotangens:

• domena definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , kjer je k ∈ Z (Z je množica celih števil);

Obnašanje kotangensne funkcije na meji definicijskega področja lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Tako so premice x = π · k k ∈ Z navpične asimptote;

• najmanjša pozitivna perioda: T = π;
• funkcija izniči, ko je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je množica celih števil);
• območje: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je padajoča za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
• funkcija kotangens je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z in konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• prevojne točke imajo koordinate π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Ni poševnih ali vodoravnih asimptot.

Vzvratno trigonometrične funkcije– to so arksinus, arkosinus, arktangens in arkotangens. Pogosto se zaradi prisotnosti predpone "lok" v imenu inverzne trigonometrične funkcije imenujejo ločne funkcije .

1. Arkus sinusna funkcija: y = a r c sin (x)

Opredelitev 22

Lastnosti funkcije arkusina:

• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija arkusina ima konkavnost pri x ∈ 0; 1 in konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
• prevojne točke imajo koordinate (0; 0), ki je tudi ničla funkcije;
• ni asimptot.

1. Arkus kosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Opredelitev 23

Lastnosti funkcije ark kosinus:

• domena definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
• območje: y ∈ 0 ; π;
• ta funkcija je splošne oblike (niti soda niti liha);
• funkcija je padajoča po celotni definicijski domeni;
• funkcija ark kosinusa ima konkavnost pri x ∈ - 1; 0 in konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
• prevojne točke imajo koordinate 0; π 2;
• ni asimptot.

1. Arktangens: y = a r c t g (x)

Opredelitev 24

Lastnosti funkcije arktangenta:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• območje vrednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ta funkcija je liha, saj je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija narašča po celotni domeni definicije;
• funkcija arktangensa ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] in konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
• prevojna točka ima koordinate (0; 0), ki je tudi ničla funkcije;
• horizontalne asimptote so ravne črte y = - π 2 pri x → - ∞ in y = π 2 pri x → + ∞ (na sliki so asimptote zelene črte).

1. Arkus tangens funkcija: y = a r c c t g (x)

Opredelitev 25

Lastnosti funkcije arkotangensa:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• obseg: y ∈ (0; π) ;
• ta funkcija je splošne oblike;
• funkcija je padajoča po celotni definicijski domeni;
• funkcija arc kotangens ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) in konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• prevojna točka ima koordinate 0; π 2;
• horizontalne asimptote so ravne črte y = π pri x → - ∞ (zelena črta na risbi) in y = 0 pri x → + ∞.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Funkcije y = ax, y = ax 2, y = a/x so posebne vrste potenčne funkcije pri n = 1, n = 2, n = -1 .

V primeru n delno število str/ q s sodim imenovalcem q in lihi števec r, nato vrednost ima lahko dva predznaka, graf pa ima še en del na dnu osi x X, in je simetričen na zgornji del.

Vidimo graf funkcije dveh vrednosti y = ±2x 1/2, tj. predstavljena s parabolo z vodoravno osjo.

Funkcijski grafi y = xn pri n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ti grafi gredo skozi točko (1; 1).

kdaj n = -1 dobimo hiperbola. pri n < - 1 Graf potenčne funkcije se najprej nahaja nad hiperbolo, tj. med x = 0 in x = 1, nato pa nižje (pri x > 1). če n> -1 gre graf obratno. Negativne vrednosti X in delne vrednosti n podobno za pozitivno n.

Vsi grafi so neomejeno aproksimirani na os x X, in na ordinatno os pri ne da bi se jih dotaknil. Zaradi podobnosti s hiperbolo se ti grafi imenujejo hiperbole n th naročilo.