Digitalna serija zlatega reza. Raziskovalno delo "uganka Fibonaccijevih števil." vsota kvadratov sosednjih števil bo Fibonaccijevo število, ki je dve poziciji za največjim izmed kvadriranih števil

Fibonaccijeva števila - elementi številčno zaporedje.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, pri čemer je vsako naslednje število enako vsoti prejšnjih dveh števil. Ime je dobilo ime po srednjeveškem matematiku Leonardu iz Pise (ali Fibonacciju), ki je živel in delal kot trgovec in matematik v italijanskem mestu Pisa. Je eden najbolj znanih evropskih znanstvenikov svojega časa. Med njegovimi največjimi dosežki je uvedba arabskih številk, ki so nadomestile rimske številke. Fn =Fn-1 +Fn-2

Matematični niz se asimptotično (to je, čedalje počasneje približuje) nagiba k konstantnemu razmerju. Vendar je ta odnos iracionalen; ima neskončno, nepredvidljivo zaporedje decimalnih vrednosti, ki se vrstijo za njim. Nikoli se ne da natančno izraziti. Če vsako število, ki je del serije, delimo s svojim predhodnikom (na primer 13-^8 ali 21 -IZ), je rezultat dejanja izražen v razmerju, ki niha okoli iracionalnega števila 1,61803398875, nekoliko več ali malo manj kot sosednja razmerja serije. Razmerje ne bo nikoli, v nedogled, natančno do zadnje številke (tudi z uporabo najmočnejših računalnikov, ustvarjenih v našem času). Zaradi jedrnatosti bomo kot Fibonaccijevo razmerje uporabili 1,618 in prosili bralce, naj bodo pozorni na to napako.

Fibonaccijeva števila imajo pomembno med izvajanjem analize pa Evklidski algoritem za določitev največjega skupnega delitelja dveh števil. Fibonaccijeva števila izhajajo iz formule za diagonalo Pascalovega trikotnika (binomski koeficienti).

Izkazalo se je, da so Fibonaccijeva števila povezana z "zlatim rezom".

Zlati rez so poznali že v starem Egiptu in Babilonu, v Indiji in na Kitajskem. kaj je " zlati rez"? Odgovor še vedno ni znan. Fibonaccijeva števila so resnično pomembna za teorijo prakse našega časa. Pomen se je povečal v 20. stoletju in traja še danes. Uporaba Fibonaccijevih števil v ekonomiji in računalništvu je k njihovemu študiju pritegnila množice ljudi.

Metodologija moje raziskave je bila sestavljena iz preučevanja strokovne literature in povzemanja prejetih informacij ter izvajanja lastne raziskave in ugotavljanja lastnosti števil in obsega njihove uporabe.

Med znanstveno raziskovanje definiral sam koncept Fibonaccijevih števil in njihovih lastnosti. Zanimive vzorce sem odkril tudi v živi naravi, neposredno v zgradbi sončničnih semen.

Na sončnici so semena razporejena v spirale, število spiral, ki gredo v drugo smer, pa je različno – so zaporedna Fibonaccijeva števila.

Ta sončnica ima 34 in 55.

Enako opazimo na plodovih ananasa, kjer je 8 in 14 spiralnih listov povezanih z edinstveno lastnostjo Fibonaccijevih števil.

Ulomki oblike a/b, ki ustrezajo vijačni razporeditvi listov krakov rastlinskega stebla, so pogosto razmerja zaporednih Fibonaccijevih števil. Pri leski je to razmerje 2/3, pri hrastu 3/5, pri topolu 5/8, pri vrbi 8/13 itd.

Če pogledamo razporeditev listov na rastlinskem steblu, lahko opazimo, da se med vsakim parom listov (A in C) tretji nahaja na zlatem rezu (B).

Druga zanimiva lastnost Fibonaccijevega števila je, da zmnožek in količnik dveh različnih Fibonaccijevih števil, razen ena, ni nikoli Fibonaccijevo število.

Kot rezultat raziskave sem prišel do naslednjih zaključkov: Fibonaccijeva števila so edinstvena aritmetična progresija, ki se je pojavil v 13. stoletju našega štetja. To napredovanje ne izgubi svoje pomembnosti, kar je bilo potrjeno med mojo raziskavo. Fibonaccijeva števila najdemo tudi v programiranju in gospodarskih napovedih, v slikarstvu, arhitekturi in glasbi. Slike takih znani umetniki, kako Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael in Botticelli skrivajo čarobnost zlatega reza. Tudi I. I. Šiškin je uporabil zlati rez v svoji sliki "Borov gozd".

Težko je verjeti, a zlati rez najdemo tudi v glasbenih delih velikih skladateljev, kot so Mozart, Beethoven, Chopin itd.

Fibonaccijeva števila najdemo tudi v arhitekturi. Na primer, zlati rez je bil uporabljen pri gradnji Partenona in katedrale Notre Dame

Ugotovil sem, da se Fibonaccijeva števila uporabljajo tudi pri nas. Na primer hišne obloge, pedimenti.

V vesolju je še veliko nerazrešene skrivnosti, od katerih je nekatere znanstvenikom že uspelo prepoznati in opisati. Fibonaccijeva števila in zlati rez so osnova za razkrivanje sveta okoli nas, konstruiranje njegove oblike in optimalne vizualna percepcija oseba, s pomočjo katere lahko občuti lepoto in harmonijo.

Zlati rez

Načelo določanja razsežnosti zlatega reza je osnova popolnosti celotnega sveta in njegovih delov v njegovi strukturi in funkcijah, njegova manifestacija je vidna v naravi, umetnosti in tehnologiji. Nauk o zlatem razmerju je nastal kot rezultat raziskav starodavnih znanstvenikov o naravi števil.

Temelji na teoriji o proporcih in razmerjih delitve segmentov, ki jo je postavil starodavni filozof in matematik Pitagora. Dokazal je, da bo pri razdelitvi segmenta na dva dela: X (manjši) in Y (večji) razmerje med večjim in manjšim enako razmerju njihove vsote (celoten segment):

Rezultat je enačba: x 2 - x - 1=0, ki se reši kot x=(1±√5)/2.

Če upoštevamo razmerje 1/x, potem je enako 1,618…

Dokazi o uporabi zlatega reza s strani starih mislecev so podani v Evklidovi knjigi "Elementi", napisani v 3. stoletju. pr. Kr., ki je to pravilo uporabil za konstrukcijo pravilnih petkotnikov. Med Pitagorejci velja ta lik za sveto, ker je hkrati simetrična in asimetrična. Pentagram je simboliziral življenje in zdravje.

Fibonaccijeva števila

Slavna knjiga Liber abaci italijanskega matematika Leonarda iz Pise, ki je kasneje postal znan kot Fibonacci, je izšla leta 1202. V njej znanstvenik prvič navaja vzorec števil, v nizu katerih je vsako število vsota 2 prejšnji števki. Zaporedje Fibonaccijevih števil je naslednje:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je navedel tudi številne vzorce:

• Vsako število iz serije, deljeno z naslednjim, bo enako vrednosti, ki teži k 0,618. Poleg tega prva Fibonaccijeva števila ne dajejo takšnega števila, a ko se premikamo od začetka zaporedja, bo to razmerje postajalo vedno bolj natančno.
• Če število iz niza delite s prejšnjim, bo rezultat hitel na 1,618.
• Eno število, deljeno z naslednjim z ena, bo pokazalo vrednost, ki se nagiba k 0,382.

Uporabo povezave in vzorcev zlatega reza, Fibonaccijevega števila (0,618) najdemo ne le v matematiki, ampak tudi v naravi, zgodovini, arhitekturi in gradbeništvu ter v mnogih drugih vedah.

Arhimedova spirala in zlati pravokotnik

Spirale, ki so v naravi zelo pogoste, je preučeval Arhimed in celo izpeljal njeno enačbo. Oblika spirale temelji na zakonih zlatega reza. Pri odvijanju se dobi dolžina, na katero se lahko nanašajo razmerja in Fibonaccijeva števila;

Vzporednico med Fibonaccijevimi števili in zlatim rezom lahko vidimo tako, da sestavimo "zlati pravokotnik", katerega stranice so sorazmerne kot 1,618:1. Zgrajena je tako, da od večjega pravokotnika prehajamo k manjšim, tako da so dolžine stranic enake številkam iz serije. Lahko se sestavi tudi v obratnem vrstnem redu, začenši s kvadratom "1". Ko vogale tega pravokotnika povežemo s črtami v središču njihovega presečišča, dobimo Fibonaccijevo ali logaritemsko spiralo.

Zgodovina uporabe zlatih razmerij

Številni starodavni arhitekturni spomeniki Egipta so bili zgrajeni z uporabo zlatih razmerij: znamenite piramide Keopsa in drugih Stara GrčijaŠiroko so jih uporabljali pri gradnji arhitekturnih objektov, kot so templji, amfiteatri in stadioni. Na primer, takšna razmerja so bila uporabljena pri gradnji starodavnega templja Partenona (Atene) in drugih predmetov, ki so postali mojstrovine starodavne arhitekture, ki dokazujejo harmonijo, ki temelji na matematičnih vzorcih.

V kasnejših stoletjih se je zanimanje za zlati rez poleglo, vzorci pa so bili pozabljeni, vendar se je ponovno pojavilo v renesansi s knjigo frančiškanskega meniha L. Paciolija di Borga »Božje razmerje« (1509). Vseboval je ilustracije Leonarda da Vincija, ki je uveljavil novo ime »zlati rez«. 12 lastnosti zlatega reza je bilo tudi znanstveno dokazanih, avtor pa je govoril o tem, kako se kaže v naravi, v umetnosti in ga poimenoval »princip gradnje sveta in narave«.

Vitruvijev človek Leonardo

Risba, ki jo je Leonardo da Vinci uporabil za ilustriranje Vitruvijeve knjige leta 1492, prikazuje človeško figuro v dveh položajih z rokami, razširjenimi na straneh. Lik je vpisan v krog in kvadrat. Ta risba velja za kanonična razmerja človeško telo(moški), ki jih je opisal Leonardo na podlagi njihovega preučevanja v razpravah rimskega arhitekta Vitruvija.

Središče telesa kot enako oddaljena točka od konca rok in nog je popek, dolžina rok je enaka višini osebe, največja širina ramen = 1/8 višine, razdalja od vrha prsi do las = 1/7, od vrha prsi do vrha glave = 1/6 itd.

Od takrat se risba uporablja kot simbol, ki prikazuje notranjo simetrijo človeškega telesa.

Leonardo je uporabil izraz "zlati rez" za označevanje proporcionalnih razmerij v človeški figuri. Na primer, razdalja od pasu do stopal je povezana z enako razdaljo od popka do vrha glave na enak način kot višina s prvo dolžino (od pasu navzdol). Ta izračun poteka podobno kot razmerje segmentov pri izračunu zlatega deleža in se nagiba k 1,618.

Vsa ta harmonična razmerja umetniki pogosto uporabljajo za ustvarjanje čudovitih in impresivnih del.

Raziskave zlatega reza v 16. do 19. stoletju

S pomočjo zlatega reza in Fibonaccijevih števil raziskave o proporcih potekajo že stoletja. Vzporedno z Leonardom da Vincijem se je nemški umetnik Albrecht Durer ukvarjal tudi z razvojem teorije pravilnih razmerij človeškega telesa. V ta namen je ustvaril celo poseben kompas.

V 16. stoletju Vprašanju povezave med Fibonaccijevim številom in zlatim rezom je bilo posvečeno delo astronoma I. Keplerja, ki je ta pravila prvi uporabil v botaniki.

V 19. stoletju je zlati rez pričakalo novo »odkritje«. z objavo »Estetske raziskave« nemškega znanstvenika profesorja Zeisiga. Ta razmerja je dvignil v absolut in izjavil, da so univerzalna za vse naravni pojavi. Izvedel je študije ogromnega števila ljudi, oziroma njihovih telesnih razmerij (približno 2 tisoč), na podlagi rezultatov katerih so sklepali o statistično potrjenih vzorcih v razmerjih različnih delov telesa: dolžine ramen, podlakti, roke, prsti itd.

Proučevali so tudi umetniške predmete (vaze, arhitekturne strukture), glasbene tone in velikosti pri pisanju pesmi - vse to je Zeisig prikazal skozi dolžine segmentov in števil, uvedel pa je tudi izraz "matematična estetika". Po prejemu rezultatov se je izkazalo, da je bila pridobljena Fibonaccijeva serija.

Fibonaccijevo število in zlati rez v naravi

V rastlinskem in živalskem svetu obstaja težnja po morfologiji v obliki simetrije, ki jo opazimo v smeri rasti in gibanja. Razdelitev na simetrične dele, v katerih so opaženi zlati proporci - ta vzorec je lasten številnim rastlinam in živalim.

Naravo okoli nas lahko opišemo s Fibonaccijevimi števili, na primer:

• lokacija listov ali vej katere koli rastline, kot tudi razdalje, so povezani z nizom danih števil 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 in tako naprej;
• sončnična semena (luske na stožcih, celice ananasa), razporejena v dveh vrstah vzdolž zvitih spiral v različnih smereh;
• razmerje dolžine repa in celotnega telesa kuščarja;
• oblika jajca, če narišete črto skozi njegov široki del;
• razmerje velikosti prstov na roki osebe.

In seveda najbolj zanimive oblike vključujejo spiralne polžje hišice, vzorce na pajkovi mreži, gibanje vetra v orkanu, dvojno vijačnico v DNK in strukturo galaksij – vse to vključuje Fibonaccijevo zaporedje.

Uporaba zlatega reza v umetnosti

Raziskovalci, ki iščejo primere uporabe zlatega reza v umetnosti, podrobno preučujejo različne arhitekturne objekte in umetnine. Znana so kiparska dela, katerih ustvarjalci so se držali zlatih proporcev - kipi olimpskega Zevsa, Apolona Belvedere in

Ena od stvaritev Leonarda da Vincija, "Portret Mona Lise", je že vrsto let predmet raziskav znanstvenikov. Ugotovili so, da je kompozicija dela v celoti sestavljena iz "zlatih trikotnikov", združenih v pravilno peterokotno zvezdo. Vsa da Vincijeva dela so dokaz o tem, kako globoko je bilo njegovo poznavanje zgradbe in proporcev človeškega telesa, zaradi česar mu je uspelo ujeti neverjetno skrivnosten nasmeh Mona Lise.

Zlati rez v arhitekturi

Kot primer so znanstveniki pregledali arhitekturne mojstrovine, ustvarjene po pravilih "zlatega reza": egipčanske piramide, Panteon, Partenon, katedralo Notre Dame de Paris, katedralo sv. Vasilija itd.

Partenon - ena najlepših zgradb v stari Grčiji (5. stoletje pr. n. št.) - ima 8 stebrov in 17 na različnih straneh, razmerje med njegovo višino in dolžino stranic je 0,618. Izbokline na njegovih fasadah so narejene v skladu z "zlatim rezom" (fotografija spodaj).

Eden od znanstvenikov, ki je izumil in uspešno uporabil izboljšavo modularnega sistema proporcev za arhitekturne objekte (tako imenovani »modulor«), je bil francoski arhitekt Le Corbusier. Modulator temelji na merilnem sistemu, ki je povezan s pogojno delitvijo na dele človeškega telesa.

Ruski arhitekt M. Kazakov, ki je zgradil več stanovanjskih zgradb v Moskvi, pa tudi stavbo senata v Kremlju in bolnišnico Golitsyn (zdaj 1. klinična po N. I. Pirogovu), je bil eden od arhitektov, ki so uporabili zakone pri načrtovanju in konstrukcija o zlatem rezu.

Uporaba razmerij v oblikovanju

Pri oblikovanju oblačil vsi modni oblikovalci ustvarjajo nove podobe in modele ob upoštevanju proporcev človeškega telesa in pravil zlatega reza, čeprav po naravi nimajo vsi ljudje idealnih proporcev.

Pri načrtovanju krajinskega oblikovanja in ustvarjanju tridimenzionalnih parkovnih kompozicij s pomočjo rastlin (dreves in grmovnic), fontan in majhnih arhitekturnih objektov je mogoče uporabiti tudi zakone "božanskih razmerij". Navsezadnje mora biti kompozicija parka usmerjena v ustvarjanje vtisa na obiskovalca, ki bo lahko prosto krmaril po njem in našel kompozicijsko središče.

Vsi elementi parka so v takšnih razmerjih, da s pomočjo geometrijske zgradbe, medsebojne lege, osvetlitve in svetlobe ustvarjajo vtis harmonije in popolnosti.

Uporaba zlatega reza v kibernetiki in tehniki

Zakoni zlatega reza in Fibonaccijevih števil se pojavljajo tudi pri energetskih prehodih, v procesih, ki se dogajajo z elementarni delci, komponente kemične spojine, V vesoljski sistemi, v genski strukturi DNK.

Podobni procesi se dogajajo v človeškem telesu, kar se kaže v bioritmih njegovega življenja, v delovanju organov, na primer možganov ali vida.

Algoritmi in vzorci zlatega razmerja se pogosto uporabljajo v sodobni kibernetiki in računalništvu. Ena od preprostih nalog, ki jih morajo rešiti programerji začetniki, je napisati formulo in določiti vsoto Fibonaccijevih števil do določenega števila s pomočjo programskih jezikov.

Sodobne raziskave teorije zlatega reza

Od sredine 20. stoletja je zanimanje za problematiko in vpliv zakonov zlatega proporca na človeško življenje strmo naraščalo s strani številnih znanstvenikov različnih strok: matematikov, etničnih raziskovalcev, biologov, filozofov, zdravstvenih delavcev, ekonomistov, glasbenikov. itd.

V ZDA je od sedemdesetih let prejšnjega stoletja začela izhajati revija The Fibonacci Quarterly, kjer so bila objavljena dela na to temo. V tisku se pojavljajo dela, v katerih se na različnih področjih znanja uporabljajo posplošena pravila zlatega reza in Fibonaccijeve serije. Na primer za kodiranje informacij, kemijske raziskave, biološke raziskave itd.

Vse to potrjuje sklepe starodavnih in sodobnih znanstvenikov, da je zlati delež večstransko povezan s temeljnimi vprašanji znanosti in se kaže v simetriji mnogih stvaritev in pojavov sveta okoli nas.

Skupaj z založbo "" objavljamo odlomek iz knjige prof uporabna matematika"Vodnik za ljubitelje matematike" Edwarda Sheinermana, posvečen nestandardnim vprašanjem fascinantne matematike, ugankam, vesolju števil in številk. Prevod iz angleščine Aleksej Ognjev.

To poglavje govori o znanih Fibonaccijevih številih: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 itd. Ta serija je dobila ime po Leonardu iz Pise, bolj znanem kot Fibonacci. Leonardo iz Pise (1170–1250) - eden prvih velikih matematikov srednjeveška Evropa. Fibonaccijev vzdevek pomeni "Bonaccijev sin". Avtor »Knjige o abaku«, ki razlaga decimalni številski sistem.

Kvadrati in domine

Začnimo z razporeditvijo kvadratkov in domin. Predstavljajmo si dolg vodoravni okvir z merami 1 x 10. Želimo ga popolnoma zapolniti s kvadratki 1 x 1 in 1 x 2 dominama, tako da ne puščamo nobene vrzeli. Tukaj je slika:

Vprašanje: na koliko načinov je to mogoče storiti?

Za udobje označimo število možnosti kot F10. Pregledati jih vse in jih nato prešteti je težko delo, polno napak. Veliko bolje je poenostaviti problem. Ne iščimo F10 takoj, začnimo s F1. Ne bi moglo biti lažje! Okvir 1 × 1 moramo zapolniti s kvadratki 1 × 1 in domino 1 × 2. Domine ne bodo ustrezale, zato je edina rešitev, da vzamemo eno polje. Z drugimi besedami, F1 = 1.

Zdaj pa poglejmo F2. Velikost okvirja je 1 × 2. Lahko ga napolnite z dvema kvadratoma ali eno domino. Torej obstajata dve možnosti in F2 = 2.

Naprej: na koliko načinov lahko zapolnite okvir 1 × 3? Prva možnost: trije kvadrati. Dve drugi možnosti: ena domina (dve ne ustrezata) in kvadrat na levi ali desni. Torej, F3 = 3. Še en korak: vzemite okvir 1 × 4, ki prikazuje vse možnosti polnjenja.

Našli smo pet možnosti, a kje je zagotovilo, da nismo česa zamudili? Obstaja način, da se preizkusite. Na levem koncu okvirja je lahko kvadrat ali domina. V zgornji vrstici na sliki so možnosti, ko je na levi kvadrat, v spodnji vrstici - ko je na levi domina.

Recimo, da je na levi kvadrat. Preostali del je treba zapolniti s kvadratki in domino. Z drugimi besedami, okvir morate zapolniti 1 × 3. To daje 3 možnosti, saj je F3 = 3. Če je na levi domina, je velikost preostalega dela 1 × 2 in obstajata dve možnosti za zapolni, ker je F2 = 2.

Torej imamo 3 + 2 = 5 možnosti in zagotovili smo, da je F4 = 5.

Zdaj pa ti. Pomislite nekaj minut in poiščite vse možnosti polnjenja za okvir 1 × 5. Ni jih veliko. Rešitev je na koncu poglavja. Lahko si oddahnete in razmislite.

Vrnimo se k našim trgom. Rad bi verjel, da ste našli 8 možnosti, saj obstaja 5 načinov polaganja, s kvadratom na levi, in še 3 načini, z domino na levi. Tako je F5 = 8.

Naj povzamemo. Z FN označimo število načinov, kako zapolniti okvir 1 × n s kvadratki in dominami. Najti moramo F10. Tole že vemo:

Gremo dalje. Čemu je enako F6? Lahko narišete vse možnosti, vendar je dolgočasno. Bolje je, da vprašanje razdelite na dva dela. Na koliko načinov je mogoče zapolniti okvir 1 × 6, če je na levi (a) kvadrat in (b) domina? Dobra novica: odgovor že poznamo! V prvem primeru nam ostane pet kvadratkov in vemo, da je F5 = 8. V drugem primeru moramo izpolniti štiri kvadratke; vemo, da je F4 = 5. Torej je F5 + F4 = 13.

Čemu je enako F7? Na podlagi istih premislekov je F7 =F6+F5=13+8=21. Kaj pa F8? Očitno je F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. In tako naprej. Ugotovili smo naslednje razmerje: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Še nekaj korakov in našli bomo zahtevano številko F10. Pravilen odgovor je na koncu poglavja.

Fibonaccijeva števila

Fibonaccijeva števila so zaporedje:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Zgrajena je po naslednjih pravilih:

— prvi dve številki sta 1 in 1;

— vsako naslednje število dobimo tako, da seštejemo prejšnji dve.

Označili bomo n-ti element zaporedja Fn, začenši od nič: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Naslednji element izračunamo po formuli: Fn = Fn -1 + Fn-2.

Kot lahko vidimo, nas je problem zlaganja kvadratov in domin pripeljal do Fibonaccijevega zaporedja števil [ 1 ]Pri problemu kvadratov in domin smo ugotovili, da je F1 = 1 in F2 = 2. Toda Fibonaccijeva števila se začnejo s F0 = 1. Kako se to ujema s pogoji problema? Na koliko načinov je mogoče zapolniti okvir 0 × 1 pod enakimi pogoji? Dolžina kvadrata in dolžina domin sta navsezadnje večji od nič, zato je skušnjava reči, da je odgovor nič, vendar ni tako. Pravokotnik 0 × 1 je že zapolnjen, tam ni vrzeli; ne potrebujemo kvadrata ali domin. Tako obstaja samo en način ukrepanja: ne vzemite niti kvadrata niti domin. razumeš V tem primeru vam čestitam. Imaš matematično dušo!

Vsota Fibonaccijevih števil

Poskusimo sešteti prvih nekaj Fibonaccijevih števil. Kaj lahko rečemo o vsoti F0 + F1 +… + Fn za poljuben n? Naredimo nekaj izračunov in poglejmo, kaj bomo ugotovili. Upoštevajte spodnje rezultate dodajanja. Ali vidite vzorec? Vzemite si trenutek, preden greste naprej; bolje bo, če odgovor najdete sami, kot da preberete že pripravljeno rešitev.

Rad bi verjel, da ste videli, da se tudi rezultati seštevka, če jim prištejete enega, zvrstijo v zaporedju Fibonaccijevih števil. Če na primer seštejemo številke F0 do F5, dobimo: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Če seštejemo številke F0 do F6, dobimo 33, kateri je manjši od F8 = 34. Za nenegativna cela števila n lahko zapišemo formulo: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Verjetno bo za vas osebno dovolj, da vidite, da formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. deluje v ducatih primerih, da te prepriča, da je res, vendar so matematiki lačni dokazov. Z veseljem predstavljamo dva možna dokaza, da velja za vsa nenegativna cela števila n.

Prvi se imenuje dokaz z indukcijo, drugi pa kombinatorni dokaz.

Dokaz z indukcijo

formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. predstavlja neskončno število formul v strnjeni obliki. Dokaži, da [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. res za določeno vrednost n, recimo n = 6, je preprost aritmetični problem. Dovolj bo, da zapišete številke od F0 do F6 in jih seštejete: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.

Preprosto je videti, da je F8 = 34, torej formula deluje. Pojdimo na F7. Ne izgubljajmo časa s seštevanjem vseh števil: vsoto do F6 že poznamo. Tako je (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Kot prej, vse ustreza: F9 = 55.

Če zdaj začnemo preverjati, ali formula za n = 8 deluje, nam bo dokončno zmanjkalo moči. A vseeno poglejmo, kaj že vemo in kaj želimo izvedeti:

F0 +F1 +…+F7 =F9.

F0 +F1 +…+F7 +F7 =?

Uporabimo prejšnji rezultat: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Seveda lahko izračunamo (F9-1) + F8 aritmetično. A to nas bo še bolj utrudilo. Hkrati vemo, da je F8 + F9 = F10. Tako nam ni treba ničesar izračunati ali pogledati v tabelo Fibonaccijevih števil:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Preverili smo, da formula deluje za n = 8 na podlagi tega, kar smo vedeli o n = 7.

V primeru n = 9 se na enak način zanašamo na rezultat za n = 8 (to si oglejte sami). Seveda ob dokazani zvestobi [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. za n smo lahko prepričani, da [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. velja tudi za n + 1.

Pripravljeni smo dati popoln dokaz. Kot že rečeno, [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. predstavlja neskončno število formul za vse vrednosti n od nič do neskončnosti. Poglejmo, kako deluje dokaz.

Najprej dokažemo [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. v najpreprostejšem primeru za n = 0. Preprosto preverimo, da je F0 = F0+2 - 1. Ker je F0 = 1 in F2 = 2, je očitno 1 = 2 - 1 in F0 = F2-1.

Nadalje je dovolj, da pokažemo, da veljavnost formule za eno vrednost n (recimo n = k) samodejno pomeni, da je pravilna za n + 1 (v našem primeru n = k + 1). Le pokazati moramo, kako deluje "samodejno". Kaj moramo storiti?

Vzemimo neko število k. Predpostavimo, da že vemo, da je F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Iščemo vrednost F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.

Vsoto Fibonaccijevih števil do Fk že poznamo, zato dobimo:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.

Desna stran je enaka Fk+2 - 1 + Fk+1 in vemo, čemu je enaka vsota zaporednih Fibonaccijevih števil:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1

Nadomestimo v našo enakost:

(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1

Zdaj bom razložil, kaj smo naredili. Če vemo, da [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. res, ko seštejemo števila do Fk, potem [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. mora biti res, če dodamo Fk+1.

Naj povzamemo:

formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. velja za n = 0.

Če formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. velja za n, velja tudi za n + 1.

Z gotovostjo lahko trdimo, da [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. velja za vse vrednosti n. Ali je res [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. za n = 4987? To velja, če je izraz resničen za n = 4986, kar temelji na tem, da je izraz resničen za n = 4985, in tako naprej, dokler ni n = 0. Zato je formula [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. velja za vse možne vrednosti. Ta metoda dokazovanja je znana kot matematična indukcija (ali dokaz z indukcijo). Testiramo osnovni primer in ponudimo predlogo, s katero lahko vsak naslednji primer dokazujemo na podlagi prejšnjega.

Kombinatorni dokaz

Ampak tukaj je popolnoma drugačen dokaz identitete [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Osnovni pristop tukaj je, da izkoristimo dejstvo, da je število Fn število načinov, kako obložiti pravokotnik 1 × n s kvadratki in dominami.

Naj vas spomnim, da moramo dokazati:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

Ideja je obravnavati obe strani enačbe kot rešitev problema obloge. Če dokažemo, da levi in desna stran- rešitev za isti pravokotnik, bodo sovpadale med seboj. Ta tehnika se imenuje kombinatorni dokaz [ 2 ]Beseda »kombinatorika« izhaja iz samostalnika »kombinatorika«, imena veje matematike, katere predmet je štetje možnosti pri težavah, podobnih obrobljanju pravokotnika. Beseda "kombinatorika" pa izhaja iz besede "kombinacija"..

Za katero kombinatorično vprašanje velja enačba [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. poda dva pravilna odgovora? Ta uganka je podobna tistim na Jeopardy! [ 3 ]Priljubljen televizijski kviz v ZDA. Podobno kot Jeopardy! pojdi ven na različne države; v Rusiji je to "Lastna igra". - pribl. izd., kjer morajo udeleženci oblikovati vprašanje, pri čemer vnaprej poznajo pravilen odgovor.

Desna stran je videti preprostejša, zato začnimo tam. Odgovor: Fn+2– 1. Kakšno je vprašanje? Če bi bil odgovor preprosto Fn+2, bi lahko enostavno formulirali vprašanje: Na koliko načinov lahko s kvadrati in domino postavimo pravokotnik velikosti 1 × (n + 2)? To je skoraj tisto, kar potrebujete, vendar je odgovor en manj. Poskusimo nežno spremeniti vprašanje in zmanjšati odgovor. Odstranimo eno možnost obloge in preštejemo preostale. Težava je najti eno možnost, ki se radikalno razlikuje od ostalih. Ali obstaja kaj takega?

Vsaka metoda obloge vključuje uporabo kvadratov ali domin. V eni različici so vključeni samo kvadrati, v drugih je vsaj ena domina. Vzemimo to kot osnovo za novo vprašanje.

vprašanje: Koliko možnosti je za oblaganje pravokotnega okvirja 1 × (n + 2) s kvadratki in dominami, vključno z vsaj eno domino?

Zdaj bomo našli dva odgovora na to vprašanje. Ker bosta obe pravilni, lahko med številki z gotovostjo postavimo enačaj.

O enem od odgovorov smo že razpravljali. Obstajajo možnosti oblikovanja Fn+2. Samo eden od njih vključuje uporabo izključno kvadratov, brez domin. Tako je odgovor #1 na naše vprašanje: Fn+2– 1.

Drugi odgovor bi moral biti - upam - leva stran enačbe [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1.. Poglejmo, kako deluje.

Prešteti morate možnosti za polnjenje okvirja, ki vključujejo vsaj eno domino. Pomislimo, kje bo prva domina. Obstaja n+2 položajev, prva domina pa se lahko nahaja na položajih od 1 do n+1.

Razmislite o primeru n = 4. Iščemo možnosti za zapolnitev okvirja 1 × 6, ki vključuje vsaj eno domino. Odgovor poznamo: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, vendar ga moramo dobiti na drugačen način.

Prva domina lahko zasede naslednje položaje:

Prvi stolpec prikazuje primer, ko je domina na prvem mestu, drugi - ko je domina na drugem itd.

Koliko možnosti je v vsakem stolpcu?

Prvi stolpec vsebuje pet možnosti. Če spustimo domine na levi strani, dobimo natanko F4 = 5 možnosti za pravokotnik 1 × 4, ki ima tri možnosti. Zavrzimo domine in polje na levi. Dobimo F3 = 3 možnosti za pravokotnik 1 × 3. Podobno za druge stolpce. Tole smo ugotovili:

Tako je število načinov za oblaganje pravokotnega okvirja 1 × 6 s kvadrati in dominami (vsaj z eno domino) F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Zaključek: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.

Razmislimo o splošnem primeru. Podan nam je okvir dolžine n + 2. Koliko možnosti je za njegovo zapolnitev, v katerih je prva domina na nekem mestu k? V tem primeru prvih k - 1 položajev zasedajo polja. Tako je skupaj zasedeno k + 1 mesto [ 4 ]Število k lahko zavzame vrednosti od 1 do n + 1, vendar ne več, ker bo sicer zadnja domina štrlela iz okvirja.. Preostanek (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 lahko zapolnimo na kakršen koli način. To daje možnosti Fn-k+1. Sestavimo diagram:

Če se k spremeni od 1 do n + 1, se vrednost n - k + 1 spremeni od 0 do n. Tako je število možnosti za polnjenje našega okvirja z uporabo vsaj ene domine enako Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Če izraze postavimo v obratnem vrstnem redu, dobimo levo stran izraza (*). Tako smo našli drugi odgovor na zastavljeno vprašanje: F0 +F1 +…+Fn.

Na vprašanje imamo torej dva odgovora. Vrednosti, dobljene z uporabo dveh formul, ki smo jih izpeljali, sovpadajo in identiteta [ * ]F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. dokazano.

Fibonaccijevo razmerje in zlati rez

Če seštejemo dve zaporedni Fibonaccijevi številki, dobimo naslednje Fibonaccijevo število. V tem razdelku se bomo dotaknili bolj zanimivega vprašanja: kaj se zgodi, če delimo Fibonaccijevo število s tistim pred njim v seriji? Izračunajmo razmerje Fk1. Za naraščajoče vrednosti k.

V tabeli si lahko ogledate razmerja od F1/F0 do F20/19.

Višja kot so Fibonaccijeva števila, bližje je razmerje Fk+1/Fk konstanti, ki je približno enaka 1,61803. Ta številka - presenečeni boste - je precej znana in če jo vnesete v iskalnik, bo izpadlo veliko strani o zlatem rezu. kaj je Razmerje sosednjih Fibonaccijevih števil ni enako. Je pa skoraj enako, če so številke dovolj velike. Poiščimo formulo za število 1,61803 in za to bomo začasno predpostavili, da so vsa razmerja enaka. Vstavimo oznako x:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

To pomeni, da je Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 itd. Lahko preformuliramo:

Fk+2 =xFk+1=x2>Fk.

Vemo pa, da je Fk+2= Fk+1 + Fk. Tako je x2>FkFk = xFk + Fk.

Če obe strani delimo s Fk in prerazporedimo člene, dobimo kvadratna enačba: x2-x-1=0. Ima dve rešitvi:

Razmerje mora biti pozitivno. In zdaj imamo številko, ki nam je znana. Običajno se uporablja za označevanje zlatega reza grško pismoφ (fi):

Opazili smo že, da se razmerje sosednjih Fibonaccijevih števil približuje (stremi) k φ. To je neverjetno. To nam daje še en način za izračun približnih Fibonaccijevih števil. Zaporedje Fibonaccijevih števil je serija F0 F1, F2, F3, F4, F5... Če so vsa razmerja Fk+1/Fk enaka, dobimo formulo:

Tukaj z- še ena stalnica. Primerjajmo zaokrožene vrednosti Fn in φn za različne n:

Za velike vrednosti n razmerje Fn/ φn≈0,723607. To število je natančno enako φ/root5. Z drugimi besedami,

Upoštevajte, da če zaokrožimo na najbližje celo število, dobimo točno Fn.

Če se ne želite truditi z zaokroževanjem na najbližje celo število, formula, poimenovana po Jacquesu Binetu [ 5 ]Jacques Binet (1786–1856) - francoski matematik, mehanik in astronom. Formula za Fibonaccijeva števila je poimenovana po Binetu, čeprav jo je skoraj sto let prej izpeljal Abraham de Moivre (1667–1754). - pribl. vozni pas, vam bo dal natančno vrednost:

Polnilo okvirja 1×5

Naš okvir lahko napolnimo s kvadratki in dominami na naslednje načine:

Na voljo so F4 ​​= 5 možnosti, ko je polje na prvem mestu, in F3 = 3 možnosti, ko je domino na prvem mestu. Skupaj to daje F5 = F4 + F3 = 8 možnosti.

Vrednost F10(odgovor na naslednje vprašanje o stajlingu) je 89.

Pozdravljeni, dragi bralci!

Zlati rez - kaj je to? Fibonaccijeva števila so? Članek vsebuje odgovore na ta vprašanja na kratko in jasno, s preprostimi besedami.

Ta vprašanja že več tisočletij razburjajo misli vse več generacij! Izkazalo se je, da matematika morda ni dolgočasna, ampak razburljiva, zanimiva in fascinantna!

Drugi uporabni članki:

Kaj so Fibonaccijeva števila?

Neverjetno dejstvo je, da ko vsako naslednje število v številskem zaporedju delimo s prejšnjim rezultat je število, ki se nagiba k 1,618.

Srečnež je odkril to skrivnostno zaporedje srednjeveški matematik Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci). Pred njim Leonardo da Vinci odkrili presenetljivo ponavljajoče se razmerje v strukturi človeškega telesa, rastlin in živali Phi = 1,618. Znanstveniki temu številu (1,61) pravijo tudi »Božje število«.

Pred Leonardom da Vincijem je bilo to zaporedje števil poznano v Starodavna Indija in stari Egipt. Egipčanske piramide zgrajena z uporabo proporcev Phi = 1,618.

A to še ni vse, se je izkazalo naravnih zakonov Zemlje in vesolja na nek nerazložljiv način se podrejajo strogim matematičnim zakonom Fidonaccijeva številčna zaporedja.

Na primer, tako lupina na Zemlji kot galaksija v vesolju sta zgrajeni z uporabo Fibonaccijevih števil. Velika večina cvetov ima 5, 8, 13 cvetnih listov. Fibonaccijeva števila delujejo povsod v sončnici, na rastlinskih steblih, v vrtinčastih oblakih, v vrtincih in celo na valutnih tečajih Forex.

Oglejte si preprosto in zabavno razlago Fibonaccijevega zaporedja in zlatega reza v tem KRATKEM VIDEU (6 minut):

Kaj je zlati rez ali božansko razmerje?

Torej, kaj je zlati rez ali zlati ali božanski delež? Fibonacci je tudi odkril, da zaporedje, ki sestavljena iz kvadratov Fibonaccijevih števil je tudi večja skrivnost. Poskusimo grafično predstavi zaporedje v obliki območja:

1², 2², 3², 5², 8²…

Če vstavite spiralo grafična podoba zaporedje kvadratov Fibonaccijevih števil, potem dobimo Zlati rez, po pravilih katerega je zgrajeno vse v vesolju, tudi rastline, živali, spirala DNK, človeško telo, ... Ta seznam lahko nadaljujemo v nedogled.

Zlati rez in Fibonaccijeva števila v naravi VIDEO

Predlagam ogled kratkega filma (7 minut), ki razkriva nekatere skrivnosti zlatega reza. Ko razmišljamo o Fibonaccijevem zakonu števil kot primarnem zakonu, ki ureja življenje in nežive narave, se postavlja vprašanje: Je ta idealna formula za makrokozmos in mikrokozmos nastala sama od sebe ali jo je nekdo ustvaril in uspešno uporabil?

Kaj menite o tem? Skupaj razmišljajmo o tej uganki in morda se ji približamo.

Resnično upam, da je bil članek koristen za vas in ste se naučili kaj je zlati rez * in Fibonaccijeva števila? Se vidimo spet na straneh bloga, naročite se na blog. Obrazec za prijavo je pod člankom.

Vsem želim veliko novih idej in navdiha za njihovo uresničitev!

Ugotovimo, kaj imajo skupnega staroegipčanske piramide, Mona Lisa Leonarda da Vincija, sončnica, polž, storž in človeški prsti?

Odgovor na to vprašanje se skriva v neverjetnih odkritih številkah Italijanski srednjeveški matematik Leonardo iz Pise, bolj znan pod imenom Fibonacci (rojen okrog 1170 - umrl po 1228), italijanski matematik . Na potovanju po vzhodu se je seznanil z dosežki arabske matematike; prispeval k njihovemu prenosu na Zahod.

Po njegovem odkritju so te številke začeli imenovati z imenom slavni matematik. Neverjetno bistvo Fibonaccijevega številskega zaporedja je to da je vsako število v tem zaporedju dobljeno iz vsote dveh prejšnjih števil.

Torej, številke, ki tvorijo zaporedje:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

se imenujejo "Fibonaccijeva števila", zaporedje samo pa se imenuje Fibonaccijevo zaporedje.

V Fibonaccijevih številih je ena zelo zanimiva lastnost. Pri deljenju poljubnega števila iz zaporedja s številom pred njim v nizu bo rezultat vedno vrednost, ki niha okoli iracionalne vrednosti 1,61803398875... in jo včasih preseže, včasih pa je ne doseže. (Približno iracionalno število, tj. število, katerega decimalna predstavitev je neskončna in neperiodična)

Še več, po 13. številki v zaporedju ta rezultat deljenja postane konstanten do neskončnosti niza ... V srednjem veku se je imenovala ta stalna številka deljenja Božansko razmerje, danes pa se imenuje zlati rez, zlato povprečje ali zlati delež . V algebri je to število označeno z grško črko fi (Ф)

Torej, Zlati rez = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Človeško telo in zlati rez

Umetniki, znanstveniki, modni oblikovalci, oblikovalci izdelujejo svoje izračune, risbe ali skice na podlagi razmerja zlatega reza. Uporabljajo meritve človeškega telesa, ki je prav tako ustvarjeno po principu zlatega reza. Leonardo Da Vinci in Le Corbusier sta pred ustvarjanjem svojih mojstrovin vzela parametre človeškega telesa, ustvarjenega po zakonu zlatega razmerja.

Najbolj glavna knjiga Za vse sodobne arhitekte referenčna knjiga E. Neuferta "Building Design" vsebuje osnovne izračune parametrov človeškega trupa, ki vsebujejo zlati delež.

Razmerja različnih delov našega telesa so številka, ki je zelo blizu zlatemu rezu. Če ta razmerja sovpadajo s formulo zlatega reza, se videz ali telo osebe šteje za idealno proporcionalno. Načelo izračuna zlate mere na človeškem telesu lahko prikažemo v obliki diagrama:

M/m=1,618

Prvi primer zlatega reza v zgradbi človeškega telesa:
Če za središče človeškega telesa vzamemo točko popka, za mersko enoto pa razdaljo med človekovim stopalom in točko popka, potem je višina človeka enaka številu 1,618.

Poleg tega obstaja še več osnovnih zlatih razmerij našega telesa:

* razdalja od konic prstov do zapestja do komolca je 1:1,618;

* razdalja od ravni ramen do vrha glave in velikost glave je 1:1,618;

* razdalja od popka do temena glave in od ravni ramen do temena glave je 1:1,618;

* razdalja popka do kolen in od kolen do stopal je 1:1,618;

* razdalja od konice brade do konice zgornje ustnice in od konice zgornje ustnice do nosnic je 1:1,618;

* razdalja od konice brade do zgornje črte obrvi in ​​od zgornje linije obrvi do temena je 1:1,618;

* razdalja od konice brade do zgornje črte obrvi in ​​od zgornje črte obrvi do temena je 1:1,618:

Zlati rez v potezah človeškega obraza kot merilo popolne lepote.

V strukturi človeških obraznih potez je tudi veliko primerov, ki so po vrednosti blizu formuli zlatega reza. Vendar ne hitite takoj po ravnilu, da bi izmerili obraze vseh ljudi. Ker natančna ujemanja z zlatim rezom po mnenju znanstvenikov in umetnikov, umetnikov in kiparjev obstajajo le pri ljudeh s popolno lepoto. Pravzaprav je natančna prisotnost zlatega razmerja na človekovem obrazu ideal lepote za človeški pogled.

Na primer, če seštejemo širino obeh sprednjih zgornjih zob in to vsoto delimo z višino zob, potem lahko po izračunu zlatega reza rečemo, da je struktura teh zob idealna.

Obstajajo tudi druge izvedbe pravila zlatega reza na človeškem obrazu. Tukaj je nekaj teh odnosov:

*Višina/širina obraza;

* Osrednja točka povezave ustnic z dnom nosu / dolžina nosu;

* višina obraza/razdalja od konice brade do središča, kjer se stikata ustnice;

*Širina ust/širina nosu;

* širina nosu / razdalja med nosnicama;

* Razdalja med zenicami / razdalja med obrvmi.

Človeška roka

Dovolj je le približati dlan in pozorno pogledati kazalec, pa boste v njem takoj našli formulo zlatega reza. Vsak prst naše roke je sestavljen iz treh falang.

* Vsota prvih dveh falang prsta glede na celotno dolžino prsta daje število zlatega reza (z izjemo palca);

* Poleg tega je tudi razmerje med sredincem in mezincem enako zlatemu rezu;

* Oseba ima 2 roki, prsti na vsaki roki so sestavljeni iz 3 falang (razen palca). Na vsaki roki je 5 prstov, torej skupaj 10, vendar je z izjemo dveh dvofalangnih palcev le 8 prstov ustvarjenih po principu zlatega reza. Medtem ko so vsa ta števila 2, 3, 5 in 8 števila Fibonaccijevega zaporedja:

Zlati rez v zgradbi človeških pljuč

Ameriški fizik B.D. West in dr. A.L. Goldberger je med fizikalnimi in anatomskimi študijami ugotovil, da zlati rez obstaja tudi v zgradbi človeških pljuč.

Posebnost bronhijev, ki sestavljajo človeška pljuča, je njihova asimetrija. Bronhi so sestavljeni iz dveh glavnih dihalnih poti, od katerih je ena (leva) daljša, druga (desna) pa krajša.

* Ugotovljeno je bilo, da se ta asimetrija nadaljuje v vejah bronhijev, v vseh manjših dihalnih poteh. Poleg tega je razmerje med dolžino kratkih in dolgih bronhijev tudi zlati rez in je enako 1:1,618.

Zgradba zlatega pravokotnega štirikotnika in spirale

Zlati rez je taka sorazmerna razdelitev odseka na neenake dele, pri kateri je ves odsek v razmerju do večjega dela, kakor je sam večji del v razmerju do manjšega; ali z drugimi besedami, manjši segment je večjemu tako kot večji celotnemu.

V geometriji so pravokotnik s tem razmerjem stranic imenovali zlati pravokotnik. Njegove dolge stranice so v razmerju do njegovih kratkih stranic v razmerju 1,168:1.

Veliko jih ima tudi Zlati pravokotnik neverjetne lastnosti. Zlati pravokotnik ima veliko nenavadnih lastnosti. Če iz zlatega pravokotnika izrežemo kvadrat, katerega stranica je enaka manjši stranici pravokotnika, spet dobimo zlati pravokotnik manjših dimenzij. Ta proces se lahko nadaljuje v nedogled. Ko nadaljujemo z rezanjem kvadratov, bomo na koncu dobili vedno manjše zlate pravokotnike. Poleg tega se bodo nahajali v logaritemski spirali, kar je pomembno pri matematičnih modelih naravnih objektov (na primer polžjih hišic).

Pol spirale leži na presečišču diagonal začetnega pravokotnika in prve navpične pravokotnice, ki jo režemo. Še več, diagonale vseh naslednjih padajočih zlatih pravokotnikov ležijo na teh diagonalah. Seveda je tu še zlati trikotnik.

Angleški oblikovalec in estetik William Charlton je izjavil, da se ljudem zdijo spiralne oblike prijetne za oko in jih uporabljajo že tisočletja, in to razložil takole:

"Všeč nam je videz spirale, ker jo vizualno zlahka pogledamo."

V naravi

* Pravilo zlatega reza, ki je osnova strukture spirale, se v naravi zelo pogosto pojavlja v stvaritvah neprimerljive lepote. Najočitnejši primeri so, da je spiralno obliko mogoče videti v razporeditvi sončničnih semen, borovih storžkov, ananasa, kaktusov, strukturi cvetnih listov vrtnic itd.;

* Botaniki so ugotovili, da se v razporeditvi listov na veji, sončničnih semenih ali borovih storžkih jasno kaže Fibonaccijeva serija, zato se kaže zakon zlatega reza;

Vsemogočni Gospod je za vsako svojo stvaritev določil posebno mero in ji dal sorazmernost, kar potrjujejo primeri, najdeni v naravi. Lahko navedemo veliko primerov, ko se proces rasti živih organizmov odvija v strogem skladu z obliko logaritemske spirale.

Vse vzmeti v spirali imajo enako obliko. Matematiki so ugotovili, da tudi s povečanjem velikosti vzmeti oblika spirale ostane nespremenjena. V matematiki ni druge oblike, ki bi imela enako edinstvene lastnosti kot spirala.

Struktura morskih školjk

Znanstveniki, ki so preučevali notranje in zunanja struktura lupin mehkužcev, ki živijo na dnu morij, je bilo navedeno:

»Notranja površina školjk je brezhibno gladka, zunanja površina pa je popolnoma prekrita s hrapavostjo in nepravilnostmi. Mehkužec je bil v lupini in za to je morala biti notranja površina lupine popolnoma gladka. Zunanji koti-zavoji lupine povečajo njeno trdnost, trdoto in s tem povečajo njeno trdnost. Popolnost in neverjetna inteligenca strukture lupine (polž) je neverjetna. Spiralna ideja školjk je popolna geometrijska oblika in je neverjetna v svoji izbrušeni lepoti."

Pri večini polžev, ki imajo lupine, lupina raste v obliki logaritemske spirale. Nobenega dvoma pa ni, da ta nerazumna bitja ne samo da nimajo pojma o logaritemski spirali, ampak nimajo niti najpreprostejšega matematičnega znanja, da bi si ustvarila spiralno lupino.

Toda kako so potem ta nerazumna bitja lahko sama določila in izbrala idealno obliko rasti in obstoja v obliki spiralne lupine? Ali bi lahko ta živa bitja, ki jih znanstveni svet imenuje primitivne oblike življenja, izračunala, da bi bila logaritemska oblika lupine idealna za njihov obstoj?

Seveda ne, saj takšnega načrta ni mogoče uresničiti brez pameti in znanja. A takšne inteligence nimajo ne primitivni mehkužci ne nezavedna narava, ki pa jo nekateri znanstveniki imenujejo kreator življenja na zemlji (?!)

Poskušati razložiti nastanek takšne, še tako primitivne oblike življenja z naključno kombinacijo določenih naravnih okoliščin, je milo rečeno absurdno. Jasno je, da je ta projekt zavestna stvaritev.

Biolog sir D'arky Thompson to vrsto rasti imenuje morske školjke "rastna oblika škratov."

Sir Thompson komentira:

»Ni enostavnejšega sistema od rasti morskih školjk, ki sorazmerno rastejo in se širijo ter ohranjajo enako obliko. Najbolj neverjetno je, da lupina raste, a nikoli ne spremeni oblike.«

Nautilusa, ki v premeru meri nekaj centimetrov, je največ zgovoren primer palčku podobna rast. S. Morrison ta proces rasti nautilusa opisuje takole, kar se zdi precej težko načrtovati tudi s človeškim umom:

»Znotraj lupine nautilusa je veliko predelkov - prostorov s pregradami iz biserne matice, sama lupina v notranjosti pa je spirala, ki se širi iz središča. Ko nautilus raste, v sprednjem delu školjke zraste še ena soba, vendar je tokrat večja od prejšnje, predelne stene sobe, ki ostane za njim, pa so prekrite s plastjo biserne matice. Tako se spirala ves čas sorazmerno širi.«

Tukaj je le nekaj vrst spiralnih lupin z logaritemskim vzorcem rasti v skladu z njihovimi znanstvenimi imeni:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Vsi odkriti fosilni ostanki školjk so imeli tudi razvito spiralno obliko.

Vendar pa logaritemsko obliko rasti najdemo v živalskem svetu ne le pri mehkužcih. Tudi rogovi antilop, divjih koz, ovnov in drugih podobnih živali se razvijejo v obliki spirale po zakonitostih zlatega reza.

Zlati rez v človeškem ušesu

V človeškem notranjem ušesu je organ, imenovan polž ("polž"), ki opravlja funkcijo prenosa zvočnih vibracij.. Ta kostna struktura je napolnjena s tekočino in ima tudi obliko polža, ki vsebuje stabilno logaritemsko spiralno obliko = 73º 43'.

Živalski rogovi in ​​okli se razvijajo v obliki spirale

Okle slonov in izumrlih mamutov, kremplji levov in kljuni papagajev so logaritemske oblike in spominjajo na obliko osi, ki se želi zaviti v spiralo. Pajki vedno pletejo svoje mreže v obliki logaritemske spirale. Spiralno obliko imajo tudi mikroorganizmi, kot je plankton (species globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae in trochida).

Zlati rez v zgradbi mikrokozmosa

Geometrijske oblike niso omejene le na trikotnik, kvadrat, peterokotnik ali šestkotnik. Če te figure na različne načine povežemo med seboj, dobimo novo tridimenzionalnost geometrijske oblike. Primeri tega so figure, kot sta kocka ali piramida. Vendar pa poleg njih obstajajo tudi druge tridimenzionalne figure, ki jih nismo srečali v vsakdanjem življenju, in katerih imena morda slišimo prvič. Med takimi tridimenzionalnimi figurami so tetraeder (pravilna štiristrana figura), oktaeder, dodekaeder, ikozaeder itd. Dodekaeder je sestavljen iz 13 peterokotnikov, ikozaeder iz 20 trikotnikov. Matematiki ugotavljajo, da se te številke matematično zelo enostavno transformirajo, njihova transformacija pa poteka v skladu s formulo logaritemske spirale zlatega reza.

V mikrokozmosu so tridimenzionalne logaritmične oblike, zgrajene po zlatih proporcih, vseprisotne . Na primer, veliko virusov ima tridimenzionalne geometrijska oblika ikozaeder. Morda najbolj znan med temi virusi je virus Adeno. Beljakovinska ovojnica virusa Adeno je sestavljena iz 252 enot beljakovinskih celic, razporejenih v določenem zaporedju. Na vsakem vogalu ikozaedra je 12 enot beljakovinskih celic v obliki peterokotne prizme in iz teh vogalov segajo koničaste strukture.

Zlati rez v strukturi virusov je bil prvič odkrit v petdesetih letih prejšnjega stoletja. znanstvenika z Birkbeck College London A. Klug in D. Kaspar. 13 Virus Polyo je prvi prikazal logaritemsko obliko. Izkazalo se je, da je oblika tega virusa podobna obliki virusa Rhino 14.

Postavlja se vprašanje, kako virusi tvorijo tako zapletene tridimenzionalne oblike, katerih struktura vsebuje zlati rez, ki jih je precej težko zgraditi celo naš človeški um? Odkritelj teh oblik virusov, virolog A. Klug, daje naslednji komentar:

»Z dr. Kasparjem sva pokazala, da je za sferično lupino virusa najbolj optimalna oblika simetrija, kot je oblika ikozaedra. Ta vrstni red minimizira število povezovalnih elementov ... Večina Buckminster Fullerjevih geodetskih hemisferičnih kock je zgrajena na podobnem geometrijskem principu. 14 Namestitev takšnih kock zahteva izredno natančen in podroben razlagalni diagram. Medtem ko nezavedni virusi sami zgradijo tako zapleteno lupino iz elastičnih, prožnih beljakovinskih celičnih enot.«