Fibonaccijeva števila. Zlati rez in Fibonaccijeva zaporedna števila. Kaj je zlati rez ali božansko razmerje

Fibonaccijevo zaporedje, ki je najbolj zaslovelo po filmu in knjigi Da Vincijeva šifra, je niz števil, ki ga je v trinajstem stoletju izpeljal italijanski matematik Leonardo iz Pise, bolj znan pod psevdonimom Fibonacci. Znanstveniki privrženci so opazili, da se formula, ki ji je podrejena ta vrsta števil, odraža v svetu okoli nas in odmeva druga matematična odkritja, s čimer nam odpira vrata v skrivnosti vesolja. V tem članku vam bomo povedali, kaj je Fibonaccijevo zaporedje, si oglejte primere, kako se ta vzorec prikazuje v naravi, in ga tudi primerjali z drugimi matematičnimi teorijami.

Oblikovanje in opredelitev pojma

Fibonaccijevo zaporedje je matematično zaporedje, v katerem je vsak element enak vsoti prejšnjih dveh. Označimo določen člen zaporedja z x n. Tako dobimo formulo, ki velja za celotno serijo: x n+2 = x n + x n+1. V tem primeru bo vrstni red zaporedja videti takole: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Naslednje število bo 55, saj je vsota 21 in 34 55. In tako naprej po istem principu.

Primeri v okolju

Če pogledamo rastlino, še posebej krono listov, opazimo, da cvetijo spiralno. Med sosednjimi listi se oblikujejo koti, ki nato tvorijo pravilno matematično zaporedje Fibonacci. Zahvaljujoč tej lastnosti prejme vsak posamezen list, ki raste na drevesu največja količina sončna svetloba in toplino.

Fibonaccijeva matematična uganka

Slavni matematik je svojo teorijo predstavil v obliki uganke. Sliši se takole. Par zajcev lahko postavite v zaprt prostor, da ugotovite, koliko parov zajcev se bo skotilo v enem letu. Glede na naravo teh živali, dejstvo, da je par vsak mesec sposoben proizvesti nov par in so pripravljeni na razmnoževanje po dveh mesecih, je na koncu dobil svojo znamenito serijo številk: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - ki prikazuje število novih parov zajcev v posameznem mesecu.

Fibonaccijevo zaporedje in proporcionalno razmerje

Ta serija ima več matematičnih odtenkov, ki jih je treba upoštevati. Čedalje počasneje (asimptotično) se približuje, teži k določenemu sorazmernemu razmerju. Vendar je neracionalno. Z drugimi besedami, gre za število z nepredvidljivim in neskončnim zaporedjem decimalna števila v ulomnem delu. Na primer, razmerje katerega koli elementa serije se giblje okoli številke 1,618, včasih jo presega, včasih pa jo doseže. Naslednji se po analogiji približa 0,618. Kar je obratno sorazmerno s številom 1,618. Če elemente delimo z ena, dobimo 2,618 in 0,382. Kot ste že razumeli, so tudi obratno sorazmerne. Dobljene številke se imenujejo Fibonaccijeva razmerja. Zdaj pa pojasnimo, zakaj smo izvedli te izračune.

Zlati rez

Vse predmete okoli sebe ločimo po določenih kriterijih. Eden od njih je oblika. Nekateri ljudje nas privlačijo bolj, nekateri manj, nekateri pa nam sploh niso všeč. Ugotovljeno je bilo, da simetričen in proporcionalen predmet človek veliko lažje zazna in vzbuja občutek harmonije in lepote. Celovita podoba vedno vključuje dele različnih velikosti, ki so med seboj v določenem razmerju. Od tu sledi odgovor na vprašanje, kaj imenujemo zlati rez. Ta koncept pomeni popolnost odnosov med celoto in deli v naravi, znanosti, umetnosti itd. Z matematičnega vidika razmislite o naslednjem primeru. Vzemimo poljubno dolg odsek in ga razdelimo na dva dela tako, da se manjši del nanaša na večjega, kot se vsota (dolžina celotnega odseka) nanaša na večjega. Torej, vzemimo segment z na vrednost ena. Njegov del A bo enako 0,618, drugi del b, se izkaže, da je enako 0,382. Tako izpolnjujemo pogoj zlatega reza. Razmerje segmentov črte c Za a je enako 1,618. In razmerje delov c in b- 2.618. Dobimo Fibonaccijeva razmerja, ki jih že poznamo. Zlati trikotnik, zlati pravokotnik in zlati kvader so zgrajeni po istem principu. Omeniti velja tudi, da je proporcionalno razmerje delov človeškega telesa blizu zlatemu rezu.

Je Fibonaccijevo zaporedje osnova vsega?

Poskusimo združiti teorijo zlatega reza in znamenito serijo italijanskega matematika. Začnimo z dvema kvadratoma prve velikosti. Nato na vrh dodajte še en kvadrat druge velikosti. Zraven narišimo enako figuro s stranico, ki je enaka vsoti prejšnjih dveh stranic. Podobno narišite kvadrat velikosti pet. In lahko nadaljujete s tem ad infinitum, dokler se ga ne naveličate. Glavna stvar je, da je velikost strani vsakega naslednjega kvadrata enaka vsoti velikosti stranic prejšnjih dveh. Dobimo niz mnogokotnikov, katerih dolžine strani so Fibonaccijeva števila. Te figure se imenujejo Fibonaccijevi pravokotniki. Narišimo gladko črto skozi vogale naših poligonov in dobimo ... Arhimedovo spiralo! Povečanje koraka dane figure je, kot je znano, vedno enakomerno. Če uporabite svojo domišljijo, lahko nastalo risbo povežete z lupino mehkužca. Od tu lahko sklepamo, da je Fibonaccijevo zaporedje osnova proporcionalnih, harmoničnih razmerij elementov v okoliškem svetu.

Matematično zaporedje in vesolje

Če natančno pogledate, lahko Arhimedovo spiralo (včasih eksplicitno, včasih prikrito) in posledično Fibonaccijevo načelo zasledite v mnogih znanih naravnih elementih, ki obdajajo človeka. Na primer, ista lupina mehkužca, socvetja navadnega brokolija, cvet sončnice, stožec iglavcev in podobno. Če pogledamo dlje, bomo videli Fibonaccijevo zaporedje v neskončnih galaksijah. Tudi človek, ki se zgleduje po naravi in ​​prevzema njene oblike, ustvarja predmete, v katerih je zaslediti omenjeni niz. Zdaj je čas, da se spomnimo zlatega reza. Skupaj s Fibonaccijevim vzorcem je mogoče zaslediti načela te teorije. Obstaja različica, da je Fibonaccijevo zaporedje nekakšen preizkus narave, da se prilagodi bolj popolnemu in temeljnemu logaritemskemu zaporedju zlatega reza, ki je skoraj enak, vendar nima začetka in je neskončen. Vzorec narave je tak, da mora imeti svojo referenčno točko, iz katere začne ustvarjati nekaj novega. Razmerje med prvimi elementi Fibonaccijevega niza je daleč od načel zlatega reza. Vendar dlje kot nadaljujemo, bolj se to neskladje zgladi. Če želite določiti zaporedje, morate poznati njegove tri elemente, ki sledijo drug za drugim. Za Zlato sekvenco sta dovolj dva. Ker je hkrati aritmetična in geometrijska progresija.

Zaključek

A vseeno se lahko na podlagi zgoraj navedenega vprašamo: »Od kod so te številke? Torej, zakaj je prišlo do neuspeha? Kaj se bo zgodilo potem?" Ko najdete odgovor na eno vprašanje, dobite naslednjega. Rešil sem – pojavita se še dva. Ko jih rešite, dobite še tri. Obravnali jih boste dobili pet nerešenih. Potem osem, nato trinajst, enaindvajset, štiriintrideset, petinpetdeset ...

je celovita manifestacija strukturne harmonije. Najdemo ga v vseh sferah vesolja v naravi, znanosti, umetnosti, vsem, s čimer človek pride v stik. Ko se je človeštvo enkrat seznanilo z zlatim pravilom, ga ni več izdalo.

Zagotovo ste se večkrat spraševali, zakaj je narava sposobna ustvariti tako osupljive harmonične strukture, ki navdušujejo in razveseljujejo oko. Zakaj umetniki, pesniki, skladatelji, arhitekti iz stoletja v stoletje ustvarjajo neverjetna umetniška dela. Kakšna je skrivnost in kateri zakoni so osnova teh harmoničnih bitij? Nihče ne more zagotovo odgovoriti na to vprašanje, vendar bomo v naši knjigi poskušali odgrniti tančico in vam povedati o eni od skrivnosti vesolja - zlatem rezu ali, kot ga tudi imenujejo, zlatem ali božanskem sorazmerju. Zlati rez se imenuje število PHI (Phi) v čast velikemu starogrškemu kiparju Phidiasu, ki je to število uporabljal v svojih skulpturah.

Znanstveniki že stoletja uporabljajo edinstvene matematične lastnosti številke PHI in te raziskave se nadaljujejo še danes. Ta številka je našla široko uporabo na vseh področjih sodobne znanosti, kar bomo poskušali popularizirati tudi na straneh. Obstajajo tudi številni fibonaccijevo zaporedje kaj je to Izvedeli boste še ...

Opredelitev zlatega reza

Najenostavnejša in najbolj jedrnata definicija zlatega reza je, da se majhen del nanaša na večji del, tako kot se velik del nanaša na celoto. Njegova približna vrednost je 1,6180339887. V zaokroženi odstotni vrednosti bodo deleži delov celote ustrezali 62% proti 38%. Ta odnos deluje v oblikah prostora in časa.

Starodavni so v zlatem rezu videli odsev kozmičnega reda, Johannes Kepler pa ga je označil za enega od zakladov geometrije. Sodobna znanost obravnava zlati rez kot asimetrično simetrijo in ga v širšem smislu imenuje univerzalno pravilo, ki odraža strukturo in red našega svetovnega reda.

Fibonaccijeva števila v zgodovini

Stari Egipčani so imeli predstavo o zlatih razmerjih, zanje so vedeli v Rusiji, prvič pa je zlati rez znanstveno razložil menih Luca Pacioli v knjigi Božansko razmerje, ilustracije za katero naj bi naredil Leonardo da Vinci. Pacioli je v zlatem rezu videl božansko trojico: mali del je poosebljal Sina, večji del Očeta, ves pa Svetega Duha.

Ime italijanskega matematika Leonarda Fibonaccija je neposredno povezano s pravilom zlatega reza. Kot rezultat reševanja enega od problemov je znanstvenik prišel do zaporedja števil, ki je danes znano kot Fibonaccijeva vrsta: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. Razmerje sosednjih števil Fibonaccijevega niza v meji teži k zlatemu rezu. Kepler je opozoril na odnos tega zaporedja do zlatega razmerja: Urejeno je tako, da se dva najnižja člena tega neskončnega razmerja seštejeta v tretji člen in katera koli dva zadnja člena, če sta dodana, dajeta naslednji mandat. Zdaj je Fibonaccijeva serija aritmetična osnova za izračun deležev zlatega reza v vseh njegovih pojavnih oblikah.

Veliko časa je posvetil tudi preučevanju značilnosti zlatega reza; najverjetneje temu pripada sam izraz. Njegove risbe stereometričnega telesa, ki ga sestavljajo pravilni peterokotniki, dokazujejo, da vsak pravokotnik, dobljen s prerezom, daje razmerje stranic v zlati razdelki.

Čez čas pravilo pravilo, odvisno od poudarka in konteksta, lahko pomeni naslednje: Pravilo - zahteva za izpolnjevanje določenih pogojev (za vedenje) s strani vseh udeležencev katerega koli dejanja (igra, Zlati rez je postal akademska rutina in šele filozof Adolf Zeising mu je leta 1855 dal drugo življenje. Razmerja zlatega odseka je pripeljal do absoluta, zaradi česar so univerzalni za vse pojave okoliškega sveta. Vendar je njegova matematična estetika povzročila veliko kritik.

Univerzalni kodeks narave

Tudi brez spuščanja v izračune je zlati rez in Fibonaccijeva števila zlahka najti v naravi. Torej, razmerje med repom in telesom kuščarja, razdalje med listi na veji padejo pod njim, je zlati rez v obliki jajca, če pogojna vrstica poteka skozi njegov najširši del.

Beloruski znanstvenik Eduard Soroko, ki je preučeval oblike zlatih delitev v naravi, je ugotovil, da je vse, kar raste in si prizadeva zavzeti svoje mesto v vesolju, obdarjeno z razmerji zlatega reza. Po njegovem mnenju je ena najbolj zanimivih oblik spiralno zvijanje.
Arhimed je ob upoštevanju spirale na podlagi njene oblike izpeljal enačbo, ki se še vedno uporablja v tehniki. Goethe je pozneje opazil gravitacijo narave materialni svet vesolja je v bistvu glavni predmet proučevanja naravoslovje do spiralnih oblik, pri čemer spiralo imenujemo krivulja življenja. Sodobni znanstveniki so ugotovili, da takšne manifestacije spiralnih oblik v naravi, kot so polžje lupine, razporeditev sončničnih semen, vzorci pajkove mreže, gibanje orkana, struktura DNK in celo struktura galaksij, vsebujejo Fibonaccijevo vrsto.

Formula zlatega reza

Modni oblikovalci in oblikovalci oblačil naredijo vse izračune na podlagi razmerja zlatega reza. Človek je univerzalen obliki lahko pomeni: Oblika predmeta - relativni položaj meja (konture) predmeta, predmeta, kot tudi relativni položaj točk na črti preizkusiti zakone zlatega reza. Seveda po naravi nimajo vsi ljudje idealnih razmerij, kar povzroča določene težave pri izbiri oblačil.

V dnevniku Leonarda da Vincija je risba golega moškega, vpisanega v krog, v dveh naloženih položajih. Na podlagi raziskav rimskega arhitekta Vitruvija je Leonardo podobno poskušal vzpostaviti razmerja človeško telo. Kasneje je francoski arhitekt Le Corbusier z uporabo Leonardovega Vitruvijskega človeka ustvaril lastno lestvico harmoničnih proporcev, ki je vplivala na estetiko arhitekture 20. stoletja.

Adolf Zeising je pri preučevanju sorazmernosti osebe opravil ogromno delo. Izmeril je približno dva tisoč človeških teles, pa tudi številne starodavne kipe in ugotovil, da zlati rez izraža povprečno statistično zakonitost. IN oseba živi, ​​inteligentni družbeni, subjekt družbenozgodovinske dejavnosti in kulture Njej podrejeni skoraj vsi deli telesa, vendar glavni indikator zlato nekaj iz zlata odseki so delitve telo V matematiki: Telo (algebra) - množica z dvema operacijama (seštevanje in množenje), ki ima določene lastnosti točka popka.
Kot rezultat meritev je raziskovalec ugotovil, da so razmerja moškega telesa 13:8 bližje zlatemu. razdelek izraz z več vrednostmi, ki pomeni: Prerez na risbi - za razliko od odseka, podoba le figure, ki nastane z razkosavanjem telesa z ravnino (ravninami), ne da bi prikazali dele za tem kot razmerje ženskega telesa 8:5.

Umetnost prostorskih oblik

Umetnik Vasilij Surikov je dejal, da v kompoziciji obstaja nespremenljiv zakon, ko na sliki ni mogoče ničesar odstraniti ali dodati, ne morete niti dati dodatne točke, to prava matematika. Umetniki so dolgo intuitivno sledili temu zakonu, a po Leonardo di ser Piero da Vinci (ital da Vinci, proces ustvarjanja slike ni več popoln brez rešitve geometrijske težave. Na primer Albrecht Durer za definicijo točke lahko pomeni: Točka - abstrakten objekt v prostoru, ki nima nobenih merljivih lastnosti razen koordinat Zlati rez je uporabil proporcionalni kompas, ki ga je izumil.

Umetnostni kritik F.V. Kovalev, ki je podrobno preučil sliko Nikolaja Geja Aleksandra Sergejeviča Puškina v vasi Mihajlovskoe, ugotavlja, da je vsaka podrobnost platna, naj bo to kamin, knjižna omara, fotelj ali sam pesnik, strogo vpisana v zlati proporci.

Raziskovalci zlatega reza neumorno preučujejo in merijo arhitekturne mojstrovine, češ da so to postale, ker so bile ustvarjene po zlatih kanonih: na njihovem seznamu so Velike piramide v Gizi, katedrala Notre Dame, katedrala sv. Vasilija in Partenon.
In danes v kateri koli umetnosti prostorskih oblik poskušajo slediti razmerjem zlatega reza, saj po mnenju umetnostnih kritikov olajšajo dojemanje dela in oblikujejo estetski občutek pri gledalcu.

Beseda, zvok in film

Forme začasne umetnosti nam na svoj način pokažejo princip zlate delitve. Literarni znanstveniki so na primer opazili, da je najbolj priljubljeno število vrstic v pesmih pozno obdobje Puškinova ustvarjalnost ustreza Fibonaccijevi seriji 5, 8, 13, 21, 34.

Pravilo zlatega reza velja tudi za posamezna dela ruskega klasika. Torej vrhunec Pikova dama je dramatičen prizor med Hermanom in grofico, ki se konča s smrtjo slednje. Zgodba ima 853 vrstic, vrhunec pa se zgodi v vrstici 535 (853:535 = 1,6), to je točka zlatega reza.

Sovjetski muzikolog E. K. Rosenov ugotavlja neverjetno natančnost razmerja zlatega reza v strogih in svobodnih oblikah del Johanna Sebastiana Bacha, kar ustreza premišljenemu, koncentriranemu, tehnično preverjenemu slogu mojstra. To velja tudi za izjemna dela drugih skladateljev, kjer se najbolj udarna ali nepričakovana glasbena rešitev običajno pojavi na točki zlatega reza.
Filmski režiser Sergej Eisenstein je scenarij svojega filma Bojna ladja Potemkin namenoma uskladil s pravilom zlatega reza in film razdelil na pet delov. V prvih treh delih se dogajanje odvija na ladji, v zadnjih dveh pa v Odesi. Prehod na prizore v mestu je zlata sredina filma.

Harmonija zlatega reza

Znanstveni in tehnološki napredek ima dolgo zgodovino in je potekal v svoji zgodovinski razvoj več stopenj (babilonska in staroegipčanska kultura, kultur Starodavna Kitajska in Starodavna Indija, starogrška kultura, srednji vek, renesansa, industrijska revolucija 18. stoletja, velikani znanstvena odkritja 19. stoletje, znanstvena in tehnološka revolucija 20. stoletja) in vstopili v 21. stoletje, ki odpira nova doba v zgodovini človeštva - doba Harmonije. Prav v antičnem obdobju je prišlo do številnih izjemnih matematičnih odkritij, ki so odločilno vplivala na razvoj materialne in duhovne kulture, vključno z babilonskim 60-mestnim številskim sistemom in položajnim principom predstavljanja števil, trigonometrijo in evklidsko geometrijo, nesorazmerni segmenti, zlati rez in Platonova telesa, principi teorije števil in teorije merjenja. In čeprav ima vsaka od teh stopenj svoje posebnosti, hkrati nujno vključuje vsebino predhodnih stopenj. To je kontinuiteta v razvoju znanosti. Nasledstvo lahko poteka v različnih oblikah. Ena bistvenih oblik njegovega izražanja so temeljne znanstvene ideje, ki prežemajo vse stopnje znanstvenega in tehnološkega napredka ter vplivajo na različna področja znanost, umetnost, filozofija in tehnologija.

Kategorija takšnih temeljnih idej vključuje idejo o harmoniji, ki je povezana z zlatim rezom. Po mnenju B.G. Kuznecov, raziskovalec dela Alberta Einsteina, velikega fizika, je trdno verjel, da je znanost, še posebej fizika, vedno imela za svoj večni temeljni cilj. "najti objektivno harmonijo v labirintu opazovanih dejstev." O globoki veri izjemnega fizika v obstoj univerzalnih zakonov harmonije vesolja priča še en širok znan rek Einstein: "Religioznost znanstvenika je sestavljena iz navdušenega občudovanja zakonov harmonije."

V starogrški filozofiji je Harmonija nasprotovala kaosu in pomenila organizacijo vesolja, kozmosa. Sijajni ruski filozof Aleksej Losev glavne dosežke starih Grkov na tem področju ocenjuje takole:

»S Platonovega vidika in pravzaprav z vidika celotne antične kozmologije je svet nekakšna proporcionalna celota, podvržena zakonu harmonične delitve - zlatemu rezu ... Njihovi (stari Grki) ) sistem kozmičnih razsežnosti je v literaturi pogosto prikazan kot nenavaden rezultat nebrzdane in divje domišljije. Tovrstna razlaga razkriva protiznanstveno nemoč tistih, ki jo razglašajo. Vendar pa je ta zgodovinsko-estetski fenomen mogoče razumeti le v povezavi s celostnim razumevanjem zgodovine, torej z uporabo dialektično-materialistične ideje kulture in iskanja odgovora v potezah starodavne družbene eksistence.”

»Zakon zlate delitve mora biti dialektična nujnost. To je ideja, ki se je, kolikor vem, lotevam prvič.”, je pred več kot pol stoletja v zvezi z analizo prepričljivo govoril Losev kulturne dediščine stari Grki.

In tukaj je še ena izjava o zlatem rezu. Izdelan je bil v 17. stoletju in pripada sijajnemu astronomu Johannesu Keplerju, avtorju treh znanih »Keplerjevih zakonov«. Kepler je svoje občudovanje nad zlatim rezom izrazil z naslednjimi besedami:

»V geometriji sta dva zaklada - delitev segmenta v skrajnem in srednjem razmerju. Prvega lahko primerjamo z vrednostjo zlata, drugega lahko imenujemo dragi kamen.«

Naj spomnimo, da je starodavni problem delitve segmenta v ekstremnem in srednjem razmerju, ki je omenjen v tej izjavi, zlati rez!

Fibonaccijeva števila v znanosti

IN moderna znanost Obstaja veliko znanstvenih skupin, ki strokovno preučujejo zlati rez, Fibonaccijeva števila in njihove številne aplikacije v matematiki, fiziki, filozofiji, botaniki, biologiji, medicini in računalništvu. Mnogi umetniki, pesniki in glasbeniki pri svojem delu uporabljajo »princip zlatega reza«. V sodobni znanosti so bila narejena številna izjemna odkritja na podlagi Fibonaccijevih števil in zlatega reza. Odkritje »kvazikristalov«, ki ga je leta 1982 izvedel izraelski znanstvenik Dan Shechtman na podlagi zlatega reza in »pentagonalne« simetrije, ima za sodobno fiziko revolucionaren pomen. Preboj v sodobnih predstavah o naravi nastajanja bioloških objektov je v začetku 90. let naredil ukrajinski znanstvenik Oleg Bodnar, ki je ustvaril novo geometrijsko teorijo filotaksije. Beloruski filozof Eduard Soroko je oblikoval "Zakon strukturne harmonije sistemov", ki temelji na zlatem rezu in igra pomembno vlogo v procesih samoorganizacije. Zahvaljujoč raziskavam ameriških znanstvenikov Elliotta, Prechterja in Fisherja so Fibonaccijeva števila aktivno vstopila v poslovno sfero in postala osnova za optimalne strategije v poslovanju in trgovanju. Ta odkritja potrjujejo hipotezo ameriškega znanstvenika D. Winterja, vodje skupine "Planetary Heartbeats", po kateri na lastnostih dodekaedra ne temelji samo energijski okvir Zemlje, temveč tudi struktura vseh živih bitij. in ikozaeder - dve "platonski telesi", povezani z zlatim rezom. In končno, morda najpomembnejše, struktura DNK genetski kodživljenje, je štiridimenzionalni razvoj (vzdolž časovne osi) vrtečega se dodekaedra! Tako se izkaže, da je celotno vesolje - od Metagalaksije do žive celice - zgrajeno po enem principu - dodekaeder in ikozaeder, neskončno vpisana drug v drugega, ki se nahajata v razmerju zlatega reza!

Ukrajinski profesor in doktor znanosti Stakhov A.P. uspelo ustvariti nekaj. Bistvo te posplošitve je izjemno preprosto. Če podate nenegativno celo število p = 0, 1, 2, 3, ... in delite odsek "AB" s točko C v takšnem razmerju, da je:

to univerzalna formula Zlati rez je izraz:

xp + 1 = xp + 1

Ste že slišali, da matematiko imenujejo "kraljica vseh znanosti"? Se strinjate s to trditvijo? Dokler je matematika za vas niz dolgočasnih nalog v učbeniku, težko izkusite lepoto, vsestranskost in celo humor te vede.

Toda v matematiki obstajajo teme, ki pomagajo pri zanimivih opazovanjih stvari in pojavov, ki so nam skupni. In celo poskusite prodreti skozi tančico skrivnosti nastanka našega vesolja. Na svetu obstajajo zanimivi vzorci, ki jih je mogoče opisati z matematiko.

Predstavljamo Fibonaccijeva števila

Fibonaccijeva števila poimenovati elemente številskega zaporedja. V njej vsako naslednje število v nizu dobimo s seštevanjem dveh prejšnjih števil.

Primer zaporedja: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Lahko zapišete takole:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Niz Fibonaccijevih števil lahko začnete z negativnimi vrednostmi n. Poleg tega je zaporedje v tem primeru dvosmerno (to pomeni, da zajema negativna in pozitivna števila) in teži k neskončnosti v obe smeri.

Primer takšnega zaporedja: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula v tem primeru izgleda takole:

F n = F n+1 - F n+2 ali pa lahko naredite tole: F -n = (-1) n+1 Fn.

Kar zdaj poznamo kot »Fibonaccijeva števila«, so starodavni indijski matematiki poznali že dolgo preden so se začela uporabljati v Evropi. In s tem imenom je na splošno eno neprekinjeno zgodovinska anekdota. Začnimo z dejstvom, da se sam Fibonacci v svojem življenju nikoli ni imenoval Fibonacci - to ime se je začelo uporabljati za Leonarda iz Pise šele nekaj stoletij po njegovi smrti. Toda pogovorimo se o vsem po vrsti.

Leonardo iz Pise, znan kot Fibonacci

Sin trgovca, ki je postal matematik in pozneje dobil priznanje od potomcev kot prvi večji matematik v Evropi v srednjem veku. Nenazadnje tudi po zaslugi Fibonaccijevih števil (ki se, spomnimo, še niso tako imenovala). Kar je opisal v začetku 13. stoletja v svojem delu "Liber abaci" ("Abakova knjiga", 1202).

Z očetom sem potoval na Vzhod, Leonardo je študiral matematiko pri arabskih učiteljih (in v tistih časih so bili na tem področju in v mnogih drugih vedah ena izmed najboljši strokovnjaki). Prebiral je dela matematikov antike in stare Indije v arabskih prevodih.

Po temeljitem razumevanju vsega, kar je prebral, in s pomočjo svojega radovednega uma je Fibonacci napisal več znanstvenih razprav o matematiki, vključno z zgoraj omenjeno "Knjigo o abaku". Poleg tega sem ustvaril:

• "Practica geometriae" ("Praksa geometrije", 1220);
• "Flos" ("Cvet", 1225 - študija o kubičnih enačbah);
• "Liber quadratorum" ("Knjiga kvadratov", 1225 - problemi o nedoločenih kvadratnih enačbah).

Bil je velik ljubitelj matematičnih turnirjev, zato je v svojih razpravah veliko pozornosti namenil analizi različnih matematičnih problemov.

O Leonardovem življenju je ostalo zelo malo biografskih podatkov. Kar zadeva ime Fibonacci, pod katerim se je zapisal v zgodovino matematike, so mu ga dodelili šele v 19. stoletju.

Fibonacci in njegovi problemi

Po Fibonacciju ostaja veliko število problemi, ki so bili v naslednjih stoletjih zelo priljubljeni med matematiki. Ogledali si bomo problem zajca, ki je rešen s Fibonaccijevimi števili.

Zajci niso le dragoceno krzno

Fibonacci je postavil naslednje pogoje: obstaja par novorojenih kuncev (samec in samica) tako zanimive pasme, da redno (od drugega meseca naprej) dajejo potomce - vedno en nov par kuncev. Tudi, kot morda ugibate, samec in samica.

Ti pogojni zajci so nameščeni v zaprtem prostoru in se razmnožujejo z navdušenjem. Prav tako je določeno, da noben zajec ne pogine zaradi neke skrivnostne kunčje bolezni.

Izračunati moramo, koliko zajcev bomo dobili v enem letu.

• Na začetku 1 meseca imamo 1 par kuncev. Konec meseca se parijo.
• Drugi mesec - imamo že 2 para kuncev (par ima starše + 1 par je njihov potomec).
• Tretji mesec: Prvi par skoti nov par, drugi par se pari. Skupaj - 3 pari zajcev.
• Četrti mesec: Prvi par skoti nov par, drugi par ne izgublja časa in prav tako skoti nov par, tretji par se šele pari. Skupaj - 5 parov zajcev.

Število zajcev v n. mesec = število parov kuncev iz prejšnjega meseca + število parov novorojenčkov (parov kuncev je enako, kot je bilo parov kuncev 2 meseca pred tem). In vse to opisuje formula, ki smo jo že navedli zgoraj: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Tako dobimo ponavljajočo se (razlago o rekurzija- spodaj) številčno zaporedje. V katerem je vsako naslednje število enako vsoti prejšnjih dveh:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Zaporedje lahko nadaljujete dolgo časa: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ker pa smo določili določeno obdobje - leto, nas zanima rezultat, dobljen na 12. "potezi". Tisti. 13. člen zaporedja: 377.

Odgovor na nalogo: Če bodo izpolnjeni vsi navedeni pogoji, bo pridobljenih 377 kuncev.

Zelo zanimiva je ena izmed lastnosti Fibonaccijevega številskega zaporedja. Če vzamemo dva zaporedna para iz vrste in delimo večje število na manj, se bo rezultat postopoma približal zlati rez(več o tem si lahko preberete v nadaljevanju članka).

V matematičnem smislu, "meja odnosov a n+1 Za a n enak zlatemu rezu".

Več problemov teorije števil

1. Poiščite število, ki ga lahko delite s 7. Tudi če ga delite z 2, 3, 4, 5, 6, bo ostanek ena.
2. Najdi kvadratno število. Znano je, da če mu dodate 5 ali odštejete 5, boste spet dobili kvadratno število.

Predlagamo, da sami poiščete odgovore na ta vprašanja. Svoje možnosti nam lahko pustite v komentarjih k temu članku. In potem vam bomo povedali, ali so bili vaši izračuni pravilni.

Razlaga rekurzije

Rekurzija– definicija, opis, slika predmeta ali procesa, ki ta predmet ali proces vsebuje sam. To pomeni, da je v bistvu predmet ali proces del samega sebe.

Rekurzija se pogosto uporablja v matematiki in računalništvu ter celo v umetnosti in popularni kulturi.

Fibonaccijeva števila so določena z uporabo povratne relacije. Za številko n>2 n- e število je enako (n – 1) + (n – 2).

Razlaga zlatega reza

Zlati rez - delitev celote (na primer segmenta) na dele, ki so povezani po naslednjem principu: večji del je povezan z manjšim na enak način kot celotna vrednost (na primer vsota dveh segmentov) na večji del.

Prvo omembo zlatega reza najdemo pri Evklidu v njegovi razpravi »Elementi« (približno 300 pr. n. št.). V kontekstu konstruiranja pravilnega pravokotnika.

Izraz, ki ga poznamo, je leta 1835 v obtok uvedel nemški matematik Martin Ohm.

Če približno opišemo zlati rez, predstavlja sorazmerno delitev na dva neenaka dela: približno 62 % in 38 %. V številčnem smislu je zlati rez število 1,6180339887 .

Najdbe zlatega reza praktična uporaba V likovna umetnost(slike Leonarda da Vincija in drugih renesančnih slikarjev), arhitektura, kinematografija (»Bojna ladja Potemkin« S. Esensteina) in druga področja. Dolgo časa je veljalo, da je zlati rez najbolj estetski delež. To mnenje je še danes priljubljeno. Čeprav po rezultatih raziskav vizualno večina ljudi tega deleža ne dojema kot najuspešnejšo možnost in meni, da je preveč podolgovat (nesorazmeren).

• Dolžina odseka z = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Odnos z Za A = 1, 618.
• Odnos z Za b = 2,618

Zdaj pa se vrnimo k Fibonaccijevim številkam. Iz njegovega zaporedja vzemimo dva zaporedna člena. Večje število delite z manjšim in dobite približno 1,618. In zdaj uporabljamo isto večje število in naslednjega člana niza (tj. še večje število) - njuno razmerje je zgodnje 0,618.

Tukaj je primer: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 in 233/377 = 0,618

Mimogrede, če poskusite izvesti isti poskus s številkami z začetka zaporedja (na primer 2, 3, 5), nič ne bo delovalo. No, skoraj. Pravilo zlatega reza se skoraj ne upošteva za začetek zaporedja. Toda ko se premikate po seriji in se številke povečujejo, deluje odlično.

In da bi izračunali celotno serijo Fibonaccijevih števil, je dovolj poznati tri člene zaporedja, ki prihajajo drug za drugim. To lahko vidite sami!

Zlati pravokotnik in Fibonaccijeva spirala

Še ena zanimiva vzporednica med Fibonaccijevimi števili in zlatim rezom je tako imenovani »zlati pravokotnik«: njegove stranice so v razmerju 1,618 proti 1. A število 1,618 že vemo, kajne?

Na primer, vzemimo dva zaporedna člena Fibonaccijeve serije - 8 in 13 - in sestavimo pravokotnik z naslednjimi parametri: širina = 8, dolžina = 13.

In potem bomo veliki pravokotnik razdelili na manjše. Obvezen pogoj: dolžine stranic pravokotnikov morajo ustrezati Fibonaccijevim številom. Tisti. Dolžina stranic večjega pravokotnika mora biti enaka vsoti stranic obeh manjših pravokotnikov.

Kako je to storjeno na tej sliki (za udobje so številke podpisane z latiničnimi črkami).

Mimogrede, lahko zgradite pravokotnike v obratnem vrstnem redu. Tisti. začnite graditi s kvadratki s stranico 1. Na katerega se po zgoraj navedenem načelu dokončajo figure s stranicami, enako število Fibonacci. Teoretično je to mogoče nadaljevati v nedogled – navsezadnje je Fibonaccijev niz formalno neskončen.

Če vogale pravokotnikov, ki jih dobimo na sliki, povežemo z gladko črto, dobimo logaritemsko spiralo. Oziroma njen poseben primer je Fibonaccijeva spirala. Zanj je značilno predvsem to, da nima meja in ne spreminja oblike.

Podobno spiralo pogosto najdemo v naravi. Školjke so eden najbolj osupljivih primerov. Poleg tega imajo nekatere galaksije, ki jih lahko vidimo z Zemlje, spiralno obliko. Če ste pozorni na vremensko napoved na televiziji, ste morda opazili, da imajo cikloni podobno spiralno obliko, kadar jih fotografirate s satelitov.

Zanimivo je, da tudi vijačnica DNK upošteva pravilo zlatega reza - ustrezen vzorec je viden v intervalih njenih zavojev.

Takšna neverjetna "naključja" ne morejo vznemiriti umov in spodbuditi pogovor o določenem enotnem algoritmu, ki mu sledijo vsi pojavi v življenju vesolja. Zdaj razumete, zakaj se ta članek tako imenuje? In kakšna vrata čudoviti svetovi Vam lahko matematika odpre stvari?

Fibonaccijeva števila v naravi

Povezava med Fibonaccijevimi števili in zlatim rezom kaže na zanimive vzorce. Tako radoveden, da je skušnjava poskusiti najti zaporedja, podobna Fibonaccijevim številom, v naravi in ​​celo med zgodovinski dogodki. In narava res daje povod za takšne domneve. Toda ali je mogoče vse v našem življenju razložiti in opisati z matematiko?

Primeri živih bitij, ki jih je mogoče opisati s Fibonaccijevim zaporedjem:

• razporeditev listov (in vej) v rastlinah - razdalje med njimi so v korelaciji s Fibonaccijevimi števili (filotaksija);

• postavitev sončničnih semen (semena so razporejena v dveh vrstah spiral, zavitih v različne smeri: ena vrsta v smeri urinega kazalca, druga v nasprotni smeri urinega kazalca);

• ureditev lusk borovih storžev;
• cvetni listi;
• celice ananasa;
• razmerje dolžin falang prstov na človeški roki (približno) itd.

Kombinatorični problemi

Fibonaccijeva števila se pogosto uporabljajo pri reševanju kombinatoričnih problemov.

Kombinatorika je veja matematike, ki preučuje izbiro določenega števila elementov iz določene množice, naštevanje itd.

Oglejmo si primere kombinatoričnih problemov, zasnovanih za raven srednja šola(vir - http://www.problems.ru/).

Naloga #1:

Lesha se povzpne po stopnišču z 10 stopnicami. Naenkrat skoči eno ali dve stopnici. Na koliko načinov se lahko Lesha povzpne po stopnicah?

Število načinov, na katere se lahko Lesha povzpne po stopnicah n korake, označimo in n. Iz tega sledi a 1 = 1, a 2= 2 (navsezadnje Lesha skoči en ali dva koraka).

Dogovorjeno je tudi, da Lesha skoči po stopnicah iz n> 2 koraki. Recimo, da je prvič preskočil dve stopnici. To pomeni, da mora glede na pogoje problema preskočiti drugega n – 2 koraki. Nato je število načinov za dokončanje vzpona opisano kot a n–2. In če predpostavimo, da je Lesha prvič preskočila le eno stopničko, potem opišemo število načinov za dokončanje vzpona kot a n–1.

Od tu dobimo naslednjo enakost: a n = a n–1 + a n–2(izgleda znano, kajne?).

Odkar vemo a 1 in a 2 in ne pozabite, da je glede na pogoje problema 10 korakov, izračunajte vse po vrsti a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Odgovor: 89 načinov.

Naloga št. 2:

Poiskati morate število besed, dolgih 10 črk, ki so sestavljene samo iz črk "a" in "b" in ne smejo vsebovati dveh črk "b" v vrsti.

Označimo z a nštevilo besed dolžina nčrke, ki so sestavljene samo iz črk »a« in »b« in ne vsebujejo dveh črk »b« v vrsti. pomeni, a 1= 2, a 2= 3.

V zaporedju a 1, a 2, <…>, a n vsakega njegovega naslednjega člana bomo izražali skozi predhodne. Zato je število besed dolžine nčrke, ki prav tako ne vsebujejo dvojne črke “b” in se začnejo na črko “a”, so a n–1. In če je beseda dolga nčrke se začnejo s črko "b", je logično, da je naslednja črka v takšni besedi "a" (navsezadnje ne moreta biti dva "b" glede na pogoje problema). Zato je število besed dolžine n v tem primeru črke označimo kot a n–2. Tako v prvem kot v drugem primeru je katera koli beseda (dolžina n – 1 in n – 2črke) brez dvojnega "b".

Znali smo utemeljiti, zakaj a n = a n–1 + a n–2.

Zdaj pa izračunajmo a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. In dobimo znano Fibonaccijevo zaporedje.

Odgovor: 144.

Naloga #3:

Predstavljajte si, da obstaja trak, razdeljen na celice. Gre v desno in traja neomejeno. Na prvi kvadratek traku postavite kobilico. Ne glede na to, na kateri celici traku je, se lahko premakne samo v desno: eno celico ali dve. Na koliko načinov lahko kobilica skoči z začetka posnetka na n-te celice?

Označimo, na koliko načinov premikamo kobilico po pasu n-th celic kot a n. V tem primeru a 1 = a 2= 1. Tudi v n+1 Kobilica lahko vstopi v -to celico bodisi iz n-to celico ali s skokom čeznjo. Od tukaj a n + 1 = a n – 1 + a n. kje a n = Fn – 1.

odgovor: Fn – 1.

Podobne probleme lahko ustvarite sami in jih poskusite rešiti pri urah matematike s sošolci.

Fibonaccijeva števila v popularni kulturi

Seveda tako nenavaden pojav, kot so Fibonaccijeva števila, ne more pritegniti pozornosti. V tem strogo preverjenem vzorcu je še vedno nekaj privlačnega in celo skrivnostnega. Ni presenetljivo, da je Fibonaccijevo zaporedje nekako "zasvetilo" v številnih delih moderne popularna kultura različnih žanrov.

Povedali vam bomo o nekaterih od njih. In spet poskušaš iskati samega sebe. Če ga najdete, ga delite z nami v komentarjih – tudi mi smo radovedni!

• Fibonaccijeva števila so omenjena v uspešnici Dana Browna Da Vincijeva šifra: Fibonaccijevo zaporedje služi kot koda, s katero glavni junaki knjige odprejo sef.
• V ameriškem filmu Gospod Nihče iz leta 2009 je v eni epizodi naslov hiše del Fibonaccijevega zaporedja - 12358. Poleg tega je v drugi epizodi glavni lik mora poklicati telefonsko številko, ki je v bistvu enaka, vendar nekoliko popačena ( dodatna številka za številko 5) zaporedje: 123-581-1321.
• V seriji "Connection" iz leta 2012 je glavni junak, deček z avtizmom, sposoben razbrati vzorce v dogodkih, ki se dogajajo v svetu. Tudi prek Fibonaccijevih števil. In upravljajte te dogodke tudi preko številk.
• Razvijalci iger Java za mobilni telefoni Doom RPG postavljen na eno od ravni skrivna vrata. Koda, ki jo odpre, je Fibonaccijevo zaporedje.
• Leta 2012 je ruska rock skupina Splin izdala konceptualni album "Optical Deception". Osma skladba se imenuje "Fibonacci". Verzi vodje skupine Aleksandra Vasiljeva igrajo na zaporedje Fibonaccijevih števil. Za vsakega od devetih zaporednih členov obstaja ustrezno število vrstic (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Vlak je odpeljal

1 En sklep je počil

1 En rokav se je tresel

2 To je to, vzemite stvari

To je to, vzemite stvari

3 Zahteva za vrelo vodo

Vlak vozi do reke

Vlak vozi skozi tajgo<…>.

• Limerick (kratka pesem posebne oblike - običajno pet vrstic, s posebnim rimanjem, humorne vsebine, v kateri se prva in zadnja vrstica ponavljata ali delno podvajata druga drugo) Jamesa Lyndona prav tako uporablja sklicevanje na Fibonaccija sekvenca kot šaljiv motiv:

Gosta hrana Fibonaccijevih žena

Bilo je samo v njihovo korist, nič drugega.

Žene so po govoricah tehtale,

Vsak je kot prejšnji dve.

Naj povzamemo

Upamo, da smo vam danes lahko povedali veliko zanimivega in koristnega. Na primer, zdaj lahko iščete Fibonaccijevo spiralo v naravi okoli vas. Morda boste prav vi tisti, ki boste lahko razvozlali »skrivnost življenja, vesolja in nasploh«.

Pri reševanju kombinatorike uporabite formulo za Fibonaccijeva števila. Lahko se zanesete na primere, opisane v tem članku.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Ta harmonija je osupljiva v svojem obsegu ...

Pozdravljeni prijatelji!

Ste že slišali kaj o božanski harmoniji ali zlatem rezu? Ste kdaj pomislili, zakaj se nam nekaj zdi idealno in lepo, nekaj pa nas odbija?

Če ne, potem ste uspešno prišli do tega članka, saj bomo v njem obravnavali zlati rez, izvedeli, kaj je, kako izgleda v naravi in ​​pri ljudeh. Pogovorimo se o njegovih načelih, ugotovimo, kaj je Fibonaccijeva vrsta in še veliko več, vključno s konceptom zlatega pravokotnika in zlate spirale.

Ja, v članku je veliko slik, formul, navsezadnje je zlati rez tudi matematika. Je pa vsega dovolj opisanega v preprostem jeziku, jasno. In na koncu članka boste izvedeli, zakaj imajo vsi tako radi mačke =)

Kaj je zlati rez?

Preprosto povedano, zlati rez je določeno pravilo razmerja, ki ustvarja harmonijo?. To pomeni, da če ne kršimo pravil teh razmerij, potem dobimo zelo harmonično kompozicijo.

Najobsežnejša definicija zlatega reza navaja, da je manjši del večjemu tako kot večji celotnemu.

Toda poleg tega je zlati rez matematika: ima določeno formulo in določeno število. Mnogi matematiki jo na splošno smatrajo za formulo božanske harmonije in jo imenujejo "asimetrična simetrija".

Zlati rez je dosegel naše sodobnike že od nekdaj Stara Grčija Obstaja pa mnenje, da so že sami Grki opazili zlati rez pri Egipčanih. Ker so mnoga umetniška dela starega Egipta očitno zgrajena po kanonih tega razmerja.

Menijo, da je bil Pitagora prvi, ki je predstavil koncept zlatega reza. Evklidova dela so preživela do danes (za gradnjo je uporabil zlati rez pravilni peterokotniki, zato se tak pentagon imenuje "zlati"), številka zlatega odseka pa je poimenovana po starogrškem arhitektu Phidiasu. Se pravi, to je naše število "phi" (označeno z grško črko φ) in je enako 1,6180339887498948482 ... Seveda je ta vrednost zaokrožena: φ = 1,618 ali φ = 1,62, v odstotkih pa je zlati rez izgleda kot 62 % in 38 %.

Kaj je edinstvenega v tem deležu (in verjemite mi, obstaja)? Najprej poskusimo to ugotoviti na primeru segmenta. Torej, vzamemo segment in ga razdelimo na neenake dele tako, da se njegov manjši del nanaša na večjega, tako kot se večji del nanaša na celoto. Razumem, še ni zelo jasno, kaj je kaj, poskusil bom bolj jasno ponazoriti na primeru segmentov:

Torej vzamemo odsek in ga razdelimo na dva druga, tako da se manjši odsek a nanaša na večji odsek b, tako kot se odsek b nanaša na celoto, torej na celotno premico (a + b). Matematično je to videti takole:

To pravilo deluje neomejeno; segmente lahko delite, kolikor želite. In poglejte, kako preprosto je. Glavna stvar je, da enkrat razumeš in to je to.

Zdaj pa poglejmo pobližje zapleten primer, ki se zelo pogosto pojavlja, saj je zlati rez predstavljen tudi v obliki zlatega pravokotnika (katerega razmerje stranic je φ = 1,62). To je zelo zanimiv pravokotnik: če od njega "odrežemo" kvadrat, bomo spet dobili zlat pravokotnik. In tako v nedogled. Glej:

Toda matematika ne bi bila matematika, če ne bi imela formul. Torej, prijatelji, zdaj bo malo "bolelo". Rešitev zlatega reza sem skril pod spojler; formul je veliko, vendar ne želim pustiti članka brez njih.

Fibonaccijeva vrsta in zlati rez

Še naprej ustvarjamo in opazujemo čarobnost matematike in zlatega reza. V srednjem veku je bil tak tovariš - Fibonacci (ali Fibonacci, povsod se piše drugače). Oboževal je matematiko in probleme, imel je tudi zanimiv problem z razmnoževanjem zajcev =) Ampak to ni bistvo. Odkril je številsko zaporedje, številke v njem se imenujejo "Fibonaccijeva števila".

Samo zaporedje izgleda takole:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... in tako naprej ad infinitum.

Z drugimi besedami, Fibonaccijevo zaporedje je zaporedje števil, kjer je vsako naslednje število enako vsoti prejšnjih dveh.

Kaj ima s tem zlati rez? Boš videl zdaj.

Fibonaccijeva spirala

Če želite videti in občutiti celotno povezavo med nizom Fibonaccijevih števil in zlatim rezom, morate znova pogledati formule.

Z drugimi besedami, od 9. člena Fibonaccijevega zaporedja začnemo pridobivati ​​vrednosti zlatega reza. In če si predstavljamo to celotno sliko, bomo videli, kako Fibonaccijevo zaporedje ustvarja pravokotnike vse bližje zlatemu pravokotniku. To je povezava.

Zdaj pa govorimo o Fibonaccijevi spirali, imenujemo jo tudi "zlata spirala".

Zlata spirala je logaritemska spirala, katere rastni koeficient je φ4, kjer je φ zlati rez.

Na splošno je z matematičnega vidika zlati rez idealno razmerje. Toda to je šele začetek njenih čudežev. Skoraj ves svet je podvržen načelom zlatega reza, to razmerje je ustvarila narava sama. Tudi ezoteriki v njem vidijo številčno moč. Toda o tem zagotovo ne bomo govorili v tem članku, zato se lahko naročite na posodobitve spletnega mesta, da ne bi ničesar zamudili.

Zlati rez v naravi, človeku, umetnosti

Preden začnemo, bi rad pojasnil številne netočnosti. Prvič, sama definicija zlatega reza v tem kontekstu ni povsem pravilna. Dejstvo je, da je sam koncept "odseka" geometrijski izraz, ki vedno označuje ravnino, ne pa zaporedja Fibonaccijevih števil.

In drugič, številske serije in razmerje med enim in drugim je seveda spremenjeno v nekakšno šablono, ki jo lahko uporabimo za vse, kar se zdi sumljivo, in smo lahko zelo veseli, ko so naključja, a vseeno ne gre izgubiti zdrave pameti .

Vendar je bilo »v našem kraljestvu vse pomešano« in eno je postalo sinonim za drugo. Torej na splošno pomen s tem ni izgubljen. Zdaj pa se lotimo posla.

Presenečeni boste, a zlati rez oziroma proporce, ki so mu čim bližje, je mogoče videti skoraj povsod, tudi v ogledalu. ne verjameš? Začnimo s tem.

Veste, ko sem se učil risati, so nam razlagali, kako lažje je zgraditi človekov obraz, njegovo telo in tako naprej. Vse je treba izračunati glede na nekaj drugega.

Vse, čisto vse je sorazmerno: kosti, naši prsti, dlani, razdalje na obrazu, razdalja iztegnjenih rok glede na telo itd. A tudi to še ni vse notranja struktura našega telesa, tudi ta, je enaka ali skoraj enaka formuli zlatega reza. Tukaj so razdalje in razmerja:

od ramen do temena do velikosti glave = 1:1,618

od popka do temena do segmenta od ramen do temena = 1:1,618

od popka do kolen in od kolen do stopal = 1:1,618

od brade do skrajna točka zgornja ustnica in od nje do nosu = 1:1,618

Ali ni to čudovito!? Harmonija v najčistejši obliki, tako znotraj kot zunaj. In zato se nam na neki podzavestni ravni nekateri ljudje ne zdijo lepi, četudi imajo močno, napeto telo, žametno kožo, lepe lase, oči itd., in vse ostalo. Ampak, vseeno, najmanjša kršitev proporcev telesa in videz že rahlo "boli oči."

Skratka, lepša kot se nam zdi oseba, bližje so njegova razmerja idealnim. In to, mimogrede, je mogoče pripisati ne le človeškemu telesu.

Zlati rez v naravi in ​​njeni pojavi

Klasičen primer zlatega reza v naravi je lupina mehkužca Nautilus pompilius in amonit. A to še ni vse, primerov je še veliko:

v kodrih človeškega ušesa lahko vidimo zlato spiralo;

enako (ali blizu) v spiralah, po katerih se vrtijo galaksije;

in v molekuli DNK;

Po Fibonaccijevem nizu je urejeno središče sončnice, rastejo storži, sredina cvetov, ananas in številni drugi sadeži.

Prijatelji, primerov je toliko, da bom video pustil tukaj (to je tik spodaj), da ne bi preobremenil članka z besedilom. Kajti če se poglobiš v to temo, se lahko poglobiš v takšno džunglo: že stari Grki so dokazali, da je vesolje in nasploh ves prostor načrtovan po načelu zlatega reza.

Presenečeni boste, vendar je ta pravila mogoče najti tudi v zvoku. Glej:

Najvišja točka zvoka, ki povzroča bolečino in nelagodje v naših ušesih, je 130 decibelov.

Delež 130 delimo z zlatim rezom φ = 1,62 in dobimo 80 decibelov - zvok človeškega krika.

Še naprej delimo sorazmerno in dobimo, recimo, normalno glasnost človeškega govora: 80 / φ = 50 decibelov.

No, zadnji zvok, ki ga dobimo zahvaljujoč formuli, je prijetno šepetanje = 2,618.

S pomočjo tega principa je mogoče določiti optimalno-udobne, minimalne in maksimalne vrednosti temperature, tlaka in vlažnosti. Nisem ga preizkusil in ne vem, kako resnična je ta teorija, vendar se strinjate, zveni impresivno.

Najvišjo lepoto in harmonijo lahko preberemo v popolnoma vsem živem in neživem.

Glavna stvar je, da se s tem ne zanesemo, kajti če želimo nekaj videti v nečem, bomo to videli, tudi če tega ni. Na primer, bil sem pozoren na dizajn PS4 in tam videl zlato razmerje =) Vendar je ta konzola tako kul, da me ne bi presenetilo, če bi oblikovalec res naredil nekaj pametnega tam.

Zlati rez v umetnosti

To je tudi zelo velika in obsežna tema, ki jo je vredno obravnavati ločeno. Tukaj bom omenil le nekaj osnovnih točk. Najbolj presenetljivo je, da so bila številna umetniška dela in arhitekturne mojstrovine antike (in ne samo) narejene po načelih zlatega reza.

Egipčanske in majevske piramide, Notre Dame de Paris, grški Partenon itd.

V glasbenih delih Mozarta, Chopina, Schuberta, Bacha in drugih.

V slikarstvu (to se tam dobro vidi): vse največ znane slike znani umetniki narejena ob upoštevanju pravil zlatega reza.

Ta načela najdemo v Puškinovih pesmih in v doprsnem kipu prelepe Nefertiti.

Tudi zdaj se pravila zlatega reza uporabljajo na primer v fotografiji. No, in seveda v vseh ostalih umetnostih, tudi v kinematografiji in oblikovanju.

Zlate Fibonaccijeve mačke

In končno, o mačkah! Ste se kdaj vprašali, zakaj imajo vsi tako radi mačke? Prevzeli so internet! Mačke so povsod in to je čudovito =)

In bistvo je, da so mačke popolne! ne verjameš? Zdaj vam bom to matematično dokazal!

vidiš Skrivnost je razkrita! Mačke so idealne z vidika matematike, narave in vesolja =)

*hecam se seveda. Ne, mačke so res idealne) Vendar jih verjetno nihče ni matematično izmeril.

To je v bistvu to, prijatelji! Se vidimo v naslednjih člankih. Vso srečo!

P.S. Slike povzete s media.com.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonaccijeva števila in zlati rez tvorijo osnovo za razkrivanje okoliškega sveta, konstruiranje njegove oblike in optimalnega vizualna percepcija oseba, s pomočjo katere lahko občuti lepoto in harmonijo.

Načelo določanja razsežnosti zlatega reza je osnova popolnosti celotnega sveta in njegovih delov v njegovi strukturi in funkcijah, njegova manifestacija je vidna v naravi, umetnosti in tehnologiji. Nauk o zlatem razmerju je nastal kot rezultat raziskav starodavnih znanstvenikov o naravi števil.

Dokazi o uporabi zlatega reza s strani starih mislecev so podani v Evklidovi knjigi "Elementi", napisani v 3. stoletju. pr. Kr., ki je to pravilo uporabil za konstrukcijo pravilnih petkotnikov. Med Pitagorejci velja ta lik za sveto, ker je hkrati simetrična in asimetrična. Pentagram je simboliziral življenje in zdravje.

Fibonaccijeva števila

Slavna knjiga Liber abaci italijanskega matematika Leonarda iz Pise, ki je kasneje postal znan kot Fibonacci, je izšla leta 1202. V njej znanstvenik prvič navaja vzorec števil, v nizu katerih je vsako število vsota 2 prejšnji števki. Zaporedje Fibonaccijevih števil je naslednje:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd.

Znanstvenik je navedel tudi številne vzorce:

Vsako število iz serije, deljeno z naslednjim, bo enako vrednosti, ki teži k 0,618. Poleg tega prva Fibonaccijeva števila ne dajejo takšnega števila, a ko se premikamo od začetka zaporedja, bo to razmerje postajalo vedno bolj natančno.

Če število iz niza delite s prejšnjim, bo rezultat hitel na 1,618.

Eno število, deljeno z naslednjim z ena, bo pokazalo vrednost, ki se nagiba k 0,382.

Uporabo povezave in vzorcev zlatega reza, Fibonaccijevega števila (0,618) najdemo ne le v matematiki, ampak tudi v naravi, zgodovini, arhitekturi in gradbeništvu ter v mnogih drugih vedah.

Za praktične namene so omejeni na približno vrednost Φ = 1,618 ali Φ = 1,62. V zaokroženi odstotni vrednosti je zlati rez delitev poljubne vrednosti v razmerju 62 % in 38 %.

Zgodovinsko se je zlati rez prvotno imenoval delitev odseka AB s točko C na dva dela (manjši odsek AC in večji odsek BC), tako da je za dolžine odsekov AC/BC veljalo = BC/AB. Govorjenje s preprostimi besedami, po zlatem rezu je segment razrezan na dva neenaka dela tako, da se manjši del nanaša na večjega, večji pa na celoten segment. Kasneje je bil ta koncept razširjen na poljubne količine.

Imenuje se tudi število Φ zlata številka.

Zlatega reza je veliko izjemne lastnosti, poleg tega pa mu pripisujejo številne fiktivne lastnosti.

Zdaj podrobnosti:

Definicija GS je razdelitev segmenta na dva dela v takšnem razmerju, da se večji del nanaša na manjšega, kot je njuna vsota (celoten segment) na večjega.

To pomeni, da če vzamemo celoten segment c kot 1, potem bo segment a enak 0,618, segment b - 0,382. Tako, če vzamemo stavbo, na primer tempelj, zgrajen po principu 3S, potem bo s svojo višino, recimo 10 metrov, višina bobna s kupolo 3,82 cm, višina baze pa struktura bo 6,18 cm (jasno je, da so številke vzete ravno zaradi jasnosti)

Kakšna je povezava med ZS in Fibonaccijevimi števili?

Fibonaccijeva zaporedna števila so:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Vzorec števil je, da je vsako naslednje število enako vsoti dveh prejšnjih števil.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 itd.,

razmerje sosednjih števil pa se približa razmerju ZS.
Torej, 21: 34 = 0,617 in 34: 55 = 0,618.

To pomeni, da GS temelji na številkah Fibonaccijevega zaporedja.

Verjame se, da je izraz "zlati rez" uvedel Leonardo Da Vinci, ki je rekel, "naj si nihče, ki ni matematik, ne upa brati mojih del" in prikazal proporce človeškega telesa na svoji znameniti risbi "Vitruvijev človek". ”. »Če človeško figuro - najpopolnejšo stvaritev vesolja - zavežemo s pasom in nato izmerimo razdaljo od pasu do nog, potem se bo ta vrednost nanašala na razdaljo od istega pasu do vrha glave, tako kot se celotna višina človeka nanaša na dolžino od pasu do stopal.”

Niz Fibonaccijevih števil je vizualno modeliran (materializiran) v obliki spirale.

In v naravi spirala GS izgleda takole:

Hkrati se spirala opazi povsod (v naravi in ​​​​ne samo):

Semena pri večini rastlin so razporejena v spiralo
- Pajek plete mrežo v spiralo
- Orkan se vrti kot spirala
- Prestrašena čreda severnih jelenov se razkropi v spirali.
- Molekula DNK je zavita v dvojno vijačnico. Molekula DNK je sestavljena iz dveh navpično prepletenih vijačnic, dolgih 34 angstromov in širokih 21 angstromov. V Fibonaccijevem zaporedju si sledita števili 21 in 34.
- Zarodek se razvija spiralno
- Kohlearna spirala v notranjem ušesu
- Voda teče v odtok v spirali
- Spiralna dinamika prikazuje razvoj človekove osebnosti in njegovih vrednot v spirali.
- In seveda, Galaksija sama ima obliko spirale

Tako lahko trdimo, da je narava sama zgrajena po principu zlatega reza, zato to razmerje bolj harmonično zaznava človeško oko. Ne zahteva "popravljanja" ali dodajanja nastale slike sveta.

Film. Božje število. Neovrgljiv dokaz Boga; Božje število. Neizpodbiten dokaz Boga.

Zlata razmerja v strukturi molekule DNA

Vse informacije o fiziološke značilnostiživa bitja so shranjena v mikroskopsko majhni molekuli DNK, katere struktura vsebuje tudi zakon zlatega razmerja. Molekula DNK je sestavljena iz dveh navpično prepletenih vijačnic. Dolžina vsake od teh spiral je 34 angstromov, širina pa 21 angstromov. (1 angstrom je stomilijontina centimetra).

21 in 34 sta števili, ki si sledita v zaporedju Fibonaccijevih števil, to pomeni, da razmerje med dolžino in širino logaritemske spirale molekule DNA nosi formulo zlatega reza 1:1,618.

Zlati rez v strukturi mikrokozmosa

Geometrijske oblike niso omejene le na trikotnik, kvadrat, peterokotnik ali šestkotnik. Če te figure na različne načine povežemo med seboj, dobimo novo tridimenzionalnost geometrijske oblike. Primeri tega so figure, kot sta kocka ali piramida. Vendar pa poleg njih obstajajo tudi druge tridimenzionalne figure, ki jih nismo srečali v vsakdanjem življenju, in katerih imena morda slišimo prvič. Med takimi tridimenzionalnimi figurami so tetraeder (pravilna štiristrana figura), oktaeder, dodekaeder, ikozaeder itd. Dodekaeder je sestavljen iz 13 peterokotnikov, ikozaeder iz 20 trikotnikov. Matematiki ugotavljajo, da se te številke matematično zelo enostavno transformirajo, njihova transformacija pa poteka v skladu s formulo logaritemske spirale zlatega reza.

V mikrokozmosu so vseprisotne tridimenzionalne logaritmične oblike, zgrajene po zlatih proporcih. Na primer, veliko virusov ima tridimenzionalno geometrijsko obliko ikozaedra. Morda najbolj znan med temi virusi je virus Adeno. Proteinska ovojnica virusa Adeno je sestavljena iz 252 enot beljakovinskih celic, razporejenih v določenem zaporedju. Na vsakem vogalu ikozaedra je 12 enot beljakovinskih celic v obliki peterokotne prizme in iz teh vogalov segajo koničaste strukture.

Zlati rez v strukturi virusov je bil prvič odkrit v petdesetih letih prejšnjega stoletja. znanstvenika z Birkbeck College London A. Klug in D. Kaspar. 13 Virus Polyo je prvi prikazal logaritemsko obliko. Izkazalo se je, da je oblika tega virusa podobna obliki virusa Rhino 14.

Postavlja se vprašanje, kako virusi tvorijo tako zapletene tridimenzionalne oblike, katerih struktura vsebuje zlati rez, ki jih je precej težko zgraditi celo naš človeški um? Odkritelj teh oblik virusov, virolog A. Klug, daje naslednji komentar:

»Z dr. Kasparjem sva pokazala, da je za sferično lupino virusa najbolj optimalna oblika simetrija, kot je oblika ikozaedra. Ta vrstni red minimizira število povezovalnih elementov ... Večina Buckminster Fullerjevih geodetskih hemisferičnih kock je zgrajena na podobnem geometrijskem principu. 14 Namestitev takšnih kock zahteva izredno natančen in podroben razlagalni diagram. Medtem ko nezavedni virusi sami zgradijo tako zapleteno lupino iz elastičnih, prožnih proteinskih celičnih enot.«