Dokaz izreka nasproten Vietovemu izreku. Vietov izrek za kvadratne in druge enačbe. Formulacija in dokaz Vietovega izreka

I. Vietov izrek za reducirano kvadratno enačbo.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 je enak drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Poiščite korenine dane kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka.

Primer 1) x 2 -x-30=0. To je zmanjšana kvadratna enačba ( x 2 +px+q=0), drugi koeficient p=-1, in brezplačen član q=-30. Najprej se prepričajmo, da ima ta enačba korene in da bodo koreni (če obstajajo) izraženi v celih številih. Za to je dovolj, da je diskriminant popoln kvadrat celega števila.

Iskanje diskriminante D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Po Vietovem izreku mora biti vsota korenin enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, tj. ( -str), produkt pa je enak prostemu členu, tj. ( q). Nato:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 =-30. Izbrati moramo dve števili, tako da je njun produkt enak -30 , znesek pa je enota. To so številke -5 in 6 . Odgovor: -5; 6.

Primer 2) x 2 +6x+8=0. Imamo pomanjšano kvadratno enačbo z drugim koeficientom p=6 in brezplačen član q=8. Prepričajmo se, da obstajajo celi koreni. Poiščimo diskriminanco D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminanta D 1 je popolni kvadrat števila 1 , kar pomeni, da so koreni te enačbe cela števila. Izberimo korenine z uporabo Vietovega izreka: vsota korenin je enaka –р=-6, produkt korenin pa je enak q=8. To so številke -4 in -2 .

Dejansko: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Odgovor: -4; -2.

Primer 3) x 2 +2x-4=0. V tej zmanjšani kvadratni enačbi je drugi koeficient p=2, in brezplačen član q=-4. Poiščimo diskriminanco D 1, saj je drugi koeficient sodo število. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant ni popoln kvadrat števila, zato ga imamo sklep: Koreni te enačbe niso cela števila in jih ni mogoče najti z uporabo Vietovega izreka. To pomeni, da to enačbo rešujemo, kot običajno, s pomočjo formul (v tem primeru s pomočjo formul). Dobimo:

Primer 4). Napiši kvadratno enačbo z njenimi koreni if x 1 =-7, x 2 =4.

rešitev. Zahtevana enačba bo zapisana v obliki: x 2 +px+q=0, in na podlagi Vietovega izreka –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potem bo enačba dobila obliko: x 2 +3x-28=0.

Primer 5). Zapišite kvadratno enačbo z njenimi koreni, če:

II. Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo ax 2 +bx+c=0.

Vsota korenin je minus b, deljeno z A, produkt korenin je enak z, deljeno z A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Primer 6). Poiščite vsoto korenin kvadratne enačbe 2x 2 -7x-11=0.

Tri števila 12x, x 2-5 in 4 v tem vrstnem redu tvorijo naraščajočo aritmetično progresijo https://youtu.be/U0VO_N9udpI Izberite pravilno trditev MATEMATIKA ZFTSH MIPT Moskovski inštitut za fiziko in tehnologijo (državna univerza) Dopisna šola za fiziko in tehnologijo. http://pin.it/9w-GqGp Poiščite vse x, y in z, tako da števila 5x + 3, y2 in 3z + 5 tvorijo aritmetično progresijo v tem vrstnem redu. Poiščite x in označite razliko te progresije. Rešite sistem enačb matematike enotnega državnega izpita. Video vadnice. Deljivost celih števil. Linearna funkcija. Težave z deljivostjo. Vietov izrek, obratni izrek, Vietove formule. pameten #študenti #enačbe #vietas_theorem #teorem Nato obravnavamo izrek, ki je nasproten Vietovemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj tipičnih primerov. To dokazuje prvo razmerje Vietovega izreka za vsoto korenin kvadratne enačbe. Preidimo na drugo. Kako dokazati nasprotje Vietovega izreka? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) =0 (x-M) ) (x-N) =0 x-M=0 x-N=0 x=M x=N CTD. Tako smo dokazali v specializiranem razredu z matematiko. Odgovori: pomoč pri razumevanju inverznega izreka Vietovega izreka zahvaljujoč posebnim primerom. Izrek, inverzni Vietovega izreka, pomaga rešiti rešitev: Če je koeficient a število, iz katerega je enostavno izluščiti kvadratni koren racionalnega celega števila, potem vsota x1 in x2 bo enaka številu. Dokaži inverzni izrek Vieta - poglej, kako se pritožiti nad dokazom Vietovega izreka. Formulirajte in dokažite Vietov izrek, pa tudi obratni izrek, ter uporabite izreke za reševanje enačb in problemov. Dokaži obratno Vietov izrek. Enotni državni izpit iz matematike za 100 točk: skrivnosti, ki vam jih učitelji ne povedo, težave z izpeljankami. Mnogi kandidati mislijo, da se jim ni treba pripravljati na prvih štirinajst težav, saj mislijo, da so zelo enostavne, vendar ni tako! Večina testirancev dela najpreprostejše aritmetične napake in s tem zasenči odlično rešitev nalog iz dela C. Takšne situacije se pojavljajo zelo pogosto, zato ni treba zanemariti priprave na prve naloge, ampak se pripravite, kot da ste na športnem tekmovanju. usposabljanje: če se prijavljate za 90-100 točk - vadite reševanje prvega bloka v 20-25 minutah, če za 70-80 točk - približno 30 minut, ne več. Odličen način urjenja je reševanje v spremstvu mentorja, pri predmetih, kjer bodo postavljeni določeni pogoji: na primer rešiš pred prvo napako, nato oddaš delo; Druga možnost je, da za vsako napako, ki jo naredite, daste denar v skupno blagajno. Ne glede na to, kako nenavadno se zdi, uradne spletne strani ne priporočamo, saj so vsi testi tam tako pomešani, da jih je nemogoče uporabiti. Oblikovanje nalog dela C je pomembno. Če rešitev ni skrbno pripravljena, bo potek reševanja naloge nejasen, zato bo izpraševalec zagotovo našel napako in vam znižal oceno. Zdi se, da smo govorili o zelo preprostih stvareh, a z upoštevanjem naših nasvetov boste zagotovili uspešno opravljen enotni državni izpit! Skrivne povezave, o katerih smo razpravljali v mojstrskem tečaju, najdete tukaj - to so povezave do video tečajev za pripravo na enotni državni izpit. Dobljeni rezultat se imenuje Vietov izrek. Za reducirani kvadratni trinom 2 x px q izgleda Vietov izrek takole: če obstajajo koreni, potem velja tudi obrat Vietovega izreka: če števila izpolnjujejo pogoje, potem so ta števila koreni enačbe. Dokaz tega izreka je eno izmed kontrolnih vprašanj naloge. Včasih se zaradi kratkosti oba Vietova izreka (direktni in inverzni) preprosto imenujeta Vietov izrek.

Vietov izrek

Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1) .
Potem je vsota korenin enaka koeficientu , vzetem z nasprotnim predznakom. Produkt korenov je enak prostemu členu:
;
.

Opomba o več koreninah

Če je diskriminant enačbe (1) enak nič, ima ta enačba en koren. Toda, da bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima v tem primeru enačba (1) dva večkratna ali enaka korena:
.

Prvi dokaz

Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.

Poiščite vsoto korenin:
.

Če želite najti izdelek, uporabite formulo:
.
Potem

.

Izrek je dokazan.

Dokaz dva

Če so števila korenine kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpiranje oklepaja.

.
Tako bo enačba (1) imela obliko:
.
Če primerjamo z (1), ugotovimo:
;
.

Izrek je dokazan.

Vietov obratni izrek

Naj bodo poljubna števila. Potem sta in korenini kvadratne enačbe
,
kje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietovega obratnega izreka

Razmislite o kvadratni enačbi
(1) .
Dokazati moramo, da če in , potem sta in korena enačbe (1).

Zamenjajmo (2) in (3) v (1):
.
Združimo člene na levi strani enačbe:
;
;
(4) .

Nadomestimo v (4):
;
.

Nadomestimo v (4):
;
.
Enačba drži. To pomeni, da je število koren enačbe (1).

Izrek je dokazan.

Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo

Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5) ,
kjer , in so nekatere številke. Poleg tega.

Razdelimo enačbo (5) z:
.
Se pravi, dobili smo dano enačbo
,
kje ; .

Potem ima Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.

Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato sta vsota in produkt korenin določena s formulami:
;
.

Vietov izrek za kubično enačbo

Na podoben način lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6) ,
kjer so , , , nekatera števila. Poleg tega.
Razdelimo to enačbo z:
(7) ,
Kje , , .
Naj bodo , , koreni enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem

.

Če primerjamo z enačbo (7), ugotovimo:
;
;
.

Vietov izrek za enačbo n-te stopnje

Na enak način lahko najdete povezave med koreni , , ... , , za enačbo n-te stopnje
.

Vietov izrek za enačbo n-te stopnje ima naslednjo obliko:
;
;
;

.

Za pridobitev teh formul zapišemo enačbo na naslednji način:
.
Nato izenačimo koeficiente za , , , ... in primerjamo prosti člen.

Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za 8. razred v splošnoizobraževalnih ustanovah, Moskva, Izobraževanje, 2006.

Vietov izrek se pogosto uporablja za preverjanje že najdenih korenin. Če ste našli korene, lahko uporabite formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), da izračunate vrednosti \(p \) in \(q\). In če se izkaže, da so enaki kot v prvotni enačbi, potem so korenine pravilno najdene.

Na primer, z uporabo rešimo enačbo \(x^2+x-56=0\) in dobimo korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Preverimo, ali smo pri reševanju naredili napako. V našem primeru \(p=1\) in \(q=-56\). Po Vietovem izreku imamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Obe trditvi sta se zbližali, kar pomeni, da smo enačbo pravilno rešili.

To preverjanje se lahko opravi ustno. Trajalo bo 5 sekund in vas bo rešilo pred neumnimi napakami.

Vietov obratni izrek

Če \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), potem sta \(x_1\) in \(x_2\) korena kvadratne enačbe \ (x^ 2+px+q=0\).

Ali na preprost način: če imate enačbo oblike \(x^2+px+q=0\), potem rešite sistem \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) boste našli njegove korenine.

Zahvaljujoč temu izreku lahko hitro najdete korenine kvadratne enačbe, še posebej, če so te korenine . Ta veščina je pomembna, saj prihrani veliko časa.

Primer . Rešite enačbo \(x^2-5x+6=0\).

rešitev : Z uporabo Vietovega obratnega izreka ugotovimo, da korenine izpolnjujejo pogoje: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Poglejte drugo enačbo sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Na kaj dvoje je mogoče razstaviti število \(6\)? Na \(2\) in \(3\), \(6\) in \(1\) ali \(-2\) in \(-3\) ter \(-6\) in \(- 1\). Prva enačba sistema vam bo povedala, kateri par izbrati: \(x_1+x_2=5\). \(2\) in \(3\) sta podobna, saj \(2+3=5\).
Odgovori : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Primeri . Z uporabo nasprotja Vietovega izreka poiščite korenine kvadratne enačbe:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

rešitev :
a) \(x^2-15x+14=0\) – na katere faktorje se razgradi \(14\)? \(2\) in \(7\), \(-2\) in \(-7\), \(-1\) in \(-14\), \(1\) in \(14\ ). Kateri pari števil dajejo \(15\)? Odgovor: \(1\) in \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – na katere faktorje se razgradi \(-4\)? \(-2\) in \(2\), \(4\) in \(-1\), \(1\) in \(-4\). Seštevek katerih parov števil je \(-3\)? Odgovor: \(1\) in \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na katere faktorje se razgradi \(20\)? \(4\) in \(5\), \(-4\) in \(-5\), \(2\) in \(10\), \(-2\) in \(-10\ ), \(-20\) in \(-1\), \(20\) in \(1\). Seštevek katerih parov števil je \(-9\)? Odgovor: \(-4\) in \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – na katere faktorje razpade \(780\)? \(390\) in \(2\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? št. Katere druge množitelje ima \(780\)? \(78\) in \(10\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? ja Odgovor: \(78\) in \(10\).

Zadnjega člena ni treba razširiti na vse možne dejavnike (kot v zadnjem primeru). Takoj lahko preverite, ali njihova vsota daje \(-p\).

Pomembno! Vietov izrek in obratni izrek delujeta samo z , to je tistim, za katerega je koeficient \(x^2\) enak ena. Če smo prvotno dobili nereducirano enačbo, jo lahko zmanjšamo tako, da preprosto delimo s koeficientom pred \(x^2\).

Na primer, naj bo podana enačba \(2x^2-4x-6=0\) in želimo uporabiti enega od Vietovih izrekov. Vendar ne moremo, saj je koeficient \(x^2\) enak \(2\). Znebimo se ga tako, da celotno enačbo delimo z \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

pripravljena Zdaj lahko uporabite oba izreka.

Odgovori na pogosto zastavljena vprašanja

vprašanje: Z uporabo Vietovega izreka lahko rešite katero koli ?
odgovor: Na žalost ne. Če enačba ne vsebuje celih števil ali enačba sploh nima korenin, potem Vietin izrek ne bo pomagal. V tem primeru morate uporabiti diskriminator . Na srečo ima 80 % enačb v šolski matematiki celoštevilske rešitve.

Med koreni in koeficienti kvadratne enačbe so poleg korenskih formul še druga uporabna razmerja, ki so navedena Vietov izrek. V tem članku bomo podali formulacijo in dokaz Vietovega izreka za kvadratno enačbo. Nato obravnavamo izrek, ki je nasproten Vietovemu izreku. Nato bomo analizirali rešitve najbolj tipičnih primerov. Na koncu zapišemo formule Vieta, ki določajo razmerje med pravimi koreninami algebrska enačba stopnja n in njeni koeficienti.

Navigacija po strani.

Vietov izrek, formulacija, dokaz

Iz formul za korene kvadratne enačbe a·x 2 +b·x+c=0 oblike, kjer je D=b 2 −4·a·c, sledijo razmerja: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Ti rezultati so potrjeni Vietov izrek:

Izrek.

če x 1 in x 2 sta korena kvadratne enačbe a x 2 +b x+c=0, potem je vsota korenin enaka razmerju koeficientov b in a, vzetih z nasprotnim predznakom, in zmnožku korenov je enako razmerju koeficientov c in a, to je .

Dokaz.

Dokaz Vietovega izreka bomo izvedli po naslednji shemi: z znanimi korenskimi formulami bomo sestavili vsoto in zmnožek korenov kvadratne enačbe, nato pa bomo dobljene izraze transformirali in poskrbeli, da bodo enaki − b/a oziroma c/a.

Začnimo z vsoto korenin in jo sestavimo. Sedaj spravimo ulomke na skupni imenovalec, imamo . V števcu dobljenega ulomka, po katerem:. Končno, po 2, dobimo . To dokazuje prvo razmerje Vietovega izreka za vsoto korenin kvadratne enačbe. Preidimo na drugo.

Sestavimo produkt korenov kvadratne enačbe: . Po pravilu množenja ulomkov lahko zadnji produkt zapišemo kot . Zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem v števcu, vendar je hitreje strniti ta produkt z formula kvadratne razlike, torej . Nato, ko se spomnimo, izvedemo naslednji prehod. In ker diskriminanta kvadratne enačbe ustreza formuli D=b 2 −4·a·c, potem lahko namesto D v zadnjem ulomku nadomestimo b 2 −4·a·c, dobimo. Ko odpremo oklepaje in prinesemo podobne člene, pridemo do ulomka , njegovo zmanjšanje za 4·a pa da . To dokazuje drugo razmerje Vietovega izreka za produkt korenin.

Če izpustimo razlago, bo dokaz Vietovega izreka dobil jedrnato obliko:
,
.

Opozoriti je treba le, da če je diskriminanta enaka nič, ima kvadratna enačba en koren. Če pa predpostavimo, da ima enačba v tem primeru dva enaka korena, veljajo tudi enakosti iz Vietovega izreka. Dejansko je, ko je D=0 koren kvadratne enačbe enak , potem in , in ker je D=0, to je b 2 −4·a·c=0, od koder je b 2 =4·a·c, potem .

V praksi se Vietov izrek najpogosteje uporablja v zvezi z zmanjšano kvadratno enačbo (z vodilnim koeficientom a enakim 1) oblike x 2 +p·x+q=0. Včasih je formulirana samo za kvadratne enačbe tega tipa, kar ne omejuje splošnosti, saj lahko katero koli kvadratno enačbo nadomestimo z enakovredno enačbo tako, da obe strani delimo z ničelnim številom a. Naj podamo ustrezno formulacijo Vietovega izreka:

Izrek.

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0 je enaka koeficientu pri x, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu, to je x 1 +x 2 = −p, x 1 x 2 = q.

Izrek je nasproten Vietovemu izreku

Druga formulacija Vietovega izreka, podana v prejšnjem odstavku, kaže, da če sta x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0, potem razmerja x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Po drugi strani pa iz zapisanih razmerij x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sledi, da sta x 1 in x 2 korenini kvadratne enačbe x 2 +p x+q=0. Z drugimi besedami, obratno od Vietovega izreka velja. Oblikujmo ga v obliki izreka in dokažimo.

Izrek.

Če sta števili x 1 in x 2 takšni, da je x 1 +x 2 =−p in x 1 · x 2 =q, potem sta x 1 in x 2 korenini reducirane kvadratne enačbe x 2 +p · x+q =0.

Dokaz.

Po zamenjavi koeficientov p in q v enačbi x 2 +p·x+q=0 z njunima izrazoma skozi x 1 in x 2 se le-ta pretvori v enakovredno enačbo.

V dobljeno enačbo namesto x nadomestimo število x 1 in dobimo enakost x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, ki za vsak x 1 in x 2 predstavlja pravilno numerično enakost 0=0, saj x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Zato je x 1 koren enačbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, kar pomeni, da je x 1 koren ekvivalentne enačbe x 2 +p·x+q=0.

Če v enačbi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zamenjamo število x 2 namesto x, dobimo enakost x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. To je prava enakost, saj x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Zato je x 2 tudi koren enačbe x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, in zato enačbe x 2 +p·x+q=0.

S tem je zaključen dokaz izreka, nasprotnega Vietovemu izreku.

Primeri uporabe Vietovega izreka

Čas je, da spregovorimo o praktični uporabi Vietovega izreka in njegovega obratnega izreka. V tem razdelku bomo analizirali rešitve več najbolj tipičnih primerov.

Začnimo z uporabo izreka v nasprotju z Vietovim izrekom. Primeren je za preverjanje, ali sta dani števili korenini dane kvadratne enačbe. V tem primeru se izračunata njuna vsota in razlika, nato pa se preveri veljavnost razmerij. Če sta obe razmerji izpolnjeni, potem na podlagi izreka, ki se konverzira z Vietovim izrekom, sklepamo, da so te številke korenine enačbe. Če vsaj eno od razmerij ni izpolnjeno, te številke niso korenine kvadratne enačbe. Ta pristop je mogoče uporabiti pri reševanju kvadratnih enačb za preverjanje najdenih korenin.

Primer.

Kateri od parov števil 1) x 1 =−5, x 2 =3 ali 2) ali 3) je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0?

rešitev.

Koeficienti podane kvadratne enačbe 4 x 2 −16 x+9=0 so a=4, b=−16, c=9. Po Vietovem izreku mora biti vsota korenov kvadratne enačbe enaka −b/a, to je 16/4=4, produkt korenin pa mora biti enak c/a, to je 9. /4.

Zdaj pa izračunajmo vsoto in zmnožek števil v vsakem od treh danih parov in ju primerjajmo z vrednostmi, ki smo jih pravkar dobili.

V prvem primeru imamo x 1 +x 2 =−5+3=−2. Dobljena vrednost je drugačna od 4, zato nadaljnjega preverjanja ni mogoče izvesti, vendar lahko z uporabo izreka, inverznega Vietovemu izreku, takoj sklepamo, da prvi par števil ni par korenov dane kvadratne enačbe.

Pojdimo k drugemu primeru. Tu je torej prvi pogoj izpolnjen. Preverimo drugi pogoj: dobljena vrednost se razlikuje od 9/4. Posledično drugi par števil ni par korenin kvadratne enačbe.

Ostala je še zadnja zadeva. Tukaj in. Oba pogoja sta izpolnjena, zato sta ti števili x 1 in x 2 korenini dane kvadratne enačbe.

odgovor:

Nasprotje Vietovega izreka lahko v praksi uporabimo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Običajno se izberejo celoštevilske korenine danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti, saj je v drugih primerih to precej težko narediti. V tem primeru uporabljajo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzetega z znakom minus, in je produkt teh števil enak prostemu členu, potem sta ti števili korenine te kvadratne enačbe. Razumejmo to s primerom.

Vzemimo kvadratno enačbo x 2 −5 x+6=0. Da sta števili x 1 in x 2 korenini te enačbe, morata biti izpolnjeni dve enakosti: x 1 + x 2 =5 in x 1 · x 2 =6. Vse, kar ostane, je izbrati takšne številke. V tem primeru je to precej enostavno narediti: takšni števili sta 2 in 3, saj je 2+3=5 in 2·3=6. Tako sta 2 in 3 korenini te kvadratne enačbe.

Izrek, inverzen Vietovemu izreku, je še posebej priročen za uporabo za iskanje drugega korena dane kvadratne enačbe, ko je eden od korenov že znan ali očiten. V tem primeru lahko drugi koren najdemo iz katere koli relacije.

Za primer vzemimo kvadratno enačbo 512 x 2 −509 x −3=0. Tukaj je enostavno videti, da je enota koren enačbe, saj je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Torej x 1 = 1. Drugi koren x 2 lahko najdemo na primer iz relacije x 1 ·x 2 =c/a. Imamo 1 x 2 =−3/512, iz česar je x 2 =−3/512. Tako smo določili oba korena kvadratne enačbe: 1 in −3/512.

Jasno je, da je izbira korenin priporočljiva le v najpreprostejših primerih. V drugih primerih lahko za iskanje korenin uporabite formule za korenine kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Druga praktična uporaba nasprotja Vietovega izreka je konstruiranje kvadratnih enačb glede na korena x 1 in x 2 . Za to je dovolj izračunati vsoto korenin, ki daje koeficient x z nasprotnim predznakom dane kvadratne enačbe, in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer.

Napišite kvadratno enačbo, katere korena sta števili −11 in 23.

rešitev.

Označimo x 1 =−11 in x 2 =23. Izračunamo vsoto in zmnožek teh števil: x 1 +x 2 =12 in x 1 ·x 2 =−253. Zato so navedene številke korenine reducirane kvadratne enačbe z drugim koeficientom −12 in prostim členom −253. To pomeni, da je x 2 −12·x−253=0 zahtevana enačba.

odgovor:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietov izrek se zelo pogosto uporablja pri reševanju problemov, povezanih z znaki korenin kvadratnih enačb. Kako je Vietin izrek povezan s predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +p·x+q=0? Tukaj sta dve ustrezni izjavi:

• Če je prosti člen q pozitivno število in če ima kvadratna enačba realne korene, potem sta oba pozitivna ali oba negativna.
• Če je prosti člen q negativno število in če ima kvadratna enačba realne korenine, potem sta njuna predznaka različna, z drugimi besedami, en koren je pozitiven, drugi pa negativen.

Te trditve izhajajo iz formule x 1 · x 2 =q ter pravil za množenje pozitivnih, negativnih števil in števil z različnimi predznaki. Oglejmo si primere njihove uporabe.

Primer.

R je pozitiven. Z diskriminantno formulo najdemo D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vrednost izraza r 2 +8 je pozitiven za vsak realni r, torej D>0 za kateri koli realni r. Posledično ima izvirna kvadratna enačba dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa ugotovimo, kdaj imajo korenine različne znake. Če so znaki korenin različni, je njihov produkt negativen, po Vietovem izreku pa je produkt korenin reducirane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Zato nas zanimajo tiste vrednosti r, pri katerih je prosti člen r−1 negativen. Torej, da bi našli vrednosti r, ki nas zanimajo, potrebujemo reši linearno neenačbo r−1<0 , откуда находим r<1 .

odgovor:

pri r<1 .

Vieta formule

Zgoraj smo govorili o Vietovem izreku za kvadratno enačbo in analizirali razmerja, ki jih uveljavlja. Vendar obstajajo formule, ki povezujejo resnične korenine in koeficiente ne samo kvadratnih enačb, ampak tudi kubičnih enačb, enačb četrte stopnje in na splošno, algebraične enačbe stopnja n. Imenujejo se Vietove formule.

Zapišimo formulo Vieta za algebraično enačbo stopnje n oblike in predpostavimo, da ima n realnih korenin x 1, x 2, ..., x n (med njimi so lahko tudi sovpadajoče):

Dobite lahko Vietove formule izrek o razgradnji polinoma na linearne faktorje, kot tudi definicija enakih polinomov skozi enakost vseh njihovih ustreznih koeficientov. Torej sta polinom in njegova razširitev na linearne faktorje oblike enaka. Z odpiranjem oklepajev pri zadnjem produktu in izenačenjem pripadajočih koeficientov dobimo Vietove formule.

Zlasti za n=2 imamo že znane Vieta formule za kvadratno enačbo.

Za kubično enačbo imajo Vietove formule obliko

Ostaja le opozoriti, da so na levi strani Vietovih formul tako imenovani elementarni simetrični polinomi.

Reference.

• Algebra: učbenik za 8. razred. splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. stopnje / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; uredil A. B. Žižčenko. - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.