Uvod

V matematiki in njenih aplikacijah v znanosti in tehnologiji se eksponentne funkcije pogosto uporabljajo. To je zlasti razloženo z dejstvom, da številni pojavi, ki jih proučujejo v naravoslovju, spadajo med tako imenovane procese organske rasti, v katerih so stopnje spreminjanja funkcij, ki so v njih vključene, sorazmerne z vrednostmi samih funkcij. .

Če ga označimo s funkcijo in z argumentom, lahko diferencialni zakon procesa organske rasti zapišemo v obliki, kjer je določen konstantni koeficient sorazmernosti.

Integracija te enačbe vodi do splošna odločitev kot eksponentna funkcija

Če nastavite začetni pogoj na, potem lahko določite poljubno konstanto in tako poiščete določeno rešitev, ki predstavlja integralni zakon obravnavanega procesa.

Procesi organske rasti vključujejo pod določenimi poenostavljenimi predpostavkami takšne pojave, kot je npr. atmosferski tlak odvisno od višine nad zemeljskim površjem radioaktivni razpad, ohlajanje ali segrevanje telesa v okolju konstantna temperatura, unimolekularen kemična reakcija(npr. raztapljanje snovi v vodi), pri katerem velja zakon delovanja mas (hitrost reakcije je sorazmerna z razpoložljivo količino reaktanta), razmnoževanje mikroorganizmov in še mnogo drugih.

Povečanje zneska denarja zaradi obračunavanja na njem obrestne mere(obresti na obresti) je tudi proces organske rasti.

Te primere bi lahko nadaljevali.

Poleg posameznih eksponentnih funkcij se v matematiki in njenih aplikacijah uporabljajo različne kombinacije. eksponentne funkcije, med katerimi so pomembne nekatere linearne in frakcijsko-linearne kombinacije funkcij ter tako imenovane hiperbolične funkcije. Zanje so uvedena naslednja posebna imena in oznake:

(hiperbolični sinus),

(hiperbolični kosinus),

(hiperbolični tangens),

(hiperbolični kotangens),

(hiperbolični sekans),

(hiperbolični sekans).

Postavlja se vprašanje, zakaj so navedena ravno ta imena, tukaj pa je hiperbola in imena funkcij, znanih iz trigonometrije: sinus, kosinus itd.? Izkaže se, da so relacije, ki povezujejo trigonometrične funkcije s koordinatami točk na krogu enotskega polmera, podobne relacijam, ki povezujejo hiperbolične funkcije s koordinatami točk na enakostranični hiperboli z enotsko polmerom. To upravičuje ime hiperbolične funkcije.

Hiperbolične funkcije

Funkciji, podani s formulama, se imenujeta hiperbolični kosinus oziroma hiperbolični sinus.

Te funkcije so definirane in zvezne na in - je soda funkcija in - je liha funkcija.

Slika 1.1 - Funkcijski grafi

Iz definicije hiperboličnih funkcij sledi:

Po analogiji s trigonometričnimi funkcijami sta hiperbolični tangens in kotangens določena s formulama

Funkcija je definirana in zvezna na, funkcija pa je definirana in zvezna na množici s preluknjano točko; obe funkciji sta lihi, njuni grafi so predstavljeni na spodnjih slikah.

Slika 1.2 - Funkcijski graf

Slika 1.3 - Funkcijski graf

Lahko se pokaže, da sta funkciji in strogo naraščajoči, funkcija pa strogo padajoča. Zato so te funkcije invertibilne. Njim inverzne funkcije označimo z oz.

Oglejmo si funkcijo inverzno funkciji, tj. funkcijo. Izrazimo to skozi elementarne. Če rešimo enačbo relativno, dobimo Od, torej, od kje

Z zamenjavo z in z najdemo formulo za inverzno funkcijo za hiperbolični sinus.

, stran 6

11 Osnovne funkcije kompleksne spremenljivke

Spomnimo se definicije kompleksnega eksponenta – ​​. Potem

Razširitev serije Maclaurin. Konvergenčni polmer te serije je +∞, kar pomeni, da je kompleksna eksponenta analitična na celotni kompleksni ravnini in

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Prva enakost tukaj izhaja na primer iz izreka o člen za členom diferenciacije potenčne vrste.

11.1 Trigonometrične in hiperbolične funkcije

Sinus kompleksne spremenljivke imenovana funkcija

Kosinus kompleksne spremenljivke obstaja funkcija

Hiperbolični sinus kompleksne spremenljivke je definiran takole:

Hiperbolični kosinus kompleksne spremenljivke-- to je funkcija

Opozorimo na nekatere lastnosti na novo uvedenih funkcij.

A.Če x∈ ℝ, potem cos x, sin x, cosh x, sh x∈ ℝ.

B. Med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami obstaja naslednja povezava:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; sh iz=isin z.

B. Osnovne trigonometrične in hiperbolične identitete:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Dokaz glavne hiperbolične identitete.

Osnove trigonometrična identiteta izhaja iz osnovne hiperbolične identitete ob upoštevanju povezave med trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami (glej lastnost B)

G Adicijske formule:

zlasti

D. Za izračun odvodov trigonometričnih in hiperboličnih funkcij je treba uporabiti izrek o člen za členom diferenciacije potenčnih vrst. Dobimo:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

E. Funkciji cos z, ch z sta sodi, funkciji sin z, sin z pa lihi.

J. (pogostost) Funkcija e z je periodična s periodo 2π i. Funkciji cos z, sin z sta periodični s periodo 2π, funkciji ch z, sin z pa sta periodični s periodo 2πi. Še več,

Z uporabo formul za vsoto dobimo

Z. Razširitev na realne in imaginarne dele:

Če enovrednostna analitična funkcija f(z) bijektivno preslika domeno D na domeno G, potem D imenujemo univalenčna domena.

IN. Območje D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Dokaz. Iz relacije (5) sledi, da je preslikava exp:D k → ℂ injektivna. Naj bo w poljubno kompleksno število, ki ni nič. Nato rešimo enačbe e x =|w| in e iy =w/|w| z realnima spremenljivkama x in y (izberite y iz polintervala); včasih pride v poštev..... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Funkcije, inverzne hiperboličnim funkcijam (glej Hiperbolične funkcije) sh x, ch x, th x; izraženi so s formulami (beri: ploščina sinus hiperbolična, ploščina kosinus hiperbolična, ploščina tangenta... ... Velika sovjetska enciklopedija

Funkcije inverzne na hiperbolične. funkcije; izraženo s formulami... Naravoslovje. Enciklopedični slovar

Inverzne hiperbolične funkcije so definirane kot inverzne funkcije hiperboličnih funkcij. Te funkcije določajo ploščino sektorja enotske hiperbole x2 − y2 = 1 na enak način kot inverzne trigonometrične funkcije določajo dolžino... ... Wikipedia

knjige

• Hiperbolične funkcije, Yanpolsky A.R. Knjiga opisuje lastnosti hiperboličnih in inverznih hiperboličnih funkcij ter podaja razmerja med njimi in drugimi osnovnimi funkcijami. Uporaba hiperboličnih funkcij na...

Tangenta, kotangens

Definicije hiperboličnih funkcij, njihovih domen definicij in vrednosti

sh x- hiperbolični sinus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hiperbolični kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x- hiperbolični tangens
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hiperbolični kotangens
, x ≠ 0 ; l< -1 или y > +1 .

Grafi hiperboličnih funkcij

Hiperbolični sinusni graf y = sh x

Graf hiperboličnega kosinusa y = ch x

Graf hiperboličnega tangenta y = th x

Graf hiperboličnega kotangensa y = cth x

Formule s hiperboličnimi funkcijami

Odnos do trigonometričnih funkcij

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Tukaj je i imaginarna enota, i 2 = - 1 .

Z uporabo teh formul za trigonometrične funkcije dobimo formule, ki povezujejo hiperbolične funkcije.

Pariteta

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

funkcija ch(x)- celo. Funkcije sh(x), th(x), cth(x)- čudno.

Razlika kvadratov

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Formule za vsoto in razliko argumentov

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formule za produkte hiperboličnega sinusa in kosinusa

,
,
,

,
,
.

Formule za vsoto in razliko hiperboličnih funkcij

,
,
,
,
.

Povezava hiperboličnega sinusa in kosinusa s tangensom in kotangensom

, ,
, .

Izvedeni finančni instrumenti

,

Integrali od sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Razširitve serije

Inverzne funkcije

Areasinus

Pri - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakosinus

pri 1 ≤ x< ∞ in 0 ≤ y< ∞ veljajo naslednje formule:
,
.

Druga veja areakosinusa se nahaja na 1 ≤ x< ∞ in - ∞< y ≤ 0 :
.

Ploščinska tangenta

ob - 1 < x < 1 in - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

HIPERBOLIČNE FUNKCIJE— Hiperbolični sinus (sh x) in kosinus (сh x) sta opredeljena z naslednjimi enakostmi:

Hiperbolični tangens in kotangens sta definirana po analogiji z trigonometrična tangenta in kotangens:

Hiperbolični sekans in kosekans sta definirana podobno:

Uporabljajo se naslednje formule:

Lastnosti hiperboličnih funkcij so v marsičem podobne lastnostim (glej). Enačbi x=cos t, y=sin t določata krog x²+y² = 1; enačbi x=сh t, y=sh t določata hiperbolo x² - y²=1. Tako kot so trigonometrične funkcije določene iz kroga enotskega polmera, so hiperbolične funkcije določene iz enakokrake hiperbole x² - y²=1. Argument t je dvojna ploščina osenčenega krivočrtnega trikotnika OME (sl. 48), podobno kot je za krožne (trigonometrične) funkcije argument t številčno enak dvojni ploščini krivočrtnega trikotnika OKE (sl. 49):

za krog

za hiperbolo

Adicijski izreki za hiperbolične funkcije so podobni adicijskim izrekom za trigonometrične funkcije:

Te analogije zlahka vidimo, če vzamemo kompleksno spremenljivko r kot argument x. Hiperbolične funkcije so povezane s trigonometričnimi funkcijami z naslednjimi formulami: sh x = - i sin ix, cosh x = cos ix, kjer je i ena od vrednosti. ​​korena √-1. Hiperbolične funkcije sh x, kot tudi ch x: lahko zavzamejo poljubno velike vrednosti (torej seveda velike enote) v nasprotju s trigonometričnimi funkcije sin x, cos x, ki za realne vrednosti ne more biti večji od ena v absolutni vrednosti.
Hiperbolične funkcije igrajo vlogo v geometriji Lobačevskega (glej), uporabljajo se pri študiju trdnosti materialov, v elektrotehniki in drugih vejah znanja. V literaturi obstajajo tudi oznake za hiperbolične funkcije, kot je sinh x; сosh x; tgh x.