Ne velja za značilnosti sipanja. Značilnosti statistične porazdelitve. Sistem gnojenja v kolobarju

Za vzorec je mogoče določiti številne numerične značilnosti, ki so podobne osnovnim numeričnim značilnostim naključnih spremenljivk v teoriji verjetnosti (matematično pričakovanje, disperzija, standardni odklon, modus, mediana) in so v nekem smislu (kar bo jasno pozneje) njihova približna vrednost.

Naj bo podana statistična porazdelitev volumna vzorca n za frekvence in relativne frekvence:

x i	x 1	x 2		x k
n i	n 1	n 2		n k

x i	x 1	x 2		x k
w i	w 1	w 2		w k

Vzorčno povprečje Aritmetična sredina vseh možnosti se imenuje:

Če pod znak vsote vpišemo faktor, dobimo formulo za vzorčno povprečje glede na relativne frekvence:

.

Upoštevajte, da se v primeru intervalne serije vzorčno povprečje izračuna po enakih formulah kot številke X 1 , … , X k vzemite sredine intervalov: , … ,.

Varianca vzorca je aritmetična sredina kvadratnih odstopanj vzorčnih vrednosti od njihove vzorčne sredine:

S ponovnim vnosom faktorja pod znak vsote dobimo formulo za disperzijo vzorca glede na relativne frekvence:

Preproste transformacije vodijo do bolj priročne formule za izračun variance vzorca

,

kjer je vzorčna sredina kvadrata naključne spremenljivke, ki se proučuje, tj.

Če je vzorec predstavljen z intervalno statistično serijo, ostanejo formule za vzorčno varianco enake, pri čemer so kot običajno številke X 1 , … , X k vzamejo se sredine intervalov: , … ,.

Standardni odklon vzorca imenovan kvadratni koren variance vzorca

.

Obseg spremembe R je razlika med najvišjo in najmanjšo vrednostjo v vzorcu. Če so možnosti v vzorcu razvrščene (postavljene v naraščajočem vrstnem redu), potem

.

Koeficient variacije določeno s formulo

.

Moda M O variacijska serija je različica, ki ima najvišjo frekvenco (ali relativno frekvenco).

Mediana M e variacijske serije je število, ki je njena sredina. Za diskretno serijo z lihim številom je možnost mediane enaka njeni srednji možnosti. Če je število variante sodo, potem je Medina enaka povprečju (tj. polovični vsoti) obeh srednjih variant.

Glavne statistične značilnosti serije meritev (variacijske serije) vključujejo značilnosti položaja (povprečne značilnosti ali osrednja tendenca vzorca); značilnosti disperzije (variacije ali oscilacije) in značilnosti oblike porazdelitve.

TO značilnosti položaja vključujejo aritmetično sredino (povprečje), način in mediano.

Na značilnosti razprševanja(variacije, ali nihanja) vključujejo: razpon variacije, disperzijo, srednji kvadratni (standardni) odklon, napako aritmetične sredine (povprečna napaka), koeficient variacije itd.

Na značilnosti oblike vključujejo koeficient asimetrije, mero asimetrije in kurtozo.

51. Ocena parametrov splošne populacije. Točkovna in intervalna ocena. Interval zaupanja. Stopnja pomembnosti

Ocena populacijskih parametrov

Obstajajo točkovne in intervalne ocene splošnih parametrov.

Spot ena številka. Take ocene vključujejo npr.

Da bi statistične ocene dale "dobre" približke ocenjenih parametrov, morajo biti:

neizpodrinjen;

učinkovito;

premožni.

Ocena se imenuje nepristranska, če matematično pričakovanje njene vzorčne porazdelitve sovpada z vrednostjo splošnega parametra.

Točkovna ocena se imenuje učinkovita, če ima najmanjšo varianco vzorčne porazdelitve v primerjavi z drugimi podobnimi ocenami, tj. prikazuje najmanjšo naključno variacijo.

Točkovna ocena se imenuje konsistentna, če se z večanjem velikosti vzorčne populacije nagiba k vrednosti splošnega parametra.

na primer Vzorčno povprečje je dosledna, nepristranska ocena splošnega povprečja. Za vzorec iz običajne populacije je ta ocena prav tako učinkovita.

Pri majhnem vzorcu se lahko točkovna ocena bistveno razlikuje od ocenjenega parametra, tj. vodi do resnih napak. Iz tega razloga, če je velikost vzorca majhna, uporabite intervalne ocene.

Interval imenovana ocena, ki je določena dve številki– konca intervala– interval zaupanja.

Intervalne ocene nam omogočajo ugotavljanje točnosti in zanesljivosti ocen.

Za oceno splošnega parametra z uporabo intervala zaupanja so potrebne tri vrednosti:

Na primer, interval zaupanja za splošno povprečje se določi po formuli: na ravni pomembnosti .

Interval zaupanja- izraz, ki se v matematični statistiki uporablja za intervalno ocenjevanje statističnih parametrov, ki je pri majhnem vzorcu bolj zaželeno kot točkovno ocenjevanje.

Stopnja pomembnosti - to je verjetnost, da smo razlike smatrali za pomembne, vendar so dejansko naključne.

Ko navedemo, da so razlike signifikantne na 5% stopnji pomembnosti oz r< 0,05 , potem mislimo, da je verjetnost, da so nezanesljivi, 0,05.

Ko navedemo, da so razlike pomembne na 1-odstotni stopnji pomembnosti oz r< 0,01 , potem mislimo, da je verjetnost, da so nezanesljivi, 0,01.

Če vse to prevedemo v bolj formaliziran jezik, potem je stopnja pomembnosti verjetnost zavrnitve ničelne hipoteze, medtem ko je resnična.

Napaka zavrnitve ničelne hipoteze, ko je resnična, se imenuje napaka tipa 1. (Glej tabelo 1)

Tabela 1. Ničelne in alternativne hipoteze ter možni testni pogoji.

Verjetnost takšne napake je običajno označena kot α. V bistvu bi morali v oklepaju navesti ne str < 0,05 ali str < 0,01 in α < 0,05 ali α < 0,01.

Če je verjetnost napake α , potem je verjetnost pravilne odločitve: 1-α. Manjši kot je α, večja je verjetnost pravilne odločitve.

Zgodovinsko gledano je v psihologiji veljalo, da najnižja raven statistična značilnost je 5% stopnja (p≤0,05): zadostna je 1% stopnja (p≤0,01), največja pa 0,1% raven (p≤0,001), zato je v tabelah kritičnih vrednosti običajno podane so vrednosti meril, ki ustrezajo stopnjam statistične pomembnosti p≤0,05 in p≤0,01, včasih p≤0,001. Za nekatera merila tabele navajajo natančno stopnjo pomembnosti njihovih različnih empiričnih vrednosti. Na primer, za φ*=1,56 p=0,06.

Dokler stopnja statistične pomembnosti ne doseže p=0,05, še vedno nimamo pravice zavrniti ničelne hipoteze. Držali se bomo naslednjega pravila za zavračanje hipoteze o odsotnosti razlik (Ho) in sprejemanje hipoteze o statistični pomembnosti razlik (H 1).

	Eden od razlogov za izvajanje statistične analize je potreba po upoštevanju vpliva naključnih dejavnikov (motenj) na proučevani indikator, ki vodijo do razpršenosti (razpršenosti) podatkov. Reševanje problemov, pri katerih so podatki razpršeni, je povezano s tveganjem, saj tudi če uporabite vse razpoložljive informacije, ne morete napovedati, kaj se bo zgodilo v prihodnosti. Za ustrezno obravnavo takih situacij je priporočljivo razumeti naravo tveganja in biti sposoben določiti stopnjo razpršenosti nabora podatkov. Obstajajo tri numerične značilnosti, ki opisujejo mero disperzije: standardni odklon, razpon in koeficient variacije (variabilnost).
Za razliko od tipičnih indikatorjev (povprečje, mediana, način), ki označujejo središče, se kažejo značilnosti razpršenosti	kako blizu Posamezne vrednosti nabora podatkov se nahajajo proti temu središču Opredelitev standardnega odklona Standardni odklon
	(standardni odklon) je merilo naključnih odstopanj vrednosti podatkov od povprečja. IN resnično življenje n Za večino podatkov je značilna razpršenost, tj. posamezne vrednosti se nahajajo na določeni razdalji od povprečja. Nemogoče je uporabiti standardno deviacijo kot splošno značilnost razpršenosti s preprostim povprečenjem odstopanj podatkov, ker bo del odstopanj pozitiven, drugi del pa negativen, posledično pa je lahko rezultat povprečenja enak nič. Da se znebite negativnega predznaka, uporabite standardno tehniko: najprej izračunajte disperzija kot vsota kvadratov odstopanj, deljena z ( n–1), nato pa se iz dobljene vrednosti vzame kvadratni koren. n–1), ki zagotavlja popravek za naključnost samega vzorca. 66,7% Ko je nabor podatkov normalno porazdeljen, ima standardna deviacija poseben pomen. Na spodnji sliki so oznake narejene na obeh straneh povprečja na razdaljah enega, dveh oziroma treh standardnih odstopanj. Slika prikazuje, da približno 66,7 % (dve tretjini) vseh vrednosti sodi znotraj enega standardnega odklona na obeh straneh povprečja, 95 % vrednosti pade znotraj dveh standardnih odklonov povprečja in skoraj vsi podatki (99,7 %) bo znotraj treh standardnih odstopanj od povprečja. Ta lastnost standardnega odklona za normalno porazdeljene podatke se imenuje "pravilo dveh tretjin".
V nekaterih situacijah, kot je analiza nadzora kakovosti izdelka, so meje pogosto postavljene tako, da se tista opažanja (0,3 %), ki so več kot tri standardne deviacije od povprečja, štejejo za vreden problem.	Na žalost, če podatki ne sledijo običajni porazdelitvi, zgoraj opisanega pravila ni mogoče uporabiti. Trenutno obstaja omejitev, imenovana Čebiševljevo pravilo, ki jo je mogoče uporabiti za asimetrične (poševne) porazdelitve. Generirajte začetni niz podatkov SV Tabela 1 prikazuje dinamiko gibanja dnevnih dobičkov na borzi, zabeleženih po delovnih dneh za obdobje od 31. julija do 9. oktobra 1987. Generirajte začetni niz podatkov SV Tabela 1 prikazuje dinamiko gibanja dnevnih dobičkov na borzi, zabeleženih po delovnih dneh za obdobje od 31. julija do 9. oktobra 1987. Generirajte začetni niz podatkov SV Tabela 1 prikazuje dinamiko gibanja dnevnih dobičkov na borzi, zabeleženih po delovnih dneh za obdobje od 31. julija do 9. oktobra 1987. -0,006 0,009 0,012 -0,004 -0,015 -0,004 0,008 -0,006 0,002 0,011 0,002 -0,008 -0,001 0,011 -0,010 0,017 0,013 -0,013 0,017 0,002 0,009 -0,004 -0,018 -0,020 0,008 -0,014 -0,003 -0,002 -0,001 -0,001 0,006 -0,001 0,017 -0,017 -0,013 0,001 0,004 0,030 -0,000 0,015 0,007 -0,035 0,001 -0,007 0,001 -0,005 0,001 -0,014
Tabela 1. Dinamika gibanja dnevnega dobička na borzi
Datum	Dnevni dobiček
Zaženite Excel	Ustvari datoteko
Kliknite gumb Shrani v standardni orodni vrstici.	V pogovornem oknu, ki se prikaže, odprite mapo Statistika in poimenujte datoteko Scattering Characteristics.xls.
Nastavite oznako	6. Na Sheet1 v celici A1 nastavite oznako Dnevni dobiček, 7. in v obseg A2:A49 vnesite podatke iz tabele 1.
Nastavite funkcijo AVERAGE VALUE
8. V celico D1 vnesite oznako Povprečje. V celici D2 izračunajte povprečje s statistično funkcijo AVERAGE.	Nastavite funkcijo STANDARDEV Povprečni dnevni dobiček je bil 0,04 % (povprečni dnevni dobiček je bil -0,0004). To pomeni, da je bil povprečni dnevni dobiček v obravnavanem obdobju približno enak nič, tj. trg je ohranil povprečno stopnjo.
Izkazalo se je, da je standardni odklon 0,0118. To pomeni, da se je en dolar (1 dolar), vložen na borzo, spremenil v povprečju za 0,0118 dolarja na dan, tj. njegova naložba bi lahko povzročila dobiček ali izgubo 0,0118 USD. Preverimo, ali so dnevne vrednosti dobička, podane v tabeli 1, v skladu s pravili	normalna porazdelitev

1. Izračunajte interval, ki ustreza enemu standardnemu odklonu na obeh straneh povprečja.

2. V celicah D7, D8 in F8 nastavite oznake: Ena standardna deviacija, Spodnja meja, Zgornja meja.

3. V celico D9 vnesite formulo = -0,0004 – 0,0118, v celico F9 pa formulo = -0,0004 + 0,0118. 4. Dobite rezultat natančno na četrto decimalno mesto. 5. Določite število dnevnih vrednosti dobička, ki so znotraj enega standardnega odklona. Najprej filtrirajte podatke in pustite dnevne vrednosti dobička v območju [-0,0121, 0,0114]. Če želite to narediti, izberite katero koli celico v stolpcu A z dnevnimi vrednostmi dobička in zaženite ukaz:

Podatki®Filter®Samodejni filter

Odprite meni s klikom na puščico v glavi Dnevni dobiček in izberite (Pogoj ...). V pogovornem oknu Samodejni filter po meri nastavite možnosti, kot je prikazano spodaj. Kliknite OK.

Če želite prešteti število filtriranih podatkov, izberite obseg dnevnih vrednosti dobička, z desno miškino tipko kliknite prazen prostor v vrstici stanja in v kontekstnem meniju izberite Število vrednosti. Preberite rezultat. Zdaj prikažite vse izvirne podatke z ukazom: Data®Filter®Display All in izklopite samodejni filter z ukazom: Data®Filter®AutoFilter. 6. Izračunajte odstotek dnevnih vrednosti dobička, ki so za eno standardno deviacijo oddaljeni od povprečja. Če želite to narediti, vstavite oznako v celico H8, Odstotek, , v celici H9 pa programirajte formulo za izračun odstotka in dobite rezultat na eno decimalno mesto natančno. 7. Izračunajte razpon dnevnih vrednosti dobička znotraj dveh standardnih odstopanj od povprečja. V celicah D11, D12 in F12 ustrezno nastavite oznake:

8. Določite število dnevnih vrednosti dobička, ki so znotraj dveh standardnih odklonov, tako da najprej filtrirate podatke.

9. Izračunajte odstotek dnevnih vrednosti dobička, ki so dve standardni deviaciji stran od povprečja. Če želite to narediti, vstavite oznako v celico H12 Dnevni dobiček, v celici H13 pa programirajte formulo za izračun odstotka in dobite rezultat natančno na eno decimalno mesto.

10. Izračunajte razpon dnevnih vrednosti dobička znotraj treh standardnih odstopanj od povprečja. V celicah D15, D16 in F16 ustrezno nastavite oznake: Tri standardne deviacije, Odstotek, , v celici H9 pa programirajte formulo za izračun odstotka in dobite rezultat na eno decimalno mesto natančno.. Formuli za izračun vnesite v celici D17 in F17 in dobite rezultat na četrto decimalno mesto natančno.

11. Določite število dnevnih vrednosti dobička, ki so znotraj treh standardnih odklonov, tako da najprej filtrirate podatke. Izračunajte odstotek dnevnih vrednosti dobička. Če želite to narediti, vstavite oznako v celico H16 Dnevni dobiček, v celici H17 pa programirajte formulo za izračun odstotka in dobite rezultat na eno decimalno mesto natančno.

13. Sestavite histogram dnevnih donosov delnic na borzi in ga postavite skupaj s tabelo porazdelitve frekvenc v področje J1:S20. Na histogramu prikažite približno povprečje in intervale, ki ustrezajo enemu, dvema oziroma trem standardnim odklonom od povprečja.

Za matematično in statistično analizo rezultatov vzorcev ni dovolj le poznavanje položajnih karakteristik. Ista povprečna vrednost lahko označuje popolnoma različne vzorce.

Zato poleg njih upošteva tudi statistika značilnosti sipanja (variacije, oz nihanja ) rezultate.

1. Razpon variacije

Opredelitev. V obsegu variacija je razlika med največjim in najmanjšim vzorcem, označena z R in je odločen

R=X max - X min.

Informativna vrednost tega kazalnika je majhna, čeprav je z majhnimi vzorci zlahka oceniti razliko med najboljšimi in najslabšimi rezultati športnikov.

2. Varianca

Opredelitev. Varianca se imenuje povprečni kvadrat odstopanja značilnih vrednosti od aritmetične sredine.

Za nezdružene podatke je varianca določena s formulo

kje X i– vrednost atributa, - aritmetična sredina.

Za podatke, združene v intervale, je varianca določena s formulo

,

kje X i– povprečna vrednost i interval združevanja, n i– intervalne frekvence.

Za poenostavitev izračunov in v izogib računskim napakam pri zaokroževanju rezultatov (zlasti pri povečanju velikosti vzorca) se za določanje variance uporabljajo tudi druge formule. Če je bila aritmetična sredina že izračunana, se za nezdružene podatke uporabi naslednja formula:

 2 =
,

za združene podatke:

.

Te formule dobimo iz prejšnjih tako, da pod znakom vsote razkrijemo kvadrat razlike.

V primerih, ko se aritmetična sredina in varianca izračunata hkrati, se uporabijo formule:

za nezdružene podatke:

 2 =
,

za združene podatke:

.

3. Srednji kvadrat(standard)odstopanje

Opredelitev. Srednji kvadrat (standard ) odstopanje označuje stopnjo odstopanja rezultatov od povprečne vrednosti v absolutnih enotah, saj ima za razliko od disperzije enake merske enote kot rezultati meritev. Z drugimi besedami, standardna deviacija kaže gostoto porazdelitve rezultatov v skupini okoli srednje vrednosti oziroma homogenost skupine.

Za nezdružene podatke je mogoče standardni odklon določiti z uporabo formul

 =
,

 =
ali =
.

Za podatke, razvrščene v intervale, je standardni odklon določen s formulami:

,

oz
.

4. Napaka aritmetične sredine (povprečna napaka)

Napaka aritmetične sredine označuje nihanje povprečja in se izračuna po formuli:

.

Kot je razvidno iz formule, se z večanjem velikosti vzorca napaka povprečja zmanjšuje sorazmerno s kvadratnim korenom velikosti vzorca.

5. Koeficient variacije

Koeficient variacije je opredeljen kot razmerje med standardnim odklonom in aritmetično sredino, izraženo v odstotkih:

.

Menijo, da če koeficient variacije ne presega 10%, se vzorec lahko šteje za homogen, to je pridobljen iz ene splošne populacije.

Namen dela

Seznani se s pojavom sipanja in se nauči določiti njegove značilnosti.

Oprema

1. Ocenjeni diski A 1 .

2. Ocenjeni diski A 2 .

3. Mikrometer.

4. Stojalo.

1. Splošne informacije

Pri izdelavi serije delov po istem tehnološkem postopku, pri istih delavcih, na istem delovnem mestu, pod enakimi pogoji so odstopanja v vrednostih parametrov točnosti delov od idealnega prototipa in drug od drugega. opazili. to pojav dobil ime razpršenost

Na vseh stopnjah tehnološki proces izdelava dela je veljavna veliko število stalno ali diskretno spreminjanje naključnih in sistematičnih dejavnikov.

Sistematični dejavniki obstajajo:

– trajno (na primer napaka v obliki obdelovane površine, ki jo povzročajo vodila stružnice, ki niso vzporedna z osjo vretena; merilna napaka itd.);

– spreminjanje po določenem zakonu y = f(x) (na primer dimenzijska obraba orodja, toplotna deformacija stroja itd.).

Naključni dejavniki zanje je značilno njihovo veliko število, medsebojna nepovezanost in nestabilnost (na primer elastične sklece povezav sistema AIDS).

V praksi se pojav disperzije katere koli značilnosti kakovosti preučuje z uporabo raztresenega diagrama, ki omogoča določitev vseh značilnosti.

Za gradnjo razpršena ploskev vzdolž osi abscise so serijske številke meritev delov, vzdolž ordinatne osi v obliki točk pa so dobljene vrednosti ustreznega števila meritev delov (slika 1.1). Skozi točke, ki ustrezajo največjim in najmanjšim merilnim vrednostim, sta narisani dve premici, vzporedni med seboj in z osjo abscise. Razdalja med temi črtami je prva značilnost razpršenosti vrednosti in se imenuje blodeče polje ω = A opomba –A nm . To karakteristiko nujno dopolnjuje koordinata središča sipalnega polja – ∆ ω , ki je razdalja med središčem razpršenega polja in nazivno vrednostjo. Določa položaj razpršenega polja glede na nazivno vrednost.

Druga značilnost pojava sipanja je praktična krivulja sipanja in parametri, ki jo določajo. Za konstruiranje praktične krivulje sipanja je potrebno raztreseno polje ω na razpršenem diagramu razdelite na 7...11 intervalov s črtami, vzporednimi z osjo abscise. V vsakem intervalu preštejte število rezultatov meritev, vključenih v njem (absolutna frekvenca T) in upodobite to količino v obliki pravokotnikov s širino, ki je enaka vrednosti intervala, in višino, ki je enaka absolutni frekvenci T.

Nastali diagram se imenuje razpršeni histogram. S prikazom absolutne frekvence T v obliki ravnih črt, ki se nahajajo na sredini vsakega intervala (naložene ordinate), in povezujejo njihove zgornje točke z ravnimi segmenti črt, dobimo prekinjena črta, poklical praktična krivulja sipanja merilne vrednosti (slika 2.1).

sl. 1.1. Razpršena in praktična

razpršilna krivulja merilne vrednosti

Parametri, ki označujejo praktično krivuljo sipanja, so:

1. Enačba sipalne krivulje y = φ(X). Za večino problemov ocenjevanja točnosti v tehnologiji strojništva porazdelitev trenutnih vrednosti X i upošteva normalni zakon (Gaussov zakon), za katerega

Poleg Gaussovega zakona so trenutne vrednosti x i se lahko porazdelijo po zakonu enake verjetnosti, Simpsonovem zakonu, Charlierjevem zakonu itd.

2. Center za združevanje Naključna spremenljivka je povprečna vrednost, okoli katere se nahaja največje število vrednosti. Z drugimi besedami, središče združevanja je vrednost naključne spremenljivke, ki pripada večini delov v seriji. Položaj središča združevanja je določen s koordinato središča združevanja (matematično pričakovanje) M(x).

3. Standardni odklon σ, ki prikazuje gostoto združevanja trenutnih vrednosti glede na središče združevanja M(X). Grafično σ upodobljen kot dve abscisi, ki sta enako oddaljeni od vrednosti M(x) po znesku σ, Ta lastnost služi kot merilo disperzije.

4. Koeficient relativne asimetrije a, prikazuje premik središča združevanja M(X) glede na sredino razpršenega polja. Za diskretne količine trenutna vrednost X i značilnosti M(x), σ in A določajo enakosti:

kje r(x i) = t/n– število izmerjenih vrednosti, ki spadajo v ustrezen interval, izraženo kot odstotek ali del celotnega števila izmerjenih vrednosti (relativna frekvenca).

Izračunane disperzijske značilnosti merilnih vrednosti so predstavljene grafično, ob upoštevanju tega pri m ax ≈ 0,4/ σ , y σ ≈ 0.24/σ (slika 2.2).

riž. 2.2. Značilnosti pojava sipanja: M(x); σ ; A

2. Delovni nalog

Laboratorijsko delo izvajata dve ekipi. Pojav sipanja v tem delu preučujemo na primeru dveh serij delov po 50 kosov z apoeni. A 1 , A 2 .

Namestite (50-krat) obdelovanec v tričeljustno vpenjalno glavo in izmerite osni premik.

Pri namestitvi mora biti del tesno pritisnjen s končno površino na opremo, pri ponavljajočih se namestitvah pa je treba del zasukati okoli svoje osi pod določenim kotom.

Zapišite rezultate meritev po vsaki namestitvi dela.

Na podlagi rezultatov meritev sestavite diagram razpršitve, histogram in krivuljo sipanja, podobno kot v 2. .

Določite parametre, ki označujejo krivuljo sipanja, podobno kot v 3. koraku .

Primerjajte rezultate poskusov in sklepajte.

Sestavite diagram teh značilnosti pojava sipanja (slika 2.2).

1. Naslov, namen in oprema dela.

2. Rezultati meritev delov z nominalno A 1 .

3. Razpršilni diagram in značilnosti pojava sipanja.

4. Rezultati meritev delov z nominalno A 2 .

5. Razpršilni diagram in značilnosti pojava sipanja.

6. Sklepi.

4. Varnostna vprašanja

1. Kaj je pojav sipanja?

2. S pomočjo česa preučujemo pojav sipanja.

3. Poimenujte značilnosti pojava sipanja.

4. Kateri dejavniki delujejo med proizvodnim procesom dela?

5. Za kaj so odgovorni sistematični dejavniki v diagramu razpršenosti?

6. Za kaj so odgovorni naključni dejavniki v diagramu razpršenosti?

7. Zakaj bi moralo biti število intervalov pri konstruiranju praktične krivulje sipanja liho?

8. Kaj je potepuško polje?

9. Kakšna je koordinata sredine sipalnega polja?

10. Zakaj potrebujemo koordinato sredine sipalnega polja?

11. Kaj je center za združevanje?

12. Kaj je matematično pričakovanje?

13. Kaj pokaže matematično pričakovanje?

14. Kaj se vzame kot merilo razpršenosti?

15. Poimenujte značilnosti tehnološkega procesa.

16. Poimenujte značilnosti pojava razprševanja pri obdelavi serije delov.

Skupaj z najverjetnejšo vrednostjo tveganja pomembno ima razpon možnih vrednosti tveganja glede na svojo osrednjo vrednost. Upoštevanje širjenja indikatorjev je potrebno tudi pri reševanju problemov socialnega in higienskega spremljanja.

Najpogostejši značilnosti širjenja naključne spremenljivke sta varianca in standardni odklon.

Varianco naključne spremenljivke ξ označimo kot D(ξ) (uporabljen je tudi zapis V(ξ) in σ 2(ξ)), označuje najverjetnejšo vrednost kvadrata odklona naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja.

Za diskretno naključno spremenljivko, ki ima vrednosti x i z verjetnostmi r i, varianca je opredeljena kot utežena vsota nitratnih varianc x i iz matematičnega pričakovanja ξ z utežnimi koeficienti, enakimi ustreznim verjetnostim:

D(ξ) =

Za zvezno naključno spremenljivko ξ je njena varianca določena s formulo:

D(ξ) =

Disperzija ima naslednje praktično pomembne lastnosti:

1. Varianca katere koli naključne spremenljivke je nenegativna:

D(ξ) ≥ 0

2. Varianca konstantna vrednost je enako 0:

D(C) = 0

kje C je konstanta.

3. Varianca naključne spremenljivke ξ je enaka razliki med matematičnim pričakovanjem kvadrata te naključne spremenljivke in kvadratom matematičnega pričakovanja ξ:

D(ξ) = M [ξ – M (ξ)] 2 = M(ξ 2) – ( .

4. Dodajanje konstante naključni spremenljivki ne spremeni variance; množenje naključne spremenljivke s konstanto a vodi do množenja variance z a 2 :

D(aξ + b) = a 2 D(ξ),

kje A in b- konstante.

5. Varianca vsote neodvisnih slučajnih spremenljivk je enaka vsoti njihovih varianc:

kjer sta ξ in η neodvisni naključni spremenljivki.

Standardni odklon naključne spremenljivke ξ (uporablja se tudi izraz "standardni odklon") je število σ (ξ) enako kvadratni koren iz variance ξ:

Standardni odklon meri odstopanje naključne spremenljivke od njenega matematičnega pričakovanja v enakih količinah, kot je izmerjena sama naključna spremenljivka (v nasprotju z varianco, katere dimenzija je enaka kvadratu dimenzije prvotne naključne spremenljivke) . Za normalno porazdelitev je standardna deviacija enaka parametru σ. Tako matematično pričakovanje in standardni odklon predstavljata popoln nabor značilnosti normalne porazdelitve in enolično določata vrsto gostote porazdelitve. Za porazdelitve, ki niso običajne, ta par indikatorjev ni enako učinkovita značilnost porazdelitve.

Koeficient variacije se uporablja tudi kot značilnost sipanja naključne spremenljivke. Koeficient variacije naključne spremenljivke ξ, ki ima matematično pričakovanje različno od nič, je število V(ξ), ki je enaka razmerju med standardnim odklonom ξ in njegovim matematičnim pričakovanjem:

Koeficient variacije meri disperzijo naključne spremenljivke kot del njenega matematičnega pričakovanja in je pogosto izražen kot odstotek slednjega. Ta značilnost se ne sme uporabiti, če je matematično pričakovanje blizu 0 ali bistveno manjše od standardnega odklona (v tem primeru majhne napake pri določanju matematičnega pričakovanja povzročijo visoko napako za koeficient variacije), kot tudi če vrsta porazdelitve gostote se bistveno razlikuje od Gaussove.

Koeficient asimetrije ( Kot) določa 3. stopnjo odstopanja naključne spremenljivke od matematičnega pričakovanja in je določena s formulo:

V praksi se ta indikator uporablja kot ocena simetrije porazdelitve. Za vsako simetrično porazdelitev je enaka 0. Če je gostota porazdelitve asimetrična (kar je lahko pogosto v primeru ocenjevanja tveganja smrti in tveganj, povezanih z onesnaženostjo vode in zraka), potem pozitiven koeficient asimetrije ustreza primeru, ko levi rob krivulje gostote je strmejši od desnega in negativen - v primeru, ko je desni rob strmejši od levega (slika 4.17).

Za poševne porazdelitve standardni odklon ni dobro merilo disperzije naključne spremenljivke. Za karakterizacijo disperzije v tem primeru lahko uporabite indikatorje, kot so kvartili, kvantili in percentili.

Prvi kvartil naključne spremenljivke ξ s porazdelitveno funkcijo F(x) je število V1 ki je rešitev enačbe

F(Q 1) = 1/4

tj. število, za katerega je verjetnost, da ξ zavzame vrednosti manjše od V1, je enak 1/4, verjetnost, da zavzame vrednosti, je večja V1 enako 3/4.

Drugi kvartil ( 2. vprašanje) naključne spremenljivke imenujemo njena mediana, tretja ( V3) - rešitev enačbe

F(Q 3) = 3/4

Kvartili delijo os x na 4 intervale: [-∞, V1], [Q 1, Q 2], [Q 2, Q 3] In [ V3, + ∞], v katero pade slučajna spremenljivka z enako verjetnostjo, figura, omejena z abscisno osjo in grafom gostote porazdelitve, pade v 4 območja z enako ploščino. In interval med prvim in tretjim kvartilom vsebuje 50 % porazdelitve naključne spremenljivke. Za simetrične porazdelitve sta prvi in ​​tretji kvartil enako oddaljena od mediane.

Kvantilni vrstni red r naključna spremenljivka ξ s porazdelitveno funkcijo F(x) je število X, ki je rešitev enačbe

Tako so kvartili kvantili reda 0,25, 0,5 in 0,75. Če je vrstni red kvantila p izražen v odstotkih, potem ustrezne vrednosti X se imenujejo percentili, oz r- odstotne točke porazdelitve.

Na sl. Slika 4.18 prikazuje skupaj s kvantili 2,5- in 97,5-odstotne točke porazdelitve. Med tema točkama je skoncentriranih 95 % porazdelitve naključne spremenljivke, zato se interval med njima imenuje 95 % interval zaupanja povprečja (predvsem pri ocenjevanju tveganj - 95 % interval zaupanja tveganja).

Naloga 2. Katera od naslednjih informacij o naključni spremenljivki ξ nam omogoča, da zavrnemo predpostavko, da je porazdeljena po normalnem zakonu:

a) ξ - diskretna naključna spremenljivka;

b) matematično pričakovanje ξ je negativno;

c) porazdelitev ξ je unimodalna;

d) matematično pričakovanje ξ ni enako svoji mediani;

e) koeficient asimetrije ξ je negativen;

f) standardni odklon ξ je večji od njegovega matematičnega pričakovanja;

g) ξ označuje porazdelitev trajanja akutnih bolezni dihal na območju študije;

h) ξ označuje porazdelitev pričakovane življenjske dobe na proučevanem območju;

i) mediana ξ ne sovpada s središčem intervala med prvim in tretjim kvartilom.

Odgovor: Vnebovzetje normalno pravo porazdelitev naključne spremenljivke ni združljiva s trditvami a), d), e), h), i).

riž. 4.17. Odvisnost med predznakom Slika 4.18. Kvartili in percentili:

koeficient asimetrije in ilustracija oblike z uporabo funkcije

funkcije gostote porazdelitve