Kako izgleda poligon? Poligoni in njihove lastnosti. Mnogokotnik je preprost zaprt

Poligon je geometrijski lik, omejen s sklenjeno lomljeno črto, ki nima samopresečišč.

Povezave lomljene črte se imenujejo strani mnogokotnika, in njegova oglišča - oglišča mnogokotnika.

Koti mnogokotnika so notranji koti, ki jih sestavljajo sosednje stranice. Število kotov mnogokotnika je enako številu njegovih oglišč in stranic.

Poligoni so poimenovani glede na število stranic. Mnogokotnik z najmanjšim številom stranic se imenuje trikotnik; Mnogokotnik s štirimi stranicami se imenuje štirikotnik, s petimi stranicami peterokotnik itd.

Oznaka poligona je sestavljena iz črk, ki stojijo na njegovih ogliščih in jih poimenujejo po vrstnem redu (v smeri urnega kazalca ali nasprotni smeri urnega kazalca). Na primer, pravijo ali pišejo: pentagon ABCDE :

V peterokotniku ABCDE točke A, B, C, D in E so oglišča peterokotnika in segmenti AB, B.C., CD, DE in E.A.- stranice peterokotnika.

Konveksno in konkavno

Poligon se imenuje konveksen, če ga nobena njegova stranica, podaljšana v ravno črto, ne seka. V nasprotnem primeru se poligon imenuje konkavno:

Obod

Vsota dolžin vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obod.

Obod poligona ABCDE enako:

AB + B.C.+ CD + DE + E.A.

Če ima mnogokotnik vse stranice in vse kote enake, se imenuje pravilno. Samo konveksni mnogokotniki so lahko pravilni mnogokotniki.

Diagonala

Diagonala mnogokotnika- to je segment, ki povezuje oglišča dveh kotov, ki nimata skupne strani. Na primer segment AD je diagonala:

Edini mnogokotnik, ki nima ene diagonale, je trikotnik, saj nima kotov, ki nimajo skupnih stranic.

Če iz katerega koli oglišča mnogokotnika narišemo vse možne diagonale, bodo mnogokotnik razdelile na trikotnike:

Trikotnika bosta natanko dva manj kot stranic:

t = n - 2

kje t je število trikotnikov in n- število stranic.

Razdelitev poligona na trikotnike z uporabo diagonal se uporablja za iskanje površine mnogokotnika, saj če želite najti območje mnogokotnika, ga morate razdeliti na trikotnike, poiskati območje teh trikotnikov in dodati dobljene rezultate.

Vrste poligonov:

Štirikotniki

Štirikotniki, sestavljeni iz 4 strani in kotov.

Strani in koti, ki so drug drugemu nasprotni, se imenujejo nasprotje.

Diagonale delijo konveksne štirikotnike na trikotnike (glej sliko).

Vsota kotov konveksnega štirikotnika je 360° (po formuli: (4-2)*180°).

Paralelogrami

Paralelogram je konveksen štirikotnik z nasprotnimi vzporednimi stranicami (številka 1 na sliki).

Nasprotni strani in koti v paralelogramu so vedno enaki.

In diagonale na presečišču so razdeljene na pol.

Trapez

Trapez- to je tudi štirikotnik in v trapezi Le dve strani sta vzporedni, ki se imenujeta razlogov. Druge strani so straneh.

Trapez na sliki je oštevilčen z 2 in 7.

Kot v trikotniku:

Če sta stranici enaki, potem je trapez enak enakokraki;

Če je eden od kotov pravi, potem je trapez pravi pravokotne.

Srednjica trapeza je enaka polovici vsote osnov in je z njima vzporedna.

Romb

Romb je paralelogram, v katerem so vse stranice enake.

Poleg lastnosti paralelograma imajo rombovi svojo posebno lastnost - Diagonali romba sta pravokotni drug drugega in razpolovite vogale romba.

Na sliki je romb številka 5.

Pravokotniki

Pravokotnik je paralelogram, v katerem je vsak kot pravi (glej sliko številka 8).

Poleg lastnosti paralelograma imajo pravokotniki svojo posebno lastnost - diagonali pravokotnika sta enaki.

Kvadrati

kvadrat je pravokotnik z enakimi stranicami (št. 4).

Ima lastnosti pravokotnika in romba (saj so vse stranice enake).

§ 1 Pojem trikotnika

V tej lekciji se boste seznanili s oblikami, kot so trikotniki in mnogokotniki.

Če tri točke, ki ne ležijo na isti premici, povežemo z odseki, dobimo trikotnik. Trikotnik ima tri oglišča in tri stranice.

Pred vami je trikotnik ABC, ki ima tri oglišča (točko A, točko B in točko C) in tri stranice (AB, AC in CB).

Mimogrede, te iste strani lahko imenujemo drugače:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Stranice trikotnika tvorijo tri kote na ogliščih trikotnika. Na sliki vidite kot A, kot B, kot C.

Tako je trikotnik geometrijska figura, ki jo tvorijo trije segmenti, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti.

§ 2 Koncept mnogokotnika in njegove vrste

Poleg trikotnikov so še štirikotniki, peterokotniki, šesterokotniki itd. Z eno besedo jih lahko imenujemo poligoni.

Na sliki vidite štirikotnik DMKE.

Točke D, M, K in E so oglišča štirikotnika.

Odseki DM, MK, KE, ED so stranice tega štirikotnika. Tako kot v primeru trikotnika, stranice štirikotnika tvorijo štiri kote na ogliščih, kot ste uganili, od tod tudi ime - štirikotnik. Za ta štirikotnik vidite na sliki kot D, kot M, kot K in kot E.

Katere štirikotnike že poznate?

Kvadrat in pravokotnik! Vsak od njih ima štiri vogale in štiri stranice.

Druga vrsta poligona je pentagon.

Točke O, P, X, Y, T so oglišča peterokotnika, odseki TO, OP, PX, XY, YT pa stranice tega peterokotnika. Pentagon ima pet kotov oziroma pet stranic.

Kaj mislite, koliko kotov in koliko strani ima šestkotnik? Tako je, šest! Če sklepamo na podoben način, lahko rečemo, koliko stranic, oglišč ali kotov ima določen mnogokotnik. In lahko sklepamo, da je trikotnik tudi mnogokotnik, ki ima natanko tri kote, tri stranice in tri oglišča.

Tako ste se v tej lekciji seznanili s pojmoma, kot sta trikotnik in mnogokotnik. Naučili smo se, da ima trikotnik 3 oglišča, 3 stranice in 3 kote, štirikotnik 4 oglišča, 4 stranice in 4 kote, peterokotnik 5 stranic, 5 oglišč, 5 kotov itd.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika 5. razred. Vilenkin N.Y., Zhokhov V.I. in drugi 31. izd., izbrisano. - M: 2013.
2. Didaktična gradiva pri matematiki 5. razred. Avtor - Popov M.A. - 2013
3. Računamo brez napak. Delo s samotestiranjem pri matematiki 5.-6. Avtor - Minaeva S.S. - 2014
4. Didaktična gradiva za matematiko 5. razred. Avtorji: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Nadzor in samostojno delo pri matematiki 5. razred. Avtorji - Popov M.A. - 2012
6. Matematika. 5. razred: poučna. za splošnoizobraževalce. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009

Obvladovanje terminologije ter poznavanje lastnosti različnih geometrijske oblike pomaga pri reševanju številnih geometrijskih problemov. Pri preučevanju odseka, kot je planimetrija, študent pogosto naleti na izraz "poligon". Kakšno figuro označuje ta koncept?

Poligon - definicija geometrijskega lika

Zaprto prekinjena črta, katerega vsi odseki ležijo v isti ravnini in nimajo odsekov samopresečišča, tvori geometrijsko figuro, imenovano poligon. Število povezav prekinjene črte mora biti vsaj 3. Z drugimi besedami, poligon je definiran kot del ravnine, katerega meja je zaprta lomljena črta.

Pri reševanju problemov, ki vključujejo mnogokotnik, se uporabljajo pojmi, kot so:

• Stranica mnogokotnika. Ta izraz označuje segment (člen) prekinjene verige želene figure.
• Mnogokotni kot (notranji) – kot, ki ga tvorita 2 sosednji členki lomljene črte.
• Oglišče mnogokotnika je definirano kot oglišče lomljene črte.
• Diagonala mnogokotnika je odsek, ki povezuje kateri koli 2 točki (razen sosednjih) mnogokotne figure.

V tem primeru število povezav in število točk lomljene črte znotraj enega mnogokotnika sovpadata. Odvisno od števila kotov (oziroma segmentov polilinije) se določi vrsta poligona:

• 3 koti - trikotnik.
• 4 vogali - štirikotnik.
• 5 vogalov - peterokotnik itd.

Če ima večkotna figura enake kote in s tem tudi stranice, potem pravimo, da je dani mnogokotnik pravilen.

Vrste poligonov

Vse poligonalne geometrijske oblike so razdeljene na 2 vrsti - konveksne in konkavne.

• Če katera od strani mnogokotnika, potem ko se nadaljuje v ravno črto, ne tvori presečišča s samo figuro, imate konveksno mnogokotno figuro.
• Če po nadaljevanju stranice (katere koli) nastala ravna črta seka mnogokotnik, govorimo o o konkavnem mnogokotniku.

Lastnosti poligona

Ne glede na to, ali je mnogokotna figura, ki jo proučujemo, pravilna ali ne, ima naslednje lastnosti. Torej:

• Njeni notranji koti tvorijo skupno (p – 2)*π, kjer

π – radianska mera zasukanega kota, ustreza 180°,

p – število vogalov (oglišč) mnogokotnika (p-kotnika).

• Število diagonal katere koli mnogokotne figure se določi iz razmerja p*(p – 3) / 2, kjer je

p – število stranic p-kotnika.

V tej lekciji bomo začeli nova tema in predstavi nov koncept za nas: "poligon". Ogledali si bomo osnovne pojme, povezane s poligoni: stranice, vrhni koti, konveksnost in nekonveksnost. Nato bomo dokazali najpomembnejša dejstva, kot so izrek o vsoti notranjih kotov mnogokotnika, izrek o vsoti zunanjih kotov mnogokotnika. Posledično se bomo približali študiju posebnih primerov poligonov, ki jih bomo obravnavali v nadaljnjih lekcijah.

Tema: Štirikotniki

Lekcija: Mnogokotniki

V tečaju geometrije preučujemo lastnosti geometrijskih likov in smo že pregledali najpreprostejše med njimi: trikotnike in kroge. Obenem smo obravnavali tudi posebne posebne primere teh likov, kot so pravokotni, enakokraki in pravilni trikotnik. Zdaj je čas za pogovor o bolj splošnih in zapletenih številkah - poligoni.

S posebnim primerom poligoniže poznamo - to je trikotnik (glej sliko 1).

riž. 1. Trikotnik

Že samo ime poudarja, da gre za figuro s tremi koti. Zato v mnogokotnik lahko jih je veliko, tj. več kot tri. Na primer, narišimo peterokotnik (glej sliko 2), tj. figura s petimi vogali.

riž. 2. Pentagon. Konveksni poligon

Opredelitev.Poligon- figura, sestavljena iz več točk (več kot dveh) in ustreznega števila segmentov, ki jih zaporedno povezujejo. Te točke se imenujejo vrhovi mnogokotnik, segmenti pa so stranke. V tem primeru nobeni dve sosednji stranici ne ležita na isti premici in nobeni dve nesosednji stranici se ne sekata.

Opredelitev.Pravilni mnogokotnik je konveksen mnogokotnik, v katerem so vse stranice in koti enaki.

katera koli mnogokotnik deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo. Notranje območje se imenuje tudi mnogokotnik.

Z drugimi besedami, na primer, ko govorijo o peterokotniku, mislijo tako na njegovo celotno notranjo regijo kot na njeno mejo. In notranja regija vključuje vse točke, ki ležijo znotraj poligona, tj. točka se nanaša tudi na peterokotnik (glej sliko 2).

Poligone včasih imenujemo tudi n-kotniki, da poudarimo, da je upoštevan splošni primer prisotnosti nekega neznanega števila kotov (n kosov).

Opredelitev. Obod poligona- vsota dolžin stranic mnogokotnika.

Sedaj se moramo seznaniti z vrstami mnogokotnikov. Razdeljeni so na konveksen in nekonveksna. Na primer, mnogokotnik, prikazan na sl. 2 je konveksna, na sl. 3 nekonveksne.

riž. 3. Nekonveksni mnogokotnik

Definicija 1. Poligon klical konveksen, če pri risanju ravne črte skozi katero koli njegovo stranico celotno mnogokotnik leži le na eni strani te premice. Nekonveksna so vsi ostali poligoni.

Zlahka si je predstavljati, da ko razširimo katero koli stran peterokotnika na sl. 2 vse bo na eni strani te ravne črte, tj. je konveksna. Toda pri risanju ravne črte skozi štirikotnik na sl. 3 že vidimo, da ga deli na dva dela, tj. ni konveksen.

Vendar obstaja še ena definicija konveksnosti mnogokotnika.

Definicija 2. Poligon klical konveksen, če so pri izbiri poljubnih dveh njegovih notranjih točk in povezovanju z odsekom vse točke odseka tudi notranje točke mnogokotnika.

Prikaz uporabe te definicije je prikazan na primeru konstruiranja segmentov na sl. 2 in 3.

Opredelitev. Diagonala mnogokotnika je vsak segment, ki povezuje dve nesosednji točki.

Za opis lastnosti mnogokotnikov obstajata dva najpomembnejša izreka o njihovih kotih: izrek o vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika in izrek o vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika. Poglejmo jih.

Izrek. O vsoti notranjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kje je število njegovih kotov (stranic).

Dokaz 1. Upodabljajmo na sl. 4 konveksni n-kotnik.

riž. 4. Konveksni n-kotnik

Iz oglišča narišemo vse možne diagonale. N-kotnik razdelijo trikotnike, saj vsaka stran mnogokotnika tvori trikotnik, razen stranic, ki mejijo na vrh. Iz slike je enostavno videti, da bo vsota kotov vseh teh trikotnikov popolnoma enaka vsoti notranjih kotov n-kotnika. Ker je vsota kotov katerega koli trikotnika , je vsota notranjih kotov n-kotnika:

Q.E.D.

Dokaz 2. Možen je še en dokaz tega izreka. Narišimo podoben n-kotnik na sl. 5 in poveži poljubno njeno notranjo točko z vsemi oglišči.

riž. 5.

Dobili smo razbitje n-kotnika na n trikotnikov (toliko stranic, kolikor je trikotnikov). Vsota vseh njunih kotov je enaka vsoti notranjih kotov mnogokotnika in vsoti kotov v notranji točki in to je kot. Imamo:

Q.E.D.

dokazano.

Po dokazanem izreku je jasno, da je vsota kotov n-kotnika odvisna od števila njegovih stranic (od n). Na primer v trikotniku in vsota kotov je . V štirikotniku je vsota kotov itd.

Izrek. O vsoti zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika (n-gon).

Kjer je število njegovih kotov (stranic), in , ..., so zunanji koti.

Dokaz. Upodabljajmo konveksni n-kotnik na sl. 6 in označite njegov notranji in zunanji kot.

riž. 6. Konveksni n-kotnik z določenimi zunanjimi koti

Ker Zunanji vogal je nato povezan z notranjim kot sosednji in podobno za preostale zunanje vogale. Nato:

Pri transformacijah smo uporabili že dokazan izrek o vsoti notranjih kotov n-kotnika.

dokazano.

Iz dokazanega izreka sledi zanimivo dejstvo, da je vsota zunanjih kotov konveksni n-kotnik enako na število njegovih kotov (stranic). Mimogrede, v nasprotju z vsoto notranjih kotov.

Reference

1. Aleksandrov A.D. in drugi, Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

domača naloga