Linearna odvisnost vektorjev. Linearna kombinacija vektorjev. Kolinearnost vektorjev. Komplanarnost vektorjev. Linearne kombinacije Poiščite dolžino dane linearne kombinacije vektorjev

Linearna kombinacija vektorjev je izraz oblike: , kjer so realna števila, imenovana koeficienti linearne kombinacije.

Določanje linearne neodvisnosti vektorjev

Sistem vektorjev A 1 , A 2 ,…A n imenujemo linearno neodvisen, če je linearna kombinacija teh vektorjev λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An enaka ničelnemu vektorju le za ničelni niz števil λ1, λ2,..., λn, torej ima sistem enačb: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ enolično ničelno rešitev.

Določanje linearne odvisnosti vektorjev

Dva ravninska vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.
Dva vektorja imenujemo kolinearna, če ležita na isti premici ali na vzporednih premicah

Izrek o linearni odvisnosti vektorjev

Izrek o predstavitvi niza kot linearne kombinacije neodvisnih nizov

Vsako vrstico matrike A lahko predstavimo kot linearno kombinacijo neodvisnih vrstic matrike A.

Naj ima matrika A rang r, potem obstaja minor reda r, ki je drugačen od 0, temu minorju dodajte i-to vrstico in j-ti stolpec

a 11	a 12	…	a 1r	a 1j
a 21	a 22	…	a 2r	a 2j
…	…	…	…	…
a 41	a 42	…	a 4r	a 4j
a i1	a i2	…	a ir	a ij

M r =
M r+1 =0; ker rang A=r (kot pomol višjega reda kot r).

[a 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Vse delimo z M r in uvedemo A ij /((-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, kjer j=r+1 ta enakost velja tudi za j=1 m

81. Izrek o predstavitvi stolpca kot linearne kombinacije neodvisnih stolpce

Izrek o razmerju med rangom matrike in številom neodvisnih vrstic/stolpcev

Rang matrike A je enak številu njenih neodvisnih vrstic/stolpcev. Naj ima matrika A (m*n) rang r

a 11	a 12	…	a 1r
a 21	a 22	…	a 2r
…	…	…	…
a 21	a 22	…	a 2r

Obstaja minor reda r = 0; (e 1….. e r) – linearno neodvisen

Naj bo nasprotno: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Izvajajmo električne transformacije. brez spreminjanja determinante tega mola (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Torej dobimo zadnjo vrstico, sestavljeno iz 0, potem pa je M r = 0, naša predpostavka je napačna!

Determinante

Lastnosti determinant. Št. 01. (Transpozicija)

Determinant transponirane matrike je enak determinanti izvirne matrike: .

Dokaz. Po definiciji je

Pri transponiranju matrice A pride le do prerazporeditve členov v tej vsoti.

Lastnosti determinant. št. 02. (Preureditev vrstic ali stolpcev).

Če kateri koli dve vrstici ali dva stolpca v determinanti prerazporedimo, determinanta spremeni predznak v nasprotno.

Dokaz. V skladu z izrekom 1 vsaka transpozicija spremeni pariteto permutacije. Posledično pri preurejanju dveh vrstic (stolpcev) vsak člen vsote spremeni predznak v nasprotni.

V tem članku bomo obravnavali:

• kaj so kolinearni vektorji;
• kakšni so pogoji za kolinearnost vektorjev;
• kakšne lastnosti kolinearnih vektorjev obstajajo;
• kakšna je linearna odvisnost kolinearnih vektorjev.

Definicija 1

Kolinearni vektorji so vektorji, ki so vzporedni z eno premico ali ležijo na eni premici.

Primer 1

Pogoji kolinearnosti vektorjev

Dva vektorja sta kolinearna, če je izpolnjen kateri koli od naslednjih pogojev:

• stanje 1 . Vektorja a in b sta kolinearna, če obstaja število λ tako, da je a = λ b;
• pogoj 2 . Vektorja a in b sta kolinearna z enakimi koordinatnimi razmerji:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• pogoj 3 . Vektorja a in b sta kolinearna, če sta križni produkt in ničelni vektor enaka:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Opomba 1

Pogoj 2 ni uporabno, če je ena od vektorskih koordinat enaka nič.

Opomba 2

Pogoj 3 velja le za tiste vektorje, ki so določeni v prostoru.

Primeri problemov za študij kolinearnosti vektorjev

Primer 1

Preverimo kolinearnost vektorjev a = (1; 3) in b = (2; 1).

Kako rešiti?

V tem primeru je potrebno uporabiti 2. pogoj kolinearnosti. Za dane vektorje je videti takole:

Enakost je lažna. Iz tega lahko sklepamo, da vektorja a in b nista kolinearna.

Odgovori : a | | b

Primer 2

Kakšna vrednost m vektorja a = (1; 2) in b = (- 1; m) je potrebna, da sta vektorja kolinearna?

Kako rešiti?

Z uporabo drugega pogoja kolinearnosti bodo vektorji kolinearni, če so njihove koordinate sorazmerne:

To kaže, da je m = - 2.

odgovor: m = - 2 .

Kriteriji linearne odvisnosti in linearne neodvisnosti vektorskih sistemov

Izrek

Sistem vektorjev v vektorskem prostoru je linearno odvisen le, če je mogoče enega od vektorjev sistema izraziti s preostalimi vektorji tega sistema.

Dokaz

Naj bo sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno odvisen. Zapišimo linearno kombinacijo tega sistema, ki je enak ničelnemu vektorju:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

pri katerem vsaj eden od kombinacijskih koeficientov ni enak nič.

Naj bo a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obe strani enakosti delimo s koeficientom, ki ni enak nič:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označimo:

A k - 1 a m , kjer je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

V tem primeru:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ali e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz tega sledi, da je eden od vektorjev sistema izražen skozi vse ostale vektorje sistema. Kar je bilo treba dokazati (itd.).

Ustreznost

Naj bo eden od vektorjev linearno izražen skozi vse ostale vektorje sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k premaknemo na desno stran te enačbe:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Ker je koeficient vektorja e k enak - 1 ≠ 0, dobimo netrivialno predstavitev ničle s sistemom vektorjev e 1, e 2, . . . , e n , kar posledično pomeni, da je ta sistem vektorjev linearno odvisen. Kar je bilo treba dokazati (itd.).

Posledica:

• Sistem vektorjev je linearno neodvisen, če nobenega od njegovih vektorjev ni mogoče izraziti z vsemi drugimi vektorji sistema.
• Sistem vektorjev, ki vsebuje ničelni vektor ali dva enaka vektorja, je linearno odvisen.

Lastnosti linearno odvisnih vektorjev

1. Za 2- in 3-dimenzionalne vektorje je izpolnjen naslednji pogoj: dva linearno odvisna vektorja sta kolinearna. Dva kolinearna vektorja sta linearno odvisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektorje je izpolnjen naslednji pogoj: trije linearno odvisni vektorji so koplanarni. (3 koplanarni vektorji so linearno odvisni).
3. Za n-dimenzionalne vektorje je izpolnjen naslednji pogoj: n + 1 vektorji so vedno linearno odvisni.

Primeri reševanja problemov, ki vključujejo linearno odvisnost ali linearno neodvisnost vektorjev

Primer 3

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

rešitev. Vektorji so linearno odvisni, ker je dimenzija vektorjev manjša od števila vektorjev.

Primer 4

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

rešitev. Najdemo vrednosti koeficientov, pri katerih bo linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsko enačbo zapišemo v linearni obliki:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ta sistem rešujemo z Gaussovo metodo:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. vrstice odštejemo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. vrstice odštejemo 2., 3. dodamo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rešitve sledi, da ima sistem veliko rešitev. To pomeni, da obstaja neničelna kombinacija vrednosti takih števil x 1, x 2, x 3, za katere je linearna kombinacija a, b, c enaka ničelnemu vektorju. Zato so vektorji a, b, c linearno odvisen. ​​​​​​​

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V skladu s tem kompromisnim kriterijem se za vsako rešitev določi linearna kombinacija najmanjšega in največjega dobička.  

Druga možnost vključuje osredotočanje na eno merilo. Lahko se izbere kot eden od standardnih kazalnikov, ki imajo povsem razumljivo ekonomsko razlago (na primer eden od količnikov likvidnosti, količnik pokritosti obresti itd.), ali pa se ta kriterij razvije v obliki nekega umetnega kazalnika, ki posplošuje posebna merila. Za ta posplošeni kriterij je določena mejna vrednost, s katero se primerja dejanska vrednost kriterija, izračunana za potencialnega kreditojemalca. Glavna težava pri izvajanju tega pristopa je v načinu sestave sumarnega kazalnika. Najpogosteje gre za linearno kombinacijo posameznih kriterijev, od katerih je vsak vključen v splošni kazalnik z določenim utežnim koeficientom. Prav ta pristop je uporabil E. Altman pri razvoju Z-merila za napovedovanje bankrota.  

Vrstico e imenujemo linearna kombinacija vrstic e, e-..., em matrike, če  

Pojem linearne kombinacije, linearne odvisnosti in neodvisnosti vektorjev e, e2. f em so podobni ustreznim konceptom za vrstice matrike e, e2,..., em (11.5).  

Kot je prikazano v , lahko za omejene in konveksne dopustne množice (2.14) vektor x% 0, ki izpolnjuje omejitev A xk bk, predstavimo kot konveksno linearno kombinacijo končne množice skrajnih točk.  

Optimizacijski postopek za izračun mejnih vrednosti elementov a in njihovih linearnih kombinacij je večinoma brez teh pomanjkljivosti.  

Očitno je, da je točka (X1, d), dobljena z linearno kombinacijo (A/, d) in (L.", d"), tudi rešitev sistema (4.43), (4.44).  

V tem razdelku bomo preučili pravila za izračun matematičnega pričakovanja in variance multivariatne naključne spremenljivke, ki je linearna kombinacija koreliranih naključnih spremenljivk.  

Zato za linearno kombinacijo poljubnega števila naključnih spremenljivk dobimo  

Oglejmo si primer, ko se vlaganje izvaja v več sredstev (portfelj). Portfelj je linearna kombinacija sredstev, od katerih ima vsako svoj pričakovani donos in razpršenost donosa.  

Za razliko od poljubne linearne kombinacije naključnih spremenljivk za uteži sredstev velja pravilo normalizacije  

Prejšnji odstavek je pokazal, da ko je korelacijski koeficient med sredstvi manjši od 1, lahko diverzifikacija portfelja izboljša razmerje med pričakovanim donosom in pričakovanim tveganjem. To je posledica dejstva, da je pričakovani donos portfelja linearna kombinacija pričakovanih donosov sredstev, vključenih v portfelj, varianca portfelja pa je kvadratna funkcija r.s. vključena v portfelj sredstev.  

Najenostavnejša naprava za prepoznavanje vzorcev, ki spada v obravnavani razred omrežij, je en sam nevron, ki spremeni vhodni vektor značilnosti v skalarni odziv, odvisno od linearne kombinacije vhodnih spremenljivk.  

Ker je diskriminantna funkcija odvisna le od linearne kombinacije vhodov, je nevron linearni diskriminator. V nekaterih najpreprostejših situacijah je linearni diskriminator najboljši možni, in sicer v primeru, ko so verjetnosti vhodnih vektorjev, ki pripadajo razredu k, podane z Gaussovimi porazdelitvami  

Natančneje, izhodi omrežja Oya so linearne kombinacije prvih Š glavnih komponent. Za pridobitev natanko samih glavnih komponent je dovolj, da zamenjamo seštevek vseh rezultatov v Oyinem pravilu z  

Vektorji b poleg tega tvorijo tako imenovano minimalno bazo. To je namreč minimalno število vektorjev, s pomočjo linearne kombinacije katerih lahko predstavimo vse shranjene vektorje  

Naslednji sistematični postopek je sposoben iterativno identificirati najpomembnejše lastnosti, ki so linearne kombinacije vhodnih spremenljivk X = W X (podmnožice vhodov so poseben primer linearne kombinacije, tj. formalno je mogoče najti boljšo rešitev od tiste, ki je na voljo z izbiro najpomembnejših kombinacij vnosov).  

Metoda omogoča identifikacijo najbolj informativnih dejavnikov (linearne kombinacije začetnih karakteristik Xi - tako imenovane glavne komponente Zi) in z izločanjem nepomembnih dejavnikov vzpostavitev razmerja med njimi v obliki preprostih modelov. Ti modeli, kot tudi statistične značilnosti, olajšajo interpretacijo odvisnosti Xi in njihove stopnje do nekega indikatorja, na primer produktivnosti, zanesljivosti itd., Prav tako pa omogočajo analizo in napovedovanje stanja industrijskih objektov, ki se preučujejo.  

Med analizo se za opredelitev različnih vidikov finančnega stanja uporabljajo naslednji. absolutni kazalniki in finančni kazalniki, ki so relativni kazalniki finančnega stanja. Slednji se izračunajo v obliki razmerij absolutnih kazalnikov finančnega stanja ali njihovih linearnih kombinacij. Po klasifikaciji enega od ustanoviteljev znanosti o bilanci stanja N. A. Blatova so relativni kazalniki finančnega stanja razdeljeni na koeficiente porazdelitve in se uporabljajo v primerih, ko je treba ugotoviti, kateri del tega ali onega

3.3. Linearna neodvisnost vektorjev. Osnova.

Linearno kombinacija vektorski sistemi

imenujemo vektor

kjer je a 1, a 2, ..., a n - poljubna števila.

Če je vse na i = 0, potem se imenuje linearna kombinacija trivialno . V tem primeru očitno

Definicija 5.

Če za sistem vektorjev obstaja netrivialna linearna kombinacija (vsaj ena ai¹ 0) enak ničelnemu vektorju: potem se imenuje sistem vektorjev linearni odvisen. Če je enakost (1) možna le v primeru, ko so vsi a i =0, potem se imenuje sistem vektorjev linearni neodvisen .

2. izrek (Pogoji linearne odvisnosti).

Opredelitev 6.

Iz izreka 3 sledi, da če je baza podana v prostoru, potem z dodajanjem poljubnega vektorja dobimo linearno odvisen sistem vektorjev. Glede na Izrek 2 (1) , enega od njih (lahko se pokaže, da je vektor) mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo drugih:

.

Opredelitev 7.

Številke se imenujejo koordinate vektorji v osnovi (označeno

Če vektorje obravnavamo na ravnini, bo osnova urejen par nekolinearnih vektorjev

in koordinate vektorja v tej osnovi so par števil:

Opomba 3. Lahko se pokaže, da za dano osnovo so koordinate vektorja določene enolično . Iz tega zlasti izhaja, da če sta vektorja enaka, so enake tudi njune ustrezne koordinate in obratno .

Če je torej baza podana v prostoru, potem vsakemu vektorju prostora ustreza urejena trojka števil (koordinate vektorja v tej bazi) in obratno: vsaka trojka števil ustreza vektorju.

Na ravnini je podobna korespondenca vzpostavljena med vektorji in pari števil.

Izrek 4 (Linearne operacije skozi vektorske koordinate).

Če v neki podlagi in a je poljubno število, potem v tej osnovi

Z drugimi besedami:

Ko vektor pomnožimo s številom, se njegove koordinate pomnožijo s tem številom ;

pri dodajanju vektorjev se dodajo njihove ustrezne koordinate .

Primer 1 . Na neki osnovi vektorjiimajo koordinate

Pokažite, da vektorja tvorita osnovo in poiščite koordinate vektorja v tej bazi.

Vektorji tvorijo osnovo, če niso koplanarni, torej (v skladu z po izreku 3(2) ) so linearno neodvisni.

Po definiciji 5 to pomeni enakost

mogoče le, čex = l = z = 0.

Predavanje 6.

Vektorji ... se imenujejo linearno odvisni, če obstajajo števila , , ..., med katerimi vsaj eno ni enako nič, tako da

Vsota produktov števil in vektorjev, tj. vektor

imenujemo linearna kombinacija vektorjev.

Če je vektor predstavljen kot linearna kombinacija vektorjev, potem pravimo, da je tudi vektor razčlenjen na vektorje.

Zgornja definicija linearne odvisnosti vektorjev je enakovredna tej: vektorji so linearno odvisni, če je enega od njih mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo drugih (ali razširiti na druge).

1. izrek. Da sta dva vektorja in sta linearno odvisna, je nujno in zadostno, da sta kolinearna.

Dokaz potrebno. Podano: vektorji in so linearno odvisni. Moramo dokazati, da so kolinearni. Ker sta vektorja in linearno odvisna, obstajajo števila in, ki hkrati niso enaka nič, in taka, da

Naj bo na primer ; Potem

iz tega sledi, da sta vektorja in kolinearna.

Podano: vektorsko in kolinearno. Potrebno je dokazati, da so linearno odvisni.

Če , potem velja enakost, kar pomeni, da sta vektorja in linearno odvisna.

Če torej ob predpostavki najdemo ali; To pomeni, da sta vektorja in linearno odvisna.

Trije vektorji se imenujejo koplanarni, če se pri narisu iz ene točke izkaže, da ležijo v isti ravnini.

2. izrek. Da bi bili trije vektorji , , linearno odvisni, je nujno in zadostno, da so komplanarni.

Podano: vektorji , , so linearno odvisni. Moramo dokazati, da so komplanarni.

Ker so vektorji , , linearno odvisni, obstajajo števila , , , med katerimi je vsaj eno ; tako da

Naj bo na primer ; Potem

Vektorja in sta kolinearna vektorjem in ; torej vsota takih vektorjev, tj. vektor bo komplanaren z vektorjema in .

Dokazilo o zadostnosti. Podano: vektorji , , so komplanarni. Potrebno je dokazati, da so ti vektorji linearno odvisni.

Če so vektorji kolinearni, potem so linearno odvisni (izrek 1 tega razdelka), tj. obstajajo številke in , od katerih vsaj ena ni enaka nič in taka, da , potem pa in , tj. vektorji , , so linearno odvisni .

Naj bodo vektorji nekolinearni. Narišimo vektorje , in iz iste točke O:

Ker so vektorji , , komplanarni, potem točke O, ležijo v isti ravnini. Projicirajmo točko na premico, ki je vzporedna s premico; naj R- ta projekcija. Takrat in potem

potem, ob predpostavki

to pomeni, da so vektorji , , linearno odvisni.

Izrek 3. Katerikoli štirje vektorji , , , v prostoru so linearno odvisni.

Dokaz. Predlagajmo, da so vektorji , , nekoplanarni. Narišimo vse vektorje , , , iz iste točke O:

Naj R– projekcija točke na ravnino, ki je vzporedna s premico, in – projekcija točke R na ravno črto, ki je vzporedna z ravno črto. Potem.

Vektorja sta kolinearna vektorjem , in . verjeti; ; dobimo; ;

in zato:

tiste. vektorji , , , so linearno odvisni.

Izrek 4. Da bi bila dva neničelna vektorja kolinearna, je nujno in zadostno, da sta njuni koordinati sorazmerni.

Dokažimo izrek za primer, ko so vektorji določeni s svojimi koordinatami glede na splošni kartezični koordinatni sistem v prostoru.

Dokazilo o nujnosti. Podano: vektorji ; in kolinearni. Potrebno je dokazati, da so njihove koordinate sorazmerne.

Ker torej ob predpostavki dobimo, tj.

Dokazilo o zadostnosti. Podano: vektorske koordinate

sorazmerno. Dokazati moramo, da so ti vektorji kolinearni.

Naj ; to je , ali , in zato sta vektorja in kolinearna.

Izrek 5. Da sta dva vektorja in , določena s svojimi koordinatami glede na splošni kartezični koordinatni sistem na ravnini

ali glede na splošni kartezični koordinatni sistem v prostoru

bili kolinearni, je potrebno in zadostuje, da

(v primeru letala),

(v primeru prostora).

Dokažimo izrek za primer, ko sta vektorja in določena s svojimi koordinatami glede na splošni kartezični koordinatni sistem v prostoru.

Dokazilo o nujnosti. Podano: vektorsko in kolinearno. Potrebno je dokazati, da so razmerja izpolnjena

Če sta vektorja različna od nič in kolinearna, potem sta njuni koordinati sorazmerni, zato sta ti enakosti izpolnjeni (determinanta, v kateri sta vrstici sorazmerni, je enaka nič). Če ali (ali ==0), potem je ta enakost očitna.

Dokazilo o zadostnosti. Podano je, da so ta razmerja izpolnjena. Dokazati je treba, da sta vektorja in kolinearna.

Če je (tj. =0), sta vektorja in kolinearna (ker je ničelni vektor kolinearen kateremu koli vektorju). Naj vsaj eno od števil ni enako nič, npr. Postavimo ; potem iz relacije ali (razširitev determinante) ugotovimo, da pripadajo isti premici, podani s svojimi koordinatami glede na splošni kartezični koordinatni sistem v prostoru, če in samo če so razmerja izpolnjena

Posledica 3. Točke , , , , podane s svojimi koordinatami glede na splošni kartezični koordinatni sistem v prostoru, pripadajo isti ravnini, če in samo če so vektorji ; ; komplanarno, tj. če in samo če.