Primeri reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo. Sistemi linearnih enačb: osnovni pojmi Sistemi linearnih algebrskih enačb osnovni pojmi

Sistemi linearnih enačb. Predavanje 6.

Sistemi linearnih enačb.

Osnovni pojmi.

Ogled sistema

klical sistem - linearne enačbe z neznankami.

Številke , , se imenujejo sistemski koeficienti.

Številke se imenujejo brezplačni člani sistema, – sistemske spremenljivke. Matrix

klical glavna matrika sistema, in matriko

– razširjeni matrični sistem. Matrike - stolpci

In - temu primerno matrike prostih členov in neznank sistema. Potem lahko v matrični obliki sistem enačb zapišemo kot . Sistemska rešitev imenujemo vrednosti spremenljivk, po zamenjavi katerih se vse enačbe sistema spremenijo v pravilne numerične enakosti. Vsako rešitev sistema je mogoče predstaviti kot matrični stolpec. Potem je matrična enakost resnična.

Sistem enačb se imenuje skupniče ima vsaj eno rešitev in neskupniče ni rešitve.

Reševanje sistema linearnih enačb pomeni ugotoviti, ali je konsistenten, in če je, najti njegovo splošno rešitev.

Sistem se imenuje homogenače so vsi njegovi prosti členi enaki nič. Homogen sistem je vedno konsistenten, saj ima rešitev

Kronecker–Copellijev izrek.

Odgovor na vprašanje o obstoju rešitev linearnih sistemov in njihovi edinstvenosti nam omogoča, da dobimo naslednji rezultat, ki ga lahko formuliramo v obliki naslednjih izjav o sistemu linearnih enačb z neznankami

(1)

Izrek 2. Sistem linearnih enačb (1) je konsistenten, če in samo če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike (.

Izrek 3. Če je rang glavne matrike simultanega sistema linearnih enačb enak številu neznank, potem ima sistem edinstveno rešitev.

Izrek 4. Če je rang glavne matrike skupnega sistema manjši od števila neznank, ima sistem neskončno število rešitev.

Pravila za reševanje sistemov.

3. Poiščite izraz glavnih spremenljivk preko prostih in pridobite splošno rešitev sistema.

4. Z dajanjem poljubnih vrednosti prostim spremenljivkam se pridobijo vse vrednosti glavnih spremenljivk.

Metode reševanja sistemov linearnih enačb.

Metoda inverzne matrike.

in , tj. sistem ima edinstveno rešitev. Zapišimo sistem v matrični obliki

kje , , .

Pomnožimo obe strani matrične enačbe na levi z matriko

Ker , dobimo , iz česar dobimo enakost za iskanje neznank

Primer 27. Rešite sistem linearnih enačb z metodo inverzne matrike

rešitev. Označimo z glavno matriko sistema

.

Naj, potem najdemo rešitev s formulo.

Izračunajmo.

Ker ima sistem edinstveno rešitev. Poiščimo vse algebraične komplemente

, ,

, ,

, ,

, ,

torej

.

Preverimo

.

Inverzna matrika je bila pravilno najdena. Od tu z uporabo formule poiščemo matriko spremenljivk.

.

Če primerjamo vrednosti matrik, dobimo odgovor: .

Cramerjeva metoda.

Naj bo podan sistem linearnih enačb z neznankami

in , tj. sistem ima edinstveno rešitev. Zapišimo rešitev sistema v matrični obliki oz

Označimo

. . . . . . . . . . . . . . ,

Tako dobimo formule za iskanje vrednosti neznank, ki se imenujejo Cramerjeve formule.

Primer 28. Rešite naslednji sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode .

rešitev. Poiščimo determinanto glavne matrike sistema

.

Ker ima sistem edinstveno rešitev.

Poiščimo preostale determinante za Cramerjeve formule

,

,

.

Z uporabo Cramerjevih formul najdemo vrednosti spremenljivk

Gaussova metoda.

Metoda je sestavljena iz zaporedne eliminacije spremenljivk.

Naj bo podan sistem linearnih enačb z neznankami.

Postopek Gaussove rešitve je sestavljen iz dveh stopenj:

Na prvi stopnji se razširjena matrika sistema reducira z uporabo elementarnih transformacij v stopenjsko obliko

,

kjer , ki mu sistem ustreza

Po tem spremenljivke veljajo za proste in se v vsaki enačbi prenesejo na desno stran.

Na drugi stopnji se spremenljivka izrazi iz zadnje enačbe, dobljena vrednost pa se nadomesti v enačbo. Iz te enačbe

spremenljivka je izražena. Ta proces se nadaljuje do prve enačbe. Rezultat je izraz glavnih spremenljivk skozi proste spremenljivke .

Primer 29. Rešite naslednji sistem z Gaussovo metodo

rešitev. Izpišimo razširjeno matriko sistema in jo prestavimo v postopno obliko

.

Ker večje od števila neznank, potem je sistem konsistenten in ima neskončno število rešitev. Zapišimo sistem za matriko korakov

Determinanta razširjene matrike tega sistema, sestavljene iz prvih treh stolpcev, ni enaka nič, zato jo štejemo za osnovno. Spremenljivke

Bodo osnovne, variabilna pa prosta. Premaknimo ga v vseh enačbah na levo stran

Iz zadnje enačbe izrazimo

Če nadomestimo to vrednost v predzadnjo drugo enačbo, dobimo

kjer . Če zamenjamo vrednosti spremenljivk in v prvo enačbo, najdemo . Zapišimo odgovor v naslednji obrazec

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarskem sektorju za matematično modeliranje različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk; lahko jih je poljubno.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ni; vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, temveč razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb v splošnem učnem načrtu za 7. razred je precej preprosto in razloženo zelo podrobno. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Akcija se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Reševanje tega primera je enostavno in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neustrezno.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z uporabo algebraičnega seštevanja

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja se enačbe seštevajo člen za členom in množijo z različnimi števili. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Uporaba te metode zahteva prakso in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi; tudi število neznank ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t reducirati 1. enačbo sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminante je treba najti po znani formuli: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je sestavljena iz konstruiranja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

Naslednji primer zahteva iskanje grafične rešitve sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne; vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrika je posebna vrsta tabele, napolnjene s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrika-vektor je matrika enega stolpca z neskončno možnim številom vrstic. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, s katero se prvotna matrika spremeni v enotsko matriko; taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja pri delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitev sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam s substitucijo in algebrskim seštevanjem, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se za sisteme 3 in 4 enačb uporablja reševanje po Gaussovi metodi. Namen metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Gaussova metoda je srednješolcem težko razumljiva, vendar je eden najzanimivejših načinov za razvijanje iznajdljivosti otrok, ki so vključeni v nadaljevalne učne programe pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.

V šoli je vsak od nas študiral enačbe in najverjetneje sisteme enačb. Toda malo ljudi ve, da jih je mogoče rešiti na več načinov. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb, ki so sestavljene iz več kot dveh enačb.

Zgodba

Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz starega Babilona in Egipta. Vendar pa so se enakosti v znani obliki pojavile po pojavu enakega znaka "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporedna enaka segmenta. Dejansko ni boljšega primera enakosti.

Utemeljitelj sodobnih črkovnih oznak za neznanke in znake stopinj je francoski matematik, vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Na primer, kvadrat neznanega števila je označil s črko Q (lat. »quadratus«), kocko pa s črko C (lat. »cubus«). Ta zapis se zdaj zdi neroden, a takrat je bil najbolj razumljiv način zapisovanja sistemov linearnih algebrskih enačb.

Vendar je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki upoštevali le pozitivne korenine. To je lahko posledica dejstva, da negativne vrednosti niso imele praktične uporabe. Tako ali drugače so bili italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Raphael Bombelli tisti, ki so v 16. stoletju prvi prešteli negativne korenine. In sodobna oblika, glavna metoda rešitve (skozi diskriminantno) je nastala šele v 17. stoletju zahvaljujoč delu Descartesa in Newtona.

Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer našel nov način za lažje reševanje sistemov linearnih enačb. Ta metoda je kasneje po njem dobila ime in jo uporabljamo še danes. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, zdaj pa razpravljajmo o linearnih enačbah in metodah za njihovo reševanje ločeno od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najenostavnejše enačbe s spremenljivko (spremenljivkami). Uvrščamo jih med algebraične. zapisano v splošni obliki, kot sledi: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. V tej obliki jih bomo morali predstaviti pri kasnejšem prevajanju sistemov in matrik.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Opredelitev tega izraza je: je niz enačb, ki imajo skupne neznane količine in skupno rešitev. V šoli so praviloma vsi reševali sisteme z dvema ali celo tremi enačbami. Obstajajo pa sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da bo v prihodnosti priročno reševati. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 itd. Drugič, vse enačbe je treba spraviti v kanonično obliko: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Po vseh teh korakih lahko začnemo govoriti o tem, kako najti rešitve sistemov linearnih enačb. Matrice bodo zelo koristne za to.

Matrike

Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, na njihovem presečišču pa so njeni elementi. To so lahko specifične vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje so za označevanje elementov pod njimi postavljeni indeksi (na primer 11 ali 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Nad matricami se lahko izvajajo različne operacije, tako kot na katerem koli drugem matematičnem elementu. Tako lahko:

2) Pomnožite matriko s poljubnim številom ali vektorjem.

3) Transponiranje: spremeni matrične vrstice v stolpce in stolpce v vrstice.

4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.

Razpravljajmo o vseh teh tehnikah podrobneje, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo preprosto. Ker vzamemo matrike enake velikosti, je vsak element ene tabele v korelaciji z vsakim elementom druge tabele. Tako seštejemo (odštejemo) ta dva elementa (pomembno je, da stojita na istih mestih v svojih matricah). Pri množenju matrike s številom ali vektorjem preprosto pomnožite vsak element matrike s tem številom (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Zelo zanimivo je včasih to videti v resničnem življenju, na primer pri spreminjanju orientacije tablice ali telefona. Ikone na namizju predstavljajo matriko, ki se ob spremembi položaja prestavi in ​​postane širša, vendar se zmanjša v višino.

Oglejmo si še en postopek, kot je: Čeprav ga ne bomo potrebovali, ga bo še vedno koristno poznati. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj pa vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Pomnožimo jih drug z drugim in jih nato seštejemo (to pomeni, da bo na primer produkt elementov a 11 in a 12 z b 12 in b 22 enak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako dobimo en element tabele, ki ga polnimo naprej na podoben način.

Zdaj lahko začnemo obravnavati, kako se sistem linearnih enačb reši.

Gaussova metoda

Ta tema se začne obravnavati v šoli. Pojem “sistem dveh linearnih enačb” dobro poznamo in znamo ju reševati. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo

Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar vam ga ni treba preoblikovati in rešiti v čisti obliki.

Torej, kako ta metoda rešuje sistem linearnih Gaussovih enačb? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, so jo odkrili že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi končno reducirali celoten niz na obliko korakov. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno urejeno) od prve enačbe do zadnje neznanka zmanjšuje. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi so tri neznanke, v drugi dve, v tretji ena. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznanko, njeno vrednost nadomestimo v drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.

Cramerjeva metoda

Za obvladovanje te metode je ključnega pomena imeti veščine seštevanja in odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Torej, če vse to počnete slabo ali sploh ne znate, se boste morali naučiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Je zelo preprosto. Sestaviti moramo matriko numeričnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. Za to preprosto vzamemo števila pred neznankami in jih razvrstimo v tabelo po vrstnem redu, kot so zapisana v sistemu. Če je pred številko znak »-«, potem zapišemo negativni koeficient. Torej smo sestavili prvo matriko koeficientov za neznanke, pri čemer ne vključujemo števil za enačaji (seveda je treba enačbo reducirati na kanonično obliko, ko je na desni samo številka, vse neznanke s koeficienti pa na levo). Nato morate ustvariti še več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, zamenjamo vsak stolpec s koeficienti v prvi matriki po vrsti s stolpcem številk za znakom enačaja. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.

Ko smo našli determinante, je to majhna stvar. Imamo začetno matriko in nastalih je več matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Dobljeno število je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.

Druge metode

Obstaja več drugih metod za pridobivanje rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratnih enačb in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Najlažje se prilagodi računalniku in se uporablja v računalništvu.

Zapleteni primeri

Zapletenost običajno nastane, ko je število enačb manjše od števila spremenljivk. Potem lahko z gotovostjo rečemo, da je sistem nekonzistenten (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Prišli smo do konca. Povzemimo: ugotovili smo, kaj sta sistem in matrika, ter se naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega smo razmišljali o drugih možnostih. Ugotovili smo, kako rešiti sistem linearnih enačb: Gaussovo metodo in se pogovarjali o kompleksnih primerih in drugih načinih iskanja rešitev.

Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, priporočamo branje bolj specializirane literature.

Matrična metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb - izpeljava formule.

Naj za matrico A naročilo n na n obstaja inverzna matrika. Pomnožimo obe strani matrične enačbe na levi z (vrsti matrik A⋅X in IN omogočajo izvedbo takšne operacije, glejte članek operacije na matrikah, lastnosti operacij). Imamo . Ker je operacija množenja matrik ustreznega reda označena z lastnostjo asociativnosti, lahko zadnjo enakost prepišemo kot in po definiciji inverzne matrike ( E– matriko naročila enot n na n), zato

torej rešitev sistema linearnih algebrskih enačb z matrično metodo določa formula. Z drugimi besedami, rešitev za SLAE se najde z uporabo inverzne matrike.

Vemo, da je kvadratna matrika A naročilo n na n ima inverzno matriko le, če njena determinanta ni nič. Zato SISTEM n LINEARNE ALGEBRSKE ENAČBE Z n NEZNANKE JE LAHKO REŠITI Z MATRIČNO METODO SAMO, ČE JE DETERMINANTA OSNOVNE MATRIKE SISTEMA RAZLIČNA OD NIČ.

Vrh strani

Primeri reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo.

Oglejmo si matrično metodo na primerih. V nekaterih primerih ne bomo podrobneje opisovali postopka izračunavanja determinant matrik, po potrebi si oglejte članek Izračun determinante matrike.

Primer.

Z inverzno matriko poiščite rešitev sistema linearnih enačb .

rešitev.

V matrični obliki bo izvirni sistem zapisan kot , kjer je . Izračunajmo determinanto glavne matrike in se prepričajmo, da je različna od nič. V nasprotnem primeru sistema ne bomo mogli rešiti z matrično metodo. Imamo , torej za matriko A lahko najdemo inverzno matriko. Če torej najdemo inverzno matriko, definiramo zahtevano rešitev SLAE kot . Tako se je naloga zmanjšala na konstrukcijo inverzne matrike. Poiščimo jo.

To vemo za matrico inverzno matriko lahko najdemo kot , kjer so algebraični komplementi elementov .

V našem primeru

Potem

Preverimo dobljeno rešitev , ki ga nadomesti v matrično obliko izvirnega sistema enačb. Ta enakost se mora spremeniti v identiteto, sicer je nekje storjena napaka.

Zato je bila rešitev najdena pravilna.

odgovor:

ali v drugi objavi .

Primer.

Rešite SLAE z matrično metodo.

rešitev.

Prva enačba sistema ne vsebuje neznane spremenljivke x 2, drugič – x 1, tretji - x 3. To pomeni, da so koeficienti teh neznanih spremenljivk enaki nič. Zapišimo sistem enačb kot . S tega tipa je lažje preiti na matrično obliko zapisa SLAE . Prepričajmo se, da je ta sistem enačb mogoče rešiti z inverzno matriko. Z drugimi besedami, pokazali bomo, da:

Sestavimo inverzno matriko z uporabo matrike algebraičnih dodatkov:

potem,

Še vedno je treba najti rešitev za SLAE:

odgovor:

.

Ko prehajate iz običajne oblike sistema linearnih algebrskih enačb v njegovo matrično obliko, morate biti previdni pri vrstnem redu neznanih spremenljivk v enačbah sistema. Na primer SLAU NI MOGOČE zapisati kot . Najprej morate razporediti vse neznane spremenljivke v vseh enačbah sistema in nato preiti na matrični zapis:

oz

Previdni bodite tudi pri označevanju neznanih spremenljivk x 1, x 2, …, x n lahko katere koli druge črke. Na primer SLAU v matrični obliki bo zapisan kot .

Poglejmo si primer.

Primer.

z uporabo inverzne matrike.

rešitev.

Ko razvrstimo neznane spremenljivke v enačbe sistema, jih zapišemo v matematični obliki
. Izračunajmo determinanto glavne matrike:

Ni ničelna, zato je rešitev sistema enačb mogoče najti z inverzno matriko kot . Poiščimo inverzno matriko s pomočjo formule :

Dobimo želeno rešitev:

odgovor:

x = 0, y = -2, z = 3.

Primer.

Poiščite rešitev sistema linearnih algebrskih enačb matrična metoda.

rešitev.

Determinanta glavne matrike sistema je nič

zato ne moremo uporabiti matrične metode.

Iskanje rešitev takih sistemov je opisano v razdelku reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Reši SLAE matrična metoda, - neko realno število.

rešitev.

Sistem enačb v matrični obliki ima obliko . Izračunajmo determinanto glavne matrike sistema in se prepričajmo, da je različna od nič:

Kvadratni trinom ne izgine za nobeno realno vrednost, saj je njegov diskriminant negativen, zato determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič za nobeno realno vrednost. Po matrični metodi imamo . Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo formule :

Potem

odgovor:

.Nazaj na vrh

Naj povzamemo.

Matrična metoda je primerna za reševanje SLAE, v katerih število enačb sovpada s številom neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič. Če sistem vsebuje več kot tri enačbe, potem iskanje inverzne matrike zahteva precejšen računski napor, zato je v tem primeru priporočljivo uporabiti Gaussovo metodo za reševanje.

Sistem linearnih algebrskih enačb. Osnovni pojmi. Matrični zapisni obrazec.

Definicija sistema linearnih algebrskih enačb. Sistemska rešitev. Klasifikacija sistemov.

Pod sistem linearnih algebrskih enačb(SLAE) pomenijo sistem

Pokličemo parametre aij koeficientov, in bi – brezplačni člani SLAU. Včasih, da bi poudarili število enačb in neznank, rečejo "m×n sistem linearnih enačb", s čimer nakazujejo, da SLAE vsebuje m enačb in n neznank.

Če so vsi prosti členi bi=0, se pokliče SLAE homogena. Če je med prostimi člani vsaj en član, ki ni nič, se pokliče SLAE heterogena.

Z rešitvijo SLAU(1) pokliče katero koli urejeno zbirko števil (α1,α2,...,αn), če elementi te zbirke, zamenjani v danem vrstnem redu za neznanke x1,x2,...,xn, spremenijo vsako enačbo SLAE v identiteta.

Vsaka homogena SLAE ima vsaj eno rešitev: nič(v drugi terminologiji – trivialno), tj. x1=x2=…=xn=0.

Če ima SLAE (1) vsaj eno rešitev, jo pokličemo skupni, če ni rešitev - neskupni. Če ima skupni SLAE natanko eno rešitev, se ta imenuje določene, če obstaja neskončna množica rešitev – negotova.

Matrična oblika zapisa sistemov linearnih algebrskih enačb.

Z vsakim SLAE je lahko povezanih več matrik; Poleg tega se SLAE lahko zapiše v obliki matrične enačbe. Za SLAE (1) upoštevajte naslednje matrike:

Matrika A se imenuje matriko sistema. Elementi te matrike predstavljajo koeficiente danega SLAE.

Imenuje se matrika A˜ razširjeni matrični sistem. Dobimo ga tako, da matriki sistema dodamo stolpec, ki vsebuje proste člene b1,b2,...,bm. Običajno je ta stolpec zaradi jasnosti ločen z navpično črto.

Stolpčna matrika B se imenuje matriko prostih članov, stolpčna matrika X pa je matriko neznank.

Z uporabo zgoraj uvedenega zapisa lahko SLAE (1) zapišemo v obliki matrične enačbe: A⋅X=B.

Opomba

Matrike, povezane s sistemom, lahko zapišemo na različne načine: vse je odvisno od vrstnega reda spremenljivk in enačb obravnavanega SLAE. Toda v vsakem primeru mora biti vrstni red neznank v vsaki enačbi danega SLAE enak

Kronecker-Capellijev izrek. Študij sistemov linearnih enačb za konsistentnost.

Kronecker-Capellijev izrek

Sistem linearnih algebrskih enačb je konsistenten, če in samo če je rang sistemske matrike enak rangu razširjene matrike sistema, tj. rangA=rangA˜.

Sistem je konsistenten, če ima vsaj eno rešitev. Kronecker-Capellijev izrek pravi tole: če rangA=rangA˜, potem obstaja rešitev; če rangA≠rangA˜, potem ta SLAE nima rešitev (nekonsistenten). Odgovor na vprašanje o številu teh rešitev daje posledica Kronecker-Capellijevega izreka. Pri formulaciji posledice je uporabljena črka n, ki je enaka številu spremenljivk danega SLAE.

Posledica Kronecker-Capellijevega izreka

Če rangA≠rangA˜, je SLAE nedosleden (nima rešitev).

Če rangA=rangA˜

Če rangA=rangA˜=n, potem je SLAE določen (ima natanko eno rešitev).

Upoštevajte, da formulirani izrek in njegova posledica ne nakazujeta, kako najti rešitev za SLAE. Z njihovo pomočjo lahko le ugotovite, ali te rešitve obstajajo ali ne, in če obstajajo, koliko.

Metode za reševanje SLAE

Cramerjeva metoda

Cramerjeva metoda je namenjena reševanju tistih sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE), v katerih je determinanta matrike sistema različna od nič. Seveda to predpostavlja, da je matrika sistema kvadratna (koncept determinante obstaja samo za kvadratne matrike). Bistvo Cramerjeve metode je mogoče izraziti v treh točkah:

Sestavite determinanto sistemske matrike (imenujemo jo tudi determinanta sistema) in se prepričajte, da ni enaka nič, tj. Δ≠0.

Za vsako spremenljivko xi je potrebno sestaviti determinanto Δ X i , ki jo dobimo iz determinante Δ z zamenjavo i-tega stolpca s stolpcem prostih členov danega SLAE.

Poiščite vrednosti neznank z uporabo formule xi= Δ X i /Δ

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z uporabo inverzne matrike.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) z uporabo inverzne matrike (včasih to metodo imenujemo tudi matrična metoda ali inverzna matrična metoda) zahteva predhodno seznanitev s konceptom matrične oblike zapisa SLAE. Metoda inverzne matrike je namenjena reševanju tistih sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je determinanta sistemske matrike drugačna od nič. Seveda to predpostavlja, da je matrika sistema kvadratna (koncept determinante obstaja samo za kvadratne matrike). Bistvo metode inverzne matrike je mogoče izraziti v treh točkah:

Zapišite tri matrike: matriko sistema A, matriko neznank X, matriko prostih členov B.

Poiščite inverzno matriko A -1 .

Z enakostjo X=A -1 ⋅B dobimo rešitev dane SLAE.

Gaussova metoda. Primeri reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb z Gaussovo metodo.

Gaussova metoda je eden najbolj nazornih in preprostih načinov reševanja sistemi linearnih algebrskih enačb(SLAU): tako homogena kot heterogena. Skratka, bistvo te metode je zaporedno izločanje neznank.

Dovoljene transformacije v Gaussovi metodi:

Zamenjava mest dveh vrstic;

Množenje vseh elementov niza z nekim številom, ki ni enako nič.

Dodajanje elementom ene vrstice ustreznih elementov druge vrstice, pomnoženih s poljubnim faktorjem.

Prečrtanje vrstice, katere vsi elementi so nič.

Prečrtanje podvojenih vrstic.

Glede zadnjih dveh točk: ponavljajoče se črte lahko prečrtate na kateri koli stopnji rešitve z uporabo Gaussove metode - seveda, pri čemer pustite eno od njih. Na primer, če se vrstice št. 2, št. 5, št. 6 ponavljajo, potem lahko pustite eno od njih, na primer vrstico št. 5. V tem primeru se vrstici št. 2 in št. 6 izbrišeta.

Ničelne vrstice so odstranjene iz matrike razširjenega sistema, ko se pojavijo.