Reševanje linearnih enačb z eno spremenljivko. Kako rešiti linearno enačbo v eni spremenljivki? Kaj je linearna enačba z 1 spremenljivko

Linearne enačbe. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Linearne enačbe.

Linearne enačbe niso najtežja tema šolske matematike. Obstaja pa nekaj trikov, ki lahko zmedejo celo izurjenega študenta. Naj ugotovimo?)

Običajno je linearna enačba opredeljena kot enačba oblike:

sekira + b = 0 kje a in b– poljubne številke.

2x + 7 = 0. Tukaj a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Tukaj a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Tukaj a=12, b=1/2

Nič zapletenega, kajne? Še posebej, če ne opazite besed: "kjer sta a in b poljubni števili"... In če opazite in neprevidno razmišljate o tem?) Konec koncev, če a=0, b=0(so možne katere koli številke?), potem dobimo smešen izraz:

A to še ni vse! Če recimo, a=0, A b=5, To se izkaže za nekaj povsem nenavadnega:

Kar je moteče in spodkopava zaupanje v matematiko, ja ...) Še posebej med izpiti. Toda med temi čudnimi izrazi morate najti tudi X! Ki sploh ne obstaja. In, presenetljivo, ta X je zelo enostavno najti. Naučili se bomo tega delati. V tej lekciji.

Kako prepoznati linearno enačbo po videzu? Odvisno od videza.) Trik je v tem, da linearne enačbe niso le enačbe oblike sekira + b = 0 , temveč tudi vse enačbe, ki jih je mogoče reducirati na to obliko s transformacijami in poenostavitvami. In kdo ve, ali se spusti ali ne?)

V nekaterih primerih je mogoče jasno prepoznati linearno enačbo. Recimo, če imamo enačbo, v kateri so samo neznanke prve stopnje in števila. In v enačbi ni ulomki deljeni s neznano , to je pomembno! In deljenje po številka, ali številski ulomek - to je dobrodošlo! Na primer:

To je linearna enačba. Tukaj so ulomki, vendar ni x-ov v kvadratu, kocki itd., niti x-ov v imenovalcih, tj. št deljenje z x. In tukaj je enačba

ni mogoče imenovati linearno. Tukaj so X-ji vsi na prvi stopnji, vendar obstajajo deljenje z izrazom z x. Po poenostavitvah in transformacijah lahko dobite linearno enačbo, kvadratno enačbo ali kar koli želite.

Izkazalo se je, da je nemogoče prepoznati linearno enačbo v nekem zapletenem primeru, dokler je skoraj ne rešiš. To je moteče. Toda v nalogah praviloma ne sprašujejo o obliki enačbe, kajne? Naloge zahtevajo enačbe odločiti se. To me osrečuje.)

Reševanje linearnih enačb. Primeri.

Celotna rešitev linearnih enačb je sestavljena iz identičnih transformacij enačb. Mimogrede, te transformacije (dve od njih!) so osnova rešitev vse matematične enačbe. Z drugimi besedami, rešitev katerikoli enačba se začne prav s temi transformacijami. V primeru linearnih enačb (rešitev) temelji na teh transformacijah in se konča s popolnim odgovorom. Smiselno je slediti povezavi, kajne?) Poleg tega so tam tudi primeri reševanja linearnih enačb.

Najprej si poglejmo najpreprostejši primer. Brez kakršnih koli pasti. Recimo, da moramo rešiti to enačbo.

x - 3 = 2 - 4x

To je linearna enačba. Vsi X-ji so na prvi potenci, ni deljenja z X-ji. Toda pravzaprav nam ni pomembno, za kakšno enačbo gre. Moramo ga rešiti. Shema tukaj je preprosta. Zberite vse, kar ima X na levi strani enačbe, vse brez X (številke) na desni.

Če želite to narediti, morate prenesti - 4x v levo stran, seveda s spremembo predznaka in - 3 - na desno. Mimogrede, to je prva identična transformacija enačb. Presenečen? To pomeni, da niste sledili povezavi, a zaman ...) Dobimo:

x + 4x = 2 + 3

Tukaj so podobni, menimo:

Kaj potrebujemo za popolno srečo? Ja, tako da je na levi čisti X! Pet je na poti. Znebiti se petih s pomočjo druga identična transformacija enačb. Obe strani enačbe namreč delimo s 5. Dobimo pripravljen odgovor:

Elementaren primer, seveda. To je za ogrevanje.) Ni čisto jasno, zakaj sem se tukaj spomnil enakih transformacij? OK. Prijemimo bika za roge.) Odločimo se za nekaj bolj trdnega.

Tukaj je na primer enačba:

Kje začnemo? Z X-ji - na levo, brez X-jev - na desno? To je možno. Majhni koraki po dolgi poti. Lahko pa to storite takoj, na univerzalen in močan način. Če seveda imate v svojem arzenalu enake transformacije enačb.

Postavljam vam ključno vprašanje: Kaj vam pri tej enačbi najbolj ni všeč?

95 od 100 ljudi bo odgovorilo: ulomki ! Odgovor je pravilen. Zato se jih znebimo. Zato začnemo takoj z druga transformacija identitete. S čim morate pomnožiti ulomek na levi, da se imenovalec popolnoma zmanjša? Tako je, na 3. In na desni? S 4. Toda matematika nam omogoča, da obe strani pomnožimo s enako število. Kako lahko pridemo ven? Pomnožimo obe strani z 12! Tisti. na skupni imenovalec. Potem se bodo zmanjšale tako tri kot štiri. Ne pozabite, da morate vsak del pomnožiti v celoti. Tako izgleda prvi korak:

Razširitev oklepajev:

Pozor! Števec (x+2) Dala sem v oklepaj! To je zato, ker se pri množenju ulomkov pomnoži celoten števec! Zdaj lahko zmanjšate ulomke:

Razširite preostale oklepaje:

Ne primer, ampak čisti užitek!) Zdaj pa se spomnimo uroka iz osnovne šole: z X - na levo, brez X - na desno! In uporabite to transformacijo:

Tukaj je nekaj podobnih:

In oba dela delite s 25, tj. znova uporabite drugo transformacijo:

To je vse. odgovor: X=0,16

Prosimo, upoštevajte: da bi prvotno zmedeno enačbo spravili v lepo obliko, smo uporabili dva (samo dva!) transformacije identitete– prevajanje levo-desno s spremembo predznaka in množenje-deljenje enačbe z istim številom. To je univerzalna metoda! Na ta način bomo delali z katerikoli enačbe! Absolutno kdorkoli. Zato ves čas dolgočasno ponavljam o teh enakih transformacijah.)

Kot lahko vidite, je princip reševanja linearnih enačb preprost. Vzamemo enačbo in jo poenostavljamo z enakimi transformacijami, dokler ne dobimo odgovora. Tu so glavni problemi v izračunih, ne v principu rešitve.

Toda ... V procesu reševanja najbolj elementarnih linearnih enačb so takšna presenečenja, da vas lahko spravijo v močno omamo ...) Na srečo sta takšni presenečenji lahko le dve. Recimo jim posebni primeri.

Posebni primeri pri reševanju linearnih enačb.

Prvo presenečenje.

Recimo, da naletite na zelo osnovno enačbo, nekaj takega:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Rahlo zdolgočaseno premaknemo z X v levo, brez X - v desno ... S spremembo predznaka je vse popolno ... Dobimo:

2x-5x+3x=5-2-3

Računamo in ... ups!!! Dobimo:

Ta enakost sama po sebi ni sporna. Zero je res nič. Ampak X manjka! In v odgovoru moramo zapisati, čemu je x enak? Sicer pa rešitev ne šteje, kajne...) Zastoj?

umirjeno! V takih dvomljivih primerih vas bodo rešila najbolj splošna pravila. Kako rešiti enačbe? Kaj pomeni rešiti enačbo? To pomeni, poiščite vse vrednosti x, ki nam bodo, ko jih nadomestimo v prvotno enačbo, dale pravilno enakost.

Imamo pa pravo enakost že uspelo je! 0=0, koliko bolj natančno?! Še vedno je treba ugotoviti, pri katerem x se to zgodi. V katere vrednosti X je mogoče nadomestiti original enačba, če so ti x-ji bodo še zreducirani na nulo? Daj no?)

ja!!! X-je je mogoče zamenjati katerikoli! Katere želite? Najmanj 5, vsaj 0,05, vsaj -220. Še vedno se bodo krčili. Če mi ne verjamete, lahko preverite.) Zamenjajte poljubne vrednosti X v original enačbo in izračunaj. Ves čas boste dobili čisto resnico: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 in tako naprej.

Tukaj je vaš odgovor: x - poljubno število.

Odgovor je lahko zapisan z različnimi matematičnimi simboli, bistvo se ne spremeni. To je povsem pravilen in popoln odgovor.

Drugo presenečenje.

Vzemimo isto osnovno linearno enačbo in spremenimo samo eno število v njej. Takole se bomo odločili:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po enakih enakih transformacijah dobimo nekaj zanimivega:

Takole. Rešili smo linearno enačbo in dobili čudno enakost. V matematičnem smislu smo dobili lažna enakost. Toda preprosto povedano, to ni res. Rave. Toda kljub temu je ta nesmisel zelo dober razlog za pravilno rešitev enačbe.)

Spet razmišljamo na podlagi splošnih pravil. Kaj nam bodo dali x-ji, če jih zamenjamo v izvirno enačbo res enakost? Da, nobenega! Takih X-jev ni. Ne glede na to, kaj vložite, se bo vse zmanjšalo, ostale bodo samo neumnosti.)

Tukaj je vaš odgovor: ni rešitev.

To je tudi povsem popoln odgovor. V matematiki se takšni odgovori pogosto najdejo.

Takole. Upam, da vas izginotje X-ov v procesu reševanja katere koli (ne samo linearne) enačbe ne bo prav nič zmedlo. To je že znana zadeva.)

Zdaj, ko smo opravili z vsemi pastmi v linearnih enačbah, jih je smiselno rešiti.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V prejšnjih urah smo se seznanili z izrazi, se jih tudi naučili poenostavljati in računati. Zdaj pa preidimo na nekaj bolj zapletenega in zanimivega, namreč na enačbe.

Enačba in njeni koreni

Enačbe, ki vsebujejo spremenljivko(e), imenujemo enačbe. Reši enačbo , pomeni najti vrednost spremenljivke, pri kateri bo enakost resnična. Vrednost spremenljivke se imenuje koren enačbe .

Enačbe imajo lahko en koren, več ali pa nobenega.

Pri reševanju enačb se uporabljajo naslednje lastnosti:

• Če člen v enačbi premaknete iz enega dela enačbe v drugega in spremenite predznak v nasprotnega, boste dobili enačbo, ki je enakovredna dani.
• Če obe strani enačbe pomnožimo ali delimo z istim številom, dobimo enačbo, ki je enakovredna dani.

Primer št. 1Katera od števil: -2, -1, 0, 2, 3 so koreni enačbe:

Če želite rešiti to nalogo, morate preprosto zamenjati vsako od številk za spremenljivko x eno za drugo in izbrati tiste številke, za katere velja, da je enakost resnična.

Pri “x= -2”:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4\) - enakost velja, kar pomeni, da je (-2) koren naše enačbe

Pri "x= -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7\) - enakost je napačna, zato (-1) ni koren enačbe

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10\) - enakost je napačna, zato 0 ni koren enačbe

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\(4=4\) - enakost velja, kar pomeni, da je 2 koren naše enačbe

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1\) - enakost je napačna, torej 3 ni koren enačbe

Odgovor: iz predstavljenih števil sta korena enačbe \(x^2=10-3x\) števili -2 in 2.

Linearna enačba z eno spremenljivko so enačbe oblike ax = b, kjer je x spremenljivka, a in b pa sta števili.

Obstaja veliko število vrst enačb, vendar se reševanje mnogih od njih zmanjša na reševanje linearnih enačb, zato je poznavanje te teme obvezno za nadaljnje usposabljanje!

Primer št. 2 Rešite enačbo: 4(x+7) = 3-x

Če želite rešiti to enačbo, se morate najprej znebiti oklepaja in za to pomnožiti vsak člen v oklepaju s 4, dobimo:

4x + 28 = 3 - x

Zdaj moramo premakniti vse vrednosti iz "x" na eno stran in vse ostalo na drugo stran (ne pozabimo spremeniti znaka v nasprotno), dobimo:

4x + x = 3 - 28

Zdaj odštejte vrednost od leve in desne:

Če želite najti neznani faktor (x), morate produkt (25) deliti z znanim faktorjem (5):

Odgovor x = -5

Če dvomite o odgovoru, lahko preverite tako, da nadomestite dobljeno vrednost v našo enačbo namesto x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - enačba je pravilno rešena!

Zdaj pa rešimo nekaj bolj zapletenega:

Primer št. 3 Poiščite korenine enačbe: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Najprej se znebimo tudi oklepajev:

Takoj vidimo y in -y na levi strani, kar pomeni, da ju lahko preprosto prečrtate in preprosto seštejete nastale številke ter napišete izraz:

Zdaj lahko premaknete vrednosti z "y" v levo in vrednosti s številkami v desno. A to ni nujno, saj ni pomembno, na kateri strani so spremenljivke, glavno je, da so brez številk, kar pomeni, da ne bomo ničesar prenašali. Toda za tiste, ki ne razumejo, bomo storili, kot pravi pravilo, in oba dela delimo z (-1), kot pravi lastnost:

Če želite najti neznani faktor, morate produkt deliti z znanim faktorjem:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Odgovor: y = \(1\frac(1)(3)\)

Odgovor lahko tudi preverite, vendar to storite sami.

Primer št. 4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Zdaj bom samo rešil, brez razlage, vi pa poglejte potek rešitve in pravilen zapis za reševanje enačb:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6\)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6\)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5\)

Odgovor: x = -1,5

Če med rešitvijo kaj ni jasno, napišite v komentarje.

Reševanje nalog z uporabo enačb

Če veste, kaj so enačbe in se jih naučite izračunati, si omogočite tudi dostop do reševanja številnih problemov, pri katerih se za rešitev uporabljajo enačbe.

Ne bom se spuščal v teorijo, bolje je pokazati vse naenkrat s primeri

Primer št. 5 V košari je bilo 2-krat manj jabolk kot v škatli. Ko smo 10 jabolk preložili iz košare v škatlo, je bilo v škatli 5-krat več jabolk kot v košari. Koliko jabolk je bilo v košari in koliko v škatli?

Najprej moramo določiti, kaj bomo sprejeli kot "x", v tem problemu lahko sprejmemo tako zaboje kot košare, vendar bom vzel jabolka v košaro.

Torej, naj bo v košari x jabolk, ker je bilo v škatli dvakrat več jabolk, potem vzemimo to za 2x. Ko so jabolka preložili iz košare v škatlo, je bilo število jabolk v košari: x - 10, kar pomeni, da je bilo v škatli - (2x + 10) jabolk.

Zdaj lahko sestavimo enačbo:

5(x-10) - v škatli je 5-krat več jabolk kot v košari.

Izenačimo prvo vrednost in drugo:

2x+10 = 5(x-10) in rešite:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x = -60/-3 = 20 (jabolka) - v košari

Zdaj, ko vemo, koliko jabolk je bilo v košari, ugotovimo, koliko jabolk je bilo v škatli - ker jih je bilo dvakrat več, bomo rezultat preprosto pomnožili z 2:

2*20 = 40 (jabolka) - v škatli

Odgovor: v škatli je 40 jabolk, v košari pa 20 jabolk.

Razumem, da mnogi od vas morda niste popolnoma razumeli, kako rešiti težave, vendar vam zagotavljam, da se bomo v naših učnih urah še večkrat vrnili k tej temi, medtem pa, če imate še vedno vprašanja, jih postavite v komentarjih .

Za konec še nekaj primerov reševanja enačb

Primer št. 6\(2x - 0,7x = 0\)

Primer št. 7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Primer št. 8\(6y-(y-1) = 4+5y\)

\(6y-y+1=4+5y\)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - ni korenin, ker Ne moreš deliti z nič!

Hvala vsem za vašo pozornost. Če kaj ni jasno, vprašajte v komentarjih.

Javascript je onemogočen v vašem brskalniku.
Za izvajanje izračunov morate omogočiti kontrolnike ActiveX!

Najprej morate razumeti, kaj je to.

Obstaja preprosta definicija linearna enačba, ki je podana v redni šoli: "enačba, v kateri se spremenljivka pojavlja le na prvi potenci." Vendar ni povsem pravilna: enačba ni linearna, niti se ne reducira na to, reducira se na kvadratno.

Natančnejša definicija je: linearna enačba je enačba, ki z uporabo ekvivalentne transformacije lahko zmanjšamo na obliko , kjer je naslov="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Pravzaprav, da bi razumeli, ali je enačba linearna ali ne, jo je treba najprej poenostaviti, torej pripeljati do oblike, kjer bo njena klasifikacija nedvoumna. Ne pozabite, da lahko z enačbo počnete, kar želite, dokler ne spremeni svojih korenin - to je to. enakovredno pretvorbo. Najenostavnejše ekvivalentne transformacije vključujejo:

1. odpiranje oklepaja
2. prinašanje podobnih
3. množenje in/ali deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič
4. seštevanje in/ali odštevanje z obeh strani istega števila ali izraza*

Te transformacije lahko naredite neboleče, ne da bi razmišljali o tem, ali boste "uničili" enačbo ali ne.
*Posebna razlaga zadnje transformacije je »prenos« pojmov iz enega dela v drugega s spremembo predznaka.

Primer 1:
(odprimo oklepaje)
(seštej obema deloma in odštej/prenesi s spremembo predznaka števila v levo, spremenljivk pa v desno)
(dajmo podobne)
(obe strani enačbe delite s 3)

Tako dobimo enačbo, ki ima enake korene kot izvirna. Naj bralca spomnimo, da "reši enačbo"- pomeni najti vse njegove korenine in dokazati, da drugih ni, in "koren enačbe"- to je število, ki bo, ko ga nadomestimo z neznanko, spremenilo enačbo v pravo enakost. No, v zadnji enačbi je iskanje števila, ki spremeni enačbo v pravo enakost, zelo preprosto - to je število. Nobeno drugo število ne bo predstavljalo identitete te enačbe. odgovor:

Primer 2:
(pomnožite obe strani enačbe z , potem ko smo se prepričali, da ne množimo z : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(odprimo oklepaje)
(premaknimo izraze)
(dajmo podobne)
(oba dela delimo z )

Približno tako se rešujejo vse linearne enačbe. Za mlajše bralce se je ta razlaga verjetno zdela zapletena, zato ponujamo različico "linearne enačbe za 5. razred"

V tem članku bomo obravnavali načelo reševanja takih enačb kot linearne enačbe. Zapišimo definicijo teh enačb in postavimo splošno obliko. Analizirali bomo vse pogoje za iskanje rešitev linearnih enačb, med drugim na praktičnih primerih.

Upoštevajte, da spodnji material vsebuje informacije o linearnih enačbah z eno spremenljivko. Linearne enačbe v dveh spremenljivkah so obravnavane v ločenem članku.

Kaj je linearna enačba

Definicija 1

Linearna enačba je enačba, zapisana na naslednji način:
a x = b, Kje x– spremenljivka, a in b- nekaj številk.

Ta formulacija je bila uporabljena v učbeniku algebre (7. razred) Yu.N. Makarycheva.

Primer 1

Primeri linearnih enačb bi bili:

3 x = 11(enačba z eno spremenljivko x pri a = 5 in b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( linearna enačba s spremenljivko l, Kje a = - 3, 1 in b = 0);

x = − 4 in − x = 5,37(linearne enačbe, kjer št a zapisano eksplicitno in enako 1 oziroma - 1. Za prvo enačbo b = - 4; za drugo - b = 5,37) itd.

Različna izobraževalna gradiva imajo lahko različne definicije. Na primer, Vilenkin N.Y. Med linearne enačbe sodijo tudi tiste enačbe, ki jih lahko pretvorimo v obliko a x = b s prenašanjem izrazov iz enega dela v drugega s spremembo predznaka in prinašanjem podobnih izrazov. Če sledimo tej razlagi, enačba 5 x = 2 x + 6 – tudi linearno.

Toda učbenik algebre (7. razred) Mordkoviča A.G. daje naslednji opis:

Definicija 2

Linearna enačba v eni spremenljivki x je enačba oblike a x + b = 0, Kje a in b– nekatera števila, imenovana koeficienti linearne enačbe.

Primer 2

Primer linearnih enačb te vrste je lahko:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Obstajajo pa tudi primeri linearnih enačb, ki smo jih že uporabili zgoraj: oblike a x = b, na primer 6 x = 35.

Takoj se strinjamo, da bomo v tem članku pod linearno enačbo z eno spremenljivko razumeli napisano enačbo a x + b = 0, Kje x– spremenljivka; a, b – koeficienti. Ta oblika linearne enačbe se nam zdi najbolj upravičena, saj so linearne enačbe algebraične enačbe prve stopnje. In druge zgoraj navedene enačbe ter enačbe, podane z ekvivalentnimi transformacijami v obliki a x + b = 0, definiramo kot enačbe, ki se reducirajo na linearne enačbe.

S tem pristopom je enačba 5 x + 8 = 0 linearna in 5 x = − 8- enačba, ki se reducira na linearno.

Princip reševanja linearnih enačb

Poglejmo, kako ugotoviti, ali bo dana linearna enačba imela korenine in, če jih ima, koliko in kako jih določiti.

Definicija 3

Dejstvo prisotnosti korenin linearne enačbe je določeno z vrednostmi koeficientov a in b. Zapišimo te pogoje:

• pri a ≠ 0 linearna enačba ima en sam koren x = - b a ;
• pri a = 0 in b ≠ 0 linearna enačba nima korenin;
• pri a = 0 in b = 0 linearna enačba ima neskončno veliko korenin. V bistvu lahko v tem primeru poljubno število postane koren linearne enačbe.

Dajmo razlago. Vemo, da je v procesu reševanja enačbe možno dano enačbo preoblikovati v enakovredno enačbo, kar pomeni, da ima iste korene kot izvirna enačba ali pa tudi nima korenin. Naredimo lahko naslednje enakovredne transformacije:

• prenesite izraz iz enega dela v drugega, spremenite znak v nasprotno;
• pomnožite ali delite obe strani enačbe z istim številom, ki ni nič.

Tako transformiramo linearno enačbo a x + b = 0, premikanje termina b z leve strani na desno s spremembo predznaka. Dobimo: a · x = − b .

Torej delimo obe strani enačbe s številom, ki ni nič A, kar ima za posledico enakost oblike x = - b a . Se pravi, kdaj a ≠ 0, izvirna enačba a x + b = 0 je enakovredna enakosti x = - b a, v kateri je koren - b a očiten.

S protislovjem je mogoče dokazati, da je najdeni koren edini. Najdeni koren - b a označimo kot x 1 . Predpostavimo, da obstaja še en koren linearne enačbe z oznako x 2 . In seveda: x 2 ≠ x 1, to pa je na podlagi definicije enakih števil skozi razliko enakovredno pogoju x 1 − x 2 ≠ 0 . Ob upoštevanju zgornjega lahko z zamenjavo korenov ustvarimo naslednje enakosti:
a x 1 + b = 0 in a x 2 + b = 0.
Lastnost številskih enakosti omogoča odštevanje delov enačb po členih:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, od tukaj: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 in naprej a · (x 1 − x 2) = 0 . Enakopravnost a · (x 1 − x 2) = 0 je napačno, ker je bilo predhodno navedeno, da a ≠ 0 in x 1 − x 2 ≠ 0 . Nastalo protislovje služi kot dokaz, da ko a ≠ 0 linearna enačba a x + b = 0 ima samo en koren.

Utemeljimo še dve klavzuli pogojev, ki vsebujejo a = 0.

kdaj a = 0 linearna enačba a x + b = 0 bo zapisano kot 0 x + b = 0. Lastnost množenja števila z nič nam daje pravico, da trdimo, da je katero koli število vzeto za x, ki ga nadomesti z enakostjo 0 x + b = 0, dobimo b = 0 . Enakost velja za b = 0; v drugih primerih, ko b ≠ 0, enakost postane lažna.

Torej kdaj a = 0 in b = 0 , katero koli število lahko postane koren linearne enačbe a x + b = 0, saj ko so ti pogoji izpolnjeni, namesto tega nadomesti x poljubno število, dobimo pravilno številsko enakost 0 = 0 . kdaj a = 0 in b ≠ 0 linearna enačba a x + b = 0 sploh ne bo imelo korenin, saj, ko so izpolnjeni podani pogoji, namesto tega zamenja x poljubno število, dobimo napačno številsko enakost b = 0.

Vsi zgornji premisleki nam dajejo priložnost, da zapišemo algoritem, ki omogoča iskanje rešitve katere koli linearne enačbe:

• glede na vrsto zapisa določimo vrednosti koeficientov a in b in jih analizirati;
• pri a = 0 in b = 0 enačba bo imela neskončno veliko korenin, tj. poljubno število bo postalo koren dane enačbe;
• pri a = 0 in b ≠ 0
• pri a, ki je različen od nič, začnemo iskati edini koren izvirne linearne enačbe:

1. premaknimo koeficient b na desno stran s spremembo predznaka v nasprotno, s čimer linearna enačba dobi obliko a · x = − b ;
2. obe strani dobljene enakosti delimo s številom a, kar nam bo dalo želeni koren dane enačbe: x = - b a.

Pravzaprav je opisano zaporedje dejanj odgovor na vprašanje, kako najti rešitev linearne enačbe.

Na koncu pojasnimo enačbe oblike a x = b se rešujejo s podobnim algoritmom z edino razliko, da število b v takem zapisu je bil že prenesen v zahtevani del enačbe in s a ≠ 0 lahko takoj delite dele enačbe s številom a.

Tako najti rešitev enačbe a x = b, uporabljamo naslednji algoritem:

• pri a = 0 in b = 0 enačba bo imela neskončno veliko korenin, tj. vsako število lahko postane njegov koren;
• pri a = 0 in b ≠ 0 dana enačba ne bo imela korenin;
• pri a, ki ni enako nič, sta obe strani enačbe deljeni s številom a, ki omogoča iskanje edinega korena, ki je enak b a.

Primeri reševanja linearnih enačb

Primer 3

Linearno enačbo je treba rešiti 0 x − 0 = 0.

rešitev

S pisanjem dane enačbe vidimo, da a = 0 in b = − 0(oz b = 0, kar je enako). Tako ima lahko dana enačba neskončno število korenin ali poljubno število.

odgovor: x– poljubno število.

Primer 4

Ugotoviti je treba, ali ima enačba korenine 0 x + 2, 7 = 0.

rešitev

Iz zapisa ugotovimo, da je a = 0, b = 2, 7. Tako dana enačba ne bo imela korenin.

odgovor: izvirna linearna enačba nima korenin.

Primer 5

Glede na linearno enačbo 0,3 x − 0,027 = 0. Treba ga je rešiti.

rešitev

Z zapisom enačbe ugotovimo, da je a = 0, 3; b = - 0,027, kar nam omogoča, da trdimo, da ima dana enačba en koren.

Po algoritmu premaknemo b na desno stran enačbe, spremenimo predznak, dobimo: 0,3 x = 0,027. Nato obe strani dobljene enakosti delimo z a = 0, 3, potem: x = 0, 027 0, 3.

Razdelimo decimalne ulomke:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Dobljeni rezultat je koren dane enačbe.

Naj na kratko zapišemo rešitev takole:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

odgovor: x = 0,09.

Zaradi jasnosti predstavljamo rešitev pisne enačbe a x = b.

Primer N

Dane enačbe so: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Treba jih je rešiti.

rešitev

Vse podane enačbe ustrezajo vnosu a x = b. Poglejmo jih enega za drugim.

V enačbi je 0 x = 0, a = 0 in b = 0, kar pomeni: katero koli število je lahko koren te enačbe.

V drugi enačbi 0 x = − 9: a = 0 in b = − 9, tako ta enačba ne bo imela korenin.

Glede na obliko zadnje enačbe - 3 8 · x = - 3 3 4, zapišemo koeficiente: a = - 3 8, b = - 3 3 4, t.j. enačba ima en sam koren. Poiščimo ga. Delimo obe strani enačbe z a, rezultat je: x = - 3 3 4 - 3 8. Poenostavimo ulomek tako, da uporabimo pravilo za deljenje negativnih števil, čemur sledi pretvorba mešanega števila v navadni ulomek in delitev navadnih ulomkov:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Naj na kratko zapišemo rešitev takole:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

odgovor: 1) x– poljubno število, 2) enačba nima korenin, 3) x = 10.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Enačba z eno neznanko, ki po odprtju oklepajev in prinašanju podobnih členov dobi obliko

ax + b = 0, kjer sta a in b poljubni števili linearna enačba z eno neznanko. Danes bomo ugotovili, kako rešiti te linearne enačbe.

Na primer, vse enačbe:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linearno.

Vrednost neznanke, ki spremeni enačbo v pravo enakost, se imenuje odločitev oz koren enačbe .

Na primer, če v enačbi 3x + 7 = 13 namesto neznanega x nadomestimo številko 2, dobimo pravilno enakost 3 2 +7 = 13. To pomeni, da je vrednost x = 2 rešitev ali koren enačbe.

In vrednost x = 3 ne spremeni enačbe 3x + 7 = 13 v resnično enakost, saj je 3 2 +7 ≠ 13. To pomeni, da vrednost x = 3 ni rešitev ali koren enačbe.

Reševanje katere koli linearne enačbe se zmanjša na reševanje enačb oblike

ax + b = 0.

Premaknimo prosti člen z leve strani enačbe na desno in spremenimo znak pred b v nasprotno, dobimo

Če je a ≠ 0, potem je x = ‒ b/a .

Primer 1. Rešite enačbo 3x + 2 =11.

Premaknimo 2 z leve strani enačbe na desno in spremenimo znak pred 2 v nasprotno, dobimo
3x = 11 – 2.

Nato naredimo odštevanje
3x = 9.

Če želite najti x, morate produkt deliti z znanim faktorjem, tj
x = 9:3.

To pomeni, da je vrednost x = 3 rešitev ali koren enačbe.

Odgovor: x = 3.

Če je a = 0 in b = 0, potem dobimo enačbo 0x = 0. Ta enačba ima neskončno veliko rešitev, saj ko katero koli število pomnožimo z 0 dobimo 0, vendar je tudi b enak 0. Rešitev te enačbe je poljubno število.

Primer 2. Rešite enačbo 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Razširimo oklepaje:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Tukaj je nekaj podobnih izrazov:
0x = 0.

Odgovor: x - poljubno število.

Če je a = 0 in b ≠ 0, potem dobimo enačbo 0x = - b. Ta enačba nima rešitev, saj ko katerokoli število pomnožimo z 0, dobimo 0, a b ≠ 0.

Primer 3. Rešite enačbo x + 8 = x + 5.

Združimo izraze z neznankami na levi strani in proste izraze na desni strani:
x – x = 5 – 8.

Tukaj je nekaj podobnih izrazov:
0х = ‒ 3.

Odgovor: ni rešitev.

Vklopljeno Slika 1 prikazuje diagram za reševanje linearne enačbe

Sestavimo splošno shemo za reševanje enačb z eno spremenljivko. Oglejmo si rešitev 4. primera.

Primer 4. Recimo, da moramo rešiti enačbo

1) Pomnožite vse člene enačbe z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev, ki je enak 12.

2) Po zmanjšanju dobimo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Če želite ločiti izraze, ki vsebujejo neznane in proste izraze, odprite oklepaj:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) V enem delu združimo izraze, ki vsebujejo neznanke, v drugem pa proste izraze:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Predstavimo podobne izraze:
- 22x = - 154.

6) Delimo z – 22, dobimo
x = 7.

Kot lahko vidite, je koren enačbe sedem.

Na splošno tako enačbe je mogoče rešiti z naslednjo shemo:

a) spravi enačbo v njeno celoštevilsko obliko;

b) odprite oklepaje;

c) v enem delu enačbe združi člene, ki vsebujejo neznanko, v drugem pa proste člene;

d) privabi podobne člane;

e) rešite enačbo oblike aх = b, ki smo jo dobili po vnosu podobnih členov.

Vendar ta shema ni potrebna za vsako enačbo. Pri reševanju številnih enostavnejših enačb morate začeti ne od prve, ampak od druge ( Primer. 2), tretji ( Primer. 1, 3) in celo iz pete stopnje, kot v primeru 5.

Primer 5. Rešite enačbo 2x = 1/4.

Poiščite neznanko x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Poglejmo reševanje nekaterih linearnih enačb, ki jih najdemo na glavnem državnem izpitu.

Primer 6. Rešite enačbo 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Odgovor: - 0,125

Primer 7. Rešite enačbo – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Odgovor: 2.3

Primer 8. Reši enačbo

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Primer 9. Poiščite f(6), če je f (x + 2) = 3 7

rešitev

Ker moramo najti f(6) in poznamo f (x + 2),
potem x + 2 = 6.

Rešimo linearno enačbo x + 2 = 6,
dobimo x = 6 – 2, x = 4.

Če je x = 4, potem
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Odgovor: 27.

Če imate še vedno vprašanja ali želite reševanje enačb razumeti bolj temeljito, se prijavite na moje ure v URNIKU. Z veseljem vam bom pomagal!

TutorOnline priporoča tudi ogled nove video lekcije naše mentorice Olge Alexandrovne, ki vam bo pomagala razumeti tako linearne enačbe kot druge.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.