Žoga v 4-dimenzionalnem prostoru. Štiridimenzionalna rotacija in pakiranje krogel. Nekaj ​​uporabnih aplikacij iz drugih virov

GEOMETRIJSKA SLIKA ŠTIRIDIMENZIONALNE ŽOGLE.

Egorov Nester Aleksandrovič

Študent 4. letnika, Oddelek za algebro in geometrijo IMI NEFU, Ruska federacija, Jakutsk

E- pošta: egrvnester@ pošta. ru

Popov Oleg Nikolajevič

znanstveni mentor dr. tehn. znanosti, izredni profesor IMI NEFU, Ruska federacija, Jakutsk

Ta članek ponuja predstavitev štiridimenzionalne krogle v štiridimenzionalnem prostoru z uporabo njenih tridimenzionalnih odsekov. Za razlago težav, povezanih z zaznavanjem objektov v štiridimenzionalnem prostoru, se uporablja metoda, ki temelji na upoštevanju prostorov z nižjimi dimenzijami. Ustreznost ta pristop je, da vam omogoča razumevanje strukture geometrijskih slik štiridimenzionalnega prostora, poleg tega pa prispeva k razvoju prostorskega in abstraktnega mišljenja. To delo je zanimiva za srednješolce, študente matematike in naravoslovje, pa tudi učitelji matematike. Predstavljen je vizualno, brez uporabe formul, ki temelji le na šolski tečaj geometrija.

V znanstveni in poljudni literaturi, v medijih množični mediji, se pogosto omenjajo večdimenzionalni prostori in predmeti. Obstajajo različne teorije o večdimenzionalnosti našega vesolja. V človeški naravi je, da geometrijske predmete predstavlja v vizualni obliki. Zato mnogi, ko so slišali besedno zvezo "štiridimenzionalna žoga", jo takoj poskušajo vizualizirati v svoji domišljiji. Dobro si predstavljamo dvodimenzionalno kroglo (to je krog, ki leži na ravnini), tridimenzionalna krogla je predmet, ki ga pogosto srečamo v življenju. Toda v štiridimenzionalnem primeru v naši domišljiji nikakor ne moremo zgraditi geometrijske podobe štiridimenzionalne krogle. To je posledica pojava četrte dimenzije, ki nam je nedostopna.

Oblikovanje intuitivno razumljive ideje za bralca o geometrijski podobi štiridimenzionalne krogle je cilj našega dela. Ne uporablja strogih definicij ali matematičnih formul. Vse uporabljene koncepte in izraze razumemo le intuitivno. Vse gradivo je predstavljeno v poljudni obliki.

Pomen dela je v tem, da nam omogoča razumevanje strukture geometrijskih slik štiridimenzionalnega prostora, prispeva pa tudi k razvoju prostorskega in abstraktnega mišljenja in je zanimiv za srednješolce, študente fakultet. matematike in naravoslovja ter učitelji matematike.

Slika 1. a) Premica v štiridimenzionalnem prostoru seka tridimenzionalno kroglo samo v eni notranji točki; b) Premica na ravnini seka dvodimenzionalno kroglo po odseku; c) Premica, ki leži v prostoru, seka dvodimenzionalno kroglo samo v eni točki

Štiridimenzionalni prostor je do neke mere nenavaden prostor. Vemo, da v tridimenzionalnem prostoru premica seka omejeno tridimenzionalno konveksno prostornino (na primer kroglo) vzdolž segmenta. Izjema je, ko se ravna črta dotakne določenega predmeta. V štiridimenzionalnem prostoru se lahko vse zgodi drugače. Ravna črta lahko "prelukne" tridimenzionalno kroglo skozi in zadene samo eno notranjo točko, ne da bi motila njeno okolico (slika 1, a)). To omogoča, da 4D oseba (če bi obstajala) vzame vse naše stvari iz torbe, ne da bi jo odprla ali prerezala, kar se zdi zelo nenavadno in nerazložljivo. Da bi to razumeli, razmislite o dvodimenzionalnem prostoru (dvodimenzionalni prostor je ravnina, ki je vstavljena v tridimenzionalni prostor). Ravna črta na ravnini bo sekala krog, ki se nahaja v ravnini vzdolž segmenta, in ravna črta v prostoru, ki leži zunaj ravnine, bo sekala krog samo v eni točki (slika 1, b), c)).

Da bo epizoda manjkajočih stvari iz torbe bolj razumljiva, na tablo narišimo dvodimenzionalno osebo, narišimo njene ledvice, ledvični kamen. Nato v roke vzamemo krpo in previdno, ne da bi se dotaknili ledvic dvodimenzionalne osebe, obrišemo kamen (slika 2). Zdaj si lahko čestitamo, da smo pravkar uspešno opravili operacijo odstranitve ledvičnega kamna brez rezov in da je naš bolnik zdrav. Kar je izven nadzora dvodimenzionalnega kirurga, se za navadnega tridimenzionalnega človeka izkaže za preprosto stvar.

Slika 2. Odstranjevanje kamna iz dvodimenzionalne ledvice s strani tridimenzionalnega zdravnika brez rezerv

Nadalje bomo uporabili to tehniko, povezano s prehodom v nižjo dimenzijo, da bi razložili težave, povezane z zaznavanjem predmetov, ki se nahajajo v štiridimenzionalnem prostoru. Težave zaznavanja dvodimenzionalnega človeka, ko poskuša razumeti tridimenzionalni svet, so podobne našim pri zaznavanju štiridimenzionalnega prostora, saj jih v obeh primerih povezuje pojav nove nedostopne dimenzije.

Dva tridimenzionalna prostora se lahko sekata ali sta vzporedna v štiridimenzionalnem prostoru. Poglejmo primer, ko se sekata.

Slika 3. Dva tridimenzionalna prostora se sekata v štiridimenzionalnem prostoru vzdolž ravnine.

Če se dve ravnini x in y sekata vzdolž premice l (slika 4), potem se tridimenzionalna prostora P in Q sekata vzdolž ravnine α (slika 3). Za dvodimenzionalno osebo bo ravna črta l (če je neprozorna) stena, ki deli njegov svet na dva dela. In polravnini y 1 in y 2 zanj ne obstajata, saj sta v tretji dimenziji, njemu nedostopni. Za tridimenzionalno osebo bo taka stena, ki deli celoten prostor na dva dela, ravnina α (slika 3).

Nato razmislite o dveh sekajočih se ravninah x in y, po eni od katerih se kotali dvodimenzionalna krogla (slika 4). Upoštevajte, da dvodimenzionalna oseba vidi samo črto l iz ravnine y, saj je v njenem prostoru x. Polravnini y 1 in y 2 sta zanj nevidni, zato bo dvodimenzionalna oseba, ki se nahaja v ravnini x, videla točko (ravna krogla se je dotaknila črte), ki se nato razcepi (krogla je prečkala črto). Nadalje, ko se žoga premika, se bodo točke razhajale, dokler ravna črta presečišča ravnin ne sovpada s premerom žoge, nato pa se bo vse zgodilo v obratnem vrstnem redu.

Slika 4. Dvodimenzionalna oseba vidi samo točko stika kroga z njegovo ravnino

Zdaj ni težko razumeti, kaj bomo videli, ko smo v tridimenzionalnem prostoru P, v primeru, ko žoga, ki jo izstreli noga nogometaša, ki se nahaja v Q, prečka naš prostor. Najprej na ravnini α. pojavi se točka, ki se takoj spremeni v postopoma naraščajoč krog, ki je presečišče ravnine α in kroglice. Ko doseže svoj maksimum s polmerom, ki je enak polmeru nogometne žoge, se bo postopoma začela zmanjševati, dokler se ne degenerira nazaj v točko in izgine iz vidnega polja (slika 5). Kaj bomo videli, ko bo nogometaš sam stekel za žogo, pa pustimo bralcu, da si predstavlja. Za zabavo si predstavljajmo, kaj se bo zgodilo, če nogometaš na nek neverjeten način v prostoru Q po nesreči zavije v naš prostor P (glej sliko 6).

Slika 5. Pogled žogice, ki prečka prostor opazovalca v dinamiki

Slika 6. Videz nogometaša v prostoru p iz vesolja Q

V dvodimenzionalni različici si je enostavno predstavljati dve vzporedni ravnini. Tridimenzionalni prostor je mogoče predstaviti kot neskončno zbirko vzporednih ravnin, ki so »zlepljene skupaj«. To idejo lahko dobite ob pogledu na komplet kart, kjer je vsaka karta povezana z letalom ali knjigo, kjer vlogo letal igrajo listi te knjige.

Štiridimenzionalni prostor predstavlja tudi zbirko »zlepljenih«, a že tridimenzionalnih vzporednih prostorov. Poskusite si v svoji domišljiji predstavljati dva vzporedna (lepljena skupaj), to je zelo blizu drug drugega, tridimenzionalna prostora. Ne bo vam uspelo. Prostori, ki si jih želimo predstavljati v svoji domišljiji, se začnejo križati ali pa se nočejo približati in se odrivajo drug od drugega. Ugotovimo razlog za naš neuspeh. Da bi to naredili, analizirajmo, kako si bo dvodimenzionalna oseba, ki živi v ravnini x, poskušala predstavljati dve vzporedni ravnini y in z, ki ležita zelo blizu druga drugi. Ker za dvodimenzionalno osebo ni tretje dimenzije h (sl. 7a), jih bo prisiljen postaviti v svoj prostor, čeprav bodo v resnici locirani pravokotno (ali pod nekim kotom), ki sekajo ravnino x ( Slika 7b)). Zdaj postane takoj očitno, kaj je razlog za naš neuspeh. Dva tridimenzionalna prostora skušamo spraviti v en tridimenzionalni prostor, v katerem smo (slika 7c)), ko pa naj bi se raztezala vzdolž četrte dimenzije, ki nam je nedostopna. Jasno je, da ne bosta mogla delovati zlepljena skupaj.

Upoštevajte, da lahko tridimenzionalni prostor predstavimo kot sled, ki jo pusti letalo kot rezultat svojega gibanja v določeni smeri (slika 8).

Slika 7. a) Dvodimenzionalna oseba si poskuša predstavljati dve vzporedni ravnini; b) dejansko lokacijo vzporednih ravnin; c) Poskušamo postaviti dva tridimenzionalna prostora v en tridimenzionalni prostor

Slika 8. Tridimenzionalni prostor, dobljen z gibanjem ravnine

Zdaj, kot prej, upoštevajte prostore P in Q, ki se sekata vzdolž ravnine α (slika 9a)). Vsakega od prostorov lahko dobimo s premikanjem ravnine α glede na smeri koordinatnih osi x in t. Nato narišimo ravnino β v prostoru P zelo blizu vzporedno z ravnino α. Očitno β ne bo v prostoru Q. Te ravnine začnimo premikati v smeri t tako, da bodo v vsakem trenutku t gibljive ravnine vzporedne in blizu druga drugi. Potem sta prostor Q in prostor Q β, dobljena s premikanjem ravnin α in β, vzporedna in bosta zelo blizu drug od drugega (na razdalji, ki je enaka razdalji med ravninama α in β , vzdolž dimenzije x). Potem se lahko dve tridimenzionalni telesi, na primer dve krogli, ki se nahajata v popolnoma različnih, vendar vzporednih prostorih Q in Q β blizu drug drugega, izkažeta za zelo blizu ("zlepljena skupaj") (slika 9b)).

Slika 9. a) Ravnina β iz sijaja p je blizu in vzporedna z ravnino α in ni v prostoru Q ; b) Množice ravnin, ki jih dobimo s premikanjem ravnin α in β v smeri t , tvorijo vzporedne prostore blizu drug drugega Q in Q β Upodobljene kroglice, ki se nahajajo v teh prostorih, so na vseh točkah blizu druga drugi ("lepljive" kroglice)

Vse štiridimenzionalni prostor lahko obravnavamo kot niz vzporednih, zelo tesno razmaknjenih (»zlepljenih«) tridimenzionalnih prostorov. Če vzamemo čas kot četrto dimenzijo, potem bo gibanje osebe v časovnem stroju ustrezalo prehodu iz enega vzporednega prostora v drugega. V tem primeru, za razliko od sekajočih se prostorov, ko vidimo le prerez predmeta, ki se premika skozi drugi prostor in prečka našega, se bo pred nami nenadoma pojavil časovni stroj z osebo, ki sedi v njem, ki se bo raztopila v preteklost ali prihodnost, odvisno od smeri njenega gibanja.

Tako: razumeli smo, da se tridimenzionalni prostori sekajo po ravnini; štiridimenzionalni prostor je mogoče predstaviti kot niz "zlepljenih" vzporednih tridimenzionalnih prostorov; dobil idejo o "lepljenju" tridimenzionalnih teles, ki se nahajajo v vzporednih prostorih.

Kaj je štiridimenzionalna krogla? Da bi odgovorili na to vprašanje, analizirajmo, kako je z vidika dvodimenzionalne osebe strukturirana naša običajna tridimenzionalna krogla. Seveda ne more videti celotne žoge, v njegovem vidnem polju je le dvodimenzionalna krogla - krog, ki meji na dvodimenzionalni krog in je presečišče sveta dvodimenzionalne osebe z žogo. (kar je znotraj kroga, mu ni vidno. Slika 10 a)). Pri premiku v vzporedne prostore se bo krožnica ožila, dokler se ne degenerira v točko (slika 10 b)).

Slika 10. a) Dvodimenzionalni človek vidi le del kroga, ki ga omejujejo presečišče ravnine in kroglice; b) Ko se oseba premakne v vzporedne ravnine, se krog postopoma sprevrže v točko

V primeru štiridimenzionalne krogle je človekovo vidno polje omejeno s prostorom, v katerem se nahaja. Po analogiji lahko domnevamo, da vidi kroglo, ki meji na kroglo, ki je presečišče tega tridimenzionalnega prostora s štiridimenzionalno kroglo. Pri premikanju v vzporedne prostore se krogla tudi zmanjšuje v polmeru, dokler se ne degenerira v točko (slika 11 a)). Zdaj bomo poskušali podrobneje razumeti, kakšne vrste kroglic vidimo in kako tvorijo štiridimenzionalno kroglo.

Oglejmo si tridimenzionalno kroglo 2 (slika 11 b)) in njene odseke z vzporednimi ravninami. Skupaj teh vzporedne ravnine tvorijo tridimenzionalni prostor z dimenzijami y, z, t, v katerem se nahaja želena kroglica 2. Vsaka od teh ravnin s svojim gibanjem v smeri x tvori »lepljive« tridimenzionalne prostore. V teh prostorih se nahajajo tridimenzionalne krogle (glej kroglo 1), ki jih opazimo med (zgoraj opisanimi) prehodi v vzporedne prostore (slika 11a)). Kombinacija teh kroglic bo tvorila štiridimenzionalno kroglo. Štiridimenzionalna krogla je torej zbirka kroglic, ki se na vseh točkah držijo skupaj in se zmanjšujejo, kar tvori geometrijsko podobo štiridimenzionalne krogle. Ne moremo pa videti celotne celovite slike žoge, saj ne moremo videti izven svojega prostora.

Slika 11. a) Vidno s strani človeka, med prehodi v vzporedne prostore se kroglice zmanjšajo; b) Štiridimenzionalna krogla je zbirka padajočih "združenih" kroglic, ki so odseki štiridimenzionalne krogle s tridimenzionalnimi prostori, vzporednimi s prostorom. p

Poglejmo si štiridimenzionalno kroglo z različnih strani. Opazovalec, ki se nahaja v tridimenzionalnem prostoru P z dimenzijami y, z, t in gleda v smeri t, bo videl kroglo (slika 12), ki je sestavljena iz delov kroglic, ki tvorijo štiridimenzionalno kroglo (na sliki 11 to je žoga 2).

Opazovalec, ki se nahaja v prostoru Q in gleda v smeri x, bo prav tako videl tridimenzionalno kroglo (slika 12). Tako opazovalci, ki se nahajajo v prostorih P in Q, vidijo isto sliko - tridimenzionalno kroglo. Vendar pa so kroglice, ki jih opazujejo, različni geometrijski objekti, ki se nahajajo v različnih prostorih in sekajo vzdolž dvodimenzionalnega kroga.

Slika 12. Opazovalci, ki se nahajajo v križajočih se prostorih p in Q videli tridimenzionalno žogo. Vendar pa v resnici opazujejo različne kroglice, ki se križajo vzdolž poti

Na žalost, kot je navedeno zgoraj, je naše vidno polje omejeno na tridimenzionalni prostor, zato ne moremo videti štiridimenzionalnih slik kot celote. Vendar je britanski matematik Charles Hinton (1853-1907) razvil posebno metodo za konstruiranje modelov geometrijske oblike v štiridimenzionalnem prostoru vzdolž njihovih tridimenzionalnih odsekov. Ta metoda je podrobno opisana v dveh njegovih monografijah. Hinton je trdil, da se je kot rezultat dolgoletnega dela, ki je temeljilo na tej posebni metodi, naučil mentalno predstavljati geometrijske slike v štiridimenzionalnem prostoru. Verjel je tudi, da bo oseba, ki dovolj dobro obvlada to metodo, pridobila intuitivno razumevanje štiridimenzionalnega prostora.

Reference:

1. Hinton Charles H. Nova doba misli, orig. 1888, ponatis 1900, Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - str. 240.

Štiridimenzionalna rotacija vesolja.

Če je vesolje zaprto, potem se mora vrteti. Vse njegove točke se morajo premikati z enako 4 hitrostjo in z enako kotno hitrostjo.

Tako navadne žoge ne moreš vrteti. Točke krogle v bližini vrtilne osi se gibljejo z manj linearna hitrost kot ekvatorialne točke.

Toda zaprto vesolje se izkaže za idealno glede na vrtenje. Izkaže se, da je prostorsko homogen in izotropen. Kako je to mogoče?

Ta risba nam resnično pomaga razumeti štiridimenzionalno rotacijo tridimenzionalne neevklidske hipersfere x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2 potopljen v evklidski štiridimenzionalni prostor. Toda ta enačba vključuje prostorsko koordinato q, ki smo jih na sliki prepoznali z barvo.

Nadomestimo jo s časovno koordinato t, pomnoženo s svetlobno hitrostjo, da dobimo metre, in z namišljeno enoto i, ker je prostor-čas psevdoevklidski. To pomeni, da dobimo enačbo: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2, psevdoevklidska hipersfera.

To rotacijo v ravnini (x,ict) si lahko ogledate tako, da odprete moj program, vendar datoteke .exe trenutno niso naložene na spletno mesto. Kmalu bom poskusil narediti animirano gif risbo.

Upoštevajte, da se elektron tam vrti in teče skozi desno in levo hiperbolo v svojem klasičnem času. Tam vidite, kako »senca« elektrona riše krog.

Ta krog dobimo, če vsak element hiperbole delimo z ustreznim relativističnim faktorjem in ju seštejemo. Kot rezultat dobimo 2p ri. (To nakazuje, da se psevdokrog v zaprtem vesolju spremeni v kvazizaprt krog ne le za elektron, ampak za vse delce v vesolju, vključno z galaksijami. Kam gre torej asimetrija? Če želite to narediti, ne pozabite, da je kvadrat s 4 hitrostmi v g, icg) V posebna teorija relativnost je invarianta in je enaka -

Vzamemo katero koli točko v zaprtem rotirajočem vesolju. Vsaka točka ima dve osi-ravnini. Nahaja se na eni osi, druga os pa je pravokotna. Oba sta kroga. Os, na kateri se nahaja zadevni delec, vsebuje časovno koordinato in morebitno drugo prostorsko koordinato. Naj bo (z,ict). Ta os se giblje s hitrostjo c. Za naš delec, ki ga proučujemo, bo ta hitrost zgolj začasna, saj se giblje vzdolž te osi in zato glede na to os miruje. Druge točke na osi bodo dobile večji prostorski del, čim dlje bodo od proučevane točke. In glede na časovno komponento 4-stopenjskega menjalnika se tempo časa zmanjšuje, bolj ko je dlje od preučevane točke. Sklepamo torej: galaksiji v dveh nasprotnih smereh, v katerih leži ta osna ravnina, bosta imeli prečni rdeči premik zaradi rotacije prostor-čas po koordinati z.

Ker se druga ravnina osi vrti v pravokotni smeri, bo tudi tam opazen prečni rdeči premik, vendar je tam posledica prečnega gibanja v ravnini (x,y).

Ta rotacija pojasnjuje veliko stvari:
prisotnost spina v vsakem delcu;
prisotnost kvantne ψ-funkcije;
desno-leva asimetrija v vijačnicah galaksij;
Zakaj je pogojna starost vesolja vedno 13,34 milijarde let!
nenormalno hitro vrtenje obrobnih delov galaksij;
Kritična gostota vesolja je lahko manjša ...

Če se vrtilne hitrosti vzdolž osi nekoliko razlikujejo, lahko v reliktnem ozadju opazimo multipolno strukturo, v rdečih premikih galaksij pa rahlo anizotropijo.

Svetovne črte.

V animiranem gifu vidimo gibanje žogic. Pravzaprav je treba namišljeno sliko nekoliko zakomplicirati s predstavo svetovnih linij galaksij. Za galaksije, ki se vrtijo v (z,ict) ravnini, identificiramo čas z barvo. Če gre čas na tej strani slike v eno smer, potem gre čas na nasprotni strani slike nazaj. To ne bi smelo biti presenetljivo. zamuja ali prehiteva druge delce, potem v trenutku časovno-prostorske sinhronizacije prejme elementarno spremembo hitrosti ali z drugimi besedami naredi elementarni obrat v prostor-času.

Enake osnovne rotacije v prostoru-času bomo videli, če sledimo gibanju kroglic na naši vrteči se sliki, dopolnjeni z drugo sliko.

Naredimo elementarni prehod iz središča te figure v katero koli smer.

Hkrati se bomo znašli bližje neki konvencionalni meji. Ker pa je vesolje izotropno in homogeno, moramo izvesti transformacije z drugimi galaksijami – premakniti jih tako, da je preučevani delec spet v središču.

Z miselnim izvajanjem tega postopka opazimo, da bodo galaksije, ki so bile zadaj na oddaljeni meji, po transformaciji na sprednji meji.

Če se gibanje zgodi vzdolž časovne komponente, potem galaksije, ki so bile v preteklosti blizu obzorja dogodkov, izginejo in se v daljni prihodnosti pojavijo "nad svetlobnim stožcem".

Galaksije, ki so znotraj svetlobnega stožca na vmesnem položaju med premikajočo se proučevano galaksijo in obzorjem dogodkov, zaradi niza zaporednih transformacij dobijo hitrost recesije, podobno tisti, ki jo »opazujemo« v razširjajočem se modelu vesolja.

Poleg sproščanja snovi izven obzorja dogodkov v daljni preteklosti in s tem procesa zmanjševanja koncentracije delcev zaradi pospeševanja odstranjevanja galaksij, obstaja proces, ki kompenzira število galaksij v svetlobi stožec. Število galaksij je relativen pojem. V bližini naše galaksije, LMC in MMC, so sateliti. Povsem možno je, da se zdaj rojevajo drugi sateliti - nekatere kopice zvezd se ločujejo od Galaksije. Čez čas bodo to neodvisne galaksije z veliko število

zvezde Vprašanje je, od kod izvira snov? Prvič, snov vstopi v svetlobni stožec od zgoraj. Drugič, izbruhi sevanja gama. Ta postopek je opisan na strani Hoyle Model and 4d Rotation. Izkazalo se je, da je štiridimenzionalna rotacija vesolja v dvoje medsebojna pravokotne ravnine ne le ustreza opažanjem, ampak tudi oživlja Stacionarni model

Vesolje, ki so ga ustvarili Fred Hoyle, Herman Bondi in Thomas Gold.

Nekaj ​​uporabnih aplikacij iz drugih virov.

Težave z razporejanjem kroglic se pogosto pojavljajo v številnih situacijah, zlasti v teoriji kodiranja (kroglice tvorijo nizi vhodov, ki bi jih popravljanje napak preslikalo v eno kodno besedo).
Najpomembnejše vprašanje na tem področju je Keplerjev problem: kaj je najgostejše pakiranje kroglic v vesolju? Odgovor je očiten vsakomur, ki je videl zložene grenivke v trgovini z živili, a dokaz ostaja neulovljiv , da je običajna embalaža grenivke najgostejša embalaža, v kateri središča krogel tvorijo mrežo.)

Barvito poimenovan "problem številk poljubljanja" se nanaša na lokalno gostoto pakiranj: koliko žogic se lahko dotakne druge žogice? Na to lahko gledamo kot na različico Keplerjevega problema za sferično in ne evklidsko geometrijo.

V matematiki problemi pakiranja krogel zadevajo ureditev neprekrivajočih se enakih krogel, ki zapolnjujejo prostor. Običajno gre za tridimenzionalni evklidski prostor. Vendar pa lahko težave s pakiranjem sfer posplošimo na dvodimenzionalni prostor (kjer so "sfere" krogi), na n-dimenzionalni prostor (kjer so "sfere" hipersfere) in na neevklidske prostore, kot je hiperbolični prostor.
Pravilna ureditev (imenovana tudi periodična ali mrežasta ureditev) je tista, pri kateri središča krogel tvorijo zelo simetričen vzorec, imenovan mreža. Razporeditve, pri katerih krogle niso urejene v mrežo, imenujemo nepravilne ali aperiodične ureditve. S pravilnimi razporeditvami je lažje ravnati kot z nepravilnimi – njihova visoka stopnja simetrije olajša njihovo razvrščanje in merjenje njihove gostote.

Število enakovrednih hipersfer v dimenzijah n ki se lahko dotika enakovredne hipersfere brez presečišč, včasih imenovano tudi Newtonovo število, kontaktna številka, koordinacijsko število ali ligant.

Natančne vrednosti za mrežasto pakiranje so znane za n=1 do 9 in n=24 (Conway in Sloane 1993, Sloane in Nebe). Odlyzko in Sloane (1979) sta našla natančno vrednost za 24-D.

Natančne vrednosti za splošna pakiranja so znane za n=1, 2, 3, 4, 8 in 24. Musin je leta 2003 razvil mejno metodo za dokazovanje 24-dimenzionalnega primera, njegova metoda pa zagotavlja tudi dokaze za tri in štiri dimenzije (Pfender in Ziegler 2004).

SO(4)

V matematiki je SO(4) štiridimenzionalna rotacijska skupina; to je skupina vrtenj okoli fiksne točke v štiridimenzionalnem evklidskem prostoru. Ime izhaja iz dejstva, da je (izomorfno) posebnega pravokotna skupina reda 4.

Enostavne rotacije
Preprosta rotacija R okoli rotacijskega središča O pusti celotno ravnino A skozi O (ravnina osi) točkovno invariantno ...

Polpremice iz O v osni ravnini A niso zamaknjene; polpremice iz O pravokotne na A so premaknjene skozi α; vse druge polpremice so zamaknjene za kot< α.

Dvojne rotacije
Dvojna rotacija R okoli rotacijskega središča O pusti samo O invariantnega. Vsaka dvojna rotacija ima vsaj en par popolnoma pravokotnih ravnin A in B skozi O, ki so kot celota invariantne, tj. vrteli v sebi.

Na splošno sta rotacijska kota α v ravnini A in β v ravnini B različna.
V tem primeru sta A in B edini par invariantnih ravnin in polpremice iz O v A, B so premaknjene skozi α, β, polpremice iz O, ki niso v A ali B, pa so premaknjene za kote strogo med α in β. Izoklinske rotacijeČe sta vrtilna kota dvojne rotacije enaka, potem obstajajo neskončno veliko invariantnih ravnin namesto le dveh in vse polpremice iz O so premaknjene skozi in enako

kota. Takšne rotacije imenujemo izoklinične ali enakokotne rotacije ali Cliffordovi premiki. Pozor: niso vse ravnine skozi O invariantne glede na izoklinične rotacije; samo ravnine, ki jih razteza polpremica

ustrezne premaknjene polpremice so nespremenljive.

Elementi in vreme

Znanost in tehnologija

Nenavadni pojavi

Spremljanje narave

Avtorski razdelki

Odkrivanje zgodbe

Ekstremni svet

Info referenca

Arhiv datotek

Razprave

Storitve

Infofront

Informacije NF OKO

izvoz RSS

Uporabne povezave Pomembne teme Leta 1904 je Henri Poincaré predlagal, da vsak tridimenzionalni predmet z

Poincaré je predlagal, da je 3-sfera edinstvena in da nobeno drugo kompaktno 3-raznoterje (Nekompaktne raznoterje so neskončne ali imajo robove. Spodaj so obravnavane samo kompaktne raznoterje) nima lastnosti, zaradi katerih je tako preprosto. Bolj zapletene 3-množice imajo meje, ki stojijo kot opečni zid, ali več povezav med določenimi območji, kot je gozdna pot, ki se odcepi in nato spet združi. Vsak tridimenzionalni objekt z lastnostmi 3-sfere je mogoče transformirati vanjo samo, zato se topologom zdi le njena kopija. Perelmanov dokaz nam omogoča tudi odgovor na tretje vprašanje in razvrstitev vseh obstoječih 3-mnogoternikov.
Potrebovali boste precej domišljije, da si zamislite 3-kroglo. Na srečo ima veliko skupnega z 2-sfero, katere tipičen primer je guma okroglega balona: je dvodimenzionalna, saj vsako točko na njej določata le dve koordinati - zemljepisna širina in dolžina. Če pregledate precej majhno površino pod močnim povečevalnim steklom, se bo zdelo kot kos ravnega lista. Drobni žuželki, ki se plazi po balonu, se zdi, da je ravna površina. Toda če se booger premika v ravni črti dovolj dolgo, se bo sčasoma vrnil na svojo izhodiščno točko. Na enak način bi 3-kroglo v velikosti našega vesolja dojemali kot »navaden« tridimenzionalni prostor. Ko bi leteli dovolj daleč v katero koli smer, bi jo na koncu "obkrožili" in končali nazaj na naši začetni točki.
Kot ste morda uganili, se n-dimenzionalna krogla imenuje n-krogla. Na primer, 1-krogla je znana vsem: to je samo krog.

Matematikom, ki dokazujejo izreke o prostorih višjih dimenzij, si ni treba predstavljati predmeta preučevanja: ukvarjajo se z abstraktnimi lastnostmi, ki jih vodijo intuicije, ki temeljijo na analogijah z manj dimenzijami (takšne analogije je treba obravnavati previdno in jih ne jemati dobesedno). Upoštevali bomo tudi 3-kroglo, ki temelji na lastnostih objektov z manj dimenzijami.
1. Začnimo z ogledom kroga in kroga, ki ga obdaja. Za matematike je krog dvodimenzionalna krogla, krog pa enodimenzionalna krogla. Poleg tega je krogla katere koli velikosti napolnjen predmet, ki spominja na lubenico, krogla pa je njena površina, bolj podobna balonu. Krog je enodimenzionalen, ker je položaj točke na njem mogoče določiti z eno samo številko.

2. Iz dveh krogov lahko sestavimo dvodimenzionalno kroglo, tako da enega spremenimo v severno poloblo, drugega pa v južno poloblo. Ostaja le še, da jih zlepite skupaj in 2-krogla je pripravljena.

3. Predstavljajte si mravljo, ki se plazi s severnega tečaja vzdolž velikega kroga, ki ga tvorita začetni in 180. poldnevnik (na levi). Če njeno pot preslikamo na dva izvirna kroga (na desni), vidimo, da se žuželka premakne v ravni črti (1) do roba severnega kroga (a), nato prečka mejo, zadene ustrezno točko na južni krog in nadaljuje po ravni črti (2 in 3). Nato mravlja spet doseže rob (b), ga prečka in se spet znajde na severnem krogu ter hiti proti izhodišču - severnemu polu (4). Upoštevajte, da med potovanje okoli sveta vzdolž 2-sfere se smer gibanja pri prehodu iz enega kroga v drugega spremeni v nasprotno.

4. Zdaj razmislite o naši 2-sferi in prostornini, ki jo vsebuje (tridimenzionalna krogla) in naredite z njimi enako kot s krogom in krogom: vzemite dve kopiji krogle in zlepite njihove meje skupaj. Nemogoče in ni potrebno jasno prikazati, kako se krogle izkrivljajo v štirih dimenzijah in se spremenijo v analog hemisfer. Dovolj je vedeti, da pripadajoče točke na ploskvah, tj. 2-krogli sta med seboj povezani na enak način kot v primeru krogov. Rezultat povezovanja dveh žog je 3-krogla - površina štiridimenzionalne krogle. (V štirih dimenzijah, kjer obstajata 3-sfera in 4-krogla, je površina predmeta tridimenzionalna.) Imenujmo eno kroglo severna polobla, drugo pa južna polobla. Po analogiji s krogi se poli sedaj nahajajo v središčih kroglic.

5. Predstavljajte si, da so zadevne kroglice velike prazne površine prostora. Recimo, da se astronavt z raketo odpravi s severnega tečaja. Čez čas doseže ekvator (1), ki je zdaj krogla, ki obdaja severno kroglo. Če ga prečka, raketa zadene južna polobla in se premika v ravni črti skozi njegovo središče - Južni pol- na nasprotno stran ekvatorja (2 in 3). Tam se ponovno zgodi prehod na severno poloblo in popotnik se tja vrne Severni pol, tj. do izhodišča (4). To je scenarij za potovanje okoli sveta na površini 4-dimenzionalne krogle! Obravnavana tridimenzionalna krogla je prostor, o katerem govorimo o v Poincarejevi domnevi. Morda je naše vesolje natanko 3-krogla.

Utemeljitev je mogoče razširiti na pet dimenzij in zgraditi 4-kroglo, vendar si je to zelo težko predstavljati. Če zlepite dve n-krogli vzdolž (n-1)-krogel, ki ju obdajajo, dobite n-kroglo, ki omejuje (n+1)-kroglo.

Pol stoletja je minilo, preden je zadeva o Poincaréjevi domnevi zaživela. V 60. letih XX stoletje matematiki so dokazali podobne trditve za krogle petih ali več dimenzij. V vsakem primeru je n-krogla res edina in najenostavnejša n-mnogoterost. Nenavadno se je izkazalo, da je lažje dobiti rezultate za večdimenzionalne krogle kot za 3- in 4-krogle. Dokaz za štiri dimenzije se je pojavil leta 1982. In le prvotna Poincaréjeva domneva o 3-krogli je ostala nepotrjena.
Odločilni korak je bil storjen novembra 2002, ko je Grigorij Perelman, matematik iz podružnice v St. matematični inštitut njih. Steklov je članek poslal na spletno stran www.arxiv.org, kjer fiziki in matematiki z vsega sveta razpravljajo o rezultatih svojih znanstvena dejavnost. Topologi so takoj dojeli povezavo med delom ruskega znanstvenika in Poincaréjevo domnevo, čeprav je avtor ni neposredno omenil.

Pravzaprav Perelmanov dokaz, o pravilnosti katerega še nihče ni mogel dvomiti, rešuje veliko širši spekter vprašanj kot sama Poincaréjeva domneva. Geometrizacijski postopek, ki ga je predlagal William P. Thurston z Univerze Cornell, omogoča popolno klasifikacijo 3-raznoterosti, ki temelji na 3-sferi, ki je edinstvena v svoji sublimni preprostosti. Če bi bila Poincaréjeva domneva napačna, tj. Če bi obstajalo veliko prostorov, ki bi bili tako preprosti kot krogla, bi se klasifikacija 3-raznoterosti spremenila v nekaj neskončno bolj zapletenega. Zahvaljujoč Perelmanu in Thurstonu imamo popoln katalog vseh matematično možnih oblik tridimenzionalnega prostora, ki bi jih lahko prevzelo naše vesolje (če upoštevamo le prostor brez časa).

Da bi bolje razumeli Poincaréjevo domnevo in Perelmanov dokaz, si morate podrobneje ogledati topologijo. V tej veji matematike oblika predmeta ni pomembna, kot če bi bil narejen iz testa, ki ga je mogoče kakor koli raztegovati, stiskati in upogibati. Zakaj bi razmišljali o stvareh ali prostorih iz namišljenega testa? Dejstvo je, da se natančna oblika predmeta - razdalja med vsemi njegovimi točkami - nanaša na strukturno raven, imenovano geometrija. S pregledovanjem predmeta iz testa ga topologi identificirajo temeljne lastnosti, neodvisno od geometrijske strukture. Preučevanje topologije je kot iskanje najpogostejših značilnosti, neločljivo povezana z ljudmi, po metodi razmišljanja o "človeku iz plastelina", ki ga je mogoče spremeniti v katerega koli posameznika.
V popularni literaturi je pogosto zaslediti otrdo trditev, da se s topološkega vidika skodelica ne razlikuje od krofa. Dejstvo je, da lahko skodelico testa spremenimo v krof tako, da material preprosto zdrobimo, tj. ne da bi karkoli zaslepili ali naredili luknje. Po drugi strani pa je za izdelavo krofa iz krogle nujno treba narediti luknjo ali jo zviti v valj in oblikovati konce, tako da krogla sploh ni krof.
Topologe najbolj zanimajo površine krogle in krofa. Zato si namesto trdnih teles raje predstavljajte balone. Njihova topologija je še vedno drugačna, ker sferičnega balona ni mogoče pretvoriti v obročastega, ki ga imenujemo torus. Najprej so se znanstveniki odločili ugotoviti, koliko objektov z različnimi topologijami obstaja in kako jih je mogoče označiti. Za 2-množice, ki smo jim včasih rekli površine, je odgovor eleganten in preprost: vse določa število "lukenj" ali, kar je isto, število ročajev. Do konca 19. stol. Matematiki so ugotovili, kako razvrstiti površine in ugotovili, da je najpreprostejša med njimi krogla. Seveda so topologi začeli razmišljati o 3-raznoterih: ali je 3-krogla edinstvena v svoji preprostosti? Stoletna zgodovina iskanja odgovora je polna napačnih korakov in pomanjkljivih dokazov.
Henri Poincaré se je tega vprašanja natančno lotil. Bil je eden od dveh najvplivnejših matematikov zgodnjega 20. stoletja. (drugi je bil David Gilbert). Imenovali so ga zadnji vsestranski – uspešno je deloval v vseh odsekih, tako čistih kot uporabna matematika. Poleg tega je Poincaré ogromno prispeval k razvoju nebesne mehanike, teorije elektromagnetizma, pa tudi k filozofiji znanosti, o čemer je napisal več poljudnih knjig.
Poincaré je postal utemeljitelj algebraične topologije in je z njenimi metodami leta 1900 oblikoval topološko značilnost objekta, imenovano homotopija. Če želite določiti homotopičnost kolektorja, morate vanj mentalno potopiti zaprto zanko. Potem morate ugotoviti, ali je zanko vedno mogoče skrčiti do točke s premikanjem znotraj razdelilnika. Za torus bo odgovor negativen: če postavite zanko okoli oboda torusa, ga ne boste mogli zategniti do točke, ker "luknja" krofa bo ovirala. Homotopija je število različnih poti, ki lahko preprečijo krčenje zanke.

Na n-sferi je vsako zanko, tudi zapleteno zavito, vedno mogoče razplesti in potegniti skupaj do točke. (Zanki je dovoljeno, da gre skozi samo sebe.) Poincaré je domneval, da je 3-krogla edina 3-raznoterost, na kateri se lahko katera koli zanka skrči v točko. Na žalost mu nikoli ni uspelo dokazati svoje domneve, ki je kasneje postala znana kot Poincaréjeva domneva.

Perelmanova analiza 3-raznoterosti je tesno povezana s postopkom geometrizacije. Geometrija se ukvarja z dejansko obliko predmetov in mnogoterosti, ki niso več narejene iz testa, ampak iz keramike. Na primer, skodelica in krof sta geometrijsko različna, ker sta njuni površini različno ukrivljeni. Rečeno je, da sta skodelica in krof dva primera topološkega torusa, ki ima različne geometrijske oblike.
Da bi razumeli, zakaj je Perelman uporabil geometrizacijo, razmislite o klasifikaciji 2-raznoterosti. Vsaki topološki površini je dodeljena edinstvena geometrija, katere ukrivljenost je enakomerno porazdeljena po razdelilniku. Na primer, za kroglo je to popolnoma sferična površina. Druga možna geometrija za topološko kroglo je jajce, vendar njegova ukrivljenost ni povsod enakomerno porazdeljena: ostri konec je bolj ukrivljen kot top.
2-raznoterosti tvorijo tri geometrijske tipe. Za kroglo je značilna pozitivna ukrivljenost. Geometriziran torus je raven in ima ničelno ukrivljenost. Vsi ostali 2-množeci z dvema ali več "luknjami" imajo negativno ukrivljenost. Ustrezajo površini, podobni sedlu, ki je spredaj in zadaj ukrivljena navzgor ter levo in desno navzdol. Poincaré je razvil to geometrijsko klasifikacijo (geometrizacijo) 2-raznoterosti skupaj s Paulom Koebejem in Felixom Kleinom, po katerem je Kleinova steklenica dobila ime.

Obstaja naravna želja, da bi podobno metodo uporabili za 3-množice. Ali je mogoče za vsakega od njih najti edinstveno konfiguracijo, v kateri bi bila ukrivljenost enakomerno porazdeljena po celotni raznolikosti?
Izkazalo se je, da so 3-raznoterniki veliko bolj kompleksni kot njihovi dvodimenzionalni dvojniki in večini od njih ni mogoče pripisati homogene geometrije. Razdeliti jih je treba na dele, ki ustrezajo eni od osmih kanoničnih geometrij. Ta postopek spominja na razgradnjo števila na prafaktorje.

Kako lahko kolektor geometriziramo in mu damo povsod enakomerno ukrivljenost? Vzeti morate poljubno geometrijo z različnimi izboklinami in vdolbinami, nato pa zgladiti vse nepravilnosti. V začetku 90. let. XX stoletje Hamilton je začel analizirati 3-raznoterosti z uporabo Riccijeve enačbe toka, poimenovane po matematiku Gregoriu Ricci-Curbastru. Nekako je podobna enačbi toplotnega prevoda, ki opisuje toplotne tokove, ki tečejo v neenakomerno segretem telesu, dokler njegova temperatura ne postane povsod enaka. Na enak način Riccijeva enačba toka določa spremembo ukrivljenosti razdelilnika, ki vodi do poravnave vseh štrlin in vdolbin. Na primer, če začnete z jajcem, bo postopoma postalo sferično.

Perelman je Riccijevi enačbi toka dodal nov člen. Ta sprememba ni odpravila problema posebnosti, je pa omogočila veliko bolj poglobljeno analizo. Ruski znanstvenik je pokazal, da je mogoče izvesti "kirurško" operacijo na kolektorju v obliki uteži: odrežite tanko cev na obeh straneh nastajajoče zožitve in zaprite odprte cevi, ki štrlijo iz kroglic, s sferičnimi pokrovčki. Potem bi morali nadaljevati s spreminjanjem "upravljanega" razdelilnika v skladu z Riccijevo enačbo toka in uporabiti zgornji postopek za vse nastajajoče zožitve. Perelman je tudi pokazal, da se poteze v obliki cigare ne morejo pojaviti. Tako lahko kateri koli 3-množec reduciramo na niz delov s homogeno geometrijo.
Ko Riccijev tok in "kirurgijo" uporabimo za vse možne 3-raznoterosti, je vsako od njih, če je tako preprosto kot 3-sfera (to pomeni, da ga označuje enaka homotopija), nujno reducirano na isto homogeno geometrijo kot in 3-krogla. To s topološkega vidika pomeni, da je obravnavani mnogoterost 3-krogla. Tako je 3-krogla edinstvena.

Vrednost Perelmanovih člankov ni le v dokazu Poincaréjeve domneve, ampak tudi v novih metodah analize. Znanstveniki po vsem svetu že uporabljajo rezultate, ki jih je pridobil ruski matematik, pri svojem delu in uporabljajo metode, ki jih je razvil na drugih področjih. Izkazalo se je, da je Riccijev tok povezan s tako imenovano renormalizacijsko skupino, ki določa, kako se spreminja moč interakcij glede na energijo trka delcev. Na primer, pri nizkih energijah je moč elektromagnetne interakcije označena s številom 0,0073 (približno 1/137). Ko pa dva elektrona čelno trčita s hitrostjo skoraj enaka hitrost svetlobe se vrednost te sile približa 0,0078. Matematika, ki opisuje spremembo fizikalnih sil, je zelo podobna matematiki, ki opisuje geometrizacijo mnogoterosti.
Povečanje energije trka je enakovredno proučevanju sile na manjših razdaljah. Zato je renormalizacijska skupina podobna mikroskopu s spremenljivim faktorjem povečave, ki vam omogoča preučevanje procesa na različnih ravneh podrobnosti. Podobno je Ricci flow mikroskop za opazovanje kolektorjev. Izbokline in vdolbine, vidne pri eni povečavi, pri drugi izginejo. Verjetno je na lestvici Planckove dolžine (približno 10 -35 m) prostor, v katerem živimo, videti kot pena s kompleksno topološko strukturo. Poleg tega so enačbe splošne teorije relativnosti, ki opisujejo značilnosti gravitacije in obsežno strukturo vesolja, tesno povezane z Riccijevo enačbo toka. Paradoksalno je, da se izraz, ki ga je Perelman dodal izrazu, ki ga je uporabil Hamilton, pojavlja v teoriji strun, ki trdi, da kvantna teorija gravitacija. Možno je, da v člankih Ruski matematik bodo znanstveniki našli veliko več uporabne informacije ne samo o abstraktnih 3-množicah, ampak tudi o prostoru, v katerem živimo.

Ko sem bil dijak prvega letnika, sem se močno sprl z enim od sošolcev. To je rekel štiridimenzionalna kocka ni mogoče zamisliti v nobeni obliki, vendar sem zagotovil, da se lahko predstavi povsem jasno. Potem sem celo iz sponk za papir naredil projekcijo hiperkocke na naš tridimenzionalni prostor ... A pojdimo o vsem po vrsti.

Kaj je hiperkocka in štiridimenzionalni prostor

Naš običajni prostor ima tri dimenzije. Z geometrijska točka Vizijsko to pomeni, da so v njem lahko označene tri med seboj pravokotne črte. To pomeni, da lahko za katero koli črto najdete drugo črto, pravokotno na prvo, za par pa lahko najdete tretjo črto, pravokotno na prvi dve. Četrte črte, ki je pravokotna na obstoječe tri, ne bo več mogoče najti.

Štiridimenzionalni prostor se od našega razlikuje le po tem, da ima še enega dodatna smer. Če že imate tri med seboj pravokotne premice, potem lahko poiščete četrto, tako da bo pravokotna na vse tri.

Hiperkocka je samo kocka v štiridimenzionalnem prostoru.

Ali si je mogoče predstavljati štiridimenzionalni prostor in hiperkocko?

To vprašanje je podobno vprašanju: "ali si je mogoče zamisliti zadnjo večerjo ob pogledu na istoimensko sliko (1495-1498) Leonarda da Vincija (1452-1519)?"

Po eni strani si seveda ne boste predstavljali, kaj je Jezus videl (sedi obrnjen proti gledalcu), še posebej, ker ne boste vonjali vrta zunaj okna in okusili hrane na mizi, ne boste slišali ptic. petje ... Ne boste dobili popolne slike o tem, kaj se je dogajalo v tistem večeru, vendar ni mogoče reči, da ne boste izvedeli ničesar novega in da slika ni zanimiva.

Podobno je pri vprašanju hiperkocke. Nemogoče si je v celoti predstavljati, lahko pa se približate razumevanju, kako je.

Konstrukcija hiperkocke

0-dimenzionalna kocka

Začnimo od začetka - od 0- merjena kocka. Ta kocka vsebuje 0 medsebojno pravokotnih ploskev, kar pomeni, da je samo točka.

1-dimenzionalna kocka

V enodimenzionalnem prostoru imamo samo eno smer. Točko premaknemo v to smer in dobimo odsek.

To je enodimenzionalna kocka.

2 dimenzionalna kocka

Imamo drugo dimenzijo, premaknemo našo enodimenzionalno kocko (odsek) v smeri druge dimenzije in dobimo kvadrat.

Je kocka v dvodimenzionalnem prostoru.

3 dimenzionalna kocka

S prihodom tretje dimenzije postopamo podobno: premaknemo kvadrat in dobimo navadno tridimenzionalno kocko.

4-dimenzionalna kocka (hiperkocka)

Zdaj imamo četrto dimenzijo. To pomeni, da imamo na voljo smer, pravokotno na vse tri prejšnje. Uporabimo ga popolnoma enako. Štiridimenzionalna kocka bo izgledala takole.

Tridimenzionalnih in štiridimenzionalnih kock seveda ni mogoče prikazati na ravnini dvodimenzionalnega zaslona. Kar sem narisal, so projekcije. O napovedih bomo govorili malo kasneje, za zdaj pa nekaj golih dejstev in številk.

Število oglišč, robov, ploskev

Upoštevajte, da je obraz hiperkocke naša običajna tridimenzionalna kocka. Če natančno pogledate risbo hiperkocke, lahko dejansko najdete osem kock.

Projekcije in videnje prebivalca štiridimenzionalnega prostora

Nekaj ​​besed o viziji

Živimo v tridimenzionalnem svetu, vendar ga vidimo kot dvodimenzionalnega. To je posledica dejstva, da se mrežnica naših oči nahaja v ravnini, ki ima samo dve dimenziji. Zato lahko zaznavamo dvodimenzionalne slike in jih najdemo podobne resničnosti.

(Seveda lahko oko zaradi akomodacije oceni razdaljo do predmeta, vendar je to stranski učinek, povezan z optiko, vgrajeno v naše oči.)

Oči prebivalca štiridimenzionalnega prostora morajo imeti tridimenzionalno mrežnico. Takšno bitje lahko takoj vidi celotno tridimenzionalno figuro: vse njene obraze in notranjost. (Na enak način lahko vidimo dvodimenzionalno figuro, vse njene obraze in notranjost.)

Tako s pomočjo naših vidnih organov ne moremo zaznati štiridimenzionalne kocke tako, kot bi jo zaznal prebivalec štiridimenzionalnega prostora. žal Preostane vam le, da se zanesete na svoj um in domišljijo, ki pa na srečo nimata fizičnih omejitev.

Vendar pa sem pri upodabljanju hiperkocke na ravnini preprosto prisiljen narediti njeno projekcijo na dvodimenzionalni prostor. To dejstvo upoštevajte pri preučevanju risb.

Robna križišča

Seveda se robovi hiperkocke ne sekajo. Presečišča se pojavljajo samo na risbah. Vendar to ne bi smelo biti presenečenje, saj se robovi pravilne kocke na slikah tudi sekajo.

Dolžine robov

Omeniti velja, da so vse ploskve in robovi štiridimenzionalne kocke enaki. Na sliki nista enaki samo zato, ker se nahajata pod različnimi koti glede na smer pogleda. Vendar pa je mogoče hiperkocko zavrteti tako, da imajo vse projekcije enako dolge.

Mimogrede, na tej sliki je jasno vidnih osem kock, ki so ploskve hiperkocke.

Hiperkocka je znotraj prazna

Težko je verjeti, a med kockama, ki omejujejo hiperkocko, je nekaj prostora (delček štiridimenzionalnega prostora).

Da bi to bolje razumeli, si poglejmo dvodimenzionalno projekcijo navadne tridimenzionalne kocke (namenoma sem jo naredil nekoliko shematično).

Ali lahko iz tega uganete, da je v kocki nekaj prostora? Da, vendar samo z uporabo domišljije. Tega prostora oko ne vidi.

To se zgodi zato, ker so se robovi, ki se nahajajo v tretji dimenziji (ki jih ni mogoče prikazati na ravni risbi), spremenili v segmente, ki ležijo v ravnini risbe. Ne zagotavljajo več volumna.

Kvadrati, ki oklepajo prostor kocke, so se prekrivali. Lahko pa si predstavljamo, da so bili v prvotni sliki (tridimenzionalni kocki) ti kvadrati nameščeni v različnih ravninah in ne drug na drugem v isti ravnini, kot se je zgodilo na sliki.

Popolnoma enaka je situacija s hiperkocko. Kocke-ploskve hiperkocke se dejansko ne prekrivajo, kot se nam zdi na projekciji, temveč se nahajajo v štiridimenzionalnem prostoru.

Pometanje

Tako lahko prebivalec štiridimenzionalnega prostora vidi tridimenzionalni predmet z vseh strani hkrati. Ali lahko vidimo tridimenzionalno kocko z vseh strani hkrati? Z očmi - ne. Toda ljudje so se domislili, kako na ravni risbi upodobiti vse ploskve tridimenzionalne kocke hkrati. Takšna slika se imenuje skeniranje.

Razvoj tridimenzionalne kocke

Verjetno vsi vedo, kako nastane razvoj tridimenzionalne kocke. Ta postopek je prikazan v animaciji.

Zaradi jasnosti so robovi ploskev kocke prosojni.

Treba je opozoriti, da lahko to dvodimenzionalno sliko zaznavamo le po zaslugi naše domišljije. Če obravnavamo faze odvijanja s čisto dvodimenzionalnega vidika, se bo proces zdel čuden in prav nič jasen.

Videti je kot postopno pojavljanje najprej obrisov popačenih kvadratov, nato pa se le-ti plazijo na svoje mesto, hkrati pa prevzemajo zahtevano obliko.

Če pogledate raztegnjeno kocko v smeri ene od njenih ploskev (s tega vidika je kocka videti kot kvadrat), potem je proces nastajanja razpleta še manj jasen. Vse je videti kot kvadrati, ki lezejo iz začetnega kvadrata (ne razgrnjene kocke).

Ampak ne vizualno skeniraj samo za oko.

Kako razumeti 4-dimenzionalni prostor?

Zahvaljujoč vaši domišljiji lahko iz njega poberete veliko informacij.

Razvoj štiridimenzionalne kocke

Enostavno je nemogoče narediti animirani proces odvijanja hiperkocke vsaj nekoliko vizualno. Toda ta proces si je mogoče predstavljati. (Če želite to narediti, ga morate pogledati skozi oči štiridimenzionalnega bitja.)

Skeniranje izgleda takole.

Tukaj je vidnih vseh osem kock, ki omejujejo hiperkocko.

Z istimi barvami pobarvamo robove, ki naj bi se pri zlaganju poravnali. Obrazi, pri katerih pari niso vidni, ostanejo sivi. Po zlaganju mora biti zgornja stran zgornje kocke poravnana s spodnjim robom spodnje kocke. (Razgrnitev tridimenzionalne kocke se sesuje na podoben način.)

Upoštevajte, da bodo po konvoluciji vse ploskve osmih kock prišle v stik in s tem zaprle hiperkocko. In končno, ko si predstavljate proces zgibanja, ne pozabite, da pri zgibanju ne pride do prekrivanja kock, temveč do ovijanja le-teh okoli določene (hiperkubične) štiridimenzionalne površine.

Salvador Dali (1904-1989) je večkrat upodobil križanje in križi se pojavljajo na mnogih njegovih slikah. Slika "Križanje" (1954) uporablja skeniranje hiperkocke.

Prostor-čas in evklidski štiridimenzionalni prostor

Upam, da ste si lahko predstavljali hiperkocko. Toda ali ste se uspeli približati razumevanju delovanja štiridimenzionalnega prostora-časa, v katerem živimo? Žal, ne čisto.

Tukaj smo govorili o evklidskem štiridimenzionalnem prostoru, vendar ima prostor-čas popolnoma drugačne lastnosti. Zlasti med kakršnimi koli rotacijami ostajajo segmenti vedno nagnjeni glede na časovno os, bodisi pod kotom, manjšim od 45 stopinj, bodisi pod kotom, večjim od 45 stopinj.

Lastnostim prostora-časa sem posvetil vrsto zapiskov.

Tridimenzionalnost slike

Svet je tridimenzionalen. Njegova slika je dvodimenzionalna. Pomembna naloga slikanje in zdaj fotografija je posredovati tridimenzionalnost prostora. Že Rimljani so obvladali nekatere tehnike, nato pa so jih pozabili in se z renesanso začeli vračati k klasičnemu slikarstvu.

Glavna tehnika ustvarjanja tridimenzionalnega prostora v slikarstvu je perspektiva. Železniške tirnice, ki se odmikajo od gledalca, se vizualno zožijo. Pri barvanju lahko tirnice fizično zožimo. Pri fotografiji se perspektiva pojavi samodejno: kamera bo tirnice fotografirala tako zožene, kot jih vidi oko. Vendar ne dovolite, da bi se skoraj zaprl: ne bo več videti kot perspektiva, ampak kot čudna figura; Med tirnicami, stranmi ulice in bregovi reke mora biti opazna vrzel.

Pomembno je razumeti, da je linearna perspektiva najbolj primitiven, realističen način prenosa sveta.

Navigacija po objavi

Ni naključje, da je njegov videz povezan z gledališko kuliso (Florensky, "Povratna perspektiva"). Konvencionalnost in preprostost podajanja gledališkega prizora majhne globine je zelo primerna za fotografijo, ki ji manjka raznolikost tehnik, ki so na voljo v slikarstvu.

Obstajajo perspektive, ki so veliko bolj zanimive od linearne. V delih kitajskih mojstrov je lebdeča perspektiva, ko so predmeti prikazani hkrati od spodaj, zgoraj in spredaj. Ni šlo za tehnično napako nesposobnih umetnikov: legendarni avtor te tehnike Guo Xi je zapisal, da takšen prikaz omogoča spoznati svet v njegovi celovitosti. Podobna je tehnika ruskega ikonopisa, v kateri lahko gledalec istočasno vidi obraz in hrbet junaka. Zanimiva tehnika slikanja ikon, ki jo najdemo tudi med zahodnoevropskimi umetniki, je bila obratna perspektiva, v kateri so oddaljeni predmeti, nasprotno, večji od bližnjih, kar poudarja pomembnost. Šele v naših dneh je bilo ugotovljeno, da je takšna perspektiva pravilna: za razliko od oddaljenih predmetov se bližnji plan dejansko zaznava v obratni perspektivi (Rauschenbach). S programom Photoshop lahko dosežete obratno perspektivo s povečavo predmetov v ozadju. Za gledalca, ki je navajen zakonov fotografije, bo takšna slika videti čudna.

Uvedba vogala stavbe v okvir, od katerega se stene razhajajo v obe smeri, ustvari videz izometrične perspektive. Možgani razumejo, da so stene pod pravim kotom, in temu primerno uredijo preostalo sliko. Ta perspektiva je bolj dinamična od frontalne in bolj naravna za bližnji plan. Preprosto vstavite končne kote predmetov in bližnjih zgradb v okvir.

Zaradi raztezanja je glavna izometrična perspektiva, ki je redko primerna za klasičen portret. Linearna perspektiva zaradi zoženja bolje izraža manjša čustva.

V fazi fotografiranja ima fotograf na voljo vrsto orodij za poudarjanje perspektive. Enako široki objekti, ki se raztezajo v daljavo (tiri, ulice, stebri, brazde), s svojim ožanjem in celo preprostim oddaljevanjem nakazujejo gledalcu tridimenzionalnost prostora. Učinek je močnejši, če fotografirate pod nizkim kotom, da povečate popačenje perspektive. To je dovolj za fotografiranje pokrajine, pri majhni globini slike za fotografiranje notranjosti pa je učinek komaj opazen. V naknadni obdelavi ga je mogoče nekoliko izboljšati z zožanjem vrha slike (Transform Perspective). Vendar pa je lahko v pokrajini pretirana perspektiva videti zanimiva.

Globina je lahko očitna v pomenu slike: zgradbe ločuje ulica ali reka. Diagonala poudarja tridimenzionalnost; na primer most čez reko.

Gledalcu znane velikosti v ozadju določajo merilo in s tem oblikujejo perspektivo. Pri pokrajinski fotografiji je ta predmet lahko avto, pri portretni fotografiji pa poskusite upogniti nogo (proč od fotoaparata) pod stolom, tako da bo videti manjši, a bo ostal viden. To nogo lahko celo malo pomanjšate v naknadni obdelavi.

Ornament izraža perspektivo z vizualno redukcijo elementov. Primer bi bile velike ploščice na tleh, ki označujejo črte na cesti.

Obstaja tehnika, imenovana hipertrofirano ospredje. Nesorazmerno velik ustvarja globino slike. S primerjavo merila ospredja in modela pride oko do zaključka, da je model veliko dlje, kot se zdi. Pretiravanje naj ostane subtilno, da se slika ne dojema kot napaka. Ta tehnika ne deluje le pri naknadni obdelavi, ampak tudi pri fotografiranju: popačite razmerja s fotografiranjem s 35- ali 50-milimetrskim objektivom. Fotografiranje s širokokotnim objektivom raztegne prostor in poveča njegovo tridimenzionalnost z lomljenjem proporcev. Učinek je močnejši, če model posnamete od blizu, vendar pazite na groteskne razsežnosti: samo avtorji verskih podob lahko upodabljajo človeka, večjega od stavbe.

Križišče odlično deluje. Če jabolko delno pokriva hruško, se možgani ne bodo zmotili: jabolko je pred hruško. Model delno prekrije pohištvo in s tem ustvari globino v notranjosti.

Globino sliki daje tudi menjava svetlih in temnih lis. Možgani iz izkušenj vedo, da so bližnji predmeti približno enako osvetljeni, zato različno osvetljene predmete razumejo kot različno oddaljene. Za ta učinek se lise izmenjujejo v smeri osi perspektive - globoko v sliko in ne čeznjo. Na primer, ko snemate model, ki leži proč od kamere v temnem okvirju, osvetlite blizu zadnjice in blizu nog. Območja lahko posvetlite/zatemnite v naknadni obdelavi.

Zaznamo, da se zaporedje vse bolj temnih predmetov zmanjšuje. S postopnim senčenjem predmetov vzdolž aktivne črte lahko dobite subtilen občutek perspektive. Podobno se globina prenaša z oslabitvijo svetlobe: oddajte trak svetlobe čez pohištvo ali tla.

Tridimenzionalno sliko lahko dobite zaradi ne le svetlobe, ampak tudi barvnega kontrasta. To tehniko so poznali flamski slikarji, ki so na svoja tihožitja postavljali svetle barvne lise. Rdeče granatno jabolko in rumena limona ena poleg druge bosta delovali tridimenzionalno tudi pri ravni čelni osvetlitvi. Še posebej dobro bodo izstopali na ozadju vijoličnega grozdja: topla barva na hladnem ozadju. Svetle barvne površine dobro izstopajo iz teme tudi pri šibki svetlobi, značilni za tihožitje. Barvni kontrast bolje deluje s primarnimi barvami: rdečo, rumeno, modro, ne pa z odtenki.

Na črnem ozadju, rumena koraka naprej, modra se skriva nazaj. Na beli podlagi je ravno obratno. Nasičenost barv poveča ta učinek. Zakaj se to dogaja? Rumena barva ni nikoli temna, zato možgani nočejo verjeti, da je mogoče rumen predmet potopiti v temno ozadje, ga ne osvetliti. Modra je, nasprotno, temna.

Izboljšanje perspektive pri naknadni obdelavi se zmanjša na simulacijo atmosferskega zaznavanja: oddaljeni predmeti so videti svetlejši, zamegljeni, z zmanjšanim kontrastom v svetlosti, nasičenosti in tonu.

Poleg velikih razdalj so atmosferski učinki videti naravni v jutranji meglici, megli ali zakajenem baru. Upoštevajte vreme: v oblačnem dnevu ali v mraku morda ne bo bistvene razlike med ospredjem in ozadjem.

Najmočnejši dejavnik je kontrast svetlosti. V nastavitvah je to običajen kontrast. Zmanjšajte kontrast oddaljenih predmetov, povečajte kontrast ospredja - in slika bo postala konveksna. Ne govorimo o kontrastu med ospredjem in ozadjem, temveč o kontrastu ozadja, ki naj bo nižji od kontrasta ospredja. Ta metoda ni primerna le za pokrajinsko in žanrsko fotografijo, ampak tudi za studijske portrete: povečajte kontrast sprednjega dela obraza, zmanjšajte kontrast na laseh, ličnicah in oblačilih. Portretni filtri naredijo nekaj podobnega, zameglijo kožo modela in pustijo ostre oči in ustnice.

Prilagoditev kontrasta je najlažji način za naknadno obdelavo 3D slik. Za razliko od drugih procesov gledalec skoraj ne bo opazil nobenih sprememb, kar bo omogočilo ohranitev maksimalne naravnosti.

Zameglitev je podobna zmanjšanju kontrasta, vendar gre za različna procesa. Slika je lahko nizkokontrastna, a ostane ostra. Zaradi omejene globinske ostrine zamegljevanje oddaljenih predmetov ostaja najbolj priljubljen način za prenos tridimenzionalnosti na fotografiji in ga je mogoče zlahka izboljšati z zameglitvijo oddaljenih predmetov v postprodukciji. Zato je treba v ozadje postaviti manj podrobnosti - možgani ne pričakujejo razločljivih predmetov v daljavi. Medtem pa zmanjšanje kontrasta bolje ustreza naravnemu zaznavanju: oddaljene gore so vidne v nizkem kontrastu in niso zamegljene, ker je pri skeniranju pokrajine oko nenehno preusmerjeno in mu je problem globinske ostrine tuj. Z zameglitvijo ozadja lahko hkrati izostrite ospredje. Poleg tega lahko v ospredju izboljšate črte slike (visokoprepustni filter ali jasnost). Visoka ostrina ospredja pojasnjuje značilno izboklino na sliki visokokakovostnih objektivov. Pozor: zaradi rahlega povečanja 3D lahko naredite sliko preveč togo.

Svetlejši predmeti so videti dlje. To je posledica dejstva, da v naravi vidimo oddaljene predmete skozi debelino zraka, ki sipa svetlobo; oddaljene gore se zdijo svetle. Pri krajinski fotografiji je zato treba paziti na postavitev svetlih objektov v ospredje.

Osvetlite oddaljene predmete. Bolj ko so oddaljeni, bolj se zlivajo s svetlostjo in tonom neba. Upoštevajte, da so vodoravni objekti (tla, morje) bolje osvetljeni kot navpični (stene, drevesa), zato s svetlenjem slednjih ne pretiravajte. V vsakem primeru morajo biti predmeti opazno lažji od neba.

No, če opazite, da je izmikanje še en način za zmanjšanje kontrasta v svetlosti ozadja. Nekoliko zatemnite ospredje, da povečate učinek izbokline.

Zdi se, da je v notranjosti vse obratno. Če je na ulici oko navajeno na dejstvo, da je razdalja svetla, potem je v sobi svetloba pogosto koncentrirana na osebo, notranjost pa je potopljena v temo; možgani so navajeni na osvetlitev ospredja, ne na osvetlitev ozadja.

Na notranjih slikah s plitvo globino prizora, za razliko od pokrajinskih slik, osvetljeni model štrli iz temnega ozadja. Obstaja pa tudi nasprotni dejavnik: 99% svoje evolucije je človek opazoval perspektivo na odprtih območjih, s pojavom prostorov pa možgani še niso imeli časa za prestrukturiranje. Vermeer je imel raje svetlo ozadje za svoje portrete in njegovi portreti so res izstopajoči. Osvetlitev navpičnega ozadja, priporočljiva v fotografiji, ne le loči model od njega, ampak s posvetlitvijo ozadja daje sliki tudi rahlo tridimenzionalnost. Tu se soočamo z dejstvom, da možgani lokacijo predmetov analizirajo glede na več dejavnikov, ti pa so lahko nasprotujoči si.

Zanimiva je studijska razsvetljava, pri kateri svetlobne lise ležijo na delih modela, ki so oddaljeni od kamere. Poudarjena je na primer prsa, ki je najbolj oddaljena od kamere.

Zmanjšajte nasičenost barv na oddaljenih predmetih: zaradi gostote zraka, ki nas ločuje, so oddaljene gore raznasičene skoraj do ravni enobarvnosti in prekrite z modro meglico. Nasičenost ospredja je mogoče povečati.

Ker je rumena svetla, modra in rdeča pa temni, je barvni kontrast tudi kontrast v svetlosti.

Pri razbarvanju oddaljenega ozadja ne dovolite, da izgine iz pogleda. Pogosto, ravno nasprotno, morate povečati nasičenost ozadja, da ga razkrijete. To je pomembnejše od tridimenzionalnosti.

Veliko nasvetov za 3D fotografijo se osredotoča na temperaturni kontrast. Pravzaprav je ta učinek zelo šibek in ga zlahka prekine kontrast svetlosti. Poleg tega je temperaturni kontrast moteč in opazen.

Zelo oddaljeni predmeti so videti hladnejši, ker zrak absorbira toplo oranžno svetlobo. Ko fotografirate model na plaži z ladjami na obzorju v ozadju, znižajte barvno temperaturo oddaljenega morja in ladij v naknadni obdelavi. Iz modrega morja vznikne manekenka v rdečih kopalkah, iz modrikastega mraka pa manekenka v rumeni svetlobi ulične svetilke.

To je bistvo ločenega toniranja: naredimo model toplejši, ozadje hladnejše. Možgani razumejo, da v isti ravnini ni različnih barvnih temperatur, in zaznajo takšno tridimenzionalno sliko, v kateri model štrli iz ozadja. Razdeljeno toniranje pokrajinam doda globino: naredite ospredje toplejše, ozadje pa hladnejše.

Pomembna izjema pri ločenem toniranju: ob sončnem vzhodu in sončnem zahodu oddaljeno ozadje sploh ni hladno, ampak toplo, z rumenimi in rdeče-oranžnimi toni. Očitna rešitev - uporaba bele manekenke v vijoličnih kopalkah - ne deluje, saj svetloba sončnega zahoda daje topel odtenek tudi na telo modela.

Naj povzamemo: da bi fotografiji dali tridimenzionalnost, ki temelji na atmosferskih učinkih, je potrebno kontrast med ospredjem in ozadjem. Glavni kontrast temelji na običajnem kontrastu: ospredje je visokokontrastno, ozadje nizkokontrastno. Drugi kontrast je glede ostrine: ospredje je ostro, ozadje je zamegljeno. Tretji kontrast je glede svetlosti: ospredje je temno, ozadje svetlo. Četrti kontrast je v smislu nasičenosti: barve ospredja so nasičene, barve ozadja so nenasičene. Peti kontrast je v temperaturi: ospredje je toplo, ozadje hladno.

Našteti dejavniki so pogosto večsmerni. Rumena je svetlejša od modre, svetli predmeti pa so bolj oddaljeni od temnih. Naravno bi bilo pričakovati, da se bo rumena umaknila in modra približala gledalcu. Pravzaprav je ravno obratno: iz hladnega ozadja se pojavi topla barva. To pomeni, da se barva izkaže za močnejši dejavnik kot svetlost. Kar po premisleku ni presenetljivo: rumena in rdeča se jasno razlikujeta le od blizu in gledalec ne pričakuje, da ju bo videl na veliki razdalji.

Pod črto: ozadje naj bo nizek kontrast, izprano, svetlo, nenasičeno, modrikasto. In bodite pripravljeni na dejstvo, da bo gledalec, navajen pretirane 3D filmov, ugotovil, da bo tridimenzionalnost, ki ste jo ustvarili, komaj opazna ali pa je sploh ni.

Pri portretni fotografiji se je bolje zanesti na preizkušen učinek chiaroscuro - igro svetlobe in sence na obrazu modela, ki bo sliko naredila precej izrazito. V žanrski fotografiji daje perspektiva najbolj opazen tridimenzionalni učinek. V tihožitju bo glavni dejavnik presečišče (prekrivanje) predmetov.

Naj vas ne zanese možnost; je le ozadje za čelno ravnino, na kateri plapola vaša slika. V sodobnem slikarstvu, ki je daleč od realizma, perspektiva ni zelo cenjena.

Prenesite celotno knjigo: pdfepubazw3mobifb2litContents

Pred kratkim sem naredil preprost sledilnik žarkov 3D prizorov. Napisan je bil v JavaScriptu in ni bil zelo hiter. Samo za zabavo sem napisal sledilnik žarkov v C in mu dal način 4D upodabljanja - v tem načinu lahko projicira 4D sceno na ravni zaslon. Pod rezom boste našli več videoposnetkov, več slik in kodo za sledenje žarkov.

Zakaj napisati ločen program za risanje 4D scene? Lahko vzamete običajni sledilnik žarkov, mu daste 4D sceno in dobite zanimivo sliko, vendar ta slika ne bo projekcija celotne scene na zaslon. Težava je v tem, da ima prizor 4 dimenzije, zaslon pa samo 2, in ko sledilnik žarkov sproži žarke skozi zaslon, pokrije le 3-dimenzionalni podprostor in samo 3-dimenzionalni del 4-dimenzionalnega prizora bo biti viden na zaslonu. Preprosta analogija: poskusite projicirati 3-dimenzionalni prizor na 1-dimenzionalni segment.

Izkazalo se je, da 3-dimenzionalni opazovalec z 2-dimenzionalnim vidom ne more videti celotnega 4-dimenzionalnega prizora – v najboljšem primeru bo videl le majhen del. Logično je domnevati, da je bolj priročno gledati 4-dimenzionalni prizor s 3-dimenzionalnim vidom: določen 4-dimenzionalni opazovalec gleda na nek predmet in na njegovem 3-dimenzionalnem analogu mrežnice se oblikuje 3-dimenzionalna projekcija. . Moj program bo sledil tej 3D projekciji. Z drugimi besedami, moj sledilnik žarkov prikazuje, kaj 4D opazovalec vidi s svojim 3D vidom.

Lastnosti 3D vida

Predstavljajte si, da gledate krog papirja, ki je tik pred vašimi očmi - v tem primeru boste videli krog. Če ta krog položite na mizo, boste videli elipso. Če ta krog pogledate od daleč, se bo zdel manjši. Podobno velja za tridimenzionalni vid: štiridimenzionalna krogla bo opazovalcu videti kot tridimenzionalni elipsoid. Spodaj je nekaj primerov. Na prvem se vrtijo 4 enaki medsebojno pravokotni valji. Na drugem se vrti okvir 4-dimenzionalne kocke.

Pojdimo k razmišljanjem. Ko pogledate žogo z odsevno površino (na Igrača za božično drevo, na primer), je odsev kot narisan na površini krogle. Tudi za 3D vid: gledate 4D kroglo in odsevi se rišejo kot na njeni površini. Samo površina 4-dimenzionalne krogle je tridimenzionalna, tako da ko gledamo 3-dimenzionalno projekcijo krogle, bodo odsevi znotraj in ne na površini. Če naredimo, da sledilnik izstreli žarek in najdemo najbližje presečišče s 3-dimenzionalno projekcijo krogle, potem bomo videli črn krog - površina 3-dimenzionalne projekcije bo črna (to izhaja iz Fresnelovih formul). Videti je takole:

Za 3-dimenzionalni vid to ni problem, ker je zanj vidna ta celotna 3-dimenzionalna krogla in so vidne notranje točke, pa tudi tiste na površini, vendar moram ta učinek nekako prenesti na ploski zaslon, torej Naredil sem dodaten način za sledilnik žarkov, ko upošteva, da so tridimenzionalni predmeti kot dimljeni: žarek gre skozi njih in postopoma izgublja energijo. Izkazalo se je takole:

Enako velja za sence: ne padajo na površino, temveč znotraj 3-dimenzionalnih projekcij. Izkazalo se je, da je znotraj 3-dimenzionalne krogle - projekcije 4-dimenzionalne krogle - lahko zatemnjeno območje v obliki projekcije 4-dimenzionalne kocke, če ta kocka meče senco na žogo. Nisem mogel ugotoviti, kako prenesti ta učinek na ploski zaslon.

Optimizacije

Sledenje žarkom 4D scene je težje kot 3D scene: v primeru 4D morate najti barve 3D območja, ne ravnega. Če napišete sledilnik žarkov neposredno, bo njegova hitrost izjemno nizka. Obstaja nekaj preprostih optimizacij, ki lahko skrajšajo čas upodabljanja slike 1000x1000 na nekaj sekund.

Prva stvar, ki pade v oči, ko gledate takšne slike, je kup črnih pikslov. Če upodabljate območje, kjer žarek sledilnika žarkov zadene vsaj en predmet, bo videti takole:

Vidi se, da je približno 70% črnih slikovnih pik in to belo območje je koherenten (koherenten je, ker je 4-dimenzionalni prizor koherenten). Barve slikovnih pik lahko izračunate ne po vrstnem redu, ampak uganite eno belo slikovno piko in iz nje naredite polnilo. To vam bo omogočilo sledenje žarkov samo belim pikslov + nekaj črnih pikslov, ki predstavljajo mejo 1 piksla belega območja.

Druga optimizacija izhaja iz dejstva, da so figure - kroglice in valji - konveksne. To pomeni, da za katerikoli dve točki v takšni sliki tudi odsek, ki ju povezuje, v celoti leži znotraj figure. Če žarek seka konveksni predmet, pri čemer točka A leži znotraj predmeta, točka B pa zunaj, potem ostanek žarka s strani B ne bo sekal predmeta.

Še nekaj primerov

Tu se kocka vrti okoli središča. Žoga se ne dotika kocke, vendar se na 3-dimenzionalni projekciji lahko sekata.

V tem videu kocka miruje, 4-dimenzionalni opazovalec pa leti skozi kocko. Tridimenzionalna kocka, ki se zdi večja, je bližje opazovalcu, manjša pa je bolj oddaljena.

Spodaj je klasična rotacija v ravninah osi 1-2 in 3-4. Ta rotacija je podana z zmnožkom dveh Givensovih matrik.

Kako deluje moj sledilnik žarkov?

Koda je napisana v ANSI C 99. Lahko jo prenesete. Preizkusil sem ga na ICC+Windows in GCC+Ubuntu.

Program vzame kot vhod besedilno datoteko z opisom scene.

Scena = ( predmeti = -- seznam predmetov v sceni ( skupina -- skupina predmetov ima lahko dodeljeno afino transformacijo ( axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), lights = -- seznam lučk ( light((0.2, 0,1, 0,4, 0,7), 1), svetloba ((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0,1 -- polmer valja axiscyl1 = valj ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, material = (barva = (1, 0, 0)) ) axiscyl2 = valj ((0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, material = (barva = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = valj ((0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, material = (barva = (0) , 0, 1)) ) axiscyl4 = cilinder ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, material = (barva = (1, 1, 0)) )

Nato ta opis razčleni in ustvari prizor v svoji notranji predstavitvi. Odvisno od dimenzije prostora upodablja sceno in prejme štiridimenzionalno sliko, kot je v zgornjih primerih, ali navadno tridimenzionalno. Če želite spremeniti 4-dimenzionalni sledilnik žarkov v 3-dimenzionalnega, morate spremeniti parameter vec_dim v datoteki vector.h s 4 na 3. Nastavite ga lahko tudi v parametrih ukazne vrstice za prevajalnik. Prevajanje v GCC:

Cd /domov/ uporabniško ime/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Testna vožnja:

/domov/ uporabniško ime/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Če prevedete sledilnik žarkov z vec_dim = 3, bo ustvaril običajno kocko za sceno cube3d.scene.

Kako je nastal video

Da bi to naredil, sem v Lui napisal skript, ki je izračunal rotacijsko matriko za vsak okvir in jo dodal referenčni sceni.

Osi = ((0,933, 0,358, 0, 0), -- os 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- os 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- os 3 (0, 0) , -0.358, 0.933) -- os 4 ) scene = ( predmeti = ( skupina ( osi = osi, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 ) ), )

Skupinski objekt ima poleg seznama objektov dva parametra afine transformacije: osi in izhodišče. S spreminjanjem osi lahko zavrtite vse predmete v skupini.

Skript je nato poklical prevedeni sledilnik žarkov. Ko so bili vsi okvirji upodobljeni, je skript poklical mencoder in iz posameznih slik sestavil video. Video je bil narejen tako, da ga je bilo mogoče dati na samodejno ponavljanje – t.j. Konec videa sovpada z začetkom. Skript deluje takole:

Luajit animate.lua

In končno, ta arhiv vsebuje 4 datoteke avi 1000×1000. Vsi so ciklični - lahko jih nastavite na samodejno ponavljanje in dobite običajno animacijo.

Oznake:

• sledilnik žarkov
• štiridimenzionalni prostor

Dodajte oznake